分类讨论 在高考中的运用共29页文档
分类讨论思想在高考解题中的应用
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上 的截 距 为 ｌ 一 二＜ Ｏ ， 故选 Ｄ ．
ａ
评 注 ：本 题 结 合 指 数 函数 图像 变 换 和 函数 单 调 性 及 特 殊 点， 考查 学生分类讨论 的能力 ， 关 键是按底 数分类讨论 ， 并 结 合 图像 与 ｖ 轴 交 点 位 置排 除错 误 答 案．
分 类 讨 论 思 想 在 高 考 解 题 中 的 应 用
杨 秀钢
（ 船 寮 高 级 中学 ， 浙江 青田 摘 要 ： 分类讨 论作 为一种数 学思 想 ， 是 解 决 复 杂 数 学 问题 的 有 效 手段 ． 能体现 学生的数学能力． 它 历 年 来 都 是 高 考 的 热点 与 重 点 ， 也是 学生学习的一个难点 ， 学 生 总是 难 以把 握 根 据 什 么分 类 ． 怎样 分 类 ． 本 文 结 合 例 题 介 绍 分 类 讨 论 在 高 考 解 题 中 的应 用 ．通 过 不 同类 型 的例 子 让 学 生 进 一 步理 解 分 类 讨 论 方 法及 其 在 高考 中的 考 查 形 式 与特 点． 关键词 ： 分 类 讨论 数 学 思 想 高考 解 题 应 用 分类讨 论作为一种数 学思想 ， 简 单说就是 “ 化 整 为零 ， 各 个 击破 。 再积零为整” 的数学策 略 。 是 解 决 复杂 数 学 问 题 的 有 效手段 。 能 体 现 学 生 的数 学 能 力 ． 所 以 它 历 年 来 都 是 高 考 的 热 点与重点 。 高考 中 的 压轴 题 经 常 考 查 分类 讨 论 的 思 想 ． 但 对 学 生 来 说 也 是 一个 难 点 。 因为对根据 什么分类 ， 怎样分 类 ， 学 生 总 是 难 以把 握 ．下 面 结 合 例 题 介 绍 分 类 讨 论 思 想 在 高 考 解 题 中的 应 用 ． 求 解 问题 中 涉 及 数 学 概 念 是分 类 定 义的 有 些 数 学 概 念 本 身 就 包 含 了分 类 ， 如绝对值的定义 ， 直 线 的斜 率 ， 指 数 函数 、 对数 函数等 ， 这 种 分 类 讨 论 题 型 可 以称 为
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
分类讨论思想方法在解答高考试题中的应用
分类讨论思想广东 王远征考点透视：分类讨论思想是中学数学重要的思想方法之一，也是高考必考的热点．多年来的高考试题都涉及由含有参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论．试题能很好地考查考生思维的深刻性和灵活性，对学生解决问题的条理性、完整性及科学性等数学能力能够较好地考查．试题类型包含有选择题、填空题和解答题，分值为4～12分．解题时要求考生科学地思考、分析问题，避免发生“重复”和“遗漏”的错误，因此，运用分类讨论思想来指导解题是制胜法宝．高考的热点表现在如下几个方面：1．含有参数的函数问题；2．数列问题；3．几何（立体几何和解析几何）问题； 4．排列组合问题等．考题精讲：分类讨论思想是指把所要研究的数学对象划分为若干个不同的情形，然后再分类进行研究和求解的一种数学思想．因为很多数学问题不仅在涉及的范围上带有综合性，而且，问题本身，受多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，所以，只能化整为零，各个击破，最后到达整体的解决．例1（08年高考广东卷）．设k ∈R ，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．分析：函数()F x 的单调性既与函数的定义域有关，还与字母k 的取值情况有关，因为k ∈R ，则对k 分为两种情况：0≤k 和0>k 进行讨论，并结合函数的定义域对)(x F '的符号进行分类讨论．解：1,1,1()(),1,kx x x F x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩，21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 对于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤，∈x (,1)-∞时，0)(>'x F ，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；当0k >，∈x (,1-∞时，0)(<'x F ，函数()F x在(,1-∞上是减函数，在(1上0)(>'x F ，函数()F x 是增函数；对于()(1)F x k x =≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。
简谈分类讨论思想在高考题中的应用
ａ的讨 论 总 区域 从 Ｒ 减 少 为 ［ ＋∞ ） 利 用 数 形 ２， ．
结合等方法 ， 发现 图像特征 （ 抛物线对 称轴确定 、
过 定点 ）从 而得解 ． ， 例 ４ 已知 ｔ 常数 ， 为 函数 Ｙ＝ｌ 一２ ｘ—ｔ在 Ｉ
例 ８ 过点 （ ４，） 一 ３ 的直 线 ｆ ２个 坐 标 轴上 在
第 ２期
李
芳， ： 等 简谈分类讨论思想在高考题 中的应用
・１ １・
１ ］
） ０ ＞ 恒成立， ｎ的取值范围． １ 求 分析 本题先 由 １ Ｉ０得到 ａ ２ 从 而使 ） ＞ ＞ Ｉ ，
易错点
本题 在利 用 向量 求 解 时 ， 直 线 Ａ 将 Ｂ
和Ｃ Ｄ所 成角 ６ 。 化为 与Ｃ 所 成 角 时 ， 易漏 Ｏ转 Ｏ 容 掉 １０ 的情形． ２。 利用 向量 数量 积 运 算 ， 可得 选 项 Ｄ
进行分类讨论 ， 但并不是问题中一出现参数就一定 要分类讨论． 利用数形 结合 、 函数思想等方法可减 少 或避免 分类讨 论 ， 而达 到 迅 速 、 确 的解 题 效 从 准
果 ． ２的第 （ ） 例 ２ 小题 还有 另外 一种 巧妙 的解法 ．
则需讨论 ｂ 为正数、 、 零 负数 ３ 种情形 ， 故共要讨论 以下 ４ 种情形 ， 且在每种情形下还涉及到线性规划 等较繁琐的计算． 解 法 １ 当 ６＜ ｎ时， 由已知条 件得 对任 意 ∈
成．当＝÷６ 时 立又 ８一，０， ＝ 砒 ） 一） ＝（ 古， ６ 从 当∈一，时 ）（ ＞故 数 而 （， ），（ｇ ）０ 函 ｝ 厂 ， ０
ｆ）ｇ）（ ｏ 单 性 致 （和 （在 一 ） 调 一 ． ｘ ，上
即
ｎ 一３ ≤ ｘ，
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是指在解决问题时，根据问题的性质和条件，将问题进行分类讨论，从而找到问题的解决方法。
在高中数学解题中，分类讨论思想是非常重要的，可以帮助学生更好地理清问题，找到解决问题的方法。
本文将从分类讨论思想的原理，分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用等方面进行浅析。
一、分类讨论思想的原理分类讨论思想的应用主要包括以下几个步骤：1. 理清问题的条件和特点，将问题进行分类。
在解决问题之前，首先要理解问题的条件和特点，然后将问题进行分类，找到各个分类之间的联系和差异。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
3. 对各个分类的解题方法进行整合。
在对每个分类的问题进行讨论和解决之后，可以对各个分类的解题方法进行整合。
这样可以得到一个综合的解题方法，有利于解决问题。
在高中数学中，分类讨论思想是非常重要的，在解决各种问题时都有着重要的应用。
下面将分别以代数、几何和概率统计为例，介绍分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用。
1. 代数在代数中，分类讨论思想常常应用于方程和不等式的解题中。
对于一元一次方程ax+b=cx+d，可以根据a和c是否相等，将方程分为a=c和a≠c两种情况进行讨论和解决。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
2. 几何3. 概率统计三、总结分类讨论思想在高中数学解题中有着重要的应用价值，对学生的数学学习和解题能力有着积极的促进作用。
希望通过对分类讨论思想在高中数学解题中的浅析，能够使学生更加深入地理解和掌握分类讨论思想，提高解决数学问题的能力，更好地应用数学知识解决实际问题。
分类讨论 在高考中的运用
第二部分 板块(一) 分类讨论
化繁为简
结 束
下面分两种情况： 6 ①当cos C＝ 时，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得b2－ 4 6b－12＝0，解得b＝2 6. 6 ②当cos C＝－ 时，同理可得b＝ 6. 4 综上c＝4，b＝2 6或b＝ 6.
应用一
答案：C
应用一 应用二 应用三 应用四
第二部分 板块(一) 分类讨论
化繁为简
结 束
2．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小 值为m，且函数g(x)＝(1－4m) x 在[0，＋∞)上是增函数， 则a＝________.
1 解析：若a>1，有a ＝4，a ＝m，此时a＝2，m＝ ，此时 2
应用一
应用二
应用三
应用四
第二部分 板块(一) 分类讨论
化繁为简
[应用体验]
x，0＜x＜1， 5．(2017· 山东高考)设f(x)＝ 2x－1，x≥1.
结 束
若f(a)＝f(a＋1)， ( )
则f
1 ＝ a
A．2 B． 4 C． 6 D．8 解析：当 0＜a＜1 时，a＋1＞1，f(a)＝ a，f(a＋1)＝
应用二
应用三
应用四
第二部分 板块(一) 分类讨论
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结 束
由参数变化引起的分类讨论
[典例] (2016· 天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈
R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．
[解]
由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．
下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－ a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a＞0时，令f′(x)＝0， 3a 3a 解得x＝ 或x＝－ . 3 3
分类讨论的思想在高考题中的应用
行分类 ， 但是 每次 划分 的标 准 只能 有一 个． 例 如 高考 题 ： 已知 ｔ 为 常数 ， 函数 Ｙ＝ｊ 一 ２ ｘ— ｔ Ｊ 在区间［ ０ ， ３ ］ 上 中的抛 物线对
称轴是确定不变 的 ， 学 生可 以抓 住这一 标准进 行解题 ， 即
进行重 新选 择． 三是 同一标 准原 则． 在实 际解 题 过程 中， 可以依 据集合 分类和多层次分 类来进 行来对 不 同题 型进
作用； 一元二次不等式与判 别式等方 面 ， 都有 着分类 讨论 思想 的应用． 此外 ， 数学 当中 ， 经 常 出现用 字母 表 示 已知
量的现象 ， 而字母的取值也会 影 响问题 的解 决方法． 由此 可见 ， 在数学 解题 过程 中 ， 应 把 问题根 据 其特 点 和要 求 ， 进行分类 ， 将 其转化 成小 问题 ， 并按不 同的条 件进行再 次 分类 ， 最后 ， 进行统一 的思想 研究．
综上所述 ， 函数． 厂 （ ） 的值 域为（ ０ ， １ ］ ．
点评 该题是 一道 创新题． 解答 此 题 时先根 据 给 出 的定义 写 出函数ｆ （ ） 的表达 式 ， 然后根 据 自变量 的取值 范围求出相应的函数值的范 围 ， 再 求并集 ， 即可得 到 函数 ＿ 厂 （ ） 的值域．
例 ４定 义 运 算 ： 。 ｏ ６ ： ｛ ６ ’ 。 ≥ ： ’ 则 函 数 （ ） ： ３ 一
Ｏ３ 的值域为— — ．
ｒ ３ ． ≤０．
’
．
．
ｆ 一 。 （ ） ＝一 √ （ ０＜ ≤１ ） ．
综 上 所 述 一 ・ （ ） ： ｛ 【 ＋ 三 ‘ 一 ≤ ≤ ０ ， （ ０＜ ≤１ ） ．
究， ２ ０ １ ６ （ ２ ３ ） ．
浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要：分类讨论的思想是高中数学一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力具有较大的帮助．分类讨论思想方法是高考考试说明中明确要求学生掌握的思想方法之一，因此近几年来利用分类讨论思想解题是高考重点考察的热点问题．那么什么是分类讨论思想方法呢？分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合归纳各类结果得到整个问题的解答．下面对分类讨论思想在中学数学解题中的应用做一些探讨，不正之处，敬请斧正．关键词：分类讨论；高中数学；教育教学为了更具体更清晰的剖析分类讨论思想在高中数学中的应用，下面对分类讨论思想由于分类原因不同出现的几种常见类型一一举例说明．一．由数学概念、定义引起的分类讨论类型：有的概念（定义）本身是分类的，如绝对值、指数函数、对数函数等．例1．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()A．或2B．或C．或D．或2解析：不妨设|PF1|＝4m，|F1F2|＝3m，|PF2|＝2m，其中m≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，e＝＝＝＝；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2m＝2a，|F1F2|＝3m＝2c，e＝＝＝＝；二．由定理、公式、性质的条件限制引起的分类讨论：有些数学定理、公式、性质是分情况给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式等．例2．设等比数列的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．解析因为是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0.当q＝1时，Sn＝na1>0，满足题设；当q≠1时，Sn＝>0，即>0(n＝1,2,3，…)，则有①或②，由①得－11.所以q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．三．由数学运算要求引起的分类讨论：如不等式两边同乘（除）以一个正数、负数，指（对）数运算中底数等．例3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解析对a分a>1与00，得ax>1，所以当a>1时，x>0；当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)，当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0，则－2aa－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a＋∞)f′(x)＋0 －0 ＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(－∞，a－2]，[－2a，＋∞)上是增函数，在[a－2，－2a]上是减函数．所以函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝；在x＝－2a 处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝．六．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．例7. 某工厂有10名工人，其中4人仅会焊工，3人仅会车工，另外三人焊工车工都会（全能工），现需选出6人完成一件工作，需要焊工，车工各3人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑车工，因有6人会车工，故有种选法，但此时不清楚选出的车工中有几个是车焊工都会的，因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选．同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。
分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。
分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。
分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。
一、分类讨论的几个注意点1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。
例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-⋅-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；（3）当84≠≠k k 且时，方程变为18422=-+-ky k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4<k 时，方程表示中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线；②当64<<k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；③当6=k 时，方程表示圆心在圆点的圆；④当86<<k 时，方程表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆；⑤当8>k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的涵对参数k 进行分类。
分类讨论思想在高考中的应用
集， a 不存在；
③当
0＜
a 2
≤
1 2
，即 0＜a≤1 时，函数 f（x）的取值范围为[－
a2，4－4a]，当－a2≥－1，4－4a≤1，即 3 ≤a≤1 时，不等式|f（x）|＞1 4
的解集为空集，所以
3 4
≤a≤1；
④当
1 2
＜
a 2
＜1， 即
1 ＜a ＜2
时，函数
f （x） 的 取 值 范 围 为 [－
应考方略 数学有数
分类讨论思想在高考中的应用
■ 广东信宜教育局教研室 王位高
所谓分类讨论， 就是当问题所给的对象不能进行统一研 究时， 如不能用同一标准、 同一种运算、 同一个定理或同一 种方法去解决， 因而会出现多种情况， 我们就需要对研究的 对象进行分类， 然后对每一类分别研究， 得出每一类的结论， 最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是 “化整为零， 各个击破， 再积零为整” 的策略．分类讨论时应注 意理解和掌握分类的原则、 方法与技巧， 做到 “确定对象的 全体， 明确分类的标准， 不重复、 不遗漏地分类讨论” .分类 讨论的常见类型有以下几种： (1) 由数学概念引起的分类讨 论： 有的概念本身是分类的， 如绝对值、 直线斜率、 指数函 数、 对数函数等； (2) 由性质、 定理、 公式的限制引起的分 类讨论： 有的数学定理、 公式、 性质是分类给出的， 在不同 的条件下结论不一致， 如等比数列的前 n 项和公式、 函数的 单调性等； (3) 由数学运算要求引起的分类讨论： 如除法运 算中除数不为零， 偶次方根为非负， 对数真数与底数的要求， 指数运算中底数的要求， 不等式两边同乘以一个正数、 负数， 三角函数的定义域等； (4) 由图形的不确定性引起的分类讨 论： 如角的终边所在的象限； 点、 线、 面的位置关系等； (5) 由参数的变化引起的分类讨论： 某些含有参数的问题， 如含 参数的方程、 不等式， 由于参数的取值不同会导致所得结果 不同， 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.
分类讨论的思想在高中数学解题中的应用
分类讨论的思想在高中数学解题中的应用分类讨论的思想在高中数学的解题过程中应用非常广泛，笔者在多年的教学过程中发现学生在遇到需要通过分类讨论才能解决的问题时，往往失分较多，究其原因主要是不能根据需要科学地进行分类，不知道以什么标准来分类；分类不完整，讨论重复或者有遗漏；对分类讨论所得到的结果处理不当，答题不完整不规范。
针对这一现状笔者总结了一些心得，希望能给学生带来一些帮助。
标签：数学；分类讨论；标准；步骤在高中数学问题中广泛地存在含有参数的各类问题，这也是近年来高考考查的重点和热点之一。
以数学命题的条件和结论的结构为标准，我们可以把含参数的问题大致分为两种类型：一是根据参数的取值范围，去寻求命题可能出现的结果，从而归纳出命题的结论；二是给定命题的结论，去寻求参数的取值范围或者应满足的条件。
然而这些问题的求解往往都会涉及分类讨论的思想方法，本文中笔者就分类讨论的思想方法在这类问题中的应用进行一些探讨，不妥之处，敬请斧正。
解决含有参数的问题，需要用到分类讨论的方法时，首先要明确需要讨论的对象，再根据题目的条件和所涉及的数学概念、定理、公式、性质以及运算的需要等进行科学合理的分类，然后逐类进行讨论，寻求各自的结果，最后归纳出命题的最终结论，达到解决问题的目的。
其根本在于化难为易，化繁为简，这是比较常见的解题策略和方法。
一、科学合理的分类何谓科学合理的分类，就是把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3…n）（n≥2，n∈N+），使集合A中的每一个元素都属于且仅属于某一个子集。
即满足：①A1∪A2∪A3∪…∪An=A②Ai∩Aj=φ（i，j∈N+，且i≠j）则称对集合A进行了一次科学的分类。
科学的分类需要具备这样两个条件：一是确保分类不能有遗漏，二是确保分类不能有重复，即通常所说的不重不漏。
在此基础之上再根据题目的条件和性质，做到尽可能减少分类。
二、确定分类标准解题过程中如果已经确定了需要分类讨论的对象，那么接下来要做的就是以什么样的标准来分类，这也是学生最困惑的地方，同时也是分类讨论的关键。
分类讨论思想在高考中的应用
(2)当 ，则 +∞)时，
，此时，x∈(-1，
即 f(x)＜3，满足题意为所求.
综上，
.
【变式 2】已知函数 大值 2，求实数 的取值.
有最
解析：
令 ，则
( ).
(1)当 即 时，
，
解得:
或
（舍）；
(2) 当
即
时，
,
解得: 或 （舍）；
(3)当 即 时，
，解
得
（全都舍去）.
综上，当 最大值为 2.
（1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确
定分类标准，正确分类，不重不漏；
（2）逐步进行讨论，获得结段性结论；
（3）归纳总结，综合结论.
2．一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就 分谁.不等式中的字母讨论标准有：最高次项的 系数能否为 0，不等式对应的根的大小关系，有 没有根（判别式）等.
3．字母讨论一般按从易到难，从等到不等的 顺序进行.
得变形受限导致不同的结果.
2.分类的原则
（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一 的；
分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论， 即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论， 只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分 类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、 定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定 义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲 线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划 分的依据.
解析：设等比数列{Sn}的公比为 q，则 q＞0 ①q=1 时，Sn=S1=a1
当 n=1 时，
，a2=0，∴
，
即
当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，
，
即 ②q≠1 时，Sn=S1·qn-1=a1·qn-1 当 n=1 时，
分类讨论在高中数学解题中的应用
数学有数分类讨论是一种重要的数学思想方法，是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．俗称“化整为零，各个击破，再积零为整”．它是一种重要的解题思想，也是高考重点考查内容之一.纵观近年的数学高考，无论是选择题、填空题、还是解答题，都非常重视对分类讨论思想的考查，是考生数学逻辑思维、理性思维能力高低的体现.常见的分类情形有：按数的特性分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能性分类；按图形的位置特征分类等．为了更好地掌握分类讨论思想，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考.一、科学合理的分类把一个集合A分成若干个非空真子集A i（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集.即①A1∪A2∪A3∪…∪A n＝A；②A i∩A j＝准（i，j∈N，且i≠j）.则称对集合A进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复.在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类.二、探讨引起分类讨论的原因，从而确定分类讨论的标准或题型在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有以下有六种：（1）根据数学概念来确定分类标准，如绝对值，直线的斜率，指数与对数，直线与平面所成的角等的定义中都包含了分类.例如，绝对值的定义是：a＝a（a＞0）0（a＝0）-a（a＜0 0((('((()）例1已知ｆ（ｘ）＝ｘ２+2x-4+a.（1）当a＝-3时，求不等式ｆ（ｘ）＞ｘ２+x的解集；（2）若不等式ｆ（ｘ）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围.解析（1）当a＝-3时，ｆ（ｘ）＝ｘ２+2x-4-3.∴ｆ（ｘ）＞ｘ２+x圳2x-4-x＞3圳ｘ≤0，1-ｘ＞＞或0＜ｘ≤2，1-3ｘ＞＞或ｘ＞2，ｘ-7＞＞圳ｘ≤0或0＜ｘ＜１３或ｘ＞7圳ｘ＜１３或ｘ＞7.∴当a＝-３时，不等式ｆ（ｘ）＞ｘ２+x的解集为（-∞，１３）∪（7，+∞）.（2）∵ｆ（ｘ）≥0的解集为实数集R，即ｘ２+2x-4≥-a恒成立.令g（ｘ）＝ｘ２+2x-4，则g（ｘ）＝（ｘ+1）２-5，ｘ≥2（ｘ-1）２+3，ｘ＜＞2ｘ≥2时g（ｘ）min＝4，ｘ＜2时g（ｘ）min＝3，∴g（ｘ）min＝3，∴a≥-3，故a的取值范围是[-3，+∞）.点评此题对含有绝对值的式子首先需要对绝对值里面的式子分为负数，非负数来去掉绝对值符号再求解，此题涉及到两个绝对值式子，需要采用零点分段法将数轴分为3段来讨论．例2解关于x的不等式组log a2ｘ＜2log aｘ，（a-1）ｘ２＜a２-1＞，（a＞0且a≠1）.解析对于参数a，需分a＞1还是0＜a＜1，所以1为标准进行分类，（Ⅰ）当0＜a＜1时，可求得解为：a+1姨＜ｘ＜2；（Ⅱ）当a＞1时，可解得：ｘ＞2，0＜x＜a+1姨＞，此时不等式组是否有解关键取决于a+1姨与2的大小关系，所以以a+1姨＝2即a＝3为标准进行第二次分类.（１）当1＜a≤3时解集为准；（２）当a＞3时解集为（2，a+1姨）.综上所述：当0＜a＜1时，原不等式解集为（2，a+1姨）.当1＜a≤3时，解集为准；当a＞3时，解集为（2，a+1姨）.点评此题含有对数不等式且底数不确定，故需要先分底数a＞1，0＜a＜1两大类讨论；再比较两根的大小通过数轴求解．（2）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准.数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件.分类讨论在高中数学解题中的应用■厦门大学附属实验中学袁海军徐诗佳GUANＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG例如，在数列中的两种分类，a n＝S1，（n＝1）S n-S n-1，（n≥2"）和S n＝na1，（q＝1）a1（1-q n）1-q .（q≠1"）例3设等比数列{ａn}的公比为q，前n项和S n＞0（n＝1，2，…）.（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设b n＝ａn+2-32ａn+1，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n的大小.解析（Ⅰ）因为{ａn}是等比数列，S n＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1时，S n＝na1＞0；当q≠1时，S n＝a1（1-q n）1-q ＞0，即1-q n1-q＞0，（n＝1，2，…）上式等价于不等式组：1-q<0，1-q n<0，（n＝1，2，…）……①或1-q＞0，1-q n＞0"，（n＝1，2，…）……②解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）.（Ⅱ）由b n=a a+2-32ａn+1得b n=a n（q2-32q），T n＝（q2-32q）S n.于是T n-S n＝S n（q2-32q-1）＝S n（q+12）（q-2）.又∵S n>0且－1<q<0或q>0，当-1<q<-12或q>2时，T n-S n>0即T n>S n；当-12<q<2且q≠0时，T n-S n<0即T n<S n；当q＝-12或q＝-2时，即T n＝S n.点评在解数列这类问题时，如果公比q是可以变化的量，就要以q为标准进行分类讨论.例4已知函数ｆ（ｘ）＝sin2ｘ-a sin2ｘ2，（ｘ挝R，a R，）试求以a 表示ｆ（ｘ）的最大值b.解析原函数化为ｆ（ｘ）＝-（cosｘ-a4）2+（a-4）216，令t＝cosｘ，则-1≤t≤1.记g（t）＝-（t-a4）2+（a-4）216，t∈[1，1].因为二次函数y＝g（t）的最大值的取得与二次函数y＝g（t）的图像的顶点的横坐标相对于定义域[－1，1]的位置密切相关，所以以a4相对于区间[－1，1]的位置分三种情况讨论：（1）当－1≤a4≤1，即-4≤a≤4时，b＝g（t）max＝（a-4）216，此时t＝a4，（2）当a4＜-1，即a＜-4时，b＝-a，此时t＝-1，（3）当a4＞1，即a＞4时，b＝0，此时t＝1，综上所述，b＝0，（a＞4）（a-4）216，（-4≤a≤4）-a.（a＜-44++++*,,,,-）点评对二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：（1）当-b2a＜p时，ｆ（ｘ）在[p，q]上单调递增，ｆ（ｘ）min＝ｆ（p），ｆ（ｘ）max＝ｆ（q）；（2）当-b2a＞q时，ｆ（ｘ）在[p，q]上单调递减，ｆ（ｘ）max＝ｆ（p），ｆ（ｘ）min＝ｆ（q）；（3）当p≤b2a≤q时，ｆ（ｘ）在[p，q]上最值情况是：ｆ（ｘ）min＝ｆ（-b2a）＝4ac-b24a，ｆ（ｘ）max＝max{ｆ（p），ｆ（q）}，即最大值是ｆ（p），ｆ（q）中较大的一个值.（3）根据数学运算的需要确定分类标准如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，负数的次幂为正或为负，不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等.例如：解不等式组3＜ｘ＜4，1＜ｘ＜a"，（a∈R）显然，应以3，4为标准将a分为1＜a≤3，3＜a≤4，a＞4三种情况进行讨论.例5在（1+ｘ+ｘ2）（1-ｘ）5的展开式中，ｘ4项的系数为___________.解析由题意直接分成三类：第1类：（1+ｘ+ｘ2）出1，则（1-ｘ）5出ｘ4，该项为：1·C45·1·（-ｘ）4＝5ｘ4；第2类：（1+ｘ+ｘ2）出ｘ，则（1-ｘ）5出ｘ3，该项为：ｘ·C35·12·（-ｘ）3＝-10ｘ4；第3类：（1+ｘ+ｘ2）出ｘ2，则（1-ｘ）5出ｘ2，该项为：ｘ2·C25·13·（-ｘ）2＝-10ｘ4.综上所述：合并后ｘ4的项的系数为5.点评本题不利于直接展开所有项求解，应由已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得ｘ4，不妨从其中的一个式子切入进行分类讨论（以（1+ｘ+ｘ2）为例）.讨论完成后再整合即可.例6已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n}前n项和为S n，且满足S5＝2a4+a5，a9＝a3+a4.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a m a m+1＝a m+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得S2mS2m-1恰好为数列{a n}中的一数学有数项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由.解析（1）设a 1，a 3，a 5，…，a 2k -1，…的公差为d ，设a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…的公比为q ，a 4＝a 2q ＝2q ，a 3＝a 1+d ＝1+d ，a 9＝1+4d由S 5＝2a 4+a 5，a ９＝a ３+a ４!圯a 4＝a 1+a 2+a 3，a 1+4d ＝a 1+d +2!q圯d ＝2，q ＝3!.∴a 2k ＝a 2q k -1＝2·3k -1，a 2k -1＝a 1+（n-1）d ＝2k-1∴a n ＝n ，n ＝2k-12·3n ２-1.n ＝2!k（2）若m ＝2k （k ∈N 鄢），则a 2k a 2k +1＝a 2k +2，即2·3k-1（2k+1）＝2·3k ，解得：2k+1＝3圯k ＝1，即m ＝2.若m ＝2k-1（k ∈N 鄢），即a 2k -1a 2k ＝a 2k +1.（2k-1）·2·3k -1＝2k+1圯2·3k -1＝1+22k-1.因为2·3k -1为正整数，∴22k-1为正整数.∴2k-1＝1圯k ＝1.代入可知k ＝1不符2·3k -1＝1+22k-1，故舍去.综上所述：m ＝2.（3）若S 2m S 2m -1为{a n }中的一项，则S 2m S 2m -1为正整数.S 2m -1＝（a 1+a 3+…+a 2m -1）+（a 2+a 4+…+a 2m -2）＝m （1+2m -1）2+2（3m -1-1）3-1＝3m -1+m 2-1，∴S 2m S 2m -1＝S 2m -1+a 2m S 2m -1＝3m -1+m 2-1+2·3m -1-13m -1+m 2-1＝3-2（m 2-1）3m -1+m 2-1≤3，故若S 2m S 2m -1为{a n }中的某一项只能为a 1，a 2，a 3.①若3-2（m 2-1）3m-1+m 2-1＝1无解；②若3-2（m 2-1）3m-1+m 2-1＝2，即3m -1+1-m 2＝0，可知m ＝2是方程的根.当m ≥3时，设ｆ（ｘ）＝3x -1+1-ｘ2，∴ｆ′（ｘ）＝3x -1ln3-2ｘ.ｆ″（ｘ）＝3x -1（ln3）2-2＞0，∴ｆ′（ｘ）在[3，+∞）单调递增.∴ｆ′（ｘ）≥ｆ′（3）＝9ln3-6＞0，∴ｆ（ｘ）在[3，+∞）单调递增.∴ｆ（ｘ）＞ｆ（2）＝0.∴m ≥3时，3m -1+1-m 2＝0无解，即m ＝2是方程唯一解.③若3-2（m 2-1）3m-1+m 2-1＝3，则m 2＝1圯m ＝1，综上所述：m ＝1或m ＝2.点评当数列中的项有符号限制时，应分n 为奇数，n 为偶数进行讨论，通项公式要用分段函数表达.若是求数列前n 项和，一般先求S 2n ，再求S 2n +1，且S 2n +1＝S 2n +a 2n +1，避免重复计算.（4）根据参数的变化需要确定分类标准一般指数学中某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.例7设函数ｆ（ｘ）＝１3a ｘ3-１2（a +1）ｘ2+ｘ+9，（a ∈R ），求ｆ（ｘ）的单调减区间.解析依题意得圳ｆ′（ｘ）=a ｘ2-（a +1）ｘ+1＜0圳（a ｘ-1）（ｘ-1）＜0.（1）当a ＝0时，原不等式解为ｘ＞1；（2）当a ≠0时，原不等式化为a （ｘ-1）（ｘ-１a ）＜0.①若a ＜0，则原不等式化为（ｘ-1）（ｘ-１a ）＞0，易知１a ＜1，∴不等式的解为ｘ＜１a 或ｘ＞1.②若a ＞0，则原不等式化为（ｘ-1）（ｘ-１a ）＜0，（ⅰ）当a ＞1时，１a ＜1，不等式解为１a ＜ｘ＜1；（ⅱ）当a ＝1时，１a ＝1，不等式解为ｘ∈覫；（ⅲ）当0＜a ＜1时，１a ＞1，不等式解为1＜x ＜１a.综上所述：当a ＜0时，减区间为（-∞，１a ），（1，+∞）；当a ＝0时，减区间为（1，+∞）；当0＜a ＜1时，减区间为（1，１a ）；当a ＝1时，无减区间；当a ＞1时，减区间为（１a，1）.点评此题为典型的一元二次不等式的基本解法，涉及到要讨论的情形比较复杂；必须先讨论二次项系数是否为＞0，＝0，＜0．三种情形，然后再每种条件下单独讨论根的大小，并结合二次函数图象性质得出解集，此类题应注重分类的原则、方法与技巧，做到分类对象确定、标准统一、不重复不遗漏、分层次.例8已知函数ｆ（ｘ）＝x 3，x ＞0，-x ，x ＜0!.若函数g （ｘ）＝ｆ（ｘ）-kx 2-2x （k ∈R ）恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.（-∞，-１2）∪（22姨，+∞）B.（-∞，-１2）∪（0，22姨）C.（-∞，0）∪（0，22姨）D.（-∞，0）∪（22姨，+∞）解析注意到g （0）＝0，所以要使g （ｘ）恰有4个零点，只需方程kx-2＝f （ｘ）x 恰有3个实根即可，令h （ｘ）＝f （ｘ）x ，即y ＝kx-2与h （ｘ）＝f （ｘ）x 的图像有3个不同交点.因为h （ｘ）＝f （ｘ）x ＝x 2，x ＞01，x ＜＜当k ＝0时，此时y ＝2，如图1，y ＝2与h （ｘ）＝f （ｘ）x 有1个不同交点，不满足题意；当k ＜0时，如图2，此时y ＝kx -2与h （ｘ）＝f （ｘ）x恒有3个不同交点，满足题意；当k ＞0时，如图3，当y ＝kx -2与y ＝x 2相切时，联立方程GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG图1yy ＝h （ｘ）y ＝2ｘO得x 2-kx +2＝0，令△＝0得k 2-8＝0，解得k ＝22姨（负值舍去），所以k ＞22姨.综上，k 的取值范围为（-∞，0）∪（22姨，+∞）.故选：D.点评本题考查函数与方程，数形结合，转化与化归，分类讨论等思想方法的综合应用，是一道中档题.此题等价转化后需要对变量进行合理的分类，最后再整合得出答案.（5）根据几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论如两直线的位置关系、直线和圆锥曲线的位置关系、点和圆的位置关系、圆和圆的位置关系，立体几何中的建系多样性等等例9设k ∈R ，问方程（8-k ）x 2+（k-4）y 2＝（8-k ）（k-4）表示什么曲线？解析（1）当k ＝4时，方程变为x=0，表示直线（y 轴）；（2）当k ＝8时，方程变为y=0，表示直线（x 轴）；（3）当k ≠4且k ≠8时，方程化为x 2k-4+y 28-k＝1，（ⅰ）若k ＜4时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线；（ⅱ）若4＜k ＜6时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；（ⅲ）若k ＝6时，方程表示圆心在原点的圆；（ⅳ）若6＜k ＜8时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；（ⅴ）若k ＞8时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线.点评此题为二元二次方程的分类讨论问题，基本涵盖了所学的圆锥曲线知识概念，是一道开放式，复杂多样的分类讨论难题，需注意讨论避免漏解，要考虑全面到位．例10若双曲线x 2-y 24＝1与直线y ＝kx -1有且仅有一个公共点，则这样的直线有几条（）A.1B.2C.3D.4解析把直线方程y ＝kx -1代入双曲线的方程可得4x 2-（kx -1）2＝4，整理得（4-k 2）x 2+2kx -5＝0，（*）（1）若4-k 2＝0，得k ＝±2，（*）式只有一个解，则双曲线与直线有且仅有一个公共点；（2）若4-k 2≠0，由△＝4k 2+20（4-k 2）＝80-16k 2＝0，解得k ＝±5姨.综上，当k ＝±5姨，k ＝±2时，直线与双曲线有一个公共点，故有4条直线符合题意.点评此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，是高考的重要考点与热点.通常联立直线与曲线方程，转化到一元二次方程实数解的问题，但不能想当然的默认一定为一元二次方程，需要对二次项系数是否为0进行讨论，再来讨论“△”的三种情形，避免漏解．（6）根据实际问题的具体情况进行分类讨论如排列、组合问题，概率与统计的实际应用题等．例11用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A ．48B ．36C ．28D ．12解析根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：（1）0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A 33=6种情况；故0被奇数夹在中间时，有2A 33=12种情况；（2）2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、2、3看成一个整体，与0、4全排列，有A 33=6种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；（3）4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.点评本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想，尽量做到不重不漏．对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素.例12某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人负责英语导游，另外3人负责日语导游，则不同的选择方法有_______种解析在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游.英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可.第一种情况：没有会双语的人加入英语导游队伍，则英语导游选择数为C 33，日语导游从剩下6个人中选择，有C 36中，从而N 0＝C 33·C 36，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得N 1＝（C 14C 23）·C 35，依次类推，第三种情况.两个会双语的加入英语导游队伍，则N 2＝（C 24·C 13）·C 34，第四种情况，英语导游均为会双语的.则N 3＝C 34·C 33，综上所述，不同的选择方法总数为S ＝C 33·C 36+（C 14C 23）·C 35+（C 24·C 13）·C 34+C 34·C 33＝216（种）.图2O2ky ＝h （ｘ）y2y ＝kx -2x图32ky2y ＝h （ｘ）y ＝kx -2xO阅读理解中的推断题对不少考生来说是一个难点。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用在高中数学的学习中，分类讨论思想是一种非常重要的解题方法，它可以帮助学生将复杂的问题分解成若干简单的部分，从而更容易地求解问题。
本文将从数学解题的角度，探讨分类讨论思想在高中数学中的应用，并通过具体的例子展示其解题的方法和技巧。
我们来看一道平面几何的例题：已知三角形ABC中AB=AC，D是AB的中点，E是AC上一点，使得AE=2EC。
连接DE并延长交BC于F，求证：EF∥AB。
这道题就可以通过分类讨论思想来解决。
我们可以将题目所给的条件进行分类讨论，分为AB=AC和AB≠AC两种情况。
对于AB=AC的情况，通过连接DE并延长交BC于F后，容易得到EF∥AB；对于AB≠AC的情况，同样可以通过连接DE并延长交BC于F后，容易得到EF∥AB。
通过分类讨论思想，我们可以很容易地证明EF∥AB。
接下来，我们来看一个代数题：已知函数f(x)=x^2+2ax+3a+1，若f(x)的值域为[4,∞)，求实数a的取值范围。
这道题同样可以通过分类讨论思想来解决。
我们可以通过对函数f(x)进行分类讨论，将其划分为两种情况：当a>0时，f(x)的最小值为3a+1，最小值不小于4，得到a≥1/2；当a≤0时，f(x)的最小值为3a+1，最小值不小于4，得到a≤-1。
通过分类讨论思想，我们可以得到实数a的取值范围为a≤-1或a≥1/2。
要善于对问题进行分类。
在解题过程中，要根据问题的特点和条件，合理地对问题进行分类，将其分解成若干简单的部分。
要善于发现问题的隐含条件。
有些问题可能存在隐含的条件，通过对问题进行分类讨论，可以更容易地发现这些隐含条件，并利用它们来求解问题。
要善于综合利用分类讨论的结果。
在对问题进行分类讨论后，得到若干不同的情况，需要善于综合利用这些情况的结果，从而得到问题的最终解答。
分类讨论思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
通过对问题进行分类讨论，可以将复杂的问题分解成若干简单的部分，从而更容易地求解问题。
分类讨论 在高考中的运用PPT文档共31页
7下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
分类讨论 在高考中的运用
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
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分类讨论数学思想方法在高考试题中应用的研究
目录摘要.....................................................................第一章前言...............................................................1.1 研究背景..........................................................1.2 研究目的及意义....................................................第二章数学思想方法及分类讨论.............................................2.1 数学思想方法的内容与意义..........................................2.2 分类讨论内容与分类原则............................................2.3 分类讨论在高考数学解题中的应用....................................第三章分类讨论适用题型及意义.............................................3.1 适合应用分类讨论的数学题型........................................3.2 应用分类讨论的优点与意义..........................................第四章针对高考分类讨论思想的教学研究.....................................4.1 高中数学教学现状..................................................4.2 课堂教学中如何应用分类讨论........................................4.3 教学中应用此方法的意义与价值......................................第五章结语...............................................................5.1 课题研究的结论和存在的问题........................................参考文献..................................................................摘要数学是一门抽象性学科，比较考验人们的逻辑思维及其创造性分析能力，而且数学思维发散的过程是极具趣味性的，通过对数字、空间、结构等符号信息的观察，转化为大脑认知结构中已有的知识符号，进而对其解读，形成新的思维认知。
分类讨论思想方法在解答高考试题中的应用-推荐下载
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函数问题历来是高考数学试卷中的“重头戏”，常常以此为问题情境考查分类讨论的 思想方法和数形结合思想方法，所以，同学们应该加强这方面解题训练．
例 3（南昌市 08 年高三年级调研测试卷第 22 题）：（1）已知函数
f (x) 1 x 1 x ．
（1）求函数 f (x) 的值域；
（2）设 F (x) m 1 x2 f (x) ，记 F (x) 的最大值为 g(m) ，求 g(m) 的表达式； （3）在（2）的条件下，试求满足不等式 g(m) (9 )m 的实数 m 的取值范围.
当 k 0 时，函数 F (x) 在1, 上是减函数；
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高考中分类讨论思想的应用
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３高考中分类讨论思想的应用高考中分类讨论思想的应用Һ万㊀丽㊀（江苏省张家港中等专业学校，江苏㊀张家港㊀２１５６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ结合实例，就分类讨论思想在相关知识点㊁题型中的应用加以剖析，总结解题规律，剖析分类讨论思想的应用技巧与策略，引领并指导数学教学与复习备考．ʌ关键词ɔ分类讨论；函数；数列；圆锥曲线；导数；创新分类讨论思想是历年高考中的重点与热点问题之一，作为一种基本逻辑思想方法，在函数㊁数列㊁圆锥曲线㊁导数以及创新等问题中，经常用到分类讨论思想来分析与处理，有效简化问题的研究对象，分门别类，帮助我们有条理㊁有逻辑地解决问题．一㊁函数中的分类讨论思想由于函数的自变量㊁函数值㊁函数图像等具有一定的条件限制，在解决一些高考函数问题时，经常利用分类讨论思想来处理，在高考试题中占有重要的位置．特别在解决一些定义域不连续㊁参数取值有限制㊁分段函数以及含参函数等问题时，经常离不开分类讨论思想的应用．例１㊀（２０１８年高考数学全国卷Ⅰ文科第１２题）设函数ｆ（ｘ）＝２－ｘ，ｘɤ０１，ｘ＞０{，则满足ｆ（ｘ＋１）＜ｆ（２ｘ）的ｘ的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．（－ɕ，－１］Ｂ．（０，＋ɕ）Ｃ．（－１，０）Ｄ．（－ɕ，０）分析㊀结合题目条件中分段函数中的定义域条件，通过对ｘɤ－１，－１＜ｘ＜０，ｘȡ０的不同情况进行分类讨论，在不同条件背景下，合理构建对应的不等式，通过不等式的求解以及解集的运算来分析与处理．解析㊀根据分段函数，当ｘ＋１ɤ０时，即２ｘɤ－２，此时ｆ（ｘ）＝２－ｘ是定义域上的减函数，结合不等式ｆ（ｘ＋１）＜ｆ（２ｘ）可得ｘ＋１＞２ｘ，解得ｘ＜１，此时有ｘɤ－１；当０＜ｘ＋１＜１，即２ｘ＜０，此时条件中的不等式ｆ（ｘ＋１）＝１＜ｆ（２ｘ）成立；当ｘȡ０时，此时条件中的不等式ｆ（ｘ＋１）＜ｆ（２ｘ）不成立；综上分析，可知ｘ＜０，故选择答案Ｄ．点评㊀函数问题中的分类讨论思想，一直是高考中分类讨论思想的主阵地．涉及含有绝对值的函数问题，往往要根据绝对值取值情况来分类讨论；涉及分段函数的问题，往往要根据自变量的取值情况来分类讨论；涉及含参的函数问题，往往要根据参数的取值情况加以分类讨论等．二㊁数列中的分类讨论思想数列中的参数值㊁公式等具有一定的条件限制，特别项数还有奇偶之分以及整数要求，在具体解决问题时，经常要借助分类讨论思想，对项数㊁项㊁通项公式与前ｎ项和公式以及对应的参数取值等情况加以合理的分类讨论，实现问题的转化与应用．例２㊀（２０２２年广东一模第８题）已知正项数列｛ａｎ｝满足ａｎ＝ｎ１ｎ（ｎɪＮ∗），当ａｎ最大时，ｎ的值为（㊀㊀）．Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５分析㊀对于给定数值所对应的数列的项问题，特别是选项中给出的数值不是太大，直接比较大小也是一种非常不错的思维方式．利用不同数列的项之间的关系，通过分类讨论，借助同开方背景下的底数大小来合理比较即可达到目的．解析㊀结合各选项中的参数值，可知ａ２＝２，ａ３＝３３，ａ４＝４４＝２，ａ５＝５５，而ａ２＝２＝６２３＝６８，ａ３＝３３＝６３２＝６９，则知ａ２＝ａ４＜ａ３，又ａ３＝３３＝１５３５＝１５２４３，ａ５＝５５＝１５５３＝１５１２５，则知ａ３＞ａ５．所以当ｎ＝３时，ａｎ取得最大值为３３，故选择答案Ｂ．点评㊀常规方法是通过构建对应的函数，利用函数的单调性来分析与应用．而借助大小比较法，通过不同项取值情况的变形与转化，分类讨论，也是一种非常不错且有效的解决方法．当然对于数值比较大，直接计算有一定难度或根本就无法计算时，这样的操作方式不可取．在高考数列问题的求解中，我们要有意识地应用分类讨论的数学思想方法去分析问题㊁解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光．三㊁解三角形中的分类讨论思想解三角形问题中，分类讨论的思想主要用来确定三角形的边或角不同情况下三角形的成立问题．通过分类讨论，可以考查满足条件的不同三角形问题下的边或角的相关问题．例３㊀（２０２１年云南模拟）设ＯＡң，ＯＢң为不共线的非零向量，且ＯＣң＝１１＋λＯＡң＋λ１＋λＯＢң．定义点集Ｍ＝｛Ｐ｜ＰＡң㊃ＰＣңＰＡң＝ＰＢң㊃ＰＣңＰＢң｝．当Ｐ１，Ｐ２ɪＭ，且不在直线ＡＢ上时，若对任意的λȡ２，不等式｜Ｐ１Ｐ２ң｜ɤｍ｜ＡＢң｜恒成立，则实数ｍ的最小值是．分析㊀根据题目条件，由ＯＣң＝１１＋λＯＡң＋λ１＋λＯＢң，可得Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，结合点Ｐ与直线ＡＢ的位置关系加以分类讨论，再由向量的数量积中投影的几何意义可得ＰＣ为øＡＰＢ的角平分线，利用三角形的角平分线定理可得ＰＡＰＢ＝ＣＡＣＢ＝λ，All Rights Reserved.㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３可得的Ｐ的轨迹为阿波罗尼斯圆，求得圆的直径与ＡＢ的关系，即可得出答案．解析㊀由ＯＣң＝１１＋λＯＡң＋λ１＋λＯＢң，知１１＋λ＋λ１＋λ＝１＋λ１＋λ＝１，可得Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，当点Ｐ不在直线ＡＢ上时，由ＰＡң㊃ＰＣңＰＡң＝ＰＢң㊃ＰＣңＰＢң，可得｜ＰＣң｜ｃｏｓøＡＰＣ＝｜ＰＣң｜ｃｏｓøＢＰＣ，即有øＡＰＣ＝øＢＰＣ，则ＰＣ为øＡＰＢ的角平分线，由三角形的角平分线定理可得ＰＡＰＢ＝ＣＡＣＢ＝λ，以ＡＢ所在直线为ｘ轴，以线段ＡＢ的中垂线为ｙ轴，建立平面直角坐标系，设ＡＢ＝２ａ（ａ＞０），Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０），设Ｐ（ｘ，ｙ），则ＰＡＰＢ()２＝（ｘ＋ａ）２＋ｙ２（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝λ２，整理可得ｘ－ａ（λ２＋１）λ２－１æèçöø÷２＋ｙ２＝２λａλ２－１æèçöø÷２，所以点Ｐ的轨迹是圆心为ａ（λ２＋１）λ２－１，０æèçöø÷，半径为２λａλ２－１的圆，因为点Ｐ不在直线ＢＡ上，所以不包括ｘ轴上的点，㊀图１所以｜Ｐ１Ｐ２ң｜ɤ４λａλ２－１，而不等式｜Ｐ１Ｐ２ң｜ɤｍ｜ＡＢң｜恒成立，则有４λａλ２－１ɤ２ｍａ，即ｍȡ２λλ２－１＝２λ－１λ恒成立，设函数ｆ（λ）＝２λ－１λ（λȡ２），则函数ｆ（λ）在［２，＋ɕ）上单调递减，所以ｆ（λ）的最大值为ｆ（２）＝４３，所以ｍȡ４３，所以ｍ的最小值为４３．点评㊀在解三角形问题中，由于点㊁线㊁角等位置关系的变化与几何图形的直观性，往往需要根据条件加以合理的分类讨论，讨论在不同场景下解三角形的条件㊁公式与应用，直观流畅．同时要注意解三角形的过程中，还要根据分类讨论所产生的不同情况进行合理的批判性思考，以修正答案的真假．四㊁导数中的分类讨论思想在解决一些含参的函数与导数应用问题中，分类讨论思想是离不开的一种基本思想方法，借助分类讨论思想来解决单调性㊁参数值㊁极值与最值㊁恒成立㊁不等式等一些相关问题，主要是借助参数的合理分类讨论来展开与分析．例４㊀（２０１９年高考数学全国卷Ⅰ文科第２０题）已知函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ－ｘ，ｆᶄ（ｘ）为ｆ（ｘ）的导数．（Ⅰ）证明：ｆᶄ（ｘ）在区间（０，π）存在唯一零点；（Ⅱ）若ｘɪ［０，π］时，ｆ（ｘ）ȡａｘ，求ａ的取值范围．分析㊀（Ⅰ）通过求导，构建函数再求导，利用导函数的正负取值情况确定单调性，结合最值并根据零点存在性定理来证明零点的唯一性；（Ⅱ）通过不等式的转化以及函数的构造，对参数进行分类讨论，并结合函数的单调性来确定不等式是否成立，从而确定参数ａ的取值范围．解析㊀（Ⅰ）由题意得ｆᶄ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ－［ｃｏｓｘ＋ｘ（－ｓｉｎｘ）］－１＝ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ－１，设ｇ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ－１，则有ｇᶄ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ，当ｘɪ０，π２(]时，ｇᶄ（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增；当ｘɪπ２，π()时，ｇᶄ（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减，则知ｇ（ｘ）的最大值为ｇπ２()＝π２－１＞０，又ｇ（０）＝０，ｇ（π）＝－２，可得ｇπ２()㊃ｇ（π）＜０，即ｆᶄπ２()㊃ｆᶄ（π）＜０，所以根据零点存在性定理，可知ｆᶄ（ｘ）在区间（０，π）存在唯一零点．（Ⅱ）若ｘɪ［０，π］时，ｆ（ｘ）ȡａｘ，即ｆ（ｘ）－ａｘȡ０恒成立，设函数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａｘ＝２ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ－（ａ＋１）ｘ，则ｈᶄ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ－１－ａ，ｈᵡ（ｘ）＝ｘｃｏｓｘ＝ｇᶄ（ｘ），由（Ⅰ）知，ｈᶄ（ｘ）在区间０，π２()单调递增，在区间π２，π()单调递减．又ｈᶄ（０）＝－ａ，ｈᶄπ２()＝π２－１－ａ，ｈᶄ（π）＝－２－ａ，则知ｈᶄ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈᶄ（π）＝－２－ａ，ｈᶄ（ｘ）ｍａｘ＝ｈᶄπ２()＝π２－１－ａ．①当ａɤ－２时，ｈᶄ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈᶄ（π）＝－２－ａȡ０，即ｈᶄ（ｘ）ȡ０在区间［０，π］上恒成立，则知ｈ（ｘ）在区间［０，π］单调递增，则有ｈ（ｘ）ȡｈ（０）＝０，即ｆ（ｘ）－ａｘȡ０，此时ｆ（ｘ）ȡａｘ恒成立；②当－２＜ａɤ０时，ｈᶄ（０）＝－ａȡ０，ｈᶄπ２()＝π２－１－ａ＞０，ｈᶄ（π）＝－２－ａ＜０，则存在ｘ１ɪπ２，π()，使得ｈᶄ（ｘ１）＝０，所以ｈ（ｘ）在［０，ｘ１）单调递增，在（ｘ１，π］单调递减．又ｈ（０）＝０，ｈ（π）＝－ａπȡ０，则知ｈ（ｘ）ȡ０在区间［０，π］上恒成立，即ｆ（ｘ）ȡａｘ恒成立；All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １３③当０＜ａ＜π２－１时，ｈᶄ（０）＝－ａ＜０，ｈᶄπ２()＝π２－１－ａ＞０，则存在ｘ２ɪ０，π２()，使得ｈᶄ（ｘ２）＝０，所以ｈ（ｘ）在［０，ｘ２）单调递减，在ｘ２，π２()单调递增．则知ｘɪ［０，ｘ２）时，ｈ（ｘ）＜ｈ（０）＝０，可知ｆ（ｘ）ȡａｘ不恒成立；④当ａȡπ２－１时，ｈᶄ（ｘ）ｍａｘ＝ｈᶄπ２()＝π２－１－ａɤ０，所以ｈ（ｘ）在０，π２()单调递减，则知ｈ（ｘ）＜ｈ（０）＝０，可知ｆ（ｘ）ȡａｘ不恒成立；综上分析，可知ａ的取值范围是（－ɕ，０］．点评㊀在利用导数解决函数的单调性㊁极值或最值等问题时，特别是涉及参数问题，往往都离不开分类讨论思想．这里要注意参数的取值范围的界定以及合理的分类标准，在不同取值标准下，结合导函数㊁原函数的取值情况等加以全面㊁系统的分类讨论与分析，也是历年高考中都离不开的一个重要思想方法与考查热点内容．五㊁创新性中的分类讨论思想创新问题中，借助现有的概念㊁运算法则和运算律等的基础上定义一种新的概念㊁运算㊁规则㊁性质等的问题，经常要利用创新实质加以分类讨论．特别涉及参数㊁关系式㊁不同定义要素之间等，要加以分类讨论，综合应用．㊀图２例５㊀（２０２２届江苏省常熟市高三（上）阶段性抽测（二）（２０２１年１２月）第１１题）（多选题）网络流行语 内卷 ，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象．数学中的螺旋线可以形象地展示 内卷 这个词．螺旋线这个词来源于希腊文，原意是 旋卷 或 缠卷 ，如图２所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷型的图案，它的画法是：正方形ＡＢＣＤ的边长为４，取正方形ＡＢＣＤ各边的四等分点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，作第二个正方形ＥＦＧＨ，然后再取正方形ＥＦＧＨ各边的四等分点Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ，作第三个正方形ＭＮＰＱ，按此方法继续下去，就可以得到图２．设正方形ＡＢＣＤ的边长为ａ１，后续各正方形的边长依次为ａ２，ａ３， ，ａｎ， ；如图２所示的阴影部分，设直角三角形ＡＥＨ面积为ｂ１，后续各直角三角形面积依次为ｂ２，ｂ３， ，ｂｎ， ．下列说法正确的是（㊀㊀）．Ａ．正方形ＭＮＰＱ的面积为２５１６Ｂ．ａｎ＝４ˑ１０４æèçöø÷ｎ－１Ｃ．使不等式ｂｎ＞１４成立的正整数ｎ的最大值为４Ｄ．数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＜４分析㊀以创新情境来创设背景，结合平面几何图形与等比数列来合理交汇，借助各不同选项的情况，利用分类讨论思想，结合多选题的创设情境，合理分类讨论，巧妙正确判断各选项的真假情况．解析㊀设第ｎ个正方形的边长为ａｎ，第ｎ＋１个正方形的边长为ａｎ＋１，则有ａｎ＋１＝１０４ａｎ，则知数列｛ａｎ｝是以ａ１＝４为首项，以ｑ＝１０４为公比的等比数列，可得ａｎ＝４ˑ１０４æèçöø÷ｎ－１，选项Ｂ正确；而ａ３＝４ˑ１０４æèçöø÷２＝５２，则正方形ＭＮＰＱ的面积为２５４，选项Ａ错误；又ｂｎ＝３３２ａｎ２＝３３２ˑ１６ˑ５８()ｎ－１＝３２ˑ５８()ｎ－１，可得ｂ１＝３２，ｂ２＝１５１６，ｂ３＝７５１２８，ｂ４＝３７５１０２４＞２５６１０２４＝１４，ｂ５＝１８７５８１９２＜２０４８８１９２＝１４，则知不等式ｂｎ＞１４成立的正整数ｎ的最大值为４，选项Ｃ正确；结合ｂｎ＝３２ˑ５８()ｎ－１，可得数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝３２１－５８()ｎ[]１－５８＝４１－５８()ｎ[]＜４，选项Ｄ正确；故选择答案Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ．点评㊀此题是一道涉及创新场景㊁平面几何与数列的 新定义 问题，充分体现思维的创新性．以多选题为创新类型，从不同视角展开，巧妙通过参数的分类讨论，合理结合等比数列的概念㊁通项公式㊁求和公式以及相关的应用来展开，在考查数学基础知识的同时，也考查各方面的思想方法与数学能力．分类讨论思想在其他一些数学基础知识层面也是经常碰到的，关键就是抓住条件中相关的参数等方面的信息，合理制订分类标准，逐个分析与解决，巧妙实现 化整为零，各个击破，再积零为整 的数学策略，完美转化，巧妙解决．ʌ参考文献ɔ［１］陆琴．巧用分类讨论，妙拓数学思维［Ｊ］．中学数学，２０２２（１）：４６－４７．［２］童旗军．借助分类讨论，提升数学思维［Ｊ］．中学数学，２０２１（１３）：６４－６５．All Rights Reserved.。