高考必备-2020年高考数学一轮复习高分点拨专题2.9 零点定理(文理科通用)(学生版)

合集下载

2020江苏高考数学(文理通用)二轮培优新方案课件：第17讲函数的零点问题

3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图象
与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0)
零点个数
2
(x1,0) 1
无交点 0
4．三个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔
函数 y＝f(x)有零点．
[经典考题再回首] 1．(2019·全国卷Ⅲ改编)函数 f(x)＝2sin x－sin 2x 在[0,2π]的零点个数为________．解析：令 f(x)＝0，得 2sin x－sin 2x＝0，即 2sin x－2sin xcos x＝0， ∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0 或 cos x＝1. 又 x∈[0,2π]， ∴由 sin x＝0，得 x＝0，π 或 2π，由 cos x＝1，得 x＝0 或 2π. 故函数 f(x)的零点为 0，π，2π，共 3 个．答案：3
[解题方略] 将给定区间的零点问题转换为熟悉的函数图象在给定区间的交点个数问题，利用函数的图象与性质，充分利用对称性和周期性等性质是解题关键．求解零点问题时，往往转化为 f(x)＝0 的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图象的交点问题求解．
[集训过关] 1．(2019·南京调研)函数 f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．解析：因为 f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由 f(x)＝0 得 x＝－5 或 x＝1 或 x＝2.
由图可知，当 x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时，f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，

【与名师对话】高考数学一轮复习 2.9函数与方程课件文

的函数y＝
f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)· f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)· f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)· f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.
由图知满足条件的 a 的取值范围是 a>1.
答案：a>1
考点
互动探究
考点一判断函数零点所在区间
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
D.
(2)f(a) ＝(a－b)(a －c) ，f(b)＝(b － c)(b－ a)，f(c) ＝(c－ a)(c－ b)．又 a<b<c，则 f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内，选 A.
【答案】
(1)D
(2)A
判断解所在区间或已知解所在区间及求参数的取值范围都用零点的存在性定理．
解析：f(x)＝3ax－2a＋1 在[ －1,1] 上存在一个零点，则 f(－ 1 1)· f(1)≤0，即 a≥ 或 a≤－1. 5

2020年高考理科数学一轮总复习：函数与方程

2020年高考理科数学一轮总复习：函数与方程第8讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．2．函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系导师提醒 1．关注两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．记牢三个结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(教材习题改编)已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1，6]上至少有3个零点．故选B.函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3，4)D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C.因为2a ＋b ＝0，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)．所以零点为0和－12.(教材习题改编)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．解析：因为f (2)＝6－7＋ln 2＝ln 2－1<0，f (3)＝9－7＋ln 3＝2＋ln 3>0，又f (x )＝3x －7＋ln x 为增函数，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2.答案：2函数零点所在区间的判断(自主练透)1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，所以f (1)·f (2)＜0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数，所以f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A.因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C.令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，f (x )＝x 13，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212<f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213>f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，所以由图象关系可得13<x 0<12.4．(一题多解)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：选D.法一：令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝13e －1＜0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．函数零点的个数(师生共研)(1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0【解析】 (1)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x ＋x －3＝0. 则e x ＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x 和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.(2)法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．【答案】 (1)C (2)B判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．(一题多解)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}解析：选D.法一：求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7＞0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．法二：令g(x)＝0，即f(x)－x＋3＝0，所以f(x)＝x－3，作y＝f(x)与y＝x－3的图象，有3个交点．y轴右侧有2个交点，其零点为1或3.y轴左侧零点x＜－3.结合各选项，D项符合题意．2．偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0，9]上解的个数是()A．7 B．8C．9 D．10解析：选C.依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.函数零点的应用(多维探究) 角度一根据函数零点个数求参数(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 (2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0，ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.【答案】 (1)D (2)C角度二根据函数零点的范围求参数(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1，2]上有零点，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.(2)令F (x )＝0，即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 2 2x －12x ＋1＝log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1. 因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5.所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35.所以log 2 13≤log 2⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1≤log 2 35，即log 2 13≤m ≤log 2 35.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤log 2 13，log 2 35.【答案】 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤log 2 13，log 2 35根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2019·石家庄质量检测)已知M 是函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx (x ∈R )的所有零点之和，则M 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选D.将函数f (x )＝|2x －3|－8sin πx 的零点转化为函数h (x )＝|2x －3|与g (x )＝8sin πx 图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h (x )与g (x )的图象，如图，因为函数h (x )与g (x )的图象都关于直线x ＝32对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f (x )的所有零点之和M ＝8×32＝12，故选D.2．(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A.画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0＜a ≤1；当x ＞0时，f (x )有一个零点，需－a ＜0，即a ＞0.综上，0＜a ≤1，故选A.利用转化思想求解函数零点问题(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ＜1，log 12x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．(2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y 1＝f (x )与函数y 2＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1，0)．(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 【答案】 (1)(－1，0) (2)(－∞，2－22](1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象可知，若满足条件，则a ＞0.当a ≥2时，在y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y 轴左侧，射线y ＝－ax (x ≤0)与抛物线y ＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)需相切．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－5x －4，y ＝－ax消去y ，得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝(5－a )2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9.a ＝1与a ≥2矛盾，a ＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．当0＜a ＜2，此时，在y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a ＜－1，即a ＞1.故1＜a ＜2.答案：(1，2)[基础题组练]1．(2019·沧州模拟)设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D.因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23＜0，f (0)＝30－0＝1＞0，所以f (－1)·f (0)＜0.3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.法一：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当x ＞12时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减．因为f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝5－ln 2＞0，f (e 2)＝8－2e 2＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.法二：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x ，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( ) A ．恒为正值 B ．等于0 C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A.因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x 1＜x 0时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选D.函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．6．(2019·安徽黄山一模)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)解析：选B.方程f (x )＝k 化为方程e |x |＝k －|x |.令y ＝e |x |，y ＝k －|x |，y ＝k －|x |表示过点(0，k )，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y ＝e |x |恰好有一个公共点时，有k ＝1.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．7．(2019·河南郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.答案：3 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：109．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是________．解析：依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）＜0，f （1）·f （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）＜0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]＜0，解得14＜m ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫14，1210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数f (x )的图象，如图，故点(1，0)在直线y ＝kx －12的下方．所以k ·1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝ln m ＋12m ＝1m ，所以m ＝ e.此时，k ＝1m ＝e e ，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故要求的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee .答案：⎝⎛⎭⎫12，ee11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示． (2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. [综合题组练]1．(应用型)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B.f (x )＝2x ＋x 的零点a 为函数y ＝2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b ＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.2．(创新型)(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.3．(应用型)(2019·甘肃一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sin π2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤17，15∪(5，7)D.⎝⎛⎭⎫17，15∪[5，7)解析：选A.当a ＞1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|＜1，log a |5|＜1，故a ＞5；当0＜a ＜1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.4．设函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈R 且x ≠1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)的值；(2)就m 的取值情况，讨论关于x 的方程f (x )＋x ＝m 在x ∈[2，3]上解的个数．解：(1)根据题意，函数f (x )＝x ＋1x －1，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x －1＝1＋x 1－x ＝－1＋x x －1，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，则f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝f ⎝⎛⎭⎫110＋f (10)＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f (8)＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f (6)＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＝0.(2)根据题意，设g (x )＝f (x )＋x ＝x ＋1x －1＋x ＝(x －1)＋2x －1＋2，令t ＝x －1，又由x ∈[2，3]，则t ∈[1，2]，则设h (t )＝t ＋2t＋2，有h ′(t )＝1－2t 2＝t 2－2t2，分析可得：在区间[1，2]上，h (t )单调递减，在区间[2，2]上，h (t )单调递增；则h (t )在[1，2]有最小值h (2)＝22＋2，且h (1)＝h (2)＝5，则函数h (t )在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2，方程f (x )＋x ＝m 的解的个数即为函数g (x )与直线y ＝m 的交点个数，分析可得：当m＜22＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；当22＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；综上可得，当m＜22＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；当22＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．。

函数与方程及其应用2020年高考数学一轮考点

2020 年高考数学一轮考点专题 11函数与方程及其应用一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数 y＝ f ( x)，我们把使 f ( x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝ f ( x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程 f ( x)＝0有实数根?函数 y＝f ( x)的图象与 x 轴有交点?函数 y＝ f ( x)有零点．函数的零点不是函数y＝ f ( x)与 x 轴的交点，而是y＝ f ( x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理假如函数 y＝ f ( x)在区间[ a，b]上的图象是连续不停的一条曲线，并且有 f ( a) f ( b)<0，那么，函数 y＝f ( x)在区间 (a ，) 内有零点，即存在c∈( ， )，使得f(c) ＝0，这个c也就是方程f(x)＝ 0 的根．b a b函数零点的存在性定理只好判断函数在某个区间上的变号零点，而不可以判断函数的不变号零点，并且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充足不用要条件.3．二分法的定义对于在区间 [ a，b] 上连续不停且 f ( a) f ( b)<0的函数 y＝ f ( x)，经过不停地把函数 f ( x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获得零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点相关函数零点的结论(1)若连续不停的函数 f ( x)在定义域上是单一函数，则 f ( x)至多有一个零点．(2)连续不停的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．(3)连续不停的函数图象经过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】考点一函数零点个数、所在区间1x－ 2例 1. (1) 设函数＝x3与y＝的图象的交点为 (x0，0)，若x0∈(，＋1) ，∈N，则x0所在的区间是y2y n n n________.1(2) 设函数f ( x) ＝3x－ ln x，则函数 y＝ f ( x)()1A．在区间e，1，(1，e)内均有零点1B．在区间e，1，(1，e)内均无零点1 C．在区间， 1内有零点，在区间(1 ，e) 内无零点e1D．在区间e， 1内无零点，在区间(1 ，e) 内有零点【答案】 (1)C(2)Dx－ 2x － 23131【分析】 (1)设 f ( x)＝ x －2，则 x0是函数 f ( x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝ x与 y＝2的图象如下图.1－1因为 f (1)＝1－2＝－ 1<0，1f (2)＝8－2＝7>0，所以 f (1) f (2)<0，所以 x0∈(1，2).(2)法一：图象法11令 f ( x)＝0得3x＝ln x．作出函数y＝3x 和y＝ln x 的图象，如图，1明显y＝ f ( x)在e， 1内无零点，在(1 ， e) 内有零点．法二：定理法当 x∈1e， e时，函数图象是连续的，且1 1f ′(x)＝3－ x＝x－3<0，所以函数3xf ( x)在1e， e上单一递减．1111又 f e ＝ 3e＋ 1>0，f (1)＝ 3>0，f (e)＝ 3e－ 1<0，所以函数有独一的零点在区间(1 ， e) 内．【解法小结】掌握判断函数零点个数的 3 种方法(1)解方程法若对应方程 f ( x)＝0可解，经过解方程，即可判断函数能否有零点，此中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但一定联合函数的图象与性质( 如单一性、奇偶性、周期性、对称性 )才能确立函数的零点个数．(3)数形联合法合理转变为两个函数的图象( 易画出图象 ) 的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其能否有交点，若有交点，此中交点的个数，就是函数零点的个数．考点二函数零点的应用考法 (一)已知函数零点个数求参数范围例 2. (2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知函数f ( x) ＝e x，x≤0，g( x)＝ f ( x)＋ x＋ a.若 g( x)存在2个零点，则 a ln x，x>0，的取值范围是 ()A． [ － 1,0)B．[0 ，＋∞)C． [ － 1，＋∞) D ．[1 ，＋∞)【答案】 C【分析】令 h( x)＝－ x－ a，则 g( x)＝f ( x)－ h( x)．在同一坐标系中画出y＝ f ( x)， y＝ h( x)的表示图，如下图．若 g( x)存在 2 个零点，则y＝ f ( x)的图象与y＝ h( x)的图象有 2 个交点，平移y＝ h( x)的图象，可知当直线y＝－ x－ a 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时1＝－ 0－a，a＝－ 1.当 y＝－ x－ a 在 y＝－ x＋1上方，即 a<－1时，仅有1个交点，不切合题意．当y＝－ x－ a 在 y＝－ x＋1下方，即 a>－1时，有2个交点，切合题意．综上， a 的取值范围为[－1，＋∞)．考法 ( 二 ) 已知函数零点所在区间求参数范围例 3. (2019 ·安庆摸底 ) 若函数f ( x) ＝ 4x－ 2x－ a，x∈[－1,1]有零点，则实数 a 的取值范围是________．1【答案】－4，2【分析】x x有零点，∵函数 f ( x)＝4－2－ a， x∈[－1,1]∴方程 4x－2x－a＝ 0在[ － 1,1]上有解，即方程 a＝4x－2x在[－1,1] 上有解．xxx1 2 1方程 a ＝ 4 － 2 可变形为 a ＝2 －－4，2∵ x ∈ [ － 1,1] ，∴ 2x∈ 1， 2 ，22x1211∴ －－ 4∈－， 2.2 41∴实数 a 的取值范围是－ 4， 2 .x － 4，x ≥ λ ，例4. (2018·浙江卷 )已知λ ∈R ，函数 f (x )＝x 2－4x ＋3，x <λ.(1) 当 λ ＝2 时，不等式 f ( x )<0 的解集是 ________.(2) 若函数 f ( x ) 恰有 2 个零点，则 λ 的取值范围是 ________.【答案】 (1)(1 ， 4) (2)(1 ，3] ∪(4 ，＋∞)【分析】 (1) 若 λ ＝ 2，当 x ≥2时，令 x － 4<0，得 2≤ x <4；当 x <2 时，令 x 2－ 4x ＋ 3<0，解得 1<x <2. 综上可知， 1< <4，所以不等式f ( x )<0 的解集为 (1 ， 4).x(2) 令 f ( x ) ＝ 0，当 x ≥ λ 时， x ＝ 4，当 x <λ 时， x 2－ 4x ＋ 3＝ 0，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 3.因为函数 f ( x ) 恰有 2 个零点，联合如图函数的图象知，1<λ ≤3或 λ >4.【解法小结】1．利用函数零点求参数范围的3 种方法直接法直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围分别参分别参数 ( a ＝ g ( x )) 后，将原问题转变为 y ＝ g ( x ) 的值域 ( 最值 ) 问题或转变为直线数法 y ＝ a 与 y ＝ g ( x ) 的图象的交点个数问题 ( 精选分别、次选分类 ) 求解数形结先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，而后数形联合求解合法2. 利用函数零点求参数范围的步骤三、【名校新题】x21. (2019 ·北京西城区模拟) 若函数f( x) ＝ 2－x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A． (1,3)B．(1,2)C． (0,3) D ．(0,2)【答案】 Cx2x2【分析】因为函数 f ( x)＝2－x－ a 在区间(1,2)上单一递加，又函数 f ( x)＝2－x－ a 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1) ·f (2)<0 ，所以 ( －a)(4 － 1－a)<0 ，即 a( a－3)<0，解得0<a<3.x2－2x， x≤0，2.(2019 ·岳阳二模 ) 已知函数f ( x) ＝1则函数 y＝ f ( x)＋3x 的零点个数是()1＋x，x>0，A.0B.1C.2D.3【答案】 C【分析】函数y ＝() ＋ 3 的零点个数就是y＝(x) 与＝－ 3 两个函数图象的交点个数，如下图，由f x x f yx函数的图象可知，零点个数为 2.3. (2019 ·郑州质量测试e x－a，x≤0，( a∈ R)，若函数f ( x) 在 R 上有两个零点，则) 已知函数f ( x) ＝2x－a，x>0实数 a 的取值范围是()A． (0,1] B ．[1 ，＋∞) C． (0,1) D ．( －∞， 1]【答案】 A【分析】画出函数 f ( x)的大概图象如下图．因为函数 f ( x)在R 上有两个零点，所以 f ( x)在(－∞，0]和 (0 ，＋∞ ) 上各有一个零点．当x≤0时， f ( x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时， f ( x)有一个零点，需－a<0，即 a>0.综上，0<a≤1.4.(2019 ·湖北七校联考 ) 已知f ( x) 是奇函数且是R 上的单一函数，若函数y＝ f (2 x2＋1)＋ f (λ－ x)只有一个零点，则实数λ的值是 ()1173A. 4B. 8C.－8D.－8【答案】 C【分析】令y＝f (2 x2＋1)＋ f (λ － x)＝0，则 f (2 x2＋1)＝－ f (λ － x)＝ f ( x－λ)，因为 f ( x)是R上的单一函数，所以 2x2＋ 1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋ 1＋λ＝ 0 只有一个实根，则＝1－ 8(1 ＋λ ) ＝ 0，解得7λ＝－8.x5. 已知函数f ( x) ＝2＋ x＋1，g( x)＝log2x＋ x＋1，h( x)＝log2x－1的零点挨次为a， b， c，则()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c【答案】 A【分析】令函数 f ( x)＝2x＋x＋1＝0，可知 x<0，即 a<0；令 g( x)＝log2x＋ x＋1＝0，则0<x<1，即0<b<1；令 h( x)＝log2x－1＝0，可知 x＝2，即 c＝2.明显 a<b<c.6. (2018 ·济南月考 ) 若函数f ( x) ＝x2＋ 2x＋a没有零点，则实数 a 的取值范围是()A.( －∞， 1)B.(1，＋∞)C.( －∞， 1]D.[1，＋∞)【答案】 B【分析】因为函数 f ( x)＝x2＋2x＋ a 没有零点，所以方程x2＋2x＋ a＝0无实根，即＝4－4a<0，由此可得a>1.ln （x＋1）（ x≥0），7.(2019 ·北京燕博园联考 ) 已知函数f ( x) ＝3－ 3（<0），若函数 y＝ f ( x)－ k 有三个不一样的零x x x点，则实数 k 的取值范围是 ()A.( － 2， 2)B.( －2， 1)C.(0 ， 2)D.(1 ，3)【答案】 C【分析】当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 3－ 3x ，则 f ′(x ) ＝ 3x 2－ 3，令 f ′(x ) ＝ 0，∴ x ＝± 1( 舍去正根 ) ，故 f ( x ) 在( －∞，－ 1) 上单一递加，在 ( － 1， 0) 上单一递减 .又 f ( x ) ＝ln( x ＋ 1) 在 (0 ，＋∞ ) 上单一递加 .则函数 f ( x ) 图象如下图 .f ( x ) 极大值＝ f ( － 1) ＝ 2，且 f (0) ＝ 0，故当 k ∈(0 ， 2) 时， y ＝ f ( x ) － k 有三个不一样零点.8.(2019 ·永州模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ a ＋ log 2( x 2＋ a )( a >0) 的最小值为 8，则实数 a 的取值范围是 ( )A.(5 ， 6)B.(7 ，8)C.(8 ， 9)D.(9 ，10)【答案】 A【分析】因为 f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上是增函数，在 ( －∞， 0) 上是减函数，∴ f ( x ) min ＝ f (0) ＝ a ＋ log 2a ＝ 8.令 g ( a ) ＝a ＋ log 2a －8， a >0.则 g (5) ＝log 25－ 3<0， g (6) ＝log 26－ 2>0，又 g ( a ) 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，∴实数 a 所在的区间为 (5 ， 6).9.(2018 ·郑州一模 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 知足 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，且当 x ∈[ － 1， 1] 时， f ( x ) ＝ x 2. 令g ( x ) ＝ f ( x ) － kx － k ，若在区间 [ － 1，3] 内，函数 g ( x ) ＝ 0 有 4 个不相等实根，则实数 k 的取值范围是 ()A.(0 ，＋∞ )B. 0，1211 1C. 0，D. ，344【答案】 C【分析】令 g ( x ) ＝0，得 f ( x ) ＝ k ( x ＋1) ，由 f ( x ) 的周期性，作出 y ＝ f ( x ) 在 [ －1， 3] 上的图象如下图.1设直线 y ＝k 1( x ＋ 1) 经过点(3，1) ，则k 1＝ 4.1∵直线y ＝k ( x ＋ 1) 经过定点( － 1，0) ，且由题意知直线y ＝k ( x ＋ 1) 与y ＝ f ( x ) 的图象有4 个交点，∴0< k ≤ 4.10. (2019 ·太原模拟 ) 若函数 f ( x ) ＝( m － 2) x 2＋mx ＋ (2 m ＋ 1) 的两个零点分别在区间 ( － 1,0) 和区间 (1,2) 内，则实数 m 的取值范围是 ________．1 1【答案】4， 2m ≠2，【分析】依题意并联合函数f ( x ) 的图象可知，f － f ，ff，≠2，m即 [ m － 2－m ＋m ＋m ＋， [－2＋＋＋－＋ 2 ＋＋，mmm mmm11解得 4<m <2.|lg x | ， x >0，211. 已知 f ( x ) ＝ 2| x| ， x ≤0，则函数 y ＝ 2[ f ( x )] － 3 f ( x ) ＋ 1 的零点个数是 ________.【答案】 521【分析】由 2[ f ( x )] － 3f ( x ) ＋ 1＝ 0 得 f ( x ) ＝ 2或 f ( x ) ＝1，作出函数 y ＝ f ( x ) 的图象 .1由图象知 y ＝ 2与 y ＝f ( x ) 的图象有 2 个交点， y ＝ 1 与 y ＝ f ( x ) 的图象有 3 个交点 . 所以函数 y ＝ 2[ f ( x )] 2－ 3f ( x ) ＋ 1 的零点有 5 个.12. (2019 ·西安调研 ) 方程 2x ＋3x ＝ k 的解在 [1 ，2) 内，则 k 的取值范围是 ________.【答案】[5 ， 10)【分析】令函数 f ( x)＝2x＋3x－ k，则 f ( x)在R上是增函数.当方程2x＋ 3x＝k的解在 (1 ， 2) 内时，f (1)· f (2)<0，即(5 －k)(10 －k)<0 ，解得 5<k<10.又当f (1) ＝0 时，＝ 5. 则方程2x＋ 3 ＝k的解在 [1 ， 2) 内，k的取值范围是 [5 ， 10).k x13. （ 2019盐城检测）已知函数f(x)=，若f(x)在区间上有且只有 2 个零点，则实数m的取值范围是________【答案】【分析】当时，易知x=0 不是方程的解，故m= -x在上是减函数，故 m即 m时，方程f(x)=0在上有且只有一个解，当 x时，令得故,即当时，方程f(x)=0在x上有且只有一个解，综上，若f(x) 在区间上有且只有 2个零点，则实数m的取值范围是14.(2019·邯郸模拟 ) 若曲线y ＝ log 2(2 x－ )(x>2) 上起码存在一点与直线y＝＋ 1 上的一点对于原点对称，m x则 m的取值范围为________.【答案】 (2 ， 4]【分析】因为直线 y＝ x＋1对于原点对称的直线为y＝ x－1，依题意方程log2(2x－ m)＝ x－1在(2，＋∞)上有解，即＝2x－ 1在x ∈(2 ，＋∞ ) 上有解，∴ >2.m mx x又 2 －m>0 恒建立，则m≤(2 )min＝4，。

高考文科数学第一轮复习基础讲义函数的图像与零点

高考文科数学第一轮复习基础讲义函数的图像与零点知识点一：二次函数的简单问题命题趋势探究：高考中主要考查二次函数的性质及其应用，尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用。

重点考查数形结合与等价转化两种数学思想。

必备知识：1、二次函数解析式的三种形式： (1)一般式___)(02≠++=a c bx ax y _； (2)顶点式)()(02≠+-=a k h x a y _；(3)零点式_))()((021≠--=a x x x x a y _.2、一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解就是函数)0(02≠=++=a c bx ax y 的值为0时的自变量x 的值，也就是函数的零点_.因此，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根也称为函数)0(02≠=++=a c bx ax y 的____零点____.3、一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;4、处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；过关训练：1.二次函数23)(2++=x x x f 的顶点式为_)()()(041232≠--=a x a x f _______；对称轴为__23-=x ______ 最小值是__41-____. 2.求二次函数32)(2--=x x x f 在下列区间的最值①]4,2[∈x ，=min y ___-3___，=max y _5_____；.②]5.2,0[∈x ，=min y _-4__，=max y _47-__； ③]0,2[-∈x ，=min y ___-3____，=max y _5_____.3.若函数∈+++=x x a x y ,3)2(2[a ，b]的图象关于直线1=x 对称，则_________6=b .4.若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,5(--上的增减性为增函数_.题型训练：题型1：三个二次的关系题1 （1）若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( C ) A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）（2）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范围；2230-<<a变式训练1：（1）函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是A （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m = （2）当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是，－５）－∞(．题型2：求函数的解析式题2 二次函数)(x f 满足,1)1()2(-=-=f f 且)(x f 的最大值是8，求此二次函数.7442++-=x x x f )(变式训练2 已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12,求()f x 的解析式. x x x f 1022-=)(题型3 二次函数综合问题题3：（1）已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2,x 1+x 2=0,则( A )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定（2）已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于(B)A ．3B ．2C ．1D ．2-（3）若方程0422=+-mx x 的两根均大于1，求实数m 的取值范围. 252<<m变式训练3：（1）设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是AA ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞（2）(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812解析：令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12，∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，∵2mn ≤2n ＋m2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B（3）设βα、是关于x 的方程012=+-ax x 的两根，且21,10<<<<βα，求实数a 的取值范围. 252<<a知识点二：函数的图像及变换命题趋势探究：基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，是研究函数性质的工具。

高考数学讲义与习题：零点定理含详解

lg(x 1), x 1,
是
。
5．函数 f x 4x x 2 a 有四个零点，则 a 的取值范围是________．
6．若函数 f
x
3xx2
2 x1(
x
x0)
0
，方程
f
x
m 有两解，则实数 m 的取值范围为______ ．
7．偶函数
f x 满足
f x f 2 x
，且当
x 1,0 时，
2．函数 f x x2 3x 4 的零点是____________.
【答案】1, 4
【解析】令 f（x）=0，即 x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.
3．若函数
f
x
ex, x 0
x
2
1,
x
0
，则函数
y
f
x 1的零点是___________.
【答案】0 或 2
【解析】要求函数 y f x 1的零点,则令 y f x 1 0 ,即 f (x) = 1,
f
(x)
,且
f
(x)
2x2,0 x 1
4
2x,1
x
2
,则函数
g(x) f (x) 1 x 1的零点个数为___________. 3
【答案】6
【解析】因为 f (x 4) f (x) ,即 f x 是周期为 4 的周期函数
f
x 为偶函数,且
f
(x)
2x2,0 x 1
4
2x,1
6．已知定义在 R 上的函数 y f x 对任意 x 都满足 f x 1 f x ，且当 0 x 1时， f x x ，
3
则函数 g x f x ln | x | 的零点个数为

2020年高考数学一轮复习专题2.9零点定理练习(含解析)

第九讲零点定理1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 3设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a >0)的两实数根，则x 1，x 2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m ，n ，p 为常数，且m <n <p )二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

考点12 零点定理(练习)(解析版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记

考点12：零点定理【题组一求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-；当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3- 故答案为：3- 2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________. 【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2，则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________. 【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1．【题组二零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A. 2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续，又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>，故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D. 3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>， ∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内必有零点.故选：B . 【题组三零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22x f x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 . 【答案】2【解析】令22e 20,2x x x e x +-==-+,画出2,2x y e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 . 【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数，即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点，4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .【解析】因为ln y x =与2y x =均在()0,+?上为增函数，所以函数()2ln f x x x=+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点. 5．函数()3f x x x =--,则()f x 的零点个数为________.【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x x x --=⇔-=令123,y x y x =-=，则()f x 的零点的个数就是函数123,y x y x =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________. 【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10，故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 . 【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2．由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点． 9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x Q 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x = 当0x >时有()20log f x x =Q 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦， ()f x ∴是3T =的周期函数， 32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴 Q 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x Q 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:511．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 . 【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ），由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ） ∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019xf x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x =的交点个数，当2019x =时，y 12019x==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x =无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 .【答案】7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内，∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 . 【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数，又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

2020年高考数学考点与题型全归纳理科

2020年高考数学考点题型全归纳（理）第一章集合与常用逻辑用语 (14)第一节集合 (14)考点一集合的基本概念 (15)考点二集合间的基本关系 (16)考点三集合的基本运算 (18)第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 (24)考点一四种命题及其真假判断 (25)考点二充分、必要条件的判断 (26)考点三根据充分、必要条件求参数的范围 (28)第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (33)考点一判断含有逻辑联结词命题的真假 (34)考点二全称命题与特称命题 (35)考点三根据命题的真假求参数的取值范围 (36)第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ (42)第一节函数及其表示 (42)考点一函数的定义域 (43)考点二求函数的解析式 (44)考点三分段函数 (47)第二节函数的单调性与最值 (55)考点一确定函数的单调性区间 (56)考点二求函数的值域最值 (58)考点三函数单调性的应用 (60)第三节函数的奇偶性与周期性 (69)考点一函数奇偶性的判断 (70)考点二函数奇偶性的应用 (72)考点三函数的周期性 (74)第四节函数性质的综合问题 (81)考点一函数的单调性与奇偶性 (81)考点二函数的周期性与奇偶性 (82)考点三函数性质的综合应用 (83)第五节函数的图象 (92)考点一作函数的图象 (93)考点二函数图象的识辨 (95)考点三函数图象的应用 (97)第六节二次函数 (106)考点一求二次函数的解析式 (107)考点二二次函数的图象与性质 (109)第七节幂函数 (118)考点一幂函数的图象与性质 (119)考点二比较幂值大小 (120)第八节指数式、对数式的运算 (125)考点一指数幂的化简与求值 (126)考点二对数式的化简与求值 (128)第九节指数函数 (133)考点一指数函数的图象及应用 (134)考点二指数函数的性质及应用 (135)第十节对数函数 (144)考点一对数函数的图象及应用 (145)考点二对数函数的性质及应用 (147)第十一节函数与方程 (153)考点一函数零点个数、所在区间 (154)考点二函数零点的应用 (156)第十二节函数模型及其应用 (162)考点一二次函数、分段函数模型 (163)考点二指数函数、对数函数模型 (165)第三章导数及其应用 (171)第一节导数的概念及运算、定积分 (171)考点一导数的运算 (173)考点二导数的几何意义及其应用 (174)考点三定积分的运算及应用 (177)第二节导数的简单应用 (186)第一课时导数与函数的单调性 (188)考点一求函数的单调区间 (188)考点二判断含参函数的单调性 (189)第二课时导数与函数的极值、最值 (202)考点一利用导数研究函数的极值 (202)考点二利用导数研究函数的最值 (204)考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题 (207)第三节导数的综合应用 (217)第一课时利用导数解不等式 (217)考点一f(x)与f′(x)共存的不等式问题 (217)考点二不等式恒成立问题 (220)考点三可化为不等式恒成立问题 (223)第二课时利用导数证明不等式 (229)考点一单变量不等式的证明 (229)考点二双变量不等式的证明 (233)考点三证明与数列有关的不等式 (234)第三课时导数与函数的零点问题 (239)考点一判断函数零点的个数 (239)考点二由函数零点个数求参数 (241)第四节导数压轴专项突破 (248)第一课时分类讨论的“界点”确定 (248)考点一根据二次项系数确定分类“界点” (248)考点二根据判别式确定分类“界点” (249)考点三根据导函数零点的大小确定分类“界点” (250)考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点” (251)第二课时有关x与e x，ln x的组合函数问题 (253)考点一x与ln x的组合函数问题 (253)考点二x与e x的组合函数问题 (254)考点三x与e x，ln x的组合函数问题 (256)考点四借助e x≥x＋1和ln x≤x－1进行放缩 (258)第三课时极值点偏移问题 (261)考点一对称变换 (261)考点二消参减元 (263)考点三比(差)值换元 (264)第四课时导数零点不可求 (267)考点一猜出方程f′(x)＝0的根 (267)考点二隐零点代换 (267)考点三证——证明方程f′(x)＝0无根 (269)第五课时构造函数 (270)考点一“比较法”构造函数证明不等式 (270)考点二“拆分法”构造函数证明不等式 (271)考点三“换元法”构造函数证明不等式 (272)考点四“转化法”构造函数 (273)第六课时“任意”与“存在”问题 (275)考点一单一任意与存在问题 (275)考点二双任意与存在相等问题 (276)考点三双任意与双存在不等问题 (277)考点四存在与任意嵌套不等问题 (279)第四章三角函数、解三角形 (286)第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 (286)考点一象限角及终边相同的角 (288)考点二三角函数的定义 (289)考点三三角函数值符号的判定 (290)第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式 (297)考点一三角函数的诱导公式 (298)考点二同角三角函数的基本关系及应用 (299)第三节三角函数的图象与性质 (309)第一课时三角函数的单调性 (311)考点一求三角函数的单调区间 (311)考点二求三角函数的值域最值 (313)考点三根据三角函数单调性确定参数 (315)第二课时三角函数的周期性、奇偶性及对称性 (324)考点一三角函数的周期性 (324)考点二三角函数的奇偶性 (326)考点三三角函数的对称性 (327)第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用 (338)考点一求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式 (339)考点二函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与变换 (342)考点三三角函数模型及其应用 (344)第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 (355)考点一三角函数公式的直接应用 (356)考点二三角函数公式的逆用与变形用 (357)考点三角的变换与名的变换 (360)第六节简单的三角恒等变换 (368)考点一三角函数式的化简 (368)考点二三角函数式的求值 (369)考点三三角恒等变换的综合应用 (373)第七节正弦定理和余弦定理 (382)第一课时正弦定理和余弦定理(一) (383)考点一利用正、余弦定理解三角形 (383)考点二判定三角形的形状 (386)第二课时正弦定理和余弦定理(二) (393)考点一有关三角形面积的计算 (393)考点二平面图形中的计算问题 (395)考点三三角形中的最值、范围问题 (398)考点四解三角形与三角函数的综合应用 (400)第八节解三角形的实际应用 (410)考点一测量高度问题 (410)考点二测量距离问题 (412)考点三测量角度问题 (414)第五章平面向量 (419)第一节平面向量的概念及线性运算 (419)考点一平面向量的有关概念 (420)考点二平面向量的线性运算 (422)考点三共线向量定理的应用 (424)第二节平面向量基本定理及坐标表示 (431)考点一平面向量基本定理及其应用 (432)考点二平面向量的坐标运算 (433)考点三平面向量共线的坐标表示 (435)第三节平面向量的数量积 (440)考点一平面向量的数量积的运算 (442)考点二平面向量数量积的性质 (444)第四节平面向量的综合应用 (453)考点一平面向量与平面几何 (453)考点二平面向量与解析几何 (454)考点三平面向量与三角函数 (456)第六章数列 (464)第一节数列的概念与简单表示 (464)考点一由a n与S n的关系求通项a n (465)考点二由递推关系式求数列的通项公式 (466)考点三数列的性质及应用 (469)第二节等差数列及其前n项和 (476)考点一等差数列的基本运算 (477)考点二等差数列的判定与证明 (478)考点三等差数列的性质及应用 (480)第三节等比数列及其前n项和 (487)考点一等比数列的基本运算 (489)考点二等比数列的判定与证明 (490)考点三等比数列的性质 (492)第四节数列求和 (499)考点一分组转化法求和 (500)考点二裂项相消法求和 (501)考点三错位相减法 (503)第五节数列的综合应用 (511)考点一数列在实际问题与数学文化问题中的应用 (511)考点二等差数列与等比数列的综合计算 (513)第七章不等式..........................................................................................错误!未定义书签。

专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题

专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题函数的零点问题在数学中是一个非常重要的概念和问题。

而在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个重点内容。

下面，我们来详细探讨一下这个问题。

函数的零点问题即是求解函数的解析式方程$f(x)=0$的解$x$。

在实际问题中，函数的零点往往表示了其中一种特定情况下的平衡点或者特殊点，因此求解函数的零点问题是非常实用和重要的。

那么，如何求解函数的零点问题呢？下面，我们将从三个方面进行讨论。

首先，我们可以通过图像来求解函数的零点问题。

对于一般的函数，我们可以通过画出函数的图像来判断函数的零点。

函数的零点为函数与$x$轴相交的点，在图像上表现为函数曲线与$x$轴的交点。

通过观察函数图像上哪些点与$x$轴相交，我们可以找到函数的零点。

对于简单的函数，我们可以手工画出函数图像，对于复杂的函数，我们可以借助计算机软件进行绘图。

其次，我们可以通过函数的解析式来求解函数的零点问题。

对于一般的函数，我们可以通过解方程$f(x)=0$来求解函数的零点。

通过将方程变形化简，最终得到$x$的解析表达式。

这种方法适用于存在解析解的函数，对于一些特殊函数，解析解并不存在，我们需要采用其他方法进行求解。

最后，我们可以通过数值计算方法来求解函数的零点问题。

对于一些无法通过解析式求解的函数，我们可以采用数值计算方法进行求解。

数值计算方法包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等。

这些方法通过迭代计算，逐渐接近函数的零点。

在实际计算中，我们可以通过计算机软件来进行数值计算，以提高计算的精度和效率。

综上所述，函数的零点问题在数学中具有重要的意义，我们可以通过图像、解析式和数值计算方法等多种途径来求解函数的零点。

在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个关键的内容，掌握这个问题对于学生的数学能力提高和应试能力提升都具有重要作用。

因此，我们应该重视并加以学习和实践。

【高考】2020年高考数学一轮复习高分点拨专题2.14 参数的分类讨论(文理科通用)(学生版)

第十五讲参数的分类讨论用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．考向一次函数型【例1】已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．【举一反三】1.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值． 2.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．考向二指数型函数中的参数【例2】已知函数2()e 1x f x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值.【举一反三】1．已知函数f(x)=e x−x.（Ⅰ）求函数f(x)极值；ax2+1，求a的取值范围.（Ⅱ）若对任意x>0，f(x)>122.已知函数f(x)＝x e x－x－ax2.时，求f(x)的单调区间；(1)当a＝12(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．考向三对数型函数中的参数【例3】已知函数f(x)=x+alnx．（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间．【举一反三】1．已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2.a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.2．已知函数f(x)=(1+a)x 2−lnx −a +1(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a <1，求证：当x >0时，函数y =xf(x)的图像恒在函数y =lnx +(1+a)x 3−x 2的图像上方.考向四一元二次可因式分解型【例4】已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，试讨论()f x 的单调性.【举一反三】1. 已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．2. 已知函数f (x )＝x 2e－ax －1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．考向五一元二次函数判别式型【例5】已知函数f (x )=ln 1x −ax 2+x (a >0) （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)在定义域内有两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)+f (x 2)>3−2ln2.【举一反三】已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-.考向六导数与不等式【例6】已知函数f (x )＝1－x －1e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1；(2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e2.【举一反三】1．已知函数f (x )=xe x +a (x −1)2+b 在点(0,f (0))处的切线方程为3x −y −1=0.（1）求a,b 的值；（2）证明：当x >0时，f (x )>2elnx +1.2. 已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )<sin x 在(0，＋∞)上恒成立．考向七导数与零点【例7】已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)．【举一反三】1.)已知f (x )＝12x 2－a ln x ，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由．(参考求导公式：[f (ax ＋b )]′＝af ′(ax ＋b ))2 .已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3(a 为实数)，若方程g (x )＝2f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围．3.设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3的零点的个数．1.已知函数323()31f x ax x a =-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值.2.讨论函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x 的单调性．3.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，试讨论f (x )的单调性．4.已知函数f (x )＝e xx 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围_．5.已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln xx .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围．7．已知函数f(x)=e x −ax 2．（1）若a =1，证明：当x ≥0时，f(x)≥1；（2）若f(x)在(0, + ∞)只有一个零点，求a 的值.8.已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．9．已知函数f(x)=lnx −ax +1x ．（1）若1是函数f(x)的一个极值点，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下证明：f(x)≤xe x −x +1x −1．。

2020高考数学大一轮复习课件 (5)

f(x)g(x)
偶函数奇函数
f(g(x))
偶函数偶函数
偶函数偶函数偶函数奇函数
奇函数偶函数
奇函数奇函数
不能确定
奇函数
不能确定
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考法5 函数奇偶性的应用
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
解不等式画函数图象和判断单调性
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性,进而得出参数的值.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解. 利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本不等式,进而得出未知数的取值范围.
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
（6）对于复合函数y=f[g(x)],若y=f(t)与t=g(x)单调性相同,则y=f[g(x)]为增函
数,若y=f(t)与t=g(x)单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数,即“同增异减”.
考法2 函数单调性的应用
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
求函数最值(值域)的方法
(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求出最值(值域).

高考数学函数零点专题

专题2.函数的零点高考解读求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．知识梳理1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f (x )，g (x )，即把方程写成f (x )＝g (x )的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系. 高频考点突破考点一函数的零点判断例1、【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A. )21,0(B.)1,21( C ．(1,2) D ．(2,3)(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 考点二、二次函数的零点例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．考点三函数零点的应用例3、【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【变式探究】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，?x －2?2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.),47(+∞ B.)47,(-∞ C. )47,0( D.)2,47( 【方法规律】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【变式探究】对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎨⎧－m 2＋2mn －1?m ≤n ?，n 2－mn ?m >n ?，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．考点四、分段函数的模型例4、【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【变式探究】已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝错误!(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)【方法技巧】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【变式探究】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？高考链接1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.2.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x mf x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.3.【2016高考上海理数】已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.4.【2015高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+5.【2015高考湖南，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .6.【2015高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为7.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭ 8.【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．9.【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ο）满足函数关系bkx e y +=（Λ718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题10.1两个基本计数原理

第十篇计数原理、概率、随机变量及其散布专题 10.01两个基本计数原理【考试要求】认识分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.【知识梳理】1.分类加法计数原理达成一件事有两类不一样方案，在第 1 类方案中有m 种不一样的方法，在第 2 类方案中有n 种不一样的方法.那么达成这件事共有N＝ m＋ n 种不一样的方法.2.分步乘法计数原理达成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不一样的方法，做第 2 步有 n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 N＝m× n 种不一样的方法 .3.分类加法和分步乘法计数原理，差别在于：分类加法计数原理针对“分类” 问题，此中各样方法相互独立，用此中任何一种方法都能够做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都达成了才算达成这件事.【微点提示】分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决摆列组合问题的基础，并贯串其一直.1.分类加法计数原理中，达成一件事的方法属于此中一类，而且只属于此中一类.2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步达成”.【疑误辨析】1.判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1) 在分类加法计数原理中，两类不一样方案中的方法能够同样.()(2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接达成这件事.()(3) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中达成这个步骤的方法是各不同样的.()(4) 在分步乘法计数原理中，事情是分两步达成的，此中任何一个独自的步骤都能达成这件事.()【答案】(1) ×(2)√(3) √(4)×【分析】分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不一样的，每一种方法都能达成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不一样的，每步的方法只好达成这一步，不可以达成这件事，所以(1)， (4) 均不正确 . 【教材衍化】2.(选修 2－ 3P28B2 改编 )现有 4 种不一样颜色要对如下图的四个部分进行着色，要求有公共界限的两块不可以用同一种颜色，则不一样的着色方法共有()A.24 种B.30 种C.36 种D.48 种【答案】 D【分析】需要先给 C 块着色，有 4 种结果；再给 A 块着色，有 3 种结果；再给 B 块着色，有 2 种结果；最后给 D 块着色，有 2 种结果，由分步乘法计数原理知共有4× 3× 2×2＝ 48(种 ).3.(选修 2－ 3P5 例 3 改编 )书架的第1 层放有 4 本不一样的计算机书，第2层放有 3本不一样的文艺书，第 3层放有 2 本不一样的体育书 .从书架中任取 1 本书，则不一样取法的种数为________.【答案】9【分析】从书架上任取 1 本书，有三类方法：第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法；第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法 .依据分类加法计数原理，不一样取法的种数是N＝ m1＋ m2＋ m3＝ 4＋ 3＋ 2＝ 9.【真题体验】4.(2016 全·国Ⅱ卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会集，再一同到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【答案】 B【分析】分两步，第一步，从E→ F，有 6 条能够选择的最短路径；第二步，从 F → G，有 3 条能够选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6× 3＝ 18 条能够选择的最短路径.应选 B.5.(2019 杭·州模拟 )教课大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A.10 种B.25种C.52种D.24种【答案】 D【分析】每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步 .由分步乘法计数原理，共有24种不一样的走法 .x2 y26.(2019 菏·泽六校联考 )椭圆m＋n＝ 1 的焦点在 x 轴上，且 m∈ {1 ， 2， 3，4， 5} ， n∈ {1 ， 2， 3，4， 5，6，7} ，则这样的椭圆的个数为________.【答案】10【分析】由于焦点在 x 轴上， m>n，以 m 的值为标准分类，分为四类：第一类：m＝ 5 时，使 m>n， n 有4 种选择；第二类：m＝ 4 时，使 m>n，n 有 3 种选择；第三类：m＝3 时，使 m>n，n 有 2 种选择；第四类：m＝ 2 时，使 m>n，n 有 1 种选择 .由分类加法计数原理，切合条件的椭圆共有10 个.【考点聚焦】考点一分类加法计数原理的应用【例 1】 (1)从甲地到乙地有三种方式能够抵达 .每日有 8 班汽车、 2 班火车和 2 班飞机 .一天一人从甲地去乙地，共有 ________种不一样的方法 .(2) 知足 a，b∈ { － 1，0，1，2} ，且对于 x 的方程 ax2＋ 2x＋ b＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.【答案】(1)12(2)13【分析】(1) 分三类：一类是乘汽车有8 种方法；一类是乘火车有 2 种方法；一类是乘飞机有 2 种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋ 2＋ 2＝ 12(种 )方法 .(2) 当 a＝ 0 时， b 的值能够是－ 1， 0，1， 2，故 (a，b)的个数为4；当 a≠ 0 时，要使方程ax2＋ 2x＋ b＝ 0 有实数解，需使＝ 4－ 4ab≥ 0，即 ab≤ 1.若 a＝－ 1，则 b 的值能够是－ 1， 0，1， 2， (a，b) 的个数为 4；若a＝ 1，则 b 的值能够是－ 1， 0， 1， (a， b)的个数为 3；若 a＝ 2，则 b 的值能够是－ 1， 0， (a，b) 的个数为 2.由分类加法计数原理可知，(a， b)的个数为 4＋ 4＋ 3＋2＝ 13.【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的重点词、重点元素和重点地点 .(1) 依据题目特色恰入选择一个分类标准.(2)分类时应注意达成这件事情的任何一种方法一定属于某一类，而且分别属于不一样种类的两种方法才是(3) 分类时除了不可以交错重复外，还不可以有遗漏，如本例(2) 中易漏 a＝0 这一类 .【训练 1】 (1) 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不一样的选法种数为()A.6B.5C.3D.2(2)从会集 {1 ，2，3，， 10} 中随意选出三个不一样的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】(1)B (2)D【分析】(1)5 个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.(2) 以 1 为首项的等比数列为1， 2，4； 1， 3， 9；以 2 为首项的等比数列为 2， 4， 8；以4 为首项的等比数列为 4， 6， 9；把这 4 个数列的次序颠倒，又获取此外的 4 个数列，∴所求的数列共有2(2＋ 1＋ 1)＝ 8(个 ).考点二分步乘法计数原理的应用【例 2】 (1) 用 0， 1， 2，3， 4， 5 可构成无重复数字的三位数的个数为________.(2) 五名学生报名参加四项体育竞赛，每人限报一项，则不一样的报名方法的种数为________.五名学生抢夺四项竞赛的冠军 (冠军不并列 )，则获取冠军的可能性有______种 .【答案】(1)100 (2)45 54【分析】(1) 可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有 5 种放法；第二步：十位数字有 5 种放法；第三步：个位数字有 4 种放法，依据分步乘法计数原理，三位数的个数为5× 5× 4＝ 100.(2) 五名学生参加四项体育竞赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有 4 种报名方法，共有45种不同的报名方法 .五名学生抢夺四项竞赛的冠军，可对 4 个冠军逐个落实，每个冠军有 5 种获取的可能性，共有 54种获取冠军的可能性 .【规律方法】 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后次序的，而且分步一定知足：达成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都达成了，才算达成这件事.2.分步一定知足两个条件：一是步骤相互独立，互不扰乱；二是步与步保证连续，逐渐达成.【训练 2】已知 a∈ {1 ，2，3} ，b∈ {4 ，5，6，7} ，则方程 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 4 可表示不一样的圆的个数为()第4页共11页第4页共11页【答案】 C【分析】获取圆的方程分两步：第一步：确立 a 有 3 种选法；第二步：确立 b 有 4 种选法，由分步乘法计数原理知，共有3× 4＝12( 个).考点三两个计数原理的综合应用【例 3】 (1)(2017 ·天津卷 )用数字 1，2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9 构成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个 (用数字作答 ).(2) 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体由中两，个极点确立的直线与含有四个极点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36【答案】(1)1 080 (2)D【分析】(1) 当不含偶数时，有 A 4＝ 120(个 )，5当含有一个偶数时，有1 3 4C4C5A 4＝ 960(个 )，所以这样的四位数共有 1 080 个.(2) 在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24 个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12 个“ 正交线面对” ，所以共有36 个“正交线面对”.【规律方法】1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步 .在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可适合地列出表示图或列出表格，使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不一样的地区分步达成.【训练 3】 (1)(2019 ·衡水调研 )用 0， 1，， 9 十个数字，能够构成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279(2)( 一题多解 )(2019 青·岛质检 )如下图，用 4 种不一样的颜色涂入图中的矩形A， B， C，D 中，要求相邻的矩形涂色不一样，则不一样的涂法有()A.72 种B.48 种C.24 种D.12 种(3) 如下图，在连接正八边形的三个极点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个 (用数字作答 ).【答案】(1)B (2)A (3)40【分析】(1)0， 1， 2，， 9 共能构成 9×10× 10＝900(个 )三位数，此中无重复数字的三位数有9× 9× 8＝ 648(个 )，∴ 有重复数字的三位数有900－ 648＝252(个 ).(2) 法一第一涂 A 有 4 种涂法，则涂 B 有 3 种涂法， C 与 A，B 相邻，则 C 有 2 种涂法， D 只与 C 相邻，则 D 有 3 种涂法，所以共有 4× 3× 2× 3＝ 72 种涂法 .法二按要求涂色起码需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种颜色都用，这时A有 4种涂法， B有 3种涂法，C 有 2 种涂法， D 有 1 种涂法，共有 4× 3× 2× 1＝ 24(种 )涂法；二是用 3 种颜色，这时 A， B， C 的涂法有4× 3×2＝24(种 )， D 只需不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法，所以不一样的涂法共有24＋ 24× 2＝ 72(种 ).(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8× 4＝ 32(个 ).第二类，有两条公共边的三角形共有8 个 .由分类加法计数原理知，共有32＋ 8＝ 40(个 ).【反省与感悟】1.应用两个计数原理的难点在于明确分类仍是分步.在办理详细的应用问题时，第一一定弄清楚“分类”与“分步”的详细标准是什么.选择合理的标准办理事情，能够防止计数的重复或遗漏.2.(1) 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理乞降，获取总数.(2)分步要做到“ 步骤完好” ，达成了全部步骤，恰巧达成任务，自然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后依据分步乘法计数原理，把达成每一步的方法数相乘，获取总数 . 3.混淆问题一般是先分类再分步 .4.要适合画出表示图或树状图，使问题的剖析更直观、清楚，便于探究规律.【易错防备】1.确实理解“达成一件事”的含义，以确立需要分类仍是需要分步进行.2.分类的重点在于要做到“ 不重不漏” ，分步的重点在于要正确设计分步的程序，即合理分类，正确分步.3.确立题目中能否有特别条件限制.【分层训练】【础稳固题组】(建议用时： 35 分钟 )一、选择题1.从会集 {0 ， 1，2， 3， 4， 5， 6} 中任取两个互不相等的数a，b 构成复数a＋bi ，此中虚数的个数是()A.30B.42C.36D.35【答案】 C【分析】由于 a＋ bi 为虚数，所以b≠0，即 b 有 6 种取法， a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知能够组成 6× 6＝36 个虚数 .2.已知两条异面直线 a， b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这13 个点能够确立不一样的平面个数为( )A.40B.16C.13D.10【答案】 C【分析】分两类状况议论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点能够确立 8 个不一样的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点能够确立 5 个不一样的平面 .依据分类加法计数原理知，共能够确立8＋ 5＝ 13 个不一样的平面 .3.(2019 济·南调研 )有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数在数学检测时要求每位教师不可以在本班监考，则不一样的监考方法有 ( )A.8 种B.9 种C.10 种D.11 种【答案】 B【分析】设四位监考教师分别为A，B，C，D ，所教班分别为a，b，c，d，假定 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不一样方法，同理A监考c，d时，也分别有3 种不一样方法，由分类加法计数原理，共有 3＋ 3＋ 3＝ 9(种 )不一样的监考方法.4.(2019 宁·波质检 )将一个四周体ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不可以涂同样颜色，则不一样的涂色方案有()A.1 种B.3 种C.6 种D.9 种【答案】 C【分析】由于只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应当将四周体的对棱涂成同样的颜色，故有3× 2×1 ＝ 6(种 )涂色方案 .5.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由 6 或 8 构成的，则这样的电话号码的个数为()A.20B.25C.32D.60【答案】 C【分析】依照题意知，后五位数字由 6 或 8 构成，可分 5 步达成，每一步有 2 种方法，依据分步乘法计数原理，切合题意的电话号码的个数为25＝ 32.6.会集 P＝ {x ，1} ，Q＝ {y ， 1，2} ，此中 x， y∈ {1 ， 2， 3，， 9} ，且 P? Q.把知足上述条件的一对有序整数对 (x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A.9B.14C.15D.21【答案】 B【分析】当 x＝ 2 时， x≠y，点的个数为1×7＝ 7.当 x≠2时，由 P? Q，∴ x＝ y.∴ x 可从 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 中取，有7种方法 .所以知足条件的点共有7＋ 7＝ 14(个 ).7.将 2 名教师， 4 名学生疏成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和2 名学生构成，则不一样的安排方案共有( )A.12 种B.10 种C.9 种D.8 种【答案】 A【分析】第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C21＝ 2(种 )选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，此外两名到乙地，有C42＝6(种)选派方法；由分步乘法计数原理可知，不一样的选派方案共有2× 6＝ 12(种).8.从会集 {1 ， 2，3， 4，， 10} 中，选出 5 个数构成子集，使得这 5 个数中随意两个数的和都不等于11，则这样的子集有 ( )A.32 个B.34 个C.36 个D.38 个【答案】 A【分析】将和等于11 的放在一组： 1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6.从每一小组中取一个，有C21＝2种，共有 2× 2× 2× 2× 2＝ 32(个 ).二、填空题9.某人从甲地到乙地，能够乘火车，也能够坐轮船，在这天的不一样时间里，火车有 4 趟，轮船有 3 次，问这人的走法可有________种 .【答案】7【分析】由于某人从甲地到乙地，乘火车的走法有 4 种，坐轮船的走法有 3 种，每一种方法都能从甲地到乙地，依据分类加法计数原理，可得这人的走法可有4＋ 3＝ 7(种 ).10.乘积 (a1＋ a2＋ a3)(b1＋ b2＋ b3＋ b4)(c1＋ c2＋ c3＋ c4＋ c5)睁开后的项数为________.【答案】60【分析】从第一个括号中选一个字母有 3 种方法，从第二个括号中选一个字母有 4 种方法，第三个括号中选一个字母有 5 种方法，故依据分步乘法计数原理可知共有N＝ 3× 4× 5＝ 60(项 ).11.在编号为1，2，3，4，5，6 的六个盒子中放入两个不一样的小球，每个盒子中最多放入一个小球，且不可以在两个编号连续的盒子中同时放入小球，则不一样的放小球的方法有________种 .【答案】20【分析】设两个不一样的小球为A，B，当 A 放入 1 号盒或许 6 号盒时， B 有 4 种不一样的放法；当 A 放入 2，3， 4， 5 号盒时， B 有 3 种不一样的放法，一共有4× 2＋ 3× 4＝ 20 种不一样的放法 .12.三边长均为正整数，且最大边长为11 的三角形的个数是________.【答案】36【分析】另两边长用x，y(x，y∈N* )表示，且不如设1≤ x≤ y≤ 11，要构成三角形，一定x＋ y≥ 12.当 y 取11时， x 可取 1，2，3，， 11，有 11 个三角形；当 y 取 10 时， x 可取 2，3，，10，有 9 个三角形；；当 y 取 6 时， x 只好取 6，只有 1 个三角形 .所以所求三角形的个数为11＋ 9＋7＋ 5＋ 3＋1＝ 36.【能力提高题组】(建议用时： 15 分钟 )13.如图，图案共分9 个地区，有 6 种不一样颜色的涂料可供涂色，每个地区只好涂一种颜色的涂料，此中 2 和 9 同色、 3 和 6 同色、 4 和 7 同色、 5 和 8 同色，且相邻地区的颜色不同样，则涂色方法有()A.360 种B.720 种C.780 种D.840 种【答案】 B【分析】由题意知 2， 3， 4， 5 的颜色都不同样，先涂 1，有 6 种方法，再涂 2，3， 4， 5，有 A 45种方法，故一共有 6·A 45＝ 720 种 .14.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则首位为 2 的“六合数”共有 ()A.18 个B.15 个C.12 个D.9 个【答案】 B【分析】依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4，0，0 构成 3 个数分别为400，040，004；由 3， 1， 0 构成 6 个数分别为310， 301， 130， 103， 013， 031；由 2， 2， 0 构成 3 个数分别为220，202， 022；由 2， 1， 1 构成 3 个数分别为211，121， 112.合计 3＋6＋ 3＋ 3＝15(个 ).15.从 1，2，3，4，7，9 六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则全部不一样对数值的个数为________. 【答案】17【分析】当所取两个数中含有 1 时， 1 只好作真数，对数值为0，当所取两个数不含有 1 时，可获取 A 25＝20(个 )对数，但log23＝ log 49， log3 2＝ log 94， log2 4＝ log 39， log4 2＝ log93.综上可知，共有20＋ 1－4＝ 17(个 ) 不一样的对数值.16.已知会集 M ＝ {1 ， 2，3，4} ，会集 A ， B 为会集 M 的非空子集，若对 ? x∈ A ， y∈ B ，x<y 恒建立，则称(A ， B) 为会集 M 的一个“子集对”，则会集 M 的“子集对”共有 ________个 .【答案】17【分析】A＝ {1} 时， B 有 23－1 种状况； A＝ {2} 时， B 有 22－ 1 种状况；A＝{3} 时， B 有 1种状况； A＝{1，2}时， B 有 22－1 种状况；A＝{1，3} ，{2 ，3} ，{1， 2，3} 时， B 均有 1 种状况，故知足题意的“ 子集对” 共有7＋3＋1＋3＋3＝17个.【新高考创新展望】17.(试题创新 )工人在安装一个正六边形部件时，需要固定如下图的六个地点的螺栓.若按必定次序将每个螺栓固定紧，但不可以连续固定相邻的 2 个螺栓，则不一样的固定螺栓方式的种数是________.第10页共11页第10页共11页【答案】60【分析】第一步在六个螺栓中随机选择一个固定，有 6 种不一样的选法，不如以选择地点 1 的螺栓为例，第二步，选择一个与 1 不相邻的地点的螺栓固定，此时有两类：地点 4 或地点 3， 5，入选择地点 4 时，第三个固定的螺栓地点能够为2， 6 中的一个，第四个固定的螺栓的地点相应有两种状况，此时第五个固定和第六个固定的地点相应确立；入选择地点3，5 时，不如以地点 3 为例，此时第三个固定的螺栓的地点能够为 5， 6 中的一个，若第三个固定的地点为5，则第四个固定的地点只有 2 一种选择，第五个固定的地点有两种选择，第六个固定的地点相应确立，若第三个固定的地点为6，则第四个固定的地点只好为4，第五个固定的地点只好为2，第六个固定的地点相应确立.综上所述，不一样的固定螺栓方式的种数为6× [2× 2＋ 2× (2 ＋1)] ＝60.第11页共11页第11页共11页。

2020高考数学大一轮复习课件 (10)

数图象有1个交点,所以函数f(x)有1个零点.
根据对称性知,当x<0时,函数f(x)也有1个零点.
综上所述,f(x)的零点个数为3. 答案 C
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结判断函数零点个数的方法 1.直接法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点. 2.利用函数的零点存在性定理:利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3.图象法:画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x) 的零点个数;将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差,根据f(x)=0⇔h(x)=g(x), 则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数.
2020版《高考帮》配套PPT课件
【高考帮· 文科数学】第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ
第七讲函数与方程
CONTENTS
目录
考情精解读命题规律聚焦核心素养
A考点帮∙知识全通关考点1 函数的零点考点2 用二分法求方程的近似解
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
B考法帮∙题型全突破
答案 B
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
感悟升华
函数零点所在区间的判断方法及适用情形
方法定理法含义利用函数的零点存在性定理进行判断. 适用情形能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负. 容易画出函数的图象.
图象画出函数图象,通过观察图象与x轴在法给定区间上是否有交点来判断.
文科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ

2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题2.1函数的概念

第二篇函数及其性质专题 2.01函数的观点【考试要求】1.认识构成函数的因素，能求简单函数的定义域；2.在实质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法(如图象法、列表法、分析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.经过详细实例，认识简单的分段函数，并能简单应用.【知识梳理】1.函数的观点设 A ， B 都是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系f，使对于会合 A 中的随意一个数x，在会合 B 中都有独一确立的数f(x) 和它对应，那么就称 f ： A→B为从会合 A 到会合 B 的一个函数，记作y＝ f(x) ， x∈A.2.函数的定义域、值域(1) 在函数 y＝ f(x)， x∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的会合{ f(x)|x∈ A} 叫做函数的值域.(2) 假如两个函数的定义域同样，而且对应关系完整一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有分析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不一样子集上，因对应关系不一样而分别用几个不一样的式子来表示，这类函数称为分段函数 .(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数.【微点提示】1.直线 x＝ a(a 是常数 )与函数 y＝ f(x)的图象有0 个或 1 个交点 .2.分段函数不论分红几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，假如自变量的范围不确立，要分类议论. 【疑误辨析】1.判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1) 函数 y＝ 1 与 y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数 f： A→B，其值域是会合 B.()(3) f(x)＝x－ 3＋2－ x是一个函数 .()(4) 若两个函数的定义域与值域同样，则这两个函数相等.()【答案】(1) × (2) × (3) × (4) ×【分析】(1) 错误 .函数 y＝ 1 的定义域为R，而 y＝ x0的定义域为 {x|x ≠0}，其定义域不一样，故不是同一函数.(2)错误 .值域 C? B，不必定有 C＝B.(3) 错误 .f(x) ＝x－ 3＋2－ x中 x 不存在 .(4) 错误 .若两个函数的定义域、对应法例均对应同样时，才是相等函数.【教材衍化】2.(必修 1P25B2 改编 )若函数 y＝ f(x)的定义域为M＝ { x|－ 2≤x≤2}，值域为 N＝ { y|0 ≤y≤ 2}，则函数 y＝ f(x)的图象可能是 ()【答案】 B【分析】 A 中函数定义域不是[ － 2， 2]； C 中图象不表示函数； D 中函数值域不是 [0， 2].3.(必修 1P18 例 2 改编 )以下函数中，与函数y＝ x＋ 1 是相等函数的是 ()3A. y＝ ( x＋ 1)2B. y＝ x3＋12x 2C.y＝x＋ 1D. y＝ x ＋ 1【答案】 B【分析】对于 A ，函数 y＝ ( x＋ 1)2的定义域为 { x|x≥－ 1} ，与函数 y＝x＋ 1 的定义域不一样，不是相等函数；2对于 B ，定义域和对应法例分别对应同样，是相等函数；对于 C.函数 y＝x＋1 的定义域为 { x|x≠0}，与函数 xy＝ x＋ 1 的定义域 x∈R不一样，不是相等函数；对于D，定义域同样，但对应法例不一样，不是相等函数. 【真题体验】4.(2019 北·京海淀区期中)已知 f(x5)＝ lg x，则 f(2) ＝()111 1A. 5lg 2B.2lg 5C.3lg 2D. 2lg 3【答案】A11【分析】51令 x ＝ 2，则 x ＝ 25，∴ f(2)＝ lg 2 5＝ lg 2.55.(2019 河·南、河北两省要点高中联考 )函数 f(x) ＝ 4－ 4x＋ ln(x ＋ 4)的定义域为 ________.【答案】 (－ 4， 1]【分析】4－ 4x ≥0，解得－ 4< x ≤1.f(x)存心义，则x ＋ 4>0，6.(2019 济·南检测 )已知函数 f(x)＝ ax 3－ 2x 的图象过点 (－ 1， 4)，则 a ＝________. 【答案】－ 2【分析】由题意知点 (－ 1， 4)在函数 f(x)＝ ax 3－ 2x 的图象上，所以 4＝－ a ＋2，则 a ＝－ 2.【考点聚焦】考点一求函数的定义域【例 1】 (1) 函数 y ＝1－ x 2＋ log 2(tan x － 1)的定义域为 ________；f(2x)的定义域为 ________.(2) 若函数 y ＝ f(x) 的定义域是 [0， 2]，则函数 g(x)＝x － 1π【答案】， 1(2)[0 ， 1)(1) 4【分析】 (1) 要使函数 y ＝ 1－ x 2＋log 2(tan x － 1)存心义，则 1－x 2π ≥0， tan x － 1>0，且 x ≠k π＋(k ∈ Z ).2π π∴－ 1≤x ≤1且＋k π<x<k π＋， k ∈ Z ，42π可得 4<x ≤ 1.π 则函数的定义域为， 1 .4(2) 因为 y ＝ f( x)的定义域为 [0，2] ，所以要使 g(x)存心义应知足0≤2x ≤2，解得 0≤x<1.x － 1≠0，所以 g(x)的定义域是 [0， 1).【规律方法】1.求给定分析式的函数定义域的方法求给定分析式的函数的定义域，其实质就是以函数分析式中所含式子(运算 )存心义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实质问题，定义域应使实质问题存心义.2.求抽象函数定义域的方法(1) 若已知函数 f(x)的定义域为 [a ， b]，则复合函数f[g(x)] 的定义域可由不等式 a ≤g(x) ≤b 求出 .(2) 若已知函数 f[g(x)] 的定义域为 [a ， b]，则 f( x)的定义域为 g( x)在 x ∈ [a ， b] 上的值域 .－ x 2－x ＋ 2【训练 1】 (1)(2019 ·深圳模拟 )函数 y ＝的定义域为 ()ln xA.( － 2，1)B.[ － 2， 1]C.(0 ， 1)D.(0 ， 1](2)(2019 山·西名校联考 )设函数 f(x)＝ lg(1－ x)，则函数 f[f(x)] 的定义域为 () A.( －9，＋ ∞ ) B.(－ 9， 1) C.[ －9，＋ ∞ )D.[ － 9，1)【答案】 (1)C (2)B【分析】－ x 2－ x ＋ 2≥0，(1) 要使函数存心义，则ln x ≠0，－2≤x ≤1，∴函数的定义域是 (0， 1). 解得x>0且 x ≠ 1.(2) 易知 f[f(x)] ＝ f[lg(1 －x)] ＝ lg[1 － lg(1 － x)]，1－ x>0，则解得－ 9<x<1.故 f[f(x)]的定义域为 (－ 9， 1).1－ lg （ 1－x ） >0，考点二求函数的分析式【例 2】 (1) 已知 f 2＋ 1＝ lg x ，则 f(x)＝ ________；x (2) 已知 f(x)是二次函数且f(0) ＝ 2， f(x ＋ 1)－ f( x)＝ x －1，则 f(x)＝________；1(3) 已知函数 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)，且 f( x)＝ 2f x · x － 1，则 f(x)＝ ________.【答案】 21 2 3 x ＋2 (3) 2 x ＋ 1 (1)lg (x>1) (2) x －3 3 x － 1 2 2 【分析】(1) 令 t ＝2＋ 1(t>1) ，则 x ＝ 2，x t － 1 ∴ f(t)＝ lg2，即 f(x)＝ lg2t － 1x － 1( x>1).(2) 设 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 2，得 c ＝ 2，f(x ＋ 1)－ f(x)＝ a(x ＋ 1)2 ＋b(x ＋ 1)＋ 2－ ax 2－ bx － 2＝ 2ax ＋ a ＋ b ＝ x － 1，2a ＝ 1，a ＝ 1， 13 即 22 所以∴ f(x)＝x － x ＋ 2.a ＋b ＝－ 1，322b ＝－ 2.1(3) 在 f(x)＝ 2f x · x － 1 中，将 x 换成 1，则 1换成 x ，得 f 1 ＝ 2f(x) · 1－ 1，x x1f(x)＝ 2f x · x － 1，21由解得 f(x)＝3x ＋ 3.1＝2f(x) · 1－ 1，f xx 【规律方法】求函数分析式的常用方法(1) 待定系数法：若已知函数的种类，可用待定系数法.(2) 换元法：已知复合函数f[g(x)]的分析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.1(3) 结构法：已知对于 f(x)与 f x 或 f(－ x)的表达式，可依据已知条件再结构出此外一个等式，经过解方程组求出 f( x).【训练 2】 (1)(2019 ·杭州检测 )已知函数 f(x)＝ax － b(a>0) ，且 f[f( x)] ＝ 4x － 3，则 f(2) ＝ ________；(2) 若 f(x)知足 2f(x)＋ f(－ x)＝ 3x ，则 f( x)＝ ________.【答案】(1)3 (2)3x【分析】(1) 易知 f[ f(x)] ＝a( ax －b)－ b ＝ a 2x － ab － b ，2∴ a x － ab － b ＝ 4x － 3(a>0) ，2a ＝ 2，a ＝4，所以解得ab ＋ b ＝ 3， b ＝1.所以 f( x)＝ 2x － 1，则 f(2) ＝ 3.(2) 因为 2f(x)＋ f(－ x)＝ 3x ，①所以将 x 用－ x 替代，得 2f(－ x)＋ f(x)＝－ 3x ，②由①②解得 f(x)＝ 3x.考点三分段函数角度 1分段函数求值【例 3－ 1】 (2018 ·江苏卷 )函数 f(x)知足 f(x ＋ 4)＝ f(x)( x ∈R )，且在区间 (－ 2，2]上，πxcos 2 ， 0< x ≤2， f(x)＝则 f[f(15)] 的值为 ________.x ＋12 ，－ 2<x ≤0，2 【答案】2【分析】因为函数 f(x)知足 f(x ＋ 4)＝ f(x)( x ∈ R )，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区间 (－ 2，2]上，πxcos 2 ， 0< x ≤2， f(x)＝x ＋12 ，－ 2<x ≤0，所以 f(15)＝ f(－ 1)＝1，2所以 f[ f(15)] ＝ f1π22＝ cos ＝4 2 .角度 2分段函数与方程、不等式问题【例 3－ 2】 (1)设函数 f(x)＝3x － b ， x<1，若 f f5 ＝4，则 b ＝ ()2x， x ≥1.6731A.1B.8C.4D. 2x ＋ 1， x ≤0，则知足 f(x)＋ f1(2) 设函数 f(x)＝ 2x ， x>0， x － 2 >1 的 x 的取值范围是 ________. 【答案】(1)D(2) － 1，＋ ∞4【分析】(1) f 5 5 5－ b ，6 ＝3× － b ＝6 2若 5－ b<1，即 b>3时，2 2则 f f 5 ＝ f5－ b ＝ 3 5－ b － b ＝ 4，6 22解得 b ＝7，不合题意舍去 .85 351－ b若－ b ≥1，即 b ≤ ，则 2＝ 4，解得 b ＝2.2 22(2) 当 x ≤0时， f(x)＋ f x －1 ＝ (x ＋ 1)＋ x － 1＋ 1 ，2 2原不等式化为 31<x ≤0，2x ＋ >1 ，解得－4 21 1 x＋ 1 ，当 0<x ≤ 时， f( x)＋ f x －＝ 2 x －＋ 1 2 2 2 原不等式化为 2x＋ x ＋1>1，该式恒建立，21 1 x1时， f(x)＋ f x －x －当 x> 2 ＝2 ＋22，21又 x>1时， 2x ＋ 2x －1 >22＋20＝1＋ 2>1 恒建立，22综上可知，不等式的解集为－1，＋ ∞ . 4【规律方法】1.依据分段函数分析式求函数值.第一确立自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的分析式代入求解 .2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应依据每一段的分析式分别求解，但要注意查验所求自变量的值或范围能否切合相应段的自变量的取值范围.【提示】当分段函数的自变量范围不确准时，应分类议论.1，x>2 ，则 f[f(1)] ＝ ()【训练 3】(1)(2019 ·合肥模拟 )已知函数 f(x)＝x＋x－2x2＋2， x≤2，1A.－2B.2C.4D.11（ 1－ 2a） x＋ 3a， x<1 ，(2) 已知函数 f(x)＝－的值域为 R，则实数a的取值范围是________.2x 1， x≥1(1)C (2) 1【答案】0，2【分析】(1) 由题意知 f(1)＝ 12＋ 2＝ 3，所以 f[ f(1)] ＝ f(3)＝ 3＋1＝ 4. 3－ 2(2)当 x≥1时， f(x)＝ 2x－1≥1，（1－2a） x＋ 3a， x<1，∵函数 f(x)＝2x－1， x≥1的值域为 R ，∴当 x<1 时， (1－ 2a)x＋ 3a1－ 2a>0，解得 0≤a<1. 一定取遍 (－∞，1) 内的全部实数，则1－ 2a＋ 3a≥1， 2【反省与感悟】1.在判断两个函数能否为同一函数时，重要扣两点：一是定义域能否同样；二是对应关系能否同样.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，而且它是研究函数性质和图象的基础.所以，我们一定要建立函数定义域优先意识.3.函数分析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、结构解方程组法.【易错防备】1.复合函数f[g(x)] 的定义域也是分析式中x 的范围，不要和f( x)的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数.【分层训练】【基础稳固题组】(建议用时： 35 分钟 )一、选择题1.函数 f(x)＝2x－ 1＋1的定义域为 ()A.[0 ， 2)B.(2 ，＋∞)C.[0 ， 2)∪ (2，＋∞ )D.( －∞， 2)∪ (2，＋∞)【答案】 C【分析】由题意知2x－ 1≥0，x≥0，所以函数的定义域为[0， 2)∪ (2，＋∞). x－ 2≠0，得x≠2，2.(2019 郑·州调研 )如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间 (x)之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的地点，则张大爷漫步行走的路线可能是()【答案】 D【分析】由 y 与 x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有 D 切合题意 .3.以下函数中，其定义域和值域分别与函数lg x的定义域和值域同样的是 () y＝ 10A. y＝ xB. y＝ lg xC.y＝ 2xD. y＝ 1x【答案】 D【分析】函数 y＝ 10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而 y＝ x， y＝ 2x的定义域均为R ，清除A，C；y＝lg x 的值域为R，清除 B ；D 中 y＝1的定义域、值域均为 (0，＋∞). x1＋log 2（ 2－ x）， x<1，)4.设函数 f(x)＝－则 f(－ 2)＋ f(log 212)＝ (2x 1， x≥1，A.3B.6C.9D.12【答案】 C【分析】依据分段函数的意义，f(－ 2)＝ 1＋ log 2(2＋ 2)＝ 1＋ 2＝ 3.又 log 212>1，∴f(log212)＝2(log2 12)－1＝2log 26＝6，所以 f( －2)＋ f(log 212)＝ 3＋ 6＝ 9.5.(2019 西·安联考 )已知函数 f(x)＝－ x2＋ 4x， x∈[m， 5]的值域是 [－ 5，4] ，则实数 m 的取值范围是 ()A.( －∞，－ 1)B.(－ 1， 2]C.[ － 1， 2]D.[2 ， 5]【答案】C【分析】f(x)＝－ x 2＋ 4x ＝－ (x － 2)2＋ 4.当 x ＝ 2 时， f(2)＝ 4.由 f( x)＝－ x 2＋ 4x ＝－ 5，得 x ＝ 5 或 x ＝－ 1.∴要使 f(x)在 [m ， 5]上的值域是 [－ 5， 4]，则－ 1≤m ≤2.6.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人选举一名代表，当各班人数除以10 的余数大于 6 时再增选一名代表 .那么，各班可选举代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝ [x]([ x] 表示不大于 x 的最大整数 )能够表示为 ()xx ＋3A. y ＝ 10B. y ＝ 10C.y ＝ x ＋4D. y ＝x ＋ 51010【答案】B【分析】代表人数与该班人数的关系是除以10 的余数大于 6，即大于等于 7 时要增添一名，故 y ＝x ＋ 3.10x ， 0< x<1，若 f(a)＝ f(a ＋1) ，则 f 1＝ ( )7.(2017 山·东卷 )设 f(x)＝2（ x －1）， x ≥1，aA.2B.4C.6D.8【答案】C【分析】由已知得 0<a<1，则 f(a)＝ a ，f(a ＋ 1)＝ 2a ，所以 a ＝ 2a ，解得 a ＝14或 a ＝ 0(舍去 )，1所以 f a ＝ f(4) ＝ 2(4－ 1)＝ 6.x 2＋ x ， x ≥0，8.(2019 上·饶质检 )已知函数 f(x)＝若 a[f(a)－ f( － a)]>0 ，则实数 a 的取值范围为 ()－ 3x ， x<0， A.(1 ，＋ ∞ )B.(2 ，＋ ∞)C.( － ∞，－ 1)∪ (1，＋ ∞ )D.( － ∞，－ 2)∪ (2，＋ ∞)【答案】 D【分析】当 a ＝ 0 时，明显不建立 .当 a>0 时，不等式 a[ f(a)－ f(－ a)]>0 等价于 a 2－ 2a>0 ，解得 a>2. 当 a<0 时，不等式 a[ f(a)－ f(－ a)]>0 等价于 a 2＋ 2a>0 ，解得 a<－ 2.综上所述， a 的取值范围为 (－ ∞，－ 2)∪ (2，＋ ∞).二、填空题129.函数 f(x)＝ ln 1＋ x ＋1－ x 的定义域为 ________.【答案】(0， 1]【分析】要使函数 f( x)存心义，11＋ x >0， x<－ 1或x>0 ，则x ≠0， ? x ≠0， ? 0<x ≤ 1.1－x 2≥0－ 1≤x ≤1∴ f(x)的定义域为 (0， 1].10.已知函数 f(x)知足 f 1＋ 1 x x f(－ x)＝ 2x(x ≠ 0)，则 f(－ 2)＝ ________.【答案】72【分析】令 x ＝ 2，可得 f1 1 2＋ f(－ 2)＝ 4，①2令 x ＝－1，可得 f(－ 2)－ 2f 12 ＝－ 1②2联立①②解得f(－2)＝ 72.11.以下四个结论中，正确的命题序号是 ________.① f(x)＝ |x|与 g(x)＝ 1， x ≥0，表示同一函数；x－ 1， x<0，②函数 y ＝ f(x)的图象与直线 x ＝1 的交点最多有 1 个； ③ f(x)＝ x 2－ 2x ＋1 与 g(t)＝ t 2－ 2t ＋ 1 是同一函数；④若 f( x)＝ |x － 1|－ |x|，则 f f1＝ 0.2【答案】 ②③【分析】对于①，因为函数f(x)＝1， x ≥0，的定义域是 R ，|x|的定义域为 { x|x ∈R 且 x ≠0}，而函数 g( x)＝x－ 1， x<0所以两者不是同一函数；对于②，若 x ＝ 1 不是 y ＝f(x)定义域内的值，则直线 x ＝ 1 与 y ＝ f(x) 的图象没有交点，若 x ＝ 1 是 y ＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线 x ＝ 1 与 y ＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝ f(x)的图象与直线 x ＝ 1 最多有一个交点；对于③， f(x)与 g(t) 的定义域和对应关系均分别对应同样，所以f(x)与 g(t)表示同一函数；对于④，因为f 1 ＝ 1－ 1 － 1＝ 0，所以 f f 1 ＝ f(0) ＝ 1.2 2 222x ， x ≤0，则使 f(x)＝1的 x 的会合为 ________.12.设函数 f(x)＝【答案】2－1， 2， 2【分析】由题意知，若 x ≤0，则 2x＝ 1，解得 x ＝－ 1；211若 x>0 ，则 |log 2 x|＝ 1，解得 x ＝ 22或 x ＝－2 2.2故 x 的会合为－1， 2，22 .【能力提高题组】 (建议用时： 15分钟)1＝－ f(x)的函数，我们称为知足 “倒负 ”变换的函数 .以下函数：13.拥有性质： f xx ， 0<x<1，1 1－ x0， x ＝ 1，① y ＝ x －；② y ＝ ln；③ y ＝x1＋ x－ 1， x>1.x 此中知足 “倒负 ”变换的函数是 ( )A. ①②B.①③C.②③D. ①【答案】 B【分析】对于①， f(x)＝ x － 1，f 1 ＝ 1－ x ＝－ f(x)，知足题意；对于②， f(x)＝ ln 1－ x ，则 f1＝ ln x － 1xx x1＋ xxx ＋ 1≠ － f(x)，不知足；1， 0<1<1，1xx对于③， f11＝1，即 f 1 x ， x>1 ，0， x ＝ 1，x ＝0， xx＝1－ x ， 0< x<1，－ x ， >1，x1则 f x ＝－ f(x).所以知足 “倒负 ”变换的函数是①③.－ x ＋ λ，x<1（ λ∈R ），14.(2019 河·南八市联考 )设函数 f( x)＝ 2x ， x ≥1，若对随意的 a ∈ R 都有 f[f(a)] ＝ 2f(a)建立，则 λ的取值范围是 ( )A.(0 ， 2]B.[0 ， 2]C.[2 ，＋ ∞ )D.( － ∞， 2)【答案】C【分析】当 a ≥1时， 2a ≥ 2.a∴ f[f(a)] ＝f(2a )＝ 22 ＝2f(a)恒建立 .第11页共12页第11页共12页当 a<1 时， f[f(a)] ＝ f(－ a ＋ λ)＝2f( a)＝ 2λ－a∴ λ－ a ≥1，即 λ≥a ＋ 1 恒建立，由题意 λ≥(a ＋ 1)max ，∴ λ≥2，综上， λ的取值范围是 [2，＋ ∞).15.已知函数 f(x)知足 f2x|x|，则 f(x)的分析式是 ________.＝log 2x ＋ |x|【答案】 f(x)＝－ log 2 x【分析】依据题意知 x>0，所以 f1 ＝ log 2x ，则 f(x)＝ log 21＝－ log 2x. x x16.(20192e x －1 ，x ＜ 2，则 f(f(1))＝ ________；不等式 f(x)＞2 的解集为 ________. 绍·兴调研 )设 f(x)＝log 3（ x 2－ 1）， x ≥2，【答案】 1 (1， 2)∪ ( 10，＋ ∞)【分析】x －1，∴ x ＞ 1，∴ 1＜ xf(1) ＝ 2e ＝ 2， f(f(1)) ＝f(2) ＝ log 3(4－ 1)＝ 1.当 x ＜2 时， f(x)＞2 即 e＞ 1＝ e＜ 2.当 x ≥2时， f(x) ＞2 即为 log 3(x 2－ 1)＞ 2＝ log 332，∴ x 2＞ 10，即 x ＞ 10或 x ＜－ 10，∴ x ＞ 10.【新高考创新展望】17.(多项选择题 )已知定义域内的函数 f(x)知足： f(f(x))－ x>0 恒建立，则f(x)的分析式不行能是 ( )A. f(x)＝2 019B. f(x)＝ e xx2D. f(x)＝lg2C.f(x)＝ x 1＋ x【答案】 ACD 【分析】A 中， f(f(x))＝ f2 109＝ x(x ≠0)恒建立，x所以 f( f(x)) －x>0 不恒建立， A 正确；B 中，因为 e x >x ，所以 ee x >e x >x ，所以 f(f(x))＝ ee x >x 恒建立， B 错误；C 中， f(f(x))＝ x 4＝ x ，此方程有 x ＝0 或 x ＝ 1 两个根，所以 f(f(x))－ x>0 不恒建立， C 正确；D 中， x ＝ 0 时， f(f(x)) ＝ x 建立，所以 f(f(x))－ x>0 不恒建立， D 正确 .第12页共12页第12页共12页。

高考数学一轮复习零点知识梳理2 试题

卜人入州八九几市潮王学校零点应用一．瞄准高考1.函数的零点(1)三个等价关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点存在性定理：假设函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．(尤其注意,f(a)f(b)<0是“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点〞的充分不必要条件)。

二．解析高考题型一函数零点的断定例1函数f(x)＝ln x＋2x－6.1)证明：f(x)在其定义域上是增函数；2)证明：f(x)有且只有一个零点；3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.【思维启迪】(1)利用导数法证明函数的单调性．(2)利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性,利用函数的单调性说明其唯一性．(3)运用“二分法〞求其区间．【解答】(1)证明函数的定义域为(0,＋∞)．∵f′(x)＝＋2>0,∴f(x)在(0,＋∞)上是增函数．(2)证明∵f(2)＝ln2－2<0,f(3)＝ln3>0,∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．由(1)知f(x)在(0,＋∞)上至多有一个零点．从而f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点．(3)解由f(2)<0,f(3)>0.∴f(x)的零点x0∈(2,3)．取x1＝,∵f()＝ln－1＝ln－lne<0,∴f()·f(3)<0,∴x0∈(,3)．取x2＝.∵f()＝ln－＝ln－12ln e>0,∴f()·f()<0.∴x0∈(,)．而|－|＝≤,∴(,)即为符合条件的区间．【探究进步】(1)f(x)在[a,b]上连续,f(a)·f(b)<0是f(x)在(a,b)上存在零点的充分条件．存在并不能说明唯一．所以此题第(2)问还应注意,证明零点的唯一性．(2)应用二分法确定零点所在区间长度不超过q,可有如下考虑过程：①f(a)·f(b)<0,区间使|a－b|≤q,那么零点x0∈(a,b),区间(a,b)为所求．②假设f(a)·f(b)<0,区间使|a－b|>q,那么取中点＝x0,进一步检验f(a)·f(x0)<0(或者f(x0)·f(b)<0)及|a－x0|与q的关系(或者|b－x0|与q的关系),直至符合要求为止．【变式】假设函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3,那么a＝________.【解析】y＝|x2－4x|的图象如图∵函数y＝|x2－4x|的图象与函数y＝4的图象恰有3个公一共点,∴a＝4.题型二函数与方程的综合应用例2函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,务实数m的取值范围.【解答】(1)当m＝0时,f(x)＝－3x＋1,直线与x轴的交点为,即函数的零点为,在原点右侧,符合题意.(2)当m≠0时,因为f(0)＝1,所以抛物线过点(0,1),假设m<0,f(x)的开口向下,如图(1)所示.二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.假设m>0,f(x)的开口向上,如图(2)所示,要使函数的零点在原点右侧,当且仅当解得即0<m≤1.综上所述,所求m的取值范围是(－∞,1].【探究进步】(1)函数零点(即方程的根)确实定问题,常见的有①函数零点值或者大致存在区间确实定；②零点个数确实定；③两函数图象交点的横坐标或者有几个交点确实定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的断定或者数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)函数零点(即方程的根)的应用问题,即函数零点的存在情况求参数的值或者取值范围问题,解决该类问题关键是用函数方程思想或者数形结合思想,构建关于参数的方程或者不等式求解．【变式】a、b是不全为0的实数,求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．证明假设a＝0时,那么b≠0,此时方程的根为x＝,满足题意．当a≠0时,令f(x)＝3ax2＋2bx－(a＋b)．(1)假设a(a＋b)<0,那么f(0)·f＝－(a＋b)·＝a(a＋b)<0,所以f(x)在区间内有一实根．(2)假设a(a＋b)≥0,那么f·f(1)＝(2a＋b)＝－a2－a(a＋b)<0,所以f(x)在区间内有一实根．综上,方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根．三．感悟高考1．判断函数的零点,要擅长运用“三个转化〞,时常将函数的零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题,或者转化为两个函数图象交点问题．需特别注意的是下面式子是错的：“f(a)f(b)<0⇔函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点〞．2．对函数零点的考察,通常以函数为载体判断方程根的个数,或者以此为背景求参数的范围,此类问题都是利用数形结合,借助函数图象(复杂函数的图象可用导数工具)加以解决．【理22】函数f(x)=3x，g(x)=x+x。

【高考】2020年高考数学一轮复习高分点拨专题2.9 零点定理(文理科通用)(教师版)

第九讲零点定理1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 3设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a >0)的两实数根，则x 1，x 2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m ，n ，p 为常数，且m <n <p )二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <g ，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <g ，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

2020年高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且存在x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x >0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∈a >0，∈x 1<x 2，列表如下：∈f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎪⎭⎫⎝⎛a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∈存在x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∈f (x )≥g (x )在x ∈[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3(x ∈[1,2])，∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立，∈y ＝1x 3＋3x 在x ∈[1,2]上单调递减，∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最大值为4，∈2a ≤4，即a ≤2.(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎪⎭⎫⎝⎛a 2＝1－4a 2， ∈当1－4a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上无零点．∈当1－4a2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0.又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4a2<0，即0<a <2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x (0<x <1)， ∈φ′(x )＝3ax 2－6x －1x <6x (x －1)－1x <0，∈φ(x )在(0,1)上单调递减．又φ(1)＝a －2<0，φ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1＝a e3＋2e 2－3e 2>0，∈存在唯一的x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛1,1e ，使得φ(x 0)＝0，(∈)当0<x ≤x 0时，∈φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0， ∈h (x )＝f (x )且h (x )为减函数．又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0<ln 1＝0， f (0)＝1>0，∈h (x )在(0，x 0)上有一个零点； (∈)当x >x 0时，∈φ(x )＝f (x )－g (x )<φ(x 0)＝0， ∈h (x )＝g (x )且h (x )为增函数，∈g (1)＝0，∈h (x )在(x 0，＋∞)上有一零点；从而h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有两个零点，综上所述，当0<a <2时，h (x )有两个零点；当a ＝2时，h (x )有一个零点；当a >2时，h (x )无零点．题组训练一利用导数讨论函数零点的个数已知函数f (x )＝ln x －12ax ＋a －2，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a <0时，试判断g (x )＝xf (x )＋2的零点个数．【解析】 (1)f ′(x )＝1x －a 2＝2－ax2x(x >0)．若a ≤0，则f ′(x )>0，∈函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；若a >0，当0<x <2a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >2a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，综上，若a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；若a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+a 2. (2)g (x )＝x ln x －12ax 2＋ax －2x ＋2，g ′(x )＝－ax ＋ln x ＋a －1.又a <0，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增， g ′(1)＝－1<0，g ′(e)＝－a e ＋a ＝a (1－e)>0，故而g ′(x )在(1，e)上存在唯一的零点x 0，使得g ′(x 0)＝0.当0<x <x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，取x 1＝e a ，又a <0，∈0<x 1<1，∈g (x 1)＝x 1)2221(ln 111x a ax x +-+-＝e a⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-a a e a ae a 2221，设h (a )＝a －12a e a ＋a －2＋2e a ，(a <0)，h ′(a )＝－12a e a －12e a －2e a ＋2，(a <0)，h ′(0)＝－12，h ″(a )＝e －a －e a ＋e －a －12a e a >0，∈h ′(a )在(－∞，0)上单调递增，h ′(a )<h ′(0)<0， ∈h (a )在(－∞，0)上单调递减，∈h (a )>h (0)＝0， ∈g (x 1)>0，即当a <0时，g (e a )>0.当x 趋于＋∞时，g (x )趋于＋∞，且g (2)＝2ln2－2<0. ∈函数g (x )在(0，＋∞)上始终有两个零点．题型二由函数零点个数求参数的取值范围【题型要点解析】研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用．已知函数f (x )＝mxln x ，曲线y ＝f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线与直线2x ＋y ＝0垂直(其中e 为自然对数的底数)．(1)求f (x )的解析式及单调减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－kx 2x －1无零点，求k 的取值范围．【解析】 (1)函数f (x )＝mx ln x 的导数为f ′(x )＝m (ln x －1)(ln x )2，又由题意有：f ′(e 2)＝12∈m 4＝12∈m ＝2，故f (x )＝2xln x . 此时f ′(x )＝2(ln x －1)(ln x )2，由f ′(x )≤0∈0<x <1或1<x ≤e ，所以函数f (x )的单调减区间为(0,1)和(1，e]．(2)g (x )＝f (x )－kx 2x －1∈g (x )＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1ln 2x kx x ，且定义域为(0,1)∈(1，＋∞)，要函数g (x )无零点，即要2ln x ＝kx x －1在x ∈(0,1)∈(1，＋∞)内无解，亦即要k ln x －2(x －1)x＝0在x ∈(0,1)∈(1，＋∞)内无解．构造函数h (x )＝k ln x －2(x －1)x ∈h ′(x )＝kx －2x2.∈当k ≤0时，h ′(x )<0在x ∈(0,1)∈(1，＋∞)内恒成立，所以函数h (x )在(0,1)内单调递减，h (x )在(1，＋∞)内也单调递减.又h (1)＝0，所以在(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内也无零点，故满足条件；∈当k >0时，h ′(x )＝kx －2x 2∈h ′(x )＝22xkx k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-，(i)若0<k <2，则函数h (x )在(0,1)内单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛k 2,1内也单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2k 内单调递增，又h (1)＝0，所以在(0,1)内无零点；易知h ⎪⎭⎫⎝⎛k 2<0，而h (e 2k )＝k ·2k －2＋2e2k>0，故在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2k 内有一个零点，所以不满足条件； (ii)若k ＝2，则函数h (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又h (1)＝0，所以x ∈(0,1)∈(1，＋∞)时，h (x )>0恒成立，故无零点，满足条件；(iii)若k >2，则函数h (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛k 2,0内单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛1,2k 内单调递增，在(1，＋∞)内单调递增，又h (1)＝0，所以在⎪⎭⎫⎝⎛1,2k 及(1，＋∞)内均无零点．又易知h ⎪⎭⎫⎝⎛k 2<0，而h (e －k )＝k (－k )－2＋2e k ＝2e k －k 2－2，又易证当k >2时，h (e －k )>0，所以函数h (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛k 2,0内有一零点，故不满足条件．综上可得：k 的取值范围为：k ≤0或k ＝2.题组训练二由函数零点个数求参数的取值范围已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．【解析】(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x－2a 2x －a＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a ，函数f (x )⎪⎭⎫⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递减．当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a，函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1a 上单调递减．(2)当a ＝0时，函数f (x )在(]0，1内有1个零点x 0＝1；当a >0时，由(1)知函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递减． ∈若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；∈若0<12a <1，即当a >12时，f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛1,21a 上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足f ⎪⎭⎫⎝⎛a 21≥0，即ln 12a ≥34，又∈a >12，∈ln 12a <0，∈不等式不成立．∈f (x )在(0,1]内无零点；当a <0时，由(1)知函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a 上单调递减． ∈若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；∈若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎥⎦⎤⎝⎛-1,1a 上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，f ⎪⎭⎫⎝⎛-a 1＝ln ⎪⎭⎫⎝⎛-a 1<0，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．题型三利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解【题型要点解析】证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： (1)在该区间上构造与方程相应的函数； (2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性；(3)判断该函数在该区间端点处的函数值的符号； (4)作出结论．已知函数f (x )＝(x 2－2x )ln x ＋ax 2＋2.(1)当a ＝－1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，设函数g (x )＝f (x )－x －2，且函数g (x )有且仅有一个零点，若e －2<x <e ，g (x )≤m ，求m 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝(x 2－2x )ln x －x 2＋2，定义域为(0，＋∞)，∈f ′(x )＝(2x －2)ln x ＋x －2－2x ＝(2x －2)ln x －x －2.∈f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，f (x )在(1，f (1))处的切线方程3x ＋y －4＝0.(2)令g (x )＝f (x )－x －2＝0，则(x 2－2x )ln x ＋ax 2＋2＝x ＋2，即a ＝1－(x －2)·ln xx ，令h (x )＝1－(x －2)·ln xx，则h ′(x )＝－1x 2－1x ＋2－2ln x x 2＝1－x －2ln xx 2.令t (x )＝1－x －2ln x ，t ′(x )＝－1－2x ＝－x －2x ，∈t ′(x )<0，t (x )在(0，＋∞)上是减函数，又∈t (1)＝h ′(1)＝0，所以当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∈h (x )max ＝h (1)＝1.因为a >0，所以当函数g (x )有且仅有一个零点时，a ＝1.g (x )＝(x 2－2x )ln x ＋x 2－x ，若e －2<x <e ，g (x )≤m ，只需g (x )max ≤m ， g ′(x )＝(x －1)(3＋2ln x )，令g ′(x )＝0得x ＝1，或x ＝e －32，又∈e －2<x <e∈函数g (x )在(e －2，e －32)上单调递增，在(e －32，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，又g (e －32)＝－12e －3＋2e －32，g (e)＝2e 2－3e ，∈g (e －32)＝－12e －3＋2e －32<2e －32<2e<2e ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23e ＝g (e)，即g (e －32)<g (e)，g (x )max ＝g (e)＝2e 2－3e ，∈m ≥2e 2－3e .题组训练三利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解已知y ＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，t ∈R .(1)当x 为常数时，t 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0变化时，求y 的最小值φ(x )；(2)证明：对任意的t ∈(0，＋∞)，总存在x 0∈(0,1)，使得y ＝0.【解析】 (1)当x 为常数时，设f (t )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1＝－6xt 2＋(3x 2＋1)t ＋4x 3－1，f ′(t )＝－12xt ＋3x 2＋1.∈当x ≤0时，由t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0知f (t )>0，f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0上递增，其最小值φ(x )＝f (0)＝4x 3－1； ∈当x >0时，f (t )的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为直线；t ＝－3x 2＋1－12x＝3x 2＋112x ，若⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x 2＋112x ≤13，即13≤x ≤1，则f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0上的最小值为 φ(x )＝f ⎪⎭⎫⎝⎛32＝4x 3＋2x 2－83x －13.若⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x 2＋112x >13，即0<x <13或x >1，则f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0上的最小值为φ(x )＝f (0)＝4x 3－1.综合∈∈，得φ(x )＝⎩⎨⎧4x 3－1，x <13或x >1，4x 3＋2x 2－83x －13，13≤x ≤1.(2)证明：设g (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，则g ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2＝12(x ＋t )⎪⎭⎫ ⎝⎛-2t x 由t ∈(0，＋∞)，当x 在区间(0，＋∞)内变化时，g ′(x )，g (x )取值的变化情况如下表：∈当t2≥1，即t ≥2时，g (x )在区间(0,1)内单调递减，g (0)＝t －1>0，g (1)＝－6t 2＋4t ＋3＝－2t (3t －2)＋3≤－4(3－2)＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，g (x )在区间(0,1)内均存在零点，即存在x 0∈(0,1)，使得g (x 0)＝0.∈当0<t 2<1，即0<t <2时，g (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0t 内单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2t 内单调递增，若t ∈(0,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛2t ＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，g (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3≥1>0，所以g (x )在⎪⎭⎫⎝⎛1,2t 内存在零点；若t ∈(1,2)，则g (0)＝t －1>0，g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2t ＝－74t 3＋t －1<－74×13＋2－1<0，所以g (x )在⎪⎭⎫⎝⎛2,0t 内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，g (x )在区间(0,1)内均存在零点，即存在x 0∈(0,1)，使得g (x 0)＝0，综合∈∈，对任意的t ∈(0，＋∞)，总存在x 0∈(0,1)，使得y ＝0.【专题训练】1．已知函数f (x )＝xln x＋ax ，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值；(3)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0，在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∈a ≤1ln 2x －1ln x ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14.∈x ∈(1，＋∞)，∈ln x ∈(0，＋∞)， ∈当1ln x －12＝0时，函数t ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14的最小值为－14，∈a ≤－14. 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x，令f ′(x )＝0，得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∈f (x )的极小值为f (e 12)＝e 1212＋2e 1e ＝4e 12.(3)将方程(2x －m )ln x ＋x ＝0两边同除以ln x 得(2x －m )＋x ln x ＝0，整理得xln x ＋2x ＝m ，即函数g (x )＝xln x＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．由(2)可知，g (x )在(1，e 12)上单调递减，在(e 12，e]上单调递增，g (e 12)＝4e 12，g (e)＝3e ，在(1，e]上，当x →1时，x ln x →＋∞，∈4e 12<m ≤3e ，故实数m 的取值范围为(4e 12，3e]．2．已知f (x )＝2x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-1,31，求函数g (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y ＝g (x )的图象在点P (－1，g (－1))处的切线方程；(3)已知不等式f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，若方程a e a －m ＝0恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【解】 (1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意知，3x 2＋2ax －1<0的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,31，即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1，代入得a ＝－1，∈g (x )＝x 3－x 2－x ＋2. (2)由(1)知，g (－1)＝1，∈g ′(x )＝3x 2－2x －1，g ′(－1)＝4，∈点P (－1,1)处的切线斜率k ＝g ′(－1)＝4，∈函数y ＝g (x )的图象在点P (－1,1)处的切线方程为y －1＝4(x ＋1)，即4x －y ＋5＝0.(3)由题意知，2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1对x ∈(0，＋∞)恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 对x ∈(0，＋∞)恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)，当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0， ∈当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝h (1)＝－2， ∈a ≥－2.令φ(a )＝a e a ，则φ′(a )＝e a ＋a e a ＝e a (a ＋1)， ∈φ(a )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，∈φ(－2)＝－2e －2＝－2e 2，φ(－1)＝－e －1＝－1e ，当a →＋∞时，φ(a )→＋∞，∈方程a e a －m ＝0恰有两个不等实根，只需－1e <m ≤－2e 2.3．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．【解析】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .(2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,2，x 3∈⎪⎭⎫⎝⎛-0,3，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎪⎭⎫⎝⎛2732,0时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点． (3)证明：当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在的区间(x 0，＋∞)上单调递增．所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

2020高考文理科数学必考知识点

2020 高考文理科数学必考知识点高考临近，你的数学基础知识掌握的怎么样，学知识要学会总结，下面就是小编给大家带来的，希望大家喜欢！1.【数列】&【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来， 2014、2015 年大题第一题考查的是数列，2016 年大题第一题考查的是解三角形，故预计 2017 年大题第一题较大可能仍然考查解三角形。

数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。

解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。

2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。

3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。

4.【解析几何】高考在第 20 题的位置考查一道解析几何题。

主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。

5.【导数】高考在第 21 题的位置考查一道导数题。

主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。

6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。

坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。

第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。