截面形心和惯性矩的计算

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截面的静矩和形心位及惯性矩的计算

y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的惯性积一定等于零。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC

A1 Z1 A1
A2 Z2 A2

46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC

1 12

20 1403

20 140
(8046.7)2
I
2 yC

1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
120 103 152 120 10

1 12

703
10

(25)2

70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2

10

70 2

45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y ==整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1）2.形心与静矩关系图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x=， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

截面形心和惯性矩的计算

工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。

定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。

面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。

2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。

图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。

3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。

如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。

组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。

(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。

定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。

极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。

(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。

2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。

惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。

惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。

截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算

x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的惯性积一定等于零。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二、截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1

Ix
2
Iy
sin 2α

I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩惯性矩惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为

y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix

A y2dA

h
2h
by2dy
2

bh3 12
Ix A y2dA

惯性矩的计算方法

惯性矩的计算⽅法第1节静矩和形⼼静矩和形⼼任何受⼒构件的承载能⼒不仅与材料性能和加载⽅式有关，⽽且与构件截⾯的⼏何形状和尺⼨有关．如：计算杆的拉伸与压缩变形时⽤到截⾯⾯积 A ，计算圆轴扭转变形时⽤到横截⾯的极惯性矩 I等． A 、 I等是从不同⾓度反映了截⾯的⼏何特性，因此称它们为截⾯图形的⼏何性质．静矩和形⼼设有⼀任意截⾯图形如图 4 — 1 所⽰，其⾯积为 A ．选取直⾓坐标系 yoz ，在坐标为 (y,z) 处取⼀微⼩⾯积 dA ，定义微⾯积dA 乘以到 y 轴的距离 z ，沿整个截⾯的积分，为图形对 y 轴的静矩 S，其数学表达式(4 -1a )同理，图形对 z 轴的静矩为(4-1b)图 4-1截⾯静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴 y 、 z 的不同⽽不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次⽅．确定截⾯图形的形⼼位置 ( 图 4-1 中 C 点 ):(4 -2a )(4-2b)式中 y、 z 为截⾯图形形⼼的坐标值．若把式 (4-2) 改写成(4-3)性质：若截⾯图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截⾯的形⼼．若坐标轴通过截⾯形⼼，则截⾯对此轴的静矩必为零．由于截⾯图形的对称轴必定通过截⾯形⼼，故图形对其对称轴的静矩恒为零。

4 ）⼯程实际中，有些构件的截⾯形状⽐较复杂，将这些复杂的截⾯形状看成是由若⼲简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合⽽成的．对于这样的组合截⾯图形，计算静矩 (S) 与形⼼坐标 (y、 z ) 时，可⽤以下公式(4-4)(4-5)式中 A， y ， z 分别表⽰第个简单图形的⾯积及其形⼼坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数．即：组合图形对某⼀轴的静矩等于组成它的简单图形对同⼀轴的静矩的代数和．组合图形的形⼼坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的⾯积．组合截⾯图形有时还可以认为是由⼀种简单图形减去另⼀种简单图形所组成的．例 4-1 已知 T 形截⾯尺⼨如图 4-2 所⽰，试确定此截⾯的形⼼坐标值．图 4-2解： (1) 选参考轴为 y 轴， z 轴为对称轴，(2) 将图形分成 I 、两个矩形，则(3) 代⼊公式 (4-5)惯性矩、惯性积和惯性半径设任⼀截⾯图形 ( 图 4 — 3) ，其⾯积为 A ．选取直⾓坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取⼀微⼩⾯积 dA ，定义此微⾯积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平⽅，沿整个截⾯积分，为截⾯图形的极惯性矩 I．微⾯积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平⽅，沿整个截⾯积分为截⾯图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩．数学表达式为极惯性矩 (4-6)对 y 轴惯性矩 (4 -7a )同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b)图 4-3由图 4-3 看到所以有即(4-8) 式 (4 — 8) 说明截⾯对任⼀对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。

(完整版)惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一. 要点及难点：( 一). 截面静矩和形心1.静矩的定义式如图 1 所示随意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对随意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydS y xdAx dA dSx ydA整个图形对 y、 z 轴的静矩分别为x×C yS y xdAA（I-1）0A y x Sx ydAA2.形心与静矩关系图 I-1设平面图形形心 C 的坐标为y C, z C则0y S x S y（ I-2）A， xA推论 1假如 y 轴经过形心（即 x0 ），则静矩S y0 ；同理，假如x轴经过形心（即y 0 ），则静矩Sx0 ；反之也建立。

推论 2 假如 x、 y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；假如y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为A1 , A2 , A3A n的简单图形构成，且向来各族图形的形心坐标分别为x1 , y1； x2 , y2； x3 , y3，则图形对y轴和x轴的静矩分别为nnS ySyiA i x ii 1 i 1 （I-3 ）nnS xS xiA i y ii 1i 1截面图形的形心坐标为nnA i x iA i y ixi 1，yi 1（I-4）nnA iA ii 1i 14.静矩的特点(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴相关。

(2) 静矩有的单位为 m 3 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对随意形心轴的静矩必然为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必经过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（ I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（ I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心地点，往常是先由式（ I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，而后由式（ I-4）求出其形心坐标。

常用截面惯性矩与截面系数的计算

常用截面几何性质计算返回目录项目公式单位宽度b mm外高H mm内高h mm面积A=b*（H-h)mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H-h)b³/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=b(H³-h³）/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm形心到边缘的距离e y=b/2mm形心到边缘的距离e z=H/2mm对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度H mm内宽h mm面积A=H^2-h^2mm^2对Y轴的惯性矩Iy=(H^4-h^4)/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=(H^4-h^4)/12mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=H/2mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 形心到边缘的距离e z1=0.707*H mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3对Z轴抗弯截面系数W z1=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3a=0,三角形顶宽a mm底宽b mm高h mm面积A=h*（a+b)/2mm^2对Y轴的惯性矩mm^4对Z轴的惯性矩Iz=h^3*(a^2+4*a*b+b^2)/36/(a+b)mm^4对Y轴惯性半径mm 对Z轴惯性半径iz=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y1=h*(2*a+b)/(a+b)/3mm 形心到边缘的距离e y2=h*(a+2*b)/(a+b)/3mm 对底边抗弯截面系数W z1=Iz/e y1mm^3对顶边抗弯截面系数W z2=Iz/e y2mm^3抗扭截面系数mm^3正多边形边数n边长a mm 外接圆半径R=a/2/sin（180°/n）mm 内接圆半径r=a/2/sin（180°/n）mm 面积A=n*R^2*sin(2*Pi/n)/2mm^2惯性矩I=A*(6*R^2-a^2)/24mm^4对Y轴惯性半径i=（I/A）^0.5mm形心到底边的距离e y=r mm 形心到顶边的距离e y1=R mm 对底边抗弯截面系数W z=I/R/cos（Pi/n）mm^3对顶点抗弯截面系数W z1=I/R mm^3抗扭截面系数mm^3宽度a mm直径d mm面积A=a^2-Pi*d^2/4mm^2对Y轴的惯性矩Iy=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=a^4/12-Pi*d^4/64mm^4对Y轴惯性半径i=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=a/2mm 形心到边缘的距离e z=a/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/4mm^2惯性矩I=Pi*(D^4-d^4)/64mm^4惯性半径i=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e=D/2mm 抗弯截面系数W=I/e mm^3抗扭截面系数Wt=Pi*D^3(1-（d/D）^4)/16mm^3外径D mm内径d mm面积A=Pi*(D^2-d^2)/8mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*（D^4-d^4)/128mm^4对Z轴的惯性矩Iz=0.00686*(D^4-d^4)-0.0177*D^2*d^2*(D-d)/(D+d mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=2*(D^2+D*d+d^2)/3*Pi*(D+d)mm 形心到边缘的距离e z=D/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Pi*D^3*(1-d^4/D^4)/64mm^3对顶点的抗弯截面系数W z=Iz/（D/2-e y)mm^3对底边的抗弯截面系数W z1=Iz/e y mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/12mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/4mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm宽度b mm深度t mm面积A=Pi*d^2/4-2*b*t mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4/64-t*b^3/6mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4/64-b*t*(d-t)^2/2mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3直径d mm支架d1mm面积A=Pi*d^2/4-d1*d mm^2对Y轴的惯性矩Iy=Pi*d^4*(1-1.69*d1/d)/64mm^4对Z轴的惯性矩Iz=Pi*d^4*(1-1.69*d1^3/d^3)/64mm^4对Y轴惯性半径i y=（Iy/A）^0.5mm 对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度b mm高度H mm高度h mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=(B*H^3+b*h^3)/12mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e z=H/2mm 对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm高度H mm高度d mm面积A=B*H+b*h mm^2对Z轴的惯性矩Iz=mm^4对Z轴惯性半径i z=（Iz/A）^0.5mm 形心到边缘的距离e y=d/2mm 形心到边缘的距离e z=d/2mm 对Y轴抗弯截面系数W y=Iy/e y mm^3对Z轴抗弯截面系数W z=Iz/e z mm^3抗扭截面系数mm^3宽度B mm宽度a mm205214 4533.375 7642.7109384.6026074495.9760858861010 453.3375 764.271093810102020。

史上最全的常用截面几何特性计算公式

史上最全的常用截面几何特性计算公式构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。

1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。

截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。

静力矩可以是正的，也可以是负的。

它的维数是长度的三次方。

静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。

2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。

如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。

形心坐标xo、yo的计算公式为：3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。

截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。

下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为：转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。

构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。

一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。

例如，平行四边形对中心线的惯性矩为4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。

截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整个截面上的积分。

下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为：极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。

构件的抗扭能力与惯性矩成正比。

圆形截面相对于其中心的惯性矩为5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。

面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为:惯性积的量纲是长度的四次方。

截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。

6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。

截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。

惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

截面形心和惯性矩的计算

工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。

定义：积分上t 和A分别定义为该图形对z 轴和y 轴的面积矩或静矩，用符号S z 和S y ，来表示，如式(2 — 2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。

面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m 3或mm2 •面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2 — 2.2)(2 — 2.2)或改写成，如式(2 — 2.3):二 X 乙 (2面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。

图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。

—2.3)1 •面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之, 图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。

3 •组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。

如式(2—2.4)鬲=刀殆=£4订(2 — 2.4)式中，A和y i、乙分别代表各简单图形的面积和形心坐标。

组合平面图形的形心位置由式(2 —2.5)确定迟4吗i-i(2 —2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1 •极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。

定义：积分1 称为图形对0点的极惯性矩，用符号I P,表示，如式(2 —2.6)' (2 —2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。

极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 —7)(2 —2.7)⑵对于外径为D内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2 —2.8)p 32 (2—2.8)式中，.：二d/D为空心圆截面内、外径的比值。

2 •惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2 —2.9)^2 =J "沁卜'厂(2 — 2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。

截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算

tg 2 0
2Ixy
Ix Iy
求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。
主惯性矩的计算公式
ห้องสมุดไป่ตู้
I x0
I y0
Ix
2
Iy
1 2
Ix
Iy
2
4
I
2
xy
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有
一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中
的极值。即：Imax = Ix0 ,
Imin = Iy0
截面的对称轴一定是形心主惯性轴。
求形心主惯性矩的步骤
确定形心的位置
x
Ai x i
,
y
Ai
yi
Ai
Ai
选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 x ，y, 计算 Ix , Iy , Ixy
I x I xi I y I yi
I xy I xyi
确定主惯性轴的位置
I 1 2 xy
2 0
tg
(
)
Ix Iy
计算形心主惯性矩
Ix0 I x I y
I y0
2
1 2
(I x
I
y
)2
4
I
2 xy
例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。
120
y
80
70 20 10
c
x
10
y
解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。过形心 c 选一对座标轴 X , y 轴，计算其惯性矩（积）。
70 20 10
120
97.3 104 mm4
2 I xy
tg2 0 (
Ix
) 1.093 Iy

截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件

数值模拟与优化
利用数值模拟技术，如有限元方法、边界元方法等，可以更精确地计算截面的静矩和形心位置及惯性矩，并在此基础上进行结构优化设计。
03
多学科交叉
未来研究可以结合多个学科领域，如物理学、化学、生物学等，以更全
面地理解截面的静矩和形心位置及惯性矩的本质和规律，推动相关领域
的发展。
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详细描述
对于任意形状截面，其静矩可以通过对截面进行微分，然后计算每个微元面积与微元重心到截面边缘的距离乘积，最后对所有微元的静矩进行积分得到。形心位置可以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积与微元重心坐标的平均值得到。惯性矩可以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积、微元重心到截面边缘的距离以及微元的转动惯量，最后对所有微元的转动惯量进行积分得到。
矩值。
通过公式计算其半径和圆周率，得出惯性矩值。
通过公式计算其长轴、短轴和圆周率，得出惯
性矩值。
不规则截面
需采用数值分析方法进行近似计算或通过实验
测量得出。
03
截面几何特性的应用
结构强度分析
静矩
静矩是截面内力的一个重要参数，用于计算截面在受力时的稳定性。静矩的计算公式为 ∫(y*dA)，其中y为截面各点到截面中心的距离，dA为面积微元。
形心位置
形心是截面的几何中心，其位置决定了截面的质量分布和转动惯量。形心位置可以通过积分计算得到，公式为∫dA/A∫dxdy，其中A为截面面积。
惯性矩
惯性矩是衡量截面抗弯能力的重要参数，其计算公式为∫y^2dA，其中y为截面各点到形心距离，dA为面积微元。
结构稳定性分析
结构失稳
当结构受到的外部载荷超过其承载能力时，结构会发生失稳，导致结构变形甚至破坏。

惯性矩的计算方法

第1节静矩和形心4.1静矩和形心任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关.而口与构件截面的几何形状和尺寸有关.如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面而积A ,计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I?等.A、1?等是从不同角度反映了截而的几何特性，因此称它们为截而图形的几何性质.4.1静矩和形心设有一任意截而图形如图4 一1所示，其面积为A .选収直角坐标系yoz ,在坐标为（y,z）处取一微小而积dA ,定义微而积dA乘以到y轴的距离z ,沿整个截面的积分，为图形对y轴的静矩S?,其数学表达式(4 -la )同理，图形对z轴的静矩为□4-1图41截面静矩与坐标轴的选取有关•它随坐标轴y、z的不同而不同.所以静矩的数值可能足正，也可能足负或定零.静矩的虽纲为长度的三次方.确定截面图形的形心位置（图4-1中C点）:A (4-2b)第1页共30页式中T、"为截而图形形心的坐标值.若把式（4-2）改写成心"•儿，為"•乙（4 3）性质：・若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心.・若坐标轴通过截而形心，则截而对此轴的静矩必为零.・山于截而图形的对称轴必定通过截而形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。

4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是山若干简单图形（如矩形、圆形等）组合g而成的.对于这样的组合截而图形，计算静矩（S»‘ r）与形心坐标（y*、z '）时，可用以下公式1-1 2-1式中A— y i , z i分别表示第，个简单图形的面积及其形心坐标值，n为组成组合图形的简单图形个数.即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和.组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积.组合截面图形有时还可以认为是山一种简单图形减去另一种简单图形所组成的.例4J己知T形截面尺寸如图4-2所示，试确定此截面的形心坐标值.i-1 i-1 (4-5)图4-2解：(1)选参考轴为y 轴，z 轴为对称轴,(2)将图形分成I 、口两个矩形，则= 20 x 100加朋 S 右=(10 + 140)^^34 = 2Q X 14%/,22 二注型(3)代入公式(4・5)20x100x150+20x140x70 20x100 + 20x140此=°4.2惯性矩、惯性积和惯性半径设任一截面图形(图4-3),其而积为A ・选取直角坐标系yoz ,在坐标为(y 、z)处取一微小面积dA ,定义此微2面积dA 乘以到坐标原点o 的距离的平方Q ,沿整个截面积分，为截而图形的极惯性矩I?.做而积dA 乘以到坐标轴y 的2距离的平方2 ,沿整个截而积分为截面图形对y 轴的惯性矩I 》•极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩.j.l ~2Z4数学表达式为打=f p^dA极惯性矩“俎（4-6）对y轴惯性矩图4-3山图4-3看到“ =y +Z 9所以有打=\A^dA= £cy2 +/）曲二必+加必即；? （4-8）式（4-8）说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。

惯性矩、静矩,形心坐标公式

§I−1截面的静矩和形心位置之袁州冬雪创作如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1）分别定义为该截面临于z 轴和y 轴的静矩.静矩可用来确定截面的形心位置.由静力学中确定物体重心的公式可得操纵公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z A C d d （I −2）或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y yCz C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和.即：图I −1⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中Ai 、yci 和zci 分别暗示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数.将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6）例题I −1图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置.解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴.因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此zC=0，只需计算yC 值.将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则AⅠ=，AⅡ= yⅠ=，yⅡ=§I −2惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，例题I −1图图I −2在图形平面内建立直角坐标系zOy.现在图形内取微面积dA ，dA 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 和z ，到坐标原点的间隔为ρ.现定义y2dA 和z2dA 为微面积dA 对z 轴和y 轴的惯性矩，ρ2dA 为微面积dA 对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===⎰⎰⎰A ρI A z I A y I A Ay Az d d d 2P 22（I −7）分别定义为该截面临于z 轴和y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩.由图（I −2）可见，222z y +=ρ，所以有 ⎰⎰+=+==Ayz AI I A z y A ρI )d (d 222P （I −8）即任意截面临一点的极惯性矩，等于截面临以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和.别的，微面积dA 与它到两轴间隔的乘积zydA 称为微面积dA 对y 、z 轴的惯性积，而积分Azyd I Ayz ⎰=（I −9）定义为该截面临于y 、z 轴的惯性积.从上述定义可见，同一截面临于分歧坐标轴的惯性矩和惯性积一般是分歧的.惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则能够为正，能够为负，也能够等于零.惯性矩和惯性积的常常使用单位是m4或mm4.§I −3惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式图I −3所示为一任意截面，z 、y 为通过截面形心的图I −3一对正交轴，z1、y1为与z 、y 平行的坐标轴，截面形心C 在坐标系z1O y1中的坐标为（b ，a ），已知截面临z 、y 轴惯性矩和惯性积为Iz 、Iy 、Iyz ，下面求截面临z1、y1轴惯性矩和惯性积Iz1、Iy1、Iy1z1.Aa I I z z 21+=（I −10）同理可得Ab I I y y 21+=（I −11）式（I −10）、（I −11）称为惯性矩的平行移轴公式. 下面求截面临y1、z1轴的惯性积11z y I .根据定义由于z 、y 轴是截面的形心轴，所以Sz=Sy=0，即abAI I yz z y +=11 （I −12）式（I −12）称为惯性积的平行移轴公式.二、惯性矩、惯性积的转轴公式图（I −4）所示为一任意截面，z 、y 为过任一点O 的一对正交轴，截面临z 、y 轴惯性矩Iz 、Iy 和惯性积Iyz 已知.现将z 、y 轴绕O 点旋转α角（以逆时针方向为正）得到另外一对正交轴z1、y1轴，下面求截面临z1、y1轴惯性矩和惯性积1z I 、1y I 、11z y I .αα2sin 2yz I - （I −13）α2sin yz I I （I −14）图I −4αα2cos 2sin 211yz yz z y I I I I +-=（I −15）式（I −13）、（I −14）称为惯性矩的转轴公式，式（I −15）称为惯性积的转轴公式.§I −4形心主轴和形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩由式（I −15）可以发现，当α=0o，即两坐标轴互相重合时，yz z y I I =11；当α=90o 时，yz z y I I -=11，因此必定有这样的一对坐标轴，使截面临它的惯性积为零.通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴，简称主轴，截面临主轴的惯性矩叫做主惯性矩.假设将z 、y 轴绕O 点旋转α0角得到主轴z0、y0，由主轴的定义从而得y z yzI I I α--=22tan 0 （I −16）上式就是确定主轴的公式，式中负号放在分子上，为的是和下面两式相符.这样确定的α0角就使得0z I 等于max I .由式（I −16）及三角公式可得将此二式代入到式（I −13）、（I −14）即可得到截面临主轴z0、y0的主惯性矩⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+--+=+-++=22224)(2124)(21200yzy z y z y yz y z y z z I I I I I I I I I I I I （I −17）二、形心主轴、形心主惯性矩通过截面上的任何一点都可找到一对主轴.通过截面形心的主轴叫做形心主轴，截面临形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩.例题I −5求例I −1中截面的形心主惯性矩. 解：在例题I −1中已求出形心位置为0=C z ，m 323.0=C y过形心的主轴z0、y0如图所示，z0轴到两个矩形形心的间隔分别为m 137.0I =a ，m 123.0II =a截面临z0轴的惯性矩为两个矩形对z0轴的惯性矩之和，即截面临y0轴惯性矩为。