2014年四川绵阳南山中学自主招生数学试题及答案

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2014-2015学年四川省绵阳市南山中学高二(下)期初数学试卷(文科)

2014-2015学年四川省绵阳市南山中学高二（下）期初数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.若直线l1：2x+3y-1=0与直线l2：4x-my+2=0互相垂直，则m的值是（）A.m=1B.m=2C.m=D.m=【答案】C【解析】解：∵直线l1：2x+3y-1=0与直线l2：4x-my+2=0互相垂直，∴2×4+3（-m）=0，解得m=故选：C由垂直关系易得2×4+3（-m）=0，解方程可得．本题考查直线的一般式方程与垂直关系，属基础题．2.在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为ρ=3cosθ，θ∈[0，]，表示的曲线为（）A.圆B.直线C.半圆D.线段【答案】C【解析】解：∵曲线的极坐标方程为ρ=3cosθ，θ∈[0，]，∴ρ2=3ρcosθ，θ∈[0，]，∴x2+y2=3x，x≥0，y≥0，∴，x≥0，y≥0，故曲线表示的一个半圆，故选：C由已知中曲线的极坐标方程为ρ=3cosθ，θ∈[0，]，化为普通方程，可判断曲线的形状．本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，熟练掌握极坐标方程与普通方程的互化方法是解答的关键．3.如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是（）A.面试成绩的中位数为83B.面试成绩的平均分为84C.总成绩的众数为173D.总成绩的方差与面试成绩的方差都是19【答案】C【解析】解：由题意，根据茎叶图，得；6位评委为某考生打出的分数从小到大依次是78，83，83，85，90，91．面试分数的众数为83，所以总成绩的众数为173，故选：C．根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出众数即可．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数的应用问题，是基础题．4.曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】D【解析】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．5.已知20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下图所示．则成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数分别为（）A.2，3B.2，4C.3，2 D.4，2【答案】A【解析】解：根据频率分布直方图，得；（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=0.005；∴成绩落在[50，60）内的频率为2a×10=0.1，所求的学生人数为20×0.1=2；成绩落在[60，70）内的频率为3a×10=0.15，所求的学生人数为20×0.15=3．故选：A．根据频率和为1，求出a的值，再利用频率=频数，计算所求的学生人数即可．样本容量本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．6.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A.3个都是正品B.至少有1个是次品C.3个都是次品D.至少有1个是正品【答案】D【解析】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．7.直线y=kx+1与圆x2+y2-2y=0的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.取决于k的值【答案】A【解析】解：圆x2+y2-2y=0即x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．8.执行如图所示的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A.45B.50C.55D.66【答案】C【解析】解：∵输入N的值为10，第一次执行循环体后：S=1，k=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=3，k=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=6，k=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=10，k=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=15，k=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=21，k=7，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=28，k=8，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=36，k=9，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=45，k=10，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=55，k=11，满足退出循环的条件；故输出的S值为：55，故选：C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.与直线x+2y+4=0垂直的抛物线y=x2的切线方程是（）A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0【答案】D【解析】解：设切点为（m，n），y=x2的导数为y′=2x，则切线的斜率为k=2m，由于切线与直线x+2y+4=0垂直，则k=2m=2，解得m=1，n=1，k=2，即有切线的方程为y-1=2（x-1），即为2x-y-1=0，故选：D．设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得切线的斜率，解得m=1，n=1，k=2，由点斜式方程即可得到切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线垂直的条件，正确求出导数和设出切点是解题的关键，属于基础题．10.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M，N两点，MN的中点为P，且OP的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），∴①，②，由题意M，N在椭圆上，可得，两式相减可得m（x1-x2）（x1+x2）+n（y1-y2）（y1+y2）=0③，把①②代入③整理可得，故选：A．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）由①，②及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用．二、填空题(本大题共5小题，共20.0分)11.在区间[-1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为______ ．【答案】【解析】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得-1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）=．故答案为：．本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[-1，2]的长度求比值即得．本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．12.在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是______ ．【答案】（-2，-1，-4）【解析】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，-y，-z），∴点（-2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（-2，-1，-4）．故答案为：（-2，-1，-4）．先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．13.根据如图的程序语句，当输入X的值为2时，输出结果为______【答案】6【解析】解：本程序语句对应的功能是求函数y=，，＞，则当x=2时，y=2×（2+1）=2×3=6，故答案为：6根据程序语句，结合条件结果进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件结果进行求解是解决本题的关键．14.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ______ ．【答案】2【解析】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．15.已知动圆M与圆O1：x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆O2：x2+y2-6x-91=0内切，曲线C为动圆圆心M的轨迹；则下列命题中：（1）动圆圆心M的轨迹方程是+=1；（2）若∠O1MO2=60°，则S=27；（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C没有公共点；（4）动点M（x，y），（y≠0）分别与两定点（-6，0），（6，0）连线的斜率之积为-，其中正确命题的序号是：______ ．【答案】（1）（4）【解析】解：对于（1）圆O1：x2+y2+6x+5=0，即（x+3）2+y2=4的圆心为（-3，0），半径为2；圆O2：x2+y2-6x-91=0，即（x-3）2+y2=4的圆心为（3，0），半径为10；设动圆圆心为M（x，y），半径为r；则|M01|=2+r，|MO2|=10-r；于是|M01|+|MO2|=12＞|O1O2|=6所以，动圆圆心M的轨迹是以O1（-3，0），O2（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．a=6，c=3，b2=a2-c2=27；所以M的轨迹方程为+=1．故（1）正确；对于（2）∵|M01|=2+r，|MO2|=10-r，|O1O2|=6，由余弦定理得，|O1O2|2=|M01|2+|MO2|2-2|M01|•|MO2|cos60°，∴36=（2+r）2+（10-r）2-2（2+r）（10-r）cos60°，解得r=4，∴|M01|=6，|MO2|=6，∴S=|M01|•|MO2|•sin60=9，故（2）不正确；对于（3）∵M的轨迹方程为+=1，b＜6，a=6，∴以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C有两个公共点，分别为（-6，0），（6，0），故（3）不正确；对于（4）动点M（x，y），（y≠0）分别与两定点（-6，0），（6，0）连线的斜率之积，为•===-=-，故（4）正确．故答案是：（1）（4）对于（1）求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．对于（2），利用余弦定理，求出r，再根据三角形的面积公式计算即可，对于（3），根据b＜6，a=6，得到以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C有两个公共点，对于（4），根据斜率公式，代入计算即可．本题主要圆和圆的位置关系，以及椭圆的定义和性质，余弦定理和正弦定理，属于中档题．三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)16.已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点A，（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程；（2）当点B（5，0）到l的距离最大值时，求直线l的方程．【答案】解：（1）由得A（2，1）…（1分）设直线：，则∴a=3，∴l：x+y-3=0…（4分）当a=0时，l：x-2y=0…（6分）∴l：x+y-3=0或x-2y=0（2）由题意：当l⊥AB时，B到l的距离最大∵…（8分）∴直线l的方程y=3x-5…（10分）【解析】（1）首先求出A的坐标，因为直线在坐标轴的截距相等，所以分别设截距为0和相等但是不为0解答；（2）由题意，得到AB⊥直线l，求出l的斜率，利用点斜式求方程．本题考查了直线方程的求法；采用了待定系数法求参数；属于基础题．现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【答案】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．【解析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．18.已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【答案】解：（1）由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，，，．由题意可得：．即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM的方程为，即x+3y-8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．【解析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．19.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段PQ是椭圆过点F2的弦，且，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则∵椭圆的离心率为，且椭圆经过点，，∴，，又a2=b2+c2，∴a2=4，b2=3，∴…（4分）（2）显然直线PQ不与x轴重合当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|=3，|F1F2|=2，；…（5分）当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：x=ky+1，k≠0代入椭圆C的标准方程，整理，得（3+4k2）y2+6ky-9=0，…（7分）令t=3+4k2，∴＞，，∵＜＜，由上，得，∴当直线PQ与x轴垂直时最大，且最大面积为3…（10分）设△PF1Q内切圆半径r，则S=4r≤3，即，此时直线PQ与x轴垂直，△PF1Q内切圆面积最大∴，…（12分）【解析】（1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率为，且椭圆经过点，，结合a2=b2+c2，求出a2=4，b2=3，从而可求椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，确定当直线PQ与x轴垂直时最大，进而可求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属于中档题．高中数学试卷第11页，共11页。

四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二下学期入学考试题数学文 Word版缺答案

绵阳南山中学高2016届2015年入学考试文科数学试题第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、若直线024:0132:21=+-=-+my x l y x l 与直线互相平行，则m 的值是（） A 1=m B 2=m C 6-=m D 43=m 2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为3cos ,[0,]2πρθθ=∈，表示的曲线为（）A 圆 B.直线 C.半圆 D.线段3、如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是( )A ．面试成绩的中位数为83B ．面试成绩的平均分为84C ．总成绩的众数为173D ．总成绩的方差与面试成绩的方差都是194．曲线092522=+y x 与曲线092522=-+-ky k x 的（）A 长轴长相等B 短轴长相等C 离心率相等D 焦距相等5、20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数（）A.2,3B.2,4C.3,2D.4,26、从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件( )A ．3个都是正品B ．至少有1个是次品C ．3个都是次品D ．至少有1个是正品7、直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k8、执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =( )A 45B 50C 55D 669、与直线042=++y x 垂直的抛物线2x y =的切线方程是（） A 012=--y x B 022=++y x C 012=+-y x D 012=-+y x10、椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为（）（A ）22（B ）322（C ）229 （D ）2732第II 卷（非选择题共60分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上。

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析

2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。

则x=-2/5.3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。

解析：用排除法。

不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。

所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。

4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。

在直角△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.5.在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是：①sinB<cosC；②sinA<XXX<2；④sinB+sinC<1.解析：A为钝角，则∠B+∠C<π/2.所以：①sinB<sin(π/2-∠C)=cosC；②sinA<sin(∠B+∠C)=XXX<sinB+sinC；③tanB+tanC=(sinB/cosB)+(sinC/cosC)<2；④sinB+sinC<1.故①②④正确。

四川绵阳南山中学高2014级文科数学高考模拟考试一(文数)

绵阳南山中学高2014级文科数学高考模拟试题（一）题卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1.已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A C B =(A){}|12x x << (B){}|0x x < (C){}|2x x > (D){}|01x x << 2.在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的(A )充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.若x =6π是=)(xf x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 (A) 4 (B) 6 (C) 2(D) 15.已知R b ∈，且41≤≤-b ，则事件“函数1)(2+-=bx x x f 有两个零点”的概率为(A)53 (B) 21 (C) 31 (D) 52 6.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 (A) 34 (B)1 (C)54 (D)747.如图，在半径为R 的圆C 中，已知弦AB 的长为5，则⋅=(A)25(B)225-(C)R 25(D) R 225- 8.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为(A)1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 20149.已知函数m x x e x f x-+-=)1()(2，若,,a b c R ∃∈，且a b c <<，使0)()()(===c f b f a f . 则实数m 的取值范围是(A))1,(-∞ (B))3,1(e(C)()31,e (D)),()1,(3+∞⋃-∞e 10.对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列}{n x 满足11x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++ 的值为(A)7549 ( B)7545 (C)7539 (D)7535二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷题中横线上．11.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos 2α= ．12.若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤+⎩，则z =x +3y 的最大值是 .13.在三棱锥D ABC -中，2AC BC CD ===，CD ⊥平面ABC, 90ACB ∠= . 若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为 .14.已知1,0=>>ab b a ，则22a ba b+-的最小值为 . 15.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意R x ∈，有()f x m x ≤，则称函数()f x 为F -函数.给出下列函数：①2()f x x =；②2()1xf x x =+；③()2x f x =； ④()sin 2f x x =. 其中是F -函数的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取n 份进行统计，得到右图所示的频率分布表：（1）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；（2）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加 “幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这n 人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间(80，90]的仅有1人被邀请的概率．CDBA俯视图17.（本题满分12分）在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn na b =，数列{}n b 前n 项和为n T ，比较n T 与2的大小．18.（本题满分12分）已知角C B A ,,为△ABC 的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，32=a ，且→m·→n ＝12．（1）若△ABC 的面积3=S ，求c b +的值；（2）求c b +的取值范围．19.（本题满分12分）已知CD 是正△ABC 的边AB 上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B ，如图所示. （1）试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=2，求棱锥E-DFC 的体积；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使BP ⊥DF ？如果存在，求出ACAP的值；如果不存在，请说明理由．A BCD ABCD EF20. (本题满分13分) 已知函数()ln bf x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a >. （1）求a 与b 满足的关系式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设函数22()3g x a x =+，若存在121,,22m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12|()()|9f m g m -<成立，求a 的取值范围．21. (本题满分14分)已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为0x =．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO = ，求22||||GA GB + 的取值范围；（3）若点P 满足PB PA =，求证222112||||||OA OB OP ++为定值.绵阳南山中学高2014级文科数学高考模拟试题（一）答案DBACD CBABA 257-；11；2；22；②④ 15.【解析】因为2()f x x x x x ==，所以()f x x x=，没有最大值，所以①不是F -函数.2()111f x x x =≤+，所以存在1m =，有()f x m x ≤成立，所以②是F -函数.③不是F -函数.因为()sin222f x x x x =≤=，所以此时存在2m =，所以④是F -函数，所以是F -函数的有②④.16．解析：20=n . （Ⅰ）频率分布表：频率分布直方图：………………………………6分（Ⅱ）记幸福指数评分值在（80，90]的3人分别是A 1，A 2，A 3，（90，100]的2人分别是B 1，B 2，则全部基本事件有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2）（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 2，A 3），（B 1，B 2）共10个， …………………9分其中幸福指数评分值在(80，90]区间有1人被邀请的基本事件有6个．故幸福指数评分值在(80，90]区间仅有1人被邀请的概率63105P ==． ……12分17解：（1）当n=1时，111==s a ; 当n 2≥时，()()n nn n n s s a n n n =--+=-=-21211。

[精品]2014年四川省绵阳市东辰国际学校自主招生考试数学试卷与参考答案

2014年四川省绵阳市东辰国际学校自主招生考试数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）若m个数的平均数x，另n个数的平均数y，则m+n个数的平均数是（） A． B． C． D． 2．（3分）已知sinα＜cosα，那么锐角α的取值范围是（） A．30°＜α＜45° B．0°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜90° 3．（3分）已知实数a满足|2008﹣a|+=a，那么a﹣20082值是（） A．2009 B．2008 C．2007 D．2006 4．（3分）不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（） A． B．a≤ C．≤a＜﹣1 D．a≥

5．（3分）若===t，则一次函数y=tx+t2的图象必定经过的象限是（） A．第一、二象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第三、四象限 6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，AB：AD=2：3，∠BAD=2∠ABC，则CF：FD的结果为（）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4 7．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）

A．m2 B．m2+1 C．2m2 D．（m+1）2 8．（3分）如图（甲），水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中 2

OA的长度为6cm，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图（乙）所示，则O点移动的距离为（）

A．20cm B．24cm C．10πcm D．30πcm 9．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．0 10．（3分）函数y=﹣ax+a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

绵阳南山中学(实验学校)自主招生考试数学试题及答案

2C ． ( －8, 4)或( 8, － 4) D. ( －2, 1)或( 2, －1) 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， AC=6 ， BC=8 ，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，点 D是斜边 AB 的中点，则 tan ∠ ODA 的值为（）C 保密★启用前绵阳南山中学 ( 实验学校 )2015 年自主招生考试试题3 3 A.B. O23BA数学本套试卷分试题卷和答题卷两部份 ,试题卷共 6 页,答题卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 .注意事项 :C. 3D.29. 若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x A. k1B.k 1 且 k 0 D1 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )C. k1D.k 1 且 k 01. 答卷前 ,考生务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上 ,并认真核对姓名与考号 ;10. 如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ， E 都在边 BC 上，∠ ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为 P ，若 BC=10，则 PQ 的长为（）。

2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其它答案标号 ,答在试题卷上无效 ;A. 32 B. 5A 2 3. 非选择题 (主观题 )用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上 ,答在试题卷上无效 .作图一律用 2B 铅笔或 0.5 毫米黑色签字笔 ;4. 考试结束后 ,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.C.3D.4PQBD E C（第 10 题）第 I 卷( 选择题, 共 36 分)11.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0,3），△ OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O ′A ′B一.选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分,共 36 分) 1.－ 4 的倒数是（） A ． 4B ．－ 4C ． 14D ．－ 14点 A 的对应点在直线 y 9A.43x 上一点，则点 B 与其对应点 B ′间的距离为（）4B. 3C. 4D. 52. 下列运算正确的是（） A . a 3a 32a3B . a3a3a6C . ( 2 x ) 36x 3D . a 6a2a 412．如图 12，抛物线 y ax bx+c(a 0) 过点（ 1，0）和点（ 0，-2），且顶点在第三象限，设 P= a b c ，则 P 的取值范围是（） .3.用科学记数法表示 0.000031 ，结果是（）A ． 3.1 ×10-4B ． 3.1 ×10-5C ． 0.31 ×10-5D ．31×10-6A ． - 4＜ P ＜0B ． - 4＜ P ＜ -2 a 2C ． - 2＜ P ＜ 0D ． - 1＜ P ＜04. 要使式子有意义，则 a 的取值范围为 ( )a二、填空题（每小题4 分，共 24 分）A. a2 B.a 2 C.a 2且a 0 D. a 213．分解因式： 4ax12ax 9 a ＝．图 1216 题图 5. 如图是由 5 个大小相同的正方体摆成的立方体图形 ,它的左视图是（）14：已知 22m -6m-1=0 求 2m 1 -6m+2 =.Cm2x m 15. 已知关于x 的方程3 的解是正数，则 m 的取值范围为：.x 1AOBAB C D16. 在平面直角坐标系中，点O 是原点，点 B （ 0， 3），17 题图6. 如图，已知直线AB ∥ CD ， C 125°，点 A 在第一象限且 AB ⊥BO ，点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线A 45°，那么 E 的大小为（） OM 对称，且则点 M 的坐标是 ( ，) ．A. 70°B. 80° 17．如图， AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8 ，点 C 为半圆上的一点．将此C.90°D. 100° 7. 在平面直角坐标系中，已知点 E( －4, 2)， F(－ 2, －2)，以原点 O 为位似中心，相似比为1 ，把△ EFO 缩小，则点 E 的对应点 E ′的坐标是（）2半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O ，则图中阴影部分的面积是（结果保留）．18.射线 QN 与等边△ ABC 的两边 AB ， BC 分别交于点 M ，N ，且 AC ∥ QN ，18 题A ． ( －2, 1)B. ( －8, 4)AM=MB=2cm ，QM=4cm 。

四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二数学下学期入学考试题理

绵阳南山中学高2016届高二下入学考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.）1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为3cos ,[0,]2πρθθ=∈，表示的曲线为（）A.半圆B.线段C.圆D.直线 2．在空间直角坐标系中，点()4,1,2-P 关于x 轴的对称点的坐标是（）A.()4,1,2---B. ()4,1,2--C.()4,1,2-D.()4,1,2- 3．如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是( )A ．面试成绩的中位数为83B ．面试成绩的平均分为84C ．总成绩的众数为173D ．总成绩的方差与面试成绩的方差都是194．已知20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下图所示．则成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数分别为（） A.2,3 B.2,4 C.3,2 D.4,2（4题图） 5．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）两点，若21x x +=6，则|AB|=（） A ．2B. 4C. 6D. 87．从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.238．执行如图的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =( )A ．10131211++++B ．11131211++++C ．123910112311211⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+D ．1231011112311211⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+9．已知命题:p 任意;44,0≥+>xx x 命题:q 存在12,00-=∈x R x .则下列判断正确的是（）（8题图） A.p 是假命题 B.q 是真命题C.)(q p ⌝∧是假命题D.)()(q p ⌝∨⌝是真命题10．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且为坐标原点）O BFO BAO (900=∠+∠，则椭圆的离心率e =（） A ．21B.215- C.213- D.23 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）11．若直线l310y --=倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为12．根据如图的程序语句，当输入X 的值为2时，输出结果为13．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是14.已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221(0)x y a a-=>交于,A B 两点，且F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则a =15．已知动圆M 与圆O 1：05622=+++x y x 外切，同时与圆O 2： 091622=--+x y x 内切，曲线C 为动圆圆心M 的轨迹；则下列命题中：(1)动圆圆心M 的轨迹方程是1273622=+y x ；(2)若01260O MO ∠=，则12o Mo S ∆=（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C 没有公共点；（4）动点(),,(0)M x y y ≠分别与两定点()()6,06,0-、连线的斜率之积为34-，其中正确命题的序号是： .三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自，，各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．17．已知直线l 经过直线1l ：2x ＋y －5＝0与2l ：x －2y ＝0的交点A ， (1)当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 的方程； (2)当点B (5,0)到l 的距离最大值时，求直线l 的方程．18．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程；（2）若（1）中过点A 作圆C 的切线，切点分别为F E 、,求弦EF 的长度.19．已知椭圆C 左、右焦点分别为21F F 、，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点3(1,)2；(1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点2F 的弦，且Q F PF 22λ=,求1PFQ ∆内切圆面积最大时实数λ的值.2016年3月绵阳南山中学高2016届高二下入学考试参考答案数学试题（理科）1-10: ＡＡＣＡＣＤＢＣＤＢ1116π14.5515.（1）（4）16．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.......................4分(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个.....................................................................................................7分每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个......8分所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415................................10分 17.解：（1）由⎩⎨⎧=-=-+02052y x y x 得)1,2(A ................1分设直线)0(1:≠=+a a y a x l ，则)0(112≠=+a aa 03:,3=-+∴=∴y x l a .............................4分当0=a 时，02:=-y x l .......................6分或03:=-+∴y x l 02=-y x （2）由题意：当AB l ⊥时，l B 到的距离最大331=∴-=k k AB .................8分53:-=∴x y l .................10分18.解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),.............1分∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x ..................2分显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,∴113232=++-k k .....................3分∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k ...............4分∴圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或01243=-+y x ......5分(2)由（1）知)3,3(131)2()3(322E y x y x y ∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+-=；...........6分 234:34-=∴=∴⊥x y FC k AF FC FC 直线 ...........8分)56,512(56512234 01243F y x x y y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧-==-+ ...............9分 510=∴EF ...........................10分 19.解：（1）分：椭圆分3134C 21321491 212222222 =+∴⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=y x c b a c b a b a a c (2)设1PFQ ∆内切圆半径为r ，1122(,),(,)P x y Q x y111112121212121()442112,,24PF Q PF Q S PF QF PQ ar r F F S F F y y y y r y y ∆∆=++====-=-∴=-.........5分设直线 :1PQ x ny =+代入13422=+y x 中得：,096)43(22=-++ny y n121222690,,3434n y y y y n n --∴∆>+==++...............6分12y y ∴-=分令212344,n t y y +=≥∴-=分 124,03t y y ≥∴<-≤当120,=3n PQ x y y =⊥-即轴时，，1PFQ ∆内切圆面积最大，122=∴=λλQ F PF .......................10分。

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保密 ★ 启用前(2012年10月12日) 绵阳南山中学高2014级高二上期10月月考数学试题(理科) 命题人：杨翮审题人：蔡晓军第Ⅰ卷（选择题，共48分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题(本大题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.不等式的解集为 2.方程表示一个圆则 3.空间直角坐标系中则的形状是正三角形等腰三角形直角三角形其他类型 4.如果、、、是任意实数则( ) 5.直线把圆的面积平分则它被这个圆截得的弦长为 6.不等式的解集为( ) 7.下列函数中的最小值等于的是( ) 8.直线与圆有公共点则斜率的取值范围是( ) 9.点在直线上、与圆分别相切于、两点则四边形的面积的最小值为( ) 10.设满足约束条件若目标函数的最大值为则的最小值为( ) 11.对于实数若则的最大值为( ) 12.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为则直线的倾斜角的取值范围是( ) 第Ⅱ卷（非选择题，共52分）注意事项： 1．用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上． 2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚．二、填空题(本大题共小题每小题分共分把答案直接填在答题卷中的横线上) 13.若的不等式的解集为则实数的取值范围是_____________ 14.两圆相交于两点和两圆圆心都在直线上则的值为_____________ 15.函数的最小值为_____________ 16.已知圆直线下面四个命题 ①对任意实数和直线和圆相切 ②对任意实数和直线和圆有公共点 ③对任意实数必存在实数使得直线和圆相切 ④对任意实数必存在实数使得直线和圆相切其中正确的命题有_____________ 三、解答题(本大题共小题每小题分共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.求与直线相切圆心在直线上且被轴截得的弦长为的圆的方程 18.某车间小组共人需配置两种型号的机器型机器需人操作每天耗电能生产出价值万元的产品型机器需人操作每天耗电能生产出价值万元的产品现每天供应车间的电能不多于问该车间小组应如何配置两种型号的机器才能使每天的产值最大最大值是多少 19.已知函数 (1)若不等式的解集为求实数的值 (2)在(1)的条件下若对一切实数恒成立求实数的取值范围 20.设、分别为不等边的重心与外心、且平行于轴 (1)求点的轨迹的方程 (2)是否存在直线过点并与曲线交于、两点且以为直径的圆过坐标原点若存在求出直线的方程若不存在请说明理由绵阳南山中学高2014级第三学期10月月考数学(理科)（第Ⅱ卷）答题卷题号17题18题19题20题总分得分(本大题共小题每小题分共分) .____________________ 14.___________________ 15.____________________ 16.___________________ 三、解答题(本大题共小题每小题分共分) .(本小题满分分)相切圆心在直线上且被轴截得的弦长为的圆的方程 18.(本小题满分分)人需配置两种型号的机器型机器需人操作每天耗电能生产出价值万元的产品型机器需人操作每天耗电能生产出价值万元的产品现每天供应车间的电能不多于问该车间小组应如何配置两种型号的机器才能使每天的产值最大最大值是多少 19.(本小题满分分) (1)若不等式的解集为求实数的值 (2)在(1)的条件下若对一切实数恒成立求实数的取值范围 20.(本小题满分分)、分别为不等边的重心与外心、且平行于轴 (1)求点的轨迹的方程 (2)是否存在直线过点并与曲线交于、两点且以为直径的圆过坐标原点若存在求出直线的方程若不存在请说明理由保密 ★ 启用前绵阳南山中学高2014级高二上期10月月考数学(理科)试题(答案) 一、选择题：(每小题4分，共48分) 1-5：CADCD 6-10：BCDBA 11-12：AB 二、填空题：(每小题3分，共12分) 13. 14. 15. 16.②④ 三、解答题：(每小题10分，共40分) 17.解：圆心在直线上设圆心的坐标为……………………………………………………………………2分圆心到直线的距离为…………………………………………4分圆与直线相切圆的半径…………………………………………………………………………6分圆被轴截得的弦长为由弦心距、弦长、半径之间的关系得…………………………8分所求圆的方程为或………10分 18.解：设需分配给车间小组型、型两种机器分别为台、台则即……………………………………………4分每天产值作出可行域(如图所示)………………………………………7分由得………………………………9分因此当配给车间小组型机器台型机器台时每天能得到最大产值万元………10分 19.解法一：(1)由得解得………………………1分又已知不等式的解集为所以解得…………………………………………………………4分 (2)当时设…………………………5分于是………………………………………7分所以当时当时当时综上可得的最小值为……………………………………………………………9分从而若即对一切实数恒成立则的取值范围为 ………………………………10 分解法二：(1)同解法一………………………………………………………………………4分 (2)当时设………………………………5分由(当且仅当时等号成立) 得的最小值为 …………………………………………9分从而若即对一切实数恒成立则的取值范围为 …………………………………………10分 20.解：(1)设则显然又设外心由得解得 .......................2分平行于轴整理得即点的轨迹的方程.........................4分 (2)假设存在直线满足题设条件的方程为代入得 ① 易验证设、则、是方程①的两个实根 ②....................................6分由题设得即整理得 ③ 将②代入③得解得...........................................................9分故存在直线使得以为直径的圆过原点......................10分班级________________姓名___________________考号____________________=============================密======================封===================线=======================================。

四川省绵阳南山中学高2016届2014年10月月考数学理科试题含答案

绵阳南山中学高2016届2014年10月月考数学试题(理科)命题人：李若虚审题人：王怀修一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线033:=-+y x l ，该直线的倾斜角为( )A.︒150B.︒120C.︒60D.︒302.在空间直角坐标系中，点()4,1,2-P 关于x 轴的对称点的坐标是( )A.()4,1,2--B.()4,1,2---C.()4,1,2-D.()4,1,2-3.已知()()0,1,0,121F F -是椭圆的两个焦点，过1F 的直线l 交椭圆于N M ,两点，若 N MF 2∆的周长为8，则椭圆方程为( ) A.1151622=+y x B.1151622=+x y C.13422=+x y D.13422=+y x 4.P,Q 分别为直线058601243=++=-+y x y x 与上任意一点，则PQ 的最小值为( ) A.59 B.518 C.1029 D.529 5.圆A:4)1()1(22=-+-y x ,圆B:9)2()2(22=-+-y x ，圆A 和圆B 的公切线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条6.过点()2,1P 且与原点O 的距离最大的直线l 的方程为( )A.042=-+y xB.052=-+y xC.073=-+y xD.053=-+y x7.直线01)1(012=++-=-+ay x a ay x 与平行，则a 等于( ) A.23 B.023或 C.0 D.02或- 8.已知圆9)3(:22=-+y x C ，过原点作圆C 的弦OP ，则OP 的中点Q 的轨迹方程为( ) A.)0(49)23(22≠=+-y y x B.49)23(22=+-y x C.)0(49)23(22≠=-+y y x D.49)23(22=-+y x 9.曲线4)2(412+-=-+=x k y x y 与直线有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125C.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 10.从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[]224,3b b ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛35,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11.经过点()2,3P ，且与直线052=-+y x 垂直的直线方程为_________________.12.已知P 是椭圆63222=+y x 上的点，则点P 到椭圆的一个焦点的最短距离为_______.13.060642222=-+=+-+x y x y x y x 和圆圆交于A,B 两点，则AB 的垂直平分线的方程为___________________.14.圆01:02:221=+-=+-+y x l y x y x C 关于直线对称的圆2C 的方程为_________.15.已知直线)0(4)1(:2≥=+-m m y m mx l 和圆01648:22=++-+y x y x C .有以下几个结论：①直线l 的倾斜角不是钝角；②直线l 必过第一、三、四象限；③直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧； ④直线l 与圆C 相交的最大弦长为554；其中正确的是________________.(写出所有正确说法的番号)三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知直线l 经过直线02:052:21=-=-+y x l y x l 与的交点，且点()0,5P 到直线l 的距离为3，求直线l 的方程.17.求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线0=-y x 截得的弦长为72的圆的方程．18.ABC ∆中()1,3-A ,AB 边上的中线CM 所在直线方程为059106=-+y x ,B ∠的平分线方程BT 为0104=+-y x .(1)求顶点B 的坐标；(2)求直线BC 的方程.19.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36，长轴长为32，直线2:+=kx y l 交椭圆于不同的B A ,两点.(1)求椭圆圆的方程；(2)O 是坐标原点，求AOB ∆面积的最大值.绵阳南山中学高2016届2014年10月月考数学试题(理科答案)一、选择题：1～5.ABDCC 6～10.BACDB二、填空题：11.012=+-y x 12.13- 13.093=--y x14.45)23()2(22=-++y x 15.①④ 三、解答题：16.解法一：由题知⎩⎨⎧-=-+y x y x 2052解得⎩⎨⎧==12y x ，即直线1l 与2l 的交点坐标为()1,2 --------------------------------------（2分）设直线l 的方程为021),2(1=-+--=-k y kx x k y 即.所以点()0,5A 到直线l 的距离312152=+-+=k kk d ,解得34=k ------------- （6分）所以直线l 的方程为0534=--y x ----------------------------------------------- -（7分）当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为2=x ,经验证满足题意.------------（9分）故直线l 的方程为053402=--=-y x x 或.-----------------------------------（10分）解法二：由题设直线l 的方程为0)2()52(=-+-+y x y x λ,即05)21()2(=--++y x λλ-------------------------------------------------------（3分）所以点()0,5A 到直线l 的距离为：3)21()2(5)2(522=-++-+=λλλd -----------（5分）整理可得02522=+-λλ，解得212==λλ或---------------------------------（8分）故直线l 的方程为053402=--=-y x x 或.------------------------------------（10分）17.解法一:设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心()b a ,到直线0=-y x 的距离为2ba --------------------------------------（2分）所以222)7()222(r E D =++-，即2r 2＝(a －b )2＋14-------① ----------（4分）由于所求的圆与x 轴相切，所以r 2＝b 2-----------② ----------------------（5分）又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上，则3a －b ＝0---------③ ---------（6分）联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9.--------------（8分）故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.-----------------（10分）解法二:设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D 42122-+ 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F--------------④ --------------------------（3分）又圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D 到直线0=-y x 的距离为222E D +- 由已知，得222)7()222(r E D =++-，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )------------⑤ ---------（5分）又圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D 在直线3x －y ＝0上，则3D －E ＝0------------⑥ --------（6分）联立④⑤⑥，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1.---------------（8分）故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，或x 2＋y 2＋2x ＋6y.---------------------（10分）18.解:(1)设()00,y x B ，则AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21,2300y x M 在直线CM 上. 0555305921102360000=-+=--⨯++⨯∴y x y x ，即-----------① 又点B 在直线BT 上，则010400=+-y x ------------------------------②由①②可得5,1000==y x ，即B 点的坐标为()5,10.--------------------------------（5分）(2)设点()1,3-A 关于直线BT 的对称点D 的坐标为()b a ,，则点D 在直线BC 上. 由题知⎪⎩⎪⎨⎧=+-⨯-+-=⨯-+0102142314131b a a b 得()⎩⎨⎧==7,1,71D b a 即--------------------------------（7分） 9210157-=--==BD BC K K ------------------------------------------------------------------（8分）所以直线BC 的方程为06592),10(925=-+--=-y x x y 即.-----------------（10分） 19.解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题知3=a ，36=a c ，解得2=c . 由123222=-=-=c a b 所求椭圆方程为1322=+y x ---------------（4分） (2)设()()2211,,,y x B y x A ，其坐标满足方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+21322kx y y x消去y 并整理得0912)31(22=+++kx x k , 1,03636)31(36)12(2222>>-=+-=∆∴k k k k 即221221319,3112k x x k k x x +=+-=+∴ ---------------（6分） 222222*********)31()1(363136)31(1444)()(k k k k k x x x x x x +-=+-+=-+=-∴.-------（7分）又原点到直线2:+=kx y l 的距离212k d +=AOB ∆∴的面积2122121212121x x kx x k d AB S -=+⨯-+⨯==令1,2>=t k t 则 24116)1(93616)1(24)1(9)1(36169)1(36)31()1(36)(2222212+-+-=+-+--=++-=+-=-=∴t t t t t t t t t t x x S )1(>t -----------------（8分）当且仅当43373491612max ====-S t t 时，即. 23321372的面积最大为时，即当AOB k k ∆±==∴. --------------（10分） ∴。

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绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷）第1 页共 12 页保密★启用前绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试

数学试题

本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号； 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效； 3．非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔； 4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．

第一卷（选择题，共36分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列计算正确的是（）

（A）236aaa （B）222()xyxy （C）3262()abab （D）23(0)aaaa

2．方程组2|1|423xxx的解是（）（A）－1 （B）3 （C）－1或3 （D）－5或3 3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（）（A）P区域（B）Q区域（C）M区域（D）N区域 4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（）

（D）（C）（B）（A）时间距学校的距离OO距学校的距离时间时间距学校的距离OO距学校的距离时间 ②①第3题图

MNQP 绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷）第2 页共 12 页

5．南山中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过C、D得票之和，候选人A、C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为（）（A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C

6．南山中学数学建模小组的同学们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：111112151012，他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若x、y、2 （x、y均为正整数）是一组调和数，则x、y的值（）（A）有一组（B）有两组（C）有三组（D）有无数组 7．如下图所示，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，cosEFD的值等于（）

（A）35 （B）45 （C）34 （D）74

第7题图FDE

CA 第8题图

FAB

CDE 8．如上图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且使得△AEF为等边三角形，则△AEF与梯形ABCF的面积之比为（）

（A）31 （B）32 （C）23 （D）423 9．已知函数xy，2xy和xy1在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论： ①如果21aaa，那么10a； ②如果aaa12，那么1a； ③如果aaa21，那么01a； ④如果aaa12时，那么1a．则其中正确结论的序号为（）（A）①④ （B）②③ （C）①②③ （D）①②④ 绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷）第3 页共 12 页

第9题图y=1x

y=xy=x2

第10题图入口

654321 10．上右图为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个出口中的一个．下列判断： ①六个出口的出水量相同； ②2号出口的出水量与5号出口的出水量相同； ③1，2，3号出水口的出水量之比约为1∶5∶10； ④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的16倍．其中，正确的判断个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 11．如下图所示，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，CD为∠C的内角平分线，若AD=2，则CD等于（）

（A）23 （B）3 （C）26 （D）6

第11题图BADC

第12题图EOCB

12．如上图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若AE=3，CD=25，则BC等于（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12 绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷）第4 页共 12 页

第二卷（非选择题，共114分）二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上） 13．按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个x”到“结果是否>10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则x的取值范围是___________．

第13题图是否输入

停止＞10-

2×3x

14．如下图所示，直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别平行，且ABCDS四边形=100,20EFGHS四边形，则PQRSS四边形=__________．

第14题图l4l3l

SQFG

PAD

CRB

第15题图

15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为________________． 16．小明每天下午5点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提前1小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了20分钟到家．则小明步行______________分钟遇到来接他的爸爸．

17．已知关于x的一元二次方程2222(1)0xaaxm对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是____________． 18．如右图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知60DAC，边CD上有一

点S，满足DSADSCAC．线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM．给出以下结论： ①SM//BD与SM//CL等价； ②若CMACMOAO，则点L在AD的延长线上；

③若13SMCL，则AD=DL； ④若SCMBCMSkS，则方程2310xkx无等根．其中，正确的结论有____________（填所有正确结论的序号）．第18题图

LDC

BA 绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷）第5 页共 12 页

三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题：

（1）计算：1106031()|sin301|(1)8(2014)3；（2）计算：22220141201320142014220144028+120152016． 20．（本小题满分12分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为27元和36元．某日，唐老板进A款式服装35件，B款式服装25件，怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？

21．（本小题满分12分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；（Ⅱ）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率P1；（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率为P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论．

22．（本小题满分12分）如右图所示，已知点A（4，0），点B在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数(1)kykx在

第四象限的图像只有一个公共点．又一次函数2yxk的图像与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形ABCD的面积最小时，求k的值及面积的最小值．

23．（本小题满分12分）如右图所示，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与边OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分．

（Ⅰ）若点11(0,)3M，求直线l的函数表达式；（Ⅱ）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分？若存在，求出M的坐标；否则，说明理由．

第22题图xyODCAB

第23题图ADB