2018-2019学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2.1-2指数函数的概念课时作业北师大版必修1

3.3.1-3.3.2指数函数的概念
一、选择题
1．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1
；③y ＝3x ；④y ＝x 3
，其中指数函数的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] B
[解析] ①中，3x
的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x ＋1，不是x ，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B.
2．函数y ＝2－x
的图像是下图中的( )
[答案] B
[解析] ∵y ＝2－x
＝(12
)x ，
∴函数y ＝(12)x
是减函数，且过点(0,1)，故选B.
3．函数y ＝1－2x
的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意，得1－2x
≥0，∴2x
≤1，∴x ≤0， ∴函数y ＝1－2x
的定义域为(－∞，0]． 4．已知函数f (x )＝2x －1
＋1，则f (x )的图像恒过定点( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(1,1)
[答案] C
[解析] 代入选项易知C 正确．
5．经过点(－32，8
27)的指数函数的解析式为( )
A ．y ＝(94)x
B ．y ＝(32)x
C ．y ＝(49)x
D ．y ＝(23
)x
[答案] A
[解析] 将点(－32，827)代入指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，则a －
32 ＝827，即(1a )3
2 ＝
(23)3，所以1a ＝23
，即a ＝9
4. 6．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x
，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )
A ．[0,2]
B ．(1,3)
C ．[1,3)
D ．(1,4)
[答案] C
[解析] 本题考查指数函数集合的运算． |x －1|<2，∴－2<x －1<2 即－1<x <3，y ＝2x,
0≤x ≤2 ∴20
≤y ≤22
，即1≤y ≤4 ∴A ∩B ＝[1,3) 二、填空题 7．函数f (x )＝a x 2
＋2x －3
＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.
[答案] 9
[解析] ∵函数f (x )＝a x 2
＋2x －3
＋m (a >1)恒过点(1,10)，
∴10＝a 0
＋m ，∴m ＝9. 8．(2015·江苏高考)不等式2 x 2
－x
＜4的解集为________．
[答案] (－1,2)
[解析] 由题意得：x 2
－x <2⇒－1<x <2， 解集为(－1,2)． 三、解答题
9．若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，求实数a 的取值范围． [解析] y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <4
3
且a ≠1，
故a 的取值范围为{a |a <4
3且a ≠1}．
10．已知函数f (x )＝a x
＋x －2
x ＋1
(a >1)． (1)求f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )在(－1，＋∞)上的单调性．
[解析] (1)只需x ＋1≠0时，f (x )都有意义，故f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－1}． (2)设x 1，x 2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a x
1＋x 1－2
x 1＋1
－(a x
2＋
x 2－2
x 2＋1
) ＝(a x 1－a x
2)＋3 x 1－x 2 x 1＋1 x 2＋1 .
∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 又a >1，∴a x
1<a x
2，即ax 1－ax 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上是增加的.
一、选择题
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x
，x >0，
x ＋1，x ≤0，
若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[答案] A
[解析] 本题考查分段函数求值．
∵f (1)＝21
＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a
＝－2不成立． 当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3. 2．函数y ＝2
x ＋1的图像是图中的( )
[答案] B
[解析] x ＝0时，y ＝2；且y ＝2x ＋1
的图像是y ＝2x
的图像向左平移1个单位得到的，
为增函数．
二、填空题
3．若指数函数f (x )的图像经过点(2,4)，则f (3)＝________. [答案] 8
[解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f (2)＝4，即a 2
＝4.因为a >0且a ≠1，得a ＝2，即函数的解析式为f (x )＝2x ，∴f (3)＝23
＝8.
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2－x
－1，x ≤0x 1
2，x >0.则满足f (x )>1的x 的取值范围是________．
[答案] {x |x >1或x <－1}
[解析] 由已知f (x )>1可化为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，2－x
－1>1
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，x 1
2>1，解得x >1或x <－1，故
{x |x >1或x <－1}．
三、解答题 5．已知f (x )＝
1
2x
－1
＋a 是奇函数，求a 的值及函数的值域． [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即
12－x
－1＋a ＝－[1
2x －1
＋a ]， ∴2a ＝－12－x －1－1
2x －1＝1，
∴a ＝12
.
∵2x
－1≠0，∴x ≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵2x
>0且2x
≠1，∴2x
－1>－1且2x
－1≠0， ∴
12x －1<－1或1
2x －1
>0， ∴y <－12或y >12
.
∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(1
2
，＋∞)．
6．画出函数y ＝|2x
－1|的图像，并利用图像回答： 为何值时，方程|2x
－1|＝ 无解？
有一解？有两解？
[解析] 函数y ＝|2x
－1|的图像是由函数y ＝2x
的图像向下平移一个单位后，再把位于
x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，图像如图所示．当 <0时，直线y ＝ 与函数y ＝|2x －1|的图像无交点，即方程无解；
当 ＝0或 ≥1时，直线y ＝ 与函数y ＝|2x
－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； 当0< <1时，直线y ＝ 与函数y ＝|2x
－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解． 7．设f (x )＝4
x
4x ＋2，若0<a <1，试求：
(1)f (a )＋f (1－a )的值；
(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (1000
1001)的值．
[解析] (1)f (a )＋f (1－a ) ＝
4a
4a ＋2＋41－a
41－a ＋2＝4
a
4a ＋2＋44
a 4
4
a ＋2 ＝4a
4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a
4a ＋2＋22＋4a ＝4a
＋2
4a ＋2
＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (1000
1001)
＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (501
1001
)]＝500×1＝500.。