数学分析II考试卷A

暨 南 大 学 考 试 试 卷
（试卷正文）
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，
共12分）
1、函数)(x f 在 [a,b ] 上连续，则在[a,b ]上有（ ） A.)()(x f dx x f dx d b
a =⎰ B.
)()(x f dt t f dx d x
a =⎰
C.
)()(x f dt t f dx
d b
x
-=⎰
D.
)()(x f dt t f dx
d b
x
=⎰
2、在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（ ） A.⎰+∞
a dx x f )(收敛⎰+∞
a
dx x g )(也收敛 B.⎰
+∞
a
dx x g )(发散⎰
+∞
a
dx x f )(也发散
C.⎰
+∞
a dx x f )(和⎰
+∞
a
dx x g )(同敛散 D. 无法判断
3、对级数1
n n u ∞
=∑，0n n lim u →∞
=是它收敛的
A .充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D. 无关条件
4、若级数∑
∞
=+1
1
1n n
α收敛，则必有（ ）
A.0≤α;
B.0≥α;
C.0<α;
D.0>α 5、下列命题正确的是（ ）
A.)(1x a n n ∑∞
=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛
B.)(x a ∑∞
在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛
C.)(1
x a n n ∑∞
=在[a ，b ] 条件收敛必收敛
D.若0|)(|lim =∞
→x a n n ，则)(1
x a n n ∑∞
=在[a ，b ]必绝对收敛
6、∑∞
=-
-1
)11()1(n n
n x n
的收敛域为（ ）
A (-1,1).
B (-1,1).
C [-1,1] .
D [-1,1] . 二、计算题：（每小题5分，共35分） 1、)0(2
1lim 1
>++++∞
→p n
n
p p
p
p
n . 2、计算由曲线2x y =和2
y x =围成的面积
3、2
2
x t
x x te dt
lim
x sin tdt
→⎰⎰
. 4﹑计算n
n n
n x n ∑∞
=--1
1
2
)1(的收敛半径和收敛域
5﹑3sec xdx ⎰. 6﹑153dx cos x
-⎰
三、讨论判断题（每小题10分，共20分）
1、 讨论
1
+∞
⎰是绝对收敛还是条件收敛.
2﹑判断函数列{}n x 在01(,)上的一致收敛性
四、证明题（每小题8分，共24分）
1、 证明：函数3
sin nx f (x )n
=∑
在(,)-∞+∞上连续，且有连续的导函数.
2、若f (x )在[a,b]上连续，则函数x a
(x )f (t )dt Φ=
⎰
在[a,b]上可导，且
x a
d (x )f (t )dt f (x ),x [a ,b ]dx
'Φ=
=∈⎰
.
由此证明牛顿-莱布尼茨公式b
a
f (x )dx F (b )F (a )=-⎰，其中F (x )为f (x )的
原函数。

2、 若f (x )在[,]ππ-上满足f (x )
f (π
+=，试证其傅里叶系数
212
100n n a ,b
--==。

五、将函数ln(x +展开为x 的幂级数（9分）。