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四川省凉山州届高三数学二诊试卷理(含解析)【含答案】

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2020届四川省凉山州高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题（解析版）

2020届四川省凉山州高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题（解析版）

2020届四川省凉山州高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =（ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B【解析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.2．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A【解析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 3．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．132【答案】B【解析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ===±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 4．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+【答案】A【解析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.5．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >【答案】C【解析】根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i 的值，进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知，0,1S i == 则1,3S i ==，4,5S i ==， 9,7S i ==， 16,9S i ==， 25,11S i ==，此时输出S ，因而9i =不符合条件框的内容，但11=i 符合条件框内容，结合选项可知C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.6．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．3B ．2C 3D ．1【答案】C【解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】双曲线22214x y b -=的离心率2e =，则2a =，c e a ==，解得c =()，所以b ===则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d ==，故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C kkk a x+⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果. 【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立. 故选:B. 【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 【答案】C【解析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误；对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确；对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误； 综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.9．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A【解析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.10．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】根据线面垂直的性质，可知TP PB ⊥；结合112A P PB =即可证明11PTA BPB ∆≅∆，进而求得1TA .由线段关系及平面向量数量积定义即可求得1TP B B ⋅.【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==， 点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC . 则TP PB ⊥，112A P PB = 则11PTA BPB ∠=∠，所以11PTA BPB ∆≅∆， 则111TA PB ==，所以11cos TP B B TP B B PTA ⋅=⋅⋅∠2222212221⎛⎫=+⨯=- +⎝， 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 11．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解. 【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg130lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.12．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【详解】由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()22t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥，则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.二、填空题13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 【答案】25【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C 种方法,根据公式即可求得概率. 【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有25C 种方法,1425125C P C ⨯==. 故答案为:25. 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.14．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x f x =-，则()123f =___【答案】1-【解析】根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数()f x 对称轴及周期性，进而由01x ≤≤的解析式求得()123f 的值.【详解】()f x 满足()()11f x f x +=-，由函数对称性可知()f x 关于1112x xx ++-==对称，且令1x x =+，代入可得()()2f x f x +=-，由奇函数性质可知()()f x f x -=-，所以()()2f x f x +=- 令2x x =+，代入可得()()()42f x f x f x +=-+=， 所以()f x 是以4为周期的周期函数， 则()()()()123431111f f f f =⨯-=-=-当01x ≤≤时()21xf x =-， 所以()11211f =-=，所以()()12311f f =-=-，故答案为：1-. 【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题. 15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 【答案】1【解析】根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b .【详解】(3,1)a =，则()32a ==，平面向量a ，b 的夹角为3π，则由平面向量数量积定义可得1cos 232a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=，根据平面向量模的求法可知2223a b a a b b -=-⋅+=，2423b b -+=，解得1b =， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题. 16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数1,()0,x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:①()D x 的值域为[]01，;②()(),x R D x D x ∀∈-=; ③()(),T R D x T D x ∀∈+=;④(1)(2020)45;D D D D ++++=其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 【答案】②【解析】根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③理数个数，即可确定④. 【详解】对于①，由定义可知，当x 为有理数时()1D x =；当x 为无理数时()0D x =，则值域为{}0,1，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足()(),x R D x D x ∀∈-=，所以②正确；对于③，因为T R ∈，当x 为无理数时，x T +可以是有理数，也可以是无理数，所以③()(),T R D x T D x ∀∈+=错误；对于④，由定义可知(1)(2020)D D D D ++++2(1)(44)(2)(3)(2020)D D D D D D D D D =+++++++++44=，所以④错误；综上可知，正确的为②. 故答案为：②. 【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三、解答题17．传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2）80243【解析】(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值2K ,从而由参考数据作出判断.(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为13，是老年人的概率为23.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果. 【详解】（1）由题意可知()221005020201080012.69810.8286040703063K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为13，是老年人的概率为23.5∴人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率2325128033243P C ⎛⎫==⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，2AB =，()0PD t t =>.（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为43，求二面角B DM C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）23【解析】(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD .则1433C DBM M DBC DBC V V S MN --==⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =,利用公式即可求得结果. 【详解】 （1）证明：PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AD PD ∴⊥,又四边形ABCD 为正方形，AD DC ∴⊥.又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点， DM PC ∴⊥.又AD 、DM ⊂平面ADM ，ADDM D =，PC ∴⊥平面ADM .PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图M 为PC 的中点，1//2MN PD ∴，12MN t ∴=. 又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .21114233223C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=.所以4PD =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M设平面DBM 的法向量(),,n x y z =，则00n DB DM DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-. 平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =22cos ,133m n m n m n⋅∴===⨯⋅. ∴二面角B DM C --的余弦值为23.【点睛】本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.19．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =.（1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）12；（2）12330S =【解析】（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2BCA π∠=，进而由三角函数（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值. 【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=， 则由同角三角函数关系式可得2512cos sin 11313BAC B ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+，则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠14822≤⨯⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.20．设33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；（2）当1x ≥时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈）【答案】（1）证明见解析；（2）5a =.【解析】（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a--≤时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当()()413ln a a a-->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论. 【详解】（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+， 令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞， 则()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增， 当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减， 所以()()max 1ln1110gx g ==-+=，则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33()(4)log (01).11a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 11ln a a xa af x x x a a x a a----'=-=≥--，若1a >时，当()()413ln a a a--≤时，()0f x '<，则()f x 在[)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1x ≥时()0f x ≤成立； 所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩的整数解即可，将不等式化简可得2543ln a a a -+≤， 令()2543ln ,1g a a a a a =-+->则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减， 当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增， 所以当3a =时()g a 取得最小值，则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，()2555543ln543ln543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<， ()()2665643ln 6103ln 2ln3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当()()413ln a a a-->时，在()()411,2ln a a x a⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论， 综上所述，当1x ≥时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =. 【点睛】本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21．已知12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点，椭圆C 的离心率为5AB 、是椭圆C 上两点，点M 满足12BM BA =. (1)求C 的方程；(2)若点M 在圆221x y +=上，点O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22154x y +=；（2）1111,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中,,a b c 的关系，即可求得,,a b c 的值，进而得椭圆的标准方程.（2）设出直线AB 的方程为y kx m =+，由题意可知M 为AB 中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +，由判别式>0∆可得2254k m +>；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简OA OB ⋅可得2114OA OB AB ⋅=-，代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M 的坐标，代入圆的方程221x y +=，化简可得()2222542516k mk +=+，代入数量积公式并化简，由换元法令21t k =+，代入可得()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，再令1s t =及52s ω=-，结合函数单调性即可确定1625950ωω++的取值范围，即确定()()()20851259t t t t ---的取值范围，因而可得OA OB ⋅的取值范围.【详解】（1）12(),100(1)F F -，，分别是椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和右焦点， 则1c =，椭圆C则15c e a a ===解得a = 所以222514b a c =-=-=，所以C 的方程为22154x y +=.（2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点M 满足12BM BA =，则M 为AB 中点，点M 在圆221x y +=上，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆方程22154y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()22254105200k x kmx m +++-=，所以212122210520,,5454km m x x x x k k --+==++则()()()222104545200km k m ∆=-⨯+⨯->，化简可得2254k m +>，而()()OA OB OM MA OM MB ⋅=+⋅+2OM OM MB MA OM MA MB =+⋅+⋅+⋅22OM MB =-2114AB =-由弦长公式代入可得22111144OA OB AB ⋅=-=-2211454k k +=-⨯+⎝⎭M 为AB 中点，则()121222254,,225454M M k x x b x x kmm x y k k +++-====++点M 在圆221x y +=上，代入化简可得()2222542516k mk +=+，所以()22222154180454k k m OA OB k ++-⋅=-⨯⨯+ ()()()()222212012120542516k k k k ++=-⨯++ 令21t k =+，则()()()20812051259t t OA OB t t -⋅=-⨯--，1t ≥，令1,01s s t=<≤，则()()()()()82020820819512595259525t t s tt t s s t t ---==----⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()4525259s s s -=--令[)52,3,5s ωω=-∈，则52s ω-=， 所以()()()()()4521616255259559950s s s ωωωωω-==--++++，因为()25950f ωωω=++在[)3,5ω∈内单调递增，所以1643,252516950ωω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++， 即()()()20843,512592516t t t t -⎛⎤∈ ⎥--⎝⎦所以()()()2081111120,5125945t t OA OB t t -⎡⎫⋅=-⨯∈--⎪⎢--⎣⎭ 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离. 【答案】（1;（2. 【解析】（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM .【详解】（1）直线l 的参数方程为x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)， 化为直角坐标方程为y x =，即0x y -=直线l 与曲线:C ()2211x y -+=交于A B 、两点.则圆心坐标为()1,0，半径为1，则由点到直线距离公式可知d=所以2AB==（2）点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标可得()2,2-，直线l的方程与曲线C的方程联立()2211y xx y=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，化简可得20x x-=，解得0,1x x==，所以A B、两点坐标为()()001,1，、，所以11,22M⎛⎫⎪⎝⎭，由两点间距离公式可得PM==【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.23．设()()20f x x x a a=-->（1）当1a=时，求不等式()1f x≥的解集；（2）若()1f x≤，求a的取值范围.【答案】（1）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1【解析】(1)通过讨论x的范围,得到关于x的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数()f x写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由()1f x≤恒成立求得结果.【详解】解：（1）当1a=时，()21f x x x=--，()1f x≥-即21xx<⎧⎨-≥-⎩或01321xx≤≤⎧⎨-≥-⎩或121xx>⎧⎨-+≥-⎩解之得113x≤≤或13x<≤，即133x≤≤∴不等式的解集为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由题意得：()()()()2,032,02,x a x f x x a x a x a x a ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩∴当0x <时()()20f x x a a =->为减函数，显然()1f x ≤恒成立.当0x a ≤≤时，()32f x x a =-为增函数，()()max 1f x f a a ==≤，01a ∴<<当x a >时，()2f x x a =-+为减函数，()1f a a =<01a ∴<<综上所述：使()1f x ≤恒成立的a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。

2023届高中考凉山州第二次诊断性检测 数 学(理科)试卷含答案

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第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z =3+2i 1+i，则z 的虚部是（）A.-12iB.-52iC.-12D.522.集合A ={x y =log (1-2x )｝，B =｛y y =2x ，x <1｝，则A ∩B =（）A.{x |x <12｝B.{x |0<x <12｝C.{x |x ≤12｝D.{x |0<x ≤12｝3.已知x ，y 满足约束条件x+y -1≥0x-y+1≥02x -y-2≤0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐.则目标函数z =x+2y 的最小值是（）A.1B.2C.11D.无最小值4.C 0表示生物体内碳14的初始质量,经过t 年后碳14剩余质量C （t ）=C 0（12t >0，h 为碳14半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C 0，据此推算该生物是距今约多少年前的生物(参考数据:lg2≈0.301).正确选项是（）A.1.36h B.1.34hC.1.32hD.1.30h5.执行如图所示程序框图，则输出的S 的值是（）A.45B.56C.67D.78凉山州2023届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.数学（理科）试卷第1页（共4页）t h结束开始S =0n =1S =S +1n （n +1）n =n +1n >5否是输出S 2||6.小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（）A.34B .227C .916 D.497.已知f （x ）是定义域为｛x x ≠0｝的偶函数且f （x ）=lnxx -1e2（x >0），则函数f （x ）零点个数是（）A.6 B.5 C.4 D.38.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A (3,2)，点P 为该抛物线上一动点，则△PAF 周长的最小值是（）A.3+22√ B.3 C.4+22√ D.2+22√+23√9.在△ABC 中,角A ，B ，C 对边分别为a ,b ,c .命题p ∶1-tan 2A21+tan 2A2+b cos （A +C ）a =0,命题q ∶△A BC 为等腰三角形.则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，在直角梯形PA BC 中，AB ∥PC ，∠C =π2，A B =BC =12PC =1，D 为PC 边中点，将△PAD 沿AD 边折到△QAD.连接QB ，QC 得到四棱锥Q-ABCD,记二面角Q-AD-C 的平面角为θ，下列说法中错误的是（）A.若θ=π2，则四棱锥Q-ABCD 外接球表面积3πB.无论θ为何值，在线段QB 上都存在唯一一点H 使得DH =1C.无论θ为何值，平面QBC ⊥平面QCD D.若θ=π3，则异面直线AC ，BQ 所成角的余弦值为1411.已知a =tan 20232022，b=e ，c=20232022，则a ,b ,c 大小关系是（）A.c <b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a12.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 为正方形BCC 1B 1内(不含边界)一动点,∠BPC角平分线交BC 于点Q ，点P 在运动过程中始终满足BQ QC=2.①直线BC 1与点P 的轨迹无公共点;②存在点P 使得PB ⊥PC ;③三棱锥P-BCD 体积最大值为89;④点P 运动轨迹长为4π9.上述说法中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知(x +2x)的展开式中二项式系数和为32，则x 3项系数是____________.数学（理科）试卷第2页（共4页）12023n|14.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F （2,0）,点F 到该双曲线渐进线的距离为3√，则双曲线的离心率是____________.15.已知正实数a,b ，称v =a+b 2为a,b 的算术平均数，u =ab √为a,b 的几何平均数，H =23v +13u 为a,b 的希罗平均数.D 为△ABC 的BC 边上异于B ，C 的动点，点P 满AP 13AD AP =a 18AB +b 18AC ，则正数a ，b 的希罗平均数H 的最大值是____________.16.已知函数f （x ）=4sin x cos x -2sin 2x +2cos 2x +1,则下列说法中正确的是____________①f （x ）一条对称轴为x =π8；②将f （x ）图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；③若f （x 2）=5√+1，则tan x =4±15√；④若函数y =f （ωx 2）（ω>0）在区间[π3，π]上恰有2个极大值点，则实数ω的取值范围是[174，254).三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题12分）已知对于任意n ∈N*函数f （x ）=x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，正项等比数列｛b n ｝的公比q ∈（0,1），且b 1b 5+2b 3b 5+b 2b 8=25，又b 3与b 5的等比中项为2.（1）)求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式；（2）求数列｛a n b n ｝的前n 项和S n .18.（本小题12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点E ，F 分别是BC ，A 1C 1中点，平面ABB 1A 1∩平面A EF=l.（1）证明：l ∥EF ；（2）若AB=A C =22√，平面A CC 1A 1⊥平面ABB 1A 1，且AB 1⊥EF ，求直线l 与平面A 1B 1E 所成角的余弦值.19.（本小题12分）2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋.某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况,以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X ，并以此为样本得到了如下图所示的表格：数学（理科）试卷第3页（共4页）′其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者。

四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题(含解析)

四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题(含解析)

四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1i z =+，则||zz =（ ）A ．12B ．1C D ．22．已知集合{}1,11A y y x x ==+-≤≤，{}B x x a =≤，若A B B ⋃=，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,2B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞3．已知()2,2A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的焦点的距离为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．已知()21,X N σ ，且()()12P x a P x ≤-=≥，则在)52a 的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题“R x ∀∈，()2sin π2cos 0x x m +++≤”是假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．[)2,-+∞B ．()2,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],2-∞-6．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）A ．35B ．45C ．925D ．12257．已知正数,a b 满足e112a b dx x +=⎰，则2ab a b+的最大值为（ ）A B ．C D ．18．若曲线y =在1x =处的切线与圆C ：224x y +=交于A ，B 两点，则AB 为（ ）A B ．C D 9．若实数x ，y 满足不等式2x y +≤，则221x y +≤的概率为（ ）A ．π8B ．π6C ．π4D ．π310．已知在三棱锥-P ABC中，PA =2PB PC ==，底面ABC 是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．13π3C ．4πD ．6π11．若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知点(),P x y 是曲线2y x =）ABCD二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=，4950a a =，则6S = ．14．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+，则A = ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，且6BE =，3BF =，π,3BE BF 〈〉= ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．点A 在C 上，点B 在y 轴．()211F A F A OA OB =⋅-，225F A BA = ，则C 的渐近线方程为 ．三、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，6387S S =．(1)求n a ；(2)设12log nn na b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家．“近代物理学之父”——牛顿大约在1671年，完成了《流数法和无穷级数》这部书，标志着微积分的正式创立．某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究，得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论．现从该校随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表（单位：分）物理成绩x636874768590数学成绩y909511110125130(1)经过计算，得到学生的物理学习成绩x 与数学学习成绩y 满足回归方程1.5ˆyx m =+．若某位学生的物理成绩为95分，请预测他的数学成绩；(2)若要从抽取的这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查，记数学成绩不低于100分的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．(1)求证：//PA 平面BDE ；(2)求二面角F CD B --的正切值．20．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知1F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点，且椭圆C 的面积为，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点(),0A t ，()1t >-，以1F A 为直径的圆与椭圆C 在x 轴上方交于M ，N 两点，求()1111F M F N t ++的值21．已知函数()sin f x x a x =+．(1)若函数()f x 在R 上是增函数，求a 的取值范围；(2)设()1sin ln 2g x x x x =--，若()()()1212g x g x x x =≠2<．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22222121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线1l的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)若与直线1l 垂直的直线2l 交曲线C 于A ，B 两点，求AB 的最大值．23．已知函数()f x x =．(1)求不等式()ln 1f x ≤的解集；(2)若函数()()()1g x f x f x =--的最小值为m ，且正数a ，b ，c 满足20a b c m +++=，求2222a b c ++的最小值．参考答案：1．B【分析】根据给定条件，先利用共轭复数及复数除法运算，再求出复数的模.【详解】复数1i z =+，则1i z =-，1i (1i)(1i)2i i 1i (1i)(1i)2z z +++====--+，所以||1z z =.故选：B 2．B【分析】求出函数值域化简集合A ，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.【详解】集合{}1,11[0,2]A y y x x ==+-≤≤=，而(,]B a =-∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆，则2a ≥，所以a 的取值范围为[)2,+∞.故选：B 3．D【分析】由抛物线上的点可求得p ，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果.【详解】()2,2A 在抛物线C 上，44p ∴=，解得：1p =，∴抛物线准线方程为：12x =-，由抛物线定义知：点A 到C 的焦点的距离为15222+=.故选：D.4．B【分析】先根据正态分布的对称性求出a ，在利用二项式定理求2x 的系数.【详解】因为()21,X N σ ，且()()12P x a P x ≤-=≥，则122a -+=，得1a =，则))5522a=，其含2x 的项为4125C210x ⨯=，即2x 的系数为10.故选：B.5．B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题“R x ∀∈，()2sin π2cos 0x x m +++≤”是假命题，则“0R x ∃∈，()2sin π2cos 0x x m +++>”是真命题，所以()2sinπ2cos m x x >-+-有解，所以()()2min sinπ2cos m x x >-+-，又()()2222sin π2cos sin 2cos cos 2cos 1cos 12x x x x x x x -+-=--=--=--，因为[]cos 1,1x ∈-，所以()()2min sin π2cos 2x x -+-=-，即2m >-.故选：B.6．D【分析】根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可.【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有35125=种选法；若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有35A 60=种选法；则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为601212525P ==.故选：D.7．C【分析】先由e11dx x⎰得到21a b +=，然后代入2ab a b +，利用基本不等式求最值即可.【详解】ee111ln |ln e ln11dx x x==-=⎰，则21a b +=，又0,0a b >>，所以21111221ab a a a b a b a b b a b a b a ===≤++++++当且仅当2a bb a =，即a b ==时等号成立.故选：C.8．D 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线AB 的方程，再利用圆的弦长公式计算即得.【详解】由y =y '=，依题意，切线AB 的斜率为12，方程为11(x 1)2y -=-，即210x y -+=，圆C ：224x y +=的圆心(0,0)C ，半径2r =，点(0,0)C 到直线AB的距离d =，所以||AB ===故选：D 9．A【分析】画出不等式2x y +≤表示的平面区域，同时画出221x y +≤，根据面积关系求概率.【详解】,0,0,0,02,0,0,0,0x y x y x y x y x y x y x y x y x y +≥≥⎧⎪-≥<⎪≥+=⎨-+⎪⎪--<≤⎩，作出其表示的平面区域如下图阴影部分：，则221x y +≤的概率为2π1π18442⨯=⨯⨯.故选：A.10．B 【分析】根据给定条件，证得PA ⊥平面ABC ，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.【详解】在三棱锥-P ABC中，PA =2PB PC ==，正ABC 的边长为1，则2224PA AB PB +==，即有PA AB ⊥，同理PA AC ⊥，而,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，于是PA ⊥平面ABC ，令正ABC 的外心为1O ，三棱锥-P ABC 外接球球心为O，则1OO ⊥平面ABC ，显然球心O 在线段PA 的中垂面上，取PA 的中点D ，则OD PA ⊥，而1//OO PA ，则四边形1ADOO 是矩形，12sin 603OD O A AB ==⨯=所以球半径R OP ====213π4π3S R ==.故选：B11．C 【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.【详解】()sin cos sin cos f x x x x x x x =-='+,当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，又ππ1022f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，()00f =，ππ1022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()π20f =-<，则()sin cos 1f x x x x =+-的草图如下：由图象可得函数()f x 的零点个数为2.故选：C.12．D【分析】10y ++=与曲线的位置关系，2=几何意义，转化为点P 与点(0,1)-10y ++=夹角正弦最值求解即可.2=10l y ++=，显然l 过点(0,1)A -，由210y y x++==⎪⎩210x ++=，显然240∆=-<，即直线l 与曲线2y x =210x ++>，则曲线2y x =上的点P 在直线l 上方，过P 作PH l ⊥于H，则||PH =，而||PA =，||22sin ||PH PAH PA =⋅=∠，令过点A 的直线与曲线2y x =相切的切点为2(,)t t ，由2y x =，求导得2y x '=，则此切线斜率2120t t t +=-，解得1t =±，即切点为(1,1)±，而点A 在曲线2y x =的对称轴上，曲线2y x =在过点A 的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点P 的坐标为(1,1)时，锐角PAH ∠最大，sin PAH ∠此时|||PH PA ==||sin ||PH PAH PA ∠==2sin PAH ∠==.故先：D【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.13．27【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出6S 的值.【详解】等差数列{}n a 中，由3510a a +=，得4210a =，解得45a =，而4950a a =，则910a =，于是数列{}n a 的公差94194a a d -==-，434a d a =-=，所以166346()3()272a a S a a +==+=.故答案为：2714．π3【分析】根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+及正弦定理得：sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin A B B A BA B B A C-+=+，而sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，则sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A BA B B A A B B A-+=++，整理得sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A B A B B A -+=+，即2sin cos sin B A B =，又sin 0B >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故答案为：π315．【分析】延长BF 与AD 的延长线交于O ，求出BEF △的面积，并探讨DEF 与OEF 面积的关系即可求出结果.【详解】在ABCD Y 中，延长BF 与AD 的延长线交于O ，连接BD ，由E ，F 分别是AD ，CD 的中点，得14ABE DBE DBF CBF ABCD S S S S S ====，则2ABCD BEDF S S = ，由//BC DO ，得F 是BO 的中点，且2OD BC AD DE ===，n 1,6321si 2EFO BEF S F S B F BE E B B 〈〉==⋅=⨯⨯13DEF EFO S S ==BEDF BEF DEF S S S =+=所以ABCD Y 的面积ABCD S = .故答案为：16．y x =【分析】先通过向量的运算得到11F B F A ⊥，设22AF m =，然后利用勾股定理得到a m =，然后在直角三角形1AF B 和三角形12AF F 中同时表示12cos F AF ∠，然后列方程求ba即可.【详解】由()211F A F A OA OB =⋅- 得()110F A F A OA OB ⋅-+= ，即110F A F B ⋅= ，所以11F B F A ⊥，设22AF m =，则由225F A BA =得2,,A F B 共线，且213F B m F B ==，又122AF AF a -=，所以122AF a m =+，在直角三角形1AF B 中，22211AB AF BF =+，所以()22225229m a m m =++，解得a m =，所以22AF a =，213F B F B a ==，5AB a =，14AF a =所以11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，又22222212121221216444cos 2165AF AF F F a a c F AF AF AF a +-+-∠===，整理得2295a c =，所以()22295a a b =+，即2245a b =，所以b a =，即C的渐近线方程为y x =.故答案为：y =.17．(1)111()22n n a -=⋅-；(2)1(1)22n n T n +=-⋅+.【分析】（1）根据给定条件，求出数列{}n a 的公比即可求出通项公式.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和即得.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由6387S S =，得6338)(S S S -=-，则4561231()8a a a a a a ++=-++，即31231231()()8q a a a a a a ++=-++，而21231(1)0a a a a q q ++=++≠，因此318q =-，解得12q =-，所以111()22n n a -=⋅-.（2）由（1）知，1|(|)2n n a =，则121log ())221(2n nn n b n ==⋅，则1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，于是234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得23122222n n n T n +-=++++-⋅ 112(12)2(1)2212n n n n n ++-=-⋅=-⋅--，即1(1)22n n T n +=-⋅+.18．(1)138.5；(2)分布列见解析，2.【分析】（1）根据给定条件，求出样本点中心，再求出m 并作出预测.（2）求出X 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）依题意，636874768590766x +++++==，90951101101251301106y +++++==，于是110 1.576m =⨯+，解得4m =-，因此 1.54ˆyx =-，当95x =时， 1.5954138.5y =⨯-=，所以物理成绩为95分，预测他的数学成绩为138.5.（2）依题意，数学学习成绩低于100分的有2人，数学学习成绩不低于100分的有4人，因此X 的可能值为1，2，3，211224243366C C C C 13(1),(2)C 5C 5P X P X ======，032436C 1(3)C 5C P X ===，所以X 的分布列为X123P153515数学期望131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接AC 交BD 于点O ，由中位线性质可得//OE PA ，根据线面平行的判定可得结论；（2）由面面垂直性质可得PD ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，令BF BP λ=，结合EF PB ⊥可构造方程求得λ，进而得到F 点坐标，利用二面角的向量求法可求得余弦值，进而得到正切值.【详解】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，四边形ABCD 为正方形，O ∴为AC 中点，又E 为PC 中点，//OE PA ∴，OE ⊂ 平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE .（2）PD AD ⊥ ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面PAD ，PD ∴⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，∴以D 为坐标原点，,,DA DC DP正方向为,,x y z 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()0,1,1E ，()0,0,2P ，()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,1,1BE ∴=-- ，()2,2,2BP =--，()0,2,0DC = ，设BF BP λ=，则()2,2,2BF λλλ=-- ，()22,12,21EF BF BE λλλ∴=-=--- ，EF PB⊥ ，()()()2222122210EF BP λλλ∴⋅=----+-= ，解得：23λ=，444,,333BF ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，224,,333F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，224,,333DF ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，设平面FCD 的法向量(),,n x y z =，则20224333DC n y DF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1z =-，解得：2x =，0y =，()2,0,1n ∴=- ；z 轴⊥平面BCD ，∴平面BCD 的一个法向量()0,0,1m =，由图形可知：二面角F CD B --为锐二面角，设其为θ，则cos n m n m θ⋅===⋅ tan 2θ∴=，即二面角F CD B --的正切值为2.20．(1)22143x y +=(2)2【分析】（1）由题意可得出：22212ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程求出,a b ，即可得出答案.（2）求出以1F A 为直径的圆的方程，联立椭圆的方程得到1212,x x x x +⋅，表示出()1111F M F N t ++，将韦达定理代入即可得出答案.【详解】（1）由题意可得出：22212ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）因为(),0A t ，()11,0F -，所以以1F A 为直径的圆的方程为()2221124t t x y +-⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即()2210x y t x t +---=，设()()1122,,,M x y N x y ，则由()222210143x y t x t x y ⎧+---=⎪⎨+=⎪⎩，得：()2414120x t x t ---+=，所以()121241,412x x t x x t +=-⋅=-+，又1F M ==()11114422x x ==+=+，同理，1F N =()2142x +，所以()()()()11121211111448112222F M F N x x x x t t t ⎡⎤+=+++=++⎢⎥+++⎣⎦()1418222t t ⎡⎤=-+=⎣⎦+.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．(1)[1,1]-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用导数结合单调性，列出不等式求解即得.（2）由（1）的信息可得221121sin s )(in x x x x x x >>--，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即得.【详解】（1）函数()sin f x x a x =+，求导得()1cos f x a x '=+，依题意，对任意实数x ，()1cos 0f x a x '=+≥恒成立，而1cos 1x -≤≤，因此1010a a +≥⎧⎨-≥⎩，解得：11a -≤≤，所以a 的取值范围为[1,1]-.（2）函数1()sin ln 2g x x x x =--的定义域为(0,)+∞，由12)g )(g(x x =，得212121)()1ln ln (sin sin 2x x x x x x -=---，由（1）知，函数()sin f x x x =-在(0,)+∞上是增函数，不妨令210x x >>，则2211sin sin x x x x ->-，即2121sin sin x x x x ->-，亦即2121)()11(sin sin 22x x x x ->-，则21212111())()sin sin (22x x x x x x --->-，于是2121)1ln ln (2x x x x ->-，则21212ln ln x x x x -<-，下面证明：2121ln ln x x x x ->-21ln ln x x >-21ln x x >，令1)t t >，即证：212ln ,(1)t t t t->>，设21()2ln ,(1)t t t t t ϕ-=->，求导得22221(1)()10t t t t t ϕ-'=--=-<，则函数()t ϕ在(1,)+∞上单调递减，于是()(1)0t ϕϕ<=，即212ln ,(1)t t t t ->>2<.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.22．(1)2214x y +=；80x y +-=【分析】（1）将曲线C 的参数方程中的参数消去即可得普通方程，利用cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩可将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线2l 方程为0x y t -+=，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式及韦达定理求 最值.【详解】（1）对于曲线C 的参数方程22221t x t -=+，则()22242222121411x t t t t t ⎛⎫--+== ⎪+⎝⎭+，又()222241t y t =+，所以()()()24224222222222142114111x t t t t t y t t t -++++=+==+++，即曲线C 的普通方程为2214x y +=；又根据cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩，可得cos cos sin 04x y πρθθθ⎛⎫--=-=-= ⎪⎝⎭，即直线1l 的直角坐标方程为80x y +-=；（2）设与直线1l 垂直的直线2l 方程为0x y t -+=，()()1122,,,A x y B x y ，联立2214x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2258440x tx t ++-=，则()226420440t t ∆=-->，解得205t ≤<，则AB ===，当20t =时，AB取最大值.23．(1)1[,e]e；(2)85.【分析】（1）结合对数函数单调性，利用公式法解含绝对值符号的不等式即得.（2）由绝对值的三角不等式求出m ，再利用柯西不等式求出最小值即可.【详解】（1）依题意，1(ln )1|ln |1ln 1x f x x ≤⇔≤⇔-≤≤，解得1e e x ≤≤，所以不等式(ln )1f x ≤的解集为1[,e]e.（2）依题意，函数()|||1|x x g x =--，而1||||1|||(1)|x x x x -≤---=，当且仅当(1)0x x -≥时取等号，因此当0x ≤时，函数()g x 取得最小值1-，即12,m a b c =-++=，所以22222222222[)]115][a b c a c ++=++++22228(11)()555a c a b c ≥⋅⋅=++=，当且仅当42,55a cb ===时取等号，所以当42,55a c b ===时，2222a b c ++取得最小值85.。

凉山州2020届高中毕业班第二次诊断性测试题 理科数学答案

凉山州2020届高中毕业班第二次诊断性测试题 理科数学答案

2
2
\ AC = AB sin Ð B = 13 ´ 12 = 12...................................................5分 13
(2)S DACB
=
1 2
AC
× BC
=
1 ´12 ´ 5 2
=
30.......................................6分
Q PC Ì 平面PBC，\平面DMA ^ 平面PBC............................................4分
1
(2)解：过M作MN // PD交DC于N，如图
Q M为PC的中点，\ MN // 1 PD，\ MN = 1 t.
2
2
又PD ^ 平面ABCD，\ MN ^ 平面ABCD.
\二面角B - DM - C的余弦值为 2 ..........................................12分 3
2
1 9 .解 ：(1)在 D A B C 中 ，s in Ð B A C = c o s Ð B =
5 ,
13
\ sin Ð B = 1 2 ,\ sin Ð B > sin Ð B A C 13
(2 )解 ： f ¢( x ) = a - 4 - 3 x ln a a - 1
1 ) 当 0 < a < 1 时 , 易 知 ， 函 数 f ( x ） 在 区 间 [1, + ¥ )上 为 增 函 数
又 f (1) = 0 ,\ 不 满 足 题 意
2 ) 当 1 < a £ 4 时 ， f ¢( x ) < 0 \ 函 数 f ( x ） 在 区 间 [1, + ¥ ) 上 为 减 函 数

四川省凉山州高考数学二诊数学试卷(理科)

四川省凉山州高考数学二诊数学试卷(理科)

高考数学二诊数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A={x N|x2≤1}，a=-1，则下列结论正确的是（）A. a∉AB. a∈AC. {a}∈AD. {a}⊆A3.执行如图程序框图，则输出的S值为（）A. 31B. 32C. 62D. 644.若点在角α的终边上，则sin2α的值为( )A. B. C. D.5.已知双曲线C1：=1及双曲线C2：=1（a＞0，b＞0），且C1的离心率为，若直线y=kx（k＞0）与双曲线C1，C2都无交点，则k的值是（）A. 2B.C.D. 16.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A. 8πB. 12πC. 16πD. 48π7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S m-1=16，S m=25，S m+2=49（m≥2，且m∈N），则m的值是（）A. 7B. 6C. 5D. 48.设p：实数a，b满足a＞1且b＞1；q：实数a，b满足；则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设Ω=，有下面两个命题：p：∃（x，y）∈Ω，2（y+1）≤3（x+1）；q：∀（x，y）∈Ω，x-2y≥-3，则下面命题中真命题是（）A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢p10.已知3a=5b=15，则a，b不可能满足的关系是（）A. a+b＞4B. ab＞4C. （a-1）2+（b-1）2＞2D. a2+b2＜811.我们把F n＝+1（n＝0，1，2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最小正整数n的值是（）A. 8B. 9C. 10D. 1112.若x∈（0，+∞），≥x-ln x+a恒成立，则a的最大值为（）A. 1B.C. 0D. -e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若（x-2）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=______．14.4名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需1人，其中甲不能当文娱委员，则共有______种不同结果（用数字作答）．15.点B(x0，2)在曲线y＝2sinωx(ω＞0)上，T是y＝2sinωx的最小正周期，设点A(1，0)，若，且0＜x0＜T，则T＝__________．16.已知拋物线C：y2=2x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|+|DE|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，，．(1)求角C；(2)若，求AC的长．18.设矩形ABCD中，AD=4，AB=，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1.现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME MF，如图2.（1）证明：AF平面MEF；（2）求二面角M-AE-F的大小.19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节”．凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区A，B两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：（）以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求小区的平均分；（2）若A小区得分在[80，90）内的人数为45人，B小区得分在[80，90）内的人数为15人，求在A，B两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于90分的频率；（3）为感谢大家参与这次活动，州旅游局还对各小区参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：本小区得分低于80分的可以获得1次抽奖机会，得分不低于80分的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品的概率为，抽中价值为30元的纪念品的概率为，现有B小区市民张先生参加了此次问卷调查，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．20.椭圆长轴右端点为A，上顶点为M，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.设函数f（x）=x+（x＞0），a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，若f（x）存在极值点x0，证明：f（x0）＞4e．22.已知直线1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程和极坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），求点A到直线l的距离．23.已知f（x）=|2x+3|-|2x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a-2|成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z==，得复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，-1），位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】由已知可得：集合A={x∈N|-1≤x≤1}={-1，0，1}，进而可得正确的答案．由已知可得：集合A={x∈N|-1≤x≤1}={-1，0，1}，进而可得正确的答案．【解答】解：∵集合A={x∈N|-1≤x≤1}={0，1}，a=-1，故A、a∉A，故本选项正确；B、-1∈A，故本选项错误；C、{-1}A，故本选项错误；D、{-1}A，故本选项错误；故选A．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=1满足条件k＜6，执行循环体，S=0+2=2，k=2满足条件k＜6，执行循环体，S=2+4=6，k=3满足条件k＜6，执行循环体，S=6+8=14，k=4满足条件k＜6，执行循环体，S=14+16=30，k=5满足条件k＜6，执行循环体，S=30+32=62，k=6此时，不满足条件k＜6，退出循环，输出S的值为62．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵点P（sin，cos）=（，-）在角α的终边上，∴|OP|=1，则sin，cos，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：B．利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，再由倍角公式求sin2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，是基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线C1：=1及双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程均为：y=±x，由题意可得=，可得b=2a，可得渐近线方程为y=±x，由直线y=kx（k＞0）与双曲线C1，C2都无交点，可得k=．故选：B．求得双曲线的渐近线方程，以及离心率公式可得a，b的关系，由题意可得直线y=kx与渐近线平行，即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图三棱锥S=ABC，其中SD⊥平面ACBD，四边形ACBD为边长为2的正方形，SD=2，∴外接球的球心为SC是中点O，∴外接球的半径R==，∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故选：B．几何体是三棱锥，结合直观图判断三棱锥的结构特征，根据三视图的数据求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S m-1=16，S m=25，S m+2=49（m≥2，且m∈N），∴a m=S m-S m-1=25-16=a1+（m-1）d，a m+1+a m+2=S m+2-S m=49-25=2a1+md+（m+1）d，S m=25=ma1+d，联立解得：m=5，a1=1，d=2．故选：C．设等差数列{a n}的公差为d，由S m-1=16，S m=25，S m+2=49（m≥2，且m∈N），可得a m=S m-S m-1=25-16=a1+（m-1）d，a m+1+a m+2=S m+2-S m=49-25=2a1+md+（m+1）d，S m=25=ma1+d，联立解得即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：；等价为，当a＞1且b＞1时，ab＞1，a+b＞2成立，即充分性成立，反之当a=4，b=1时，满足足但a＞1且b＞1不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合命题真假关系的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断命题p，q的真假是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：由2（y+1）≤3（x+1），得y≤x+，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知A（1，2），满足不等式2（y+1）≤3（x+1），即命题p是真命题，平面区域所有的点都在不等式x-2y≥-3对应的区域内，即命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题.故选：A．10.【答案】D【解析】解：∵3a=5b=15，∴（3a）b=15b，（5b）a=15a，∴3ab=15b，5ba=15a，∴3ab•5ba=15b•15a，∴（15）ab=15a+b，∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a+b=ab＞4，∴（a-1）2+（b-1）2=a2+b2-2（a+b）+2＞2ab-2（a+b）+2＞2，∵a2+b2＞2ab＞8，故D错误故选：D．由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难题型．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步确定结果．【解答】解：把F n=+1（n=0，1，2…）叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．由于a n=log2（F n-1），=，=2n，故：，则：，则：不等式，=成立，当不等式成立时n的最小值为9．故选：B．12.【答案】C【解析】解：x∈（0，+∞），≥x-ln x+a恒成立，∴a≤-x+ln x，设f（x）=-x+ln x，∴f′（x）=-1+=，令g（x）=e x-1-x，x＞0，∴g′（x）=e x-1-1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，令f′（x）=0，解得x=1，当当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1-1+ln1=0，∴a≤0，故a的最大值为0，故选：C．分离参数，构造函数，可得f（x）=-x+ln x，求导可得f′（x）=，再构造函数令g（x）=e x-1-x，x＞0，利用导数判断g（x）≥0恒成立，根据导数和函数的最值的关系，即可求出f（x）的最小值，可得a的最大值考查了恒成立问题，需转换为最值，用到导函数求函数的最值，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题13.【答案】-80【解析】解：∵（x-2）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=•（-2）3=-80，故答案为：-80．由题意利用二项展开式的通项公式，求得a2的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】9【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，甲不能文娱委员，则文娱委员的选法有3种，②，在其他3人中任选1人，担任班长，有3种情况，则有3×3=9种不同的选法；故答案为：9．根据题意，分2步进行分析：①，甲不能文娱委员，则文娱委员的选法有3种，②，在其他3人中任选1人，担任班长，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：∵B（x0，2），A（1，0），∴=（1，0），=（x0，2），∴=x0=1，∵B（1，2）在曲线y=2sinωx（ω＞0）上，∴ω=，k∈z，0＜x0＜T，∴T＞1，∵T=＞1，∴ω＜2π，∴ω=，T=4故答案为：4由=1，结合向量数量积的坐标表示可求x0，然后由B在曲线y=2sinωx（ω＞0）上，代入可求ω=，k∈z，再结合0＜x0＜T，及周期公式可求．本题主要考查了正弦函数的性质及向量数量积的定义的坐标表示，属于中档试题16.【答案】8【解析】解：设直线l1，l2，的倾斜角分别为α，β，利用焦点弦弦长公式可得|AB|+|DE|=2p（+）=2（+）=2（1++1+）=2（2+）=2（2+）=8，∴则|AB|+|DE|的最小值为8．故答案为：8．．设直线l1，l2，的倾斜角分别为α，β，利用焦点弦弦长公式可得|AB|+|DE|=2（1++1+）=2（2+）|，利用基本不等式的性质，即可求得|AB|+|DE|的最小值．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）△ABC中，cos A=，∴sin A=，tan A=7，∵tan B=，∴tan C=-tan（A+B）===1，∵0＜C＜π，∴C=；法二：：△ABC中，cos A=，∴sin A=，∵sin B=，cos B=，∴cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B==，∵0＜C＜π，∴C=（2）∵=21，∴ac cos B=21，即ac=35①∵即∴②由①②得：a=7，c=5，又b2=a2+c2-2ac cos B=49+25-42=32，∴b=4．【解析】（1）法一：由已知可求tan A，tan B，然后由tan C=-tan（A+B）=可求；法二：由已知可求sin A，sin B，cos B，然后由cos C=-cos（A+B）=sin A sin B-cos A cos B可求；（2）由已知结合向量数量积的定义可求ac，然后由正弦定理可求a，c，再由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B可求b．本题主要考查了同角平方关系，和角的三角公式的应用，向量的数量积及正弦定理余弦定理的综合应用，属于中档试题．18.【答案】证明：（1）由题设知AM⊥ME，又ME⊥MF，AM∩MF=M，∴ME⊥平面AMF，∵AF⊂面AMF，∴AF⊥ME，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，点F，E分别是BC、CD的中点，∴AE2=42+2=18，EF2=22+2=6，AF2=8+22=12，∴AE2=EF2+AF2，∴AF⊥EF，∵ME∩EF=E，∴AF⊥平面MEF．解：（2）∵AF⊂平面ABCE，由（1）知面MFE⊥平面AFE，且∠AFE=90°，∴以F为原点，FE为x轴，FA为y轴，过F作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，在Rt△MFE中，过M作MN⊥EF于N，ME=，EF=，MF=2，∴MN==，FN=MF cos∠MFE==，∴A（0，2，0），E（，0，0），F（0，0，0），M（，0，），=（-,0，），=（），面AFE的一个法向量=（0，0，1），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，得=（1，），∴cos＜＞==，∴＜＞=．∴二面角M-AE-F的大小为．【解析】（1）推导出AM⊥ME，ME⊥MF，从而ME⊥平面AMF，进而AF⊥ME，再求出AF⊥EF，由此能证明AF⊥平面MEF．（2）以F为原点，FE为x轴，FA为y轴，过F作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AE-F的大小本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）设B小区的平均分为，则=45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05=67.5，∴B小区的平均分为67.5．（2）∵A小区得分为80～90分的频率为0.3，∴A小区被问卷调查的居民共有=150人．∵B小区得分为80～90分的频率为0.15，∴B小区被问巻调查的居民共有=100人，A小区不低于90分的居民共有150×0.1=15人，B小区不低于90分的居民共有100×0.05=5人，∴所有参加问卷调查的居民中得分不低于90分的频率为：=0.08．（3）B小区得分不低于80分的频率为0.15+0.05=，得分低于80分的概率为1-，张先生获得纪念品的总价值Y的可能取值为15，30，45，60，P（Y=15）=，P（Y=30）==，P（Y=45）==，P（Y=60）==，E（Y）=+=24．【解析】（1）由频率分布直方图能求出B小区的平均分．（2）A小区得分为80～90分的频率为0.3，从而求出A小区被问卷调查的居民共有150人，由B小区得分为80～90分的频率为0.15，从而求出B小区被问巻调查的居民共有100人，从而A小区不低于90分的居民共有15人，B小区不低于90分的居民共有5人，由此能求出所有参加问卷调查的居民中得分不低于90分的频率．（3）B小区得分不低于80分的频率为，张先生获得纪念品的总价值Y的可能取值为15，30，45，60，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．本题考查平均分、频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1，（a＞b＞0），半焦距为c，则A（a，0），M（0，b），F（c，0），∴（c，-b），（a-c，0），∵=，∴ac-c2=-1，又e==，a2=b2+c2，∴a2=2，b2=1．故椭圆的标准方程为+y2=1．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F为△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．∵M（0，1），F（1，0），∴k MF=-1，∴k PQ=1，设直线PQ的方程为y=x+m，代入到+y2=1得3x2+4mx+2m2-2=0，∴△=（4m）2-12（2m2-1）＞0，解得-＜m＜且m≠1∴x1+x2=-m，x1x2=，∵⊥，（1-x1，-y1），=（x2，y2-1）∴x2-x1x2+y1-y1y2=0，即（1-m）（x1+x2）-2x1x2+m-m2=0由根与系数的关系，得3m2+m-4=0．解得m=-或m=1（舍去）．故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为y=x-．【解析】（1）设椭圆的标准方程，且=，可得ac-c2=-1，再根据离心率，b2=a2-c2，即可得出．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=1．可设直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m2-2=0．又F为△PQM的垂心，可得⊥，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形垂心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解；（1）a=1时，f′（x）=1+=（x＞0），设g（x）=x2+1-ln x，则g′（x）=2x-=（x＞0），令g′（x）=0，解得：x=，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）≥g（）=-ln＞0，故f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）递增；（2）证明：f′（x）=（x＞0），∵f（x）存在极值点，∴f′（x）=0有大于0的根，即x2-a ln x+a=0有正根，设r（x）=x2-a ln x+a，r′（x）=（a＞0），令r′（x）=0，解得：x=，故r（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故r（x）min=r（）=a-a ln，又x→0+，r（x）→+∞，x→+∞，r（x）→+∞，故要r（x）=0有正根，r（x）min＜0，即a-a ln＜0，即a＞2e3，又∵x0是f（x）的极值点，f′（x）=0，即-a ln x0+a=0，故a ln x0=+a，f（x0）=x0+=x0+=2x0+≥2＞4．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，设r（x）=x2-a ln x+a，求出函数的最小值，从而证明结论．本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）将t=x-1代入y=+t得y=，所以倾斜角为，∴l的极坐标方程为θ=，l的普通方程为y=x．（2）A（2，）的直角坐标为（，1），A到直线l的距离d==1．【解析】（1）消去t得直线l的直角坐标方程，再用互化公式化成极坐标方程；（2）将A的极坐标化成直角坐标后，用点到直线的距离可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档．23.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜2，等价于或或，得x＜-或-≤x＜0，即f（x）＜2的解集是（-∞，0）；（Ⅱ）∵f（x）≤|（2x+3）-（2x-1）|=4，∴f（x）max=4，∴|3a-2|＜4，解得实数a的取值范围是（-，2）．【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

四川省凉山彝族自治州高考数学二模试卷(理科)

四川省凉山彝族自治州高考数学二模试卷(理科)

四川省凉山彝族自治州高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则||等于（）A . 5B .C .D .2. （2分）已知全集 ,集合 , ，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立；④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·拉萨期中) 下列图象中表示函数图象的是（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·山东模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为（）A . 2B . 3C .D .7. （2分）两条异面直线a，b在平面α上的投影不可能的是（）A . 一点和一条直线B . 两条平行线C . 两条相交直线D . 两个点8. （2分）(2018·兰州模拟) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《九章算术》中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的的值为，则输出的（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·长春模拟) 等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2 ， a4=16，则S4=（）A . 9B . 15C . 18D . 3010. （2分）蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离的军事基地和，测得红军的两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高一上·娄底期末) 直线5x﹣12y+8=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）A . 相离B . 相交C . 相切D . 无法判断12. （2分）命题“” 的否定是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与垂直，则m=________．14. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知展开式中所有项的系数之和为-4，则________；项的系数为________．15. （1分）等边三角形ABC的三个顶点在一个O为球心的球面上，G为三角形ABC的中心，且OG= ．且△ABC的外接圆的面积为，则球的体积为________．16. （1分） ________.三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分）已知向量 =（2cos2x，）， =（1，sin2x），函数f（x）= • ﹣1．（1）当x= 时，求|a﹣b|的值；（2）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；（3）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣， ]内的所有实数根之和．18. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（I）求该射手恰好命中两次的概率；（II）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．19. （10分） (2019高二下·上海月考) 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、CB的中点.（1）求证:PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成角的大小.20. （10分）(2016·北京文) 已知椭圆C： =1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．21. （15分）已知函数，．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）讨论函数的零点个数．22. （10分）在极坐标系下，已知直线（）和圆 .圆与直线的交点为 .（1）求圆的直角坐标方程，并写出圆的圆心与半径.（2）求的面积.23. （10分）(2017·潮州模拟) 设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞4；（2）若∀x∈（﹣∞，﹣），不等式a+1＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

四川省凉山州2021届高三二模数学(理科)试题

四川省凉山州2021届高三二模数学(理科)试题

2021年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）．1. 集合{}210A x x =->，{}21,B y y x x R ==-∈，则A B =（ ） A. ∅ B. （0，+∞）C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D分别求得集合A 、B ，根据交集运算法则，即可得答案.解：由题意得集合12A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，集合B R =，所以1A B 2x x ⎧⎫⋂=>⎨⎬⎩⎭，故选：D ． 2. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n a 的前5项和为520S =，56a =，则10a =（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12C通过解方程组得到1a 2=，d 1=，即得解.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，520S =，56a =，1545202a d ⨯∴+⨯=，146a d +=， 解得1a 2=，d 1=，则102911a =+=，故选：C ．3. 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+．在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A. 17B. 19C. 114D. 328C利用古典概型的概率公式求解.解：在不超过20的素数2，3，5，7，11，13，17，19中，随机地取两个不同的数，基本事件总数2828n C ==，其和等于20包含的基本事件有：(3,17)，(7,13)，∴其和等于20的概率是212814P ==．故选：C ． 方法点睛：利用古典概型概率公式求概率的一般步骤：（1）求出试验的所有基本事件的总数；（2）求出事件A 包含的基本事件的个数；（3）代入古典概型的概率公式.4. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C ，其长轴长为4，焦距为2，则C 的方程为（ ）A. 2211612x y +=B. 2211612x y +=或2211612y x +=C. 22143x y += D. 22143x y +=或22143y x += D由椭圆中a ，b ，c 的关系求出短半轴长b 的值，再按焦点位置分别写出所求方程.因椭圆C 中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则2a =，1c =，b ==当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为：22143x y+=， 当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为：22143y x +=．故选：D5. 已知数列{}n a 为等比数列，函数()log 212a y x =-+过定点()12,a a ，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，则10S =（ ） A. 44 B. 45 C. 46 D. 50B根据函数过定点可得12,a a ，即可求出n a ，n b ，根据等差数列求和公式即可求解. 函数log (21)2a y x =-+过定点(1,2)，11a ∴=，22a =，∴等比数列{}n a 的公比2q ，12n na ，2log 1n nb a n ∴==-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1010(09)452S ⨯+==，故选：B 6. 命题:p 实数x 、y 满足20230x y x y +->⎧⎨+-<⎩，命题:q x y >，则命题p 是q 的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要A画出不等式组所对应的平面区域，利用充分不必要条件的定义求解即可．20230x y x y +->⎧⎨+-<⎩对应的平面区域为：阴影部分ABC ，x y >表示的区域在直线y x =的下方，由图象知阴影部分ABC 都在y x =的下方，即p 是q 的充分不必要条件，故选：A ．7. 高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义．利用“学科对总分上线贡献率”100%⎫⎛⨯⎪⎝⎭双上线人数总分上线人数和“学科有效分上线命中率”100%⎫⎛⨯⎪⎝⎭双上线人数单上线人数这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．某州一诊考试划定总分一本线为465分，数学一本线为104分，某班一小组的总分和数学成绩如表，则该小组“数学学科对总分上线贡献率、有效分上线命中率”分别是（ ）（结果保留到小数点后一位有效数字） 学生编号1234567891011121314151617181920A. 41.7%，71.4%B. 60%，71.4%C. 41.7%，35%D. 60%，35%A由题知，双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人，进而根据题意求解即可；解：由图表知双过线人数为5人，单过线人数为7人，总分过线人数为12人；∴“学科对总分上线贡献率”为5100%41.7%12⨯≈， “学科有效分上线命中率”为5100%71.4%7⨯≈，故选：A ．本题考查统计的应用，考查数据分析与处理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知，读懂试题，在理解的基础上，进行数据分析处理计算.8. 已知函数()sin()sin (0)2 f x x x ππωωω⎫⎛=-++> ⎪⎝⎭，若()f x 在(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 30,8⎛⎤⎥⎝⎦B. 1560,,967⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C. 10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 3370,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的零点，求得ω的范围．函数sin()si ()n 2f x x x ππωω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭sin cos (0)4x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，(,2)x ππ∈，,2444x πππωωπωπ⎛⎫∴+∈++ ⎪⎝⎭， ()f x 在(,2)ππ内没有零点，2()44ππωπωππ∴+-+≤,01ω∴<≤,0124ωπωππ<≤⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩①，或014224ωπωπππωππ<≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪⎪+≤⎩②， 由①得308ω<≤，由②得3748ω≤≤．综上可得，308ω<≤，或3748ω≤≤.故选：D ．方法点睛：在求解三角函数的性质时，一般可以利用二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数的性质求解，把()sin()f x A x ωϕ=+中的x ωϕ+视作sin y x =中的x 进行求解．9. 已知函数31()12f x x ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，则12201920202021202120212021f f f f ⎫⎫⎫⎫⎛⎛⎛⎛++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭的值为（ ） A. 1 B. 2C. 2020D. 2021C设1m n +=，得到()()2f m f n +=，再利用倒序相加求和得解.解：函数31()12f x x ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，设1m n +=，则有1122m n ⎫⎛-=-- ⎪⎝⎭，所以3311()()11222f m f n m n ⎛⎫⎛⎫+=-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当1m n +=时，()()2f m f n +=，令12201920202021202120212021S f f f f ⎫⎫⎫⎫⎛⎛⎛⎛=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭， 所以12020202012220202021202120212021S f f f f ⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎫⎫⎛⎛⎛⎛=++⋅⋅⋅++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭⎣⎦⎣⎦， 故122019202020202021202120212021S f f f f ⎫⎫⎫⎫⎛⎛⎛⎛=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭．故选：C 方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10. 集合{}1,2,3,4A =，()y f x =是A 到A 的函数，方程()()()f x f f x =恰好有两个不同的根，且()()()()123410f f f +++=，则函数()y f x x =-的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 4C根据已知函数的定义分两类，①当是123410+++=或223310+++=或114410+++=这三种情况，②当是333110+++=或222410+++=这两种情况，然后分别求出零点即可． 解：函数()y f x =是A 到A 的函数，意思为1x =，2x =，3x =，4x =分别与1y =，2y =，3y =，4y =中的某一个对应，又()()()()123410f f f f +++=，①当是123410+++=或223310+++=或114410+++=这三种情况， 比如1对2，2对2，3对3，4对3，即()()()112f f f ==，()()()333f f f ==，有()22f =，()33f =两个零点， ②当333110+++=或222410+++=这两种情况，比如1对4，2对2，3对2，4对2，则()()()332f f f ==，()()()442f f f ==， 此时只有()22f =一个零点，故选：C ．关键点点睛：（1）理解()y f x =是A 到A 的函数的含义；（2）结合条件()()()()123410f f f +++=，合理分类讨论.11. 1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点，以12F F 为直径的圆依次与双曲线的渐近线交于A 、B 、C 、D 四点，1233AM AB AD =+，若直线MA ，MC 的斜率之积为12，则双曲线的离心率e =（ ） A. 2 B. 21+C.62D. 3C根据 1233AM AB AD =+，得到CM 的坐标，联立圆222x y c +=与双曲线的渐近线方程，求得AM ，然后再根据直线MA ，MC 的斜率之积为12求解. 如图所示：如图，CM MA CA +=，()CD CB CA AB AD +==-+， 因为1233AM AB AD =+， 所以1233CM CA AM AB AD AB AD =+=--++，2133AB AD =--，联立圆222x y c +=与双曲线的渐近线方程， 可得(),A a b -，(,)B a b ，()C ,a b -，(,)D a b --，()2,0AB a =，(0,2)AD b =-，24,33AM a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，42,33CM a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，4323AM b k a -∴=，2343CM b k a =-， 由题意，4213324233b ba a -⋅=-，即222ab =，2c e a ∴====．故选：C ． 12. 在ABC中，22sin 30A A --=，若B C <，m 0>，0n >，且()2221tan 2tan 10mB B m --+-=，2sin21C n +=，则有（ ）A. m n <B. m n >C. 1mn <D. 2mn >A求出84B C ππ<<<，4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，4n C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即得,m n 的大小；求出mn =sin()cos()B C B C ++-，即得mn 的大小.解：因为22sin 30A A --=，所以()221cos 30A A ---=，整理得)210A +=，即cos 2A =-， 由A 为三角形内角得34A π=，4B C π+=， 因为B C <， 所以84B C ππ<<<，04C B π<-<，又()2221tan 2tan 1--+-m B B m()()2211tan 2tan 0m B B =-+-=，所以222212sin 1sin 20cos cos cos m B m B B B B----==，所以21sin 2sin 452m B -=<︒=， 所以221sin 2(sin cos )m B B B =+=+，因为22sin 21(sin cos )n C C C =+=+，0m >，0n >，所以sin cos 4m B B B π⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，sin cos 4n C C C π⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，则m n <，所以A 正确，B 错误；(sin cos )(sin cos )mn B B C C =++sin sin sin cos sin cos cos cos B C B C C B B C =+++sin()cos()2B C B C =++-<，D 错误；又cos()cos42B C π->=，所以sin()cos()22B C B C ++->+=C 错误．故选：A ．关键点睛：解答本题的关键是通过三角恒等变换，求出4m B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，4n C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，三角恒等变换关键在于“三看（看角看名看式）”“三变（变角变名变式）”. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________(用数字作答).160写出62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求得常数项.62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：()6612rrrr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=6262r r r x C -=⋅⋅ 626(2)r r r C x -⋅=⋅，当620r -=， 解得3r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：3632208160C ⋅=⨯=.故答案为：160.关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C r n rr r n T ab -+=.14. 复数z 满足1z i +=，且2z z +=，则z =______． 1-i ．设复数z a bi =+，则22z z a +==，即可求得a 值，又1(1)z i=b i +++，代入求模公式，即可求得b 值，即可得答案.解：设复数z a bi =+，则22z z a bi a bi a +=++-==，解得1a =， 又(1)1(1)z i a b i b i +=++=++，且1z i +=，1=，解得1b =-， 所以1z i =-． 故答案为：1-i ．15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(2,3)A -，(3,4)B -，则BA 在OA OB +上的投影为______．-由题意求得BA ，OA OB +的坐标，代入投影公式，即可求得答案. 解：由题意得，(5,7)BA =-，()OA OB 1,1+=-，则BA 在OA OB +上的投影为cos ,BA BA OA OB <+>=()||BA OA OB OA OB ⋅+==-+故答案为：-．16. 已知三棱柱111 ABC A B C -，1AA ⊥面ABC ，P 为111 A B C △内的一点（含边界），且ABC 为边长为2的等边三角形，12AA =，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，下列命题正确的有______．①若P 为11A C 的中点时，则过A 、P 、B 三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形；②若P 为11A C 的中点时，三棱锥1P C MN -的体积36V =； ③若P 为11A C 的中点时，1NP//A B ；④若AP 与平面ABC 所成的角与P BC A --的二面角相等，则满足条件的P 的轨迹是椭圆的一部分． ①②对于①，取11B C 的中点Q ，连结PQ ，AP ，BP ,进而得//PQ AB ,根据几何关系得AP BQ =即可判断；对于②，过点N 作ND AC ⊥，垂足为D ，进而可证明ND ⊥平面11AAC C ，再结合等体积法求解即可；对于③，设1BC 的中点为E ，可得1PE //A B ，再根据PN PE P ⋂=即可判断；对于④，过点P 作PS ⊥平面ABC ，垂足为S ，连结AS ，过S 作SR BC ⊥与点R ，连结PR ，过点P 作11PT B C ⊥于点T ，连结1A P ，所以PRS ∠即为二面角P BC A --的平面角，所以PAS ∠即为PA 与平面ABC 所成的角，进而有1A P PT =，再结合抛物线的定义即可得判断. 解：对于①，取11B C 的中点Q ，连结PQ ，AP ，BP ，如图（1）所示， 则PQ 为111C A B 的中位线，所以11//PQ A B ， 因为11//A B AB ，所以//PQ AB ，故梯形ABQP 即为过A ，P ，B 三点的截面， 在1Rt AA P 中，22115AP AA A P =+=， 在1Rt BB Q 中，22115BQ BB B Q =+=，所以AP BQ =，故梯形ABQP 为等腰梯形，故选项①正确； 对于②，过点N 作ND AC ⊥，垂足为D ，如图（1）所示， 因为1AA ⊥平面ABC ，ND ⊂平面ABC ，所以1AA ND ⊥， 又1AC AA A =∩，所以ND ⊥平面11AAC C ， 所以N 到平面1PMC 的距离即为132ND BM ==， 所以11112PMC S PM PC =⋅⋅=△，则11113V 3P C MN N PMC PMC V SND --==⋅⋅=，故选项②正确； 对于③，设1BC 的中点为E ，如图（2）所示， 则PE 为11C A B △的中位线，所以1PE //A B ，因为PN PE P ⋂=，PN ⊄平面11C A B ，则PN 与1A B 不平行，故选项③错误； 对于④，过点P 作PS ⊥平面ABC ，垂足为S ，连结AS ， 过S 作SR BC ⊥与点R ，连结PR ， 过点P 作11PT B C ⊥于点T ，连结1A P ， 因为四边形1AA PS 为矩形，所以1AS A P =， 四边形PSRT 为矩形，所以SR PT =，因为PS BC ⊥，SR BC ⊥，且PS SR S ⋂=，所以BC ⊥平面PSR ， 又PR ⊂平面PSR ，所以BC PR ⊥， 所以PRS ∠即为二面角P BC A --的平面角，因为PS ⊥平面ABC ，所以PAS ∠即为PA 与平面ABC 所成的角， 所以PAS PRS ∠=∠，因为tan PS AS PAS =∠，tan PSSR PRS=∠，所以AS SR =，则有1A P PT =，所以点P 到定点1A 的距离等于点P 到定直线11B C 的距离，所以点P 的轨迹为抛物线（1A 为焦点，11B C 为准线），故选项④错误． 故正确的是①②． 故答案为：①②．本题考查二面角，线面角，几何体的截面图形，等体积法求体积等，考查空间想象能力，数学运算能力，推理论证能力，是中档题.本题解题的关键在于理解二面角的平面角，线面角等基本概念，根据已知条件，结合等体积法，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质定理等进行推理论证求解.三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21为必考题，每个考题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：每题12分，共60分17. 为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下22⨯列联表：已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．（1）将22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？ （2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的活动类型，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）填表见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为98．(1)由给定概率求出数学竞赛的人数，完善22⨯列联表，计算K 2的观测值并回答问题； (2)利用分层抽样算出8人中男女生人数，写出女生人数X 的所有可能值，计算出X 取每个值时的概率而得解.（1）由200名学生中抽取一人抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6，可得喜欢数学竞赛的总人数为2000.6120⨯=， 所以合计 120 80200()22200703050500.35 2.711201208080k ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯，∴没有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关；（2）由题意可知抽取不喜欢数学竞赛的男生有5人，女生有3人，X ∴的可能取值为0，1，2，3，()353810505628C P X C ====；()215338301515628C C P X C ====；()12533815256C C P X C ===；()33381356C P X C ===；所以X 的分布列为：X1 23P52815281556156()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直且长度分别为1，2，2，若()DC AB R λλ=∈，且向量PC 与BD 夹角的余弦值为1515．（1）求λ的值；（2）求二面角C PB D --的正弦值． （1）2λ=；（2）3． （1）建立空间直角坐标系，由DC AB λ=，得(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-代入15cos ,15PC BD =解得答案； （2）求出平面PBC 和PBD 的法向量，再求二面角C PB D --的余弦值从而求得正弦值． 解：（1）因为棱AB ，AD ，AP 两两垂直， 故以A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 因为1AB =，2AD =，2AP =，所以(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(0,0,0)A ， 所以(0,2,2)PD =-，(1,0,0)AB =，(0,2,0)AD =(0,2,2)PD =-，(1,0,0)AB =(0,2,0)AD =，因为()DC AB R λλ=∈，所以(,0,0)DC λ=，(,2,2)PC PD DC λ=+=-， 又(1,2,0)BD AD AB =-=-， 因为PC与BD 所以cos ,15||||5PC BD PC BD PC BD ⋅===，解得2λ=或10λ=， 当10λ=时，cos ,PC BD =-，不符合题意， 所以2λ=；（2）由（1）可知，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =-，(1,0,2)PB =-， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，则1,2=-=y x ，，所以(2,1,1)n =-， 设平面PBD 的法向量为(,,)m a b c =，则有00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220a c b c -=⎧⎨-=⎩，令1c =，则2,1a b ==，所以(2,1,1)m =， 所以2cos ,3n m n m n m⋅==， 故二面角C PB D --225133⎛⎫-= ⎪⎝⎭．本题主要考查用向量求解空间几何体的线线关系、面面关系，关键是坐标运算、公式运用要正确．19. 如图在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若)3sin sin sin 2sin sin a A c C b B a B C +-=．（1）求角B ；（2）若在线段AC 上存在一点D ，使得2BD =，E 为BD 延长线上一点，CE BE ⊥，31CD =，332CE =，求ABC 的面积． （1）3π；（2933-（1）利用正弦定理角化边可得余弦定理形式，得到cos 3B =tan B ，根据B 的范围可求得结果；（2）由长度关系可求得3CDE π∠=，从而得到cos CDB ∠，在BCD △中利用余弦定理可求得BC ，由正弦定理求得2sin 2BCD ∠=；在ABC 中，利用正弦定理求得AB ，由三角形面积公式可求得结果. （1）由正弦定理知：sin sin sin a b cA B C==， ()3sin sin sin 2sin sin a A c C b B a B C +-=，)22232sin a c b ac B ∴+-=，即222cos 23a cb B ac +-==，sin tan 3cos BB B ∴==， 0,2B π⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，3B π∴=；（2）在Rt CDE 中，3332sin 31CE CDE CD -∠===-，3CDE π∴∠=，()1cos cos cos 2CDB CDE CDE π∴∠=-∠=-∠=-，在BCD △中，由余弦定理知：2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠))21412212⎫⎛=+--⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭6=，BC ∴=，由正弦定理知：sin sin BD BC BCD CDB=∠∠，即2sin 2BCD=∠，sin 2BCD ∴∠=BCD ∠为锐角，cos 2BCD ∴∠=， ()sin sin A BCD ABC ∴=∠+∠sin cos cos sin BCD ABC BCD ABC=∠⋅∠+∠⋅∠1222=+⨯=， 在ABC 中，由正弦定理知：sin sin AB BC BCD A=∠∠=，AB ∴=ABC ∴的面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅(19222-=⨯=. 关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，解题关键是能够将所需的线段放入三角形中，利用正余弦定理求得所需的线段长度和角度.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>，过C 的焦点F 的直线1l 与抛物线交于,A B 两点，当1l x ⊥轴时，AB 4=．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点F 的另一条直线l 与C 交于,M N 两点，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，若()12100k k k +=>，且3AMFBMNSS=，求直线1l 的方程．（1）24y x =；（2）)221y x =-． （1）联立1:2pl x =与抛物线方程可取得,A B 坐标，由AB 4=构造方程可求得p ，由此可得抛物线方程；（2）设直线()11:1k l y x =-，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由12k k =-可推导得到2AMFBFMSS=，进而得到2AF BF =，由抛物线定义可得到2121x x =+，代入121=x x 可求得12,x x ，进一步代入12x x +可构造方程求得1k ，由此得到结果.（1）由题意得：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1l x ⊥轴时，直线1l 的方程为2p x =，联立222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩得：y p =±，,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24AB p ∴==，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由（1）可知：()1,0F ，设直线1l 的方程为()11y k x =-，联立()1214y k x y x⎧=-⎨=⎩得：()2222111240k x k x k -++=， 则()222211124416160k k k ∆=+-=+>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，11212224k x x k +∴+=，121=x x ； 120k k +=，12k k ∴=-，直线2l 与抛物线交于点,M N ，A ∴与N 关于x 轴对称，M 与B 关于x 轴对称，3AMF BMN S S =，AMF BNF S S =，3AMF AMF BFM S S S ∴=+，即2AMF BFM S S =，2AF BF ∴=， 由抛物线定义可得：11AF x =+，21BF x =+，12221x x +∴=+，即2121x x =+，代入121=x x 得：()11211x x +=，解得：112x =或1-（舍去）， 211212122x x ∴=+=⨯+=， 2112212452k x x k +∴+==，解得：218k =，又10k >，1k ∴= ∴直线1l的方程为)1y x =-．关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，第二问求解直线方程的关键是能够根据120k k +=推导得到2AF BF =，从而利用抛物线定义求得,A B 的横坐标，利用韦达定理构造方程求得所求的直线斜率.21. 已知函数2()ln f x x ax =+，()ln ax g x e x ax =+．（1）讨论函数()()(2)h x f x a x =++的单调区间；（2）是否存在正数a 使得关于x 的方程()()0f x g x -=在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根？如果有，求出a 的取值范围；如果没有，请说明理由．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）存在；10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）首先求函数的导数()()()()2110x ax h x x x ++'=>，再分0a ≥和0a <两种情况讨论函数的单调性；（2）首先将方程变形为11ln ax e x ax x --=，设函数()x 1F x (x 1)ln x -=>，得()()F ax F e x =，由函数的单调性可得ax e x =，即ln ax x =在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，利用参变分离，ln x a x=，结合函数的图象，求实数a 的取值范围. （1）由已知可得()()()()2x 1ax 11x 2ax a 2(x 0)x xh ++=+++=>'， 当0a ≥时，()0h x '>，()h x (0,)+∞上单调递增； 当0a <时，令()0h x '=，得1x a=-， 当10,x a ⎫⎛∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当1,x a ⎫⎛∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减． 综上可得，当0a ≥时，(x)h 的单调递增区间为()0,∞+；当0a <时，(x)h 的单调递增区间为10,a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎫⎛-+∞ ⎪⎝⎭． （2）方程()()0f x g x -=在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，等价于方程2ln ln ax x ax e x ax +=+在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，因为0a >，即等价于方程11ln ax e x ax x--=在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根， 令函数()x 1x (x 1)ln F x -=>，则()21ln x 1x x ln xF -+='， 令1()ln 1(1)G x x x x =-+>，则22111()0x G x x x x-'=-=>， ()G x ∴在(1,)+∞单调递增，()(1)0G x G >=，()x 0F ∴'>，()x F 在(1,)+∞单调递增， 故方程11ln ax e x ax x--=在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根， 等价于方程()()ax e x F F =在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，等价于方程ax e x =在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，等价于方程ln ax x =在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，等价于方程ln x a x=在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根 令ln ()(1)x m x x x=>，则()21ln x x 0x m -'==，解得x e =， 当(1,)x e ∈时，()m x 递增，当(,)x e ∈+∞时，()m x 递减，且()1e m e =()m x 的图象如下：根据图象可得存在正数a 使得关于x 的方程()()0f x g x -=在区间(1,)+∞上恰有两个不等实数根，a 的取值范围为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 关键点点睛：本题第二问的关键是方程两边变形为统一形式，即11ln ax e x ax x--=，从而得到()()ax h e h x =，这样后面的分析就迎刃而解.选做题：（共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．）[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，22ππα-<<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28(0)53cos2ρθπθ=<<-． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）在直角坐标系xOy 中，倾斜角为4π的直线过点(0,1)-，分别与1C ，2C 交于A ，B 两点，求AB ．（1）()2210x y x +=>；()221014x y y +=<≤；（2． （1）根据22sin cos 1αα+=消去参数化为普通方程，并根据参数取值范围求得直角坐标方程的变量范围，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数范围转化为变量范围；（2）由题写出直线方程1y x =-，分别与圆和椭圆联立，求得交点坐标，利用两点间距离公式求得AB .解：（1）曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，22ππα-<<），转换为普通方程为()2210x y x +=>． 曲线2C 的极坐标方程为28(0)53cos2ρθπθ=<<-，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩， 整理得：()()2222222225312sin 826sin 8268x y y ρρθρρθ--=⇔+=⇒++=， 转换为直角坐标方程为()221014x y y +=<≤． （2）倾斜角为4π的直线过点(0,1)-，整理得1y x =-， 由于直线与分别与1C ，2C 交于A ，B 两点，所以2211y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩（舍去），22114y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩（舍去）或8535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故5AB ==． 关键点点睛：利用定义进行消参，转化方程，注意原参数转化为直角方程时的取值范围.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()2132f x x x =-+-．（1）解不等式()4f x ≤；（2）已知()min 35f x a b c =++（a 、b 、c 均为正实数），求222a b c ++的最小值．（1）412,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）435． （1）分1x <、12x ≤≤、2x >三种情况解不等式()4f x ≤，综合可得出原不等式的解集； （2）求得()min 352f x a b c =++=，利用柯西不等式可求得222a b c ++的最小值.（1）当1x <时，()()()2132854f x x x x =-+-=-≤，解得45x ≥，此时415x ≤<； 当12x ≤≤时，()()()213244f x x x x =-+-=-≤，解得0x ≥，此时12x ≤≤；当2x >时，()()()2132584f x x x x =-+-=-≤，解得125x ≤，此时1225x <≤. 综上所述，不等式()4f x ≤的解集为412,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当1x <时，()853f x x =->；当12x ≤≤时，()[]42,3f x x =-∈；当2x >时，()582f x x =->.综上所述，()min 352f x a b c =++=，又a 、b 、c 是正实数，由柯西不等式得()()()222222213535a b c a b c ++++≥++，()2222222(35)435135a b c a b c ++∴++≥=++（当且仅当235a =，635b =，27c =时，等号成立） 222a b c ∴++的最小值为435．。

四川省凉山州高三数学二诊试卷理(含解析)

四川省凉山州高三数学二诊试卷理(含解析)

四川省凉山州高三数学二诊试卷理（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={y=|y=log x，x≥1}，A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{1，2，0}2．设=1（a，b∈R，i为虚数单位），则|a+bi|的值为（）A．2 B． C．3 D．53．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，c=，则∠C=（）A．120°B．60° C．45° D．30°4．实数a，b，则（a+b）（1+a）＞0，是＜1恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若（x﹣1）100=a0x100+a1x99+…+a100对一切实数x恒成立，则a3+a97的值为（）A．0 B．C C．﹣2C D．21006．执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图所示是一个几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为1的正三角形，俯视图是两个边长为1的正三角形拼成的菱形，则其体积为（）A．B．C．D．18．设P（x，y）满足，点A（2，0），B（0，3），若=λ+μ，O是坐标原点，则λ+μ的取值范围是（）A．[2，4] B．[，] C．[，2] D．[1，2]9．点P在直线3x+4y﹣10=0上，过点P作圆x2+y2=1的切线，切点为M，则•（O是坐标原点）的最小值是（）A．2 B．C．D．310．设f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（0，e）B．（0，e2）C．（0，） D．（0，）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线为x+y=0，则离心率e= ．12．已知球的内接正方体的棱长为1，则该球的表面积为．13．两人坐在一排有6个椅子的位置上，恰好有2个连续的空位的坐法数为．14．设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）且β﹣α=，则在方向上的投影为．15．设F（a，b）=，有关F（a，b）有以下四个命题：①∃a0，b0∈R，使得F（a0，b0）＜0；②若a，b，c∈R，则F（a，b）+F（b，c）≥F（c，a）；③不等式F（x，2）≤F（1﹣x，1）的解集是[1，+∞）；④若对任意实数x，m[F（x，﹣2）+F（x，2）]＞2m+6恒成立，则m的取值范围是[1，+∞）．则所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于125分为优秀．（1）若用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（2）在（1）中抽取的20名学生中，要随机抽取2名学生参加分析座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望．区间人数[115，120）25[120，125） a[125，130）175[130，135）150[135，140） b17．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知：∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC，直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为．O为BC的中点．（1）证明：SA⊥BC；（2）求二面角O﹣SA﹣B的大小．18．已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若存在实数t∈[0，]，使得sf（t）﹣2=0成立，求实数s的取值范围．19．设数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+（n+1）3n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}中的最大项的值．20．设椭圆+=1（a＞b＞0）．（1）若F，A分别是椭圆的右焦点，右顶点，H是直线x=与x轴的交点，设=f（e）（e为椭圆的离心率），求f（e）的最大值；（2）若点P（x0，y0）是椭圆上任意一点，从原点O作圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为k1，k2，求k1k2的值．21．设f（x）=lnx+ae﹣x，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x﹣y﹣10=0平行，求a的值；（2）若函数y=f（x）为定义域上的增函数，求a的取值范围；（3）若a=﹣1，求证：f（x）+＞0．2016年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={y=|y=log x，x≥1}，A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{1，2，0}【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件先求集合B，再由交集的运算法则计算A∩B．【解答】解：设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={y=|y=log x，x≥1}=（﹣∞，0]，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．设=1（a，b∈R，i为虚数单位），则|a+bi|的值为（）A．2 B． C．3 D．5【考点】复数求模．【分析】问题转化为：a﹣5﹣（b+2）i=0，求出a，b的值即可．【解答】解：∵=1（a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣2i=5+bi，则a﹣5﹣（b+2）i=0，∴a=5，b=﹣2，|a+bi|==，故选：B．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，c=，则∠C=（）A．120°B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，结合C的范围即可得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=1，b=2，c=，∴cosC===﹣．∵C∈（0，180°），∴C=120°．故选：A．4．实数a，b，则（a+b）（1+a）＞0，是＜1恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】＜1，即＞0，化为0⇔（a+b）（1+a）＞0，即可判断出结论．【解答】解：＜1，即＞0，化为0⇔（a+b）（1+a）＞0，∴（a+b）（1+a）＞0，是＜1恒成立的充要条件．故选；C．5．若（x﹣1）100=a0x100+a1x99+…+a100对一切实数x恒成立，则a3+a97的值为（）A．0 B．C C．﹣2C D．2100【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式定理，求出a3、a97的值，再计算a3+a97的值．【解答】解：∵（x﹣1）100=a0x100+a1x99+…+a100，∴a3=﹣，a97=﹣=﹣，∴a3+a97=﹣2．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟执行程序，可得n=1，S=0满足条件S＜100，S=3，n=2满足条件S＜100，S=3+32，n=3满足条件S＜100，S=3+32+33=39，n=4满足条件S＜100，S=3+32+33+34=120，n=5不满足条件S＜100，退出循环，输出n的值为5．故选：C．7．如图所示是一个几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为1的正三角形，俯视图是两个边长为1的正三角形拼成的菱形，则其体积为（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两个对称的三棱锥组成的．根据已知数据即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两个对称的三棱锥组成的．该几何体的体积=2××=．故选：C．8．设P（x，y）满足，点A（2，0），B（0，3），若=λ+μ，O是坐标原点，则λ+μ的取值范围是（）A．[2，4] B．[，] C．[，2] D．[1，2]【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可以作出不等式组所表示的平面区域，而由可以得到，从而得到，可设，可变成，从而该方程表示斜率为的一族平行直线，直线在y轴上的截距最小时z最小，截距最大时z最大，从而结合图形便可求出z的最大、最小值，即得出λ+μ的取值范围．【解答】解：如图，不等式组所表示的区域为图中阴影部分：由得，（x，y）=λ（2，0）+μ（0，3）；∴；∴；设，则，表示斜率为的一族平行直线，3z为直线在y轴上的截距；由图形看出，当直线过C（1，1）时，截距最小，即z最小；此时，∴z的最小值为；当直线过D（3，1）时，截距最大，即z最大；此时，∴z的最大值为；∴λ+μ的取值范围为．故选：B．9．点P在直线3x+4y﹣10=0上，过点P作圆x2+y2=1的切线，切点为M，则•（O是坐标原点）的最小值是（）A．2 B．C．D．3【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】作出图形，可得到，从而问题转化为求PO的最小值，而O到直线3x+4y﹣10=0的距离便是PO的最小值，根据点到直线的距离公式便可求出PO的最小值，从而得出的最小值．【解答】解：如图，==PO2﹣1；PO的最小值为O到直线3x+4y﹣10=0的距离：；∴的最小值为3．故选：D．10．设f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（0，e）B．（0，e2）C．（0，） D．（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，可得ax+1=|lnx|有三个不同的零点，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，由f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，可得ax+1=|lnx|有三个不同的零点，画出函数y=|lnx|的图象，直线y=ax+1过定点（0，1），当x＞1时，设过（0，1）的直线与y=lnx的切点为（x0，lnx0），由y=lnx，得y′=，∴y′=，切线方程为，把（0，1）代入得：﹣lnx0=﹣1，即x0=e．∴，即直线y=ax+1的斜率为a=．则使f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点的a的取值范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线为x+y=0，则离心率e= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件解得b=，求得c，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程为y=±x，由渐近线方程x+y=0，即y=﹣x，可得=，解得b=，c===，可得e==．故答案为：．12．已知球的内接正方体的棱长为1，则该球的表面积为3π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由球的内接正方体棱长为1，先求内接正方体的对角线长，就是球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：∵球的内接正方体的棱长是1，∴它的对角线长为，∴球的半径R=，∴这个球的表面积S=4π（）2=3π．故答案为：3π．13．两人坐在一排有6个椅子的位置上，恰好有2个连续的空位的坐法数为 6 ．【考点】计数原理的应用．【分析】假设这6个椅子的顺序为，1，2，3，4，5，6，分类讨论即可．【解答】解：假设这6个椅子的顺序为，1，2，3，4，5，6，若1，2连续，则3，5必须有人，故有2种，若3，4连续，则1，5必须有人，故有2种，若5，6连续，则2，4必须有人，故有2种，故共有2+2+2=6种，故答为：6．14．设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）且β﹣α=，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出和，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β﹣α）=．||=||=1，∴在方向上的投影为=．故答案为：．15．设F（a，b）=，有关F（a，b）有以下四个命题：①∃a0，b0∈R，使得F（a0，b0）＜0；②若a，b，c∈R，则F（a，b）+F（b，c）≥F（c，a）；③不等式F（x，2）≤F（1﹣x，1）的解集是[1，+∞）；④若对任意实数x，m[F（x，﹣2）+F（x，2）]＞2m+6恒成立，则m的取值范围是[1，+∞）．则所有正确命题的序号是②③．【考点】分段函数的应用．【分析】函数实际为a﹣b的绝对值的2倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可；④用了恒成立问题的转换，只需求出左侧的最小值即可．【解答】解：F（a，b）=，∴F（a，b）≥0，故①错误；②根据绝对值不等式定理可知正确；③根据绝对值不等式的性质可转化为（x﹣2）2≤x2，解得：解集是[1，+∞），故正确；④根据绝对值不等式定理可得4＞，解得m的取值范围是（1，+∞），故错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于125分为优秀．（1）若用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（2）在（1）中抽取的20名学生中，要随机抽取2名学生参加分析座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望．区间人数[115，120）25[120，125） a[125，130）175[130，135）150[135，140） b【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩不小于125分的频率，由此能求出成绩为优秀的学生人数．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得成绩不小于125分的频率为：1﹣（0.01+0.04）×5=0.75，∴用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，其中成绩为优秀的学生人数为：20×0.75=15．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX==．17．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知：∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC，直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为．O为BC的中点．（1）证明：SA⊥BC；（2）求二面角O﹣SA﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AO，由SB=SC，得SO⊥BC，由余弦定理求出AO，根据勾股定理的逆定理可证AO⊥BC，于是BC⊥平面SAO，得出SA⊥BC．（2）由侧面SBC⊥底面ABCD得SO⊥平面ABCDSO为棱锥的高，由勾股定理计算DO，由于sin，求出SO．以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出，二面角O﹣SA﹣B的大小．【解答】证明：（1）连结AO，∵SB=SC，O是BC中点，∴SO⊥BC，∵AB=2，BO=BC=，∠ABC=45°，∴AO==，∴AO2+OB2=AB2，∴OB⊥OA，又AO⊂平面SAO，SO⊂平面SAO，AO∩SO=O，∴BC⊥平面SAO，∵SA⊂平面SAO，∴SA⊥BC．解：（2）∵SO⊥平面ABCD，∴∠SDO是SD与平面ABCD所成角，SO⊥OD，∵直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为．∴sin，∴tan∠SDO==，∵AO⊥BC，AD∥BC，∴AD⊥AO，∴OD==，SO=OD•tan∠SDO=1，以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），B（0，，0），S（0，0，1），=（，0，﹣1），=（0，，﹣1），设平面SAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），平面SOA的一个法向量=（0，1，0），cos＜＞==，∴二面角O﹣SA﹣B的大小为．18．已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若存在实数t∈[0，]，使得sf（t）﹣2=0成立，求实数s的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成cos2x，最后根据余弦函数的对称性求出对称轴方程即可；（2）根据t的范围，求出2t的范围，再结合余弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x=[2（sinxcos+cosxsin）+sinx]cosx﹣sin2x=[﹣sinx+cosx+sinx]cosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos2x，由2x=kπ，得：x=，（k∈z），∴f（x）图象的对称轴方程是：x=，（k∈z），（2）当t∈[0，π]时，2t∈[0，π]，cos（2t）∈[﹣，1]，从而f（t）∈[﹣，]，由sf（t）﹣2=0可知：s≥或s≤﹣．19．设数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+（n+1）3n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}中的最大项的值．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）由a n+1=a n+（n+1）3n，可得a n+1﹣a n=（n+1）3n．利用“累加求和”、“错位相减法”即可得出．（2）b n==（2n﹣1）＞0， =，对n分类讨论，即可得出单调性．【解答】解：（1）∵a n+1=a n+（n+1）3n，∴a n+1﹣a n=（n+1）3n．∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n•3n﹣1+（n﹣1）•3n﹣2+…+2×3，则3a n=n•3n+（n﹣1）•3n﹣1+…+2×32，∴﹣2a n=2×3+32+33+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n=+，∴a n=﹣．当n=1时也成立，∴a n=﹣．（2）b n==（2n﹣1）＞0，∴==，由于（6n+3）﹣（8n﹣4）=7﹣2n，可得n=1，2，3时，b n+1＞b n；当n≥4时，b n+1＜b n．∴数列{b n}中的最大项为b4，可得b4==．20．设椭圆+=1（a＞b＞0）．（1）若F，A分别是椭圆的右焦点，右顶点，H是直线x=与x轴的交点，设=f（e）（e为椭圆的离心率），求f（e）的最大值；（2）若点P（x0，y0）是椭圆上任意一点，从原点O作圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为k1，k2，求k1k2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得H（，0），O（0，0），F（c，0），A（a，0）求得|FA|=a﹣c，|OH|=，运用离心率公式可得f（e）=e﹣e2，配方即可得到所求最大值；（2）将P的坐标代入椭圆，可得y02=（a2﹣x02）①，再由直线y=kx与圆相切，可得d=r，化简整理可得k的二次方程，运用韦达定理，可得k1k2，代入①，化简整理即可得到定值．【解答】解：（1）由题设，H点的坐标为H（，0），O（0，0），F（c，0），A（a，0）∴|FA|=a﹣c，|OH|=，f（e）===﹣=e﹣e2=﹣（e2﹣e）=﹣（e﹣）2+，∴当e=时，f（e）取得最大值，且为；（2）由点P（x0，y0）是椭圆上任意一点，可得+=1，即为y02=（a2﹣x02），①∵直线y=kx与圆相切，∴d=r，即=，整理可得（a2b2﹣x02（a2+b2））k2+2x0y0（a2+b2）k+a2b2﹣y02（a2+b2）=0，即有k1k2=，代入①，化简可得k1k2=﹣．21．设f（x）=lnx+ae﹣x，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x﹣y﹣10=0平行，求a的值；（2）若函数y=f（x）为定义域上的增函数，求a的取值范围；（3）若a=﹣1，求证：f（x）+＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出a的值．（2）求出导数，求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可．（3）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，求出f（x）=xlnx的最小值，只要求函数G（x）=﹣的最大值进行比较即可得证．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+ae﹣x，x＞0∴f′（x）=﹣ae﹣x，∵曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x﹣y﹣10=0平行，∴f′（1）=1﹣ae﹣1=2，解得a=﹣e，（2）由（1）知，f′（x）=﹣ae﹣x，∵函数y=f（x）为定义域上的增函数，∴f′（x）=﹣ae﹣x＞0，在（0，+∞）上恒成立，∴a＜，设g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）＞0时，即x＞1时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即0＜x＜1时，函数单调递减，∴g（x）min=g（1）=e，∴a＜e，（3）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣e﹣x，要证f（x）+＞0，只要证xlnx＞﹣，f（x）=xlnx的导数为1+lnx，当x＞时，f（x）递增，x＜时，f（x）递减，即有x=时，取得最小值﹣；设G（x）=﹣，则G'（x）=，当0＜x＜1时，G（x）递增；当x＞1时，G（x）递减．则有x=1处取得最大值﹣，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞﹣，即f（x）+＞0．。

四川省凉山州届高考数学二诊试卷(理科)Word版含解析

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2017年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z满足1+i=（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A={x∈R|x﹣1＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，若数列{a n}的前n项之积为T n，且T5=1024，则该数列的公比的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±34．函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到g（x）=cos（ωx+）的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定为“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题C．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分必要条件D．若非零向量、满足|，则与共线6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42]B．（20，30） C．（20，30]D．（20，42）7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．[2，] B．[，]C．（0，]D．[，]9．设函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，数列{a n}的前n项和S n最大时，n=（）A．15 B．16 C．17 D．1810．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，前后两杆相距BD=1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F ，人眼著地观测到岛峰，A 、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，则山峰的高度AH=（）步（古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步）A．1250 B．1255 C．1230 D．120011．设M、N是直线x+y﹣2=0上的两动点，且|MN|=，则•的最小值为（）A．1 B．2 C．D．12．设函数f（x）=，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，则e•e的最大值为（）A．B．2（ln2﹣1）C．D．ln2﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+）5的展开式中x2项的系数是．14．已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为．15．抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，则直线AF的斜率为．16．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）2017年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查．调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下：非常好好观众对凉山分会场表演的看法中国人且非四川（人数比例）四川人（非凉山）（人数比例）凉山人（人数比例）（1）从这三类人群中各选一个人，求恰好有2人认为“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）=sinAcosB﹣sinBcosA．（1）求证：A=B；（2）若A=，a=，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在三棱锥C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．（1）求AN的长；（2）求锐二面角P﹣NC﹣A的余弦值．20．（12分）设椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，其离心率e=，且点F2到直线+=1的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）设点P（x0，y0）是椭圆E上的一点（x0≥1），过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=，其中m，n，k∈R．（1）若m=n=k=1，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数m的取值范围；（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在两个极值点x1、x2，求证：＜f（x1）+f（x2）＜．请考生在22、23两题选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点Q是曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2017年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．复数z满足1+i=（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由1+i=，得=，∴z在复平面内对应的点的坐标为（，﹣1），位于第三象限角．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合A={x∈R|x﹣1＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的解法化简集合A，B，C，再利用集合的运算性质、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：集合A={x∈R|x﹣1＞0}={x|x＞1}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}，A∪B={x|x＜0，或x＞1}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，若数列{a n}的前n项之积为T n，且T5=1024，则该数列的公比的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵首项a1=1，T5=1024，∴15×q1+2+3+4=1024，即q10=210，解得q=±2．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到g（x）=cos（ωx+）的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意可得可得函数的周期为π，即=π，求得ω=2，可得f（x）=sin （2x+）．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即：=π，可得：ω=2，可得：f（x）=sin（2x+）．再由函数g（x）=cos（2x+）=sin[﹣（2x+）]=sin[2（x+）+]，故把f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）=cos（2x+）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了转化思想，属于基础题．5．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定为“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题C．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分必要条件D．若非零向量、满足|，则与共线【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由特称命题的否定为全称命题，即可判断A；由A=150°，可得sinA=，再结合原命题与逆否命题等价，即可判断B；由a1＜0，0＜q＜1，即可判断C；再由向量共线的条件，即可判断D．【解答】解：对于A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定为“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故A错；对于B，命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”为假命题，比如A=150°，则sinA=．再由原命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故B错；对于C，设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”推不出“{a n}为递增数列”，比如a1＜0，不为增函数；反之，可得0＜q＜1．故不为充分必要条件，故C错；对于D，若非零向量、满足|+|=||+||，则，同向，则与共线，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定、四种命题的真假、充分必要条件的判断和向量共线的条件，考查判断和推理能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42]B．（20，30） C．（20，30]D．（20，42）【考点】程序框图．【分析】由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值．【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=0+2，k=2；第二次运行S=0+2+4，k=3；第三次运行S=0+2+4+6，k=4；第四次运行S=0+2+4+6+8，k=5；第五次运行S=0+2+4+6+8+10，k=6∵输出k=6，∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30，∴m的取值范围为20＜m≤30．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：根据三视图得出空间几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×2=6，高h=3，故体积V==6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．[2，] B．[，]C．（0，]D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出的范围，化简目标函数，转化为函数的值域，求解即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：由图形可知：的最小值：K OB，最大值是K OA，由解得A（2，3），由可得B（3，），K OB=，K OA=，则=，令t=，t∈，g（t）=+t≥2，等号成立的条件是t=1，1∈[，]，当t=时，g（）=，当t=时，g（）=，可得=∈[，]．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．9．设函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，数列{a n}的前n项和S n最大时，n=（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】数列的求和．【分析】求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再计算f（1），f（8），f（16），f（17）的符号，即可得到所求数列{a n}的前n项和S n最大时，n的值．【解答】解：函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，x＞0导数为f′（x）=+15﹣2x==，当x＞8时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得x=8处f（x）取得极大值，且为最大值，f（8）=8ln8+120﹣64＞0，由a n=f（n），n∈N+，可得f（1）=15﹣1=14＞0，f（16）=8ln16+15×16﹣162=8ln16﹣16＞0，f（17）=8ln17+15×17﹣172=8ln17﹣34＜0，由单调性可得a1，a2，…，a16都大于0，a17＜0，则数列{a n}的前n项和S n最大时，n=16．故选：B．【点评】本题考查数列前n项和的最值，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．10．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，前后两杆相距BD=1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，则山峰的高度AH=（）步（古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步）A．1250 B．1255 C．1230 D．1200【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据“平行线法”证得△BCF∽△HAF、△DEG∽△HAG，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解线段AH的长度．【解答】解：∵AH∥BC，∴△BCF∽△HAF，∴，又∵DE∥AH，∴△DEG∽△HAG，∴，又∵BC=DE，∴，即，∴BH=30750（步）=102.5里，又∵，∴AH==1255（步）．故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，能够熟练运用三角形的相似解决是关键．11．设M、N是直线x+y﹣2=0上的两动点，且|MN|=，则•的最小值为（）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设M（m，2﹣m），N（n，2﹣n），且m＞n，运用两点的距离公式可得m﹣n=1，再由向量的数量积的坐标表示，转化为n的二次函数，配方即可得到所求最小值．【解答】解：设M（m，2﹣m），N（n，2﹣n），且m＞n，由|MN|=，可得=，可得m﹣n=1，即m=1+n，则•=mn+（2﹣m）（2﹣n）=2mn+4﹣2（m+n）=2n（1+n）+4﹣2（1+2n）=2（n2﹣n+1）=2[（n﹣）2+]≥，当n=，m=时，可得•的最小值为，故选：D．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，注意运用转化思想，运用二次函数的最值求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，则e•e的最大值为（）A．B．2（ln2﹣1）C．D．ln2﹣1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（f（x））的解析式，根据f（f（x））的函数图象判断x1，x2的范围和两根的关系，构造函数h（x1）=e•e，求出h（x1）的最大值即可．【解答】解：令g（x）=f（f（x））=，∵y=f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）=f（f（x））在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．做出g（x）=f（f（x））的函数图象如图所示：∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1≤﹣1，x2≥0，且f（x1）=f（x2），即x12=e．∴e•e=e•x12，令h（x1）=e•x12，则h′（x1）=e（x12+2x1）=e•x1•（x1+2），∴当x1＜﹣2时，h′（x1）＞0，当﹣2＜x1＜﹣1时，h′（x1）＜0，∴h（x1）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴当x1=﹣2时，h（x1）取得最大值h（﹣2）=．故选C．【点评】本题考查了根的个数与函数图象的关系，函数单调性判断与函数最值的计算，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数是15．【考点】二项式系数的性质．【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，即可求得（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数．【解答】解：（1+x）（1+）5=（1+x）（1+5+10x+10x+5x2+），∴展开式中x2项的系数是：5+10=15．故答案为：15．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．14．已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为．【考点】模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，则，即可得出结论．【解答】解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则，∴S=．故答案为．【点评】本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题．15．抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，则直线AF的斜率为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，求出A的横坐标，然后求解斜率．【解答】解：由题可知焦点F（1，0），准线为x=﹣1设点A（x A，y A），∵抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4，∴点A到其准线的距离为4，∴x A+1=4，∴x A=3，∴y A=±2∴点A（3，），∴直线AF的斜率为，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．16．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是（，）．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】设a，b，c 分别为a，aq ，aq2．则有⇒⇒．化简sinA （+）=q即可【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B ，∠C所对的边分别为a，b，c，∵a，b，c成等比数列，sin2B=sinAsinB设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有⇒⇒．sinA（）=sinA（）=sinA=∴sinA（+）的取值范围是：（，）【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、等比中项，及三角形三边的数量关系，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•凉山州模拟）2017年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查．调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下：非常好好观众对凉山分会场表演的看法中国人且非四川（人数比例）四川人（非凉山）（人数比例）凉山人（人数比例）（1）从这三类人群中各选一个人，求恰好有2人认为“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设事件“恰好有2人认为“非常好””为A，利用互相独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，则其中认为“非常好”的人数为6，认为“好”的人数为3．在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，则ξ的可能取值为：0，1，2，3．利用“超几何分布列”的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）设事件“恰好有2人认为“非常好””为A，则P（A）=××+××+××=．（2）若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，则其中认为“非常好”的人数为6，认为“好”的人数为3．在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，则ξ的可能取值为：0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ0123PE（ξ）=0×+1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了互相独立与互斥事件的概率计算公式、“超几何分布列”的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•凉山州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）=sinAcosB﹣sinBcosA．（1）求证：A=B；（2）若A=，a=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）sin（A﹣B）=sinAcosB﹣sinBcosA，展开利用正弦定理可得：acosB﹣bcosA=cosB﹣cosA，化简即可证明．（2）A=B，可得b=a=．c=2bcosA，可得S△=bcsinA=3sin=3sin，展开即可得出．ABC【解答】（1）证明：∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB﹣sinBcosA，利用正弦定理可得：acosB﹣bcosA=cosB﹣cosA，化为：cosA=cosB，又A，B∈（0，π），∴A=B．（2）解：∵A=B，∴b=a=．∴c=2bcosA=2cos，=bcsinA=×2cos×sin∴S△ABC=3sin=3sin=3=．【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•凉山州模拟）如图，在三棱锥C﹣PAB中，AB⊥BC，PB ⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．（1）求AN的长；（2）求锐二面角P﹣NC﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（1）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连接OP，OQ，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，设N （0，t，0）．由⊥，可得•=0，解得t，即可得出AN．（2）设平面MNC的一个法向量为=（x，y，z），则，可得，平面ANC的一个法向量为=（1，0，0），利用cos=即可得出．【解答】解：（1）如图，分别取AB，AC的中点O，Q，连接OP，OQ，以O为原点，以OP为x轴，以OA为y轴，以OQ为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意知：A（0，3，0），B（0，﹣3，0），P（4，0，0），C（0，﹣3，4），M（2，﹣，2），N（0，t，0）．=，=（0，6，0）．∵⊥，∴•==0，解得t=﹣，∴AN=3﹣=．（2）N，∴=，=（2，0，2），设平面MNC的一个法向量为=（x，y，z），则，即，则取=（﹣3，8，3），平面ANC的一个法向量为=（1，0，0），cos===﹣．∴锐二面角P﹣NC﹣A的余弦值为．【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•凉山州模拟）设椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点F1、F2，其离心率e=，且点F2到直线+=1的距离为．（1）求椭圆E的方程；（2）设点P（x0，y0）是椭圆E上的一点（x0≥1），过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意有，．可得c=1，a=2，b=，（2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0，由圆心（﹣1，0）到PM 的距离为1，⇒|y0﹣k（x0+1）|=⇒（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0，A（0，y0﹣kx0）．设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0，同理可得B（0，y0﹣k1x0），依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．由，得|AB|2=1+=1+．【解答】解：（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意有，．又∵a2=b2+c2，∴c=1，a=2，b=，∴椭圆E的方程为：．（2）如图设圆的切线PM的方程为y=k（x﹣x0）+y0由圆心（﹣1，0）到PM的距离为1，⇒|y0﹣k（x0+1）|=⇒（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0令y=k（x﹣x0）+y0中x=0，y=y0﹣kx0∴A（0，y0﹣kx0）．设圆的切线PN的方程为y=k1（x﹣x0）+y0．同理可得B（0，y0﹣k1x0）依题意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的两个实根，k1+k=，k1k=|AB|2=[x0（k﹣k1）]2==．∵，∴|AB|2=1+=1+∵1≤x0≤2，∴|AB|2=1+．∴|AB|的取值范围为[]【点评】本题考查了椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系，圆的切线问题，属于难题21．（12分）（2017•凉山州模拟）已知函数f（x）=，其中m，n，k ∈R．（1）若m=n=k=1，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数m的取值范围；（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在两个极值点x1、x2，求证：＜f（x1）+f（x2）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若m=n=k=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定m≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数m的取值范围；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，再结合基本不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：m=n=k=1，f′（x）=，∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）解：若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则m≥0．m=0，f（x）=，f′（x）=≥0，∴f（x）min=f（0）=1；m＞0，f′（x）=，0＜m≤，f（x）min=f（0）=1；m≥，f（x）在[0，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，f（x）min＜f（0）=1不成立．综上所述，0≤m≤；（3）证明：f（x）=，f′（x）=．∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，注意到（i=1，2），∴f（x1）=，f（x2）=，∴f（x1）+f（x2）==（）＞==；∵（）＜＜，∴＜f（x1）+f（x2）＜．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于压轴题．请考生在22、23两题选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•凉山州模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点Q是曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（2cosθ，2sinθ），点Q 到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），可直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由ρ=2，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4．（2）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（2cosθ，2sinθ），点Q到直线l的距离为d=．当sin（θ+45°）=﹣1时，点Q到直线l的距离的最大值为3．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程及其应用、三角函数的和差公式及其单调性、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•凉山州模拟）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（Ⅱ）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t 恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．【点评】题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题 (2)

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题 (2)

一、单选题二、多选题1. 设O 为坐标原点，F 为双曲线C ：的一个焦点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，则 （ ）A．B ．2C．D ．42. 若“，使得”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知复数满足，则复数的虚部是（ ）A．B．C ．D ．16. 已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A．B ．2C．D ．37. 已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数，则（ ）A．的最大值为3B．的最小正周期为C ．的图象关于直线对称D ．在区间上单调递减10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C．的最小值为7D ．若，则与的夹角为钝角11.已知圆和圆的交点为，，则（ ）A ．圆和圆有两条公切线B ．直线的方程为C ．圆上存在两点和使得D ．圆上的点到直线的最大距离为四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题 (2)四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题 (2)三、填空题四、解答题12. 若函数，值域为，则（ ）A．B．C．D．13. 半径为R 的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为______．14.已知圆，点P在直线上，若过点P 存在直线与圆C 交于A 、B 两点，且满足，则点P横坐标的取值范围是___________．15. 要得到函数的图象，需将函数的图象向_____平移_____个单位16.已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若在区间上单调递减，求m 的最大值.17. 已知函数．(1)讨论的最值；(2)若函数有2个零点，求实数a 的取值范围．18.已知函数，函数与函数的图象关于直线对称.（1）求函数；（2）时，求证：函数在区间不单调.19. 为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（3）试判断男学生完成套卷数的方差与女学生完成套卷数的方差的大小（只需写出结论）.20. 已知向量.(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求的值.21. 已知椭圆C经过点，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均与P不重合），证明：直线，的斜率之和为定值．。

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（ ）A．B ．3C．D．2. 如图所示，该几何体是由两个全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，已知该几何体外接球的体积为，四棱柱的底面是正方形，且侧棱长为4，则两个直四棱柱公共部分的几何体的内切球体积为（）A．B．C．D．3.已知等差数列的前项和为,且，，则A．B．C．D．4. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．5.已知，其中为常数，若，则的值为（ ）A．B．C．D．6.若直线始终平分圆，则（ ）A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．67. 已知集合，，且，则（ ）A．B．C ．或20D．8. 已知命题p ：，，则命题p 的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）A．B．C．D．10. 正方体的棱长为2，E ，F ，H 分别为AD ，DD 1，BB 1的中点，则（ ）A ．直线平面B ．直线平面C ．三棱锥的体积为D ．三棱锥的外接球的表面积为9π11. 设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A ，B 两点，则以下说法正确的是（ ）四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题三、填空题四、解答题A ．的周长为定值8B ．的面积最大值为C．的最小值为8D ．存在直线l 使得的重心为12. 已知函数（且）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．13. 若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.14.已知，则__________．15. 已知是周期为的偶函数，则函数____________（写出符合条件的一个函数解析式即可）16. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点.过点作圆的切线，分别交轴、轴于点与.(1)若，求的坐标(2)若的面积为2，求的值；(3)求的最小值.17. 已知数列满足：且，记集合.(1)若a 1=6，写出集合M 的所有元素；(2)如集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M 的元素个数的最大值.18.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，设，求函数的极值；(2)若函数在有零点，求证：.19. 将函数图象上所有点的横坐标伸长至原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求函数在区间内的所有零点之和；(2)若，讨论函数的单调性．20. 已知数列有递推关系(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；(2)求的通项公式.21. 如图，在中，为中点，过点作垂直于，将沿翻折，使得面面，点是棱上一点，且面．(1)求的值；(2)求二面角的余弦值．。

高三数学第二次诊断性检测试题含解析试题

高三数学第二次诊断性检测试题含解析试题
设 是单调递增的，零点为 ,
在 ，函数y的最小值为1，故 ， ，零点是 在 上单调递增，故 ，故 .
故答案为：C.
【点睛】对于函数恒成立或者者有解求参的问题，常用方法有：变量别离，参变别离，转化为函数最值问题；或者者直接求函数最值，使得函数最值大于或者者小于0；或者者别离成两个函数，使得一个函数恒大于或者小于另一个函数。
【详解】解：〔1〕法一： 为三角形的内角， , ，
又
，
法二： ， 为三角内角， ，
， ，
，
〔2〕 ， ， ①
又： 即 ，那么 ②
由①②得：
又
.
【点睛】解三角形的根本策略
一是利用正弦定理实现“边化角〞，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用根本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
由 得到 的值，进而由点 在曲线 上得到 ，结合 ，可得k值，从而得到T.
【详解】由 可得： ，
又点 在曲线 上，
∴ ，即 ，
又 即
∴ ，即 ，又
∴k=0，∴ ，即
故答案为：4
【点睛】此题考察正弦函数的图像与性质，考察函数的最值与周期性，考察逻辑推理才能与计算才能，属于中档题.
: 的焦点为 ，过点 分别作两条直线 ， ， 直线与抛物线 交于 、 两点，直线 与抛物线 交于 、 两点，假设 与 的斜率的平方和为 ，那么 的最小值为___．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，故 ，利用裂项相消法可得 ，代入选项检验即可.
【详解】∵
∴ ，
∴ ，
而

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 2021年寒假，重庆一中书院“云”课堂为了解决孩子们在平时学习中的困惑、遗漏等，各个学科为了孩子们量身定制了各重点章节的微课．其中高三年级数学学科安排了，，三位老师录制“数列”、“三角函数”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”，每位老师录制两章节，其中老师不录制“函数与导数”，老师不录制“三角函数”，则安排录制微课的情况一共有（ ）A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种2.已知函数，若，且，则的最大值是（ ）A．B．C．D．3.展开式中的系数为A ．16B ．12C ．8D ．44. “且”是“”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若A ，B 为对立事件，则下列式子中成立的是（ ）A．B．C．D．6. 若定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，，现有下列结论，其中正确的是：（ ）①的图象关于直线对称；②的图象关于点对称；③在区间上是减函数；④在区间内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④7. 如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高为（）米．A．B．C．D．8. 已知函数，则（ ）A ．是奇函数，且在上是增函数B．是奇函数，且在上是减函数C ．是偶函数，且在上是增函数D ．是偶函数，且在上是减函数9. 函数在一个周期内的图像如图所示，则（ ）四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题三、填空题A．的最小正周期是B．图像的一个对称中心为C．把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像D．的单调递增区间为10.在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面平行，则（ ）A ．直线与平面所成的角的余弦值为B ．四面体被平面所截得的截面周长为定值1C．三角形的面积的最大值为D．四面体的内切球的表面积为11. 学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A —结伴步行，B —自行乘车，C —家人接送，D —其他方式.并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．扇形图中D 的占比最小B ．柱形图中A 和C 一样高C ．无法计算扇形图中A 的占比D ．估计该校学生上学交通方式为A 或C 的人数占学生总人数的一半12. 关于函数，下述结论正确的是（ ）A．的最小值为B ．在上单调递增C ．函数在上有3个零点D ．曲线关于直线对称13. 已知，则的最小值为______________.14. 动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________.15. 某校从高三年级中随机选取200名学生，将他们的一模数学成绩绘制成频率分布直方图（如图）. 由图中数据可知__________ .若要从成绩在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从成绩在内的学生中选取的人数应为__________ .四、解答题16.设数列的前n项和为，且，.（1）证明：数列是等比数列.（2）求数列的前n 项和.17. 已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．(1)求实数的值；(2)若，且对任意恒成立，求的最大值；18. 2020年九月十日“第二界国民健康高峰论坛”在人民日报社新媒体大厦成功举办.会上，人民网舆情数据中心与中南大学爱尔眼科学院联合公布了《2020中国青少年近视防控大数据报告》疫情期间半年学生近视率增加了，主要原因：大规模线上教学的开展使学生户外活动的时长严重不足.青少年是国家的未来和民族的希望，“少年强，青年强则国强”，新时代的青年应五育并举，为了改变现状，强健学生体魄，山西省怀仁市某学校决定全校学生参与健身操运动.为了调查学生对健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽取了20名男生和20名女生的测试成绩(满分100分)组成一个样本，得到如图所示的茎叶图，并且认为得分不低于80分得学生为喜欢.男生成绩女生成绩5，2，16，08，6，5，3，29，4，3，1，18，8，72，04567891，20，4，54，4，5，6，81，2，4，4，5，7，94，8，9（1）请根据茎叶图填写下面的列联表，并判定能否有的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关？喜欢不喜欢合计男生女生合计（2）从样本中随机抽取男生，女生各1人，求其中恰有1人喜欢健身操的概率.（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生，女生中各抽取1人，求其中喜欢健身操的人数X 的分布列及数学期望.参考公式及数据：，其中0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82819. 芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）根据折线图的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到整数部分）；（3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.附：样本的相关系数，线性回归方程中的系数，，当时，两个变量间高度相关.参考数据：，，.20. 已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，过引直线l交此抛物线于A，B两点.（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；（2）若p=2，点M在抛物线上，且，求t的取值范围.21. 在中，角，，的对边分别为，，，其中，从①，②，③，④四个条件中选出两个条件，使得该三角形能够唯一确定．求边，及三角形面积．。

高三试卷数学(理)-四川省凉山州2021届高三下学期第二次诊断性检测数学(理)试卷及参考答案

高三试卷数学(理)-四川省凉山州2021届高三下学期第二次诊断性检测数学(理)试卷及参考答案

凉山州2021届高中毕业班第二次诊断性检测数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I卷(选择题)，第II卷(非选择题)，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第I卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.集合A＝{x|2x－1>0}，B＝{y|y＝2x－1，x∈R}，则A∩B＝A.∅B.(0，＋∞)C.(0，12) D.(12，＋∞)2.已知数列{a n}为等差数列，数列{a n}的前5项和为S5＝20，a5＝6，则a10＝A.9B.10C.11D.123..一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它正整数整除的数叫做素数，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8＝3＋5。

在不超过20的素数中，随机地取两个不同的数，其和等于20的概率是A.17 B.19 C.114 D.3284.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C，其长轴长为4，焦距为2，则C的方程为A.2211612x y+= B.2211612x y+=或2211612y x+=C.22143x y+= D.22143x y+=或22143y x+=5.已知数列{a n }为等比列数，函数y ＝log a (2x －1)＋2过定点(a 1，a 2)，b n ＝log 2a n 数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 10＝A.44B.45C.46D.506.命题p ：实数x 、y 满足x y 20x 2y 30+->⎧⎨+-<⎩，命题q ：x>y ，则命题p 是q 的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要7.高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有效分”的分数线。

四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学(理科)试题(2)

四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学(理科)试题(2)

一、单选题二、多选题1.已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y 轴对称，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2.在的展开式中，常数项为（ ）A ．210B ．252C ．462D ．6723. 已知，表示两条不同直线，，，表示三个不同平面．则下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则4. 平面直角坐标系内，已知点，点在函数的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5.已知函数，，，，则（ ）A．B．C．D．6.函数满足，则这样的函数共有（ ）A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个7.已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知集合，，则等于（ ）A．B．C．D．9. 为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（）A．B ．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75C ．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时D ．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为10. 已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，若且，则（ ）A．B．四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题(2)四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题(2)三、填空题四、解答题C．D．11. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm 2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）A ．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B ．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C ．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D ．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数12. 为了响应国家出台的节能减排号召，节能灯应运而生．现在有两箱同种型号的节能灯用两种装箱包装，第一箱有10个节能灯，其中有2个次品，第二箱有12个节能灯，其中有3个次品．下列说法正确的是（ ）A ．若从第一箱中任取1个节能灯，则该节能灯为次品的概率为B ．若从第一箱中任取2个节能灯，则至少有1个节能灯为次品的概率为C ．若从两箱中各取出1个节能灯，则恰有一个是次品的概率为D ．若从两箱中随机取出1箱，再从该箱中随机取出1个节能灯，则该节能灯为次品的概率为13.已知函数为奇函数，则_________.14. 方程的解为______.15. 已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是_________.16. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，△ABC 和△A 1AC 都是正三角形，D 是AB的中点（1）求证：BC 1∥平面A 1DC ；（2）求直线AB 与平面DCC 1所成角的正切值.17. 太平洋是地球上岛屿最多的大洋，有大小岛屿2万多个，岛屿面积约占世界岛屿总面积的45%，蕴藏着丰富的动植物资源．为了解太平洋某海域的岛屿上植物种数的生态学规律，随机选择了6个岛屿，搜集并记录了每个岛屿的植物种数（单位：个）和岛屿面积（单位：平方千米），整理得到如下数据：样本号i 123456岛屿面积x 61525344454植物种数y51015192431并计算得，．(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．根据表中前4号样本数据，求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据所求的线性回归方程计算第5，6号样本植物种数的预报值，并与相应植物种数的真实值y 进行比较．若满足，则可用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数，并估计面积为100平方千米的岛屿上的植物种数；若不满足，请说明理由．参考公式：，．18. 已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.19. 在锐角三角形中，角，，的对边分别是，，，满足．(1)求角的大小；(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围．20. 已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值.21.已知函数的周期为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的取值范围．。

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题(2)

四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知向量，，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，且，则.其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（）A ．样本容量为240B ．若样本中对平台三满意的人数为40，则C ．总体中对平台二满意的消费者人数约为300D ．样本中对平台一满意的人数为24人3. 设集合，，则A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}4. 已知函数，则（ ）A．B．C．D．5. 函数的最小正周期为（ ）A ．B．C．D ．不能确定6. 甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）A ．420B ．460C ．480D ．5207. 下列命题①不等式恒成立.②若，则.③命题“若且，则”的逆否命题.④若命题，命题.则命题是假命题.其中真命题为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8. 在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）A．B．C．D．四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题(2)四川省凉山州2023届高三下学期二诊理科数学试题(2)三、填空题四、解答题9.如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．A．三棱锥的体积为定值B ．存在点，使得C ．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为D ．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为10. 已知a ，，，且，则下列说法正确的为（ ）A ．ab 的最小值为1B．C．D．11. 1990年9月，Craig F·Whitaker 给《Parade 》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（ ）A．你获得豪车的概率为B ．主持人打开3号门的概率为C ．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为D ．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大12. 已知，均为复数，则下列结论中正确的有（ ）A ．若，则B ．若，则是实数C．D ．若，则是实数13. 为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A ，B ，C ，D 四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A 学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有______种．（用数字作答）14. 已知，，，均为锐角，则___________.15. 曲线在点处的切线方程为____________.16. 在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等，表示第行，第列的数．已知．第一列第二列第三列第四列…第一行a (1,1)a (1,2)a (1,3)a (1,4)…第二行a (2,1)a (2,2)a (2,3)a (2,4)…第三行a (3,1)a (3,2)a (3,3)a (3,4)…第四行a(4,1)a(4,2)a(4,3)a(4,4)…………………（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.17. 如图，都在同一个与水平面垂足的平面内，、为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为60°，.（1）试探究图中，间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求，的距离（计算结果精确到）；18. 已知椭圆：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）试求椭圆的方程；（2）设圆：是椭圆长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆，过圆上的任一点作圆的切线交椭圆于，两点，求证：.19. 中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？（2）求获胜场数的分布列和数学期望.20. 用解析法证明：直径所对的圆周角是直角．21. 已知.(1)求在的切线方程；(2)求证：仅有一个极值；(3)若存在，使对任意恒成立，求实数的取值范围.。

四川省凉山彝族自治州高考数学二诊试卷(理科)

四川省凉山彝族自治州高考数学二诊试卷(理科)

四川省凉山彝族自治州高考数学二诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·吉林月考) 是虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·郏县期中) 对于非空集合A ， B ，定义运算：，已知，，其中a、b、c、d满足，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·梅河口期末) 用秦九韶算法求多项式在的值时，的值为（）A .B . 220C .D . 33924. （2分）执行如图所示的程序框图,若输入n的值为7,则输出的s的值为（）A . 22B . 16C . 15D . 115. （2分）已知a．b．c．d成等比数列，且曲线y=x2﹣2x+3的顶点是（b，c），则a+d等于（）A . 3B . 2C .D . ﹣26. （2分）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·东莞期中) 从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A . 210B . 420C . 630D . 8408. （2分）某日，甲乙二人随机选择早上6：00﹣7：00的某一时刻到达黔灵山公园早锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·武汉期末) 已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A . （0，2）B . （2，+∞）C . （2，4）D . （4，+∞）10. （2分） (2017高一下·西安期末) 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（）A .B .C . 2D . 411. （2分）(2016·南平模拟) 已知球O的一个内接三棱锥P﹣ABC，其中△ABC是边长为2的正三角形，PC 为球O的直径，且PC=4，则此三棱锥的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）已知点P是椭圆上的一动点，F1,F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·荔湾期末) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为________．14. （1分）(2020·汨罗模拟) 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额.新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表全月应纳税所得额税率（%）不超过3000元的部分3超过3000元至12000元的部分10超过12000元至25000元的部分20超过25000元至35000元的部分25个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元.某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元.15. （1分） (2019高二上·丽水期中) 当直线l：kx-y+1-3k=0被圆x2+y2=16所截得的弦长最短时，k=________．16. （1分）(2017·长宁模拟) 已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn=an2+2an﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn=2n，求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．18. （15分）(2017·乌鲁木齐模拟) 学校某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则削价处理，每处理一件文具亏损1元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元．为了了解市场需求的情况，经销商统计了去年一年（52周）的销售情况．销售量（件）10111213141516周数248131384以去年每周的销售量的频率为今年每周市场需求量的概率．（1）要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是多少？（2）如果今年的周进货量为14，写出周利润Y的分布列；（3）如果以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为多少合适？19. （10分） (2018高二上·嘉兴期末) 已知三棱锥，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，，二面角的大小为 .（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的正切值.20. （5分） (2016高二下·松原开学考) 椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2 ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M（0，﹣1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足 =﹣，求直线l的方程．21. （10分）已知函数f（x）=（x2﹣a+1）ex（a∈R）有两个不同的极值点m，n，（m＜n），且|m+n|+1≥|mn|．（1）求实数a的取值范围；（2）当x∈[0，2]时，设函数y=mf（x）的最大值为g（m），求g（m）．22. （10分）(2017·黑龙江模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．23. （10分）(2018·河北模拟) 选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14、答案：略15-1、答案：略16-1、答案：略三、解答题： (共7题；共70分)17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、18-2、18-3、19-1、答案：略19-2、20-1、答案：略21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。

精品解析：四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学(理科)试题(原卷版)

精品解析：四川省凉山州2022届高三第二次诊断性检测数学(理科)试题(原卷版)

凉山州2022届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）一､选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合{}12,A x x x N =-≤≤∈，{}1B =，则A B =ð（）A.{}1112x x x -≤≤<≤或 B.{}1,0,2- C.{}0,2 D.{}22.i 为虚数单位，则24i i i=+（）A.1i 2-- B.1i 2-+ C.1i 2+ D.1i 2-3.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（）A.－20B.－5C.5D.204.在独立性检测中，我们常用随机变量2K 来判断“两个分类变量有关系”.2K 越大关系越强；2K 越小关系越弱.（附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）甲：患心脏病患其他病总计秃顶302050不秃顶50100150总计80120200乙：患心脏病患其他病总计秃顶255580不秃顶2595120总计50150200丙：患心脏病患其他病总计秃顶8565150不秃顶351550总计12080200丁：患心脏病患其他病总计秃顶8832120不秃顶621880总计15050200最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（）A.甲B.乙C.丙D.丁5.已知双曲线22126y x -=，则下列说法正确的是（）A.离心率为2B.0y ±=C.焦距为D.6.正项等比数列{}n a 与正项等差数列{}n b ，若1557a a b b =，则3a 与6b 的关系是（）A.36a b = B.36a b ≥ C.36a b ≤ D.以上都不正确7.抛物线()2:20C x py p =>，直线3:2pl y x =+与C 交于,A B （左侧为A ，右侧为B ）两点，若抛物线C 在点A 处的切线经过点()3,6-N ，则p =（）A.24B.12C.8D.68.将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿水平方向平移ϕ个单位后得到的图象关于直线4x π=对称（0ϕ>向左移动，0ϕ<向右移动），当ϕ最小时，则ϕ=（）A.3πB.12π-C.6πD.3π-9.如图所示，在空间直角坐标系O xyz -中，三棱锥O ABC -各个顶点的坐标分别为()0,0,0O，()4,0,2A ，()2,4,4B ，()0,0,3C ，则该三棱锥侧视图的面积为（）A.9B.8C.7D.610.定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()12f x ≥的解集为（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()134,422k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()132,222k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列结论正确的是（）（参考数据：111.27.5≈，121.29≈）①112000a =②1 1.21000n n a a +=-③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万A.②③④ B.②④C.①②④D.②③12.已知24ln 25a =+， 1.222b =+， 2.12c =，则（）A .a b c<< B.b a c<< C.c b a<< D.a c b <<二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面区域70Ω:300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则Ω的面积为___________.14.函数()23ln 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的极大值点为___________.15.甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）.（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.（3）乙和丙不会两人都借小说.则同时满足上述三个条件的不同借书方案有___________种.16.在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()sin sin sin sin B C b c a A b C --=-.（1）求角A ；（2）若D 为边BC 的中点，且1AD =，求c b +的最大值.18.四川省凉山州各种特产､小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩.凡来会理市品尝.尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和.羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉.制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头､羊腿､羊蹄､羊油､羊下水全部放进能装一､两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜､花椒､胡椒､白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六､七个小时熬制呈乳白色米汤一样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷蹍大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）.会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元/碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元.该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量8090100110频数51078（1）以样本估计总体，求该店米粉日需求量不少于100碗的概率；（2）以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备90碗米粉，记该店连续3天获得的利润和为Y （单位：元），求Y 的分布列.19.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是所在棱的中点.设平面DGF 与平面DEH 相交于直线l .（1）求证：//l HE ；（2）求二面角E l F --的余弦值.20.如图，123,,P P P 为椭圆上的三点，3P 为椭圆的上顶点，1P 与2P 关于y 轴对称，椭圆的左焦点()11,0F -，且1121316PF P F P F ++=.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点2F 且与x 轴不重合的直线交椭圆于,A B 两点，M 为椭圆的右顶点，连接,MA MB 分别交直线4x =于,P Q 两点.试判断,AQ BP 的交点是否为定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.21.设函数()ln 2f x x a x =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）1a =，()f x '为()f x 的导函数，当1x >时，()()ln 11x k f x '+>+，求整数k 的最大值.22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 上的动点到曲线2C 距离的取值范围.23.已知函数()312f x x x =-+-.（1）解不等式()6f x ≥的解集；（2）已知()22f x m m ≥-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.。

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2016年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={y=|y=log x，x≥1}，A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{1，2，0}2．设=1（a，b∈R，i为虚数单位），则|a+bi|的值为（）A．2 B． C．3 D．53．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，c=，则∠C=（）A．120°B．60° C．45° D．30°4．实数a，b，则（a+b）（1+a）＞0，是＜1恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若（x﹣1）100=a0x100+a1x99+…+a100对一切实数x恒成立，则a3+a97的值为（）A．0 B．C C．﹣2C D．21006．执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图所示是一个几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为1的正三角形，俯视图是两个边长为1的正三角形拼成的菱形，则其体积为（）A．B．C．D．18．设P（x，y）满足，点A（2，0），B（0，3），若=λ+μ，O是坐标原点，则λ+μ的取值范围是（）A．[2，4] B．[，] C．[，2] D．[1，2]9．点P在直线3x+4y﹣10=0上，过点P作圆x2+y2=1的切线，切点为M，则•（O是坐标原点）的最小值是（）A．2 B．C．D．310．设f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（0，e）B．（0，e2）C．（0，） D．（0，）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线为x+y=0，则离心率e= ．12．已知球的内接正方体的棱长为1，则该球的表面积为．13．两人坐在一排有6个椅子的位置上，恰好有2个连续的空位的坐法数为．14．设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）且β﹣α=，则在方向上的投影为．15．设F（a，b）=，有关F（a，b）有以下四个命题：①∃a0，b0∈R，使得F（a0，b0）＜0；②若a，b，c∈R，则F（a，b）+F（b，c）≥F（c，a）；③不等式F（x，2）≤F（1﹣x，1）的解集是[1，+∞）；④若对任意实数x，m[F（x，﹣2）+F（x，2）]＞2m+6恒成立，则m的取值范围是[1，+∞）．则所有正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于125分为优秀．（1）若用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（2）在（1）中抽取的20名学生中，要随机抽取2名学生参加分析座谈会，记其中成绩为17．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知：∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC，直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为．O为BC的中点．（1）证明：SA⊥BC；（2）求二面角O﹣SA﹣B的大小．18．已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若存在实数t∈[0，]，使得sf（t）﹣2=0成立，求实数s的取值范围．19．设数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+（n+1）3n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}中的最大项的值．20．设椭圆+=1（a＞b＞0）．（1）若F，A分别是椭圆的右焦点，右顶点，H是直线x=与x轴的交点，设=f（e）（e为椭圆的离心率），求f（e）的最大值；（2）若点P（x0，y0）是椭圆上任意一点，从原点O作圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为k1，k2，求k1k2的值．21．设f（x）=lnx+ae﹣x，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x﹣y﹣10=0平行，求a的值；（2）若函数y=f（x）为定义域上的增函数，求a的取值范围；（3）若a=﹣1，求证：f（x）+＞0．2016年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={y=|y=log x，x≥1}，A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{1，2，0}【考点】交集及其运算．【分析】由题设条件先求集合B，再由交集的运算法则计算A∩B．【解答】解：设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合B={y=|y=log x，x≥1}=（﹣∞，0]，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．设=1（a，b∈R，i为虚数单位），则|a+bi|的值为（）A．2 B． C．3 D．5【考点】复数求模．【分析】问题转化为：a﹣5﹣（b+2）i=0，求出a，b的值即可．【解答】解：∵=1（a，b∈R，i为虚数单位），则a﹣2i=5+bi，则a﹣5﹣（b+2）i=0，∴a=5，b=﹣2，|a+bi|==，故选：B．3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，c=，则∠C=（）A．120°B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC，结合C的范围即可得解．【解答】解：在△ABC中，∵a=1，b=2，c=，∴cosC===﹣．∵C∈（0，180°），∴C=120°．故选：A．4．实数a，b，则（a+b）（1+a）＞0，是＜1恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】＜1，即＞0，化为0⇔（a+b）（1+a）＞0，即可判断出结论．【解答】解：＜1，即＞0，化为0⇔（a+b）（1+a）＞0，∴（a+b）（1+a）＞0，是＜1恒成立的充要条件．故选；C．5．若（x﹣1）100=a0x100+a1x99+…+a100对一切实数x恒成立，则a3+a97的值为（）A．0 B．C C．﹣2C D．2100【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式定理，求出a3、a97的值，再计算a3+a97的值．【解答】解：∵（x﹣1）100=a0x100+a1x99+…+a100，∴a3=﹣，a97=﹣=﹣，∴a3+a97=﹣2．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果．【解答】解：根据题意，模拟执行程序，可得n=1，S=0满足条件S＜100，S=3，n=2满足条件S＜100，S=3+32，n=3满足条件S＜100，S=3+32+33=39，n=4满足条件S＜100，S=3+32+33+34=120，n=5不满足条件S＜100，退出循环，输出n的值为5．故选：C．7．如图所示是一个几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为1的正三角形，俯视图是两个边长为1的正三角形拼成的菱形，则其体积为（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两个对称的三棱锥组成的．根据已知数据即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两个对称的三棱锥组成的．该几何体的体积=2××=．故选：C．8．设P（x，y）满足，点A（2，0），B（0，3），若=λ+μ，O是坐标原点，则λ+μ的取值范围是（）A．[2，4] B．[，] C．[，2] D．[1，2]【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可以作出不等式组所表示的平面区域，而由可以得到，从而得到，可设，可变成，从而该方程表示斜率为的一族平行直线，直线在y轴上的截距最小时z最小，截距最大时z最大，从而结合图形便可求出z的最大、最小值，即得出λ+μ的取值范围．【解答】解：如图，不等式组所表示的区域为图中阴影部分：由得，（x，y）=λ（2，0）+μ（0，3）；∴；∴；设，则，表示斜率为的一族平行直线，3z为直线在y轴上的截距；由图形看出，当直线过C（1，1）时，截距最小，即z最小；此时，∴z的最小值为；当直线过D（3，1）时，截距最大，即z最大；此时，∴z的最大值为；∴λ+μ的取值范围为．故选：B．9．点P在直线3x+4y﹣10=0上，过点P作圆x2+y2=1的切线，切点为M，则•（O是坐标原点）的最小值是（）A．2 B．C．D．3【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】作出图形，可得到，从而问题转化为求PO的最小值，而O到直线3x+4y﹣10=0的距离便是PO的最小值，根据点到直线的距离公式便可求出PO的最小值，从而得出的最小值．【解答】解：如图，==PO2﹣1；PO的最小值为O到直线3x+4y﹣10=0的距离：；∴的最小值为3．故选：D．10．设f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（0，e）B．（0，e2）C．（0，） D．（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，可得ax+1=|lnx|有三个不同的零点，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，由f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点，可得ax+1=|lnx|有三个不同的零点，画出函数y=|lnx|的图象，直线y=ax+1过定点（0，1），当x＞1时，设过（0，1）的直线与y=lnx的切点为（x0，lnx0），由y=lnx，得y′=，∴y′=，切线方程为，把（0，1）代入得：﹣lnx0=﹣1，即x0=e．∴，即直线y=ax+1的斜率为a=．则使f（x）=ax﹣|lnx|+1有三个不同的零点的a的取值范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若双曲线﹣=1（b＞0）的一条渐近线为x+y=0，则离心率e= ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件解得b=，求得c，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（b＞0）的渐近线方程为y=±x，由渐近线方程x+y=0，即y=﹣x，可得=，解得b=，c===，可得e==．故答案为：．12．已知球的内接正方体的棱长为1，则该球的表面积为3π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由球的内接正方体棱长为1，先求内接正方体的对角线长，就是球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：∵球的内接正方体的棱长是1，∴它的对角线长为，∴球的半径R=，∴这个球的表面积S=4π（）2=3π．故答案为：3π．13．两人坐在一排有6个椅子的位置上，恰好有2个连续的空位的坐法数为 6 ．【考点】计数原理的应用．【分析】假设这6个椅子的顺序为，1，2，3，4，5，6，分类讨论即可．【解答】解：假设这6个椅子的顺序为，1，2，3，4，5，6，若1，2连续，则3，5必须有人，故有2种，若3，4连续，则1，5必须有人，故有2种，若5，6连续，则2，4必须有人，故有2种，故共有2+2+2=6种，故答为：6．14．设=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）且β﹣α=，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出和，代入向量的投影公式计算．【解答】解： =cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β﹣α）=．||=||=1，∴在方向上的投影为=．故答案为：．15．设F（a，b）=，有关F（a，b）有以下四个命题：①∃a0，b0∈R，使得F（a0，b0）＜0；②若a，b，c∈R，则F（a，b）+F（b，c）≥F（c，a）；③不等式F（x，2）≤F（1﹣x，1）的解集是[1，+∞）；④若对任意实数x，m[F（x，﹣2）+F（x，2）]＞2m+6恒成立，则m的取值范围是[1，+∞）．则所有正确命题的序号是②③．【考点】分段函数的应用．【分析】函数实际为a﹣b的绝对值的2倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可；④用了恒成立问题的转换，只需求出左侧的最小值即可．【解答】解：F（a，b）=，∴F（a，b）≥0，故①错误；②根据绝对值不等式定理可知正确；③根据绝对值不等式的性质可转化为（x﹣2）2≤x2，解得：解集是[1，+∞），故正确；④根据绝对值不等式定理可得4＞，解得m的取值范围是（1，+∞），故错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于125分为优秀．（1）若用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（2）在（1）中抽取的20名学生中，要随机抽取2名学生参加分析座谈会，记其中成绩为【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩不小于125分的频率，由此能求出成绩为优秀的学生人数．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得成绩不小于125分的频率为：1﹣（0.01+0.04）×5=0.75，∴用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，其中成绩为优秀的学生人数为：20×0.75=15．（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，EX==．17．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知：∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC，直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为．O为BC的中点．（1）证明：SA⊥BC；（2）求二面角O﹣SA﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AO，由SB=SC，得SO⊥BC，由余弦定理求出AO，根据勾股定理的逆定理可证AO⊥BC，于是BC⊥平面SAO，得出SA⊥BC．（2）由侧面SBC⊥底面ABCD得SO⊥平面ABCDSO为棱锥的高，由勾股定理计算DO，由于sin，求出SO．以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出，二面角O﹣SA﹣B的大小．【解答】证明：（1）连结AO，∵SB=SC，O是BC中点，∴SO⊥BC，∵AB=2，BO=BC=，∠ABC=45°，∴AO==，∴AO2+OB2=AB2，∴OB⊥OA，又AO⊂平面SAO，SO⊂平面SAO，AO∩SO=O，∴BC⊥平面SAO，∵SA⊂平面SAO，∴SA⊥BC．解：（2）∵SO⊥平面ABCD，∴∠SDO是SD与平面ABCD所成角，SO⊥OD，∵直线SD与平面ABCD所成角的正弦值为．∴sin，∴tan∠SDO==，∵AO⊥BC，AD∥BC，∴AD⊥AO，∴OD==，SO=OD•tan∠SDO=1，以O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），B（0，，0），S（0，0，1），=（，0，﹣1），=（0，，﹣1），设平面SAB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），平面SOA的一个法向量=（0，1，0），cos＜＞==，∴二面角O﹣SA﹣B的大小为．18．已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若存在实数t∈[0，]，使得sf（t）﹣2=0成立，求实数s的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将f（x）化成cos2x，最后根据余弦函数的对称性求出对称轴方程即可；（2）根据t的范围，求出2t的范围，再结合余弦函数单调性求出函数的值域，从而可求出t的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx﹣sin2x=[2（sinxcos+cosxsin）+sinx]cosx﹣sin2x=[﹣sinx+cosx+sinx]cosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos2x，由2x=kπ，得：x=，（k∈z），∴f（x）图象的对称轴方程是：x=，（k∈z），（2）当t∈[0，π]时，2t∈[0，π]，cos（2t）∈[﹣，1]，从而f（t）∈[﹣，]，由sf（t）﹣2=0可知：s≥或s≤﹣．19．设数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+（n+1）3n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}中的最大项的值．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）由a n+1=a n+（n+1）3n，可得a n+1﹣a n=（n+1）3n．利用“累加求和”、“错位相减法”即可得出．（2）b n==（2n﹣1）＞0， =，对n分类讨论，即可得出单调性．【解答】解：（1）∵a n+1=a n+（n+1）3n，∴a n+1﹣a n=（n+1）3n．∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n•3n﹣1+（n﹣1）•3n﹣2+…+2×3，则3a n=n•3n+（n﹣1）•3n﹣1+…+2×32，∴﹣2a n=2×3+32+33+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n=+，∴a n=﹣．当n=1时也成立，∴a n=﹣．（2）b n==（2n﹣1）＞0，∴==，由于（6n+3）﹣（8n﹣4）=7﹣2n，可得n=1，2，3时，b n+1＞b n；当n≥4时，b n+1＜b n．∴数列{b n}中的最大项为b4，可得b4==．20．设椭圆+=1（a＞b＞0）．（1）若F，A分别是椭圆的右焦点，右顶点，H是直线x=与x轴的交点，设=f（e）（e为椭圆的离心率），求f（e）的最大值；（2）若点P（x0，y0）是椭圆上任意一点，从原点O作圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为k1，k2，求k1k2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得H（，0），O（0，0），F（c，0），A（a，0）求得|FA|=a﹣c，|OH|=，运用离心率公式可得f（e）=e﹣e2，配方即可得到所求最大值；（2）将P的坐标代入椭圆，可得y02=（a2﹣x02）①，再由直线y=kx与圆相切，可得d=r，化简整理可得k的二次方程，运用韦达定理，可得k1k2，代入①，化简整理即可得到定值．【解答】解：（1）由题设，H点的坐标为H（，0），O（0，0），F（c，0），A（a，0）∴|FA|=a﹣c，|OH|=，f（e）===﹣=e﹣e2=﹣（e2﹣e）=﹣（e﹣）2+，∴当e=时，f（e）取得最大值，且为；（2）由点P（x0，y0）是椭圆上任意一点，可得+=1，即为y02=（a2﹣x02），①∵直线y=kx与圆相切，∴d=r，即=，整理可得（a2b2﹣x02（a2+b2））k2+2x0y0（a2+b2）k+a2b2﹣y02（a2+b2）=0，即有k1k2=，代入①，化简可得k1k2=﹣．21．设f（x）=lnx+ae﹣x，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x﹣y﹣10=0平行，求a的值；（2）若函数y=f（x）为定义域上的增函数，求a的取值范围；（3）若a=﹣1，求证：f（x）+＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出a的值．（2）求出导数，求出函数的最小值，使得a小于函数的最小值即可．（3）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，求出f（x）=xlnx的最小值，只要求函数G（x）=﹣的最大值进行比较即可得证．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+ae﹣x，x＞0∴f′（x）=﹣ae﹣x，∵曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线直线2x﹣y﹣10=0平行，∴f′（1）=1﹣ae﹣1=2，解得a=﹣e，（2）由（1）知，f′（x）=﹣ae﹣x，∵函数y=f（x）为定义域上的增函数，∴f′（x）=﹣ae﹣x＞0，在（0，+∞）上恒成立，∴a＜，设g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）＞0时，即x＞1时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即0＜x＜1时，函数单调递减，∴g（x）min=g（1）=e，∴a＜e，（3）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣e﹣x，要证f（x）+＞0，只要证xlnx＞﹣，f（x）=xlnx的导数为1+lnx，当x＞时，f（x）递增，x＜时，f（x）递减，即有x=时，取得最小值﹣；设G（x）=﹣，则G'（x）=，当0＜x＜1时，G（x）递增；当x＞1时，G（x）递减．则有x=1处取得最大值﹣，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞﹣，即f（x）+＞0．。

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