差分方程的Z变换解
§5-4_差分方程的z变换解法
设差分方程为： 设差分方程为： 两边同求z变换： 两边同求 变换： 变换
∑a
k =0
N k =0
k
y (n − k ) = ∑ br x(n − r )
r =0
−1 −k
M
∑a z
k
[Y ( z ) +
n= − k
∑ y ( n) z
−n
] = ∑ br z − r X ( z )
r =0
M
《Signals & Systems》 》
−k k
Yzi ( z ) =
− ∑ ak z [ ∑ y ( n) z − n ]
k =0 n= − k k N
N
−k
−1
∑a z
k =0
∑a z
k =0
−k
《Signals & Systems》 》
信号与系统》 《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
例如：已知因果系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求： 例如：已知因果系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求： 系统的全响应，并指出零输入响应、 系统的全响应，并指出零输入响应、零状态响应和自由响应 与受迫响应。 与受迫响应。
《Signals & Systems》 》
信号与系统》 《信号与系统》
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利用z变换解差分方程[优质PPT]
![利用z变换解差分方程[优质PPT]](https://img.taocdn.com/s3/m/3f8d92a27c1cfad6195fa7bc.png)
N
M
akzk[Y(z) brzrX(z)
k＝ 0
r＝ 0
于是 令 则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
解： 方程两端取z变换
Y z0 .9z 1 Y zy1 0 .05 z z1 Yzz 0 1 .0 zz 5 20.90.9 zy 0 .9 1z
YzA1z A2z
z z1 z0.9
YzA1z A2z
z z1 z0.9
A 10.5 A 20.45
Yz0.5z 0.45z
z
z1 z0.9
y n 0 .5 0 .4 0 5 .9 n n 0
思考题
• 1. 求差分方程的方法有哪些？ • 2. 怎样利用z变换求差分方程？
2
2
将上式整理，得
1 y(1)(z1 1) 1 y(2)
Y(z) 2
2
1
X(z)
1 1 z1 1 z2
1 1 z1 1 z2
22
22
Yzi(z)Yzs(z)
matlab用z变换求解差分方程
matlab用z变换求解差分方程
Z变换是一种非常重要的信号分析工具，在MATLAB中，可以使用Symbolic Math Toolbox进行Z变换的计算和求解差分方程。
Z变换是一种将离散时间信号从时间域转换到复平面域的方法。它与拉普拉斯变换的关系类似，但适用于离散时间信号的分析。在MATLAB 中，使用syms函数创建符号变量来表示Z变换的变量，然后使用ztrans函数进行Z变换的计算和求解差分方程。
下面将通过一个简单的例子来说明如何使用MATLAB进行Z变换求解差分方程。
假设有一个差分方程：
y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]
首先，使用syms函数创建符号变量：
syms z
定义输入信号和初始条件：
x=z^2;%输入信号
y0=1;%初始条件y[-1]
y1=0;%初始条件y[-2]
然后，使用ztrans函数进行Z变换计算：
Y = ztrans(y[n], n, z);
X = ztrans(x, n, z);
差分方程中的Y和X分别表示Y(z)和X(z)，因此可以写出差分方程的Z变换方程：
Y-0.5*z^(-1)*Y+0.25*z^(-2)*Y=X
然后，将方程转化为Y(z)的表达式：
Y = solve(Y - 0.5*z^(-1)*Y + 0.25*z^(-2)*Y == X, Y);
至此，Z变换方程求解完成，可以使用ilaplace函数从Z域转换回时间域，以获得Y[n]的表达式：
y = ilaplace(Y, z, n);
最后，可以将结果绘制出来：
n=-10:10;%时间范围
信号与系统差分方程z域解中前向差分
信号与系统是电子信息类专业中重要的课程之一，差分方程是信号与
系统中重要的内容之一，而z域解是差分方程求解中常用的方法之一。本文将针对差分方程z域解中前向差分进行较为详细的介绍，希望能
够为读者对该知识点有更深入的理解。
一、差分方程的引入
在信号与系统中，差分方程是描述离散时间信号的重要数学工具。它
可以描述离散时间信号的演变规律，对于系统的分析和设计具有重要
意义。
二、z变换及z域表示
z变换是拉普拉斯变换在离散时间信号中的推广，它可以将离散时间域中的信号转换到z域。在z域中，信号与系统的分析更加方便，因此z 变换及z域表示是信号与系统中的重要内容。
三、差分方程的z域解
差分方程的z域解即是将差分方程通过z变换转换到z域中进行求解
的过程。z域解可以帮助我们更加清晰地了解离散时间系统的特性，并且为系统的分析提供了重要的数学工具。
四、前向差分
前向差分是差分方程中常用的一种形式，它通过求取当前时刻与前一时刻的差分来描述离散时间信号的演变规律。前向差分在信号与系统中具有重要的应用，对系统的分析和设计有着重要的意义。
五、前向差分在z域中的表示
在z域中，前向差分可以通过z变换的性质进行表示，这样可以方便地进行系统的分析和设计。掌握前向差分在z域中的表示对于信号与系统的学习具有重要意义。
六、前向差分在系统分析中的应用
前向差分在系统分析中有着广泛的应用，特别是在控制系统中的离散控制中，前向差分被广泛地应用。了解前向差分在系统分析中的应用对于提高学习者的专业素养有着重要的作用。
七、结论
本文对差分方程z域解中前向差分进行了较为详细的介绍，希望能够帮助读者对该知识点有更深入的理解。差分方程z域解在信号与系统中有着重要的作用，掌握这一知识点对于提高学习者的专业素养具有
后向差分法的z变换
后向差分法的z变换
后向差分法是一种用于离散信号处理和滤波的方法，其基本思想是通过递推关系将当前时刻的信号值与之前时刻的信号值进行差分运算。
对于一个离散信号序列x(n)，假设其z变换为X(z)，则后向差分法可以表示为：
y(n) = a * y(n-1) + b * x(n)
其中，y(n)为输出信号序列，a和b为差分系数。
对上式进行z变换，可以得到：
Y(z) = a * z^{-1} * Y(z) + b * X(z)
然后，通过移项得到：
Y(z) * (1 - a * z^{-1}) = b * X(z)
最后，可以得到y(n)的z变换表示为：
Y(z) = b * X(z) / (1 - a * z^{-1})
这个z变换表达式可以用于后向差分法进行离散信号处理和滤波。
差分方程的Z变换解
1
实验目的
学习使用Matlab的符号运算 变换和反Z 学习使用Matlab的符号运算Z变换和反Z变换 的符号运算Z 方法。以及反Z变换中的部分分式展开法。 方法。以及反Z变换中的部分分式展开法。加 深对Z变换的理解。 深对Z变换的理解。 学习用Matlab计算差分方程的方法。 学习用Matlab计算差分方程的方法。加深对 计算差分方程的方法 离散系统Z变换分析的理解，对零输入响应、 离散系统Z变换分析的理解，对零输入响应、 零状态响应的理解。 零状态响应的理解。
3
实验原理与说明
2、求反Z变换的部分分式法 、求反Z
若 为有理式，则可表达为
MATLAB提供了一个对
进行部分分式展开的函数
residue()，其调用形式为 [r,p,k]=residue(N,D) 式中，N和D分别为 的分子多项式和分母多项式的 系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k 为多项式的系数向量。
和
变换有
6
计算示例 1
试求下列序列的Z变换。 试求下列序列的Z变换。 以1例说明 例说明
(e)
Matlab计算的命令如下 计算的命令如下： 解：用Matlab计算的命令如下：
>> F=ztrans(sym('k-3')) F= z/(z-1)^2-3*z/(z-1) >> F=subs(F,z^-1) % 根据反折性质，变量代换z换成1/z F= 1/z/(1/z-1)^2-3/z/(1/z-1)
信号与系统5-2差分方程的Z变换解课件
Yzs (z)
H (z)F (z)
z2
z3 3z
2
z
z 1
全响应
y(k)
yzs(k) [ yzi(k)
(b2z2 b1z b0 )F(z) b2 f (0)z2 b2 f (1)z b1 f (0)z
令：M (z) [ y(0) b2 f (0)]z2 [ y(1) a1y(0) b2 f (1) b1 f (0)]z
Y (z)
z2
M (z) a1z
a0
b2 z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
Y (z) Yzi (z) Yzs (z) 零输入响应
零状态响应
电信学院
3
系统函数
定义
H
(z)
零状态响应的z变换 激励信号的z变换
Yzs (z) F(z)
二阶系统零状态响应
Yzs (z)
b2z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
H (z)F (z)
对n阶LTI系统的系统函数
系不数 过，h(k它y)z是s与(k系输) 统入h在无(k时关) 域，f的反(k描映)述系h，统(kH本)(z身)是z特k 对性系。统只在
复频域的描述。 h(i)z ki z k
h(i)z i
i
i
yzs (k) H (z) z k
K2.11 差分方程的z变换解
2)
1 z 1 z 1 z , | z | 2 6 (z 1) 2 (z 1) 3 (z 2)
yzs (k )
[1 6
1k
1 2
(1)k
1 (2)k ] (k)
3
8
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
差分方程的z变换解
62
3
6
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
差分方程的z变换解 (2)求零输入响应
yzi (k) 3yzi (k 1) 2 yzi (k 2) 0 yzi (1) y(1) 1, yzi (2) y(2) 0
3z2 (z 1)(z
2z 2)
,
| z | 2
z 4z z 1 z 2
yzi (k) (1)k (2)k2 , k 0
7
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差分方程的z变换解 (3)求零状态响应
yzs (k) 3yzs (k 1) 2 yzs (k 2) f (k 2)
差分方程的z变换解 例2 ： (求LTI系统差分方程的3种响应) 已知：离散系统的方程为：
3差分方程Z变换解读
第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析
3.1.1 差分方程
3.1.2 差分方程的解
A递推解
B古典解
C Z变换求解
3.2 Z变换
3.2.1 Z变换的定义
3.2.2 Z变换的性质
3.2.3 Z反变换
A长除法
B留数法
C部分分式法
3.3 离散时间系统的Z域分析
3.3.1 零输入响应
3.3.2 零状态响应
3.3.3 完全响应
3.4 Z传递函数及其求法
3.4.1 Z传递函数的定义
3.4.2 离散系统的运算
3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化
A对G(s)的讨论
B对离散化方法的评价
C 留数法
D直接代换法
E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法
G部分分式法
3.4.4 离散化方法小结
3.5 线性离散时间系统的稳定性分析
3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系
3.5.2 稳定判据
3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性
3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法
第3章 线性离散系统的描述及分析
3.1 差分方程及其时域分析
3.1.1 差分方程
在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式
1101101-1
()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,
(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n
§87 用z变换解差分方程.
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
（2）用z变换求解需要y 1, y 2,用y1, y0由方程迭代出第7
y 1 1 , y 2 5
百度文库
页
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
第
c. 全响应
9
页
y n 3y n 1 2y n 2 xn xn 1 xn 2n u(n)
Y z3z1Y z y 12 z2Y z z1y 1 y 2
z z z1 z2 z2
Y
z
z
2z
1 z
2
2
Y
z
z
z
2
1 z
22
A1 z 1
B1 z2
z
B2
22
A1 2, B1 2, B2 2
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 条件）。
一．应用z变换求解差分方程步骤
第 3
页
一．步骤
(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；
(2)由z变换方程求出响应Y(z) ；
6.5 用Z变换解差分方程
z X ( z) , | z | 2, x(1) 0 z2 2z 3、整理得 Y z z 1z 22
2
4
Y z
z 1z 2
2z
2
4、 求y(n)
Y z 2 A1 B1 B2 1) 2 2 z z 1 z 2 z 1z 2 z 2
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6
Z变换的定义与收敛域 Z变换的性质 逆Z变换 Z平面与S平面的映射关系 用Z变换解差分方程 离散系统的系统函数H(z)
a
k 0
k a z k [Y ( z ) k 0 N 1 l k
N
k
y( n k ) br x ( n r )
(四) 由H(z)的零极点分布确定h(n)的性质
由于系统函数 H z 与单位样值响应 hn 为一对 z
变换对, 即：
H z ZThn ， hn ZT 1 H z
所以可从 H z 的零极点分布情况，确定单位样值响 应 hn 的性质
H z
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2
matlab用z变换求解差分方程
matlab用z变换求解差分方程
在matlab中，可以使用z变换来求解差分方程。z变换是一种将离散信号转换为复变量函数的方法，其在数字信号处理中有着广泛应用。通过将差分方程转换为z域的方程，可以方便地求解。
在matlab中，可以使用ztrans函数来进行z变换的计算。该函数需要输入一个差分方程，返回其在z域中的表示。然后，可以使用iztrans函数来进行逆z变换，将z域的结果转换为时间域的结果。
在使用z变换求解差分方程时，需要注意选择合适的初始条件，以及确保差分方程是稳定的。此外，还需要注意处理z变换中的极点和零点，以避免求解出现错误。
总之，使用matlab求解差分方程可以借助z变换的方法，通过简单的函数调用来实现。需要注意的是，在实际应用中需要考虑各种因素，以保证求解的准确性和可靠性。
- 1 -
用单边Z变换解差分方程
n
z m x ( n m) z ( n m ) z m x ( k ) z k
n 0 k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm m 1 m k k z x ( k ) z x ( k ) z k 0 k 0 m 1 m k z X ( z ) x(k ) z k 0
1 x(t ) 2
X (e )
j
n
x ( n)e
j n
jt 1 X ( j ) e d x ( n) 2
X (e j )e jn d
25
定义一：系统频率响应即系统单位样 值函数的傅立叶变换
( n)
h( n)
(n) * h(n) r (n) h(n)
17
例：已知因果系统的系统函数如下： 1 z 1 H ( z) 1 z 1 z 2 试说明该系统是否稳定？ z ( z 1) 解： H ( z) 3 1 (z 1 j )( z 2 2 2 j
p1 1 2 j
3 2
3 2
)
临界稳定
p2 1 2 j
n
x ( n) z
n
ZT [ x( n m)] z m X ( z ) ZT [ x( n m)] z X ( z )
差分方程z变换的右移定理
差分方程z变换的右移定理
差分方程中的z变换右移定理是指对于差分方程中的序列，将其右移k个单位得到的序列z^(-k)的变换和原序列的z变换之间的关系。
具体表述为：如果序列x(n)的z变换为X(z)，那么序列x(n-k)的z变换为z^(-k)X(z)。
其中，k为右移的单位数，n为序列的索引。
需要注意的是，差分方程中的z变换右移定理只适用于离散时间下的序列和差分方程。
应用z变换求解差分方程讲述
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方 程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第七章中介绍，烦琐 •z变换方法
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 条件）。
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z
z1
z 0.9
yn 0.5 0.45 0.9n n 0
例8-7-2
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程.
若边界条件y(1) 1,求系统的完全响应。 解：
方程两端取z变换
Y z 0.9 z1Y z y 1 0.05 z z1
Y
z
z
0.05 z 2
1z 0.9
0.9 z
y 1z
0.9
Y z A1z A2z
z z 1 z 0.9
2)用z变换求解需要y 1, y 2,用y1, y0由方程迭代出
y 1 1 , y 2 5
2
4
3)差分方程两端取z变换，利用右移位性质
z变换到差分方程
z变换到差分方程
z变换（Z-transform）是一种在数字信号处理中广泛应用的数学工具，用于将离散时间域中的信号转换为连续时间域中的信号，从而更方便
地对信号进行分析与处理。通常情况下，我们可以将差分方程（difference equation）通过Z变换来求解，从而得到其对应的Z变换函数（Z-transform function）。
具体地说，对于给定的差分方程：
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + ak*y(n-k) = b0*x(n) + b1*x(n-1) + b2*x(n-2) + ... + bm*x(n-m)
其中，y(n)和x(n)分别表示输出和输入信号在时间点n的取值，a1、
a2、…、ak和b0、b1、…、bm为常数系数，k和m为差分方程的
阶数。我们可以通过将差分方程中的所有项进行变换，得到其对应的
Z变换函数：
Y(z) + a1*Y(z)*z^{-1} + a2*Y(z)*z^{-2} + ... + ak*Y(z)*z^{-k} =
b0*X(z) + b1*X(z)*z^{-1} + b2*X(z)*z^{-2} + ... + bm*X(z)*z^{-m}
其中，Y(z)和X(z)分别表示输出和输入信号的Z变换函数，z^{-n}表
示Z域中的时间延迟，也可以将其视为离散时间域中的退化因子，它对应的函数形式为z^{-n} = e^{-jwn}，其中w为频率。
通过对上述等式进行变换和整理，我们可以将Y(z)和X(z)表示为如下形式：
Y(z) = [b0*X(z) + b1*X(z)*z^{-1} + b2*X(z)*z^{-2} + ... +