高等文科数学第一节微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
高数上——微分方程的基本概念
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
四、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
(t 2 x)dt xdx 0,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
对于未知函数y及其导数都是一次的
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0; y xy, y 2 y 3 y e x ,
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y2z, dzcoskt ,
d2 dt
x
2
k
2C1
cos
kt
k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。
通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。
一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。
微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。
根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。
2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。
它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。
常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。
三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。
根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。
1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。
例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。
2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。
通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。
四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。
以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念教学目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，区分特解与通解。
教学重点：微分方程的概念 通解的概念教学难点：区分特解与通解教学时数：2教学内容：一、 两个引例例1：一条曲线过点()0,1，且在该曲线任意点(,)M x y 处的切线斜率都为2x ，求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为()y f x =根据题意和导数的几何意义，得2dy x dx= 且当0x =时，1y =。
例2：一质量为m 的物体只受重力作用由距地面h 米处开始下落，试求物体下落的运动方程。
解 ：设物体下落距离s 与时间t 的关系为 ()s s t =依题意和二阶导数的物理意义，得g td s d 22=（其中g 为重力加速度） 且当0t =时,0s =且0v =。
以上所列举两例的方程中，都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
二、基本概念定义 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。
定义 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
能使微分方程变成恒等式的函数，称为微分方程的解。
求微分方程解的过程叫做解微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
在通解中若使任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。
为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定条件，这些条件叫做初始条件。
例如，例1的初始条件记为01x y ==；例2的初始条件记为000,0t t ds s dt ==== 评注：⑴.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.⑵一般情况下，如果微分方程是一阶的，其初始条件是00x x y y ==；如果是二阶的，其初始条件是00x x y y ==，00x x y y =''=，其中0,0,0x y y '都是给定的值。
01第一节微分方程的基本概念
第六章微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.------ - 傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程 .通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学, 是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现 . 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题 . 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题 . 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型 .微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子 .分布图示★ 引言★ 微分方程的概念★例 1★ 微分方程解的概念★例 3★ 内容小结★习题 6-1★例 2★例 4内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程 . 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：F (x, y, y , y, y(n ) ) 0,(1.5)其中 x 为自变量，y y( x) 是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程y (n) f ( x, y, y ,, y( n 1) ).(1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设 (1.6)式右端的函数 f 在所讨论的范围内连续.如果方程 (1.6)可表为如下形式：y(n )a1 ( x) y (n 1)a n 1 (x) y a n (x) y g( x)(1.7)则称方程(1.7) 为n阶线性微分方程.其中a1 ( x), a2(x),, a n (x) 和g (x)均为自变量x 的已知函数 .不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性微分方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解 . 更确切地说，设函数y(x) 在区间 I上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上，有F ( x, ( x),( x),(x) ,( n ) ( x))0,则称函数 y(x) 为微分方程(1.5)在区间 I上的解 .二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解 . 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少 .许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件 . 例如，条件 (1.2)和 (1.4)分别是微分方程(1.1) 和 (1.3)的初始条件 .带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题 .微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线 .例题选讲微分方程的概念例 1（ E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却 . 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度 T 与时间t 的函数关系为T T (t ) ，则可建立起函数T (t ) 满足的微分方程dT(1)k(T 20)dt其中 k (k0) 为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.根据题意， T T(t) 还需满足条件T |t 0 100.(2)例 2（ E02）设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力 F 等于物体的质量m与物体运动的加速度成正比，即 F m ，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是 t 0 ，物体下落的距离x 与时间 t 的函数关系为x x(t) ，则可建立起函数x(t) 满足的微分方程d 2 xgdt 2其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型 .根据题意， x x(t ) 还需满足条件x(0) 0, dx0. dt t 0微分方程的解例 3（ E03）验证函数x C1 coskt C2sin kt 是微分方程d 2x k 2 x0(k0)dt 2的通解 ,并求该微分方程满足初值条件x |t0A, dx|t 0 0 的特解.dt解求出题设函数的一阶及二阶导数:dxC 2 k coskt ,(1)C1k sin ktdtd 2x k 2 (C1 k cos kt C1 k sin kt ).dt 2把它们代入题设微分方程, 得k 2 (C1 coskt C2 sin kt)k 2 (C1 coskt C2 sin kt) 0因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件 x |t 0 A 代入通解 x C 1 coskt C 2 sin kt 中得 , 得C 1A;将初值条件dx|t 0 0 代入（ 1）, 得dtC 20,于是 , 所求的特解为x A c o skt .例 4 验证函数 y ( x 2C) sin x (C 为任意常数 ) 是方程dy2x sin xycot xdx的通解 , 并求满足初始条件y |0的特解 .x2解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同 .将 y (x 2C ) sin x 求一阶导数 ,得dy 2xsin x(x 2 C ) cos x,dx把 y 和dy代入方程左边得 dxdy ycot x 2xsin x 2 x sin x ( x 2 C ) cos x (x 2C ) sin xcot x 2 x sin x 0.dx因方程两边恒等 ,且 y 中含有一个任意常数 ,故 y( x 2 C) sin x 是题设方程的通解 .将初始条件 y x0 代入通解 y (x2C) sin x 中，222得 0C C. 442从而所求特解为y x2s i n .4x。
微分方程基本概念
微分方程基本概念微分方程是数学中重要的概念，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些基本解法。
一、微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
形式上，微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x是自变量，y是未知函数，y', y'', ..., y^(n)是y的一阶到n阶导数，F是关于x、y、y'、y''等的函数。
二、微分方程的类型根据微分方程中未知函数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只与自变量的一个变量有关，而偏微分方程中的未知函数与自变量的多个变量有关。
常微分方程按照阶数又可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等。
一阶微分方程中只包含一阶导数，表示为：dy/dx = f(x, y)二阶微分方程中包含一阶和二阶导数，表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)三、微分方程的解解微分方程的过程被称为求解微分方程。
根据微分方程的形式和特点，可以使用不同的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的一阶微分方程，可以通过分离变量的方式求解。
将方程两边分开，然后进行积分，最后解出未知函数的表达式。
2. 齐次方程法对于形如dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的一阶微分方程，如果f(x, y)和g(x, y)在全平面上具有相同的齐次性质，即对任意常数k，f(kx, ky) = k^mf(x, y)和g(kx, ky) = k^n g(x, y)，则可以使用齐次方程法求解。
3. 线性微分方程法对于形如dy/dx + P(x)y = f(x)的一阶线性微分方程，可使用线性微分方程法求解。
通过乘以一个积分因子将方程化为可积的形式，并通过积分求解。
4. 变量分离法、公式法、特征值法等对于不同类型的微分方程，还有其他一些特定的解法。
微分方程的基本概念
微分方程是数学中重要的一个分支，其在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
微分方程的基本概念包括了方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
首先，我们来看微分方程的定义。
微分方程是包含未知函数及其导数或微分的关系式。
它是数学分析的研究对象，用来研究函数在局部上的变化规律。
通常用x来表示自变量，用y表示函数的取值，用y'表示函数y对x的导数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
接下来，我们来看微分方程的解的定义。
微分方程的解是指满足该方程的函数。
一般来说，微分方程的解不是唯一的，而是存在无穷多个。
例如，对于一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，可以通过积分的方法求得其解。
解的形式可以是显式解或隐式解，取决于方程的形式和解的表达方式。
然后，我们来看初值问题。
初值问题是指在微分方程中给定一个特定的初值条件，要求求解满足该条件的解。
例如，对于一阶线性微分方程y'+y=0，给定初始条件y(0)=1，可以求解得到解y(x)=e^{-x}。
初值问题在应用领域中具有重要的意义，例如在物理学中，我们常常根据初始条件求解出系统的运动规律。
最后，我们来看一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是最简单和最常见的微分方程形式。
一般来说，一阶线性微分方程可以写作y'+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
我们可以通过积分的方法求解这类方程，即将方程两边同时积分，得到y=∫q(x)e^{-\int p(x)dx}dx+C。
其中C是一个常数，它代表了方程的任意常数。
总结起来，微分方程是数学中重要的一个分支，它可以用来研究函数在局部上的变化规律。
微分方程具有基本的概念，包括方程的定义、解的定义、初值问题以及一阶线性微分方程等。
微分方程在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，例如求解物理系统的运动规律、分析电路的行为、研究经济的增长模式等。
第一节 微分方程基本概念
f ( x , y , y , , y
).
（2）微分方程的解：如果将一个函数代入微分方 程能使方程成为恒等式 , 这个函数就称这个微分 方程的解.
例如 y x 1和 y x C 都是
2 2
dy dx
2 x 的解 .
( 1 ) 含任意常数 C ; 微分方程的解有两种形式 ( 2 ) 不含任意常数 C .
故满足初始条件的特解
为 y e e
x
2x
思考： 设 C 1 , C 2 分别为任意常数
y C 1 e 3 C 2 e 是否 y 3 y 2 y 0的通解 ?
x x
y C 1 C 2 e e 是否 y 3 y 2 y 0的通解 ?
x 2x
2x
中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
x
C 2e
2x
( C 1 , C 2 为任意常数
)
y 3 y 2 y 0的通解 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
并求方程满足初始条件 的特解 .
解 y C 1e 2 C 2e
x
2x
C 1 e x 4 C 2 e 2 x y
将 y , y , y 代入方程 y 3 y 2 y 0 左边 ,
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x y 0 , y x x y 0 0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例3
验证 y Cx ( C 为任意常数 )为方程 y
2
2y x
的通解 .
并求满足初始条件
y
大一高数微分方程知识点
大一高数微分方程知识点微分方程是数学中重要的分支，它是研究自然现象、工程问题以及物理学和生物学等领域中的变化规律的重要工具。
在大一的高数课程中，微分方程也是一个重要的内容。
下面我将介绍大一高数微分方程的一些基本知识点。
一、微分方程的基本概念微分方程是由未知函数及其导数构成的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)。
其中dy/dx表示函数y对自变量x的导数，f(x)表示已知函数。
二、常微分方程和偏微分方程在微分方程中，常微分方程和偏微分方程是两个重要的分类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程则涉及多个自变量。
三、一阶微分方程及其求解方法一阶微分方程是微分方程中最简单的一种形式，表示为dy/dx=f(x, y)。
常见的一阶微分方程求解方法包括：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
1. 分离变量法：将变量分离后进行积分求解。
例如，对于dy/dx=2x，可以将方程改写为dy=2xdx，再进行积分。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(y/x)的方程，可以利用变量代换的方法将其转化为分离变量的形式。
3. 一阶线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，可以利用积分因子的方法进行求解。
四、二阶微分方程及其求解方法二阶微分方程是一阶微分方程的推广，表示为d²y/dx²=f(x, y, dy/dx)。
常见的二阶微分方程求解方法包括：特征方程法、常系数线性齐次微分方程法、常系数线性非齐次微分方程法等。
1. 特征方程法：对于形如d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0的方程，通过求解其特征方程可以得到方程的通解。
2. 常系数线性齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=0的齐次方程，通过特征方程法求解可以得到通解。
3. 常系数线性非齐次微分方程法：对于形如d²y/dx²+pdy/dx+qy=f(x)的非齐次方程，可以利用常数变易法求解。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念1. 概念定义微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^n-1y/dx^n-1) = 0其中，x是自变量，y是因变量，dy/dx是y对x的导数，依此类推。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
2. 重要性微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中有着广泛的应用。
通过建立物理规律或实验数据与数学模型之间的联系，可以利用微分方程来预测和解释自然现象和工程问题。
它是现代科学研究和工程技术应用的基础。
具体而言，微分方程在以下几个方面具有重要性：(1) 描述动态过程微分方程可以描述许多动态过程，如运动物体的运动轨迹、电路中电流和电压随时间的变化、化学反应速率等。
通过求解这些微分方程，可以得到关于系统行为的详细信息。
(2) 预测未来行为通过已知的初始条件和微分方程，可以求解出函数在未来某个时间点的值。
这使得微分方程成为预测和规划问题的重要工具，如天气预报、金融市场预测等。
(3) 优化问题求解许多优化问题可以归结为微分方程的求解。
例如，在物理中常常需要找到使某个物理量最小或最大的条件。
这些问题可以通过求解微分方程获得最优解。
(4) 建模与仿真通过将实际问题建模成微分方程，可以进行数值模拟和仿真。
这对于工程设计、新产品开发等领域非常重要。
例如，在飞机设计中，可以使用微分方程来模拟空气动力学效应，从而改进飞机性能。
3. 应用举例微分方程在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：(1) 物理学中的运动描述经典力学中，牛顿第二定律描述了物体运动与作用力之间的关系：m * d^2x/dt^2 = F(x, dx/dt)其中，m是物体的质量，x是位置，t是时间，F(x, dx/dt)是作用力。
(2) 生物学中的生长模型生物学中，许多生物体的生长过程可以用微分方程来描述。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系以及函数与其导数之间的关系。
微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念以及其在解决实际问题中的应用。
一、微分方程的定义与分类微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx =f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只含有未知函数的一阶或高阶导数的微分方程，它在某个区间上成立。
偏微分方程是对多个变量的未知函数及其偏导数进行求解，它在多维空间中成立。
二、微分方程的解与初值问题给定一个微分方程，我们需要求解它的解。
解是使得方程成立的函数。
常微分方程的解可以表示为y = φ(x) + C，其中φ(x)是方程的特解，C是常数。
特解是满足特定条件的解。
对于常微分方程，我们还需考虑初值问题，即给定一些初始条件，求解出满足这些条件的特解。
三、微分方程的阶与线性性质微分方程的阶指方程中最高阶导数的阶数。
一阶微分方程只包含一阶导数，二阶微分方程包含二阶导数，以此类推。
方程的阶数决定了方程解的复杂程度。
微分方程还有线性性质，即满足叠加和齐次性质。
叠加性质表示如果一个方程有两个特解，那么它们的线性组合也是方程的解。
齐次性质表示如果一个方程的解满足某些条件，那么满足这些条件的倍数也是方程的解。
四、微分方程的应用微分方程在科学和工程中有广泛的应用。
它可以描述物理学中的运动、传热、弹性力学等现象。
在经济学中，微分方程可以用来研究经济指标的变化趋势和关系。
在生物学中，微分方程可用于模拟生物种群的增长和传播。
在电路理论中，微分方程可以描述电路中电压和电流的变化。
五、常见微分方程的例子1. 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)2. 二阶线性常系数齐次微分方程：d²y/dx² + a dy/dx + by = 03. 二阶线性非齐次微分方程：d²y/dx² + a dy/dx + by = f(x)4. 常见的偏微分方程有热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。
微分方程的基本概念
(9 7 )
其中包含两个任意常数， C 1 x ( 0 ) ,C 2 x ( 0 ) .
(97)是方(9程 1)所有解的一般 . 表达式
定义9.3 如果方程(95)的解中含有n个独立的任意 常数，则称这样的解为方程 (95)的通解. 而通解中 给任意常数以确定值的解, 称为方程 (95)的特解. 求特解的步骤：
( 9 5 )
n阶线性常微分方程般的形一式：
y (n ) a 1 (x )y (n 1 ) a n 1 (x )y a n (x )y f(x ) ( 9 6 )
不能表示成形如 (96)形式的微分方程，统称为非 线性方程.
二、微分方程的解
定义9.2 设y 函 (x )在 数 I区 上n 间 存 阶.在 导
d P k [D (P ) S (P )] ( k 0 ) ( 9 4 ) d t
在D(P)和S(P)确定的情,况 可下 解出价格t 的 与关 系.
未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程; 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.
n阶(常) 微分方程的一般形式是
F ( x , y , y , , y ( n ) ) 0
§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义 二、微分方程的解
一、微分方程的定义
定义9.1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导 数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中 出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方 程的阶.
例如， yxy, y2y3yex,
(t2x)d tx d x0 , z x y x
如果 y(x 将 )代入 (95 方 )后 ,使 程 方 (95程 )在 I
上为恒等式, 则称 y (x )是 函 (9 方 数 5 ) 在 I上 程
总结微分方程知识点
总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。
一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。
其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。
其中，常见的微分方程包括：1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。
根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。
常见的解微分方程的方法包括：1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。
而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法；5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
微分方程的基本概念
教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法
教学重点：可分离变量的微分方程的解法
教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容:
本节开始•我们讨论一阶微分方程
的一些解法.
一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：
P(x,
在方程(2)中，变与y对称，它既可以看作是以为才自变量、y为未知函数的方程
解设曲线方程为y=y(x).由导数的几何意义可知函数y=y(x)满足
^ = 2x(1)
dx
同时还满足以下条件：
x = l时,y= 2(2)
把(1)式两端积分，得
y=J2xdx即y = x2+C(3)
其中C是任意常数。
把条件(2)代入(3)式，得
C = l,
由此解出C并代入(3)式，得到所求曲线方程：
—=
y
两端积分=兀厶，
得hi|y| = x2+C|,
从而
又因为土e©仍是任意常数，把它记作C便得到方程(7)的通解
y
例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断 减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量“ 成正比。已知)=0时铀的含量为M。，求在衰变过程中含量M(/)随时间变化的规律。
教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程
教学内容：一、线性方程
1.定义 方程—+P(x)y=QM(1)称为一阶线性微分方程。dx
特点关于未知函数y及其导数卩是一次的。
若Q(X)=0，称(1)为齐次的；
若Q(x)0,称(1)为非齐次的。
如：
2、解法
当Q(X) =0时，方程(1)为可分离变量的微分方程。
微分方程_高等教育-微积分
微分方程引例1：设曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ，y ）处切线的斜率为2X ，求此曲线方程。
解：设曲线 )(x f y = x y 2='x dxdy 2= x d xdy 2= c xy +=2一、基本概念：1、微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。
⎩⎨⎧偏微分方程常微分方程2、常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。
3、偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。
一般形式：0......,,='）（）（n y y y x F4、微分方程的阶：方程中求未知函数导数的最高阶数。
5、微分方程的解：如果函数)(x f y = 满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解。
通解：)(x f y =包含任意常数的个数与微分方程的阶数相同。
特解：在通解里把任意常数确定,这种解称为特解。
6、解的几何意义：一阶0),,='y y x F （ 通解),(c x y y = 含有一个参数C 的一族曲线。
00,y y x x == 特解是过),(00y x 的一条曲线。
二阶0),,,='''y y y x F （ 通解),,(21c c x y y =含有二个参数的一族曲线。
00,,y y y y x x '='==特解是过),(00y x 的一条曲线，在),(00y x 处的斜率为0y ' 7、初始条件：在通解里，用某一种条件来确定特解，这种条件称为初始条件（用来确定任意常数）。
例2：验证kt c kt c x sin cos 21+= 是方程0222=+x k dtx d 的通解。
解：首先验证是解：kt k c kt k c dtdx cos sin 21+-=kt kc kt kc dtx d sin cos 222122--=)cos sin (212kt c kt c k +-=x k 2-=又在解中，阶数与常数的个数相同，所以是通解。
大一高数知识点微分方程
大一高数知识点微分方程微分方程是数学中的一个重要概念，也是大一高数学习的一个重要内容。
它在各个学科领域都有着广泛的应用，特别是在物理、工程、生物等领域。
本文将介绍大一高数中常见的微分方程知识点，帮助读者对微分方程有一个全面的了解。
一、微分方程的基本概念微分方程是用一定的数学关系来描述函数的变化规律的方程。
一般包含未知函数的导数或微分。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，而偏微分方程的未知函数依赖于多个自变量。
二、微分方程的解的表示形式微分方程的解可以通过积分得到。
对于一阶常微分方程dy/dx=f(x)而言，它的解可以表示为y=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
三、一阶常微分方程的基本类型1. 可分离变量型：dy/dx=g(x)/h(y)，可以通过把方程两边同除以h(y)，再两边同时积分求得解。
2. 齐次型：dy/dx=f(y/x)，可以通过引入一个辅助变量u=y/x，将方程转化为一阶可分离变量型的方程进行求解。
3. 一阶线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，可以使用积分因子的方法求解。
4. 可化为一阶线性微分方程的方程：dy/dx=F(ax+by+c)，可以通过合适的变量代换将方程化为一阶线性微分方程求解。
四、高阶线性微分方程高阶线性微分方程是指未知函数y及其导数在方程中出现的最高阶数大于1的微分方程。
高阶线性微分方程的一般形式为an(x)dⁿy/dxⁿ+an-1(x)dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹+...+a0(x)y=f(x)，其中an(x)、an-1(x)、...、a0(x)是已知函数，f(x)是已知函数或为0的常数。
高阶线性微分方程的解的存在唯一性定理是解这个方程只需找到n个线性无关的特解和一个齐次方程的n个线性无关的解。
五、特殊微分方程1. 齐次线性微分方程：dy/dx=P(x)y/Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
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所求特解为 x A cos kt .
补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
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实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数 的某些导数(或微分)之间的关系式. 分类1: 常微分方程：未知函数是一元函数的 微分方程，如上述的(1)(2)(3)(4)都是常 微分方程。 偏微分方程：未知函数是多元函数的 微分方程，如上述的(5)是偏微分方程。
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二、确定函数关系式 y C1 sin( x C 2 ) 所含的参数,使 其满足初始条件 y x 1 , yx 0 . Q , x 轴的交点为 三、设曲线上点 P ( x , y ) 处的法线与 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微 且线段PQ 被 分方程.
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例 y y ,
y y 0,
(2)特解:
通解 y Ce x ;
通解 y C1 sin x C2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解.
定解条件: 由通解确定特解需要有与通解中 任意常数个数相同的已知条件，常见的为初 值条件 初值条件: 用来确定任意常数的条件.
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第五章 微分方程简介
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程
第一节
5.1.1 引例
微分方程的基本概念
例 1 一曲 线通过 点 (1,2), 且在 该 曲线 上任一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y( x )
dy 2x dx
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k (C1 cos kt C 2 sin kt ) k (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
2 2
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, dt t 0
C1 A, C2 0.
a , b 为任意常 四、已知函数 y ae x be x x 1 ,其中 数,试求函数所满足的微分方程 .
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练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
三、 yy 2 x 0 . 四、 y y 1 x .
一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
y ( n ) f ( x , y , y,, y ( n1) ).
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主要问题-----求方程的解
微分方程的解:
ds v 0.4t 20, dt
故 s 0.2t 20t ,
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 50 20 50 500(米).
2
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5.1.2 微分方程的概念
微分方程:
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初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y y , y y 0 0 x x x x 0 0
凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 （1）y
2
xy, （2）y 2 y 3 y e x ,
z （3） (t x)dt xdx 0, （4） x y, x
2u 2u （5） 2 0 2 x y
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微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.如上述方程中(1)(3)(4)是 一阶微分方程，(2)是二阶微分方程 分类2:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
d2x 2 方程 2 k x 0 的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt d2x 2 2 k C1 cos kt k C 2 sin kt , 2 dt d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
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所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/ 秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2 , 问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 .
设y ( x )在区间 I 上有 n 阶导数,
F ( x, ( x ), ( x ),, ( n) ( x )) 0.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
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解
设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t )
ds d 2s t 0时, s 0, v 20, 0.4 2 dt dt ds 2 s 0.2t C1t C 2 v 0.4t C1 dt
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代入条件后知
C1 20, C 2 0
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小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶；微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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练 习 题
一、填空题: 1、 xy 2 y x 2 y 0 是______阶微分方程； d 2Q dQ Q 0 是______阶微分方程； 2、 L 2 R dt c dt d 3、 sin 2 是______阶微分方程； d 4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 .