越州中学2015高三数学竞赛练习卷(一)

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2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛Word版无答案

2015年全国高中数学联赛陕西省预赛一试一、填空题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.已知集合,若集合,则集合中元素的个数是2.已知函数,则3.已知,则4.在三棱锥中,,则直线与所成的角的大小为5.如图,以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的一个焦点,且与轴交于两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率是6.设为的外心,且满足,则7.在中,,则的最小值是8.某人抛掷一枚硬币,出现正面向上和反面向上的概率都是,构造数列,使,记,则且的概率是(用最间分数作答)9.若正整数满足,则的值为10.设单调递增数列的各项均为正整数,且,则二试二、本大题共6小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分15分)设等比数列的前项和为,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个实数,,使这个数依次组成公差为组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:12(本小题满分15分)设的三内角所对的边分别为,且满足(Ⅰ)求证:为直角三角形;(Ⅱ)若,求面积的最大值.13(本小题满分15分)如图,设为锐角的垂心,过点且垂直于的直线交于点,过点且垂直于的直线交于点,,过点且垂直于的直线交直线于点,求证:14(本小题满分15分)如图,,在直角坐标系中,圆与轴的正半轴交于点,以为圆心的圆与圆交于两点.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)设是圆上异于的任意一点,直线与轴分别交于点,求的最大值(其中分别表示的面积)15(本小题满分20分)已知函数.(Ⅰ)若对任意不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)证明:对任意,有.16(本小题满分20分)设表示不超过实数的最大整数,已知求和:。

2015年高中数学竞赛试题精选及答案

已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。

①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。

若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。

（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。

（-1/9； 9/4）若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国数学联赛赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是．解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是．解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为．解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014．由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为．解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆接四边形, 所以∠PAD ＝∠PED ，∠PAF ＝∠PDE ．又因为AP 是∠BAC 的外角平分线，所以∠PAD ＝∠PAF ，从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分又∠ADP ＝∠AEP ，所以∠BDP ＝∠CEP ．ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程．解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα，设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上，可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t 2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色．（1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2， ①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得 3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得 x 1＋x 2＝12[ k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。

15套高中数学联赛模拟卷及答案

（1）a1 + · · · + an = b1 + · · · + bn
（2）a31 + · · · + a3n = b31 + · · · + b3n.
的数
An = {a1, · · · , an}
2 厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，大学数学资料群：702457289，物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语口语群：168570356，心算交
4.
数
{an} ，a1 = 1，
n≥2
，an, Sn, Sn
−
1 2
（Sn
数
{an} 的
n
lim
n→∞
n2an
=
.
5.
1的
ABCD ，M 、N 分 AD、BC 的， M N 的
的
.
6.
x
∈
( 0,
π
) ，
数 f (x) = 2 cos3 x + 3 cos2 x − 6 cos x − 2 cos 3x 的
数学赛试题（二）
第一试
一、填空题（每题 8 分，共 64 分）
1.
a ≥ −2， A = {x| − 2 ≤ x ≤ a}, B = {y|y = 2x + 3, x ∈ A}, C = {t|t = x2, x ∈ A}， C ⊆ B，
a的
.
2.
△ABC
，
−−→ |AB|
=
2,
−→ |AC |
流群：131033273

2015年全国高中数学联赛模拟试题02

( 2 Å x) Å 2 y = [2( 2 Å x) + 2 y ] = 2( 2 Å x) + [2 y ] = 2[2 2 + x] + [2 y ] = 2[ x] + 2[ y ] + 2[2 2 + {x}] + [2{ y}] ，其中 {x}, { y} 表示 x, y 的小数部分．同理可知 ( 2 Å y ) Å 2 x = 2[ y ] + 2[ x] + 2[2 2 + { y}] + [2{x}] ．
2n 1 知 2n
a9 a10 a20 147 时，符合条件，故最小值为 147 克．
8.在同一直角坐标系中，函数 f ( x) a 的取值范围是
1759 146 ，即 a20 147 ，又当 ak 2k 1 (k 8) ， 12
ax 4 (a 0) 与其反函数 f 1 ( x) 的图像恰有三个不同的交点，则实数
二、简答题（本大题共 3 小题，共 56 分） 9.（16 分）设数列 an 的前 n 项和 S n 组成的数列满足
S n S n 1 S n 2 6n 2 9n 7(n 1) ，已知 a1 1, a2 5, 求数列 an 的通项公式。
10.（20 分）设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x 10 x 11 0 的三个根。（1）已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (5,5) 之中，
3.实数列 an 满足条件： a1 则通项公式 an 4. F1 , F2 是椭圆
2 n 1, a2 2 1, an 1 an 1 2(n 2) ， 2 an an 1 (n 1) 。

2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案

2．答案： 5 解析：原式= (6 1)
11 11 10 9 ∵ 7 2 7 1 3 (7 1)(7 7 7 1) 3 2 711 2 ，
8(710 79 7) 5 ，∴原式被 8 除余数为 5.
3．答案：
a4 b4 c4 x2 3 3 ， 2 2 2 ， 2 b c c a a b x3 2
3 ． 2
∵ f ( x) f (3)
∴当且仅当 a b c 1 时取到最小值，所求最小值为 12. 证明：连结 OP, OA, OC , EP ． ∵ N 是 AB 的中点，∴ O, P, N单调递减．同理，当 x 1 时 y f (0) g (0) 2 ，当 x 1 时 y
11
f ( x) g ( x ) 递增，而当 x 0 时函数值
f (1) g (1) ，而当 x 时 y ，∴ ymin 1 ．
取得最小值，当且仅当 10．答案：81
2 a 3 2a 3 a 8 7 5 ．解得 a ，b ， 3a 4b 12. 1 b 2 3b 3 2b 6 3 4

解析：∵由题设 n 恰有 5 个约数，设 n 的质因数分解是 n p1 1 pk k ，∴n 的约数个
a4 c4 2a 2 c 2 a 2 c2 b2 ac 1 2 2 2 2 ，∴ B [ , ) ． b 2 2 a c 2 2 ．∵ cos B a c 3 2 2ac 2 a c a c
2
9．答案： 12
解析： ∵易求得 z1 z2 z3 8 6i ， z1 z2 z3 z1 z2 z3 ＝10， ∴ z1 z2 z3

越州中学高三数学高考限时训练一

越州中学高三数学高考限时训练一班级_________ _姓名_____________学号______一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{1,3,5,7,9,11}, {1,3}, {9,11}U A B ===，则B A C U )(（） A ．∅ B. {1,3} C. {9,11} D. {5,7,9,11}2. 双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为（） A. 9 B. 3 C. 13 D.193. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(3i)(12i)10z -+=，则z 为（）A. 2i +B. 2i -C. 12i +D. 12i -4. 已知函数13()log 3x f x x -=+，且(1)10f x -≤，则实数x 的取值范围是（）A. (0,4)(4,)+∞B. (0,4]C. (4,)+∞D. (1,4]5. “直线340x my ++=与直线(1)220m x y ++-=平行”是“3m =-”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 函数2(32)xy x x e =+的图象大致是（）A B C D7. 已知函数()sin 22f x x x m =+-在[0,]2π上有两个不同的零点，则m 的取值范围为（）A. [B. [C.D. [0,2)8. 设a 为正数，322()6f x x ax a =-+-，若()f x 在区间(0,3)a 不大于0，则a 的取值范围是（） A ．1(0,]27 B. 1(0,)27 C. 1(,)27+∞ D. 1[,)27+∞ 9. 12, e e 均为单位向量，且它们的夹角为45，设, a b 满足2122||, a e b e ke +==+ (R)k ∈，则||a b -的最小值为（）A.2 B.2 C. 2D. 3210. 设实数,,b c d 成等差数列，且它们的和为9，如果实数,,a b c 成等比数列，则a b c ++的取值范围为（）A. 9(,)4+∞B. 9(,)4-∞C. 9[,3)(3,)4+∞ D. 9(,3)(3,)4-∞--二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(2,0),(2,0)A B -，则满足||2||PA PB =的点P 的轨迹的圆心为，面积为 .12. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为，表面积为 . 13. 在1()nx x+的展开式中，各项系数之和为64，则n =__________，展开式中的常数项为_________14.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4A π=，6b =ABC ∆33+c = ，B =_____________. 15. 甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动，每个游戏最多有2人可以参与（如果有2人参与同一个游戏，不区分2人在其中的角色），则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方式总数是 . 16.已知正实数,x y 满足2342xy x y ++=，则54xy x y ++的最小值为．17. 直线l 与椭圆22:12x C y +=相交于,A B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于,C D 两点.如果,C D 是线段AB 的两个三等分点，则直线l 的斜率为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2c =且cos cos .c A b C b += （1）判断ABC ∆的形状；（2）若6C π=，求ABC ∆的面积.19. 如图，已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，090ACB ∠=，060BAC ∠=，PA AC =，M 为PB 的中点.（1）求证：PC BC ⊥；（2）求二面角M AC B --的大小.20.数列{}n a 满足11112, (21)2(2) (N*)n n n n n a n a a a a n +++=+=-∈.（1）求23, a a 的值；（2）如果数列{}n b 满足2nn n a b ⋅=，求数列{}n b 的通项公式n b .21.已知抛物线1C 的方程为22x y =，其焦点为F ，AB 为过焦点F 的抛物线1C 的弦，过,A B 分别作抛物线的切线12,l l ，设12,l l 相交于点P . （1）求PA PB ⋅的值；（2）如果圆2C 的方程为228x y +=，且点P 在圆2C 内部，设直线AB 与2C 相交于,C D 两点，求||||AB CD ⋅的最小值.22.已知函数2()ln .f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.一、选择题1．C 2．D 3．A 4. D 5. B 6. A 7．C 8．A 9．C 10．C二、填空题： 11.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，649π．12．3π2+． 13.6，1514. 13π． 15.120 16.5517.2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为cos cos c A b C b +=，由正弦定理，得，即＝，…4分所以，故或．…5分当时，，故为直角三角形；当时，，故为等腰三角形．…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，…9分因为，所以由余弦定理，得，解得，…12分所以的面积…14分 19. （本题满分15分）19.证明：（1）()sin cos sin 1cos C A B C =-sin sin cos sin cos B C A B C =+()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+sin cos sin cos B C A C =cos 0C =sin sin A B =cos 0C =2C π=ABC △sin sin A B =A B =ABC △2c =A B =a b =6C π=22242cos 6a a a π=+-28a =+ABC △21sin 226S a π==（1）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥. 又因为090ACB ∠=，即BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC . 故PC BC ⊥. （2）6π20. （本题满分15分）解：（Ⅰ）由已知得1121()22n n n n n a a n a ++=++（*n N ∈），因为12a =，所以11121121(1)22a a a +=++85=．21232221(2)22a a a +=++85=．…7分（Ⅱ）因为2nn n a b ⋅=，且由已知可得1112()22n n n n n a a n a ++=++，把2nn n b a =代入得即112n n b b n +-=+，…10分，所以213211111,2,,(1)222n n b b b b b b n --=+-=+-=-+，累加得211(1)11123(1)2222n n n n n n b b n -----=++++-+=+=，…13分又112212b a ===，因此2211122n n n b -+=+=．…15分21.解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以设AB 的方程为12y kx =+，代入抛物线方程得2210x kx --=，所以12,x x 为方程的解，从而121x x =-，…3分又因为12112PA x x k x x ='⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，22212PB x xk x x ='⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此121PA PB k k x x ⋅==-，即PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=．…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知121x x =-，联立C 1在点A ，B 处的切线方程分别为21112y x x x =-，22212y x x x =-，得到交点121(,)22x x P +- ．…9分由点P 在圆内得212()31x x +<，又因为221212111(2)2AB y y x x =+++=++，CD =d为O 到直线AB 的距离．…11分所以22121(2)2AB CD x x ⋅=++⋅又AB 的方程为1211:()022AB x x y +-+=，所以1d ==，令2212m x x =+，由212()31x x +<得33m <．又由212112m x x =+≥，所以[2,33)m ∈，从而AB CD ⋅=所以，当m =2时，min ()AB CD ⋅=…15分 22. （本题满分15分）解：（Ⅰ）因为()2ln f x x ax x =-+-，所以221()x ax f x x-+'=-，令()221g x x ax =-+．280a ∆=-≤，即a -≤≤()0g x ≥恒成立，此时()0f x '≤，所以函数()f x 在()0,+∞上为减函数；…3分280a ∆=->，即a <-a >()2210g x x ax =-+=有不相等的两根，设为12,x x （12x x <），则1x =，2x =()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，()0g x >，此时()0f x '<，所以函数()f x 在()10,x 和()2,x +∞上为减函数；当()12,x x x ∈时，()0g x <，此时()0f x '>，所以函数()f x 在()12,x x 上为增函数．当a <-()2210g x x ax =-+= 的两根为12,x x ，因为12+2a x x =，1212x x = ，所以120,0x x <<，0x >时，()0g x >，所以此时()f x 为定义域上为减函数……7分（Ⅱ）对函数()f x 求导得221()x ax f x x -+'=-. 因为()f x 存在极值，所以221()0x ax f x x-+'=-=在()0,+∞上有解，即方程2210x ax -+=在()0,+∞上有解，即280a ∆=-≥.显然当0∆=时，()f x 无极值，不合题意，所以方程2210x ax -+=必有两个不等正根. …10分设方程2210x ax -+=的两个不等正根分别为12,x x ，则12121022+=x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由题意知()()12f x f x +()()()22121212ln ln a x x x x x x =+-+-+22211ln 1ln 22424a a a =-+-=++，…13分由28a >得()()12121ln3ln 22f x f x +>+-=+，即这些极值的和的取值范围为()3ln 2,++∞． …15分。

2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)

2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、填空题（每题5分，共10小题，共50分）1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8,10A B ==.若集合{}|,,C x x a b a A b B ==+∈∈，则集合C 中元素的个数为_______.2.已知函数()0,01,0x f x x <⎧=⎨⎩≥，则()()f f x =_______.3.已知sin 1,cos αβαβ==()cos αβ−=的值为_______.4.在三棱锥S-ABC 中，已知AB=AC ，SB=SC ，则直线SA 与BC 所成角的大小为_______.5.如图，以双曲线()222210x y a b a b −=>、上一点M 为圆心的圆与x 轴相切于双曲线的一个交点F ，且与y 轴交于P 、Q 两点.若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率为_______.6.设O 为△ABC 的外心，且满足OA OB OC +=，则=ACB ∠_______.7.在△ABC 中，若tan tan 122A B +=，则tan 2C的最小值为_______.8.某人抛掷一枚硬币，出现正面向上和反面向上的概率均为12，构造数列{}n a ，使得1,1n n a n ⎧=⎨−⎩第次正面向上，第次反面向上，记12n n S a a a =+++.则20S ≠，且82S =的概率为_______.9.若正整数m 、n 满足()!5040!m n n +=，则!m n 的值为_______.10.设单调递增数列{}n a 的各项均为正整数，且()721120,n n n a a a a n Z +++==+∈，则8a =_______.二、填空题（每题8分，共4小题，共32分） 9.设函数()23axf x x =+.若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为_____. 10.袋中装有两个红球、三个白球、四个黄球，从中取出四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为______.11.设a 、b 、c 为互不相同的正整数，则abca b c++的最小值为_______.12.设方程()6xy x y =+的全部正整数解为()()()1122,,,,,,.n n x y x y x y 则()1nk k k x y =+∑________.第二试一、（本小题满分15分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112.2n n a S n Z ++=+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个实数，使这n +2个数依次组成公差为n d 的等差数列.设数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：()154n T n Z +<∈.二、（本小题满分15分）设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .且满足()sin sin cos cos sin A B A B C +=+. （Ⅰ）证明：△ABC 为直角三角形；（Ⅱ）若1a b c ++=ABC 面积的最大值.三、（本小题满分15分）如图，设H 为锐角△ABC 的垂心，过点H 作BH 的垂线，与AB 交于点D ，过点H 作CH 的垂线，与AC 交于点E ，过点C 作BC 的垂线，与直线DE 交于点F ，证明：FH =FC .四、（本小题满分15分）如图，在直角坐标系xoy 中，22:4O x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，()()222:20A x y r r −+=>与O 交于B 、C 两点. （Ⅰ）求AB AC ⋅的最小值；（Ⅱ）设点P 为O 上异于B 、C 的任一点，直线PB 、PC 与x 轴分别交于点M 、N ，求POMPONS S⋅的最大值.五、（本小题满分20分）已知函数()()()2ln ,3f x x x g x x ax a R ==−+−∈.（1）若对任意的()0,x ∈+∞，恒有不等式()()12f x g x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：对任意的()0,x ∈+∞，有12ln x x exe >−.六、（本小题满分20分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，已知()()221111,2,.k k i k a k i +−===∑证明：11112nk k k a a =⎛⎫⎡⎤⎡⎤++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑.。

浙江省绍兴市2015届高三上学期期末统考数学理试题 Word版含答案

绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测数学（理）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}2S x x =>，{}2120x x x T =--≤，则ST =（）A ．[)3,+∞B ．[)4,+∞C (]2,3．D ．(]2,4 2、已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-3、已知实数x ，y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则32z x y =-+的最小值为（）A ．4- B ．2 C ．4 D ．6 4、已知a ，R b ∈，则“4a b +>”是“4ab >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5、将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向右平移m （0m >）个单位，得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则m 的最小值为（）A ．3πB ．4πC ．6π D ．12π6、曲线2230x y -=与双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的四个交点与C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形，则双曲线C 的离心率为（） A ．3 B．3CD ．837、已知数列{}n a 的通项公式2133134n a n n =-+-．当12323434512n n n a a a a a a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+取得最大值时，n 的值为（）A ．7B ．8 C ．9 D ．10 8、将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点A ，经任意翻转三次后，点A 与其终结位置的直线距离不可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．4二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9、已知数列{}n a 的前n 项和23n S n =-，则首项1a = ，当2n ≥时，n a = ．10、已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()0f = ，满足()12f x =-（[]0,x π∈）的x 的值为．11、已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数有个，该四棱锥的体积为．12、已知()222log log log x y x y +=+，则11x y+= ，2x y +的最小值为．13、设圆C 的半径为1，圆心在:l 1y x =+（0x ≥）上，若圆C 与圆229x y +=相交，则圆心C 的横坐标的取值范围为．14、已知向量a ，b ，且2b =，()20b a b ⋅-=，则()12tb t a +-（R t ∈）的最小值为．15、已知()11f x x =-，()()()111n n f x n f x +=+-，n *∈N ，若函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点，则正实数k 的值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分15分）已知在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2c =，sin cos cos C 66ππ⎛⎫⎛⎫A -A -=B -+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()I 求角C 的大小；()II 若1sin 3A =，求边b 的长．17、（本小题满分15分）已知函数()()()221,01,0x a x f x x b x ⎧--≥⎪=⎨--+<⎪⎩，其中a ，R b ∈． ()I 当0a <时，且()f x 为奇函数，求()f x 的表达式；()II 当0a >时，且()f x 在()1,1-上单调递减，求b a -的值．18、（本小题满分15分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是边长为2的正方形，平面D PA ⊥底面CD AB ，E 在棱D P 上，且D AE ⊥P ． ()I 求证：平面ABE ⊥平面CD P ；()II 已知AE 与底面CD AB 所成角为60，求二面角C D -BE -的正切值．19、（本小题满分15分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），其右顶点为()2,0A ，上、下顶点分别为1B ，2B ．直线2AB 的斜率为12，过椭圆的右焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点（M ，N 均在y 轴右侧）． ()I 求椭圆的方程；()II 设四边形12MNB B 面积为S ，求S 的取值范围．20、（本小题满分14分）数列{}n a 是公差不为零的等差数列，56a =．数列{}n b 满足：13b =，11231n n b bb b b +=⋅⋅⋅+．()I 当2n ≥时，求证：111n n n b b b +-=-；()II 当31a >且3a *∈N 时，3a ，5a ，1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，n k a ，⋅⋅⋅为等比数列．()i 求3a ；()ii 当3a 取最小值时，求证：1231231111111141111n n k k k k b b b b a a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪----⎝⎭．绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1、D2、A3、A4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9、2-21n-1056π11、34312、13+13、⎝⎭14、115、2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。

2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题详细解答(word版)

2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间： 2015 年5月17 日上午 8 : 30 一 10 : 30 )注意：1．所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效；2．密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．一、填空题（本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上）1．函数y =的最小值是．解析：定义域为(,0][1,)-∞+∞，设2237()2322()48f x x x x =-+=-+，2211()()24g x x x x =-=--．∵当0x ≤时()f x 单调递减，()g x 单调递减， ∵当0x ≤同理，当1x ≥递增，而当0x =时函数值y ==当1x =时y =，而当x →+∞时, y →+∞，∴min 1y =．2．11110291011111166661C C C ++++-被8除所得余数是．解析：原式＝1111(61)272=+-=-．∵111172713-=+-109(71)(7771)3=+-+-+-1098(777)5=-+-+，∴原式被8除余数为5． 3．己知实数,,x y z 满足24,2x y z xy yz zx ++=++=，则z 的取值范围是．解析：由己知得42,2()x y z xy z x y +=-=-+，由2()4x y xy +≥,将前面两个式子代入得220z -≤得z ≤4．己知数列｛n a｝的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列122015,,,S S S 中,有理数项共有项．解析：∵k a ===,∴111n nn k k k S a =====∑∑．45=,∴222212,3,4,,44n +=,从而122015,,,S S S 中只有43个有理项．5．四面体A-BCD 中，A-BCD 的外接球半径为．解析：∵构造棱长分别为3、4、5的长方体，则四面体A-BCD 的外接球即为长方体的外接球，∴22R R ===． 6．函数2y ax bx c =++的图像是开口向下的抛物线，,,a b c 互异，且都在集合{|||5,}A n n n Z =≤∈中取值，则这些抛物线中通过点（0，-l ）的有个．解析：∵抛物线过点（0，-l), ∴1c =-, ∴A ={-5,-4,-3,-2，-1, 0, 1,2,3,4, 5},∴a 只能从-5，-4，-3，-2中取一个有14C 种取法，b 则有19C 种取法，由乘法原理共有14C 19C =36种可能．7．△ABC 内有2015个点，加上三个顶点，共有2018个点．把这些点连线，形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数是．解析：∵112,3n n a a a +=+=,∴20153(1)221,4031n a n n a =+-⋅=+=．8．在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边长依次为,,a b c , 若22cos cos cos b B ac A C≥，则∠B 的取值范围是．解析：∵22cos cos cos b B ac A C ≥，∴22222222222()222c a b b ca b c a a b cac bc ab+-≥+-+-⋅， 442222222222c a c a b c a c a c a +≥=+-++，∵222221cos 22c a b ca B ca c a +-=≤=+，∴[,)32B ππ∈． 9．设复数123(2)(1),(32)(23),(3)(32)z a b i z a b i z a b i =-+-=+++=-+-，其中,a b R ∈，当123||||||z z z ++取得最小值时，34a b += ．解析：∵易求得12386z z z i ++=+, 123123||||||||10z z z z z z ++≥++=,∴ 123||||||z z z ++取得最小值，当且仅当23238123326a a ab b b -+-===-+-．解得75,,341234a b a b ==+=．10．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合｛1, 2，…，500｝中任取一个元素m ，若m 整除n 的概率是1100，则正整数n 的最大值是．解析：∵由题设n 恰有5个约数，设n 的质因数分解是11k k n p p αα=，∴n 的约数个数为12(1)(1)(1)5,k n ααα+++=具有4p 的形式．∵44381,5625500==>，∴n 的最大值为 81．二、解答题（本大题共3小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11. （本小题满分20分）设,,a b c R +∈，且3a b c ++=，求444222a b c b c c a a b+++++的最小值．解：由柯西不等式知4442222222222()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b+++++++≥+++++，∴44422222222222222222()()3a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c ++++++≥=+++++++++++．令222a b c x ++=，∴22221()33x a b c a b c =++≥++=，∴44422223a b c x b c c a a b x ++≥++++．设2()(3)3x f x x x =≥+，∴2'26()0(3)x x f x x +=≥+，∴()f x 在[3,)+∞单调递增． ∵3()(3)2f x f ≥=，∴44422232a b c b c c a a b ++≥+++．∴当且仅当1a b c ===取到最小值，所求最小值为32． 12. （本小题满分 25 分）如图，已知PA 、PB 是由O 外一点P 引出的两条切线， M 、N 分别是线段AP 、AB 的中点，直线MN 交⊙O 于C 、 E 两点，点N 在M 与C 之间， PC 交⊙O 于点D ，延长ND 交PB 于点Q ．证明：四边形MNQP 为菱形．证明：连结,,,OP OA OC EP ，显然,,O P N 三点共线，且OP AB ⊥，所以N 是AB 中点，由M 是PA 的中点，故MNMP MA ==，MNPQ ． ……………………(5分)22PM AM ME MC ==⋅，所以 MPE ∆∽MCP ∆，MCP MPE ∠=∠．……………………(10分) 又,,,O A P B 四点共圆，ON PN AN BN CN EN ⋅=⋅=⋅，故,,,O C P E 四点共圆，OCN EPN ∠=∠． ……………………(15分) PAO ∆是直角三角形，有2PN PO PA PD PC ⋅==⋅，于是,,,C D N O 四点共圆． ……………………(20分) QNP PCO MCP MCO MPE EPN APN ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M NPQ ，四边形MNQP 是菱形. ……………………(25分)13.（本小题满分25分）动点P 在椭圆22(1)(0)x a y a a +-=>上移动时，求连结原点O和点P 所得线段长的最大值．解：设点(,)P x y ，∵将椭圆方程变形为222(1)11()x y a -+=，∴椭圆的中心在（0, l)，,x y 满足：,02a x a y -≤≤≤≤．∵22222222(1)(21)(1)2OP x y a a y y a a y y y a y ay =+=--+=--++=-+．∴在条件02y ≤≤下，22(1)2OP a y ay =-+的最大值可作如下分析：(l)当01a <<时，∵222(1)2(1)2224OP a y ay a a =-+≤-⨯+⨯=，∴2y =时，max |2OP =；（2）当1a >时，∵2222(1)2(1)()11a a OP a y ay a y a a =-+=--+--，∴在221a a ≤-时，即在2,1aa y a ≥=-，max |1a OP a =-；∵在12a <<时时最大值在2y =取得，∴max |2OP =．综合上述：当02a <<且1a ≠时，max |2OP =；当2a ≥时max |1aOP a =-．。

【名师解析】浙江省绍兴一中2015届高三上学期回头考试数学理试题 Word版含解析

绍兴一中2014学年第一学期回头考试题卷高三数学（理科）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）【题文】1.已知集合{}|05A x x =∈≤≤N ，{}1,3,5A B =ð，则集合=B （）A ．{}4,2B ．{}4,3,2C ．{}3,1,0D ．{}4,2,0【知识点】集合的补集A1【答案解析】D 解析：因为{}|05A x x =∈≤≤N ={0,1,2,3,4,5}，{}1,3,5A B =ð，所以B={0,2,4}，所以选D .【思路点拨】先把集合A 用列举法表示，再结合集合的补集的含义解答..【题文】2.已知∈b a ,R ，条件p ：“b a >”，条件q ：“122->b a ”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件 A2【答案解析】A 解析：由b a >得2221a b b >>-，所以充分性满足，当a=b=1时221>-，但条件b a >不成立，所以必要性不满足，则选A.【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足..【题文】3．已知某四棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A3B 3C 3D3 【知识点】三视图，棱锥体积G2 G7【答案解析】A 解析：由三视图可知该四棱锥的底面是长和宽分别为4,2所以其体积为1423⨯⨯=，所以选A. 【思路点拨】由三视图求几何体的体积，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.正视图俯视图【题文】4.设,,l m n 表示三条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥α；B ．若,,,l m l n m n α⊥⊥⊂，则l α⊥；C ．若l ∥α，l ∥β，m αβ=，则l ∥m ；D ．若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥．【知识点】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系G4 G5【答案解析】C 解析：对于A ，直线l 还有可能在平面α内，所以错误，对于B ，若m ∥n ，则直线l 与平面α不一定垂直，所以错误，对于D ，若,,l m l m αβ⊂⊂⊥，两面可以平行和相交，不一定垂直，所以错误，则选C .【思路点拨】判断空间位置关系时，可用相关定理直接判断，也可用反例排除判断.【题文】5. 已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 ( ) A ． (,0)3π- B ．(,)44ππ- C ．(0,)3π D ．(,)43ππ【知识点】三角函数的图像与性质C3【答案解析】D 解析：因为()sin f x x x ωω==2sin 3x πω⎛⎫-⎪⎝⎭，由图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，所以其最小正周期为π，则2ω=，所以()2sin 2g x x =，对于A,B,C,D 四个选项对应的2x 的范围分别是222,0,,,0,,,322323ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以应选D.【思路点拨】研究与三角相关的函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】6. 若函数()(01)x xf x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图象是（）【知识点】奇函数，指数函数与对数函数的图像与性质B3 B4 B6 B7【答案解析】C 解析：因为函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且在（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，所以k=1且a ＞1，则函数()()log 1a g x x =+在定义域()1,-+∞上为增函数，所以选C.【思路点拨】若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，即可确定k 值，由指数函数的单调性即可确定a ＞1，结合函数的定义域及单调性判断函数的图像即可.【题文】7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（）A.13B.12C.11D. 10【知识点】等差数列的性质D2【答案解析】B 解析：因为6767S S S a >=+，所以70a <，又75675S S a a S =++> ，所以670a a +>，则()126713760,130S a a S a =+>=<，所以n=12，选B.【思路点拨】利用等差数列的性质可以得到数列的项与和的关系，利用项的符号即可判断前n 项和的符号.【题文】8.已知O 为原点，双曲线2221x y a-=上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（）ABCD【知识点】双曲线的几何性质H6【答案解析】C 解析：双曲线的渐近线方程是：x±ay=0，设P （m ，n ）是双曲线上任一点，过P 平行于OB ：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA 方程：x-ay=0交点是A ,22m an m an a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，OA =P 点到OA 的距离是：d =|OA|•d=11=，而2221m n a -=，解得曲线的离心率为2，则选C . 【思路点拨】结合与双曲线的渐近线平行设出平行线方程，利用面积建立等量关系进行解答.【题文】9．已知正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1A 作平面α，使得直线AC 和1BC 与平面α所成的角都为30，这样的平面α可以有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】直线与平面所成的角G11【答案解析】C 解析：因为AD 1∥BC 1，所以过A 1在空间作平面，使平面与直线AC 和BC 1所成的角都等于30°，即过点A 在空间作平面，使平面与直线AC 和AD 1所成的角都等于30°．因为直线AC 和AD 1与平面ABA 1都成45°让平面α在平面ABA 1的基础上绕点A 旋转，在转动过程中必存在两个平面与两直线AC 和AD 1所成的角都等于30°，又因为∠CAD 1=60°，设其角平分线为AE ，所以过AE 与平面ACD 1垂直的平面β满足要求．则过A 1与平面β平行的平面与直线AC 和BC 1所成的角都等于30°，这样的平面只有1个，故符合条件的平面有3个，所以选C.【思路点拨】本题抓住正方体特征把与异面直线所成的角问题转化为与两相交直线所成角问题，再结合正方体特征及线面所成角进行解答.【题文】10．平面向量→→→e b a ,,满足1||=→e ，1=⋅→→e a ，2=⋅→→e b ，2||=-→→b a ，则→→⋅b a 的最小值为（）A. 12B. 45C. 1D. 2 【知识点】向量的数量积B5 F3【答案解析】B 解析：设()()()1,0,,,,e a x y b m n ===，则有x=1,m=2,()()()22214x m y n y n -+-=+-=,得y n y n -==22552244a b ny n n ⎛∙=+=+=±+≥ ⎝⎭，所以选B. 【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答.二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）【题文】11.数()()()()12312x e x f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩,则()ln 3f =________.【知识点】分段函数B1【答案解析】e 解析：()()()ln3111ln 3ln 31333f f e e e +=+=== . 【思路点拨】对于分段函数求函数值，要结合自变量对应的范围代入相应的解析式..【题文】12已知cos sin 6⎛⎫-+= ⎪⎝⎭παα7sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα . 【知识点】三角函数的化简与求值C7 【答案解析】35-解析：因为3cos sin sin 62παααα⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，得13cos 25αα+=，所以713sin cos 625πααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭ . 【思路点拨】可对已知条件展开整理，并注意所求式子与已知条件整理后的式子之间的整体关系，即可解答.【题文】13．已知实数,x y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩,若2z x y =+的最小值为3，实数b = .【知识点】简单的线性规划E5 【答案解析】94解析：实数,x y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩表示的平面区域如图为阴影部分对应的区域，显然当动直线2x+y=0经过点B 时目标函数2z x y =+得最小值3,联立方程232x y y x+=⎧⎨=⎩ 解得B 点坐标为33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以339424b =+=. .【思路点拨】解简单的线性规划问题，一般先作出其可行域，再数形结合找其最优解，即可解答.【题文】14.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．【知识点】函数模型的选择与应用B10【答案解析】148.4解析：因为高峰电费为50×0.568＋150×0.598=118.1元，低谷电费为50×0.288＋50×0.318=30.3元，所以该家庭本月应付的电费为118.1＋30.3=148.4元.【思路点拨】准确把握电费的分段计费特点，分别计算高峰电费及低谷电费，再求和即可.【题文】15. 在△ABC 中，B (10，0)，直线BC 与圆Γ：x 2＋(y －5)2＝25相切，切点为线段BC 的中点．若△ABC 的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A 的坐标为．【知识点】直线与圆的位置关系H4【答案解析】(0，15) 或 (－8，－1)解析：由已知得过点B 与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为()2210100x y -+=与已知圆的方程联立()()222210100525x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C 点坐标为（－10,0）或（－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A 点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A 点坐标为(0，15) 或 (－8，－1).【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标.【题文】16．若1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内，()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是．【知识点】函数与方程B9 【答案解析】1(0,]2解析：由于x ∈(0,1]时，f(x)=x ，则x ∈(-1,0]时，(x+1)∈(0,1]，故()()111111f x f x x =-=-++ ，又函数()()g x f x mx m =--有两个零点，等价于()()1f x m x =+有两个实根，即为函数f(x)与直线y=m(x+1)有两个不同的交点，作图观察得实数m 的取值范围是1(0,]2.【思路点拨】一般判断函数的零点个数时，若直接解答不方便，可转化为两个函数的图像的交点问题，利用数形结合解答.【题文】17. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 5(,3][,)2-∞-+∞ 【知识点】基本不等式E6【答案解析】5(,3][,)2-∞-+∞解析：因为244x y xy ++=，所以4244xy xy =++≥2xy ≥，所以()()2222234442234x y a a xy xy a a xy +++-=-++-=()()222242423424242340a xy a a a a a +-+-≥+-+-≥得532a a ≥≤-或，所以实数a 的取值范围是5(,3][,)2-∞-+∞. 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，本题通过替换后可看成关于xy 的一次式恒成立问题.三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】18．（本小题满分8分）在ABC △中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ．已知2,3c C π==．（Ⅰ）若ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．【知识点】解三角形C8【答案解析】解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △，所以1sin 2ab C =4ab =．……..1分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．………….2分故ABC △为等边三角形。

2015学年第一学期期中考试高三数学(理)试卷

嵊州中学2015学年第一学期期中考试高三数学（理）试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

1. 已知集合{}{}2,1,,0==N x M ，若{}2=N M ，则=N M ( ) A.{}2,1,,0x B. {}2,1,0 C. {}2,1,0,2 D.不能确定2. 已知()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21,则“021>+x x ”是“()()121<⋅x f x f ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3. 已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向右平移6π个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线512x π=对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点5(,0)12π对称 D ．关于点(,0)12π对称 4. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝2ln(1)x x -+，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( ) A ．3 B ．5 C ．7 D ．95.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A. 当m 与α平行时，若m 与n 不平行，则n 与α不平行 B. 当m 与α平行时，若α与β不平行，则m 与β不平行 C. 当α与β平行时，若m 与α不平行，则m 与β不平行 D. 当α与β平行时，若m 与α不垂直，则m 与β不垂直6.已知圆C 的半径为1，点P 是圆C 上的一定点，B A ,是圆C 上的两个动点，且PA PB =，则⋅的最小值是( )A. 13-B. 21-C. 22-D. 33-7. 已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是( )A ．11211-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πfB ．⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf fC ．()x f 是奇函数D ．()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ8. 已知函数())0(212<-+=x e x x f x 与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是-( )A ． )1,(e -∞ B ． ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 第Ⅱ卷二、填空題:（本大题共7小题，第9-14题，每小题6分，15题4分，共40分）9. 函数()22cos )2sin cos f x x x x x =-+的最小正周期为，单调递增区间为10.已知f(x)=2log (1),0f (2),0x x x x -+≤⎧⎨->⎩，则f(1)= f(f(100))=11．若变量y x ,满足约束条件20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则22y x +的最小值是；实数m 的值为 12．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为；外接球的体积为13. 设a ，b ，e 1=，1=⋅e a ，2=⋅e b，2=+的最小值为，b a ⋅的最小值为。

越州中学高三数学期末复习综合卷(7)(1)

越州中学高三数学期末复习综合卷（7）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=．棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．棱台的体积公式()1213V h S S =+，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合{|13}M x x =-≤<，12log 0N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则M N ⋃=（）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. ()1,3-D. ()0,3【答案】A 【分析】由对数不等式求出N ，再利用两个集合的并集的定义求出M N ⋃.【详解】解：由题意可得：{}12log 01N x x x x ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭＞，由{|13}M x x =-≤<，可得M N ⋃={|1}M x x =≥-，故选A.【点睛】本题主要考查并集及其运算即对数不等式的解法，相对简单. 2.若复数2i(2)a i +-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（）A. 0B. 43-C. 34-D.43【答案】D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，虚部不为0可得a 的值. 【详解】解：由题意得：2i ()(34)3(43)4(2)44134(34)(34)916a a i a i a i i a a i i i i i i +++++++-====-----++，由复数是纯虚数，可得340a -=，可得43a =，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子分母同时乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简.3.设实数,x y 满足：3501020x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（）A. -2B. -4C. 0D. 4【答案】B 【分析】由约束条件作出可行域，利用z 的几何意义，可得z 的最小值. 【详解】解：由已知不等式作出不等式组表示的平面区域如图：可得直线经过35=02=0x y x -+⎧⎨+⎩的交点时z 最小，可得此点为（-2，1），可得z 的最小值为-4，故选B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，作出可行域后进行分析是解题的关键.4.若函数()y f x =图象如图，则()'y f x =图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C 【分析】由()y f x =图象可可得函数的递增和递减区间，可得()'y f x =在此区间的正负，判断各选项可得答案. 【详解】解：由()y f x =图象可知，函数(,0)-∞和(,)a +∞上单调递减，在(0,)a 上单调递增，故()'y f x =在(,0)-∞和(,)a +∞有()'0f x ＜，在(0,)a 上有()'0f x ＞，结合各选项可得C 符合题意，故选C.【点睛】本题一道关于函数图像的题目，解答本题的关键是利用原函数的图像判断出导函数的图像.5.在ABC △中，4A ππ<<是sin cos 1A A ->的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】取2A π=，可得sin cos 1A A ->不成立；当sin cos 1A A ->时，两边平方，可得2A ππ<<，可得4A ππ<<成立，可得答案.【详解】解：在ABC △中，4A ππ<<，取2A π=,可得sin cos =1A A -，可得sin cos 1A A ->不成立；在ABC △中，当sin cos 1A A ->，两边平方可得2sin cos A A ⋅＜0，可得sin cos A A ⋅＜0，可得2A ππ<<，即4A ππ<<成立，可得在ABC △中，4A ππ<<是sin cos 1A A ->的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要必要条件、充分条件及充要条件的判断，及三角函数的相关知识，属于中档题型.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，20190S =，则使n S 取得最大值时，n 的值是（） A. 1009 B. 1010C. 1009或1010D. 1011【答案】C 【分析】由题意已知条件可得10100a =，可得1009S 及1010S 取得最大值，可得答案. 【详解】解：由等差数列的性质，及10a >，20190S =，可得1232019...0a a a a ++++=，可得101020190a ⨯=，可得10100a =，由10a >，可得1009S 及1010S 取得最大值时，故选C.【点睛】本题主要考察等差数列前n 项的和及等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质进行求解是解题的关键.7.从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为ξ，则()D ξ=（） A.6445B.3245C.1615D.43【答案】A 【分析】根据题意列出ξ的分布情况，可得()E ξ,()D ξ的值，可得答案. 【详解】解：由题意可得：ξ的值可为0，2，4，可得2224466(0)15C C P C ξ===,1324468(2)15C C P C ξ===,0424461(4)15C C P C ξ===, 可得6814()=0+2+4=1515153E ξ⨯⨯⨯ 可得22246484164()=(0-)(2)(4)31531531545D ξ⨯+-⨯+-⨯=故选A.【点睛】本题主要考查离散型随机变量及其分布列与离散型随机变量的期望与方差，得出其分布列是解题的关键.8.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，现将ABD △沿BD 折起，形成三棱锥'A BCD -，当0'A C BC <<时，记二面角'A BD C --大小为α，二面角'A BC D --的大小为β，二面角'A CD B --的大小为γ，则（）A. αβγ>=B. αβγ<=C. αβγ>>D. γαβ<<【答案】B 【分析】取BD 的中点E ，连接'A E ,CE ，做'AG CE ⊥,'A F BC ⊥,连接GF ，可得'A EG α∠=,'A FG β∠=，由二面角定义可得α与β的大小，易得=βγ，可得答案. 【详解】解：如图，取BD 的中点E ，连接'A E ,CE ，做'AG CE ⊥,'A F BC ⊥,连接GF ，可得菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，当0'=A C BC <时，此时为正四面体， EG=GF ，当0'A C BC <<时，EG ＞GF ，易得：'A EG α∠=,'A FG β∠=,可得''tan AG A EG EG ∠=,''tan AG A FG GF∠=,由EG ＞GF ，可得α＜β，由对称性可得=βγ，可得αβγ<=，故选B.【点睛】本题主要考查二面角的定义与性质，相对简单，由已知得出二面角的表达式时解题的关键.9.已知||1,||2a b ==，则|||2|a b a b ++-的取值范围为（） A. [33,33]- B. [4,33]C. []3,4D. [3,33]【答案】D【分析】令||,|2|a b x a b y +=-=，可得y x 、的取值范围，可得y x 、所满足的方程，令z x y =+，可得z 的范围，可得答案.【详解】解：令||,|2|a b x a b y +=-=，由||1,||2a b == 则1||||||||3b a x a b =-≤≤+=，同理：04y ≤≤, 可得：222+2+=x a a b b ⋅，222-4+y 4=a a b b ⋅消去a b ⋅得：221189y x +=，令z x y =+，利用图象可得当取点(3,0)时候，min 3z =，直线与椭圆相切时，z 取最大值，221189y x z x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22()218z x x -+=，令0=，可得max z =，可得3z ≤≤．故答案：3z ≤≤【点睛】本题主要考察向量的性质及椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系等，综合性大，难度较大.10.已知函数()()1ln 2f x kx x x =+-，若()0f x >的解集中恰有两个正整数，则实数k 的取值范围为（）A. 32112log ,log 34e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦B. 2511log ,2log 45e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C. 32112log ,2log 32e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D. 2511log ,2log 45e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】B 【分析】由()0f x >，可得21ln xkx x +>，构造函数2g(x)ln x x=，对函数求导，可得交点的范围，列出关于k 的不等式，可得答案.【详解】解：可得(0,1)x ∈时，没有正整数，∴1x >，∴21ln xkx x+>有两个都大于1的整数，考查图象1y kx =+，2g(x)ln x x=，可得'2212222()lnx x lnx x g x ln x ln x-⋅-==，令'()0g x =，可得x e =，min ()2g x e =可得1y kx =+和2ln xy x=的交点的横坐标在(]4,5，即441ln 41051ln 5k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得2511log ,2log 45k e e ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，此时正整数为3和4．【点睛】本题主要考察函数的性质，及导数在研究函数单调性和极值的种的应用，综合性大，难度较大.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.若双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，则a =__________；离心率e =__________．【答案】(1).(2).【分析】易得c=2，b =1，由222+=a b c ，可得a 的值，可得离心率. 【详解】解：由题意得：2c=4,c=2,且b=1，由222+=a b c ，可得a =e=3c a.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率的相关知识，相对简单.12.若二项式6ax⎛- ⎝展开式中的常数项为60，则正实数a 的值为__________；该展开式中的奇数项的系数之和为__________．【答案】 (1). 2 (2). 365 【分析】利用二项式定理的通项公式，通过x 的指数为0，求出常数项，可得a 的值，令6()f x ax⎛=- ⎝可得1x =与1x =-，()f x 的值，可得奇数项的系数之和为(1)(1)2f f +-可得答案.【详解】解：可得二项式6ax⎛⎝展开式中，616()rr r r T C ax -+⎛= ⎝36626(1)r r r r a C x --=-，可得36042rr -=⇒=，可得二项式6ax⎛- ⎝的常数项为464426(1)1560a C a --⋅==， 2a ∴=±，由a 为正实数，可得a=2；令6()2f x x⎛= ⎝，可得()6(1)211f =-=，()6(1)27912f -==--，可得奇数项的系数之和为(1)(1)3652f f +-=，故答案：2；365.【点睛】本题主要考查二项式定理及二项式系数的性质，属于中档题.13.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是__________；其表面积为__________．【答案】 (1). 733(2). 3713++【分析】根据几何体的三视图可得几何体的直观图，计算可得这个几何体的体积和表面积. 【详解】解：根据几何体的三视图可得几何体的直观图如下：可以分割为一个直三棱柱，和一个同底的三棱锥，底面三角形一边为23 直三棱柱的高为12h =，三棱锥的高为21h =，可得121117323213233V S h h ⎛⎫⎫=+=⨯+⨯=⎪⎪⎝⎭⎭，可得其表面积：221112=23+223+12+22-()222223713S ⨯⨯⨯⨯⨯=表7333713 【点睛】本题考察三视图求几何体的体积与表面积，考察计算能力，空间想象能力，由三视图复原几何体是解题的关键.14.已知函数()22,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若1a =，则不等式()2f x ≤的解集为__________，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是__________．【答案】 (1). (-∞ (2). (,2)(4,)-∞⋃+∞ 【分析】将a=1代入原函数，可得()f x 的解析式，可得不等式()2f x ≤的解集；分a 的情况进行讨论，可得()()g x f x b =-有两个零点时候，a 的取值范围.【详解】解：由题意得：()22,,x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩，当a=1时，()22,1,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，可得：（1）当1x ≤时，()2f x ≤，可得1x ≤；（2）当1x >时，()2f x ≤，可得x ≤综合可得()2f x ≤的解集为(-∞；由()22,,x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x b =-只有一个零点时，22x x =，可得2=4x x =或，当2a =时，此时()22,2,2x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x b =-只有一个零点，当2a <时，有两个零点，同理，当4a =时，此时()22,4,4x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x b =-只有一个零点，当4a >时，有两个零点，故可得a 的取值范围是(,2)(4,)-∞⋃+∞【点睛】本题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用.15.在等腰ABC △中，D 是腰AC 的中点，若sin CBD ∠=，则sin ABD ∠=__________．【分析】设,CBD ABD αβ∠=∠=,可得sin sin sin sin ACβα=，5sin Cβ=，由cos cos()cos cos sin sin C αβαβαβ=+=-，可得sin β的值，可得答案.【详解】解：如图设,CBD ABD αβ∠=∠=，由题意易得得：10sin α=，310cos α=在BCD 中，由正弦定理sin sin CD BDCα=，在ABD △中有sin sin AD BD A β=，两式相除可得sin sin sin sin ACβα=， 10sin 10sin A C β=102)10sin C C π-=102210cos 10cos 10sin 10sin 5C C C CC C ⋅===可得5sin 10C β=,有cos cos()cos cos sin sin C αβαβαβ=+=-，可得31010cos 1010C ββ=-，可得310105sin 1010()C βββ==，可得5sin 103cos sin C βββ==-可得2sin cos ββ=，由22sin +cos =1ββ，可得sin β=5， 5【点睛】本题主要考察解三角形中的正弦定理，及两角和的余弦公式等，综合性大，难度较大.16.7个学生排成一排去参加某项活动，要求学生甲与学生乙相邻，且学生甲与学生丙不相邻的不同排法种数为__________．【答案】1200 【分析】先利用利用捆绑法计算学生甲与学生乙相邻的种数，再利用间接法求出学生甲与学生乙相邻，同时学生甲与学生丙相邻的种数，可得答案.【详解】解：由题意得：学生甲与学生乙相邻，利用捆绑法有62621440A A =种，要求学生甲与学生乙相邻，同时学生甲与学生丙相邻有552240A =，所以不同的排法有1440-240=1200种，故答案：1200.【点睛】本题主要考查排列、组合的实际应用，相对不难，注意捆绑法和间接法的灵活运用.17.如图，,P Q 为抛物线24y x =上位于x 轴上方的点，点M 是该抛物线上且位于点P 的左侧的一点，点F 为焦点，直线PF 与QF 的倾斜角互补，||3||PF FQ =，则MPQ 的面积的最大值为__________．439【分析】设||,||PF m FQ n ==，可得11213m n p m n ⎧+==⎪⎨⎪=⎩，可得m 、n 的值，可得P 、Q 的坐标，可得直线PQ 的方程，可得抛物线与直线相切时MPQ 的面积的最大值，可得M 点的值，可得答案. 【详解】解：设||,||PF m FQ n ==，由直线PF 与QF 的倾斜角互补,可得11213m n p m n⎧+==⎪⎨⎪=⎩，解得：44,3m n ==，易得1(3,3P Q⎛⎝⎭，直线PQ的方程(1),2y x=+，且'k y===可得43x=∴当43M⎛⎝时，maxS=【点睛】本题主要考察抛物线焦点弦的性质，及直线与抛物线的关系、导函数的几何意义等，综合性大，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.已知3cos5α=，5sin()13αβ+=，其中(0,),(0,)απβπ∈∈．（Ⅰ）求2sin()cos()sin()sin2απαππαα-+-⎛⎫+++⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求sinβ的值．【答案】（Ⅰ）11；（Ⅱ）6365.【分析】(1)由3cos5α=，(0,),απ∈可得tanα的值，将原式子化简可得答案；（2）由题意可得cos()αβ+的值，由sin sin()βαβα=+-，可得sinβ的值.【详解】解：（I）由3cos5α=，(0,),απ∈可得4sin=5α，4tan3α=2sin()cos()-2sin-cos2tan1==11-sin+cos tan1sin()sin2απααααπαααπαα-+-+=-⎛⎫+++⎪⎝⎭（Ⅱ）由4sin5α，且54sin()135αβ+=<，(0,)αβπ+∈可得2παβπ<+<，12cos()13αβ+=-，可得63sin sin()sin()cos -cos()sin 65βαβααβααβα=+-=++=. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变化及化简求值，注意角的取值范围和三角函数值的符号，这是解题的易错点.19.已知三棱台111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面111A B C ，111AA B C ⊥，若1160AA C ︒∠=，11112A C B C ==，11AA =．（Ⅰ）求证：11B C ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求1AC 与平面11A B BA 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）27.【分析】（Ⅰ）过点A 作11AD A C ⊥于点D ，易得AD ⊥平面111A B C ，11AD B C ⊥，又111B C AA ⊥，可得11B C ⊥平面11AAC C .（Ⅱ）建立以1C 为原点，以11C A 为x 轴，以11C B 为y 轴空间坐标系1C xyz -，可得1C A 的值，求出平面11A B BA 一个法向量，可得1AC 与平面11A B BA 所成角的正弦值.【详解】解：（I ）过点A 作11AD A C ⊥于点D ．平面11AA C C ⊥平面111A B C∴AD ⊥平面111A B C ， ∴11AD B C ⊥．111B C AA ⊥，AD1=AA A∴11B C ⊥平面11AAC C ．（Ⅱ）由（I ）可知：11B C ⊥平面11AAC C ∴11B C ⊥11A C ．建立以1C 为原点，以11C A 为x 轴，以11C B 为y 轴的空间坐标系1C xyz -，易得132C A ⎛= ⎝⎭，平面11A B BA 一个法向量为(3,3,1)m =，可得sin θ=【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的证明、向量法求直线与平面所成的角，相对不难，属于中档题.20.已知()()(R)x f x x a e a =-∈．（I ）若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值；（Ⅱ）若2a =且()0,1x ∈，求证：()ln 30f x x x -++<．【答案】（I ）0；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）设切点为(),m m ，可得'()(1)1()m mf m m a e m m a e⎧=-+=⎨=-⎩，可得10m e m +-=，由方程有唯一解，可得m 的值.（Ⅱ）令()(2)ln 3xg x x e x x =--++,对()g x 求导，可得()g x 的单调性，可得()g x 的最大值，可得得出证明.【详解】解：（I ）设切点为(),m m ，则'()(1)1()m mf m m a e m m a e⎧=-+=⎨=-⎩，可得10m e m +-= 又1my e m =+-递增，∴方程有唯一解0m =， ∴0a =．（Ⅱ）令()(2)ln 3xg x x e x x =--++1()(1)'x g x x e x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴1x y e x=-在(0,)+∞上递增 ∴10x e x-=有唯一根0(0,1)x ∈ 当00x x <<时，()'0g x >，当01x x <<时，()'0g x <∴001x e x =∴()()0max 0000001()2ln 342x g x g x x e x x x x ⎛⎫==--++=-+⎪⎝⎭4220<-⨯= ∴max ()0g x < ∴()ln 30f x x x -++<．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，及导数在研究函数单调性及极值方面的应用，综合性大，注意运算的准确性.21.过椭圆221164x y +=上一点P 作圆22:(2)1C x y -+=的两条切线，分别交椭圆于,A B 两点，记直线,PA PB 的斜率为12,k k ．（I ）若122k k =-，求点P的坐标；（Ⅱ）当点P 在左半个椭圆上（含短轴顶点）运动时，求12k k 的取值范围．【答案】（I ）18115,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或(2,3)；（Ⅱ）1,135⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（I ）设()00,P x y ，设切线：()00y y k x x -=-，可得圆心到切线的距离为1，可得20122001243y k k x x -==--+，又()00,P x y 在椭圆上，联立可得P 点坐标；（Ⅱ）由（I ）得：()20012022000014151140434443y x k k x x x x x --==---≤≤-+-+，令0415,[31,15]x t t -=∈--，可得12k k 关于t 的函数，可得12k k 的范围.【详解】解：（I ）设()00,P x y ，设切线：()00y y k x x -=-，可得圆心到切线的距离：()002211x k y d k -+==+，()()2220000432210xx k y x k y -++-+-=的两根为12,k k ，∴20122001243y k k x x -==--+，又22001164x y +=，解得：18115,7P ⎛ ⎝⎭或(2,3).（Ⅱ）由（I ）得：()20012022000014151140434443y x k k x x x x x --==---≤≤-+-+令0415,[31,15]x t t -=∈--，可得121433414k k t t=--++在[31,15]t ∈--上递增可得：121,135k k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系，不等式的性质等，综合性大，注意数形结合思想的运用.22.已知数列{}n x ，满足11x =，()12ln 1n n x x +=+，设数列{}n x 的前n 项和为n S ．求证：（I ）10n n x x +<<；（Ⅱ）112n n n n x x x x ++-<；（Ⅲ）31122221n n S -⋅≤<-．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【分析】（1）利用数学归纳法易得：0n x >，由()12ln 1n n n x x x +=+<，可得证明;（Ⅱ）将原不等式化简，证()2ln 102nn n x x x -+<+即可，令2()ln(1)(01)2x g x x x x=-+<<+，对()g x 求导，可得()(0)0g x g <=，可证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：112n n n n x x x x ++-<即111121n n x x +⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭,可得121n n x >-，111212n n n x -<<-，11222n n S -<-<，可得证明. 【详解】解：（I ）由数学归纳法易得0n x >，且()12ln 1n n n x x x +=+<，可得112n n n x x x ++>> （Ⅱ）要证112n n n n x x x x ++-<只需证()()11ln 12ln 102n n n n n n n n x x x x x x x x +++--=-+-⋅< 即证()()22ln 10n n n x x x -++<，即证()2ln 102nn nx x x -+<+，令2()ln(1)(01)2xg x x x x=-+<<+， 22'()0(2)(1)x g x x x =-<++ ∴()g x 在(]0,1上递减，∴()(0)0g x g <=．即：112n n n n x x x x ++-<（Ⅲ）由12n n x x +>得112n n x -<，由112n n n n x x x x ++-<得111121n n x x +⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭, ∴112n n x+<, ∴121n n x >-,∴111212n n n x -<<-, ∴11222n n S -<-<，∴11111(2)2122121n n n nx n -⎛⎫>>-≥ ⎪---⎝⎭, ∴11311112212221n n n S ⎛⎫>+-=-⋅⎪--⎝⎭（当1n =时1n S =）. 【点睛】本题主要考查数列的相关性质及导数在研究函数单调性中的运用，综合性大，难度较大.。

浙江省绍兴一中高三数学上学期段考试卷理(含解析)

浙江省绍兴一中2015届高三上学期段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，∁A B={1，3，5}，则集合B=（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4}2．（3分）已知a，b∈R，条件p：“a＞b”，条件q：“2a＞2b﹣1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．4．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，则l⊥αC．若l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m D．若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥β5．（3分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A．B． C．D．6．（3分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．7．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n•S n+1＜0的正整数n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．（3分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过顶点A1作平面α，使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（3分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）已知函数f（x）=，则f（ln3）=．12．（3分）已知，则=．13．（3分）若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．14．（3分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.568 50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598 超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）15．（3分）在△ABC中，B（10，0），直线BC与圆Γ：x2+（y﹣5）2=25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．16．（3分）（理科）若函数f（x）满足，当x∈时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是．17．（3分）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（8分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值；（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．20．（11分）已知等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），且a2+a5=，a3a4=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设该等比数列{a n}的前n项和为S n，正整数m，n满足＜，求出所有符合条件的m，n的值．21．（11分）如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E 在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．22．（11分）已知函数f（x）=ax﹣3，g（x）=bx﹣1+cx﹣2（a，b∈R）且g（﹣）﹣g（1）=f（0）．（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，集合A={x|f（x）≥x|x﹣a|g（x）}，试求集合A．浙江省绍兴一中2015届高三上学期段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，∁A B={1，3，5}，则集合B=（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4}考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，先用列举法表示集合A，进而由补集的性质，可得B=∁A（∁A B），计算可得答案．解答：解：根据题意，集合A={x∈N|0≤x≤5}={0，1，2，3，4，5}，若C A B={1，3，5}，则B=∁A（∁A B）={0，2，4}，故选B．点评：本题考查补集的定义与运算，关键是理解补集的定义．2．（3分）已知a，b∈R，条件p：“a＞b”，条件q：“2a＞2b﹣1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：：由条件p：“a＞b”，再根据函数y=2x是增函数，可得故条件q成立．但由条件q：“2a＞2b﹣1”成立，不能推出条件p：“a＞b”成立，从而得出结论．解答：解：由条件p：“a＞b”，再根据函数y=2x是增函数，可得 2a＞b b，∴2a＞b b﹣1，故条件q：“2a＞2b﹣1”成立，故充分性成立．但由条件q：“2a＞2b﹣1”成立，不能推出条件p：“a＞b”成立，例如由 20＞20﹣1 成立，不能推出0＞0，故必要性不成立．故p是q的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数y=2x的单调性，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．（3分）已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图我们要以判断出几何体为一个四棱锥，且由图中标识的数据，可以判断出几何体的棱长，高等几何量值，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥底面面积S=4×（1+1）=8高h=故该四棱锥的体积V=Sh=故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知条件判断出几何体的几何形状及棱长，高等几何量值，是解答的关键．4．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，则l⊥αC．若l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m D．若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故A错误；若l⊥m，l⊥n，m，n⊂α，则只有当m，n相交时，才有l⊥α，故B错误；若l∥α，l∥β，α∩β=m，则由直线与平面平行的性质得l∥m，故C正确；若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．（3分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）A．B． C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：由已知可求出函数f（x）的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数y=g（x）的解析式，根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后，比照四个答案即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）又∵函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于=故函数的最小正周期T=π，又∵ω＞0∴ω=2故f（x）=2sin（2x﹣）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位可得y=g（x）=2sin=2sin2x的图象令+2kπ≤2x≤+2kπ，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z故函数y=g（x）的减区间为，k∈Z当k=0时，区间为函数的一个单调递减区间又∵⊆故选A点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键．6．（3分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．解答：解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C点评：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．7．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n•S n+1＜0的正整数n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由S6＞S7＞S5，利用等差数列的前n项和公式可得a7＜0，a6+a7＞0．进而得到，=6（a6+a7）＞0．据此满足S n•S n+1＜0的正整数n的值为12．解答：解：∵S6＞S7＞S5，∴，∴a7＜0，a6+a7＞0．∴，=6（a6+a7）＞0．∴满足S n•S n+1＜0的正整数n的值为12．故选C．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式和基本性质是解题的关键．8．（3分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay﹣m﹣an=0与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|•d=1，∴||•=1，∵，∴a=2，∴c=，∴e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过顶点A1作平面α，使得直线AC和BC1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：利用线面角的定义，即可得出结论．解答：解：因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作平面，使平面与直线AC和BC1所成的角都等于30°，即过点A在空间作平面，使平面与直线AC和AD1所成的角都等于30°．因为∠CAD1=60°，所以∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面CAD1内有一条满足要求；因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，过角平分线与平面ACD1垂直的平面，满足要求；故符合条件的平面有2个．故选：C．点评：本题考查直线与平面所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力．在解决本题的过程中，转化思想很重要．10．（3分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为（）A．B．C．1 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设=（x1，y1），=（x2，y2）．不妨取=（1，0）．由于平面向量，，•=1，•=2，可得=（1，y1），=（2，y2）．由于|﹣|=2，可得=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．利用基数量积运算、本不等式可得•=2+y1y2=2﹣（﹣y1）y2即可得出．解答：解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵平面向量，，•=1，•=2，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|﹣|=2，∴=2，化为=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y1y2=2﹣（﹣y1）y2=，当且仅当﹣y1=y2=时取等号．∴•的最小值为．故选：B．点评：本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）已知函数f（x）=，则f（ln3）=e．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论．解答：解：∵1＜ln3＜2，∴2＜ln3+1＜3，由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为：e．点评：本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可，比较基础．12．（3分）已知，则=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦、余弦公式求得 sin（+α）=．再利用诱导公式求得=﹣sin（+α）的值．解答：解：∵已知，∴+sinα=，即（）=，∴sin（+α）=．∴=﹣sin（+α）=﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、以及诱导公式的应用，属于中档题．13．（3分）若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点A时，从而得到b值即可．解答：解：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=﹣2x+z经过可行域内的点A（，）时，z取得最小值，即2×+=3，解之得b=．故答案为：．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14．（3分）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.568 50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598 超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668 超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为148.4元（用数字作答）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：先计算出高峰时间段用电的电费，和低谷时间段用电的电费，然后把这两个电费相加．解答：解：高峰时间段用电的电费为50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1 （元），低谷时间段用电的电费为50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3 （元），本月的总电费为 118.1+30.3=148.4 （元），故答案为：148.4．点评：本题考查分段函数的函数值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．15．（3分）在△ABC中，B（10，0），直线BC与圆Γ：x2+（y﹣5）2=25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为（0，15）或（﹣8，﹣1）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设BC的中点为D，设点A和C的坐标，根据圆心Γ（0，5）到直线AB的距离等于半径5求出AB的斜率k的值．再由斜率公式以及ΓD⊥BC，求出C的坐标，再利用三角形的重心公式求得A的坐标．解答：解：设BC的中点为D，设点A（x1，y1）、C（x2，y2），则由题意可得ΓD⊥BC，且D（，）．故有圆心Γ（0，5）到直线AB的距离ΓD=r=5．设BC的方程为y﹣0=k（x﹣10），即 kx﹣y﹣10k=0．则有=5，解得 k=0或 k=﹣．当k=0时，有，当k=﹣时，有．解得，或．再由三角形的重心公式可得，由此求得或，故点A的坐标为（0，15）或（﹣8，﹣1），故答案为（0，15）或（﹣8，﹣1）．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三角形的重心公式，属于中档题．16．（3分）（理科）若函数f（x）满足，当x∈时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：综合题．分析：确定分段函数的解析式，分别研究它们的零点，即可得到结论．解答：解：①x∈时，f（x）=x，g（x）=x﹣mx﹣m，要使g（x）有零点，则必须有g（0）g（1）＜0，即m（2m﹣1）＜0，∴0＜m＜，若m=0，g（x）=x，有一个零点0；若m=，g（x）=，有一个零点1，∴m∈②x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=，g（x）=﹣mx﹣m，g（0）=﹣mg'（x）=m=0，g（x）单调减，g（0）=0，此时无零点若m＞0，则g′（x）＜0恒成立，x∈（﹣1，0）时，x→﹣1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=﹣m＜0∴此时在（﹣1，0 ）上必然有一个零点若m＜0，令g′（x）=0，考虑到x∈（﹣1，0 ），此时没有零点，综上所述：0＜m故答案为：点评：本题考查分段函数的解析式，考查函数的零点，解题的关键是确定分段函数的解析式．17．（3分）若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy﹣34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪∵c=2，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4①，∵△ABC的面积等于②，∴absinC=，即ab=4，联立①②解得：a=b=2，则△ABC为等边三角形；（Ⅱ）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，变形得：sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，若cosA=0，即A=，由c=2，C=，得b=，此时△ABC面积S=bc=；若cosA≠0，可得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a③，联立①③得：a=，b=，此时△ABC面积为S=absinC=．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（1）当平面A1DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A1CE所成角的正弦值；（2）设M为线段A1C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间角．分析：（1）利用线面、面面垂直的判定和性质定理及线面角的定义即可求出；（2）由二面角A1﹣EC﹣D为定值，且与二面角M﹣EC﹣B互补，及MO、BO为定值，即可得证．解答：解：（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CD即为直线CD与平面A1CE所成的角．在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．（2）如图所示，由（1）可知：CE⊥平面A1ED，∴∠A1ED为A1﹣EC﹣D的二面角的平面角，且为45°．取CE的中点O，连接BO、MO，由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，=1，∴MO⊥CE；在等腰Rt△EBC中，CO=OE=，则BO⊥CE．，∴∠MOB为二面角M﹣EC﹣B的平面角；由图形可知：二面角A1﹣EC﹣D与二面角M﹣EC﹣B互补，因此二面角M﹣EC﹣B的平面角为135°．又OB=，在△MOB中，由余弦定理可得MB2==5．∴．点评：熟练掌握线面、面面垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．20．（11分）已知等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），且a2+a5=，a3a4=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设该等比数列{a n}的前n项和为S n，正整数m，n满足＜，求出所有符合条件的m，n的值．考点：数列与不等式的综合；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由等比数列的性质联立方程组求得首项和公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）求出等比数列的前n项和，代入＜，整理后转化为2＜2n（4﹣m）＜6，结合2n为偶数，4﹣m为整数得到2n（4﹣m）=4．从而求得m，n的值．解答：解：（1）∵a3a4=a2a5，a2+a5=，a3a4=．∴，解得或，∴或（舍）．∴；（2），由＜，得，整理得：2＜2n（4﹣m）＜6．由于2n为偶数，4﹣m为整数，故只能是2n（4﹣m）=4．∴或．解得：m=2，n=1或m=3，n=2．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的和，训练了数列不等式的解法，考查了学生的灵活思维能力，是中档题．21．（11分）如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E 在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用求得x和y的关系．（II）设l'方程代入椭圆的方程，消去y，利用判别式大于0求得k的范围，设出E，F的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，令，则可推断出，进而表示出（x1﹣2）•（x2﹣2）和（x1﹣2）+（x2﹣2），最后求得k和λ的关系，利用k的范围求得λ的范围．解答：解：（I）由x2=4y得，∴．∴直线l的斜率为y'|x=2=1，故l的方程为y=x﹣1，∴点A的坐标为（1，0）．设M（x，y），则=（1，0），，，由得，整理，得．∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．（II）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，设l'方程为y=k（x﹣2）（k≠0）=1 ①，将①代入，整理，得（2k2+1）x2﹣8k2•x+（8k2﹣2）=0，由△＞0得．设E（x1，y1）、F（x2，y2），则，②令，则，由此可得，，且0＜λ＜1．由②知，．∴，即．∵，∴，解得．又∵0＜λ＜1，∴，∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（，1）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．22．（11分）已知函数f（x）=ax﹣3，g（x）=bx﹣1+cx﹣2（a，b∈R）且g（﹣）﹣g（1）=f（0）．（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，集合A={x|f（x）≥x|x﹣a|g（x）}，试求集合A．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论．分析：（1）由g（﹣）﹣g（1）=f（0）得出b，c的关系；（2）运用分类讨论思想，对实数a进行讨论，较两方程根的大小，结合二次函数图象，求出集合A．解答：解：（1）由g（﹣）﹣g（1）=f（0），得﹣2b+4c﹣（b+c）=﹣3，即b，c所满足的关系式b﹣c﹣1=0；（2）当b=0时，c=﹣1，∴，f（x）≥x|x﹣a|g（x）⇔⇔，①当a=0时原不等式等价于此时A=∅，②当a＞0时，根据x﹣a=3x﹣ax2解得（要根据a的正负区别两根大小，即左右）a﹣x=3x﹣ax2解得，∴当a∈（0，]时，A=（0，]∪∪∪（﹣∞，]，当a∈（﹣∞，﹣），A=（0，]∪（﹣∞，]．点评：本题考查了，等价转换思想，分类讨论思想，二次函数．属于中档题．。

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题及答案

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题及答案2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一年级）本评分标准共分为两部分，填空题和解答题。

填空题共有10小题，每小题9分，总分为90分。

评分时应按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次。

对于填空题，只设9分和0分两档。

解答题共有3小题，每小题20分，总分为60分。

评分时应按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次。

下面是各题的具体要求：填空题1.已知数列{an}是等差数列，an和a2014是方程5x^2-6x+1=0的两根，则数列{an}的前2015项的和为1209.2.已知a,b是常数，函数f(x)=ax^3+bln(x+x^2+1)+3在(-∞。

+∞)上的最大值为10，则f(x)在(-∞。

+∞)上的最小值为-4.3.若对于任意实数x，|x+a|-|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为1/3.4.设an=2n，bn=5n-1(n∈N*)，S={a1.a2.…。

a2015}∪{b1.b2.…。

ba2015}，则集合S中的元素的个数为504.5.△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。

若a-c=asinC，则sinC的值为1.6.设多项式f(x)满足f(x)+f(x+1)=-2x^2+2x+3，则f(1)+f(2)+…+f(9)=-186.7.已知点P在Rt△ABC所在平面内，∠BAC=90°，∠CAP为锐角，|AP|=2，A-CB+sin(2∠AP·AC)=2，AP·AB=1.当|AB+AC+AP|取得最小值时，tan∠CAP=8.8.sin(210°)+1/sin(10°)的值为6/10.9.函数f(x)=8-x+3x^2+6的最小值为5/3.10.使得p+(1/p^2+1)为完全平方数的最大质数p为7.解答题11.定义在(1.+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②当x>1时，f(x)>f(x/2)；③f(x)=f(x)-f(y)。