数学建模方法之图与网络模型
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图与网络模型及方法 ppt课件
e1 e8
e4
பைடு நூலகம்v2
e9 e2 v3
{v6, e7 , v1, e8, v4}
不是链
{v5,e4,v4,e9,v2,e2,v3,e3,v4,e8,v1} 简单链
e3
v4
{v6,e5,v5,e7,v1 }
初等链
v1
e6
v6
e7
e1 e8
e5 v5 e4
v2
e9 e2 v3 e3
1
0
当G为无向图时，邻接矩阵为对称矩阵
最短轨道问题
给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个 网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为 图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e， 赋以一个实数w(e)—直通铁路的长度，称为e的权， 得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的 权和。
是 G1 中由V2 导出的导出子图。
九、图的矩阵表示 用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方便的．
定义：网络(赋权图)G＝(V，E)，其边(vi,vj)有权ωij,构造矩阵
A=(aij)n×n,其中：
aij 0 ij ( v i ,其v j)它 E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
例、写出下图的权矩阵
v2
e3 e4
v4
v3
e5
e4=(v3，v4)≠(v4，v3）
e5=(v4，v3)≠(v3，v4)
e1
e2
v1 e6
v2
e3 e4
无
v4 向
图
v3
e5
e4=(v3，v4）=(v4， v3） e5=(v3，v4）=(v4， v3）
2022年数学建模算法与应用-图与网络模型着色问题和旅行商问题
{'赵','刘','孙'};{'张','王','孙'};{'李','刘','王'}};
n = length(s); w = zeros(n);
for i = 1:n-1
for j =i+1:n
if ~isempty(intersect(s{i},s{j}))
w(i,j)=1;
end
end
end
[ni,nj] = find(w); %边的顶点编号
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
v1
v5
v6
v3
v2
v4
图 4.14 部门之间关系图
航空基础学院数学第教9研页室
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
构造图G (V , E)，其中V {v1,v2 , ,v6 }，这里 v1,v2 , ,v6分别表示部门 1，部门 2，…，部门 6； E 为边集，两个顶点之间有一条边当且仅当它们代表的 委员会成员中有共同的人，如图 4.14 所示，该图可以 用 4 种颜色着色，可以看出至少要用 4 种颜色，v1,v2 ,v3 构成一个三角形，必须用 3 种颜色，v6和这 3 个顶点 都相邻，必须再用一种颜色。
w = w + w'; %计算完整的邻接矩阵
deg = sum(w); K = max(deg) %顶点的最大度
prob = optimproblem;
数学建模算法与应用
第4章 图与网络模型及方法
已知图G (V , E)，对图G 的所有顶点进行着色时， 要求相邻的两顶点的颜色不一样，问至少需要几种颜 色？这就是所谓的顶点着色问题。
matlab图与网络分析模型选讲
V ( f ),
若：
f
(v,u)
f
(u,v
)
0,
uV
uV
V ( f ),
则称该网络称为守恒网络。
v vs v vs ,vt
v vt
守恒网络中的流 f 称为可行流。
若存在一个可行流f *，使得对所有可行流 f 都 有V(f *)≥ V(f )成立，则称f *为最大流。
最大流模型：
maxV ( f )
e1 v1
4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边．
5)既没有环也没有重边的图，称为简单图．
6) 若图G的每一条边e 都赋以一个实数w(e)，
称w(e)为边e的权，G连同边上的权称为赋权图 ,
记为：G(V,E,W)， W={w(e)| e∈E}
7) 图G的中顶点的个数，
5
称为图G的阶；图中与某 个顶点相关联的边的数目，
@sum(node(j): f(j,9))=flow;
@for(arc:@bnd(0,f,c));
data: c= 0 2.5 0 5.6 6.1 0 0 0 0 0 0 7.1 0 0 3.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4 0 0 0 0 0 4.9 0 7.4 0 0 0 2.4 0 0 0 7.2 5.7 0 0 0 0 3.8 0 0 0 0 5.3 4.5 0 0 0 0 0 3.8 0 0 6.7 0 0 0 0 0 0 0 0 7.4 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddata
s.t:
v jV
f
(vi
,
v
j
)
v jV
f
(v
j
,
vi
图与网络模型及方法 ppt课件
1
0
当G为无向图时，邻接矩阵为对称矩阵
最短轨道问题
给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个 网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点，两城镇间的直通铁路为 图G 相应两顶点间的边，得图G 。对G 的每一边e， 赋以一个实数w(e)—直通铁路的长度，称为e的权， 得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的 权和。
三.次（度）的性质
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。 证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V,
称矩阵A为图G的邻接矩阵。
例、写出下图的邻接矩阵
v2 •
v• 4
v1•
•v6
v3 •
• v5
v1 v2 v3 v4 v5 v6
v1 v2
0 0
1 0
1 1
0 0
0 0
0 0
A vvv 543 000
1 1 1
0 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 1
v6
0
0
0
0
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点u0 ,v0间的 具最小权的轨。这条轨叫做u0 ,v0间的最短路，它 的权叫做u0 ,v0间的距离，亦记作d(u0 ,v0)
最短轨道问题求法 ---Dijkstra算法
基本思想 是按距 u 0从近到远为顺序，依次求得u 0到G 的各顶点的最短路和距离，直至v 0 （或直 至G 的所有顶点），算法结束。为避免重 复并保留每一步的计算信息，采用了标号 算法。
图与网络模型及方法 ppt课件
三.次（度）的性质
性质1：在图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数m的两倍。 证明：由于每条边均与两个顶点关联，因此在计算顶点的次时
每条边都计算了两遍，所以顶点次数的总和等于边数的二倍。
性质2：在任何图G=(V,E)中，奇点的个数为偶数
证明：设V1，V2分别是图G中奇点和偶点的集合，则V1∪V2=V,
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e9 e2 v3
{v6, e7 , v1, e8, v4}
不是链
{v5,e4,v4,e9,v2,e2,v3,e3,v4,e8,v1} 简单链
e3
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{v6,e5,v5,e7,v1 }
初等链
v1
e6
v6
e7
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e5 v5 e4
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问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点u0 ,v0间的 具最小权的轨。这条轨叫做u0 ,v0间的最短路，它 的权叫做u0 ,v0间的距离，亦记作d(u0 ,v0)
最短轨道问题求法 ---Dijkstra算法
基本思想 是按距 u 0从近到远为顺序，依次求得u 0到G 的各顶点的最短路和距离，直至v 0 （或直 至G 的所有顶点），算法结束。为避免重 复并保留每一步的计算信息，采用了标号 算法。
v• 5
7 v1• 4
56 • v4
2
94
8
v2 • 3 v• 3
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
定义：对于图G＝(V，E)，|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)n×n,其中：
aij 10 ( vi , vj其) 它E
精选数学建模中的图与网络分析资料
基本思想：寻找增广链，改善流量分布；再重复，直到不 存在任何增广链为止。
步骤：
① 给始点标号：（0，+∞） ② 从已标号点i出发，看与其相关联的未标号点j上的弧，
对μ+，若有0fij<cij，则可对j点标号，记（i,ε (j)）， 其中 ε (j)=min{ε (i) ，cij - fij}
对μ-，若有0 < fji cij，也可对j点标号，记（ i,ε (j)）， 其中 ε (j)=min{ε (i) ，fji} （注：若有多个可标号点，可任选其中之一。）
）,
dSD（0）+SdDE（A0） ,BdSE（C0）+ dDEE（0E）, dTST（0）+ dTE（0） } =8 S 0 24 4 98 A 2 0 2 3 7 5 12 B 4 2 0 1 4 3 10
D（1）= C 4 3 1 0 5 4 11 D 9 74 5 0 15 E 8 53 4 1 0 6 T 12 10 11 5 7 0
⑻ 割集：一组弧的集合，割断这些弧，能使流中断。简称割。
2019/7/2
--26--
--第6章 图与网络分析--
(v2,2)
v1
9(4)
(v1,2) v3
(0,+∞)
vs
5(4)
6(1)
(v4,1) vt
(vs,2) v2
9(9)
v4 (v3,1)
2019/7/2
cij
fij
--27--
--第6章 图与网络分析--
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
数学建模图论详解—图论与网络规划PPT课件
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是
图的顶点。例如图7-4 中，它共有4个顶点，6条
v1
v4
边；而e
e1
3
与e
4 的交点不是这个图的顶点。
v2
e2
e3
e4
e5
v3
e6
v4 v1
v4
e2
e3
e1
v2
e4
e5
v3
e6
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
顶 形点 。相交。图7-5就是一e个4 平v1 面图，因为e1它可以有下v面2 的图
一个图称为简单图，如果
它既没有环也没有多重边。
下图5是简单图。
u 1
本书只限于讨论有限简单图，
即顶点集与边集都是有限集的图。
f1
f5 f2
只有一个顶点的图称为平凡图； 边集是空集的图称为空图。
u3
f3
f4
u2
f6
u4
同构
给定两个图 G (V (G), E(G), G ) 与 H (V (H ), E(H ), H )
称G和H是同构的，记为G H ，
如果存在两个一一对应 ( ,)
:V (G) V (H )
: E(G) E(H )
使的
G (e) uv H ((e)) (u) (v)
同构图例
图G与图H是同构的。
v1 e6
e1 v2
e3
e2
e5
v4
e4
v3
G
u 1
f1
f5 f2
u3
f3
f4
u2
f6
公式（1）是Dijkstra算法的基础。
最新-数学建模中的图与网络分析-PPT课件
问题：一名邮递员从邮局出发，试选择一条最短的投 递路线？
v1
4
v4
4
1
4
v5
5
2
5
v2
2 v6
4
5 v8
4
v7
v3
7
2 4
v9 邮局
v10
2
v11
1
v12
4
v13
--20--
--第6章 图与网络分析---21--
--第6章 图与网络分析--
奇点：图中次为奇数的点称为奇点。 偶点：图中次为偶数的点称为偶点。
--18--
--第6章 图与网络分析--
例：有7个村镇要联合建立一所小学，已知各村镇小学
生的人数大致为S—30人， A—40人，B—20人，C—15人，
D—35人，E—25人， T—50人。问：学校应建在那一个地
点，可使学生总行程最少？
解：
SABCDET
人数
S 0 2 4 4 8 7 13
30
A 2 0 2 3 6 5 11
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
--3--
二、图的模型
--第6章 图与网络分析--
例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、 B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“√”的 项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛 顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项 比赛？
图与网络模型及方法
B (bik ) nm {1,0,1}nm
，
1, j V , k (i, j ) A, bik 1, j V , k ( j, i ) A, 0, 其它.
也就是说，在关联矩阵中，每行对应于图的一个节点，每列对应于图的一条弧。如果一个 节点是一条弧的起点，则关上联矩阵中对应的元素为1；如果一个节点是一条弧的终点， 则关联矩阵中对应的元素为-1；如果一个节点与一条弧不关联，则关联矩阵中对应的元素 为0。对于简单图，关联矩阵每列只含有两个非零元（一个+1，一个-1）。可以看出，这 种表示法也非常简单、直接。但是，在关联矩阵的所有nm个元素中，只有2m个为非零元。 如果网络比较稀疏，这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于关联矩阵有许多特别重 要的理论性质，因此它在网络优化中是非常重要的概念。
有向图：当图的边集中的边是顶点的有序对时，这时候就称为这些边是有方向的。 从而原来的无向图也就成为这儿的有向图。 顶点的度：一个顶点的度是与这个顶点相关联的边的数目。在有向图的情形下， 一个顶点的度还分为顶点入度和顶点出度两种情形。顶点的入度是与这个顶点相 关联的并且指向这个顶点的边的数目。顶点的出度是与这个顶点相关联的并且方向 远离这个顶点的边的数目。
上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意 义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization）问题； 二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络 （network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多数网络优化问 题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网络流 （network flows）或网络流规划等图与网络模型及方法 Nhomakorabea概论
数学建模- 图与网络模型及方法
欢迎共阅第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
图与网络模型
关键路径(最长路径)算法 定理 若有向图G中不存在有向回路,则可以 将G 的结点重新编号为u1, u2, …, un,使得对任意 的边ui uj∈E(G),都有i＜ j . 各工序最早启动时间算法步骤： ① 根据定理对结点重新编号为u1, u2, …, un . ② 赋初值 (u1)= 0. ③ 依次更新 (uj ),j = 2, 3, … , n . (uj )= max{(ui )+ (ui ,uj )|uiuj∈E(G)}. ④ 结束. 其中(uj )表示工序 uj 最早启动时间,而(un)即 (vn)是整个工程完工所需的最短时间.
五、匹配问题
• 定义1 设X,Y 都是非空有限集,且X∩Y = , E {xy|x∈X,y∈Y}, 称G =(X, Y, E)为二部 图. • 如果X中的每个点都与Y中的每个点邻接,则 称G =(X, Y, E)为完备二部图. • 若F：E→R +,则称G =(X, Y, E, F )为二部赋 权图. 二部赋权图的权矩阵一般记作A=(aij )|X|×|Y | , 其中aij = F (xi yj ).
一、图的基本概念
定义2： 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网 络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 ：设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通 路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路. 定义4 ：任意两点均有通路的图称为连通图. 定义5 ：连通而无圈的图称为树, 常用T表示树.
数学建模中的图与网络分析
生物信息学中的网络分析
生物信息学中的网络分析
生物分子相互作用网络
利用图与网络理论，对生物分子相互作用 、基因调控、蛋白质互作等生物信息进行 建模和分析。
研究生物分子之间的相互作用关系，揭示 生命活动的内在机制。
基因调控网络
蛋白质互作网络
研究基因转录调控的相互作用关系，揭示 基因表达的调控机制。
研究蛋白质之间的相互作用关系，揭示蛋 白质的功能和结构。
析等方面发挥重要作用。
THANKS
感谢观看
动态图
总结词
动态图是随着时间变化的图结构，可以表示事物随时间变化的关系。
详细描述
动态图是图论中的一个重要分支，它研究的是图结构随时间的变化。在动态图中，节点和边的出现、消失以及变 化都可以被建模。这种模型在处理时间序列数据、预测未来趋势和动态系统分析等方面具有广泛应用。
加权图与网络
总结词
加权图与网络中，边具有权重，可以表示节点之间的连接强度或关系。
性质
图具有方向性（有向图和无向图）和 权重（加权图和无权图）等性质。
图的分类
有向图
边具有方向，表示对象之间的单向关 系。
无向图
边没有方向，表示对象之间的双向关 系。
加权图
边具有权重，表示对象之间的关系强 度。
无权图
边没有权重，表示对象之间的关系存 在与否。
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中顶点之间的关系，矩阵元素 表示顶点之间的连接关系。
规则图
根据预设规则生成节点和边，如网格、环状、星 状等。
社区结构图
根据节点间的相似性或关联性生成图，形成具有 社区结构的网络。
网络的形成
无向网络
节点间连接无方向，表示相互关系。
数学建模- 图与网络模型及方法之欧阳语创编
第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
数学建模- 图与网络模型及方法之欧阳与创编
2021.03.08欧阳与创编 第五章 图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种2021.03.08欧阳与创编 二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不2021.03.08但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
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如果图G的一个生成子图还是一个树，则称这个生成子图为生成树， 在图11-12中，(c)就是(a)的生成树。
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图11-3
4
▪ 无向图：
由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
• 有向图：
由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
• 连通图：
对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为 连通图。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
10
3 4
4
2
v5
v6
v3
解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向 图，即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法 来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成 已标号的点到未标号的点的边的集合即可。
5
§2 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法）
步骤：
以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即
为最小生成树，否则返回第1步。
12
§3 最小生成树问题
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
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v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图11-1
2
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其 值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号 （scd, c）,返回步骤2。
6
§2 最短路问题
例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5 v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
8
§2 最短路问题
例2最终解得： 最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图
15 （0,s）
V1 （甲地） 10
(13,3) v2 3 V3
(10,1)
17
5 6
V4
(18,5) 4
2
4
V5
(14,3)
(22,6) V7 （乙地） 6 V(166,5)
9
§3 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
• 回路：
若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
• 赋权图：
为赋权对图一，个w无ij称向为图边G的(v每i,vj一)上条的边权(v。i,vj)，相应地有一个数wij，则称图G
• 网络：
在赋权的有向图D中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点， 其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就 称为网络。
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v7
v8
v9
(a)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
(b)
v8 v7
图11-11
v1
v2
v8
v3
v4
v9
v5
v7
v6
(c)
图11-11中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不 是树， (c)因为不连通所以也不是树。
10
§3 最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
各点的标号图如下： (3,1)
v2
7
(8,4) v6
（V01,s)
3 5
2
(3,3) 5 v4
21
31
5
(2,1)
v5
v3
7
§2 最短路问题
例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架 设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两 地间公路的长度（单位：公里）。
V7 （乙地）
13
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
4
v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
35 4
v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
3
v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
7
v1 3
v7 2
v4
3
v6 (f) v5
14
§3 最小生成树问题
例5、某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的 可能联通的途径如下图，图中v1,…,v7 表示7个学院办公室，请设计一 个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
图11-14
v2 1 v3
34
7
v1 3
v7 2
v4
10 3
5
8
v6 4
v5
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。
“管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
15
图与网络模型 §1 图与网络的基本概念 §2 最短路问题 §3 最小生成树问题
1
§1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图11-1就是一个表示这种关系的图。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
e3
(v2)钱
(v5) 周
最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成 树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。
(a)
图11-12
(b)
(c)
11
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤： 1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt），则 vs 到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向追踪到起点 vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果 上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
e2
(v(v3) 李(v4)
周(v5)
图11-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
3
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图11-3就
是一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向
的弧表示。
a1 a2
(v2)钱
a7
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图11-3
4
▪ 无向图：
由点和边构成的图，记作G=（V，E）。
• 有向图：
由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
• 连通图：
对无向图G，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为 连通图。
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v2
5
6
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6 v4
V1
（甲地）
10
3 4
4
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解：这是一个求无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向 图，即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法 来求解。只要在算法中把从已标号的点到未标号的点的弧的集合改成 已标号的点到未标号的点的边的集合即可。
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§2 最短路问题
• 最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找到一条 从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称 之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt 的距离。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法）
步骤：
以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。 3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即
为最小生成树，否则返回第1步。
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§3 最小生成树问题
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
v1
3
34 7 v7 2
v4
10
35 4
8
v6 (a) v5
35
8
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v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
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v6 (c) v5
v2 1 v3
v1
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34 7 v7 2
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4 v6 (d) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
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v6 (e) v5
图11-13
v2 1 v3
3
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v1 3
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3
v6 (f) v5
e4 (v4) 李
e5 (v6)吴
(v7)陈
图11-1
2
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关 系之间的内在规律，一般情况下图中点的相对位置如何、点与 点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要 的，如对赵等七人的相互认识关系我们也可以用图11-2来表示， 可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其 值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终点以双标号 （scd, c）,返回步骤2。
6
§2 最短路问题
例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5 v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
8
§2 最短路问题
例2最终解得： 最短路径v1 v3 v5 v6 v7，每点的标号见下图
15 （0,s）
V1 （甲地） 10
(13,3) v2 3 V3
(10,1)
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5 6
V4
(18,5) 4
2
4
V5
(14,3)
(22,6) V7 （乙地） 6 V(166,5)
9
§3 最小生成树问题
• 树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
• 回路：
若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
• 赋权图：
为赋权对图一，个w无ij称向为图边G的(v每i,vj一)上条的边权(v。i,vj)，相应地有一个数wij，则称图G
• 网络：
在赋权的有向图D中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点， 其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就 称为网络。
v1
v2
v3
v6
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(a)
v1
v2
v3
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(b)
v8 v7
图11-11
v1
v2
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(c)
图11-11中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不 是树， (c)因为不连通所以也不是树。
10
§3 最小生成树问题
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部分G的边或 者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的生成子图。在图11-12中， (b)和(c)都是(a)的生成子图。
各点的标号图如下： (3,1)
v2
7
(8,4) v6
（V01,s)
3 5
2
(3,3) 5 v4
21
31
5
(2,1)
v5
v3
7
§2 最短路问题
例2 电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架 设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两 地间公路的长度（单位：公里）。
V7 （乙地）
13
例4 用破圈算法求图（a）中的一个最小生成树
v2 1 v3
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
v4
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3
34 7 v7 2
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35 4
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v6 (a) v5
35
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v6 (b) v5
v2 1 v3
v1
3
34 7 v7 2
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v6 (c) v5
v2 1 v3
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3
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4 v6 (d) v5
v2 1 v3
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图11-13
v2 1 v3
3
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v7 2
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v6 (f) v5
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§3 最小生成树问题
例5、某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的 可能联通的途径如下图，图中v1,…,v7 表示7个学院办公室，请设计一 个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
图11-14
v2 1 v3
34
7
v1 3
v7 2
v4
10 3
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v6 4
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解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。
“管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
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图与网络模型 §1 图与网络的基本概念 §2 最短路问题 §3 最小生成树问题
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§1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图11-1就是一个表示这种关系的图。
(赵v1)
e2
(v3)孙
e1
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(v2)钱
(v5) 周