2.2-二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计

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2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)优秀教学设计

《二次函数的图象与性质（第3课时）》教学设计说明一、教学目标1、学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解h a ,对二次函数图象的影响.2、培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.二、教学重点：二次函数2)(h x a y -=的图象与性质.教学难点：二次函数2)(h x a y -=图象与图象2ax y =之间的关系，h a ,对二次函数图象的影响.三、教学过程分析第一环节: 回顾，引入新课1、问题1 说说二次函数y=ax2+c(a ≠0)的图象的特征.问题2 说一说二次函数 y=ax2+c （a ≠0）与 y=ax2（a ≠ 0）图象的平移关系？思考函数的图象与函数的图象有什么关系呢？（完成书37页的做一做）设计意图：复习前两节课内容，唤醒学生记忆，提出问题，为下面的教学作准备.第二环节: 合作探究,发现和验证探究：2)(h x a y -=的图象和性质学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.()212-=x y 22x y =观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象.同伴交流：你是怎样作的?3、结合图象，议一议二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象之间的关系呢?5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！得出结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，位置不同.将22x y =的图象向右平移一个单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向左平移一个单位,就得到2)1(2+=x y 的图象. 设计意图：通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.第三环节：巩固新知：1、将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位2.把抛物线y = -x 2沿着x 轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .3.二次函数y =2(x - )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标5. 若（- ，y 1）（- ，y 2）（，y 3）为二次函数y =(x -2)2图象上的三点，则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系为_______________. 第四环节：典例解析：例1 抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．第五环节：课堂小结比较y=ax2 ， y=ax ²+k ， y=a(x-h)² 的图像的不同拓展探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质想一想：由二次函数y=2x ²的图象你能得到y=2(x+3)²的图象吗？由y=2(x+3)²的图象你能得到y=2(x+3)²- 的图象吗？设计意图:经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.23445421小结：学生交流后得出结论:当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度2.练一练： 1）若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________ 2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x23) 将抛物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-14) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______ 小结:本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出的性质:(1)a 的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线x=h。

人教初中数学《二次函数的图象和性质(第3课时)》教案 (公开课获奖)

22.1 二次函数的图象和性质让学生观察函数y＝－13x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

四、练习：P7练习。

五、小结1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?作业设计必做教科书P14：5（1）选做练习册P109-114教学反思15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）．所以∠B=∠C ．D CA B[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．（课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ，所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3．练习1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，D CABDC A B标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题．（二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定．Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ．EDCABPD C A B又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．∴∠4=∠ACD．∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

2.2 二次函数的图象与性质第3课时教案

一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到：当c >0时，向上平移c 个单位长度；当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论．二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质【类型一】二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题【类型三】二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题【类型五】二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)．综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。

二次函数图像和性质教学设计(3篇)

二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。

学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。

之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。

重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。

教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。

4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。

观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。

（指名学生回答）。

师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。

师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。

（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。

2.2 二次函数的图象与性质第3课时湘教版九年级下册

1.（成都·中考）把抛物线 y x 2 向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ A. y x 1
2
）
B.
y ( x 1)
2
C. y x 1
2
D. y
( x 1)
2
【答案】D
2.（哈尔滨·中考）在抛物线y＝x2-4上的一个点是（）． B．（1，一4）
抛物线 2 y=x 2 y=X +1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上向上向上
X=0 X=0 X=0
（０,０） (0，1) (0，-1)
y=x2-1
（4)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线 y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1.
（5）它们的位置是由+1、-1决定的.
2
的开口方
向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y
2
x
2
有什么关系？
画出二次函数 y x 1 , y x 1 的图象，并
2 2
1
1
2
2
考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
y y 1 2 1 2
·· · ·· ·
－3
－2
1 2
－1
0
1 2
1
2
3
·· · ·· · ·· ·
2.2
二次函数的图象与性质
第3课时
1.经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0) 的图象作法和性质的过程. 2.能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0)与 y＝ax2的图象的关系，理解a,m,k对二次函数图象的影响. 3.能正确说出函数y＝ax2＋k,y＝a(x+m)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴.

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(3)》教学设计

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（3）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（3）》的内容包括：二次函数的顶点坐标、开口方向和增减性。

这部分内容是整个九年级数学的重要内容，也是中考的热点。

通过这部分的学习，学生能够掌握二次函数的基本性质，从而更好地解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和性质，对本节课的内容有一定的了解。

但学生在理解和运用方面还存在一些问题，如对顶点坐标、开口方向和增减性的理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解二次函数的顶点坐标、开口方向和增减性的含义。

2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标、开口方向和增减性的理解。

2.运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的性质。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。

3.采用小组合作学习，培养学生团队合作精神。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.二次函数图象和性质的相关教学素材。

3.小组合作学习的相关材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生运用二次函数的知识解决。

例如，一个物体从地面上升，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。

让学生思考，如何根据这个二次函数的图象，求出物体上升到最高点的时间和高度。

2.呈现（10分钟）通过多媒体展示二次函数的图象，引导学生观察和分析图象的顶点坐标、开口方向和增减性。

同时，让学生结合之前的学习经验，总结二次函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生分成小组，进行合作学习。

每个小组选一个二次函数，分析其顶点坐标、开口方向和增减性。

然后，让学生互相交流，分享各自的成果。

4.巩固（10分钟）针对学生总结的二次函数性质，进行一些巩固性的练习。

沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第3课时)教学设计

沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第3课时）的内容包括：二次函数的图象和性质，具体有顶点坐标、开口方向、对称轴等。

这部分内容是整个初中数学的重要内容，对于学生来说，理解二次函数的图象和性质有助于解决实际问题，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了二次函数的一般形式，对于二次函数的图象和性质有一定的了解，但顶点坐标、开口方向、对称轴等概念还需进一步巩固。

此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图象和性质，提高学生的观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决实际问题的信心。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。

2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数的图象和性质。

2.启发式教学法：引导学生发现问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

3.小组合作学习：让学生在合作中发现问题、解决问题，提高学生的沟通能力。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。

2.学生准备：教材、笔记本、文具等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析，发现二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。

3.操练（10分钟）教师给出几个例子，让学生运用二次函数的性质解决问题，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师通过提问、讨论等方式，检查学生对二次函数图象和性质的掌握情况。

【精】《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案

《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。

课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。

让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。

《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件

小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向对称轴顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上开口向上开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x2
3) 将抛物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______

第三课时 27.2 二次函数的图象与性质(2)(第3课时)

第三课时 27．2 二次函数的图象与性质（2）(第3课时)一、衔接知识回顾：1.一次函数x y 2=的图象移动单位，可得12+=x y 的图象。

2.你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系．二、新知自习探究：（学生先独立完成下列题目）例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．反思 1. 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？2.反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 1.观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？2.你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2、在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象．解：先列表x … －3 －2 －1 0 1 23 … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1 ……描点并画图x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)2x y =... 18 8 2 0 2 8 18 (2)22+=x y…20104241020…观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．三、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．增减性2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．四、课堂巩固训练1．填表函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y ＝3x 2y ＝－3x 2＋1y ＝－4x 2－52．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．五．方法归纳：k axy +=2（a 、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：k axy +=2开口方向对称轴顶点坐标>a<a六、作业：A1．填表函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性y ＝－5x 2＋3 y ＝7x 2－12．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________． 5．抛物线9412-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的．6．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．7.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. B 、1．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )2．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．3．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值等于。

九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿

九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿一、教材及学情分析《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《确定二次函数的表达式》《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识，它在教材中起着非常重要的作用。

另外，本节课最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。

因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。

二、教学目标及重、难点分析通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。

我认为这节课的重点是：作出函数y=ax2+c的图象，比较函数y=ax2和函数y=ax2+c的异同，了解它们的性质；函数y=ax2+c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律是本节课的难点。

知识与技能目标（1）会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）了解抛物线y=ax2上下平移规律。

过程与方法目标本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2+c的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2+c的图像与性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。

情感、态度与价值观引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。

三、教学结构设计建立以“实施主体性教学，培养学生自主探究的能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式。

北师版数学九年级下册《2.2 二次函数的图象与性质》第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质

y = ax2 + k
y = a(x - h )2 左右平移，括号内左加右减.
上下平移
y = ax2
左右平移
二次项系数 a 不变.
练一练 1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到?
由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的. 2. 如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
y
y
yy
Ox O
x
Ox O x
2. 请说出二次函数 y = -2x 2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
向上平移3个单位 y = -2x2+3
3. 把 y = -2x2 的图象向左平移2个单位
y = -2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x+2)2+3 的图象是否可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
当 x = h 时，y最大值=k
当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小；x＜h 时， y 随 x 的增大而增大.
顶点式
y
a
x
h2
k
a
0
h 0, k 0 y ax2
h 0, k 0 y ax2 k
k
0,
h
0
y
a
x
h2
典例精析
例1. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( A )
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
y 1 (x 1)2 1 2
-10
y 1 (x 1)2 1 2
要点归纳二次函数 y = ax2 与 y = a(x-h)2+k 的关系

《二次函数的图像和性质》第三课时教案

5.4二次函数的图像和性质(3)教材分析：本节课是在学习了二次函数y=ax 2+k,y=a(x-h)2的图象和性质的基础上的再一次提高和升华，是在探索抛物线y=ax 2+k,y=a(x-h)2与y=ax 2的关系基础上，进一步讨论更一般的二次函数y=a(x-h)2+k 的性质，在本章中起到承前启后的作用．教学设想：在本节中，要让学生充分的参与到课堂学习中来，让学生成为学习的主人，鼓励学生自己动手，大胆猜想，敢于归纳，由此培养学生的归纳能力与逻辑思维能力．教学目标：知识与技能：1．正确理解经过x 轴与y 轴的平移，可由抛物线y=ax 2得到y=a(x-h)2+k ．2．理解二次函数y=a(x-h)2+k 图象和性质，并能够利用性质解决相关问题．过程与方法：经历探索抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．教学重难点：重点：抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax 2的关系及二次函数y=a(x-h)2+k 的性质.难点：应用抛物线y=a(x-h)2+k 的性质解决相关问题.课前准备教具准备教师准备PPT 课件课时安排：4课时教学过程：知识回顾：（1）抛物线的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（2）抛物线与抛物线有什么关系？可以看出，抛物线的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x 轴垂直的直线，我们把它记为x =－1，顶点是（－1，0）；抛物线的开口向_____，对称轴是___________，顶点是_____________．可以发现，把抛物线向左平移1个单位，就得到抛物线；把抛物线向右平移1个单位，就得到抛物线．【设计意图】：通过对二次函数y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标以及相互关系的回顾，为引入本节课的教学做好准备.合作探究: 二次函数y=a(x-h)²+k 的图象221,1y x y x =+=-221,1y x y x =+=-2y x =()2112y x =-+()2112y x =--212y x =-()2112y x =-+212y x =-()2112y x =--画出函数的图象，解：(1)作函数的图象： (2)指出它的开口方向、对称轴及顶点．抛物线的开口方向向下、对称轴是 x =－1，顶点是（－1，－1）． (3)抛物线经过怎样的变换可以得到抛物线向下平移1个单位，再身左平移1个单位，得到的．归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的关系一般地,由y =ax ²的图象便可得到二次函数y =a (x -h )²+k 的图象:y =a (x -h )²+k (a ≠0) 的图象可以看成y =ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k 的值有关.归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 的性质归纳：二次函数y =a (x -h )²+k 与y =ax ²的区别与联系1．相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小.2．不同点:(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x= h 和y 轴.(3)最值不同:分别是k 和0.3．联系: y=a(x-h)²+k(a ≠0) 的图象可以看成y=ax ²的图象先沿x 轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.【设计意图】：对相应的问题组织学生自己独立完成，然后小组讨论得出结论.例题讲解：例1:试讨论二次函数的性质解:由函数的表达式可知，它有以下性质 ()21112y x =-+-()21112y x =-+-212y x =-()21112y x =-+-()522y =-x +3-2()522y =-x +3-2（1）图象是抛物线(2)对称轴为直线x=-3（3）顶点是图象的最高点，坐标为(-3,-2)(4)当x<-3时，函数值随x的增大而增大；当x>-3时，函数值随x的增大而减小.【设计意图】：通过例题讲解引导学生再一次经历探索过程，有助于对那点的突破，同时激发学生思维的宽度与广度.当堂检测：1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：（1）y =2( x+3)2+5; （2）y = －3(x－1)2－2;（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y = －5(x+2)2－6.解:（1）a =2>0开口向上,对称轴为x=－3,顶点坐标为(-3,5)（2）a =－3<0开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标为（1,－2）（3）a =4>0开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3,7）（4）a =－5<0开口向下,对称轴为x=－2,顶点坐标为(-2,-6).课堂小结:本节课学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质作业:课本 P.38第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(3)知识回顾：合作探究：二次函数y=a(x-h)²+k的图象归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系归纳：二次函数y=a(x-h)²+k的性质归纳：二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的区别与联系例1。

九年级下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(3课时)

一元复始，万象更新。

查字典数学网初中频道小编准备了九年级下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(3课时)的相关内容，希望能够对大家有帮助。

教学目标【知识与技能】使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象.【过程与方法】让学生经历探究二次函数y=a(x-h)2性质的过程,理解函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.重点难点【重点】会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.【难点】理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.教学过程一、问题引入1.抛物线y=2x2+1、y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?2.二次函数y=-(x+1)2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?二、新课教授问题1:你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题?(画出二次函数y=-(x+1)2和二次函数y=-x2的图象,并加以观察.)问题2:你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2与y=-(x+1)2的图象吗?师生活动:教师引导学生作图,巡视、指导.学生在直角坐标系中画出图形.教师对学生的作图情况作出评价,指正错误,出示正确的图形.解:(1)列表:x…-3-2-10123…y=-x2…--2-0--2-…y=-(x+1)2…-2-0--2--8…(2)描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2和y=-(x+1)2的图象.问题3:当函数值y 取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系?反映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系?师生活动:教师引导学生观察上表,当y依次取0、-、-2、-时,两个函数的自变量之间有什么关系?学生归纳得到,当函数值取同一数值时,函数y=-(x+1)2的自变量比函数y=-x2的自变量小1.教师引导学生观察函数y=-(x+1)2和函数y=-x2的图象,先研究点(-1,-)和点(0,-)、点(-1,0)和点(0,0)、点(1,-2)和点(2,-2)的位置关系.学生归纳得到:反映在图象上,函数y=-(x+1)2的图象上的点都是由函数y=-x2的图象上的相应点向左移动了一个单位.问题4:函数y=-(x+1)2和y=-x2的图象有什么联系?学生由问题3的探索,可以得到结论:函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.问题5:现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?学生观察两个函数的图象得:函数y=-(x+1)2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0);函数y=-x2的图象开口方向向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0,0).问题6:你能由函数y=-(x+1)2的图象得到函数y=-(x+1)2的一些性质吗?生:当x-1时,函数值y随x的增大而减小;当x-1时,函数值y随x 的增大而增大;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=0.问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.师生活动:教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.学生画图并仔细观察,细心研究.教师让学生发表意见,归纳为:函数y=-(x-1)2与函数y=-x2的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数y=-(x-1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位得到的.问题8:你能说出函数y=-(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗?师生活动:教师引导学生观察y=-(x-1)2的图象,并引导学生思考其性质.学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言,达成共识:函数y=-(x-1)2的图象的开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,0).当x1时,函数值y随x的增大而增大;当x1时,函数值y随x的增大而减小;当x=1时,函数取得最大值,最大值y=0.三、巩固练习 1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2的图象.(1)填表:xy=x2y=(x+1)2y=(x-1)2…………………………(2)描点,连线:【答案】略2.观察第1题中所画的图象,并填空:(1)抛物线y=(x+1)2的开口方向是,对称轴是,顶点坐标是;抛物线y=(x+1)2是由抛物线y=x2向平移个单位长度得到的;(2)对于y=(x-1)2,当x1时,函数值y随x的增大而;当x1时,函数值y随x的增大而;(3)对于函数y=x2,当x=时,函数取得最值,为;对于函数y=(x+1)2,当x=时,函数取得最值,为;对于函数y=(x-1)2,当x=时,函数取得最值,为.【答案】(1)向上 x=-1 (-1,0) 左 1 (2)增大减小 (3)0 小 0 -1 小 0 1 小 0四、课堂小结结论如下:1.函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h0时)或向右(当h0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象.2.抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的性质.(1)抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).(2)当a0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;当a0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.(3)当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当x=h时,y有最小值.当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;当x=h时,y有最大值.教学反思通过本节课的学习,要求大家理解并掌握函数y=ax2(a≠0)和函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿x轴向左(当h0时)或向右(当h0时)平移|h|个单位就得到y=a(x-h)2的图象;能够理解a、h对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础.本节课的处理是在教师的引导下,学生进行观察、归纳、总结,充分体现以学生为主、教师为辅的教学思想.这样有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.这篇九年级下册数学教学计划：第6章第2节二次函数的图象和性质(3课时)就为大家分享到这里了。

九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计

21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。

2-2二次函数的图象与性质(第三课时)课件

b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
400 9
0.0225 x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标是 20,1.
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x 20 2 1.
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
小结拓展回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 40 x 4000
9
Y/m 10
0.0225 x2 40 x 20 2 20 2 4000 桥面 -5 0 5
x/m9Βιβλιοθήκη 0.0225x20 2

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第3课时教学设计

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第3课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.1二次函数的图象和性质》第3课时，主要介绍二次函数的图象和性质。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的定义、标准式、顶点式的基础上进行的，是进一步研究二次函数的重要内容。

本节课的主要内容有：二次函数的图象、开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值等。

这些内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在着一些困惑和误解。

比如，对于开口方向、对称轴、顶点等概念，学生可能还存在着模糊的认识。

此外，学生的数学思维能力和逻辑推理能力还需要进一步的培养和提高。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，使学生能够自主学习，提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象和性质。

2.难点：二次函数的图象和性质的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和问题，引发学生的思考和探究，使学生能够主动地学习。

2.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生通过实验、观察、探究等方法来解决问题。

3.合作学习法：学生分组合作，共同完成任务，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、例题、练习题等。

2.学生准备：学生需要预习相关的内容，了解二次函数的定义和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的图象和性质，引发学生的思考和兴趣。

2.2二次函数的图象与性质(3)

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月17日星期五2021/9/172021/9/172021/9/17 ❖15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/172021/9/17September 17, 2021 ❖17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/172021/9/172021/9/172021/9/17
当 x＝h 时，y 最大值＝0
2 二次函数的图象与性质
知识点二二次函数 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2 的图象的关系二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与 y＝ax2 的图象的形状完全相同，开口方向也相同，但 y＝a(x－h)2 的图象的对称轴是直线 x＝h，顶点坐标为(h，0)．实际上，只要把 y＝ax2 的图象向左(h＜0)或右(h＞0)平移|h|个单位长度，就可以得到 y ＝a(x－h)2 的图象．
2－2－15 所示．
❖9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021 ❖10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 11:44:30 PM ❖11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/172021/9/172021/9/17Sep-2117-Sep-21 ❖12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/172021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021