云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(一)数学(理)试题
2021届云南师大附中高三上学期第二次适应性月考数学(理)试卷及解析
2021届云南师大附中高三上学期第二次适应性月考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合305x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭,集合{}46B x x =<<,则A B =（ ） A. ()3,6 B. [)3,6C. [)4,5D. ()4,5【答案】D 【解析】先求出集合A ,再求交集.【详解】由题意知()303,55x A xx ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭,()4,6B =, 所以()4,5A B ⋂=, 故选:D.2. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位）,根据此公式可知,若10i e θ+=,则θ的一个可能值为（ ） A. 0 B.2πC. πD.32π 【答案】C 【解析】根据条件由cos sin i e i θθθ=+可得1cos sin 10i e i θθθ+=++=,即cos 10θ+=且sin 0θ=,可得答案.【详解】根据条件由cos sin i e i θθθ=+则1cos sin 10i e i θθθ+=++=,所以cos 10θ+=且sin 0θ=所以2,k k Z θππ=+∈ 故选:C.3. cos45cos15sin 45sin15︒︒+︒︒=（ ）．A.12B. 12-D. 【答案】C 【解析】由两角差的余弦函数,可得cos 45cos15sin 45sin15cos(4515)302cos ︒︒+︒︒=︒-︒=︒=, 故选C ．4. 已知双曲线的方程为22143x y -=,双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（ ）A. 1 D. 2【答案】C 【解析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程,结合点到直线的距离公式,即可求解.【详解】由题意知,双曲线的右焦点为)F,双曲线的渐近线方程为2y x =±,即20y -=,所以点)F 到渐近线的距离d ==故选：C.5. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期借问长儿多少岁,各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的开始排列,后面儿子比前面儿子小3岁,九个儿子共207岁,问老大是多少岁? （ ） A. 38 B. 35C. 32D. 29【答案】B 【解析】由题意,将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项,公差为3-的等差数列,根据等差数列的求和公式列出方程,即可求出结果.【详解】由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项,公差为3-的等差数列, 所以()198932072a ⨯+⨯-=,解得135a =, 故选：B.6. 为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作,我校开展了”文明行为进班级”的评比活动,现对甲.乙两个年级进行评比,从甲.乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分,每个班级成绩满分为100分,评分后得到如图所示的茎叶图,通过基叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小（ ）A. x x <甲乙,22s s <甲乙B. x x >甲乙,22s s <甲乙C. x x <甲乙,22s s >甲乙D. x x >甲乙,22s s >甲乙【答案】A 【解析】由茎叶图中数据可分别计算求得平均数,根据数据分散程度可确定方差大小. 【详解】()38753666986070680378.110x +++++++++++⨯+⨯==甲,()695843866860270280390383.310x ++++++++++⨯+⨯+⨯+⨯==乙,x x ∴<甲乙；由茎叶图可知,甲年级的成绩集中在70多分,即集中在平均分附近,而乙年级的成绩比较分散,所以22s s <甲乙. 故选：A .7. 若AB 是以O 为圆心,半径为1圆的直径,C 为圆外一点,且2OC =.则CA CB ⋅=（ ）A. 3B. 3-C. 0D. 不确定,随着直径AB 的变化而变化【答案】A 【解析】将CA CB ⋅通过向量加法的三角形法则用,CO OA 表示出来即可.【详解】如图,()()()()223CA CB CO OA CO OB CO OA CO OA CO OA ⋅=+⋅+=+⋅-=-=, 故选：A.8. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=,过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中,弦长最短的弦为AC ,弦长最长的弦为BD ,则四边形ABCD 的面积为（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 80【答案】B 【解析】由题可知点()0,4P 在圆内,则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦,过()0,4P 最长的弦BD 为直径,求出后即可求出四边形面积.【详解】圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=,即圆是以()3,4M 为圆心,5为半径的圆,且由()()220344925-+-=<,即点()0,4P 在圆内,则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦,所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以8AC =,过()0,4P 最长的弦BD 为直径,所以10BD =,且AC BD ⊥,故而1402ABCD S AC BD =⋅⋅=.9. 正四面体ABCD 的俯视图为边长为1的正方形,则正四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A32π B.32π C. 3π D. 12π【答案】C 【解析】根据题意,该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ,则正四面体ABCD 的外接球,即为边长为1的正方体的外接球,从而可求出球的半径,得出球的表面积.【详解】如图,该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD , 所以正四面体ABCD 的外接球,即为边长为1的正方体的外接球,所以外接球的半径为2221113r ++==, 则该外接球的表面积为2343S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故选：C.10. 已知()2sin cos f x x x =,下列结论中错误的是（ ）A. ()f x 即是奇函数也是周期函数B. ()f x 3C. ()f x 的图象关于直线2x π=对称D. ()f x 的图象关于点(),0π中心对称【解析】根据函数的奇偶性的定义及判定,可判定A 是正确的；根据函数的对称性,可判定C 、D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+,令sin ,[1,1]t x t =∈-,利用求导方法求函数3(),[1,1]g t t t t =-+∈-的最值,即可判定B 选项错误.【详解】由题意,函数()2sin cos f x x x =的定义域为R 关于原点对称, 又由()()()()22sin cos sin cos f x x x x x f x -=--=-=-,所以()f x 是奇函数； 且()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=++==,所以()f x 又是周期函数,所以A 是正确的；由()()()()22sin cos sin cos f x x x x x f x πππ-=--==,即()()f x f x π-=,所以()f x 关于直线2x π=对称,所以C 是正确的；由()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ-=--=-=-,所以()f x 关于点(),0π对称,所以D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+,令sin ,[1,1]t x t =∈-,32(),()31g t t t g t t =-+'=-+,令1()0,(1,(,1),()03g t t x g t '==∈-'<,(()0t g t ∈'<,()g t 的单调递减区间是(1,-,()g t 的单调递增区间是(,()g t 的极大值为(1)0g g =+=-=,所以()g t的最大值为即函数()f x故B 选项错误.故选：B11. 已知抛物线C ：()220y px p =>,F 为C 的焦点,过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于()11,A x y 、()22,B x y 两点,则下面陈述不正确的为（ ） A. 2121234x x y y p +=-B. 22sin pAB α=C. 112AF BF p+= D. 记原点为O ,则sin AOB pS α=△ 【答案】D 【解析】 设:2pl x my =+,与抛物线方程联立得到韦达定理的形式,代入,,A B C 选项中进行整理可知,,A B C 正确；2121||222sin AOBp p S y y α=⋅⋅-=△,知D 错误. 【详解】设直线:2pl x my =+,()11,A x y ,()22,B x y , 由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pmy p --=, 122y y pm ∴+=,212y y p =-,2221212224y y p x x p p ∴=⋅=,2121234x x y y p ∴+=-,故A 正确； 当1tan 2m παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭时, ()21212222AB AF BF x x p m y y p pm p =+=++=++=+ ()221p m =+221221tan sin p p αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,当2πα=时,经检验22sin pAB α=亦成立,故B 正确； 12121211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()122121224x x p p p x x x x ++=+++()122212424x x pp p p x x ++=+++ ()121222x x ppp x x p ++==++,故C 正确；当1tan 2m παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭时, 2121||222sin AOBp p S y y α=⋅⋅-==△, 当2πα=时,经检验22sin AOBp S α=△亦成立,故D 错误. 故选：D . 12. 下列四个命题：①1ln 22>②2ln 2e>③0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+=⋅④1331log 7log 13<,其中真命题为（ ） A. ①②③个 B. ①③个 C. ①②④个 D. ③④个【答案】B 【解析】利用对数的运算和性质比较①③④即可,构造函数ln xy x=,求导根据函数的单调性可判断②的正误.【详解】由2ln2ln4ln 1e =>=,故①正确； 由2ln 2ln ln 22e e e>⇔>,考察函数ln x y x =,21ln x y x -'=,所以当()0,x e ∈时,0y '>,即函数在()0,e上单调递增,2e<,所以ln2ln2ee<,故②错误；令0.2log0.4a=,2log0.4b=,所以0.40.40.411log0.2log2log0.41a b+=+==,所以a b ab+=,即0.220.22log0.4log0.4log0.4log0.4+=,故③正确；由4372401219713=>=,所以133log74>,由4313285612979131=<=,所以313log134<,即1331log7log13>,故④错误,故选：B.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13. 若x,y满足约束条件101024x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则yx的最大值为______【答案】23【解析】先由约束条件,画出可行域,根据yx表示平面区域内的点与坐标原点的连线斜率,结合图形,即可得出结果.【详解】画出约束条件101024x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域如下,由00y y x x -=-表示平面区域中的点与原点O 的连线斜率, 由图像可得,OA 的斜率即为yx的最大值,由1024x y x y --=⎧⎨-=⎩,解得()3,2A则y x 的最大值为23. 故答案为：23.14. 二项式3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,则二项式展开式中的常数项为______【答案】160- 【解析】根据二项式系数之和,求出6n =,由二项展开式的通项公式写出展开式的通项,进而可求出结果.【详解】由3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,可得264n =,解得6n =,则二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其展开式的第1r +项为()61666222rr rrrr r T C x C x x --+⎛⎫=- =-⎪⎝⎭, 令620r -=,则3r =故展开式中的常数项为33362160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：160-.15. 边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-,点P 为面对角线CD '上一点,则AP BP +的最小值为______【解析】将对角面D A BC ''与平面ACD '放到同一个平面,化曲为直,连接1A B ,取A B '的中点I ,在1A BI利用勾股定理即得．【详解】如图甲,将等边ACD '△沿CD '向后旋转到与面D A BC ''共面,得到等边1A CD '△,则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长,取A B '的中点I ,由题意知：等边ACD '△的边长为2,四边形D A BC ''是以1BC =,2A B '=的矩形,所以2222112613622A B BI A I ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16. ABC 中,22AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅,则sin C 的最大值为_______. 【答案】73【解析】根据数量积的概念代入可得22223a b c +=,由余弦定理和基本不等式结合可得cos C 的最小值,由三角恒等式即可得结果.【详解】由题意知,()2221cos 2AB AC bc A b c a ⋅==+-, 同理()22212BA BC a c b ⋅=+-,()22212CA CB a b c ⋅=+-,故由已知,()()22222222223b c a a c b a b c +-++-=+-,即22223a b c +=,由()22222221223cos 22236363a b a b a b c a b a b C abab b a b a +-++-===+≥=, 所以27sin 1cos 3C C =-≤,当且仅当::365a b c =,所以sin C故答案为：3.三、解答题（共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. 为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关,设计了“更擅长理科,理科文科无差异,更擅长文科三个选项的调查问卷",并从我校随机选择了55名男生,45名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25,选择文科理科无显著差异的人数占15,选择更擅长文科的人数占25：女生选择更擅长理科的人数占15,选择文科理科无显著差异的人数占3,选择更擅长文科的人数占1.根据调查结果制作了如下22⨯列联表.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.（1）请将22⨯的列联表补充完整,并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中,根据问卷答题结果为标准,采取分层抽样的方法随机抽取5人,再从这5人中随机选取2人,若所选的2人中更擅长理科的人数为X,求随机变量X的分布列及期望.【答案】（1）表格见解析,有95%的把握；（2）分布列见解析,()4 5E X=.【解析】（1）由题意列出22⨯的列联表,计算出2K,结合临界值得出结论；（2）由题意可知,选取的5人中,有2人更擅长理科,3人不更擅长理科,所以X的可能取值为0,1,2,利用古典概型概率公式计算,并列出分布列求出期望．【详解】（1）补充22⨯的列联表如下：更擅长理科其他合计男生22 33 55女生9 36 45合计31 69 100所以()221002236933100334.628 3.841554531693123K⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯,所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.（2）由题意可知,选取的5人中,有2人更擅长理科,3人不更擅长理科,所以X的可能取值为0,1,2,故()022325310C CP XC===,()112325315C CP XC===,()202325110C CP XC===,所以X的分布列为X 0 1 2P31035110所以()3314012105105E X=⨯+⨯+⨯=.18. 如图,在等腰梯形ABCD中,//AB CD,2243AB CD AD===,将ADC沿着AC翻折,使得点D到点P,且26PB=.（1）求证：平面APC⊥平面ABC；（2）求二面角A PB C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77-.【解析】（1）通过证明AC BC ⊥和BC CP ⊥可证BC ⊥平面APC ,即可得证；（2）取AB 的中点E ,连接DE ,CE ,AC ,以OA ,OE ,OP 为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系,利用向量法即可求出.【详解】（1）证明：由等腰梯形2243AB CD AD ===,则60ABC ∠=︒, 又2AB BC =,所以AC BC ⊥, 又23PC BC ==,26PB =, 则222CB CP PB +=, 所以BC CP ⊥, 又AC CP C ⋂=,所以BC ⊥平面APC ,所以平面APC ⊥平面ABC . （2）如图,取AB 的中点E ,连接DE ,CE ,AC ,则AECD 为菱形,且60DAE ∠=︒, 则AC DE ⊥,记垂足为O ,由（1）知,平面APC ⊥平面ABC , 又PO AC ⊥,所以PO ⊥平面ABC ,同理,EO ⊥平面APC ,所以OA ,OE ,OP 两两垂直,如图,建立分别以OA ,OE ,OP 为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系,则6AC =,3DO =所以()3,0,0A ,()3,23,0B -,()3,0,0C -,(3P , 所以(3,23,3BP =-,()6,23,0BA =-,()0,23,0BC =-, 设平面ABP 的法向量为()1111,,n x y z =,所以1100BA n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111116303330x y x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,令13y =,得1113x z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面ABP 的一个法向量为(11,3,3n =； 设平面CBP 的法向量为()2222,,n x y z =,所以220,0,BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222223032330x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令23z =,得2210x y =-⎧⎨=⎩所以平面CBP 的一个法向量为(23n -=； 令二面角A PB C --为θ,由题意知θ为钝角, 所以12127cos 727n n n n θ⋅=-=-=-⨯,所以二面角A PB C --的余弦值为-19. 设数列{}n a 满足11a =,23a =,当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ,4a ,猜想{}n a 的通项公式,并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++.【答案】（1）35a =,47a =,21n a n =-,证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用递推关系可直接计算出3a ,4a ,根据前几项的规律可猜想出通项公式,并用数学归纳法证明； （2）根据()22241111112111n n n n n a ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭+,再利用裂项相消求和即可证明. 【详解】（1）解：由11a =,23a =, 所以()123121225a a a a a +=++=+,()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-,证明：当2n =时,由11a =,23a =,故成立； 假设n k =（2k ≥）时成立,即21k a k =-, 所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+,即当1n k =+时成立, 综上所述,21n a n =-. （2）证明：由（1）知,()22411n n a =+, 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭,证毕.20. 已知点()2,0M -,()2,0N ,点P 满足：直线PM 的斜率为1k ,直线PN 的斜率为2k ,且1234k k ⋅=-（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点,问在x 轴上是否存在点Q ,使得QA QB ⋅为定值?若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由点(),P x y ,运用直线的斜率公式,结合1234k k ⋅=-,化简可得轨迹C 的方程；（2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ,使得QA QB ⋅为定值,当直线l 的斜率存在时,设出直线l 的方程,与椭圆方程联立,令()11,A x y ,()22,B x y ,表示出QA QB ⋅,代入韦达定理计算可得定值,并检验斜率不存在时也成立． 【详解】（1）由题意知：()122y k x x =≠-+,()222yk x x =≠-, 由1234k k ⋅=-,即()32224y y x x x ⋅=-≠±+-, 整理得点(),P x y 的轨迹C 的方程为：()221243x y x +=≠±. （2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ,使得QA QB ⋅为定值. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠,联立方程()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=, 令()11,A x y ,()22,B x y ,则2122834kx x k +=+,212241234k x x k-⋅=+, 由()101,QA x x y =-,()202,QB x x y =-,所以()()()()()()210201210201211QA QB x x x x y y x x x x k x x ⋅=--+=--+--()()()22221201201k x x x k x x k x =+-++++()20202581234x k x k-+-=++, 将0x 看成常数,要使得上式为定值,需满足05816x +=,即0118x =, 此时13564QA QB ⋅=-； 当直线l 的斜率不存在时,可得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,11,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭,所以33,82QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,33,82QB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,13564QA QB ⋅=-,综上所述,存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭,使得QA QB ⋅为定值. 21. 已知()xf x xe =,()lng x x x =+（1）若()()()h x f x eg x =-,求()h x 的最大值； （2）若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立,求b 的取值范围 【答案】（1）0；（2）2b ≤. 【解析】（1）先求导并根据其正负判断函数单调性,求其最值即可；（2）先化简原不等式即ln 1x xe x x b x +--≥,再对()ln 1x xe x x t x x+--=求导研究其单调性,得到最值即得结果.【详解】解：（1）由题意知,()()ln xh x xe e x x =-+,()0,x ∈+∞,所以,()()()1111xx e h x x e e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见()xe p x e x=-在()0,x ∈+∞上递增,且(1)0p =,所以,当()0,1x ∈,()0p x <,()0h x '<,即()h x 在()0,1上单调递减, 当()1,x ∈+∞,()0p x >,()0h x '>,即()h x 在()1,+∞上单调递增, 故()()10h x h ≥=,所以()h x 的最小值为0；（2）原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+,即ln 1x xe x x bx +--≥,在()0,x ∈+∞上恒成立等价于ln 1x xe x x b x +--≥,在()0,x ∈+∞上恒成立.令()ln 1x xe x x t x x +--=,()0,x ∈+∞,所以()22ln x x e xt x x+'=, 令()2ln xx x e x ϕ=+,则()x ϕ为()0,∞+上的增函数,又当12110e e e ϕ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,()10e ϕ=>,所以()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ,即0020e n 0l xx x +=,由01ln 200000000ln 111ln 0ln ln x x x x x e x x e e x x x x ⎛⎫+=⇔=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭, 又有函数()x q x xe =在()0,∞+上单调递增,上式即()001ln q x q x ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以0001lnln x x x ==-,001x e x =,当()00,x x ∈时,()0t x '<,()t x 单调递减, 当()0,x x ∈+∞时,()0t x '>,()t x 单调递增, 所以()()0000000min 00ln 1112x x e x x x x t x t x x x +--+-====⎡⎤⎣⎦+,所以2b ≤.22. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,曲线C 的极坐标方程为2ρ=,直线l的参数方程为23x t y t=--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(P -,直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ,B ,求11PA PB+的值. 【答案】（1）224x y +=0y +=；（2）1127. 【解析】（1）由222x y ρ=+,可得曲线C的直角坐标方程；消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程； （2）写出过点(P -的直线l 的参数方程,代入曲线C 的直角坐标方程,利用韦达定理结合1t ,2t 的几何意义可求得答案．【详解】（1）由222x y ρ=+,所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,由2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,消去t 得直线l 0y +.（2）由题意知,过点(P -的直线l 的参数方程为22t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=,又121108130∆=-=>,所以方程有两个不同的解1t ,2t , 又12110t t +=-<,12270t t ⋅=>,所以10t <,20t <,有1t ,2t 的几何意义可知,121212121111111127t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭. 23. 已知函数()123f x x x =-+-.（1）求函数()f x 的最小值M ；（2）若0a >,0b >,且a b M +=,证明：22111a b a b +≥++. 【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】（1）由绝对值三角不等式,即可求解()f x 的最小值.（2）由（1）知,得出()()114a b +++=,化简()()222211111111a b a b a b a b +-+=-++++++()()11121211a b a b =+-+++-+++,再结合基本不等式,即可求解.【详解】（1）由绝对值三角不等式,可得()12313132f x x x x x x x =-+-≥-+-≥-+-=, 当且仅当3x =时,两个不等式同时取等号,所以()f x 的最小值2M =.（2）由（1）知,2a b +=,则()()114a b +++=,所以()()()()2211111112121111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++ ()11111111(2)411411b a a b a b a b ++⎛⎫=++++=++ ⎪++++⎝⎭1(214≥+=, 当且仅当1a b ==,不等式取等号,所以22111a b a b +≥++.。
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(一)文数-答案
， x1x2
4m2 12 3 4k 2
，
4k 2
m2
3
0．
由
k1
k2
1 ，整理得 (2k
1)x1x2
k
m
5 2
(
x1
x2 )
2m
4
0
，
即 (m 4k)(2m 2k 3) 0 ．
当
m
k
3 2
时，此时，直线
l
过
P
点，不符合题意；
当 m 4k 时， 4k 2 m2 3 0 有解，此时直线 l： y k(x 4) 过定点 (4，0) ．
10．令 F (x)
ex
ln x ，则 F (x)
ex
1 x
，则存在
x0
1 2
，
2 2
，使得
F
(
x0
)
e x0
1 x0
0
，
所以
F(x) 在
x0
取得最小值，
F (x0 )
e x0
ln
x0
1 x0
x0
，在
1， 2
2 2
上单调递减，所以
有
32 2
|
PQ |min
5 2
，故选
B．
11．设 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) ，则过 A，B 的切线方程分别为 yy1 px px1 ， yy2 px px2 ，
（2）由（1）知： m 4 ，即 a b c 4 ，所以 a 1 b 1 c 1 1，
由柯西不等式：
1 a 1
1 b 1
c
1 1
1 a 1
1 b 1
c
1
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(五)数学(理)试题及答案
西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B D A A C D D C B A B 【解析】1．因为{101}A −，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217−=，故选D ．2．121()f x x x −==，()f x 的定义域为(0)+∞，，因此A ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，B 正确，故选B ．3．该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +> = − ，，，，≤当8y =时，098x x > += ，或2018x x −=≤，，解得3x =−，故选D ．4．因为c r 为单位向量，所以222222112113939c a kb a ka b k b k =+=++=+= r r r r r r r g ，又0k >，所以223k =，故选A ． 5．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，B 错误；()(0)()f b f f c >>，C ，D 错误；()()()f c f d f e <<，A 正确，故选A ．6．对Γ：22123x y λλ+=−，当2(3)0λλ−<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=−时，Γ：22166y x −=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，B ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，C 错误，故选C ． 7．由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人，先按人数进行分组，共有24C 种分法，再将三组人分别安排到三个地方，总共有2343C A 36=种安排方法，故选D ．8．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a +，则864864211111222a a a a +++++++++++ 221341+=，故选D ．9．如图1，设截面为α，设BD AM O =I ，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以αI 平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，∴αI 平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形，故选C ． 10．因为22|||i |1z x y x y =+=+=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +−=++−=++−，所以|12i |z +−表示圆O 上的动点到定点(12)A −，的距离，所以min |12i |z +−为||51OA r −=−，故选B ． 11．因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数.当π04x ∈，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x ′=−=−，令()2cos h x x =− sin x x ，则()3sin cos h x x x x ′=−−，则()0h x ′<在π04 ，上恒成立，所以()h x 在π04，上单调递减，又ππ220442h =−×>，所以()0g x ′>在π04x ∈ ，上恒成立，所以()g x 在π04 ，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ∈−U ，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <，故选A ．12．如图2，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB =可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥.所以二面角P AB C −−的平面角即为1PMO ∠，又1O 为ABC △的垂心，所以点C在1MO 的延长线上.因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠= 223，1tan 22PMO ∠=．又122PO =，所以3PM =，11MO =．又2O 为△PAB 的重心，所以2113MO PM ==．设MC x =，在△PMC 中，利用余弦定理，可得29212x x +−=，所以3MC x ==．再在2O MC △中，利用余弦定理，可得222CO =，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案0.8 5 2 59【解析】13．因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =×+=． 图2图114．因为110105610()5()02a a S a a +==+>，所以560a a +>．又11111611()1102a a S a +==<，所以60a <，所以6500a a < > ，，所以使得0n a >成立的最大整数n 为5． 15．如图3，设焦点F 关于直线33y x =的对称点为P ，C 的左焦点为F ′，PF 与直线33y x =的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF ′的中点，可得OQ PF ′∥，所以90F PF OQF ′∠=∠=°，则OP OF =，又3tan 3QOF ∠=，所以30QOF ∠=°，则60POF ∠=°．又因为P 在渐近线上，所以tan 3b POF a ∠==，所以212b e a =+= ． 16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，，(30)C −，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=，所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧»BC 上除B ，C 以外的点．当△ABC 为锐角三角形时，过点P 作B C BC ′′∥，其中B C ′′分别交AB ，AC 于点B ′，C ′，AP 的延长线交BC 于点R ．设AP x AB y AC ′′′′=+u u u r u u u u r u u u u r ，则由B ′，P ，C ′共线，可得1x y ′′+=．设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ′′===，则AP x AB y AC x k AB ′′′′′=+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u r y k AC xAB y AC ′=+u u u r u u u r u u u r ，所以x x k ′=，y y k ′=，()x yk x y k ′′+=+=，所以为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ′′，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又||||||||||AM AM AN AM MN =+1||1||MN AM =+，所以当||5AM r ==时，max ||154||915AP AR ==+． 方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r 可得()AP x AP PB ++u u u r u u u r u u u r ()y AP PC +u u u r u u u r ，所以(1)(*)x y AP xPB yPC −−=+u u u r u u u r u u u r ，则101x y x y −−>⇒+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R −−=+∠+．又27cos 2cos 125BPC A ∠=−=，所以上式整理可得3622125xy x y =+−．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2()4x y xy +≤．令图3图4t x y =+，则2950250t t −+≥，解得5t ≥(舍去)或59t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以max 5()9x y +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴||||||22OB MC OC ===． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形， ∴(13)M ，，3A =． 又2π2ππ42T ω===， ∴π()3sin2f x x =． ………………………………………………………（6分） （2）πππ()3sin (1)3sin 444g x x x =+=+， 令πππ3π2π2π()2442k x k k +++∈Z ≤≤， 得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由题图甲可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10．设P 为两个标本来源于不同采样地的概率， 则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872P ++×+×+×===×．………………………………………………………（6分） （2）由表格数据可得，5152********.5597229.7 3.3360052795i i i i i x y x yb x x==−−×===−=−−×−∑∑$， ∴$36 3.327125.1a y bx =−=+×=$，∴y 与x 的线性回归方程是$ 3.3125.1y x =−+， ∴当30x =时，$26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） 解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上，∴00242px x p=⇒=， ∴点A 到准线的距离为2025540222p p x p p p +=+=⇒−+=， 解得4p =(舍)或1，∴C ：22y x =，(22)A ，． …………………………………………………（4分）（2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2220y my −−=， 设11()M x y ，，22()N x y ，，则121222y y m y y += =− ，， ∴22221212||1()42(1)(2)MN m y y y y m m =++−=++．又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：11x y m=−+， ∴2211||212PQ m m =++ ， ∴2222111||||2(1)(2)122MNPQ S MN PQ m m m m ==++++ 四边形 2222112(1)1(2)2m m m m =++++g 2222122252m m m m ++++g ． ∵2212m m+≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴24912MNPQ S ×=四边形≥， ∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12．………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ，∵PB PD =，O 为BD 的中点，∴PO DB ⊥． 同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =I ，PO ，OQ ⊂平面POQ ，∴BD ⊥平面POQ ． 图5又BD ⊂平面ABCD ，∴平面POQ ⊥平面ABCD ． ……………………………………………（5分） （2）解：（法一：建系法）如图6，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ，则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形，∴PQ AC ∥． 且1212233PQ O O AO AO ==×=， ∴334323223MA MC AP ===×=． ∴MO AC ⊥，由（1）得MO ，OB ，OC 两两垂直． 又32332AO =×=， ∴223MO MA AO −． 如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，OM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(030)A −，，，(300)B ，，，(030)C ，，，(003)M ，，， ∴(330)AB =u u u r ，，，(303)MB =−u u u r ，，，(330)BC −u u u r ，，．设111()x y z α=u r ，，，222()x y z β=u r ，，分别为平面AMB 与平面MBC 的法向量， 则1111330(313)330x y x z α += ⇒=− −= u r ，，，， 2222330(313)330x y x z β −+= ⇒= −=u r ，，，． 设θ为二面角A MB C −−的平面角，由于αu r ，βur 均指向半平面的外部， ∴5cos cos 7||||αβθαβαβ=−〈〉=−=−u r u r u r u r g u r u r ， ． ………………………………………………………（12分） （2）（法二：定义法）分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形， 图6∴PQ AC ∥． 且1212233PQ O O AO AO ==×=， ∴334323223MA MC AP ===×=， ∴MAAB BC CM ===． 取MB 的中点E ，则AE MB ⊥，CE MB ⊥，∴AEC ∠为二面角A MB C −−的平面角． 又32332AO =×=， ∴223MO MA AO −． 又3OB =，∴226MB OB OM =+=， ∴2226421222AE AM ME CE =−=−==． 又26AC AO ==， 222423652cos 42272AE EC AC AEC AE EC −+−∠===−g ．……………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）∵11ln ()(2ln )22x f x x x x x x −−′=−+=g ， ∴当(01)x ∈，时，()0f x ′>，()f x 单调递增； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x ′<，()f x 单调递减，∴max()(1)2f x f ==，且()f x 无最小值．…………………………………………………（4分）（2）()(2ln )3g x x x ax =−+−， 令t x =，则2x t =， ∴(2ln )3x x ax −+−=222ln 3t t t at −+−．令2()22ln 3t t t t at ϕ=−+−， ∵函数t x =是(0)+∞，上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，()g x 存在极大值()t ϕ⇔存在极大值，且()g x 取到极大值0()()g x t ϕ⇔取到极大值0()t ϕ，其中00t x =，且00()()g x t ϕ=．∵()22ln 222ln 2t t at t at ϕ′=−−+=−+， ∴222()2at t a t tϕ−−+′′=+=， ∴10t a ∈，时，()0t ϕ′′<，()t ϕ′单调递减； 1t a ∈+∞，时，()0t ϕ′′>，()t ϕ′单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ ′′==+=+． ①当1e a ≥时，10a ϕ ′≥，则()0t ϕ′≥在(0)+∞，上恒成立， ∴()t ϕ在(0)+∞，上单调递增，则()t ϕ无极值点； ②当10e a <<时，1e a >，取11a<，1e a <， 有(1)20a ϕ′=>，(e)22e 220a ϕ′=−+<−+=， ∴()t ϕ′在(1e)，上有唯一零点，设为0t ，且0(1)t t ∈，时，()0t ϕ′>，0(1)t t ∈，时，()0t ϕ′<， ∴当10e a <<时，()t ϕ在(0)+∞，上有唯一的极大值点0()t ϕ．………………………………………………（8分）∵000()2ln 20t t at ϕ′=−+=， ∴00ln t at =，∴20000000000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ϕ=−+−=−+−=0002ln 3t t t −−， 令()2ln 3m t t t t =−−， 则()2ln 1ln 1m t t t ′=−−=−+， ∴()m t 在(0e)，上单调递增．又(e)2e e 3e 30m =−−=−<，∴0()0t ϕ<，即()t ϕ的极大值小于0， 综上，有10e a <<时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0． ………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由条件可得cos 1x α+，sin y α=，又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y −+=， 即2220x y x +−=为曲线C 的普通方程， 将222cos sin x y x y ρθρθρ = = +=，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ−=， 即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．…………………………………………………（5分） （2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得1||2cos AOA ρθ==， 11111||π2(sin cos )2sin 4B OB ρθθθ=== ++ ， ∴11112cos 1||||2tan 12(sin cos )OA OB θθθθ==++g ． 又1ππ43θ ∈，， ∴1tan (13)θ∈，， ∴622||||22OA OB −∈g ， ． ………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =−， ∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =−+−=−+−+， 由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a −−−+=−≥， 其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a −−+≤，∴min()|43|f x a =−， ∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =−+−⇔−≥≥，∴432a −≥或432a −−≤，即23a ≤或2a ≥． ………………………（5分）（2）证明：∵222a b ab +≥，222b c bc +≥222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥，∴222a b c ab bc ca ++++≥，2222()222a b c a b c ab bc ca +++++++≥3()ab bc ca ++， ∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 其中“=”当且仅当1a b c ===．………………………………………………（10分）。
2021年云南省昆明市云南师大附中高三数学理模拟试卷含解析
2021年云南省昆明市云南师大附中高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（）A．B． C． D．参考答案：C2. 过P(2，0)的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为( )A. B. C. D.参考答案：A略3. 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A. B. C. D.参考答案：D略4. 在中，，，，点在斜边上，以为棱把它折成直二面角，折叠后的最小值为A． B． C． D．参考答案：B5. 设，则a， b，c的大小关系是（）A、a＞c＞bB、a＞b＞cC、c＞a＞bD、b＞c＞a参考答案：A6. 若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．7. 函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将f(x)的图像( )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位参考答案：D由图像知，，，，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将f(x)的图象向右平移个长度单位即可，故选D．8. （5分）（2015?浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当0＜CQ＜时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=其中正确命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：C【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：对选项逐个进行检验即可，对于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S为四边形；对于②则找其投影三角形即可；对于③，则需要找线面垂直关系即可；对于④，则需补图完成．解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ?DT=2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；对于②，截面在底面上投影为△APC，其面积为，故②错误；对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；对于④，右补充一个正方体后，得到S与C1D1的交点R满足C1R=，故④正确；故选：C．【点评】：本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，对于中点问题的处理思路是：无中点，取中点，相连得到中位线．属于中档题．9. 若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于( )A．2 B．2C．4 D．8参考答案：B考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答：解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．10. 设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：D ∵奇函数在上是增函数，，，∴，又，∴，从而有函数的图象如图，则有不等式的解集为解集为或，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）.若a-2b与c共线，则k=________________.参考答案：１本题考查了向量的差与数乘的运算以及向量的共线，容易题．显然，由与共线，有，可得．12. 已知定义在R上的函数f（x）=（x2﹣3x+2）?g（x）+3x﹣4，其中函数y=g（x）的图象是一条连续曲线．已知函数f（x）有一个零点所在区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为．参考答案：1【考点】函数零点的判定定理．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=（x2﹣3x+2）?g（x）+3x﹣4，f（1）=﹣1＜0，f（2）=2＞0，故函数f（x）有一个零点所在区间为（1，2），故k=1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，熟练掌握函数零点的判定定理，是解答的关键．13. 在中，是边所在直线上任意一点，若，则参考答案：14. 设变量x ，y 满足约束条件：则的最大值为________．参考答案：915. 在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且=， =，则?的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=， =，∴?=（+）?（+）=（+）?（+）=?+?+?+?=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：16. 已知函数的图象经过点，则不等式的解集为_______参考答案：(0,1)因为函数的图象经过点，所以代入，得：，所以由得：，所以不等式的解集为(0,1)。
云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题(扫描版)
云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔三〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，共60分〕【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，应选B. 2．123i 32(6)i 12i 55z b b b z -+-==+-，当605b-=时，12z z 是实数，6b ∴=，应选A. 3．A 中否命题应为“假设21x ≠，那么1x ≠〞；B 中否认应为“210x x x ∀∈+-，≥R 〞；C 中原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；易知D 正确，应选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)+⋅，λλ(34)3380=++=，λλ，解得311=-λ，应选C. 5．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，应选C. 6．3πsin cos cos 226y x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，故其对称轴为π2π6x k k -=∈，Z ，ππ212k x ∴=+， k ∈Z ，当0k =时，π12x =，应选A. 7．对于①，其正确；由正态分布的概念的对称性可得(10)(01)P P -<<=<<=ξξ11(1)22P m ->=-ξ，故②正确；随机变量2K 的观测值k 越大，判断“X 与Y 有关系〞的把握越大，故③错误，所以正确的有①②两个，应选C.8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一局部，体积为442π3V =⨯⨯+⨯1π2324π2+⨯⨯=+，应选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，所以3201512a a ==-，应选B ．10．1122()2cos ()()2()2f x x g x x x f x g x -''''==+，，≤，≥，故函数()2sin f x x =([0π])x ∈，上点P 的坐标必为(00)，，函数()13x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上点Q 的坐标必为813⎛⎫⎪⎝⎭，，故直线PQ的斜率为83，应选C ．11．由题意可知22222m c m n a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，那么22n b =，椭圆的方程可化为22221x y c b +=．由0AP PQ ⋅=知AP 与渐近线垂直．不妨设P 在第一象限，那么直线AP 的方程为()ay x c b=--，与渐近线by x a =联立可解得P 的坐标为2a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．又点P 在椭圆上，代入椭圆方程可得42421a a c c +=，即42111e e +=，整理得4210e e --=，所以2e ，应选D ． 12．1121212212()(()()),()()()()()()(()())22f x f x f x f x f x f x f xg x f x f x f x -⎧+=+=⎨<⎩≥1113e ((,0][3,)),e ((0,3)),x x x x -+⎧∈-∞+∞⎪=⎨⎪∈⎩又当[]x a b ∈，时，1212()()0g x g x x x ->-恒成立，故()g x 在[]x a b ∈，时是增函数，结合图象可知()g x 在[0)x ∈+∞，时是增函数，又[15]a b ∈-，，，故b a -的最大值在05a b ==，时取得，应选D ．第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕【解析】13．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a=，所以54b=，19959()9362b b S b +===. 14．ππsin d (cos )cos πcos02a x x x ==-=-+=⎰，二项式6⎛⎝展开式的通项公式为663166C (1)2C rr rr r r r r T x ---+⎛=⋅=- ⎝．令30r -=，得3r =，此时展开式中常数项为363346(1)2C 160T -=-⨯=-． 15．函数(1)y f x =+的图象关于点(10)-，成中心对称，∴函数()y f x =的图象关于点(00)，成中心对称，即()y f x =为奇函数．不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，可化为222(2)(2)(2)f x x f y y f y y ---=-≤，又定义在R 上的函数()y f x =是减函数，2222x x y y ∴--≥，由14x ≤≤得22(22)014x y x y x ⎧---⎨⎩≥，≤≤，故()(2)014x y x y x -+-⎧⎨⎩≥，≤≤，即02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥，≥，≤≤或02014x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≤≤，作出可行域，又(12)()M N x y ，，，，故2OM ON x y ⋅=+，利用线性规划知识可求得OM ON ⋅的取值范围为[012]，. 16．如图1，设P ABCD -的外接球的球心为G ，A B C D ，，，在球面上，∴球心在正方体1111ABCD A B C D -上下底面中心连线1O O 上，点P 也在球上，GP GA R ∴==，棱长为1，22OA ∴=，设11O P x O G y ==，，那么1OG y =-，在1Rt GO P △中，有222R x y =+①，在Rt GOA △中，三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17.〔本小题总分值12分〕【注：此题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-〞改为“且sin 2m n C ⋅=〞，改后答案如下：】解：〔Ⅰ〕sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+， …………………………………………………………………………………〔2分〕在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………〔4分〕又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………〔7分〕1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………〔9分〕由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-，得2c =．………………………………………………………………………………〔12分〕 18.〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕芯片甲为合格品的概率为4032841005++=，芯片乙为合格品的概率为4029631004++=，…………………………………………〔3分〕随机变量X 的所有可能取值为90453015-,，，. 433(90)545P X ==⨯=；133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=；111(15)5420P X =-=⨯=， 所以随机变量X 的分布列为………………………………………………………………………………………〔7分〕那么X 的数学期望3311()904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．…………………〔8分〕〔Ⅱ〕设生产的5件芯片乙中合格品有n 件，那么次品有5n -件. 依题意，得5010(5)140n n --≥， 解得196n ≥，所以4n =或5n =．……………………………………………………〔10分〕设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元〞为事件A ，那么454531381()C 444128P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………〔12分〕19.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图2，取AB 的中点H ，连接PH HC ，． PAB △是正三角形，且H 为AB 的中点，2AB =，PH AB ∴⊥，且3PH =…………………………………………………〔2分〕 底面ABCD 是矩形，22AB BC ==，123HC ∴=+. 又6PC =222PC PH CH ∴=+，PH HC ∴⊥．………………………………………………………〔4分〕AB HC H =，PH ∴⊥平面ABCD .PH ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：如图2所示，以H 为原点建立空间直角坐标系H xyz -，那么(100)(100)A B -，，，，，，(003)P ，，，(120)D ，，．……………………………〔7分〕设(01)AE AP =<<λλ，那么(203)BE BA AE =+=-，，λλ，(220)BD =，，， 设()n x y z =，，为平面EBD 的法向量， 由0,()(220)=0,0,()(203)=0,n BD x y z n BE x y z ⎧⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-⎪⎪⎩⎩，，，，，，，，λλ 220,(2)30,x x z ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩λλ令2z =-λ，得(362)n =--，，λλλ.易知(003)HP =，，为平面ABD 的一个法向量.………………………………………〔9分〕二面角E BD A --的大小为45︒，22332cos45cos 210443n HP n HP n HP-⋅∴︒=〈〉===⋅-+⨯，λλλ. ………………………〔10分〕又由01<<λ，得12=λ，1AE EP ∴=∶．……………………………………………〔12分〕由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 那么816433A B A B mx x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………〔3分〕因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-， 整理得：4()320A B A B x x x x +++=， 将(*)代入上式可解得：28m =.所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕由题意可设椭圆S 的方程为：2221(7)28x y a a +=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，，由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………〔8分〕 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x ya-=，…………………〔9分〕所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的局部. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的局部，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………〔12分〕21.〔本小题总分值12分〕 〔Ⅰ〕解：()[(1)]()f x g x a g x '''=+--λλλλ，………………………………………〔1分〕令()0f x '>，得[(1)]()g x a g x ''+->λλ，(1)x a x ∴+->λλ，即(1)()0x a --<λ，解得x a <， ………………………………………………………〔3分〕故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，……………………………………〔4分〕∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值.()f x 的极大值为()[(1)]()()()(1)e a f a g a a g a g a g a =+--=-=-⋅λλλλλ．………〔6分〕〔Ⅱ〕证明：e 1e 11x x x x x----=，又当0x >时，令()e 1x t x x =--，那么()e 10x t x '=->，故()(0)0t x t >=，因此原不等式化为e 1x x a x --<，即e (1)10x a x -+-<，…………〔8分〕令()e (1)1x h x a x =-+-，那么()e (1)x h x a '=-+， 由()0h x '=，得e 1x a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0h x '<；当ln(1)x a >+时，()0h x '>，故当ln(1)x a =+时，()h x 取得最小值[ln(1)](1)ln(1)h a a a a +=-++，……………〔10分〕令()ln(1)01as a a a a=-+>+，， 那么2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++.故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0h a a a a +=-++<.因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立. ……………………………………〔12分〕22.〔本小题总分值10分〕【选修4−1：几何证明选讲】 〔Ⅰ〕证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠， 又P ∠为公共角，PAB PCA ∴△∽△，AB PAAC PC∴=， 所以，AB PC AC PA ⋅=⋅. ………………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕解：PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线， 2PA PB PC ∴=⋅，4540PC BC ∴==，，又222901600CAB AC AB BC ∠=︒∴+==，， 又由〔Ⅰ〕知13AB PA AC PC ==，AC AB ∴==，连接EC ，CAE EAB ∠=∠，ACE ADB △∽△，AB ADAE AC∴=，480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………〔10分〕变形得2213sin =+ρθ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ，所以2211OAOB+222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ〔定值〕． ……………………………………………………〔7分〕1222222122229(13sin )(13cos )139sin cos 4sin 24AOB S ===+++++△ρρθθθθθ，易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………〔10分〕24.〔本小题总分值10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥， 因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立，故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕当1a =时，假设1()()g x f x m=+的定义域为R ，那么()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解，又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时取等号，3m ∴>-．………………………………………………………………………………〔10分〕。
2021届云南省师大附中高三(上)高考适应性月考理科综合物理试题
2021届云南省师大附中高三（上）高考适应性月考理科综合物理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，一不可伸长的轻绳左端固定于O点，右端跨过位于O'点的光滑定滑轮悬挂一质量为2kg的物体，OO'段水平，O、O'间的距离为0.8m，绳上套一可沿绳自由滑动的轻环。
现在在轻环上悬挂一钩码（图中未画出），平衡后，物体上升0.2m，物体未碰到定滑轮（重力加速度取g=10m/s2）。
则钩码的质量为（）A．2.4kg B．3.2kg C．kg D kg 2．“北斗来了不迷路”，从跟跑到并跑，随着中国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗、也就是第55颗组网卫星2021年6月23日成功发射，中国北斗卫星导航系统终于来到了和世界其他系统并肩前行的位置。
北斗卫星导航系统空间段由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗傾斜地球同步轨道卫星。
其中中地球轨道卫星离地高度约2.1万千米，静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星离地高度均约为3.6万千米。
以下说法正确的是（）A．倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度相同B．地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中地球轨道卫星线速度要大C．中地球轨道卫星的运行周期小于地球自转周期D．静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星的发射速度一定要超过7.9km/s，中地球轨道卫星的发射速度可以小于7.9km/s3．如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上B点处；若在A点将此小球以速度2v水平抛出，经t2时间落到斜面上的C点处（图中未画出），以下判断正确的是（）A．t1:t2=1:4 B．t1:t2C．AB:AC=1:2 D．AB:AC=1:44．如图所示，木板上右端放一小物块（可视为质点），木板可以绕转轴在竖直面内转动。
现让木板以恒定角速度从图示位置转到水平位置，在此过程中物块相对木板静止，则（）A．物块所受支持力的瞬时功率逐渐增大B．物块所受支持力的瞬时功率保持不变C．物块所受摩擦力一直减小到零D．物块所受摩擦力保持不变5．如图所示的装置中，A、B两物块的质量分别为4kg、2kg，不计弹簧和细绳质量以及一切摩擦，重力加速度取g=10m/s2。
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(二)数学(理科)试题
B．
C．过点 ， 分别作抛物线 的切线，则两切线互相垂直
D．记原点为 ，则
12．下列四个命题：① ，② ，③ ，④ ，其中真命题为（）
A．①②③B．①③C．①②④D．③④
二、填空题
13．若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______
14．二项式 展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
2．C
【分析】
根据条件由 可得 ，即 且 ，可得答案.
【详解】
根据条件由
则 ，所以 且
所以
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题.
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（二）数学（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程： （i为虚数单位），根据此公式可知，若 ，则 的一个可能值为（）
A．38B．35C．32D．29
6．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲､乙两个年级进行评比，从甲､乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲､乙两个年级成绩的平均数及方差大小（）
云南师范大学附属中学2021届高考适应性月考(一)数学(理)试题
云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔一〕理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以根底知识和根本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的根本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重根底、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 【题文】1、全集U 和集合A 如图1所示，那么()U C A B ⋂= A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B ={5,6}.那么选B.【思路点拨】此题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，那么12z z = A .－2i B.2i C .－2 D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-那么选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法那么进行计算.A .6 B.22 C .10 D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.A .1 B.2 C .3 D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =那么选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，假设sinC=2sinAcosB,那么此三角形一定是 A .等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.那么选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A .1 B.132 C .32D.13+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.那么选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，那么z=x+3y 的取值范围是A .[1,9] B.[2,9] C .[3,7] D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影局部．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=， min 230 2.z =+⨯=那么选B.【思路点拨】此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割得到，那么毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为 A .310 B.510 C .710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，那么母线长5cm l =，所以圆锥毛坯的外表积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件外表积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．那么选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的外表积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、假设任取x,y ∈[0,1]，那么点P(x,y)满足2y x >的概率为 A .23 B.13 C .12 D.34【知识点】定积分 几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y 满足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．那么选A. 【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，假设2AP PB =，那么椭圆的离心率是A .32 B.22 C .13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e ===∴∴．那么选D.【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，那么AC 与DM 所成角的余弦值为 A .23 B.24 C .32 D.33【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -，那么(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C那么AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 此题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，假设作其平面角不方便时，可采取向量法求解. 【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，那么实数a 的取值范围是A .(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C .(1, ＋∞) D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．那么选A. 【思路点拨】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗〞：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，那么3654⊗-⊗=_______. 【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，假设11a =，那么4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，假设无性质特征，那么用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________. 【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6． 解析：1C C 17n n n n n -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6． 【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，那么a b cb a++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 根本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b t a =(1)t >，那么问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题总分值12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球. (1)假设有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1)54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========． 所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题总分值12分)如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，∠BCA=90°，12AA AC BC ===. (1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值. 【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：〔1〕证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．〔2〕解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A A B C C AA B V V --=， 即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=221d 11A C 与平面11AA B 21． 方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -， 那么(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭， 1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．〔1〕证明：∵OE =130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =-，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ． 〔2〕解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,3)A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩则即 不妨令1x =，可得31,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11221sin cos ,7723AC n θ=〈〉==⋅， ∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217． 【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，假设直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-. (1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设11,n n n a b S n+-=为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1) 11n a n =-． (2)略解析：〔1〕解：将112n n a a +=-代入11111n n a a +---可得111111n n a a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故 所以11n a n=-．〔2〕证明：由〔Ⅰ〕得11111n n a n n b nn nnn +-+-===-+⋅+111111nnn k k k S b k k n =====<++∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)假设函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2) 211e b -≤ 解析：〔1〕11()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．〔2〕∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =， ∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x=+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211eb -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)假设直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值. 【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：〔1〕∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．〔2〕方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=， 可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．②①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D. (1)求证：直线AB 是圆O 的切线； (2)假设1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长. 【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5解析：〔1〕证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB == ∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.〔2〕解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒， 在Rt △ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠， 又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD ∽△BEC , ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =那么2BC x =， 又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，假设直线与圆有公共点，那么公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可. 【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，假设点P 的坐标为(5，求PA PB +. 【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】3232解析：〔1〕由25ρθ=，可得22250x y y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +=．由23,25,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 〔t 为参数〕可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 05533222+--=．〔2〕将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23240t t -+=．由于2(32)4420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，．又直线l 过点(35)P ，， 故由上式及t 的几何意义得1212||||||||32PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <；(2)假设不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. (2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：〔1〕()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为62x x aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. 〔2〕()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥ ∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
云南师大附中2021届高三适应性月考(二)理科数学试题
秘密★启用前云南师大附中2021届高三适应性月考（二）理科数学试卷注意事项:1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题喜上作答无效。
3.考试结束后，请将本试喜和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟.一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A={}305x x x -<-，集合B={}46x x <<,则A B = A. (3, 6) B. [3, 6) C. [4, 5) D. (4, 5) 2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程: cos sin i e i θθθ=+ (i 为虚数单位)，根据此公式可知，若i e θ+1=0，则θ的一个可能值为A.0B.2π C.π D. 32π 3. cos 45cos15sin 45sin15︒︒︒︒+的值为A. 3B. 3C. 12D. 12- 4.已知双曲线的方程为22143x y -=,双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 25.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公九个儿， 若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是:一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，间老大是多少岁?A. 38B.35.C. 32D.296. 为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了”文明行为进班级”的评比活动，现对甲。
乙两个年级进行评比，从甲。
乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图1所示的茎叶图，通过基叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小. A. x x <甲乙，22s s <甲乙 B. x x >甲乙，22s s <甲乙。
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(七)数学(理)试题(图片版)含答案
f
( y0 )
y0
，则问题转化为
f
(x)
x
在 [1，e] 内有解，即方程
4 3
ln
x
2 3
x
2 3
a
x2
在 [1，e] 内有解，
得方程 a 3 x2 2 ln x x 在 [1，e] 内有解，令 g(x) 3 x2 2 ln x x ，则 g(x) (3x 2)(x 1) ，
2
2
x
∴ x [1，e] 时 ， g(x) ≥ 0 ， 即 g(x) 在 [1，e] 上 单 调 递 增 ， 所 以 g(1) ≤ g(x)
f
(x)
0
的根的个数，即求函数
y
g(x)
与
y
h(x)
的图象的交点个数. 因为 f (x) 与 g(x) 均为奇函数，故只需求函数 y g(x) 与 y h(x) 的图象在
(0，4π] 上的交点个数. 因为 h(x) x sin x ，所以 h(x) 在 (0，π) ，(2π，3π) 上单调递增，在 (π，2π) ，
18 25
．
…………………………………………………（8 分） ②记抽出的 40 岁以上“支付宝达人”的人数为 Y，则 X 500Y ．
由题意得
Y
B
3，2 5
，∴
E(Y
)
3
2 5
6 5
，
所以 X 的数学期望 E(X ) 500E(Y ) 500 6 600 ． 5
………………………………………………………（12 分）
∴ a c 11 ．
∴ 1 1 a c 11 ． a c ac 2
…………………………………………………（12 分）
2021届云南师大附中高三适应性月考(二)数学(理)试题(解析版)
2021届云南师大附中高三适应性月考（二）数学（理）试题一、单选题 1．已知集合305x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}46B x x =<<，则A B =（ ）A ．()3,6B ．[)3,6C ．[)4,5D ．()4,5【答案】D【解析】先求出集合A ,再求交集. 【详解】 由题意知()303,55x A xx ⎧⎫-=<=⎨⎬-⎩⎭，()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 故选:D. 【点睛】本题考查求分式不等式和集合求交集，属于基础题.2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin i e i θθθ=+（i 为虚数单位），根据此公式可知，若10i e θ+=，则θ的一个可能值为（ ） A ．0 B ．2πC ．πD ．32π 【答案】C【解析】根据条件由cos sin i e i θθθ=+可得1cos sin 10i e i θθθ+=++=，即cos 10θ+=且sin 0θ=，可得答案.【详解】根据条件由cos sin i e i θθθ=+则1cos sin 10i e i θθθ+=++=，所以cos 10θ+=且sin 0θ= 所以2,k k Z θππ=+∈ 故选:C. 【点睛】本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题. 3．cos45cos15sin 45sin15︒︒+︒︒=（ ）．A ．12B ．12-C D ． 【答案】C【解析】 由两角差的余弦函数，可得cos 45cos15sin 45sin15cos(4515)30cos ︒︒+︒︒=︒-︒=︒=故选C ．4．已知双曲线的方程为22143x y -=，双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C【解析】根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的右焦点为)F，双曲线的渐近线方程为2y x =±，即20y -=，所以点)F 到渐近线的距离d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （ ） A ．38 B ．35C ．32D ．29【答案】B【解析】由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果. 【详解】由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n 项和公式的基本量运算，属于基础题型.6．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了”文明行为进班级”的评比活动，现对甲.乙两个年级进行评比，从甲.乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过基叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小（ ）A ．x x <甲乙，22s s <甲乙B ．x x >甲乙，22s s <甲乙 C ．x x <甲乙，22s s >甲乙D ．x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】A【解析】由茎叶图中数据可分别计算求得平均数，根据数据分散程度可确定方差大小. 【详解】()38753666986070680378.110x +++++++++++⨯+⨯==甲，()695843866860270280390383.310x ++++++++++⨯+⨯+⨯+⨯==乙，x x ∴<甲乙；由茎叶图可知，甲年级的成绩集中在70多分，即集中在平均分附近，而乙年级的成绩比较分散，所以22s s <甲乙. 故选：A . 【点睛】本题考查根据茎叶图比较平均数和方差的大小关系问题；比较方差大小的关键是明确数据越集中，则方差越小，属于基础题.7．若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且2OC =.则CA CB ⋅=（ ） A ．3 B ．3-C ．0D ．不确定，随着直径AB 的变化而变化【答案】A【解析】将CA CB ⋅通过向量加法的三角形法则用,CO OA 表示出来即可. 【详解】 如图，()()()()223CA CB CO OA CO OB CO OA CO OA CO OA ⋅=+⋅+=+⋅-=-=，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将CA CB ⋅用知道模的向量来表示，是基础题. 8．已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．30 B ．40 C ．60 D ．80【答案】B【解析】由题可知点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，求出后即可求出四边形面积. 【详解】圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=，即圆是以()3,4M 为圆心，5为半径的圆，且由()()220344925-+-=<，即点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =，且AC BD ⊥，故而1402ABCD S AC BD =⋅⋅=. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题.9．正四面体ABCD 的俯视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．3π D ．12π【答案】C【解析】根据题意，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，则正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，从而可求出球的半径，得出球的表面积. 【详解】如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ， 所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，所以外接球的半径为222111322r ++==， 则该外接球的表面积为23432S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表面积，属于常考题型. 10．已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 即是奇函数也是周期函数B ．()f xC ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的图象关于点(),0π中心对称【答案】B【解析】根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A 是正确的；根据函数的对称性，可判定C 、D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+，令sin ,[1,1]t x t =∈-，利用求导方法求函数3(),[1,1]g t t t t =-+∈-的最值，即可判定B选项错误. 【详解】由题意，函数()2sin cos f x x x =的定义域为R 关于原点对称，又由()()()()22sin cossin cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数；且()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ+=++==，所以()f x 又是周期函数，所以A 是正确的； 由()()()()22sin cos sin cos fx x x x x f x πππ-=--==，即()()f x f x π-=，所以()f x 关于直线2x π=对称，所以C 是正确的；由()()()()222sin 2cos 2sin cos f x x x x x f x πππ-=--=-=-，所以()f x 关于点(),0π对称，所以D 是正确的；由()()32sin 1sin sin sin f x x x x x =-=-+，令sin ,[1,1]t x t =∈-，32(),()31g t t t g t t =-+'=-+，令1()0,(1,(,1),()03g t t x g t '==∈-'<，(()0t g t ∈'<，()g t 的单调递减区间是(1,-，()g t 的单调递增区间是(，()g t的极大值为(1)0g g ==-=， 所以()g t即函数()f xB 选项错误.故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11．已知抛物线C ：()220y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则下面陈述不正确的为（ ） A ．2121234x x y y p +=-B ．22sin pAB α=C ．112AF BF p+= D ．记原点为O ，则sin AOB pS α=△ 【答案】D【解析】设:2pl x my =+，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，代入,,A B C 选项中进行整理可知,,A B C 正确；2121||222sin AOB p p S y y α=⋅⋅-=△，知D 错误. 【详解】 设直线:2pl x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pmy p --=，122y y pm ∴+=，212y y p =-，2221212224y y p x x p p ∴=⋅=，2121234x x y y p ∴+=-，故A 正确； 当1tan 2m παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭时， ()21212222AB AF BF x x p m y y p pm p =+=++=++=+()221p m =+221221tan sin p p αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 当2πα=时，经检验22sin pAB α=亦成立，故B 正确； 12121211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()122121224x x p p p x x x x ++=+++()122212424x x pp p p x x ++=+++ ()121222x x ppp x x p ++==++，故C 正确；当1tan 2m παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭时，2121||222sin AOBp p S y y α=⋅⋅-==△, 当2πα=时，经检验22sin AOBp S α=△亦成立，故D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线中三角形面积问题的求解等知识；本题中的各个选项属于抛物线问题中与过焦点的直线有关的常用结论，熟记结论可减少计算证明时间. 12．下列四个命题：①1ln 22>②2ln 2e>③0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+=⋅④1331log 7log 13<，其中真命题为（ ） A ．①②③个 B ．①③个C ．①②④个D ．③④个【答案】B【解析】利用对数的运算和性质比较①③④即可，构造函数ln xy x=，求导根据函数的单调性可判断②的正误. 【详解】由2ln2ln4ln 1e =>=，故①正确； 由2ln 2ln ln 22e e e>⇔>，考察函数ln x y x =，21ln x y x -'=，所以当()0,x e ∈时，0y '>，即函数在()0,e 上单调递增，2e <，所以ln 2ln 2ee<，故②错误； 令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==，所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4+=，故③正确； 由4372401219713=>=，所以133log 74>，由4313285612979131=<=，所以313log 134<，即1331log 7log 13>，故④错误， 故选：B. 【点睛】本题考查对数的运算和对数的性质的应用，考查分析推理能力和计算能力，属于基础题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件101024x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则yx 的最大值为______【答案】23【解析】先由约束条件，画出可行域，根据yx表示平面区域内的点与坐标原点的连线斜率，结合图形，即可得出结果. 【详解】画出约束条件101024x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域如下，由00y y x x -=-表示平面区域中的点与原点O 的连线斜率， 由图像可得，OA 的斜率即为yx的最大值，由1024x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得()3,2A则yx的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题主要考查求分式型目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.14．二项式3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______ 【答案】160-【解析】根据二项式系数之和，求出6n =，由二项展开式的通项公式写出展开式的通项，进而可求出结果. 【详解】由3nn x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，可得264n=，解得6n =，则二项式为62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式的第1r +项为()61666222rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=- =-⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =故展开式中的常数项为33362160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：160-. 【点睛】本题主要考查求二项展开式中的常数项，考查由二项式系数之和求参数，属于常考题型. 15．边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-，点P 为面对角线CD '上一点，则AP BP +的最小值为______ 【答案】36+【解析】将对角面D A BC ''与平面ACD '放到同一个平面，化曲为直，连接1A B ，取A B '的中点I ，在1A BI 利用勾股定理即得． 【详解】如图甲，将等边ACD '△沿CD '向后旋转到与面D A BC ''共面，得到等边1A CD '△，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B '的中点I ，由题意知：等边ACD '△的边长为2，四边形D A BC ''是以1BC =，2A B '=的矩形，所以2222112613622A B BI A I ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查空间距离的最小问题，考查转化思想，计算能力，空间想象能力，属于基础题． 16．ABC 中，22AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin C 的最大值为_______. 7【解析】根据数量积的概念代入可得22223a b c +=，由余弦定理和基本不等式结合可得cos C 的最小值，由三角恒等式即可得结果. 【详解】由题意知，()2221cos 2AB AC bc A b c a ⋅==+-， 同理()22212BA BC a c b ⋅=+-，()22212CA CB a b c ⋅=+-，故由已知，()()22222222223b c a a c bab c +-++-=+-，即22223a b c +=，由()2222222123cos 22363a b a b a b ca b C abab b a +-++-===+≥=，所以sin 3C =≤，当且仅当::a b c = 所以sin C的最大值是3.. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的概念、余弦定理的应用、基本不等式的应用以及三角函数的以值求值，属于中档题.三、解答题17．为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷"，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查.问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25：女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15.根据调查结果制作了如下22⨯列联表.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望.【答案】（1）表格见解析，有95%的把握；（2）分布列见解析，()45E X =. 【解析】（1）由题意列出22⨯的列联表，计算出2K ，结合临界值得出结论； （2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，所以X 的可能取值为0，1，2，利用古典概型概率公式计算，并列出分布列求出期望． 【详解】（1）补充22⨯的列联表如下：所以()22100223693310033 4.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关.（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 所以X 的可能取值为0，1，2，故()0223253010C C P X C ===，()112325315C C P X C ===，()2023251010C C P X C ===， 所以X 的分布列为P310 35 110所以()3314012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型分布列和期望的应用，考查古典概型，属于中档题．18．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2243AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且26PB =.（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）通过证明AC BC ⊥和BC CP ⊥可证BC ⊥平面APC ，即可得证； （2）取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，以OA ，OE ，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法即可求出. 【详解】（1）证明：由等腰梯形2243AB CD AD ===60ABC ∠=︒， 又2AB BC =，所以AC BC ⊥， 又23PC BC ==，6PB = 则222CB CP PB +=， 所以BC CP ⊥， 又AC CP C ⋂=，所以BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC . （2）如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒， 则AC DE ⊥，记垂足为O ，由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ， 又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，如图，建立分别以OA ，OE，OP 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，则6AC =，3DO =所以()3,0,0A ，()3,23,0B -，()3,0,0C -，(3P ， 所以(3,23,3BP =-，()6,23,0BA =-，()0,23,0BC =-， 设平面ABP 的法向量为()1111,,n x y z =，所以1100BA n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111116303330x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令13y =，得1113x z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面ABP 的一个法向量为(11,3,3n =； 设平面CBP 的法向量为()2222,,n x y z =，所以220,0,BC n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222030x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令23z =，得2210x y =-⎧⎨=⎩所以平面CBP的一个法向量为(2n -=； 令二面角A PB C --为θ，由题意知θ为钝角，所以1212cos 72n n n n θ⋅=-=-=-所以二面角A PB C --的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查向量法求二面角，属于中档题. 19．设数列{}n a 满足11a =，23a =，当()11112n n n n n a a a n a a -+-+=+++.（1）计算3a ，4a ，猜想{}n a 的通项公式，并加以证明. （2）求证：()()()2221244474111n a a a +++<+++. 【答案】（1）35a =，47a =，21n a n =-，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用递推关系可直接计算出3a ，4a ，根据前几项的规律可猜想出通项公式，并用数学归纳法证明； （2）根据()22241111112111n n n n n a ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭+，再利用裂项相消求和即可证明. 【详解】（1）解：由11a =，23a =， 所以()123121225a a a a a +=++=+，()234231327a a a a a +=++=+. 猜想：21n a n =-，证明：当2n =时，由11a =，23a =，故成立； 假设n k =（2k ≥）时成立，即21k a k =-，所以()()1111221211k k k k k a a a k k k a a -+-+=++=+=+-+，即当1n k =+时成立， 综上所述，21n a n =-. （2）证明：由（1）知，()22411n n a =+， 所以()()()22212444111n a a a ++++++22222211111111221311n n =+++<++++--- ()()1111132411n n =++++⨯⨯-+111111111111232435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭11117112214n n ⎛⎫=++--< ⎪+⎝⎭，证毕.【点睛】本题考查数学归纳法求通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.20．已知点()2,0M -，()2,0N ，点P 满足：直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，且1234k k ⋅=-（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在点Q ，使得QA QB ⋅为定值?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由点(),P x y ，运用直线的斜率公式，结合1234k k ⋅=-，化简可得轨迹C 的方程；（2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得QA QB ⋅为定值，当直线l 的斜率存在时，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，令()11,A x y ，()22,B x y ，表示出QA QB ⋅，代入韦达定理计算可得定值，并检验斜率不存在时也成立．（1）由题意知：()122y k x x =≠-+，()222yk x x =≠-， 由1234k k ⋅=-，即()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 整理得点(),P x y 的轨迹C 的方程为：()221243x y x +=≠±.（2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得QA QB ⋅为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立方程()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=， 令()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+， 由()101,QA x x y =-，()202,QB x x y =-，所以()()()()()()210201210201211QA QB x x x x y y x x x x kx x ⋅=--+=--+--()()()22221201201k x x x k x x k x =+-++++()20202581234x k x k-+-=++， 将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =， 此时13564QA QB ⋅=-； 当直线l 的斜率不存在时，可得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以33,82QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，33,82QB ⎛⎫=--⎪⎝⎭，13564QA QB ⋅=-， 综上所述，存在11,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题的应用，考查数量积的坐标表示，属于21．已知()xf x xe =，()lng x x x =+（1）若()()()h x f x eg x =-，求()h x 的最大值； （2）若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围 【答案】（1）0；（2）2b ≤.【解析】（1）先求导并根据其正负判断函数单调性，求其最值即可；（2）先化简原不等式即ln 1x xe x x b x +--≥，再对()ln 1x xe x x t x x+--=求导研究其单调性，得到最值即得结果. 【详解】解：（1）由题意知，()()ln xh x xe e x x =-+，()0,x ∈+∞，所以，()()()1111xx e h x x e e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易见()xep x e x=-在()0,x ∈+∞上递增，且(1)0p =， 所以，当()0,1x ∈，()0p x <，()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减， 当()1,x ∈+∞，()0p x >，()0h x '>，即()h x 在()1,+∞上单调递增， 故()()10h x h ≥=，所以()h x 的最小值为0； （2）原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立等价于ln 1x xe x x b x +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立.令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，所以()22ln x x e xt x x +'=，令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当12110ee e ϕ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()10e ϕ=>，所以()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 200000000ln 111ln 0ln ln x x x x x e x x e e x x x x ⎛⎫+=⇔=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 又有函数()xq x xe =在()0,∞+上单调递增，上式即()001ln q x q x ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以0001lnln x x x ==-，001x e x =，当()00,x x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 单调递增， 所以()()0000000min 00ln 1112x x e x x x x t x t x x x +--+-====⎡⎤⎣⎦+，所以2b ≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了利用导数解决恒成立问题，属于难题.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2ρ=，直线l的参数方程为23x ty t =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值.【答案】（1）224x y +=0y +；（2）1127. 【解析】（1）由222x y ρ=+，可得曲线C 的直角坐标方程；消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程；（2）写出过点(P -的直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理结合1t ，2t 的几何意义可求得答案． 【详解】（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由2x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得直线l0y +.（2）由题意知，过点(P -的直线l的参数方程为22t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=，又121108130∆=-=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ，又12110t t +=-<，12270t t ⋅=>，所以10t <，20t <，有1t ，2t 的几何意义可知，121212121111111127t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．23．已知函数()123f x x x =-+-.（1）求函数()f x 的最小值M ；（2）若0a >，0b >，且a b M +=，证明：22111a b a b +≥++. 【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】（1）由绝对值三角不等式，即可求解()f x 的最小值.（2）由（1）知，得出()()114a b +++=，化简()()222211111111a b a b a b a b +-+=-++++++()()11121211a b a b =+-+++-+++，再结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由绝对值三角不等式，可得()12313132f x x x x x x x =-+-≥-+-≥-+-=，当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号，所以()f x 的最小值2M =.（2）由（1）知，2a b +=，则()()114a b +++=，所以()()()()2211111112121111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++ ()11111111(2)411411b a a b a b a b ++⎛⎫=++++=++ ⎪++++⎝⎭1(214≥+=， 当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +≥++. 【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式的应用，以及不等式的证明，其中解答中熟记绝对值的三角不等式，以及合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.。
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(七)数学(理)试题(解析版)
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（七）数学（理）试题一、单选题 1．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.2．已知集合{}1,0,1,|1cos ,2M N y y x x M π⎧⎫=-==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合M N ⋂的真子集的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】1cos 1,1cos 00,1cos 122ππ⎛⎫⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则 {}{}0,1,0,1,N M N M N =⋂=⋂的真子集的个数为2213-=个. 本题选择C 选项.3．某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m 人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1:4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m 的值为（ ） A ．170 B ．180C ．150D ．160【答案】A【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.【详解】若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，所以抽取的业务人员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，所以120624424m =++，解得170m =.故选：A .4．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【详解】()()22xf xg x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.5．命题p ：存在实数a ，使得对任意实数x ，()cos cos x a x -=-恒成立；命题q ：0b ∀>，()lnb xf x b x-=+为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．()p q ∧⌝ B ．()p q ⌝∧ C ．p q ∧ D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】C【分析】对于命题p ，取πa =可判断真假；对于命题q ，由()()lnln 0b x b xf x f x b x b x+--+=+=-+，可判断真假，从而逐项排除可得答案. 【详解】对于命题p ，取πa =，对任意实数x ，cos(π)cos x x -=-成立，因此p 真命题； 对于命题q ，函数()f x 的定义域是()b b -，，且()()ln ln 0b x b xf x f x b x b x+--+=+=-+， ∴()lnb xf x b x-=+为奇函数，因此q 真命题，所以q ⌝为假命题，p ⌝为假命题， 所以()p q ∧⌝为假命题，故 A 错误；()p q ⌝∧为假命题，故B 错误；p q ∧为真命题，故C 正确；()()p q ⌝∨⌝为假命题，故D 错误. 故选：C.6．若y a ，a 0a >，且1a ≠)成等比数列，则点(),x y 在平面直角坐标系内的轨迹位于（ ） A ．第三象限 B ．第四象限 C ．第一象限 D ．第二象限【答案】B【分析】由等比数列的定义可得，2y =,x y 的范围，即可得出结论.【详解】因为y a ，a 21()y x a a -+= ，即2y =20x ->，2x ∴>，所以21x x -<+，所以0y <，所以位于第四象限.故选:B.7．方程()()22220x x mxx n ----=有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则mn 的值为（ ） A ．158-B ．158C ．1516-D ．1516【答案】C【分析】由题意设4个根组成的等差数列为1x ，2x ，3x ，4x ，根据韦达定理可知14232x x x x +=+=，进而可得1232x d +=，求出4个根即可求解.【详解】设4个根组成的等差数列为1x ，2x ，3x ，4x ， 则14232x x x x +=+=，∴1232x d +=. 又∵1d =，∴112x =-，∴212x =，332x =，452x =， ∴1516mn =-， 故选：C8．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)的图象上相邻两个最值点间的距离为3，且过点(0,，则要得到函数()y f x =的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象（ ） A ．向右平移1个单位B ．向左平移1个单位C ．向右平移12个单位 D ．向左平移12个单位 【答案】A【分析】由函数过点(0,，可得π3ϕ=-，由函数的最值和最值间的距离可得6T =，进而可得π3ω=，求出函数解析式ππ()2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得结果.【详解】由题意(0)2sin f ϕ==π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.易知()f x 的最大值为2，最小值为2-，则相邻两个最值点间的距离为56T =⇒=，所以π3ω=. 所以ππ()2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2sin (1)3x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故要得到函数()y f x =的图象，只需将函数π2sin 3y x =的图象向右平移1个单位 .故选:A9．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ） A ．庚子年 B ．辛丑年C ．己亥年D ．戊戌年【答案】B【分析】根据“干支纪年法”的规则判断．【详解】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年， 故选：B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A BC D -的内切球的表面积为16π，则正方体外接球的体积为（ ）A ．81πB ．288πC ．36πD ．【答案】B【分析】设正方体的棱长为a ，求出三棱锥11A BC D -的内切球半径，设1A 到平面1BC D的距离为h ，可得1114A BC D O BC D V V --=，从而可得a=，求出正方体的对角线可得正方体外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解】设正方体的棱长为a ，则BD ， 因为三棱锥11A BC D -的内切球的表面积为16π， 所以三棱锥11A BC D -的内切球半径为2. 设三棱锥11A BC D -的内切球的球心为O ，1A 到平面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，∴111142833BC D BC D S h S h ⨯=⨯⨯⇒=△△，∴h =8=，a =所以正方体外接球的半径162R ==，正方体外接球的体积为34π288π3R =，故选：B11．已知函数()esin cos 2f x x x x x=-+⋅，当[]4,4x ππ∈-且0x ≠时，方程()0f x =的根的个数是（ ）A ．7B ．6C ．9D ．8【答案】D 【分析】设e()2g x x=，()sin cos h x x x x =- ，求方程()0f x =的根的个数，即求函数()y g x =与()y h x =的图象的交点个数.利用函数均为奇函数求解即可【详解】设e()2g x x=，()sin cos h x x x x =- ，求方程()0f x =的根的个数，即求函数()y g x =与()y h x =的图象的交点个数.因为()f x 与()g x 均为奇函数，故只需求函数()y g x =与()y h x =的图象在(04π]，上的交点个数.因为()sin h x x x '=，所以()h x 在(0π)，，(2π3π)，上单调递增，在(π2π)，，(3π4π)，上单调递减.画出函数()y g x =与()y h x =在(04π]，上的图象，如图所示：得两图象在(04π]，上有4个交点，故在[4π0)-，上也有4个交点，故方程()0f x =在[4π4π]-，上有8个根，故选：D【点睛】关键点点睛：将函数函数拆分成两个函数e()2g x x=，()sin cos h x x x x =- 研究其交点个数是关键12．已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：()0y kx m km =+≠与双曲线C 的右支交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以()0,1A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．()1,03,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()(),03,-∞+∞D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用判别式、两根之和与两根之积列不等式，根据M ，N 都在以()0,1A -为圆心的圆上列出等量关系，进而可得答案. 【详解】设11()M x y ，，22()N x y ，，由22222(12)42(1)022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒---+=⎨-=⎩，， 因为直线l 与双曲线的右支相交，则2221200120k m k ⎧-≠⎨∆>⇒+->⎩，①，且1224012mk x x k+=>-，21222(1)012m x x k -+=>-②， 设MN 的中点为00()G x y ，，则02212km x k =-，0212my k =-， 则2122AGm k k km+-=∵AG MN ⊥， ∴21212m k k km+-⨯=- ，∴2231k m =+③， 由①②③得3m >， 故选：A.【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式求解.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,0,0,x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩则不等式组表示的平面区域的面积为___________.【答案】4【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】可行域如图所示的阴影部分，A （2，2），B （2，﹣2）， 故11224422OABS AB =⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：4．14．已知点O 为坐标原点，抛物线23y x =与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA OB⋅等于___________. 【答案】2716-【分析】由题知抛物线23y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，进而分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.【详解】设2113y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2223y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线AB 斜率不存在时，1233,22y p y p ===-=， 所以22121233y y OA OB y y ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 221212127916y y y y +=-. 当直线AB 斜率存在时，设方程为()304x my m =+≠， 与抛物线联立方程得：29304y my --= 所以1294y y =-， ∴22121233y y OA OB y y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 221212127916y y y y +=-. 故答案为：2716-. 【点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论；此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，能够快速解题.15．已知n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________. 【答案】79【分析】根据26C C n n =，可得8n =，利用二项式展开式的通项公式求出有理项，再利用插空法以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由26C C n n =，得8n =，所以n的展开式中的通项为818C rr rr T -+==548683C r r r x--， 当0r =，6时为有理项，其余7项为无理项，所以有理项互不相邻的概率为727899A A 7A 9P ==. 故答案为：7916．设函数()f x =e 1e 1sin 22y x -+=⋅+上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】213,222e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】利用函数()f x 单调性可得00()f y y =，问题转化为()f x x =在[1e]，内有解，即232ln 2a x x x =--在[1e]，内有解，令23()2ln 2g x x x x =--，利用导数求出()g x 的值域即可求解.【详解】因为00()x y ，在曲线e 1e 1sin 22y x -+=+ 上，1sin 1x -≤≤，∴01e y ≤≤. 由于()f x =所以若00()f y y >，则000(())()f f y f y y >>，与00(())f f y y =矛盾，若00()f y y <，则000(())()f f y f y y <<，与00(())f f y y =矛盾，所以00()f y y =，则问题转化为()f x x =在[1e]，内有解，即方程2422ln 333x x a x ++=在[1e]，内有解， 得方程232ln 2a x x x =--在[1e]，内有解，令23()2ln 2g x x x x =--， 则()g x '=(32)(1)x x x+-，∴[1e]x ∈，时，()0g x '≥， 即()g x 在[1e]，上单调递增，所以(1)()g g x ≤213(e)()e e 222g g x ⇒--≤≤≤. 故答案为：213,222e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin 2cos A a B =+. （1）求角B ；（2）若3b =，且ABC 的面积等于2，求11a c +的值.【答案】（1）2π3；（2）2.【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a c +=求解.【详解】解：（1sin (2cos )A a B =+，sin sin (2cos )A B A B =+. ∵(0π)A ∈，，∴sin 0A >，cos 2B B -=，∴π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππ62B -=，∴2π3B =.（2）因为2ABCS=，∴12πsin 23ac =，∴2ac =. 又∵22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-，∴a c +=∴11a c a c ac ++==. 18．支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X (单位：元)，求X 的数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）①1825；②600. 【分析】（1）根据题干列联表，计算2K ，对照参照值得出结论； 【详解】（1）由题中表格数据可得22⨯列联表如下：将列表中的数据代入公式计算得：2K的观测值22100(30104515) 3.030 3.84125755545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关. ①抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率为33321815525P ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为Y ，则500X Y =. 由题意得235YB ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴26()355E Y =⨯=，所以X 的数学期望6()500()5006005E X E Y ==⨯=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，90ABC ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，1AD =，4BC =，23CD =.（1）求证：平面PBD ⊥平面PCD ； （2）若直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为42121，求线段PD 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2或6. 【分析】（1）过D 作DFAB ，交BC 于F ，可证四边形ABFD 为矩形，分别求得CF 、DF 、BD 的长，根据勾股定理，可证BD CD ⊥，根据题意，可得PD BD ⊥，根据线面垂直的判定定理，可证BD ⊥平面PCD ，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可得AB ，PA ，PC 坐标，求得平面P AB 的法向量n ，根据线面角的向量求法，代入公式，即可得答案. 【详解】（1）证明：如图，在直角梯形ABCD 中，过D 作DFAB ，交BC 于F ，∵DF AB ，AD BF ，90ABC ∠=︒，∴四边形ABFD 为矩形， ∵1AD =，4BC =，∴3CF =.又∵23CD =∴223DF DC FC AB =-， ∴222BD BF FD =+=，∴222BD CD BC +=，∴BD CD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BD ⊥，且PD CD D ⋂=， ∴BD ⊥平面PCD . 又∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面PCD .（2）解：如图，分别以DA ，DF ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设(0)PD a a =>，则：(100)A ,,，(13,0)B ,，(00)P a ,,，(33C -,,， ∴(030)AB =，，，(10)PA a =-，，，(3)PC a =--,,. 设()n x y z =，，为平面P AB 的法向量，由·0·0AB n PA n ⎧=⎨=⎩，即300y x az =-=⎪⎩，令x a =，可取(01)n a =，，， 设PC 与平面P AB 所成角为θ， 则22||421sin cos ,||||121PC n PC n PC n a a θ⋅=<>===⋅+⋅+，解得2a =6a =即线段PD 26.【点睛】解题的关键熟练掌握线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，并灵活应用，利用向量求解线面角时，平面法向量与直线方向向量所成角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值，考查计算求解的能力，属基础题.20．已知抛物线()220y px p =>上一点(),4M m 到焦点F 的距离是4.（1）求抛物线的方程；（2）过点F 任作直线l 交抛物线于,A B 两点，交直线2x =-于点C ，N 是AB 的中点，求CA CB CN CF⋅⋅的值.【答案】（1）28y x =；（2）1.【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，根据对称性只考虑斜率为正的情况，设点,,,A B N F 在准线上的投影分别为1A ，1B ，G ，H ，||||(0)||||CA CB a a CN CF ⋅=>⋅ ，所以||||||||CA CB a CN CF ⋅=⋅，即11||||||||CA CB a CG CH ⋅=⋅ ，设直线AB 的方程为2x my =+，设11()A x y ，，22()B x y ，，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再在2x my =+中，令2x =-得点C 坐标，再由1212()()()2C C C C y y y y y y a y y +⎛⎫-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭，化简整理可得a 的值，进而得到结论. 【详解】解：（1）因为42pMF m =+=①，且点(4)M m ，在抛物线上，所以216pm =②. 由①②得4p =，所以抛物线的方程为28y x =.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设点,,,A B N F 在准线上的投影分别为1A ，1B ，G ，H ，||||(0)||||CA CB a a CN CF ⋅=>⋅ ，所以||||||||CA CB a CN CF ⋅=⋅， ∴11||||||||CA CB a CG CH ⋅=⋅. 设直线AB 的方程为2x my =+，代入28y x =，得28160y my --=.设11()A x y ，，22()B x y ，，则128y y m +=，1216y y =-.在2x my =+中，令2x =-，得4y m =-，即42C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.所以1212()()()2C C C C y y y y y y a y y +⎛⎫-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭， 即22121212()()2C C C C ay y y y y y y y y ay -+-++=+，所以224161616816m a a m m m -+⋅+=+⋅ ， 即21(1)10a m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴1a =，所以||||1||||CA CB CN CF ⋅=⋅ . 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 21．已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x. （1）若24a b +=，当2a >时，讨论()f x 的单调性； （2）若1b =，()()3F x f x x=-，且当a ≥-时，不等式()1F x ≥在区间[]1,2上有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）1,ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）首先求出函数的定义域，由24a b +=，消去参数b ，求出导函数，再对参数a 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，再求出导函数222224()a a x F x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭'=，对224a -分类讨论，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）因为()1ln 1=+++f x a x bx x所以函数()f x 的定义域为(0)+∞，. 由24a b +=，得1()ln (42)1f x a x a x x=++-+， 则2[(2)1](21)()a x x f x x -+-'=，当4a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0)+∞，上单调递减； 当24a <<时，1()002f x x '<⇒<<或12>-x a ，11()022f x x a '>⇒<<-， 所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭，上单调递减，在1122，⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上单调递增； 当4a >时，1()002f x x a '<⇒<<-或12x >，11()022f x x a '>⇒<<-， 所以()f x 在102a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1122，⎛⎫⎪-⎝⎭a 上单调递增. （2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，[12]x ∈，， 则22222222224()1a a x a x ax F x x x x x ⎛⎫++-⎪++⎝⎭'=++==.①当2204a -≥，即a -≤()0F x '≥，所以()F x 在[12]，上单调递增， 所以max ()(2)F x F =.②当2204a -<，即a >2220(80)x ax a ++=∆=->的两根分别为1x ，2x ，则12x x a +=-，122x x =， ∴10x <，20x <， 所以在区间[12]，上，222()0x ax F x x ++'=>， 所以()F x 在[12]，上单调递增， 所以max ()(2)F x F =.综上，当a ≥-时，()F x 在区间[12]，上的最大值为(2)ln 221F a =+≥， ∴1ln 2a -≥， 所以实数a 的取值范围是1ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,32,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数). （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若()0,1P -为平面直角坐标系中的一点，Q 为C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）C ：22(2)(1)5x y -++=，l ：270x y -+=；（2）2. 【分析】（1）由极坐标与普通方程的转化即可得出22(2)(1)5x y -++=，消参可得270x y -+=.（2）设(21)Q αα-，，利用点到直线的距离公式可得结果. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin ρρθρθ=-，所以曲线C 的直角坐标方程为2242x y x y +=-，即22(2)(1)5x y -++=. 将直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为270x y -+=. （2）设(21)Q αα-，，则11M αα⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，. 所以点M 到直线l 的距离d ===，其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=，所以max 5102d +==.23．已知函数()2f x x a =-.（1）若对任意的[]2,2x ∈-，()42f x x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若()f x m ≤，()f y m ≤，求证：24333ax y m -+≤. 【答案】（1）(,8][4,)-∞-+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得|2|42x a x ---≥恒成立，即32a x -≤或2a x +≥恒成立，只需min (32)a x -≤或max (2)a x +≥即可.（2）只需证|24|3x y a m -+≤，由|2|x a m -≤，|2|y a m -≤，利用绝对值三角不等式即可证明.【详解】（1）解：当[22]x ∈-，时，|2|2x x +=+， 所以()4|2|f x x ≥-+恒成立，即|2|42x a x ---≥，∴22x a x --≥或22x a x --+≤，∴32a x -≤或2a x +≥恒成立， 所以min (32)a x -≤或max (2)a x +≥. 又[22]x ∈-，，∴8a ≤-或4a ≥， 所以实数a 的取值范围是(8][4)-∞-+∞，，. （2）证明：要证24333ax y m -+≤，只需证|24|3x y a m -+≤. 由()f x m ≤，()f y m ≤， 得|2|x a m -≤，|2|y a m -≤，则|24||(2)2(2)||(2)||2(2)|23x y a x a y a x a y a m m m -+=----+-+=≤≤， 所以24333ax y m -+≤.。
云南省师范大学附属中学2021届高三英语适应性月考卷(一)(含解析)
M：Don't be upset．You already know your weaknesses．It means you know how to make efforts towards the right direction．
W：Glad to see you，Ethan!
2. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】
What will the woman do next?
A. Go to the office.B. Leave the hallway。C. Interv解析】
【原文】W：Excuse me,I am here for an interview．Could you please tell me how to get to the manager’s office？
M：Please be careful next time．
W：Thank you very much．You're so warm-hearted．I will buy you the snack in return．
M：Oh，you don't have to do that．It's not a big deal．
4. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】
How's the woman feeling at work?
A。 Exhausted。B. Excited。C. Relaxed.
【答案】A
【解析】
【原文】M：Lisa, I just saw you in the coffee shop！
【精准解析】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(一)数学(理)试题
理科数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}21M x y x ==+，{}2(,)1N x y y x ==-+，则MN =（ ）A. {}1B. ()0,1C. ∅D. {}(0,1)【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，直接得出结果.【详解】因为集合{}21M x y x ==+为数集，{}2(,)1N x y y x ==-+为点集，所以两集合没有共同元素，则M N ⋂=∅. 故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型. 2. 在复平面内，复数21ii-+(i 为复数单位)对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限. D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算化简出21ii-+，即可得出对应点象限.【详解】()()()()22122313111222i i i i i i i i i ----+===-++-, ∴对应的点13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 3. 若随机变量(1,4),(0)0.2X N P X ≤=， 则(02)P X <<=（ ）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.8【答案】A 【解析】 【分析】 由随机变量(1,4)X N ，得到正态曲线的对称轴1x =，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量(1,4)XN ，可得正态曲线的对称轴1x =，所以()(02)1200.6P X P X <<=-≤=. 故选: A ．【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，属于基础题. 4. 已知tan 2α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.35B.45 C.35D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为221tan 1ta sin n 22πααα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即可得出结果.【详解】因为tan 2α=，所以222222cos sin 1t sin 22an 3cos 2sin cos 1tan 5αααααααπα⎛⎫--===-+= ⎪⎝++⎭， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.5. 电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21， 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo (如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A.731092π B.891092πC.1621092πD.161092π【答案】A 【解析】 【分析】根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率. 【详解】由题意，阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆，面积分别为64π和9π， 而整个长方形的宽为161026+=，长为261642+=，所以该点落在阴影部分的概率是64973π42261092P ππ+==⨯.故选：A ．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.6. 双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()3,0F ，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为（ ）D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，得到3c =，渐近线方程为0bx ay ±=，根据点到直线距离公式，求出1b =，得出a ，即可求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点为()3,0F ，即3c =，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=；又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，1=，即31bc=，所以1b =，则a ==因此4c e a ==. 故选：B ．【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 7. 如图，在ABC 中，3AC =，2AB =，60CAB ∠=︒，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =（ ）37 97 4343【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，由题意，得到2133AD AB AC =+，再由向量模的计算公式，即可求出结果.【详解】由题意，1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+． 所以222221414164137123339999929AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅=++⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，37AD =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查求平面向量的模，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型. 8. 在正项等比数列{}n a 中，11a =，前三项的和为7，若存在,m n N *∈14m n a a a =，则19m n +的最小值为（ ） A. 23 B. 43C.83D.114【答案】D 【解析】 【分析】先求出数列{}n a 14m n a a a =可得6m n +=，再利用基本不等式可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 前三项的和为7，则1237a a a ++=， 即260q q +-=，解得2q 或3q =-(舍去)，又由14m n a a a =，得11211116m n a q a q a --⋅=，即2422n m +-=，得6m n +=，所以19m n += 1198()63m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当32m =，92n =时，等号成立，但是m ，*n N ∈， 故2m =，4n =时，最小值为114. 故选:D ．【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题. 9. 如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A.56B.83C. 1D.163【答案】D 【解析】 【分析】先由三视图还原几何体，得到该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，进而可求出结果.【详解】由题意三视图对应的几何体如图所示，所以该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积， 即3111622222323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征即可，属于基础题型.10. 已知函数2212cos 42cos 2x x x x e x e f x x -+-+⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122019202020202020f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A. 2019B. 2020C. 4038D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到21(e e )22cos 2x x x f x x --⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，令2(e e )()cos 2x x x h x x --=+，得到其为奇函数，推出()f x 关于122⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称，进而可得出结果.【详解】22212cos e e 4(e e )22cos 2cos 2x x x x x x x x f x x x --+-+-⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭，令2(e e )()cos 2x x x h x x --=+，则2(e e )()()cos 2x x x h x h x x ---==-+，所以()h x 为奇函数， 所以()h x 关于坐标原点对称，则()f x 关于122⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称， 则有()(1)4f x f x +-=，所以122019112019+++2019=4038202020202020220202020f ff f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 故选：C ．【点睛】本题主要考查通过构造奇函数求函数值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型. 11. 设动直线x =t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P ，Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值，则下列描述正确的是（ ） A. min 2PQ =B.min 522PQ <<C. min 22PQ << D. min 3PQ >【答案】B 【解析】 【分析】根据条件将PQ 表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析min PQ 的取值范围.【详解】根据条件可知()(),,,ln tP t e Q t t ，所以ln tPQ e t =-，不妨令()()e ln 0x F x x x =->，则1()e x F x x'=-，又因为1320,0222F F ⎛⎫⎛⎫''=<=>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在012x ⎛∈ ⎝⎭，使得0001()e 0x F x x '=-=， 所以()F x 在()00,x 上递减，在()0+x ∞，上递增， 所以()F x 在0x 处取得最小值，且000001()e ln xF x x x x =-=+， 根据对勾函数的单调性可知：1y x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递减，00152x x <+<，所以有min 5||22PQ <<， 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.12. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作抛物线的弦，与抛物线交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，分别过A ，B 两点作抛物线的切线l 1，l 2相交于点P ，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.下面关于∆PAB 的描述: ①P 点必在抛物线的准线上 ②AP ⊥PB ;③设A (x 1，y 1)， B (x 2， y 2)，则∆PAB 的面积S 的最小值为22p④PF ⊥AB ; ⑤PM 平行于x 轴.其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】求出过A ，B 的切线方程，再求交点坐标、斜率、PAB 的面积逐项验证可排除答案.【详解】设11()A x y ，，22()B x y ，，则过A ，B 的切线方程分别为11yy px px =+，22yy px px =+， 联立解得1222y y p P +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以P 点必在抛物线的准线上，121222x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 且PM 平行于x 轴，所以①⑤正确； 两条切线的斜率12121ppk k y y ==-，所以AP PB ⊥，②正确； 设AB 的中点M ，则PM 平行于x 轴，则2212121211||||||2242PABy y p S PM y y y y p ⎛⎫+=-=+- ⎪⎝⎭△2121212122||1||||||2422y y p p y y y y p y y p p ⎛⎫+-=-≥= ⎪⎝⎭≥ 当AB x ⊥轴时，取等号，所以③错误； 1212212PF AB y y pk k py y +==--+，所以PF AB ⊥，④正确， 故选C ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，均值不等式及阿基米德三角形的性质，属于中档题.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 设实数x ，y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的最小值为_________【答案】23【解析】 【分析】画出不等式所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】画出0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域如下，由z x y =+得y x z =-+，则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距； 由图像可得，当直线y x z =-+过点M 时，在y 轴上的截距最小；由210x y y x+-=⎧⎨=⎩得11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此min 23z =. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查求线性规划的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 14. 在9(x的展开式中，则3x 的系数为_____________ 【答案】10206 【解析】 【分析】先求出9x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数为3，即可求出系数.【详解】9x⎛+ ⎝的展开式的通项公式39219C 3r r r r T x -+=，令3932r-=，解得4r =， 所以3x 的系数为449C 3=10206． 故答案为：10206.【点睛】本题考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.15. 已知P 是直线l : 260x y ++=上一动点，过点P 作圆C :22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B .则四边形PACB 面积的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆的方程为求得圆心(1,0)C -、半径r 为2，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【详解】由题意得：圆的方程为：22(1)4x y ++=∴圆心为(10)-，，半径r 为2，又∵四边形PACB 的面积S PA AC ==224AC PC =-所以当PC 最小时，四边形PACB 面积最小．将(10)-，代入点到直线的距离公式，min 22|16|||521PC -+==+，22||||521PA PB ∴==-=||222PACB PA rS ⋅=⋅= 故四边形PACB 面积的最小值为2． 故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．16. 已知有两个半径为2的球记为1O 、2O ，两个半径为3的球记为3O 、4O 这四个球彼此相外切，现有一个球O 与这四个球1O 、2O 、3O 、4O 都相内切，则球O 的半径为______. 【答案】6 【解析】 【分析】设12O O 的中点为M ，34O O 的中点为N ，推导出球心O 在MN 上，设球O 的半径为R ，根据勾股定理列方程解出R 即可.【详解】由题意可得124O O =，131423245O O O O O O O O ====，346O O =， 取12O O 的中点M ，34O O 的中点N ，连接MN 、1O N 、2O N 、3O M 、4O M ，则123O O O M ⊥，124O O O M ⊥，又34O M O M M =，12O O ∴⊥平面34O O M ，同理可证34O O ⊥平面12O O N ， 又因为平面12O O N平面34O O M MN =，所以，球心O 在线段MN 上，设球O 的半径为R ，则12OO R =-，43OO R =-，245O O =，43O N =，24O N ∴=，MN ==OM ==ON ==，MN OM ON =+=6R =.故答案为：6.【点睛】本题考查球的半径的求解，确定球心O 的位置是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=-（1）求角C ；（2）若c =且sin sin(2)sin 2C C A A ++=，求△ABC 的面积.【答案】（1）π3C =；（2）6或4.【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再根据余弦定理可求出1cos 2C =，继而得出角C ； （2）根据条件可得sin cos sin cos B A A A =，分cos 0A =和cos 0A ≠两种情况讨论可求出面积.【详解】（1）已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=-， 由正弦定理，()()()a c a c a b b +-=-， 整理得222ab a b c =+-， 由余弦定理：1cos 2C =，又0πC <<， 所以π3C =． （2）已知sin sin(2)sin 2C C A A ++=， 整理得sin()sin(π)sin 2A B B A A ++-+=，sin()sin()sin 2A B B A A ++-=，即2sin cos 2sin cos B A A A =．①当cos 0A =时，ABC 为直角三角形，155,,3tan 3c c C b C π====, 1155352ABC S =⨯⨯=△； ②当cos 0A ≠时，sin sin B A =， 所以a b =，ABC 为等边三角形，53ABC S =△, ABC ∴的面积为53或53．【点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求解，属于中档题.18. 某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图（1）求x 的值和数学成绩在90分以上的人数；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人，用ξ表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望 【答案】（1）0.02；12；（2）分布列见解析，0.8. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，由频率分布直方图列出方程，即可求出x ，进而可求出数学成绩在90分以上的人数；（2）先得出从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.2P =，由题意，可得(40.2)B ξ，，进而可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，x 的值为10.050.10.150.30.0220x ----==，数学成绩在90分以上的人数：20(0.40.150.05)12⨯++=．（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.150.050.2P =+=，所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人， 所选4人中成绩在110以上的人数(40.2)B ξ，，随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，4(0)0.80.4096P ξ===，134(1)C 0.20.80.4096P ξ==⨯⨯=，2224(2)C 0.20.80.1536P ξ==⨯⨯=，334(3)C 0.20.80.0256P ξ==⨯⨯=，4(4)0.20.0016P ξ===， 随机变量ξ的分布列随机变量ξ数学期望()40.20.8E ξ=⨯=．【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =()1证明:平面1AA B ⊥平面11AAC C ； ()2求二面角1B AC C --的正弦值.【答案】()1证明见解析；()2154. 【解析】 【分析】()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值的求法及向量积的知识点得出结果.【详解】解：()1证明：如图，1A B ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1A B AC ⊥．又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，∴AC ⊥平面1AA B ．又AC ⊂平面11AAC C ，∴平面1AA B ⊥平面11AAC C ．()2过点A 作平面ABC 的垂线作为z 轴，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000A ，，，()100B ，，，()010C ，，，(1103A ，，，(1113C ，，， ()0,1,0AC =，(13AC =，()1,0,0AB =，设平面1ACC 的法向量()1111n x y z =，，，则有11100AC n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令11z =，()1301n =-，，， 设平面1ABC 的法向量()2222n x y z =，，，则有11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222030x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令21z =，()2031n =，，， 向量1n ，2n 所成角的余弦值：12121cos 4n n n n θ⋅==⋅．∴215sin 1cos θθ=-=∴二面角1B AC C --15．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查二面角正弦值的求法，考查分析问题能力，空间想象能力，属于中档题.20. 已知点P 3(1,)2-是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)-，．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,)2-即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点. 【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =， 又312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b +=，解得b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y -，， 11121332211y y k k x ---+==+，解得14x =-，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++-=， 122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，22430k m ∆=-+>． 由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫-++-++-= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k ---=． 当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意； 当4m k =时， 22430k m ∆=-+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)-，． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题.21. 已知函数2()(12)ln f x x a x a x =+--(R a ∈且0)a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当2a >时，若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明:0()0f x '>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到(21)()()x x a f x x+-'=，分别讨论0a <和0a >两种情况，进而可得出函数单调性；（2）先由（1）得到()2(12)a f x x a x'=+--，()0,x ∈+∞，对其求导，判定2a >时，()'f x 单调递增；将0()0f x '>转化为0x a >，设()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<， 将问题转化为证明122x x a +>；根据题意，得到()212121ln ln 21a x x x x a x x -+=-+-，证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+，令211x t x =>，()4ln 21t h t t =+-+，根据导数的方法判定其单调性，即可得出()21ln 1t t t ->+，进而可得结论成立.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，22(12)(21)()()0x a x a x x a f x x x +--+-'===，解得112x =-(舍去)，2x a =．当0a <时，()0f x '>在(0+)∞，上恒成立，所以函数()f x 单调递增； 当0a >时，在(0)a ，上()0f x '<，函数()f x 单调递减，在()a +∞，上()0f x '>，函数()f x 单调递增．综上，0a <时，函数()f x 单调递增；0a >时，()f x 在(0)a ，上单调递减；在()a +∞，上单调递增； （2）由（1）知，()2(12)af x x a x'=+--，()0,x ∈+∞， 令()2(12)ag x x a x=+--，()0,x ∈+∞，则2()2a g x x '=+，当2a >时，2()20ag x x '=+>恒成立，所以()g x 单调递增， 即()'f x 单调递增；又()0f a '=，故要证0()0()f x f a ''>=，即证0x a >；设()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<，由题设条件知，1202x x x +=，因此只需证122x x a +>；由题意，21112222(12)ln 0(12)ln 0x a x a x x a x a x ⎧+--=⎨+--=⎩，两式作差可得，()()()2221212112ln ln 0x x a x x a x x -+----=，即()()()2221212121ln ln x x a x x a x x -=--+-，即()212121ln ln 21a x x x x a x x -+=-+-，下面先证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即证21221212112122ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令211x t x =>，()()()212144ln ln ln 2111t t h t t t t t t t -+-=-=-=+-+++， 则()()()()()()22222141140111t t t h t t t t t t t +--'=-==>+++显然成立， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，所以()21ln 1t t t ->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 所以212121ln ln 2x x x x x x ->-+，因此()21212121ln ln 22121a x x ax x a a x x x x -+=-+>-+-+，即()21212122a x x x x a x x -++->+，()()212121220x x a x x a x x +-+-+>+， 即()21211210x x a x x ⎛⎫+-+> ⎪+⎝⎭因此122x x a +>，所以原命题得证.【点睛】本题主要考查判定函数的单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4: 坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程:1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线C 2的普通方程:y 2=8x ，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系（1）分别求曲线C 1、曲线C 2的极坐标方程;（2）射线=3πθ与曲线C 1、曲线C 2的交点分别为P ，Q (均异于O 点)，C ，(1，0)，求∆PQC 的面积【答案】（1）22(1)1x y -+=，2sin 8cos ρθθ=；（2. 【解析】【分析】（1）按照公式转化即可.（2）求出PQ 的长度按照三角形面积公式计算即可.【详解】解：（1）由曲线1C 的参数方程1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)， 消参得曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=（2）1228cos 13||||2cos sin 3PQ θρρθθ=-=-=，点1C 到直线||PQ 的距离d =所以11||2PQC S PQ d ==△．【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的综合问题.[选修4-5:不等式选讲]23. （1）求函数()2123f x x x =--+的最大值m ;（2）若a >1，b >1，c >1，a +b +c =m ，求111111a b c ++---的最小值.【答案】（1）4；（2）9.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值；（2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4f x x x x x =--+---=≤， 所以4m =．（2）由（1）知：4m =，即4a b c ++=，所以1111a b c -+-+-=， 由柯西不等式：2111111(111)(111)9111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++-+-+-++= ⎪------⎝⎭≥，当且仅当43a b c ===，等号成立，111111a b c ++---的最小值为9．【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.。
云南师大附中2021届高三高考适应性月考卷(三) · 理数
理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案A C C DB B A DCD B C【解析】1．∵222x y +≤，x ∈N ，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选A ．2．()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，1i z =-，故选C ．3．∵11()E p ξ=，22()E p ξ=，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1)()(1)D p p D p p ξξ=-=-，，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=--->，故选C ．4．3log 15133(25)(log 15)1log [2(25)]31359f f --+=+--+=++=，故选D ．5．由题意得a b =，222144x y b =⇒-=，故选B ．6．设()a x y = ，，∵a 在b 方向上的投影为4-，∴4||a b b =- ，又()a b b λ+⊥ ，∴()a b b λ+= 0，即0a b b b λ+= ，即24||||0b b λ-+= ，解得12λ=，故选B ．7．由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A <<︒︒，所以60A =︒，tan 3A =，故选A ．8．由三视图知，该几何体的直观图如图1所示．平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE -的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则111122AED S =⨯⨯=△，ABC ABE S S ==△△121222⨯=，151522ACD S =⨯=△，则四棱锥A BCDE -1225++，故选D ．9．因为α，β为锐角，所以(0π)αβ+∈，．又因为5cos()αβ+=所以sin()αβ+=2251cos ()αβ-+=因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan tan 21tan ααα==-247-，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++，故选C ．10．因为21(1)()(1)(e e )cos(1)2x x f x x a x ---=-+++--，且2()(e e )cos 2x x g x x a x -=+++-为偶函数，也有唯一零点0x =，所以(0)0g =，解得12a =，故选D ．11．设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，联立方程241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消y 得2440x kx --=，因为216160k ∆=+>，所以124x x k +=，124x x =-，所以2||1PQ k =+ 221212()44(1)x x x x k +-=+，又原点O 到直线1l 的距离为211d k =+，所以21S =24(1)k +，同理222141S k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22212218416S S k k ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当“1k =±”时取等号，故2212S S +的最小值为16，故选B ．12．因为33log 42log 2a ==，24log 32log 3b ==，0.20.2log 0.092log 0.3c ==，30log 2<=33332log 8log 93<，422113log 3log 3log 2224=>，230.20.22log 0.2log 0.33=<<340.23log 0.24=，综上，a c b <<，故选C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516图答案2-80-83①③④【解析】13．作出约束条件对应的平面区域，当目标函数2y x z =+经过点(10)，时，z 取得最小值2-．14．在522y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为10315C (2)r r r r r T x y -+=-，令3r =，可得3xy 的系数为80-．15．如图2所示，令AB a =，PD DA OO h '===，则BO AO ''==33DO =.外接球表面积为16π，所以半径2r =，在Rt △PDO 中，222DO DP PO +=，即22343a h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即22143a h +=，得223(4)a h =-，所以体积2113233P ABC ABC V S PA h -== △ 2333)h h h ==-，令33())f h h h =-(0)h >，23()3)f h h '=-，()f h 在230⎛ ⎝⎭，上单调递增，在23⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，所以23h =时，P ABC V -的最大值为23833f ⎛= ⎝⎭．16．①若π5ϕ=，()f x 在[02π]，上有5个零点，可画出大致图象，由图3可知，()f x 在(02π)，有且仅有3个极大值点，故①正确；②若π4ϕ=，且()f x 在[02π]，有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02π]，有且仅有2个极小值点，故②错误；③若π5ϕ=，由()f x 在[02π]，上有5个零点，得24π29π2π<55ωω≤，即1229<510ω≤，当π010x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，ππππ55105x ωω<+<+，所以ππ49ππ1051002ω+<<，所以()f x 在π010⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；④若π4ϕ=，因为02πx ≤≤，∴02πx ωω≤≤，∴πππ2π444x ωω++≤≤，因为()f x 在[02π]，有且仅有4个零点，所以π4π2π5π4ω+<≤，所以151988ω<≤，所以④正确；⑤若()f x 的图象关于π4x =对称，π4x =-为它的零点，则π224kT T =+(k ∈Z ，T 为周期)，得2π()21T k k =∈+Z ，又()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，所以π6T ≥，112k ≤，又当5k =时，11ω=，π4ϕ=-，()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调；当4k =时，9ω=，π4ϕ=，()f x 在π5π1836⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）设{}n a 的公比为q ，则由1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，，得11a =，3q =，所以13n n a -=．设等差数列{}n b 的公差为d ，∵1b ，2b ，4b 成等比数列，221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=，∴2n b n =．………………………………………………………………（6分）（2）12112343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n ---=⨯+⨯++++-+……，①21332343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n -=⨯+⨯++++-+……，②②−①得212122323233(2)(21)31n n n n T n n -=-⨯-⨯-⨯--⨯+=-+…，图2图3∴(21)312n n n T -+=．……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955i i y y ====∑，5511()5212510889811757928i i i i i i xx y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521(50i i xx =-=∑，521()16i i y y =-=∑，因而相关系数12211()()2870.99501652()()n i i i n n i i i i x x y y r xx y y ===--=-⨯--∑∑∑ ．由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．由于0r <，故其关系为负相关．…………………………………………（4分）（2）由（1）知，121(()28ˆ0.5650()n ii i n i i x x y y b xx ==---===--∑∑ ，∴ˆˆ9(0.56)712.92ay bx =-=--⨯=，则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+.当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=．………………（8分）（3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=，得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =如图4，连接OB ，因为2AB BC ==，所以ABC △为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=，知PO OB ⊥，图4由OP OB ⊥，OP AC ⊥，知PO ⊥平面ABC ．…………………………（5分）（2）解：如图所示，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(000)O ，，，(200)B ，，，(020)A -，，，(020)C ，，，(0023)P ，，，(0223)AP = ，，，取平面PAC 的法向量(200)OB = ，，，设(20)(02)M a a a -<，，≤，则(40)AM a a =- ，，，设平面PAM 的法向量为()x y z =，，n ，由0AP = n ，0AM = n ，得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，可取(3(4)a =-n ，3)a a -，，所以22223(4)cos 23(4)3a OB a a a -〈〉=-++ ，n ．由已知可得3|cos |2OB 〈〉= ，n ，所以22223|4|3=23(4)3a a a a --++，解得4a =-(舍去)，43a =，则114163423323A PMC P AMC V V --==⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥A PMC -163…………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）当12a =-时，函数的解析式为()e x f x x -=+，则()e 1x f x -'=-+，由()e 10x x f -'=-+=，得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以函数在区间(0)+∞，上单调递增，在区间(0)-∞，上单调递减，函数的最小值为0(0)e 01f =+=．……………………………………………（5分）（2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，即e 2ln(1)10x ax x +++-≥(*)，令()e 2ln(1)1x h x ax x =+++-，则1()e 21x h x a x '=+++．①若1a -≥，由（1）知e 1x x -+≥，即e 1x x --≥，故e 1x x +≥，111()e 2(1)2(1)2220111x h x a x a x a a x x x '=+++++++=++++ ≥≥≥ ，∴函数()h x 在区间[0)+∞，上单调递增，∴()(0)0h x h =≥，∴（*）式成立；②若1a <-，令1()e 21xx a x ϕ=+++，则2221(1)e 1()e 0(1)(1)x x x x x x ϕ+-'=-=++≥，∴函数()x ϕ在区间[0)+∞，上单调递增，由于(0)220a ϕ=+<，2111(2)e 212210121212a a a a a a a a ϕ--=++-++=+>---≥，故0(02)x a ∃∈-，，使得0()0x ϕ=，则当00x x <<时，0()()0x x ϕϕ<=，即()0h x '<，∴函数()h x 在区间0(0)x ，上单调递减，∴0()(0)0h x h <=，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[1)-+∞，．………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）设椭圆的焦距为2c ，因为离心率为12，∴12c a =，又点(10)，是抛物线的焦点，∴1c =，24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………（4分）（2）∵直线l ：y kx t =+与圆222x y +=相切，∴原点到直线l的距离为d r ===，即222(1)t k =+，∴22t ≥．设11()M x y ，，22()N x y ，，00()P x y ，，由22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得222(43)84120k x ktx t +++-=，∴122843kt x x k -+=+，212241243t x x k -=+，∴121226()243t y y k x x t k +=++=+，∵()OP OM ON μ=+ ，∴020*******kt x k t y k μμ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又P 在椭圆C 上，∴2222864343143kt t k k μμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，∴432||t μ=．设MN 的中点为E ，则()2OP OM ON OE μμ=+= ，∴四边形OMPN的面积为122||||2MON S S MN d MN μμ=== △====，令2222111()143243k f k k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则∵2433k +≥，∴11()32f k <≤，∴2S <≤∴四边形OMPN面积的取值范围为[2．………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）当π2α=时，l 的普通方程为1x =；当π2α≠时，l 的普通方程为2tan (1)y x α-=-，即(tan )2tan 0x y αα-+-=．由ρ=，得2222223cos 316x y x ρρθ+=++=，即221416x y +=．………………………………………………………………（5分）（2）将1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，，代入221416x y +=中，整理得22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，依题意得120t t +=，即28cos 4sin 013cos ααα+-=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α=-，所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=，则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=．………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：由311()513313x x f x x x x x -+-⎧⎪=+-<<⎨⎪-⎩，，，，，≥，≤知1t =-时，4m =．………………………………………………………………（5分）（2）证明：因为a ，b ，c 均为正实数，14a b c +++=，由柯西不等式，+即1113+当且仅当1a b c ===时，取等号．……………………………………………（10分）。
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（2）射线 与曲线C1、曲线C2的交点分别为P，Q(均异于O点)，C，(1，0)，求∆PQC的面积
23．（1）求函数 的最大值m;
（2）若a>1，b>1，c>1，a+b+c=m，求 的最小值.
参考答案
1．C
【分析】
根据集合中元素的特征，直接得出结果.
【详解】
⑤PM平行于x轴.
其中正确的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．设实数 ， 满足 ，则 的最小值为_________
14．在 的展开式中，则 的系数为_____________
15．已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C: 的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________.
所以该点落在阴影部分的概率是 .
故选：A．
【点睛】
本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.
6．B
【分析】
先由题意，得到 ，渐近线方程为 ，根据点到直线距离公式，求出 ，得出 ，即可求出离心率.
【详解】
因为双曲线的右焦点为 ，即 ，
双曲线 的渐近线方程为 ；
又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，
（1）求x的值和数学成绩在90分以上的人数；
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人，用ξ表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望
19．如图，在三棱柱 中， ， 平面 ， ，
证明:平面 平面 ；
求二面角 的正弦值.
20．已知点P 是椭圆C: 上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
A． B． C． D．
6．双曲线 的右焦点为 ，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ， ， ，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （）
A． B． C． D．
8．在正项等比数列 中， ，前三项的和为7，若存在 使得 ，则 的最小值为（）
C．第三象限.D．第四象限
3．若随机变量 ，则 （）
A．0.6B．0.4C．0.3D．0.8
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
5．电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21，其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（）
16．已知有两个半径为 的球记为 、 ，两个半径为 的球记为 、 这四个球彼此相外切，现有一个球 与这四个球 、 、 、 都相内切，则球 的半径为______.
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求角C；
（2）若 ，且 ，求△ABC的面积.
18．某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图
A． B． C． D．
9．如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）
A． B． C．1D．
10．已知函数 ，则 （）
A．2019B．2020C．4038D．4040
11．设动直线x=t与曲线 以及曲线 分别交于P，Q两点， 表示 的最小值，则下列描述正确的是（）
A． B．
C． D．
因为集合 为数集， 为点集，
所以两集合没有共同元素，则 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查求集合的交集，属于基础题型.
2．D
【分析】
先根据复数除法运算化简出 ，即可得出对应点象限.
【详解】
,
对应的点 在第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，属于基础题.
3．A
【分析】
由随机变量 ，得到正态曲线的对称轴 ，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
12．过抛物线 的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交关于∆PAB的描述:
①P点必在抛物线的准线上
②AP⊥PB;
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∆PAB的面积S的最小值为
④PF⊥AB;
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问:直线l是否过定点?证明你的结论
21．已知函数 且 .
（1）讨论函数 的单调性;
（2）当 时，若函数 的图象与 轴交于 ， 两点，设线段 中点的横坐标为 ，证明: .
22．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程: （ 为参数），曲线C2的普通方程:y2=8x，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 ( 为复数单位)对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限
【详解】
由题意，随机变量 ，可得正态曲线的对称轴 ，
所以 .
故选:A．
【点睛】
本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，属于基础题.
4．C
【分析】
根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为 ，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.
5．A
【分析】
根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率.
【详解】
由题意，阴影部分包括半径为 和半径为 的两个圆，面积分别为 和 ，
而整个长方形的宽为 ，长为 ，