第二章 流体静力学

[解]本题是曲面受压问题，受压曲面的边界线都是圆周，在图 2-31上仅表现为受压曲面的两个端点a，c。 （1）先求水平分力
方向向左。
（2）再求铅直分力
方向分别为向上，向下，向下。
b' c'
bA c C c
R
a
R
a c B b a
h
R
图2-31
H

潜体和浮体的平衡 如图2-33，潜体受压曲面是物体表面封闭曲面，没有受压曲 面的边界线，铅直投影面积为零。而浮体受压曲面虽不封 闭，但受压曲面在同一水平面上，因此铅直投影面积也是 零。故无论潜体还是浮体水平分力均为零。作用于潜体和 浮体上的只有铅直向上的力，称浮力，大小为 ，就是物体排开液体的所受的重力。此为阿基米德原理。 浮 体
第八节 液体的相对平衡
等加速直线运动中液体的平衡 如图2-35,一敞开容器盛有液体,以等加速度a向前做直线运动 z 质量力有重力
a
惯性力
a x g 图2-35
总的质量力为
y
a
由平衡微分方程可得:
积分并根据边界定积分常数得 对于自由液面, ,则上式为
第四节 液柱测压计

测量流体的压强是工程技术上极其普遍的要求,常用的是液 柱式测压计。 （1）测压管是一根玻璃直管或U形管； （2）压差计是测定两点压强差的仪器； （3）微压计是测定微小压强（或压强差）的仪器。

测压管 根据水静力学基本方程，
通过量测的测压管高度，可直 接求出测点的相对压强，即
h
Xdx Ydy Zdz 0
上式称等压面方程。 等压面方程中，X、Y、Z 为单位质量力在三个坐标轴的 分力，而 dx、dy、dz 则是等压面上任意线段在三个坐标轴 的投影，由矢量代数得：
Xdx Ydy Zdz f dl
根据等压面方程，单位质量力与等压面上任意线段的点 乘积等于0，这说明这两个向量相互垂直，即质量力与等压 面相互垂直，如重力与水平面。
第七节 流体平衡微分方程
静止流体内取边长分别为 dx, dy, dz 的微元六面体， 中心点 O’(x,y,z) 压强 p(x,y,z)。
z dx d’ d dy pM c c’ dz b b’ y x
M
O’ a N
a’ pN O x y z
由于六面体为静止，故作用在六面体上各个方向力满
足力平衡方程。以 x 方向为例：
ρm
p0 m ghm gh

压差计
由水静力学基本方程
pM pA g x hm
B Δz A x
pN pB g z x m ghm
由于等压面， pM= pN，AB点的压强差
pA pB m ghm gz
若令Δz = zB –zA，测压介质分别为水和 水银，并以ρg遍除之，得测压管水头差
坐标的乘积 。因此 但 故 式中 ——受压面形心在水面下的淹没深度；
——受压面形心的静压强；
——受压面积。 可见作用在任意位置，任意形状平面上的水静压力值等于 受压面面积与其形心所受静水压强的乘积。
静水压力的方向为受压面的内法线方向，作用点（又称压力 中心）D在y轴上的位置低于形心C。作用点D的计算公式：
该式表明在静止液体中，压强随深度按直线变化的 规律。静止液体中任一点的压强是由也面压强和该点 在液面下的深度与密度和重力加速度的乘积两部分组 成。从这两部分看出，压强的大小与容器大形状无关。
以单位体积液体的重量ρg 除以静力学基本方程，得
p z c g
式中 z 某点在基准面以上的高度，称位置高度或
再求A点的压强pA ，先求出分界面上的压强，然后，应用分 界面是多种液体压强关系的联系面，再求出分界面以下A点 的压强pA。 分界面2-2是等压面，面上各个点的压强相等，即 p2 =pa +0.5m ag=98kPa+0.5 700kg/m 3 9.8m/s2 101.5kPa 再根据分界面上的压强p2，求A点的压强pA为 实际上，求A点的压强，可以不先求出界面上的压强， 就直接以界面为压强关系的联系面，一次就可以求出A 点的压强。即
表面力：除 abcd 与 a’b’c’d’ 两面外，其余面上作用的力 在 x 轴 上投影均为0。此两面中心点压强可用泰勒 (G.Taylor) 级数展开，取前两项：
1 p pM p dx 2 x
两个面上的总压力则为：
1 p pN p dx 2 x
1 p PN p dx dydz 2 x
5
[解]根据等压面的规律，
p5 3
气体
1
2-2，3-3，4-4都是等压
面。则
水
3
3
由于气体密度小，故忽略2-2及3-3间气 体柱产生的压强，认为 于是
4
4
4
2
2
2
第五节 作用于平面的液体压力

解析法
D
作用在受压平面上的静 压力为
h
h
C
h
y
y
c
y
D
式中， 为受压 面积A对x轴的静面矩， 由理论力学知，它等于 受压面积A与其形心
X
C
如图2-29，曲面AB所受水
平分力为：
dP
X
dA
X
dA
铅直方向分力： （其中V 为压力体的体积。 合力P： 合力P的作用线与水平线 夹角 为：
dA
Z
h
dP dP A
Z
AZ
P
X
P dP
Z
B
图2-29
[例2-6]贮水容器上有三个半球形盖，如图2-31。已知H=2.5m ，h=1.5m，R=0.5m，求作用与三个半球形盖的水静压力。
化简后得: 同理:
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
上式即液体平衡微分方程，由瑞士学者欧拉（L.Euler)于 1755导出，又称欧拉平衡微分方程。
等压面 等压面—压强相等的空间点构成的面。 在等压面上，p = c，dp = 0，平衡微分方程的全微分式 则可表示为：
（其中
式中 ——压力中心沿y轴到形心的距离； ——压力中心沿y轴到液面交线的距离； ——形心沿y轴到液面交线的距离；
）
——受压面对通过形心且平行与液面交线轴的惯性矩
图算法 对于底边平行于液面的矩形平面，还可采用图算法 求解作用在平面上的静水总压力大小与作用点。 设一底边平行于液面的矩形AB，与水面夹角α，宽 度b，上、下底边的淹深分别为h1、h2。 根据解析法
ρ hm M N
pA pB m 1 hm 12.6hm z A g z B g
ρm

微压计
p1
图2-21 微压计

[例2-4]如图2-22，测压管中各液面高程为 =1.5m， =0.2m， =1.2m， =0.4m， =2.1m。求液面压强

p p ( x, y , z )
第一节 流体静压强及其特性
B I B A V D II C A a
ΔP
ΔA
C
D II
图2-1 静止流体中的压力
第二节 流体静压强的分布规律

液体静压强的基本方程式
p p0 ρgh
式中 p——液体内某点的压强，Pa； p0——液面气体压强， Pa； ——液体的密度，kg/m3； h——某点在液面下的深度，m。
h2 h1 h2 h1 FP pc A g h1 b 2 sin
h1 h2
A α
1 h2 h1 gh1 gh2 b Ap b 2 sin
式中Ap为压强分布图的面积。 总压力作用线通过压强分布图的形心。
B
梯形的形心可利用作图法决定，如图2-28（b）所示，
图2-33
潜 体
潜体或浮体在重力G和浮力P的作用下，可能有下列三种情况： （1）重力大于浮力，即G>P，则物体下沉至底； （2）重力等于浮力，即G=P，则物体可在任一水深维持平衡； （3）重力小于浮力，即G>P，则物体浮出液体表面，直至液 面下部分所排开的液体所受重力等于物体所受重力为止。这 种物体称浮体，船就是浮体的一个例子。
第二章 流体静力学



第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体静压强的分布规律 第三节 压强的计算基准和量度单位 第四节 液柱测压计 第五节 作用于平面的液体压力 第六节 作用于曲面的液体压力 第七节 液体平衡微分方程 第八节 液体的相对平衡
第一节 流体静压强及其特性
流体在静止时不能承受切向力，因为如有切向力存在， 静止流体将会发生流动。流体不能承受拉力，沿法向方向的 力必为压力（如图2-1）。 流体静压强的特性 静止体中任意点压强的大小与作用面的方向无关。只是空 间坐标的函数，即
1 p PM p dx dydz 2 x
质量力：x 方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即
Fbx Xdxdydz
列 x 方向力平衡方程得：
1 p 1 p dx dydz p dx dydz Xdxdydz 0 p 2 x 2 x
位置水头。 测压管的液面到该点的高度，称测压管高 度。
p g p z g
p z c 静止液体中，各点的测压管水头相同。 g
测压管的液面到基准面的总高度，称测 压管水头。
p2 g
p1 g
1
2
Z2
Z1
O
图2 4 测压管水头
O
[例2-2] 密度为 a和 b的两种液体，装在图2-11的容器中，各 也面深度如图所示。若=1000kg/m3 ，大气压强pa=98kPa, 求a 及 b 。 [解] 先求 a ，由于自由面的压强均等于大气压强，所以， p1=p4=pa=98kPa 根据静止、连续、同种液体的水平面为等压面的规律， p2=p3。由基本方程式2-6得到 p2=pa+ a g×0.5m p3=pa+ b g× m （0. 85- 0. 5） b =0.35 b 由p2=p3，故得 0.5 a = （0. 85- 0. 5） 所以 ρ a =0.7ρ b =0.7 1000kg/m 3 =700kg/m 3