基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)
题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以元/年的速度上涨。
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
高一数学基本初等函数的导数公式
1 4 t 4
例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
3 1 1 ∴y′＝ 4＋4cosx ′＝－ sinx. 4
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
补充练习:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x; (4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
2 x1 2( x2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了 和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先 将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
练习：求下列函数的导数：
1.2.2导数公式及导数运算法则
例2.求下列函数的导数. 1）y=x3-2x+3 2) y (x 1) x
4x - 1 3) y 4 x
4) y e x log4 x
6) y sinx cos x
lnx 5) y x e
7) y tan x
练习：《面对面》P13：基础训练 1，2，3，4 P14：基础巩固 1-8
3、如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求 切点坐标与切线方程.
解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行,
∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0=(x3+x-10) | x=x0=3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
高二数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公 式 4 .若 f ( x ) c 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
； https:///cn/diamonds?track=NavDrawDia 什么钻石好；
道了这件事情了,所以在这里闭关修行,害得天云天风他们兄妹三人白担心了,有了这壹座神山,根汉之前の担忧也全然不见了丶"你还敢来?""这。"他身形壹闪,避开了这壹只巨掌丶巨掌猛の落下,没有镇住根汉,壹个白袍老者出现在了原地,正是天阳子丶天阳子冷哼壹声,盯着不远处の根 汉："你到底是什么来路?"根汉拱手笑了笑,对天阳子道："咱并不是晴天,只是与他长の壹模壹样而已咱与晴天没有半点关系丶"天阳子眉头壹锁道："你蒙谁呀?"根汉无奈道："这件事情,咱已经和仙尔说清楚了。"天阳子脸色壹下子冷了下来,杀机迸现,根汉连忙说道："前辈您先不要发飙, 有些事情,容咱慢慢の和你们说吧丶"想到自己女尔,莫名其妙の被人骗了,搞大了肚子,生下了无父の孩子,心也壹直背负着这种欺骗の情愿丶不过令他很意外の是,眼前这个家伙の隐遁之术很了得,若不是自己借助这冲天剑の仙力,也无法发现他站在这里丶别看自己是魔仙,若没有这冲天剑 の话,看都看不到这家伙,更别提还想杀了他了丶"丫の,你小子有些过了啊!""冲你小子让茹尔有能力怀孩子,老夫咱不杀你!""呃,事情是这样の。"天阳子冷哼道："天家の事情,老夫咱自会处理,还容不着你来窜下跳の。"根汉尴尬の笑了笑,当然轮不到自己窜下跳了,自己也不想窜下跳呀, 要是知道这里の地势冲天剑,自己还管什么事尔呢丶根汉将之前,看到峰回九渊の事情,和他说了说丶根汉点了点头："侥幸吧丶"天阳子气不打壹处来,脸色有些难看,心里骂开了,自己壹个魔仙,在天家祖地转了好些年,才发现这里の地势丶只是这家伙,明明修为低,只不过是壹位初阶大魔神, 竟然可以发现这里,壹来发现了,真是让自己难堪呀丶天阳子显然是挂不住脸,根汉可不知道他の这点小心思,要知道打了他の脸の话给他留点脸了丶"好吧,那前辈您保重吧,天家之事,由您全权做主吧。"天阳子白了他壹眼,直接身形壹闪,又回到了那冲天剑神山之,压根没再瞧根汉壹眼了丶 本来自肆0贰叁你这个坑货(猫补中文)既然天阳子早有打算了,根汉也不便再在这里打扰了,马离开了这里,让天阳子自己去安排天家の这些事情吧丶请大家搜索（@￥）看最全!更新最快の被天阳子给骂了个狗血喷头,根汉赶紧逃也,大概意思是这样の好东西别你这个老东西壹个人给享用了 丶让天家の弟子都到这冲天剑神山来修行,修行の速度都要提升好几倍,甚至是数十倍都不壹定,天家の整体实力会大增了丶"没想到,咱天家也有这样の地势风水,看来咱天不绝咱天家。"听闻天阳子实力大增,做女尔の天仙尔自然是很惊喜了丶"只不过他们那些家亭,不知道知不知道咱父亲 の情况?"天仙尔皱眉问道丶根汉笑了笑道："你这个老父亲,等着壹鸣惊人,给他们大吃壹惊呢。"天仙尔笑道："那咱们什么时候出发离开这里?"因为得知了天阳子の实力,所以根汉这心头隐隐の不好の感觉也消失了,想必以天阳子の实力,再加那冲天剑地势,出现什么危险天阳子也可以化 险为夷,也可以保住天家の丶天仙尔顿了顿道："咱听你の丶"根汉对天仙尔道："怎么说这也是壹个是非之地,有些事情咱们不要参与了,交由你父亲他们去解决吧丶"天仙尔也没有别の挂念了,只要天家不会有事好了,小天意现在也认了他们父母了丶只是小家伙不想伤天风夫妇の心,所以壹 直假装不知道而已,但是现在壹切都解决了丶三天之后,根汉壹家便出发了,他们告别了天风夫妇,离开了天家来到了浮家祖地丶"恩,根汉你小心壹些丶"她怀着孩子呢,小天意也还这么小,三岁不到,不能沾染那些不好の东西丶他反倒是将白狼马给叫了出来："小白,咱们在这里布壹座法阵如 何?""呵呵,咱和天家の人。""去你小子の。"原来之前他和天风说过了,说自己会在浮家这边布下壹座法阵,若是到时候他们想离开の话,只要拿着自己给他の壹块玉,可以抢先从这里离开丶人不为已,天诛地灭嘛,根汉能做の也只有这么多了丶花了两天の时间,根汉和白狼马,才在这里布下 了几座复杂の法阵,其还包括壹座根汉の仙阵丶而在这阴魔域外面,还有白狼马之前留下の定位坐标,白狼马取出黑天罗盘,试着用这黑天罗盘,看看能不能锁定长生神山の位置,或者是阴魔域边缘の位置丶找了近壹天后,白狼马有所发现了,在黑天罗盘の面,出现了壹个立体の光团丶光团,立 即出现了壹个地域の地貌,不过那个地方似乎并不是长生神山丶白狼马也有些怪异："不知道呀,好像咱们没有用罗盘,定下这样の壹个坐标呀,这地方怎么会出现在黑盘の丶"白狼马壹脸の委屈道："大哥,咱真没有留这么壹个坐标,您看看这里面嘛,壹个人影也没有嘛。""应该,可能?"根汉 有些无语,"这要是传送到,不知道什么鬼地方去了,到时候还不如阴魔域。"白狼马道："起码这个地方,好像有阳光,还有山有水,风景也不错の,应该不错の丶"根汉想了想,能省事省事吧,刚刚壹阵阴风吹来,根汉感觉浑身都不好了丶像幻之地壹样,也发生了这么大の变化,而阴魔域,还有阳 魔域,其实也发生了不少の变化丶根汉和白狼马渗入了其,直接传送走了,这是黑天罗盘の好处,如果有坐标の话,可以进行这样の直接の传送丶只不过需要耗费壹些顶级の灵玉,而这种灵玉の数量,根�
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5、若 f ( x) a ,则 f ( x) _______________
'
a ln a(a 0) x x ' e 6、若 f ( x) e ,则 f ( x) _______
x
1 7、若 f ( x) loga x ,则 f ( x) ________________ (a 0, 且a 1) x ln a 1 ' 8、若 f ( x) ln x ,则 f ( x) _____ x
2、求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx) －f(x0)
y （2）求平均变化率 x
（3）求极限 f ' ( x ) lim
y x 0 x
新课讲解
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
几个常用函数的导数 1、 函数 y f ( x) c 的导数 y ' 0
'
1
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
4
【例1】已知 y x （1）求y’; （2）求曲线在点(1，1)处的切线方程。
1 y x 4
'
3 4
1 3 y x 4 4
2
【练习】若抛物线y 4 x 上的点P到直线y 4 x 5 的距离最短，求点P的坐标。
1 4 s t 4t 3 16t 2 4
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
【例 5】偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程 为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．
导数公式及导数的运算法则
• (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别， 这是易错点．
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log a x)' =
-2x-3
注意公式中, 的任意性.
公式三: (sin x) cos x
公式四: (cos x) sin x
公式五:指数函数的导数
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
注意: f (x)=ax 和 f (x)=xa 是两
给出函数 f (x) x x2,如何来求这个函数的导 函数 ?
实例分析
按照求函数导数的步骤: 首先给定自变量x一个改变量x, 则函数值y的改变量为
y f (x x) f (x)
(x x) (x x)2 (x x2 ) x 2xx x2.
f (x0 ) (x0 x)2 x02 x
f (x0 ),
令x
0,由于
lim (
x0
x0
x)2
x02 ,
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 ),
lim (x0
x0
x)2 x
x02
2x0 ,
知f (x)g(x) x2 f (x)在x0处的导数值为
例1求下列函数的导数: (1) y x2 2;(2) y x ln x.
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log a x)' =
-2x-3
注意公式中, 的任意性.
公式三: (sin x) cos x
公式四: (cos x) sin x
公式五:指数函数的导数
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
注意: f (x)=ax 和 f (x)=xa 是两
给出函数 f (x) x x2,如何来求这个函数的导 函数 ?
实例分析
按照求函数导数的步骤: 首先给定自变量x一个改变量x, 则函数值y的改变量为
y f (x x) f (x)
(x x) (x x)2 (x x2 ) x 2xx x2.
f (x0 ) (x0 x)2 x02 x
f (x0 ),
令x
0,由于
lim (
x0
x0
x)2
x02 ,
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 ),
lim (x0
x0
x)2 x
x02
2x0 ,
知f (x)g(x) x2 f (x)在x0处的导数值为
例1求下列函数的导数: (1) y x2 2;(2) y x ln x.
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3 ＝18x2－8x＋9. 解： (2)法二： ∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
练习： 求下列函数的导数： x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1 x－ 1 解：(3)法一：y′＝( )′ x＋ 1 x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12 2 x＋1－x－1 ＝ 2. ＝ 2 x＋1 x＋1 2 x－ 1 x＋ 1－ 2 ＝ 1－ ， 解：(3)法二：∵y＝ ＝ x＋ 1 x＋ 1 x＋1 2 ∴y′＝(1－ )′＝(－ 2 )′ x＋ 1 x＋1 2 2′x＋1－2x＋1′ ＝ 2. ＝－ 2 x＋1 x＋1
由法则2:
C f ( x) C ' f ( x) C f ( x) C f ( x)
题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y x 2 x 3 1 2 (2) y 2 ; x x x (3) y ; 2 1 x (4) y tan x;
x
代入 y0＝e ，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
x0
2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
∴y′＝18x2－8x＋9.
练习： 求下列函数的导数： x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1 x－ 1 解：(3)法一：y′＝( )′ x＋ 1 x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12 2 x＋1－x－1 ＝ 2. ＝ 2 x＋1 x＋1 2 x－ 1 x＋ 1－ 2 ＝ 1－ ， 解：(3)法二：∵y＝ ＝ x＋ 1 x＋ 1 x＋1 2 ∴y′＝(1－ )′＝(－ 2 )′ x＋ 1 x＋1 2 2′x＋1－2x＋1′ ＝ 2. ＝－ 2 x＋1 x＋1
由法则2:
C f ( x) C ' f ( x) C f ( x) C f ( x)
题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y x 2 x 3 1 2 (2) y 2 ; x x x (3) y ; 2 1 x (4) y tan x;
x
代入 y0＝e ，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
x0
2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
x x
1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x ) ; x
例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％， 物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关 系 t
10
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
5284 c( x) (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％ 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
5284 c' ( x) ( )' 5284'(100 x) 5284 (100 x)' 2 100 x (100 x)
1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x ) ; x
例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％， 物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关 系 t
10
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
5284 c( x) (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％ 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
5284 c' ( x) ( )' 5284'(100 x) 5284 (100 x)' 2 100 x (100 x)
基本初等函数的公式和导数的运算法则
基本初等函数的公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
1 .若 fx c ( c 为 常 数 ) ， 则 f'x 0 ;
2 . 若 fx x aa Q *,则 f'x a x a 1 ;
3 .若 fx sx i ,则 n f'x cx o ; s 4 .若 fx c o s x ,则 f'x s in x ; 5 .若 fx a x ,则 f'x a x la n ; 6 .若 fx e x ,则 f'x e x ;
y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2)
许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到
y=(2x+3)2
y=u2 u=2x+3 复合
y=sin(2x+5)
y=sin u u=2x+5 复合
对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表 示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的 复合函数,记作y=f (g(x))
故 事中， 我最喜 欢的是 《完璧 归赵》 这个故 事。故 事讲了 春秋战 国时期 ，赵王 得 到 了“和 氏璧” ，秦王 想拿出 十五座 城池来 换。如 果换的 话，赵 王怕秦 王反悔 不 给 城池； 如果不 换的话 ，赵王 担心秦 王会以 这件事 为理由 ，出兵 攻打赵 国。在 赵 王 一筹莫 展、两 难之际 ，蔺相 如挺身 而出， 自告奋 勇出使 秦国。 到了秦 国，蔺 相 如 巧妙地 与秦王 周旋， 不把和 氏璧给 秦王。 到了晚 上，蔺 相如悄 悄地派 人把和 氏 璧 运回赵 国。机 智的蔺 相如不 仅不给 秦王攻 打赵国 的借口 ，又把 和氏璧 送回了 赵 国 。读了 这个故 事，我 对蔺相 如肃然 起敬， 他机智 勇敢、 能言善 辩、有 胆有识 的 精 神值得 我学习 。在平 时的学 习生活 中，我 遇到左 右为难 的事经 常找不 到解决 的 好 办法。 蔺相如 教会了 我用智 慧来解 决问题 。 读了这 本书， 我就像 在历史 的
基本初等函数的导数公式
1 .若 fx c ( c 为 常 数 ) ， 则 f'x 0 ;
2 . 若 fx x aa Q *,则 f'x a x a 1 ;
3 .若 fx sx i ,则 n f'x cx o ; s 4 .若 fx c o s x ,则 f'x s in x ; 5 .若 fx a x ,则 f'x a x la n ; 6 .若 fx e x ,则 f'x e x ;
y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2)
许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到
y=(2x+3)2
y=u2 u=2x+3 复合
y=sin(2x+5)
y=sin u u=2x+5 复合
对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表 示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的 复合函数,记作y=f (g(x))
故 事中， 我最喜 欢的是 《完璧 归赵》 这个故 事。故 事讲了 春秋战 国时期 ，赵王 得 到 了“和 氏璧” ，秦王 想拿出 十五座 城池来 换。如 果换的 话，赵 王怕秦 王反悔 不 给 城池； 如果不 换的话 ，赵王 担心秦 王会以 这件事 为理由 ，出兵 攻打赵 国。在 赵 王 一筹莫 展、两 难之际 ，蔺相 如挺身 而出， 自告奋 勇出使 秦国。 到了秦 国，蔺 相 如 巧妙地 与秦王 周旋， 不把和 氏璧给 秦王。 到了晚 上，蔺 相如悄 悄地派 人把和 氏 璧 运回赵 国。机 智的蔺 相如不 仅不给 秦王攻 打赵国 的借口 ，又把 和氏璧 送回了 赵 国 。读了 这个故 事，我 对蔺相 如肃然 起敬， 他机智 勇敢、 能言善 辩、有 胆有识 的 精 神值得 我学习 。在平 时的学 习生活 中，我 遇到左 右为难 的事经 常找不 到解决 的 好 办法。 蔺相如 教会了 我用智 慧来解 决问题 。 读了这 本书， 我就像 在历史 的
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用1.常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =- ()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x= 1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠. 法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦. 2.导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=-.3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导.4.可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f '（x ）（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数； 若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f '（x ）.（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.函数的极值、最值及应用3.极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5.求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ axlna (a>0)
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
基本初等函数的导数公式及四则运算
的最短距离
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
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0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
ห้องสมุดไป่ตู้
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4 x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
思考如何求下列函数的导数：
1 (1) y 4 x
(2) y x x
1 x 2 2 ( 2 ) y (4) y (2 x 3) 1 x ; 2 2 ; (1 x )
x
x
x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值，
(4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
1 5284 c( x ) ( ) 5284 ( x 100 ) 100 x
1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 ( x 100) 2
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
我们再回顾一下 “导数的几何意义” 中的两个练习题。
练习1、求曲线 y 9 在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．
第二种解法：
9 y 2 x
x
代入x=3,得
y 1
斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y 2 x 在（1，）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
为1321元/吨。
练习3、求下列函数的导数。
1 2 (1) y 2 ; x x x 1 4 2 (2) y 1 ; 2) ;y 1 3; (1) y 1 ( x 2 2 x x x x (3) y tan x; x (2) y 22 ; 2 (4) y 1 (2 x x 3) 1 x ; (3) y tan x; 2
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
第三章 导数及其应用
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
上导乘下,下导乘上,差比下方
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 2x 3) 解：因为
3
( x ) (2 x) (3)
3
3x 2
2
所以，函 数y=x3y 3x2 2
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) (2) y 2 sin cos 2 x 1 2 2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)