§2.1.2 命题公式、解释与真值表(一)
命题公式及其真值表
第二节 命题公式及其真值表在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。
简单命题又称为命题常项或命题常元。
命题常项有确定的真值。
在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。
称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。
命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。
定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。
这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。
单独使用（¬A ），（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。
在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。
在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。
定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，np 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。
若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。
若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。
本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：（1）设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指11p a =，22p a =，L ，n n p a =。
（2）若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，2q a =，L ，即按字典顺序赋值。
命题、联结词、命题公式与真值表
1、一些基本概念 逻辑、命题、真值
2、联结词 3、命题公式 4、真值表
问题？
一、命题的定义
命题P——不关心其具体涵义，只关心其值的 真值
命题变元——定义域：真、假 命题常元——T和F 命题公式（也称命题，合式公式）——含命题变元
的断言，由以下规则生成： （1）单个原子公式是命题。 （2）若A、B是命题公式，┐A、A∧B、A∨B、
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
Hale Waihona Puke 111回顾一下：五个联结词真值表
否定
等价（双条件）
合取
析取
蕴涵（条件）
几个相关概念
1、合式公式的层次：
0层
1层
2层
3层
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
1
1
1
几个相关概念
A（BC） （D E）
1 01
10
p
2、什么情况下，下面论述为真：
q
说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而
说如果小王会唱歌，小李会跳舞是不正确的。
（p q） （pq）
综合问题1
Key:
A→B、AB也是命题公式。 （3） 有限步应用条款（1）（2）生成的公式。
例：下列符号串都是命题公式
下列符号串是否为命题公式？
命题、联结词、命题公式与真值表
命题公式真值表
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3 命题公式与翻译
(2) 不是所有由命题变元 ,常元 ,联结词和括号组成的字符串 都能成为命题公式.例如, P , P (Q ) 等不是命题公式.
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
分配律
P (Q R) ( P Q) ( P R)
吸收律
P ( P Q) P , P ( P Q) P
1-4 真值表与等价公式
4.基本等价公式
德·摩根律 同一律 零律 否定律 (互补律) 条件式转化律 双条件转化律
( P Q) P Q , ( P Q) P Q
1-3 命题公式与翻译
1、命题公式(合式公式)
定义 1 由命题变元、常元、联结词、括号以规定的格式联结 起来的字符串称为命题公式,也称合式公式.命题公式中的命 题变元称为命题公式的分量.
例如,若 P 和 Q 是命题变元, 则下面式子均是命题公式
§2.1.2-2 公式的解释与真值表
下一页
注意: 注意 变元的取值顺序!(二进制由小到大的顺 变元的取值顺序 二进制由小到大的顺 序)
选择目次
公式的解释与真值表
6
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公式的解释真值表
1
定义2.1.2.3： 定义2.1.2.3： 2.1.2.3 公式Ｇ在其所有可能的解释下所取真值的 公式Ｇ 称为的真值表。 表，称为的真值表。
下一页
公式的解释与真值表
2
例2.1.2.4： 2.1.2.4： 设有公式： Ｇ＝（ 其中，Ｐ、 设有公式： Ｇ＝（Ｐ∧Ｑ）→Ｒ。其中，Ｐ、 Ｑ、Ｒ是 的所有命题变元，则其真值表如下： Ｑ、Ｒ是Ｇ的所有命题变元，则其真值表如下： P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 P∧Q ∧ (P∧Q)→R ∧ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 公式的解释与真值表 表2.1.2.1
二、公式的解释与真值表 定义2.1.2.2： 定义2.1.2.2： 2.1.2.2 设命题变元P 是出现在公式Ｇ 设命题变元P1、P2、P3、…、Pn是出现在公式Ｇ 中的所有命题变元，指定P1、P2、P3、…、Pn一 中的所有命题变元，指定P 组真值，则这组真值称为Ｇ的一个解释 解释， 组真值，则这组真值称为Ｇ的一个解释，常记为 Ｉ。 一般来说，若有ｎ个命题变元，则应有2 一般来说，若有ｎ个命题变元，则应有2n个不同 的解释。 为什么？ 的解释。（为什么？）
3
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该真值表可简化为： 该真值表可简化为： P Q R (P∧Q)→R 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 表2.1.2.2
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
命题、联结词、命题公式与真值表
A（BC） （D E）
1 01
10
p
2、什么情况下，下面论述为真：
q
说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而
说如果小王会唱歌，小李会跳舞是不正确的。
（p q） （pq）
综合问题1
Key:
2、赋值、成真（假）赋值、指派
pq
qp
00
1
赋值
01
0
10
1
11
1
成真赋值
指派
(qp) q (qp) qp
0
1
0
1
0
1
1
1
练习1：求命题公式的真值表
1、P∧Q）→R
2、┐（（P∨Q）∧P）
3、Q∧（P→Q）→P
4、设p，q的真值为0；r，s的真值为1，求下列
命题公式的真值
（1）P∨（Q∧R）
A→B、AB也是命题公式。 （3） 有限步应用条款（1）（2）生成的公式。
例：下列符号串都是命题公式
下列符号串是否为命题公式？
命题、联结词、命题公式与真值表
1、一些基本概念 逻辑、命题、真值
2、联结词 3、命题公式 4、真值表
一、真值表
真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表
例 给出公式的真值表： A= (qp) qp 的真值 表
pq
qp (qp) q (qp) qp
00
1
0
1
01
0
0
1
10
1
0
1
11
1
1
1
回顾一下：五个联结词真值表
否定
等价（双条件）
合取
析取
蕴涵（条件）
几个相关概念
命题的逻辑运算与真值表
命题的逻辑运算与真值表逻辑运算是数理逻辑中的一个重要概念，它描述了命题之间的关系和推理规则。
命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
本文将介绍命题的逻辑运算及其真值表。
一、基本逻辑运算基本逻辑运算包括与运算（∧）、或运算（∨）和非运算（¬）。
1.1 与运算（∧）与运算表示两个命题同时为真时，整个逻辑表达式才为真。
符号为"∧"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∧今天是晴天"表示我只有在今天是晴天的时候才喜欢游泳。
1.2 或运算（∨）或运算表示两个命题中至少有一个为真时，整个逻辑表达式才为真。
符号为"∨"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∨今天是晴天"表示我不管今天是不是晴天，只要我喜欢游泳就为真。
1.3 非运算（¬）非运算表示对命题的否定。
如果一个命题为真，则其否定为假；如果一个命题为假，则其否定为真。
符号为"¬"。
例如，命题P为"我喜欢游泳"，则"¬我喜欢游泳"表示我不喜欢游泳。
二、复合逻辑运算在基本逻辑运算的基础上，可以进行复合逻辑运算，包括蕴含（→）、等价（↔）和异或（⊕）。
2.1 蕴含运算（→）蕴含运算表示如果前提为真，则结论也为真。
符号为"→"。
例如，命题P为"如果下雨，那么我会带雨伞"，命题Q为"下雨了"，则"P→Q"表示如果下雨了，那么我会带雨伞。
2.2 等价运算（↔）等价运算表示两个命题具有相同的真值，当且仅当两个命题的真假相同时，整个逻辑表达式为真。
符号为"↔"。
命题公式真值表
(4) (P Q) (P Q);
(5) (P Q) (P Q).
A
6
1-4 真值表与等价公式
解 (1) P Q 的真值表为:
P
Q
T
T
T
F
F
T
F
F
P Q
T F T T
(2) P Q 的真值表为:
P
Q
PQ
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
A
7
1-4 真值表与等价公式
(3) (P Q) P 的真值表为:
(1)单个命题变元本身是一个合式公式;
(2)如果 A 是合式公式,那么 A是合式公式;
(3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B, A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)
所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串
是合式公式.
A
3
1-3 命题公式与翻译
A 中的 X 用Y 置换,所得公式 B 与公式 A 等价,即 A B .
例 4 证明: Q (P (P Q)) Q P
例 5 证明下列等价式
(1) (P Q) (P Q) P ;
(2) P (Q R) Q (P R) .
练习 证明 P (Q R) (P Q) R
A
14
1-4 真值表与等价公式
例 6 化简下列命题公式: (1) P (P (Q P)) (2) (P Q) (Q P)
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
命题公式及真值表
离散结构命题公式及真值表教学目标基本要求（1）会判断命题公式及其层次；（2）真值表；（3）公式类型；重点难点真值表的应用。
命题中的符号命题中的符号：(1) 命题常元：真值唯一确定。
例如：T、F(2) 命题变元：真值可变化。
例如：P、Q、R(3) 联接词：优先级按¬, ∧, ∨, →, ↔递减(4) 辅助符号如括号（）。
命题中的符号任意组成的符号串是否都有意义？例：(∧p ¬q) pq →(思考：按什么规律组成的符号串才有意义？合式公式合式公式：合法的命题公式。
（简称公式）（1）命题常元或变元是合式公式（2）若A, B是合式公式，(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式（3）只有有限次地应用(1)、(2)形成的符号串才是合式公式注意这个定义是递归的。
(1)是递归的基础，由(1)开始，使用规则(2)，可以得到任意的合式公式。
公式简写的约定1) 最外层括号可以省略；2) 省略括号后, 运算顺序与联结词的优先级一致，则可以省略；3) 相同联结词按从左到右的顺序计算，则可以省略。
公式的层次定义：（1）若公式A 是单个的命题变项，则称A 为0层公式。
（3）若公式的层次为k ，则称A 是k 层公式。
（2）若有下面情况之一的，称A 为n+1层公式:A 是¬B ，B ∧C ，B ∨C ，B→C ，B↔C ，其中B 、C 分别是i 层、j 层公式，且n=max(i,j)； 例：((¬p ∧q)∨(p ∧ ¬q))→r1层 2层 3层 4层公式的解释命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才有确定值，成为命题。
解释（I）：给公式A（ P1，P2，…,Pn ）中的命题变元P1，P2，…,Pn指定一组真值称为对A的一个解释（赋值）。
成真赋值: 使公式为真的赋值。
成假赋值: 使公式为假的赋值。
逻辑学真值表及命题演算
回溯思考方法
1. 2. 3. 4.
A(BC) A D C(EF) DF
/E
(1)“回溯”思考，首先要考察待证结论与前提的关联性， 待证结论处在命题的后件，要获证必须基于对前件 C的肯定。 (2) C与前提1关联，要获取必须基于主联结关系的销去。 (3) 前提1的销去，取决于对前提2中条件A的否定。 (4) 要获取对A的否定，必须基于对后件D的否定，而后件 D的否定处在前提4之中，要获取 D必先分解前提4。
直接证明法：推导结论
1. (BD) 2. CD 3. AB 4. (EF)C 5. AF 6. A (5. 销去) 7. B (3.6.销去) 8. BD (1.7.等值) 9. D (7.8.销去) 10. C (2.9.销去) 11. (EF) (4.10.销去) 12. EF (11.等值) 13. F (5.销去) 14. E (12.13.销去)
否定式： ¬p 合取式：p∧q 析取式：p∨q 蕴涵式：p→q 等值式：p←→q
三、五种基本真值形式的真值表
• 定义，真值表是数理逻辑中用以定义命题 联结词并确定复合命题真或假的一种图表。 • T 表示“真”、F 表示“假” • 1、¬p p T F ¬p F T
2、 p∧q
p
T T F F
q
T F T F
（1）命题公式的性质判定
（2）推理形式有效性的判定 （3）命题公式之间关系的判定
重言式、矛盾式、可满足式的判定
• 1、重言式（又叫永真式）是指在一个命题形式 中不论其中的变项取什么值，该命题形式的值 总是真的。
• 如： p∨ ¬p
p T F ¬p F T p∨ ¬p T T
• 2、矛盾式（又叫永假式）是指在一个命 题形式中不论其中的变项取什么值，该命 题形式的值总是假的。 • 如： p∧ ¬p
2 离散数学-命题公式,真值表
2 命题公式,真值表(1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支.数学------⎧⎨⎩符号运算推理---思维过程:前提结论命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化.例1 (a) 4是偶数.张林学习优秀.太阳系以外的星球上有生物.(b) 这朵花真美丽!现在开会吗?(c) 3 5.x +>我正在说慌.特征分析(a) 陈述句,非真即假.(b) 感叹句,疑问句.(c) 悖论.定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值.成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0.例2 (1) 2008年奥运会在北京举行.(2) 22 5.⨯=(3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦.用符号表是上述命题,并求真值.解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T(2) :Q 22 5.⨯= .F(3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F(2) 3, 35,+ 3(41).+- 例3 (1) 今天没有数学考试.(2) 下午,我写信或做练习.(3) 王芳不但用功,而且成绩优秀.(4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边.特征分析(a)存在自然语言中的虚词.(b)语句可以分解,细化.定义2 称下列符号为逻辑联结词否定 ⌝ 非 P ⌝析取 ∨ 或者 P Q ∨合取 ∧ 且 P Q ∧蕴涵 → 若----,则----- P Q →等价 ↔ 当且仅当 P Q ↔逻辑联结词真值的规定例4 将下列命题符号化.(1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧⌝(2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨(3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ↔注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.⌝∧∨→↔2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧只有----,才----; 除非----,才-----; →3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥)小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨⇔∧⌝∨⌝∧4 ,P Q -----------------------简单命题()P Q R ∨→-----------复合命题(由简单命题及逻辑联结词按一定规则组成)5 复合命题的真值由简单命题和逻辑联结词真值规定共同确定.“若雪是黑的,那么太阳从西边出来了.”P :雪是黑的. :Q 太阳从西边出来了.P Q → 真值 为 T6 蕴含联结词的真值规定解释“若天下雨,那么我带伞.”何时自食其言.前件:P 天下雨.后件:Q 我带伞.则有命题 P Q → 仅当天下雨,我没有带伞时才自其言，即当前件为T ，后件为F 时，命题才为F .对应的真值情况如下:(3) 3,;43;ππ-221, 5.;23;24|x y x x y x y ==++-定义3 真值确定的命题,称为命题常元1,0,否则为命题变元,记号仍用,.P Q命题公式是由按下列规则生成的符号串(1)命题常元是命题公式(2)命题变元是命题公式(3)若,P Q 是命题公式,则,,,,P P Q P Q P Q P Q ⌝∨∧→↔也是命题公式.(4)有限次运用(1),(2),(3)得到的字符串也是命题公式.注 1 递归定义.():,,,().P Q R P P P Q P Q R ⌝→∧⌝⌝→⌝→∧2 ,(()Q P Q ∧∨不是命题公式.(4) 定义4 命题公式中,命题变元的一组确定的真值,称为该公式的一个真值指派.真值指派的全体构成的表,称为该公式的真值表.注 命题公式12(,,,)n A P P P 一共有2n 个真值指派.例5 求命题公式()Q P Q P ∧→→的真值表.解(5) 22sin cos 1,arcsin 2,30.x x x x +=≥+>例6 讨论下列命题公式的真值情况.(),P P Q ⌝→→ (),P Q P ∧∧⌝ ().P P Q ∨⌝→ 解定义5 命题公式12(,,,)n A P P P 在2n 个真值指派下其值⎧⎪⎨⎪⎩永真永假至少有一个真 称A 为重言式矛盾式可满足式(1) 数理逻辑、命题逻辑研究的内容。
用真值表法判断命题公式
用真值表法判断命题公式真值表法是一种用于判断命题公式的方法，它通过列出所有可能的真值赋值并逐一计算公式的真值，最终确定命题公式的真值。
以下是关于真值表法的详细解释，包括其原理、步骤以及示例。
真值表法的原理是基于命题逻辑的基本概念，其中命题是指一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。
命题公式由命题符号和逻辑联结词（如与、或、非）组成，它们用于组合和连接命题。
真值表表示了所有可能的命题符号的真值赋值及相应的公式的真值。
使用真值表法可以判断一个命题公式的真值取值，即真或假。
在这个过程中，根据命题公式中的命题符号的真值赋值情况，计算每个子公式的真值，并最终确定整个公式的真值。
步骤如下：1.计算公式中的命题符号的个数：记为N。
2.构建一个包含N列的真值表，每一列代表一个命题变量的真值。
3.确定真值表的行数：由于每个命题符号都有两个可能的真值（真或假），所以真值表的行数为2^N。
4.从第一行开始填充真值表，对每个命题变量进行真值赋值。
5.按照公式中的逻辑联结词逐一计算子公式的真值。
6.逐行填充真值表，计算整个命题公式的真值。
7.最后一列中的真值即为整个命题公式的真值。
以下是一个示例，以说明真值表法的具体步骤。
考虑以下命题公式：(p∨q)→r，其中p、q和r是命题变量。
1.计算命题符号的个数：N=32.构建一个包含3列的真值表，每一列分别代表p、q和r的真值。
3.由于有3个命题变量，所以真值表共有2^3=8行。
4.从第一行开始填充真值表：p，q，r---，---，---T，T，TT，T，FT，F，TT，F，FF，T，TF，T，FF，F，TF，F，F5.按照公式中的逻辑联结词计算子公式的真值，首先计算(p∨q)的真值：p，q，p∨q---，---，------T，T，TT，F，TF，T，TF，F，F6.然后计算整个命题公式的真值(r→(p∨q))：p，q，r，p∨q，r→(p∨q)---，---，---，------，----------T，T，T，T，TT，T，F，T，TT，F，T，T，TT，F，F，T，TF，T，T，T，TF，T，F，T，TF，F，T，F，FF，F，F，F，T7.最后一列中的真值即为整个命题公式的真值。
《命题公式真值表》课件
命题公式的组成
命题符号
用来代表命题的符号，例如P、Q。
连接词
用来连接命题的词，例如否定、合取、析取。
命题公式的举例
1 真命题
2 假命题
3 合式命题
命题公式的真值始终为真。
命题公式的真值始终为假。
命题公式由多个命题符号 和连接词组成。
连接词的分类与举例
否定
对命题取反，例如非P。
合取
两个命题都为真时，整个命 题才为真，例如P且Q。
命题公式的应用领域与意义
命题公式在现实生活中有哪些应用？
析取
两个命题至少一个为真时， 整个命题为真，例如P或Q。
条件
若P为真，则Q也为真，例如P→Q。
双条件
当P和Q的真值相同时，整个命题为真，例如 P↔Q。
生成命题公式的方法
命题符号的选择
选择具有代表性的符号表达命题。
连接词的运用
灵活运用连接词构建复杂的命题公式。
真值表的构建方法
1
真值表的构建步骤
2
列出所有可能的命题取值组合，并计算
整个命题的真值。
3
真值的定义
根据命题的取值，确定每个命题的真值。
命题公式的应用
命题演算
利用命题公式对逻辑电路进行分 析和设计。
逻辑推理
运用命题公式的规则进行问题的 分析和解决。
总结与回顾
命题公式的概念、组成、举例、分类及运用通过本课件，你学来自了什么？真值表的构建方法
真值表如何帮助我们分析和验证命题公式？
《命题公式真值表》PPT 课件
欢迎来到《命题公式真值表》PPT课件！这个课件将带你深入了解命题公式的 概念、组成、举例、分类及运用，以及真值表的构建方法和命题公式的应用 领域与意义。
数理逻辑中的命题逻辑与真值表
数理逻辑中的命题逻辑与真值表数理逻辑是研究形式系统的一门学科，主要关注于判断、推理和表达的规则。
其中，命题逻辑是数理逻辑的基础，用于研究命题的真值和逻辑关系。
在命题逻辑中，真值表是一种重要的工具，用于描述命题的真假情况和逻辑运算的结果。
本文将介绍数理逻辑中的命题逻辑以及真值表的基本概念和应用。
一、命题逻辑的基本概念命题逻辑是研究命题的逻辑关系的一种形式系统。
在命题逻辑中，命题是可以判断真假的陈述句，通常用大写字母P，Q，R等表示。
命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
简单命题是不能进一步分解的命题，而复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接构成。
常见的逻辑运算符有合取（∧），析取（∨），蕴含（→），等值（↔）和否定（¬）。
合取表示与关系，只有当连接的命题都为真时，合取命题为真；析取表示或关系，只有当连接的命题至少有一个为真时，析取命题为真；蕴含表示如果...那么...关系，当前提为假或者结论为真时，蕴含命题为真；等值表示两个命题具有相同的真值；否定表示命题的反面。
二、真值表的基本概念真值表是用来描述命题的真假情况和逻辑运算的结果的表格。
在真值表中，列出了所有可能的命题组合及其对应的真值。
对于n个命题，共有2^n种可能的命题组合。
每种命题组合都对应一个真值，通过真值表可以直观地了解命题间的逻辑关系。
以一个简单的真值表为例：P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P → Q--------------------------------------T | T | T | T | TT | F | F | T | FF | T | F | T | TF | F | F | F | T在上述真值表中，P和Q代表两个命题，P ∧Q表示P和Q的合取，P ∨ Q表示P和Q的析取，P → Q表示P蕴含Q。
根据真值表可以得知P和Q的真假情况，以及不同逻辑运算的结果。
真值表为判断命题逻辑的真值和逻辑关系提供了有效的工具。
用真值表法判断命题公式
用真值表法判断命题公式真值表法是一种常用的推理方法，用于判断命题公式的真假。
它通过列出所有可能的真假组合来确定命题公式的真值。
在进行真值表法判断时，首先需要确定命题公式中所有的命题变量。
命题变量是命题公式中可以取真或假的变量。
然后，列出所有可能的真假组合，并依次代入命题公式，以确定每种组合下命题公式的真值。
举个例子，假设我们有一个命题公式为p∨(¬q∧r)，其中p、q和r是命题变量。
那么我们可以列出如下的真假组合：p，q，r，¬q，(¬q∧r)，p∨(¬q∧r):-----:，:-----:，:-----:，:--:，:------:，:----------:真，真，真，假，假，真真，真，假，假，假，真真，假，真，真，真，真真，假，假，真，假，真假，真，真，假，假，假假，真，假，假，假，假假，假，真，真，真，真假，假，假，真，假，假通过代入每种组合，我们可以得出该命题公式的真值表。
从真值表中可以看出，该命题公式在p为真，或(¬q∧r)为真时，整个命题公式为真。
因此，该命题公式可以表示为p∨(¬q∧r)。
这就是真值表法判断命题公式的基本过程。
在进行真值表法判断时，我们还可以利用真值表的特点来推导命题公式的等价关系、重言式、矛盾式等。
例如，如果我们得出一个真值表中的其中一列的值全为真，那么可以得出该命题公式是一个重言式。
如果其中一列值全为假，那么命题公式是一个矛盾式。
真值表法的优点是能够准确地判断命题公式的真假，而不受语义混淆的干扰。
然而，对于较复杂的命题公式而言，真值表法的计算量可能非常庞大，因为需要列出所有可能的真假组合。
在这种情况下，可以考虑使用其他推理方法，如逻辑推理、等价转换、命题演算等来简化问题。
综上所述，真值表法是一种能够准确判断命题公式真假的常用推理方法。
它通过列出所有可能的真假组合，代入命题公式，来确定命题公式的真值。
真值表法可以用于推导命题公式的等价关系、重言式和矛盾式，并且可以用于简化复杂的命题公式。
命题公式
• （III）有限次地应用（I）、（II）形成的符号串是
命题公式（简称公式）。
• 注：该定义为递归形式；
公式即表示命题的符号串。
例子
• 例2.2.1
(P Q) (P Q R) 是否为命题公式？
• 例2.2.2 判断下列符号是否为命题公式. • （1） (P Q) (Q S ) • （2） ((R Q) P) (Q P) • （ 3） ( R P ) • （4） P ( R )
否则称这组值为成假指派.
• 说明：n个命题变元的公式，共有 2n 个指派. • 定义2.2.3 将公式的在所有指派下所取的真值列成
表，称为真值表.
• 真值表构造步骤如下： • （1）所有命题变元，列出 2n 组指派，从0...0开始，按二
进制，直到1...1为止.
• （2）计算出各指派下各层次的真值，最后计算出公式的
二、命题的符号化
• 命题符号化时要注意： • （1）善于确定简单命题， • 如“我和小王是同学”是一个简单命题. • （2）辨析自然语言中的联结词 • 如：狗急跳墙，应理解为：狗急了，：狗才跳墙 • （3）注意自然语言常有歧义性
例子
• 例2.2.4
不去了. 如果周日天气好，我们就去镜泊湖旅游，否则就
真值，写在最后一列.
• A与B真值表是否相同，看真值表最后一列，而不考虑中
间过程.
• 真值表的构造请看例题.
( P Q) (P Q) (P Q) R ( P Q) Q R
P Q (P Q) ( P Q) ( P Q) (P Q)
0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1
离散数学自学笔记命题公式及其真值表
我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。
深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。
相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。
命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。
下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。
定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。
（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。
（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。
命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。
公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。
例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。
为使公式的表示更为简练，我们作如下约定：（1）公式最外层括号一律可省略。
（2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。
（3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。
例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s）））设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。
如对公式A：┐p→q∨（r∧q∨s），则p，┐p ，q ，（r∧q∨s）及q∨（r∧q∨s）都是公式A的子公式，而┐q，┐p→q，虽然是公式，但确不是A的一部分，因此不是A 的子公式；q∨（r∧虽然是公式A的一部分，但不是公式，因而也不是A的子公式。
数理逻辑--第2讲命题公式和真值表
离散数学命题公式和真值表第2讲命题常项犹如数学中常量（a,b,c ）命题变项犹如数学中变量（x,y,z ）确指的或具体的命题。
命题常项命题变项不确指的或抽象的命题。
命题常项与命题变项都用p,q,r…等表示。
对命题变项p而言，p只是一个标识，可以用任何一个具体的命题替代。
命题公式将命题常项（即1，0）和命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串。
(1)(2)单个命题常项和命题变项是命题公式，称为原子公式。
若A是命题公式，则(⎤A)也是命题公式。
(3)若A，B是命题公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(A↔B)也是命题公式。
(4)由有限次地应用(2)~(3)形成的符号串是命题公式。
定义2.1（命题公式）注意1设A是公式，B为A中连续的一部分，若B也是公式，则称B为A的子公式。
2公式最外层的括号可以去掉。
注意3优先级规定（1）各联结词运算的优先级为：⎤，∧，∨，→，↔。
（2）对于同一级者一目，从右向左二目，从左到右（3）括号优先，从里到外。
注意根据运算优先级的规定不必要的括号也可以去掉。
如:（p∨q)∨(⎤r)可写为p∨q∨⎤r真值表公式的解释和赋值将公式中的每个命题变项都指定一个具体的命题，抽象的公式就具有了实际的意义，成了命题，具有了真值，这称为公式的解释。
对公式的解释相当于是将指定为真（假）命题的命题变项赋值1（0）。
真命题假命题赋值1赋值0命题变项定义2.2（公式的赋值）设p1 ，p2 ，…，p n是出现在公式A中的全部的命题变项，给p1，p2，…，p n各指定一个真值，称为对A的一个赋值。
定义2.2（公式的赋值）将n个命题变项按下标顺序或字典顺序排列后，赋值就相当于一长为n的0，1字符串。
思考含有n个命题变项的公式共有多少个不同的赋值？SAT（适定性问题）给一个命题公式，它是否存在一个成真赋值？1971年Cook证明：SAT问题是（第一个）NPC问题。
定义2.3（真值表）将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表，称做A的真值表。
§2.1.2-1 什么是命题公式
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命题公式、解释与真值表
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例2.1.2.3： 2.1.2.3： 公式( ))→ ))可表示 公式(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ))→(Ｑ∧(┐Ｓ∨Ｒ))可表示 如下： 如下： (Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ))→(Ｑ∧(┐Ｓ∨Ｒ)) Ｐ Ｑ Ｑ Ｓ (Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)) Ｐ Ｑ Ｐ Ｑ∨Ｒ Ｐ Ｑ Ｑ Ｒ Ｓ 图2.1.2.1
§2.1.2 命题公式、 命题公式、解释与真值表
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命题公式、解释与真值表
1
一、什么是命题公式 简单讲就是由命题表示符，逻辑联结词，括号按 简单讲就是由命题表示符，逻辑联结词， 正确的规律联结起来 形成的符号串。 联结起来， 正确的规律联结起来，形成的符号串。 定义2.1.2.1： 定义2.1.2.1 2.1.2.1： 1．命题变元本身是一个公式； 命题变元本身是一个公式； 2．如Ｐ是公式，则(┐Ｐ)也是公式； 是公式， (┐Ｐ 也是公式； 3．如Ｐ,Ｑ是公式,则(Ｐ∧Ｑ)、(Ｐ∨Ｑ)、 是公式, （Ｐ→Ｑ）、（ＰＱ）也是公式 也是公式； （Ｐ→Ｑ）、（ＰＱ）也是公式； 4．命题公式仅由有限步使用规则1-3后产生的结 命题公式仅由有限步使用规则1 该公式常用符号Ｇ、Ｈ、......等表示 Ｇ、Ｈ、......等表示。 果。该公式常用符号Ｇ、Ｈ、......等表示。
选择目次
命题公式、解释与真值表 6
(Ｑ∧(┐Ｓ∨Ｒ)) Ｑ Ｓ Ｑ ┐Ｓ∨Ｒ Ｓ ┐Ｓ Ｓ Ｒ
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命题公式、解释与真值表
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例2.1.2.2: 符号串： 符号串： ∧┐Ｑ (Ｐ→Ｑ)∧┐Ｑ)； (Ｐ→Ｑ； (┐Ｐ∨Ｑ∨ (Ｒ； Ｐ∨Ｑ∨。 等都不是合法的命题公式。 等都不是合法的命题公式。
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命题公式、解释与真值表
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从图论角度，每一个命题都可以用一棵“树” 从图论角度，每一个命题都可以用一棵“ 角度 来表示（后面要学！）： 结点”为联接词； ！）：“ 来表示（后面要学！）：“结点”为联接词； 树叶”是公式。 “树叶”是公式。