22.1 二次函数(第1课时)教学设计(一等奖)
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质 (第1课时)教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830-1038…2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2+1…9 5.53 1.51 1.53 5.59…y=2x2-1…7 3.51-0.5-1-0.51 3.57…然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =12-x 2向下x =0（0,0）y =12-x 2+2向下x =0（0,2）y =12-x 2-2向下x =0（0，-2）出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：231x y -=；23121--=x y ；23122+-=x y .学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6)函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷(0，2)，(0，0)，(0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）y=ax2+k a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－54.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2向上（0,0）y轴有最低点y=3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y=-4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。
22.1.1二次函数-教案
人教版数学九年级上22.1.1二次函数第一课时教学设计课题22.1.1二次函数单元第二十一章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标体会数学与生活的联系，锻炼学生的理性思维，体会通过探究学习新知识的乐趣。
能力目标经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
知识目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；2.能够表示简单变量之间的二次函数关系，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。
重点将简单的实际问题转化为二次函数的模型. 理解二次函数的有关概念，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。
难点将简单的实际问题转化为二次函数的模型。
学法自主思考、协作讨论、类比学习法教法引导发现法、合作交流、讨论以及讲练结合教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、情境引入回忆：1.什么是函数？2.我们学过哪些函数？出示章前图，学生观察。
从喷头飞出的水珠，在空中走过一条美丽曲线，你想知道在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系吗？通过本章的学习，我们就可解开这一疑团。
引发学生兴趣，导入本课主题。
通过图片联系生活，从生活中发现问题，启发思考。
讲授新课二、探究新知【例题1】正方体的六个面是全等的正方形,如果正方体形的棱长为x,表面积为y,请你写出y与x的关系式。
分析：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为y=6x2. ①【例题2】n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是y=1(1)2n n ②【例题3】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x 之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是______件，即两年后的产量为_________，教师出示问题，并给予一定的分析。
《二次函数》教学教案设计一等奖
3、《二次函数》教学设计一等奖教学目标:1.能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.4.在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.教学重点：1.利用描点法作出函数y=x2的图象，根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同.教学难点：经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现探索经验运用的思维过程.教学过程：一、学前准备我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是_______________，一般的一次函数的图象是____________，反比例函数的图象是_________________.上节课我们学习了二次函数的一般形式为_________________________，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢?本节课我们将一起来研究有关问题.二、探究活动(一)、作函数y=x2的图象.回忆画函数图象的一般步骤吗?(列表，描点，连线.)下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象.(1)列表：x -3 -2 -1 0 1 2 3y 9 4 1 0 1 4 9(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.(二)、议一议对于二次函数y=x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?(3)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x0时呢?(4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的'对称轴是什么?请你找出几对对称点，并交流.下面我们系统地总结：(三)y=x2的图象的性质.二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.大家讨论之后系统地总结出y=x2的图象的所有性质.当堂练习：按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象.y=-x2的图象如右图，并让学生总结：形状是___________，只是它的开口方向____________，它与y=x2的图象形状________，方向________，这两个图形可以看成是__________对称.试着让学生讨论y=-x2的图象的性质.并尝试比较y=x2与y=-x2的图象，比较异同点.不同点：相同点：联系：(四)课堂练习：随堂练习(P47)三.学习体会1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑问?2.你认为老师上课过程中还有哪些须改进的地方?3.预习时的疑问解决了吗?四.自我测试1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象.2.下列函数中是二次函数的是( )A. y=2+5x2B.y=C.y=3x(x+5)2D. y=3.分别说出抛物线y=4x2与y=- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标4、已知函数y=mxm2+m.(1)m取何值时，它的图象开口向上.(2)当x取何值时，y随x的增大而增大.(3)当x取何值时，y随x的增大而减小.(4)x取何值时，函数有最小值.4、《二次函数》教学设计一等奖教学目标：1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想。
优质课 精品教案 (省一等奖)《二次函数与一元二次方程(第1课时)》公开课教案
22.2 二次函数与一元二次方程教学时间课题22.2 二次函数与一元二次方程课型新授课教 学 目 标知 识 和能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过 程 和方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情 感 态 度 价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件学生“五个一〞课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝时，涵洞顶点与水面的距离为。
这时，离开水面处，涵洞宽ED 是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。
通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。
但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。
2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。
3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。
2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。
例如，抛物线运动、物体抛掷等。
从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。
引导学生观察并总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。
同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。
教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。
《22.1.1二次函数》学历案-初中数学人教版12九年级上册
《二次函数》学历案（第一课时）一、学习主题本课时学习主题为“二次函数的基本概念与性质”。
通过本课的学习，学生将掌握二次函数的基本定义、图像特征、顶点式及一般式等知识，为后续学习二次函数的实际应用打下基础。
二、学习目标1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的定义和表示方法。
2. 认识二次函数的图像特征，能够根据一般式画出其图像。
3. 掌握二次函数的顶点式，并能利用顶点式求出二次函数的最大值或最小值。
4. 学会通过观察二次函数的图像或解析式判断其开口方向、对称轴及顶点坐标等性质。
三、评价任务1. 课堂小测验：通过简短的题目检验学生对二次函数定义的理解程度。
2. 图像绘制评价：评价学生是否能准确画出给定二次函数的图像。
3. 知识点应用：布置相关练习题，评价学生是否能够灵活运用二次函数的性质解决问题。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，就二次函数的性质及图像展开交流，培养学生合作学习能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾一元一次函数的知识，引出二次函数的概念，让学生明确本课学习目标。
2. 新课讲解：首先讲解二次函数的定义及表示方法，然后通过实例让学生认识二次函数的图像特征。
接着讲解二次函数的顶点式，并让学生尝试将一般式转化为顶点式。
最后，总结二次函数的性质，包括开口方向、对称轴及顶点坐标等。
3. 课堂互动：通过提问、答疑等方式，让学生积极参与课堂，加深对二次函数的理解。
同时，组织学生进行小组讨论，分享学习心得。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生独立完成，并互相检查答案，以巩固所学知识。
五、检测与作业1. 检测：通过课堂小测验及课后作业，检测学生对二次函数基本概念与性质的掌握情况。
2. 作业：布置适量练习题，包括二次函数的图像绘制、性质判断及实际问题解决等，以提高学生灵活运用知识的能力。
六、学后反思1. 学生应反思自己在学习过程中对二次函数概念的理解程度，以及在解题过程中是否存在误区。
2. 学生应总结本课学习的重点和难点，明确自己需要进一步巩固的知识点。
22.1二次函数图象及基本性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如投篮的抛物线轨迹。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量和计算，观察二次函数图象的基本性质。
4.实践活动的组织：在实践活动环节，学生们的参与度较高，但在小组讨论过程中，部分学生显得不够积极。为了提高学生的参与度，我将在今后的教学中加强对学生的引导和鼓励，让他们更加主动地投入到讨论中去。
5.小组讨论的引导：在小组讨论环节，我发现部分学生在提出观点和想法时，思路不够清晰。为了提高学生的逻辑思维能力，我将在今后的教学中加强引导，教授学生如何有针对性地分析问题，并提出合理的解决方案。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过绘制二次函数y=x²的图象，观察其对称性、顶点等基本性质，并探讨这些性质在实际问题中的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数图象的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数图象及基本性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和性质教学设计 第 1 课时一、教学目标1．使学生理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y =ax 2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：理解二次函数y =ax 2＋k 的性质及其图象与y =ax 2的图象之间的关系． 难点：正确理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系以及二次函数y =ax 2＋k 的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源《二次函数y =ax 2图象与性质的复习》动画，《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象画法》动画，《《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象》图片，《函数2133y x =+，2123y x =-》动画）。
五、教学过程【复习提问】你能说出二次函数y =ax 2的性质吗？师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．小结：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小，|a |越小，抛物线的开口越大．如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2＋1，y =2x 2－1的图象．师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象．设计意图：通过学生动手画二次函数2y ax k =+的图象，给学生创设活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展的过程，并通过观察、分析、探索出二次函数2y ax k =+的图象的有关性质，培养学生数形给合的思想．2．思考：（1）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y =ax 2图象上下平移得出y =ax 2±k 的图象,观察、分析函数y =ax 2±k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见．教师聆听，关注学生回答是否正确．小结：抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口都是向上，对称轴都是y 轴，顶点分别是（0，1）与（0，－1）．（2）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1与抛物线y =2x 2有什么关系？师生活动：让学生观察三个函数图象，说出把抛物线y =2x 2的图象向上平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2＋1；把抛物线y =2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2－1．（3）抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2有什么关系？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流．教师巡查，关注学生是否认真讨论，能否讨论归纳得出结论．归纳：抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2形状相同，位置不同；当k ＞0时，抛物线y =ax 2向上平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ； 当k ＜0时，抛物线y =ax 2向下平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ．设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．【例题分析】例 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：2133y x =+，2123y x =-。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.1二次函数
一、教材分析
1、地位作用：函数是初中阶段数学知识的一个重要内容，也是数学的核心知识和思想，对培养学生的数学能力有重要的作用。
初中阶段主要研究一次函数、二次函数及反比例函数．本章的教学是在学生对函数有了一定的认识，具备了一定的函数的思想后设计的，符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展。
本章学生经历实际问题的建模，在深入理解把握二次函数的性质及应用，体会函数的本质的同时，有利于提高数学的应用意识和能力，能使学生进一步树立函数思想和数形结合思想，并能逐步将思想上升为一种意识，有意识的在思想的指导下解决问题，对培养学生的数学思维，学生的终身发展需求有着重要的作用。
2、教学目标：
（1）知道二次函数的一般表达式；（2）会利用二次函数的概念分析解题
（3）列二次函数表达式解实际问题．
3、教学重、难点
教学重点：1、掌握二次函数的概念
2、能通过简单实际问题情境中变量之间的关系确定函数关系式
教学难点：能通过对简单实际问题情境的分析，确定函数关系式，体会并初步具有一定的函数思想
突破难点的方法：利用类比、分析突破难点.
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.
三、教学过程:。
22.1 二次函数(第1课时)教学设计(一等奖)
22.1二次函数（第1课时）教学设计一、教学目标：知识技能：1．探索并归纳二次函数的定义；2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．数学思考：1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．解决问题：1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；2.能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。
情感态度：1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．二、教学重点、难点：教学重点：1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点：经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．三、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。
四、教具：小黑板五、教学过程：1.温故知新，引出课题。
1、大家还记得我们学过哪些函数吗?2、它们是如何定义的？3、我们分别从哪些方面对它们进行了研究？2. 实际问题，列出函数关系式，探究新知问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x，粉笔盒的表面积为y，探讨y与x有什么关系？问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？[1]问题3：某工厂一种产品的年产量是20 件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？[2]学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(第1课时)教学设计
三、课堂练习
1.让学生独立绘制二次函数y=ax^2的图象，并描述其性质。
2.通过小组合作，讨论并总结二次函数图象和性质的特点。
四、巩固拓展
1.让学生思考：如何通过观察二次函数图象，判断其开口方向和对称轴？
2.引导学生运用二次函数的图象和性质，解决实际问题。
4.注重分层教学，关注个体差异：
（1）针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）鼓励学生主动提问，及时解答他们的疑惑，帮助他们建立信心。
5.强化课堂小结，巩固所学知识：
（1）让学生用自己的话总结二次函数y=ax^2的图象和性质，加深对知识的理解和记忆。
（2）通过课堂小结，检查学生的学习效果，及时发现问题并进行针对性的辅导。
3.组织学生进行小组合作交流，培养学生团队协作能力和表达能力，激发他们学习数学的兴趣。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，使他们体会数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心。
2.通过对二次函数y=ax^2图象和性质的探究，使学生感受数学的对称美、秩序美，提高他们的审美情趣。
3.使学生认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发他们学习数学的积极性，培养他们运用数学知识解决实际问题的意识。
3.培养学生运用数形结合思想，通过观察、分析、归纳二次函数图象和性质，提高解决问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过引导学生在探索二次函数y=ax^2图象和性质的过程中，培养他们提出问题、分析问题、解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合思想，将二次函数的图象与性质相互验证，提高他们的逻辑思维能力和推理能力。
教学设计 22.1.1二次函数
第 22章 二 次 函 数第一课时教学目标:1．知识与技能目标:⑴．使学生理解并掌握二次例函数的概念⑵．能判断一个给定的函数是否为二次例函数⑶.能根据二次函数的定义求相关字母的值2.过程与方法目标:通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。
3．情感态度与价值观:通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 教学重、难点1．重点：理解二次例函数的概念2．难点：能根据二次函数的定义求相关字母的值教学过程1、出示学习目标（1）会判断一个函数是否为二次例函数（2）能根据二次函数的定义求相关字母的值2、合作学习，探索新知 :问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为?y=6x 2问题2:n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系? d=21n(n-3) 问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示?y=20x 2+40x+20观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式,(a,b,c是常数,a≠0 ).我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数称：a为二次项系数，ax2叫做二次项;b为一次项系数，bx叫做一次项;c为常数项.3、例题讲解:例1.下列函数中,哪些是二次函数?(1) y=3(x-1)²+1 (2)y=x+1/x (3) s=3-2t² (4)y=1/(x2 -x)(5)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr² (7) y=x²+x³+25 (8)y=2²+2x4、随堂练习:1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=x2 (2)y= -1/x2 (3) y=x(x-1) (4)y=(x-1)2-x22、当m为何值时，函数y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数3、y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋3，当m为何值时，y是x的二次函数？5、课堂小结:同学们，你有哪些收获？你认为谁今天表现最优秀？你认为谁比以前有进步？6、作业:1、课本3页 1题、2题2、预习下节课内容7、板书设计。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质 (第1课时)教案
22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.【过程与方法】通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.【情感态度与价值观】经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.二、课型新授课三、课时第1课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.【教学难点】用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课教师问：二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些？（出示课件2）师生共同回忆：教师问：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?（出示课件3）（二）探索新知探究一 画出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象我们已经知道y=a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论216212y x x =-+的图象和性质？（出示课件5） 问题1：怎样将216212y x x =-+化成y=a(x-h)2+k 的形式？学生回忆配方的方法及步骤，并回答.（出示课件6）216212y x x =-+ 21(1242)2x x =-+ 2221(126642)2x x =-+-+ 2221[(126)642]2x x =-+-+ 21[(6)6]2x =-+ 21(6) 3.2x =-+ 学生回答后，教师总结并强调.（出示课件7） 配方的步骤：(1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2：你能说出21(6)32y x =-+的对称轴及顶点坐标吗？（出示课件8） 生答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3：二次函数21(6)32y x =-+可以看作是由212y x =怎样平移得到的？ 生答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题4：如何画二次函数216212y x x =-+的图象？（出示课件:9） 学生自主操作，画图，教师加以巡视.并引导他们进行分析. 方法一：描点法. 1.列表.2.描点，连线：方法二：平移法.（出示课件10）问题5：结合二次函数216212y x x =-+的图象，说出其性质.（出示课件11） 生答：当x<6时，y 随x 的增大而减小；当x>6时，y 随x 的增大而增大. 开口方向：向上.对称轴：x=6. 顶点：(6,3). 例 画出函数21522y x x =-+-的图象，并说明这个函数具有哪些性质.（出示课件12）师生共同解答如下： 解:函数21522y x x =-+-通过配方可得21(1)22y x =---， 先列表：然后描点、连线，得到图象如下图：（出示课件13）生观察图象，并总结性质如下： 开口方向：向下. 顶点坐标：（1，-2）. 对称轴：x=1.最值：x=1时，y 最大值=-2.当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.出示课件14：求二次函数y=2x 2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 生板演解题过程： 解：y=2x 2-8x+722(4)7x x =-+ 22(44)87x x =-+-+ 22(2) 1.x =--因此，二次函数y=2x 2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 探究二 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质出示课件15：根据下列关系你能发现二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质吗？师生共同探究强化认知：y=ax 2+bx+c 224()24b ac b a x a a-++=出示课件16：显然，二次函数y 224()24b ac b a x a a-++=的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bx a =- 因此，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是2bx a=-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭- . 师生共同总结整理如下：（出示课件18）出示课件19：例二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（）A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）B．开口向下，顶点坐标为（1，4）C．开口向上，顶点坐标为（1，4）D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）学生自主思考后，师生共同解答如下：解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．教师加以强调：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.出示课件20：填一填.生自主思考，并填表. 答案：(1,1)；x=1；最大值1； (0,-1)；y 轴；最大值-1；(13-,-6)；x=13-；最小值-6. 出示课件21：一次函数y=kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：生观察图象，并填空.k 1＜0；b 1＞0；k 2＞0；b 2＜0；k 3＞0；b 3＞0.出示课件22，23：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0，b1___0,c1___0；a20，b2___0,c20；a3___0，b3___0,c3___0；a4___0，b4___0,c4___0.生观察图象后，独立填空，教师加以纠正.a1＞0，b1＞0,c1＞0；a2＞0，b2＜0,c2=0；a3＜0，b3=0,c3＞0；a4＜0，b4＞0,c4＜0.师生共同总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系（出示课件24）出示课件25：例已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4生独立思考后，师生共同分析：由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．出示课件26：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．ac>0生独立思考后，自主解决.解析根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．（三）课堂练习（出示课件27-32）1.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤2.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴B.直线x=52C.直线x=2D.直线x=323.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a ，b 同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x 的值只能取0；其中正确的是 .4.如图是二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a ；④若（-3，y 1）,（32，y 2）是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：()()()22(1) 21213;(2) 580319;1(3) 22;2(4)12.y x x y x x y x x y x x =-+=-+-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+-6.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y 有最大值 .7.已知二次函数y=x 2-2x+1，那么它的图象大致为（ ）参考答案：1.A2.D3.（2）4.B5.⑴直线x=3，(3，-5)；⑵直线x=8，(8，1)；⑶直线x=1.25，59, 48⎛⎫- ⎪⎝⎭； ⑷直线x=0.5，19, 24⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6.14；318- 7.B（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.4第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式.。
22.1.1二次函数(教案)[修改版]
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第一篇：22.1.1 二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给1予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不2是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.11思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？22【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x2; (3)y=1-2x+1; 2x(4)y=1-3x2. 2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）. 【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成. 【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4. （2）y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数. （3）该函数不是二次函数. （4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1. 2.解：∵y m1xm212x3是y关于x的二次函数. ∴m+1≠0且m2+1=2, ∴m≠-1且m2=1，∴m=1. 3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30) 即y=-3x2+252x-4860 由此可知y是x的二次函数. 4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件. 【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾. 课后作业1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分. 教学反思第二篇：22.1.1-二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教案教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识展示执实心球图片，体验体育中的数学二、温故知新1. 什么叫做函数？（学生回顾）2. 我们学过哪些函数？（PPT展示）三、探究新知问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 多边形的对角线总数d与边数n有什么关系？可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线，用n的式子表d为：。
二次函数教学设计一等奖
1、二次函数教学设计一等奖教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
2、进一步发展估算能力。
（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的'思路，体验数形结合思想。
（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学方法学生合作交流学习法。
教具准备投影片三张第一张：（记作2。
8。
2A）第二张：（记作2。
8。
2B）第三张：（记作2。
8。
2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x 轴交点的横坐标即可。
但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。
本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。
2、二次函数教学设计一等奖通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系;(2)分解因式的结果要以积的形式表示;(3)每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数;(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。
活动5：应用新知例题学习：P166例1、例2(略)在教师的引导下，学生应用提公因式法共同完成例题。
让学生进一步理解提公因式法进行因式分解。
活动6：课堂练习1.P167练习;2. 看谁连得准x2-y2 (x+1)29-25 x 2 y(x -y)x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)xy-y2 (x+y)(x-y)3.下列哪些变形是因式分解，为什么?(1)(a+3)(a -3)= a 2-9(2)a 2-4=( a +2)( a -2)(3)a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1(4)2πR+2πr=2π(R+r)学生自主完成练习。
初中九年级数学教案- 二次函数【市一等奖】
二次函数（第1课时）1内容简析“二次函数的概念”是本章的第一课时，是一节概念课，数学概念是建构数学理论大厦的基石，是学生进行数学思维的核心，因此概念教学耀格外的重视，把教学目标确定为对概念的理解和表达式的掌握，符合课标要求．此外，把观察、类比、猜想等思想方法和分析、综合、抽象、概括等思维能力的培养作为教学目标，符合知识发展规律和学生认知水平、能力培养要求．2 教学目标教学目标：1理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式2 会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围3经历对实际问题情境分析，引导学生观察、类比、归纳等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等思维能力；3 教学重难点重点：二次函数的概念，经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
难点：确定问题中二次函数的关系式；4 教学过程设计预习导航知识准备：（１）一元二次方程的一般形式是什么（发挥学生积极性，请学生回答。
）（２）回忆学过的正比例函数、一次函数、反比例函数的一般形式又是怎样的提出问题（展示交流）1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是_______________________2．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y㎡与长方形的长m之间的函数关系式为____________________3．要给一个边长为 m的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y（元）与（m）之间的函数关系式是___________________________归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数关系有哪些共同之处它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同【设计意图】以复习的方式把学生的思路引导函数大家庭中，暗示寻找新的家庭成员，培养学生的求知欲。
“复习”不是单纯对知识的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，通过对一次函数、反比例函数表达式的回顾、比较，体会不同函数形式与函数名称之间的区别，为本节课二次函数概念的类比教学打下坚实的基础．5 课堂探索与展示：自觉思考你对“二次函数”这个课题有什么感到好奇的地方说出你想提出的问题！在这节课中，我们首先要关注什么问题1二次函数的概念；2二次函数关系式的简单应用；2．唤醒已有知识和经验：（1）看到函数你会想到什么数学知识一次函数：形如y=b（≠0，、b为常数）反比例函数：形如 y=错误!（≠0，为常数）……（2）看到二次你会想到什么数学知识一元二次方程的一般形式：a2bc=0（a≠0，a、b、c为常数）……（3）猜想一次函数：形如y=b（≠0，、b为常数）反比例函数：形如y=错误!（≠0，为常数）一元二次方程的一般形式：a2bc=0（a≠0，a、b、c为常数）猜想：根据已有的知识和经验，我们应该怎样给二次函数下定义呢自主探究（一）自主探究题写出下列函数关系式，将函数解析式改写成按自变量的降幂排列的形式，并写出自变量的取值范围1 圆的面积S与半径r之间函数关系式。
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22.1 二次函数（第1课时）教学设计
一、教学目标：
知识技能：
1．探索并归纳二次函数的定义；
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
数学思考：
1．感悟新旧知识间的关系，让学生更深地体会数学中的类比思想方法；
2．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
解决问题：
1．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；
2. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．进一步体会数学与生活的联系，增强用数学意识。
情感态度：
1．把数学问题和实际问题相联系,从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；
2．使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用；
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．
二、教学重点、难点：
教学重点：
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得二次函数的定义。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点：
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
三、教学方法：教师引导——自主探究——合作交流。
四、教具：小黑板
五、教学过程：
1. 温故知新，引出课题。
1、大家还记得我们学过哪些函数吗?
2、它们是如何定义的？
3、我们分别从哪些方面对它们进行了研究？
2. 实际问题，列出函数关系式，探究新知
问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x ，粉笔盒的表面积为y ，探讨y 与x 有什么关系？ 问题2：多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？[1]
问题3：某工厂一种产品的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？[2]
学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。
然后，以小组为单位进行合作探究，讨论上述问题的解决方案，并进行组际交流，确定疑难点。
师生活动：教师或者学生充当能者，对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学，对关键点进行点睛引导，师生互动，思维接龙，旨在突破难点。
预案：对问题1而言，如果学生不看展开图，直接说出答案，教师可追问：教材上展开图对求面积有什么作用？提醒学生思考展开图问题。
如果学生看了展开图，却不知道它有何用？教师可追问：同学们，说一说符号语言y=6x 2中6的实际意义。
请以小组为单位进行讨论。
同时，对学生讨论的结果作鼓励性评价。
如学生的答案是 y=4x •x+x 2+x 2时，老师务必当众大力表扬：你的答案非常有创意，观察图很仔细，能够灵活利用书上的展开图求解，打破了思维定势，而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合，变成了自己解决问题的锋利武器，你太有才了！同学们，这个同学就是我们学习的榜样，他今后很可能成为一位伟大的发明家。
对问题2而言，如果学生不能正确得到结论，教师用作图法引导：从一个顶点可以作多少条对角线？n 个顶点呢？从所有顶点作出的对角线是否有重复的？如果学生能得出正确结论，教师也可追问：同学们，说一说符号语言()132d n n =-中12
的实际意义。
请同学们先作图，再回答。
同时，对他们的解题思路作点评，鼓励他们用不同方法发现规律，树立学习自信心。
设计意图：以粉笔盒为教具，通过对粉笔盒面积求法的探究，不但能给学生提供展示平台，体验成功的机会，对学习产生自信，而且可以培养他们一题多解能力，筛选通法通解的意识。
此外，对简单的实际问题，列出二次函数关系式，既巩固了方程法求函数关系式的思想，又为二次函数概念的形成提供感性素材。
3. 观察式子，形成二次函数概念
问题4：观察: ① y = 6x 2； ② 213-22
d n n =； ③ y = 20x ²+40x+20. 想一想函数①②③有什么共同点？
师生活动：针对问题4，教师追问：同学们，函数关系式①、②、③究竟表示的是哪种函数？能否给这种函数取个名字？学生仔细观察，讨论函数的共同点，由此给函数取名。
当学生取名困难时，老师可以从方法的角度进行诱导：根据函数表达式与自变量的关系，类比一次函数的命名，让学生对函数y=ax 2
+bx+c 进行命名，引出二次函数概念。
设计意图：启发学生观察，思考，归纳三个函数关系式的共同点，通过类比方法，得出二次函数的概念，培养学生类比迁移、归纳推理能力。
4. 合作学习，理解二次函数概念
问题5：探讨二次函数y=ax 2
+bx+c 自变量x 的取值范围及a 、b 、c 的取值问题。
师生活动：学生围绕问题5进行小组讨论，并把讨论结果进行组际交流，确定疑难点。
教师对疑难点进行点拨。
例如概念中 “形如”二字，说明由形来定义函数名称。
二次函数即y 是关于x 的二次式，而且该二次式一定是整式。
又如二次函数中b 、c 的取值范围，教师可用分类讨论的方法进行点拨，得到二次函数三种特殊形式：(1) y=ax 2；(2) y=ax 2＋c ；(3) y=ax 2＋bx.
设计意图:深入理解二次函数的概念，掌握二次函数的特征，为进一步学习二次函数图像打下坚实的基础
练习：判断下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a 、b ．
(1) s=10πr²； (2) y =2²+2x； (3) y=ax 2+bx+c.
师生活动：学生根据二次函数的概念进行判断。
教师在教室里来回走动，巡视学生们的练习情况，并根据学生的反馈信息，作简要点评。
设计意图：对二次函数概念进行深入理解。
5. 练习编题，运用二次函数概念
学生活动：根据生活实例，编一道含有二次函数关系式的应用题，并在课堂上展示交流。
设计意图：让学生体会生活问题与二次函数之间的密切关系，同时，培养学生命题能力，深化对二次函数模型的认识。
6. 课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑与师生交流。
师生活动：学生先小结，教师对学生的总结作点评和补充。
设计意图：让学生对本节课的知识、方法和数学思想进行梳理，培养他们整合知识能力和自我建构知识体系的习惯。
同时，教师还可以知道学生不懂的知识，便于在今后的教学中及时弥补。
7. 布置作业
必做题：教科书习题26.1第1,2题，复习题26第1,2题；
选作题：已知函数 是二次函数，求m 的值。
设计意图:作业分必做和选做，体现新课标的分层教学思想、做中学的理念。
8. 板书设计
26.1二次函数（第1课时）
一. 二次函数概念的形成
① y = 6x 2； ② 213-22
m n n =； ③ y = 20x ²+40x+20. 二. 二次函数概念的理解
72)3(--=m x m y
1. 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)
2. 二次函数三种特例：(1) y=ax2；(2) y=ax2＋c；(3) y=ax2＋bx.
三. 二次函数概念的运用
设计意图：通过板书，展示教学环节，让学生感知本节内容，理解知识。
五.目标检测设计
1.判断下列函数是否为二次函数？请说明理由。
(1) s=3-2t²；()24
=-； (3) y=ax²+1.
2m n
n
2.已知函数()2
y a
=+是关于x的二次函数，则a的取值范围是 .
2x-5
设计意图:主要考查学生对二次函数概念的掌握。
3.篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
设计意图：本题主要考查学生对实际问题列二次函数关系式的能力。