高三数学(文)答案

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2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题含答案

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分）又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分）在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分）（2）由，且当时，，当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，（11分）令，∵ ，∴ ，在上单调递增，∴ ，解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ，推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分）（3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分）由于右边大于，则，即，考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分）当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案

2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是（）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为（） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为（） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。

2023届贵州省铜仁市高三上学期期末质量监测数学(文)试题(解析版)

2023届贵州省铜仁市高三上学期期末质量监测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,2,,M N y y x x x M =-==-∈，则M N ⋃=（）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{1,0,1,2,4}-C ．MD ．N【答案】C【分析】求出集合N 再求并集可得答案. 【详解】因为{0,2}N =，所以{1,0,1,2}M N M =-=．故选：C ．2．在复数范围内，复数5i12iz -=-的共轭复数的模是（）A ．BCD 【答案】B【分析】根据复数的除法运算可得2i z =-，再结合共轭复数和模的概念求解. 【详解】因为复数5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z --+===---+，所以2i z =+，其模为|||2i |z =+= 故选：B ．3．已知向量(,),(2,4)a x y b ==-，满足()a a b ⊥-，则动点(,)P x y 的轨迹是（） A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】B【分析】将坐标代入运算后即可辨析为圆的标准方程. 【详解】因为()a a b ⊥-，所以(,)(2,4)(2)(4)0x y x y x x y y ⋅-+=-++=，即22(1)(2)5x y -++=．故动点(,)P x y 的轨迹是一个圆．故选：B ．4．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．下列结论中错误的是（）A ．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C ．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢D ．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平【答案】C【分析】结合图像逐一辨析即可.【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A 正确：由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B 正确：由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D 正确：三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C 错误．故选：C ．5．已知实数x ，y 分别是方程|||1|1t t +-=的解，则2x y +的取值范围是（） A ．[0,2] B ．[2,2]-C ．[0,3]D ．[3,3]-【答案】C【分析】根据实数x ，y 分别是方程|||1|1t t +-=的解可得01,01x y ≤≤≤≤，进而可得023x y ≤+≤. 【详解】因|||1|1t t +-=表示实数t 的范围是[0,1]，所以01,01x y ≤≤≤≤．所以023x y ≤+≤，且当(,)(1,1)x y =时，2x y +有最大值是3；当(,)(0,0)x y =时，2x y +有最小值是0．故2x y +的取值范围是[0,3]．故选:C ．6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （） A ．4 B ．5C ．6D ．8【答案】D【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+= 故选：D ． 7．设67,ln 9ln 7a b c ===则a ，b ，c 之间的大小关系式是（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】B【分析】构造函数()(0)ln xf x x x=>，利用导数判断出()f x 的单调性可得答案. 【详解】24637,,ln 2ln 4ln 9ln 3ln 7a b c ======，构造函数()(0)ln x f x x x=>，得2ln 1()ln x f x x -'=，由ln 10x ->得e x >时()0f x '>，知()f x 在区间(e,)+∞上是增函数，于是347ln 3ln 4ln 7<<，即b a c <<. 故选：B ．8．函数()()33cos()x xf x x -=--在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由于()()()33cos()33cos x x x xf x x x --=--=-，x ∈R , 则()()()33cos 33cos()()x x x xf x x x f x ---=-=---=-，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，而A,B 中图象不是关于原点对称，故A,B 错误；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，33,cos()cos 0x x x x ->-=>，∴()0f x >，则当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x <，故C 错误，只有D 中图象符合题意，故选：D ．9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（） A ．111AC B D ⊥ B ．若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C ．正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D ．1ACD △3【答案】D【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111D C B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC AC C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111AC B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C, 正方体1111ABCD A B C D -3 所以外接球的表面积为234π3π⨯=⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △2所以它的面积为213(2)sin 602⨯⨯︒=D 错误．故选：D ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和2nn S a =+，且2log n n b a a =-，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（） A ．321nn + B ．1n n + C ．21nn + D ．21nn + 【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和求出参数a 的值，以及{}n a 的通项，从而得到n b n =，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =+，当1n =时，112S a =+，即12a a =+，当2n ≥时，112n n S a --=+，即()111222n n n n n n a S S a a ---=-=+-+=所以11122a a -==+，解得1a =-，所以12n n a -=，()122log log 21n n n b a a n -=-=--=则()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查由前n 项和求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题. 11．已知1sin cos 2x y =，则cos sin x y 的取值范围是（） A ．11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解. 【详解】设cos sin a x y =，又1sin cos 2x y =，则有1sin()sin cos cos sin ,2x y x y x y a +=+=+ 1sin()sin cos cos sin 2x y x y x y a -=-=- 由三角函数的有界性，知1111,1122a a -≤+≤-≤-≤，所以1122a -≤≤．故选：B ．12．已知正四棱锥的体积为23，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（） A ．π2B ．π3C ．22D ．2π2【答案】A【分析】将问题转化为正四棱锥内切球的大圆是VMN 的内切圆，利用几何关系表示出内切球的表面积，利用基本不等式求最大值.【详解】如图，在正四棱锥V ABCD -中，M 、N 分别是线段BC AD 、的中点，该正四棱锥内切球的大圆是VMN 的内切圆．圆心为E ．设,,NME OM a VO h θ∠===，则圆E 的半径 tan R EO a θ==． tan2h VO a θ==．于是，正四棱锥的体积为212(2)3a h ⋅=即有242a h 所以34tan 22a θ=此时，该正四棱锥内切球的表面积2224π4πtan S R a θ==．236662tan tan 4πS a θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭()22211tan tan 32θθ⎡⎤=-⎣⎦()222231tan tan 113228θθ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥≤= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即π2S ≤．当22tan 1tan θθ=-，即tan 2θmax π2S =．故选：A ．二、填空题13．已知数列{}n a 满足112a =，且11n n n a a a +=+，则n a =________．【答案】11n +##11n+ 【分析】化简可得1111n na a ，则11nn a =+，进而得到n a . 【详解】由11n n n a a a +=+，得1111n na a ，且112a =，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以1211n n n a =+-=+，故11n a n =+，故答案为：11n +. 14．从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为__________．【答案】910##0.9【分析】求得全是男医生参加的概率，根据对立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有25C 10=种选法，如果全是男医生参加，则只有一种选法，此时的概率为110，故至少有1名女医生参加的概率为1911010-=，故答案为：910． 15．已知直线1:(2)l y m x =-+，2:20l x my m ---=，当任意的实数m 变化时，直线1l 与2l 的交点的轨迹方程是_____________．【答案】2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【分析】联立方程消m 整理即可.【详解】联立两直线得(2)(1)2y m x m y x =-+⎧⎨+=-⎩，将这两式相乘，消去参数m ，得(1)(2)(2)y y x x +=-+-，即2240x y y ++-=，可得轨迹方程为2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：2211724x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭16．已知函数()f x 满足2,2,(2)ln(2),2,ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图象，利用导数求切线进行求解. 【详解】因为函数()f x 满足2,2(2)ln(2),2ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0,0(),()ln ,0ln(),0ax x ax x f x f x x x x x ⎧≤-≥⎧=-=⎨⎨>-<⎩⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以函数()y f x =与()y f x =-的图象恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点， ,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点，设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ，此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==，解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e=-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.三、解答题17．设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．(1)求C ；(2)求2c S的最小值．【答案】(1)2π3C = (2)43【分析】(1)根据二倍角公式可得222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，再根据正弦定理可得222a b c ab +=-再用余弦定理求解；(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得2223c a b ab S ab ⎫++=⎪⎭，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由二倍角公式，得()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理、余弦定理，得222a b c ab +=-，2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．（2）注意到12π3sin 234S ab ab ==．由余弦定理，得222222π2cos3c a b ab a b ab =+-=++，所以22222442433334c a b ab a b ab ab ab S ab ab ab⎛⎫+++++⎛⎫==≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当a b =时等号成立，故2c S的最小值为43.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1CA CB ==，90BCA ∠=︒，12AA =，M ，N 分别是11A B ，1A A 的中点．(1)求证：1BN C M ⊥； (2)求三棱锥1B BCN -的体积．【答案】(1)详见解析 (2)13【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）利用等体积公式，转化为11B BCN C BNB V V --=，即可求解体积. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且平面111A B C 平面1111ABB A A B =，因为11CA C A =，11CB C B =，且点M 是11A B 的中点，所以1C M ⊥平面11ABB A ，又因为BN ⊂平面11ABB A ，所以1C M BN ⊥；（2）三棱锥11B BCN C BNB V V --=,由条件可知ABC 是等腰直角三角形，22112AB =+=，所以112222BNB S=⨯⨯=，点C 到平面1BNB 的距离122d C M ==， 111212323B BCNC BNB V V --==⨯⨯=.19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求出直方图中m 的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；(2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．【答案】(1)0.030m =，平均数为71，中位数为73.33(2)35【分析】（1）利用频率之和为1可算出0.030m =，然后利用直方图的平均数，中位数计算方式即可求解；（2）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种，利用古典概型概率公式求解即可【详解】（1）由10(0.0100.0150.0150.0250.005)1m ⨯+++++=得0.030m =，所以该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为()450.01550.015650.015750.03850.025950.0051071x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，设中位数为n ，因为0.10.150.150.40.5,0.40.30.70.5++=<+=>，所以中位数位于[70,80)，则0.10.150.15(70)0.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈，故0.030m =，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．（2）由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有()1000.30.250.0560⨯++=个，()1000.10.150.1540⨯++=个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个，记3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共10种，其中，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)a d a e b d b e c d c e ，共6种，故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==． 20．已知函数()1ln f x a x x=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y +=垂直．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）求证：当1x ≥时，()2122x x f ≤+．【答案】（1）()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；()2(1ln 2)f x =-极小值，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得()111k f a '==-=，从而可求出a 的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，（2）由()2122x x f ≤+，令211()2ln 22x g x x x =+--，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可【详解】（1）解：定义域：()0,∞+， ∵()2211aax f x xx x-'=-=，∴()1112k f a a '==-=⇒=，当2a =时，()221x f x x -'=；当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，0f x ，所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；11()2ln 22(1ln 2)22f x f ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭极小值，无极大值．（2）证明：由（1）知1()2ln f x x x=+，令211()2ln 22x g x x x =+--，则32222121(1)[1(1)]()x x x x x g x x x x x x ----+'=--==， 1x ≥，(1)1x x +>∴，1(1)0x x -+<∴， ∴()0g x '≤，即()g x 在[1)+∞，上单调递减， ()(1)0g x g ∴≤=，∴当1x ≥时，21()22x f x +≤．21．平面内定点(1,0)F ，定直线:4l x =，P 为平面内一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且||2||PQ PF =． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过点F 与坐标轴不垂直的直线交动点P 的轨迹于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点R ，试判断||||FR AB 是否为定值．【答案】(1)22143x y += (2)||1||4FR AB =为定值．【分析】（1）设(,)P x y ，利用||2||PQ PF =可得到222(4)4(1)x x y ⎡⎤-=-+⎣⎦，化简即可；（2）设:(1)(0)AB y k x k =-≠，与椭圆的方程进行联立可得221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，可求出D 的坐标，继而求出线段AB 的垂直平分线的方程，通过距离公式和弦长公式即可求解【详解】（1）设(,)P x y ，因为||2||PQ PF =，即224PQ PF =，所以222(4)4(1)x x y ⎡⎤-=-+⎣⎦化简整理，得22143x y +=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=（2）法一：由条件可得直线AB 的斜率必存在且不为0，可设:(1)(0)AB y k x k =-≠，联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，设AB 中点为()00,D x y ，知212024234x x k x k +==+，()0023134k y k x k -=-=+， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234R kx k =+，所以()222231||13434k k FR k k +=-=++，而()22121||34k AB k +=+， ∴||1||4FR AB =为定值．法二：设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-=，设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为()00,D x y ，则2122834k x x k +=+，由22143x y +=可得12e ==，∴()()222122|831211|242434k k B k A e x x a k +=+-=⋅-=++，()12002311234x x k y k x k k+-⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭，又线段AB 的垂直平分线方程为()001y y x x k-=--，令0y =，得00R x ky x =+，∴()200002223133||11343434R k y k FR x ky x ky k k k k k +--=-=+-=+=⋅+=+++， ∴||1||4FR AB =为定值．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）． (1)求直线l 及曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】(1)230x y --=，221x y -=；【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答. （2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【详解】（1）因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 322θθρθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．（2）把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB == 所以直线l 被曲线C 截得弦AB23．设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈． (1)求证：115236a b -<； (2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)|2||2|a b ab -<-，理由见解析【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三角不等式即可证明；（2）首先根据题意得到||1,||1a b <<，再计算|2|a b -与|2|ab -平方的大小，即可得到答案. 【详解】（1）不等式1,1122121421122222x x x x x x x ⎧≤-⎪⎪++-<⇔++-<⇔⎨⎪---+<⎪⎩，或11,2211222x x x ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪+-+<⎪⎩或1,121112222x x x x ⎧>⎪⎪⇔-<≤-⎨⎪++-<⎪⎩或1122x -<≤或11112x x <<⇔-<<，即{11}M x x =-<<，由,a b M ∈，知1,1a b -<<，得||1,||1a b <<，于是 1111115||||2323236a b a b -≤+<+=；（2）|2||2|a b ab -<-．理由如下：由得||1,||1a b <<，知2210,40a b ->->，所以()()22222222(2)(2)44140a b ab a b a b a b ---=+--=---<，得22(2)(2)a b ab -<-，即|2||2|a b ab -<-．。

2022-2023学年江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试卷含答案

高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学(文)试题【含答案】

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间内，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当时，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。

高三文科数学试卷（含答案）经典题

高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线，则ｍ的值为．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是． a b b a a b 2的值为．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号甲样式甲样式乙样式乙样式丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ，从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。

高三联合考试数学(文)试题

高三联合考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；满分150分；考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；有且只有一个是正确的） 1．若θθθπθ2cos ,22cos sin ),2,0(则=-∈等于（）A ．21 B ．23-C ．23 D ．±21 2．一个容量为n 的样本；分成若干组；已知某组的频数和频率分别为40；0.125；则n 的值为（）A ．640B ．320C ．240D ．1603．已知{a n }是正项的等差数列；如果满足,642752725=++a a a a 则数列{a n }的前11项的和为（）A ．8B ．44C ．56D ．64 4．函数]4,0[),sin (cos cos )(π∈+=x x x x x f 的值域是（）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2221,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2221,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2221D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,22215．设a ；b ∈R ；则“a+b =1”是“4ab ≤1”的（）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件6．函数2)(23+++=x ax x x f 在R 上存在极值点；则实数a 的取值范围是（）A ．()3,3-B ．[]3,3-C ．),3[]3,(+∞⋃--∞D ．),3[]3,(+∞⋃--∞7．设m 、n 都是不大于6的自然数；则方程12626=-y C x C nm表示双曲线的个数是（）A ．16B ．15C ．12D ．68．已知平面向量,,,3||,2||,1||,,且向量满足===两两所成的角相等；则 ||++=（）A ．3B ．6或2C ．6D ．6或39．双曲线12222=-by a x 的左焦点为F 1；顶点为A 1；A 2；P 是该双曲线右支上任意一点；则分别以线段PF 1；A 1A 2为直径的两圆一定（）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离10．设函数f （x ）的定义在R 上的偶函数；且在|,|||]0,(b a <-∞上增函数，若则以下结论正确的是（）A ．0)()(<-b f a fB ．0)()(>-b f a fC ．0)()(>+b f a fD ．0)()(<+b f a f11．正方体的直观图如右图所示；则其展开图是（）12．在△ABC 中；角A 、B 、C 所对的边分别是10103cos ,21tan ,,,==B A c b a ；若△ABC 最长的边为1；则最短边的长为（）A ．55B ．552 C ．553 D ．554第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题（每小题4分；共16分把答案填在答题卷．．．中横线上）13．若x ＞1；不等式k x x ≥-+11恒成立；则实数k 的取值范围是。

高三文科数学试卷带答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。

2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。

3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。

点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。

4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。

5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。

6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。

7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。

陕西省安康市2023届高三第三次质量联考文科数学答案

文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DABACBDCCBAA1.D解析：由题意得2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，故{(0,0),(1,1)}A B = .2.A 解析：()()()()()i 2i 22i i 2i 2i 2i 2i 5a b a b b a z a b +-++-+===+++-为纯虚数，∴20,20a b b a +=⎧⎨-≠⎩∴2ba =-.3.B 解析：S 6＝6（a 1＋a 6）2＝6（a 3＋a 4）2＝12.4.A解析：由题意可得2a －b ＝(3，2－x )，，∴3x ＝2－x ，解得x ＝12，∴|b |＝1＋14＝52.5.C 解析：由题意，1234535x ++++==，75849398100905y ++++==，将()3,90代入 6.4y x a =+，可得90 6.43a =⨯+，解得70.8a =，线性回归直线方程为 6.470.8y x =+，将58x =代入上式， 6.45870.8442y =⨯+=.6.B 解析：双曲线2221(0)y x k k-=>的渐近线方程为y kx =±，即0kx y ±-=.∵双曲线的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，∴2211k =+，解得3k =.7.D 解析：当π2π,63A B ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故“tan tan A B >”不是“sin sin A B >”的充分条件，当2ππ,36A B ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故“tan tan A B >”不是“sin sin A B >”的必要条件；∴“tan tan A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．8.C解析：设方程()()2227270x mx x nx -+-+=的四个根由小到大依次为1a ，2a ，3a ，4a .不妨设2270x mx -+=的一根为1，则另一根为27，12728m ∴=+=.由等比数列的性质可知1423a a a a =，411,27a a ∴==，∴等比数列1a ，2a ，3a ，4a 的公比为4313a q a ==，2133a ∴=⨯=，23139a =⨯=，由韦达定理得3912n =+=，∴281216m n -=-=.9.C 解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为x ＋6，由相似得163x x =+，即x ＝3，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为332π12π⋅=.10.B解析：由已知可得(2)(),()f x f x f x +=∴的周期为2，∴2023202312111()()(0)221222f f f f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.11.A 解析：如图，由题意得23F M a =，1260F PF ∠=︒，∴13PM a =，223PF a =，由椭圆定义可得212112,PF PF PM MF PF a MF a +=++=∴=，在Rt 12MF F ∆中，由勾股定理得22243a c a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，可得c e a ==12.A 1e 1.011bc ===-可得21.0112a -=，ln1.01b =，11 1.01c =-，比较a 和b ，构造函数()21ln 2x f x x -=-，当1x >，()10f x x x =->'，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()()1.0110f f >=，即a b >.同理比较b 和c ，构造函数()1ln 1g x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当1x >，()210x g x x -'=>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增，∴()()1.0110g g >=，即b c >.综上，a b c >>.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114.3415.1或3或5或7(写出其中一个即可)16.52π13.1解析：作出可行域，易得目标函数z x y =-在点A （4，3）处取得最大值1.14.34解析：f (2log 3)＝f (2log 3－1)＝f (23log 2)＝f (23log 2-1)＝f (23log 4)＝23log 4324=.15.1或3或5或7(写出其中一个即可)解析：由已知可得cos(ω·π2)＝0，∴ω·π2＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋2k ，k ∈Z .∵f (x )在区间[0，π8]上单调，∴ωx ∈[0，π8ω]，∴结合y ＝cos u 的图象可得π8ω≤π，∴0<ω≤8，∴ω＝1或3或5或7.16.52π解析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则6x ＋y ＝18，0<x <3，正六棱柱的体积V ＝6×34x 2y ＝36·3x ·3x ·(18－6x )≤36[3x ＋3x ＋（18－6x ）3]3＝，当且仅当3x ＝18－6x ，即x ＝2时，等号成立（或求导求最值），此时y ＝6.=，∴外接球的表面积为4π×13＝52π.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）()0.0050.010.0150.0125201a ++++⨯=，解得0.0075a =.（2分）设中位数为x ，∵学生成绩在[)0,40的频率为()200.0050.010.30.5⨯+=<，在[)0,60的频率为()200.0050.010.0150.60.5⨯++=>，∴中位数满足等式()0.005200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得1603x =，故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为1603.（6分）（2）成绩在[)0,20的频数为0.0052010010⨯⨯=，成绩在[]80,100的频数为0.00752010015⨯⨯=，按分层抽样的方法选取5人，则成绩在[)0,20的学生被抽取105225⨯=人，设为a ，b ，在[]80,100的学生被抽取155325⨯=人，设为c ，d ，e ，从这5人中任意选取2人，基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，都不选考历史科目的有ab ，1种，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为1911010P =-=.（12分）18.解析：（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，（或11sin cos cos sin cos sin )36π2π2A A A A A A ⎛⎫⎛⎫-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪⎝⎭）∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵0πA <<，∴ππ7π2333A <+<，∴π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，∵a c <，∴π2A <，∴π6A =．（6分）（2）由（1）知6A π=，sin sin a A c C B +=，由正弦定理得2212a c +==，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，即221232c c -=+-⋅，整理得22390c c --=，由0c >得3c =，∴111sin 32224ABC S bc A ==⨯=△．（12分）19.解析：(1)连接DE ，∵ABCD 是正方形，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD ，∵PD ，DE ⊄平面BFG ，FG ，BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG ，∵PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG ，∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(5分)(2)∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD ，过C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM ，∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ，∴CM 长是点C 到平面BFG 的距离，∵BCF ∆中，FB ＝CF ＝5，∴由等面积可得CM ＝2×25＝455，∴点C 到平面BFG 的距离为455.(12分)（或由C BFG G BCF V V --=可得11113232BF FG h BC AB FG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴BC AB h BF ⋅===20.解析：（1）()022,x a f x x x xa'-=-=>，当0a ≤时，()0f x ¢>，此时()f x 在()0,∞+单调递增；当0a >时，令()0f x '<得02a x <<，令()0f x ¢>得2a x >，此时()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.（4分）（2）当0a =时，()20f x x =>，()2122f x a a -≥显然成立.当0<a 时，()f x 在()0,∞+单调递增，若()2220ea ax -<<，由()2202a a-<可得()2220e1a a-<<，∴()2ln 2ln 2f x x a x a x =-<-<-()()()222222221222222a aa a alnea a a a---=-⨯=-=-，与()2122f x a a -≥矛盾；当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()min ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∵()2122f x a a -≥，∴21ln 222a a a a a --≥，即ln 1022a a--≥，令()ln 122a ah a =--，则()11222-'=-=a h a a a，令()0h a '>得2a >，∴()h a 在()0,2单调递减，()2,+∞单调递增，∴()()min 21ln2ln210h a h ==-+-=，∴ln 1022a a--≥.综上，a 的取值范围是[)0,∞+.（12分）21.解析：（1）由点()1,2M 在抛物线2:2C y px =上得222p =，即2p =,∴抛物线C 的准线方程为12px =-=-.（4分）（2）设直线AB 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ,由直线MA 与MB 的倾斜角互补得0MA MB k k +=，即()()()1212122212121244222222221144y y y y y y y y x x y y ++----+=+=--++--，∴124y y +=-,联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得2440ky y -+=，∴124y y k +=，124y y k =,∴44k =-，即1k =-，∴124y y =-,∴TA TB ⋅==()()22212121124y y k x x k ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．（12分）22.解析：（1）由(2x t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得2(x y =-，即20x y -+.故直线l 的普通方程是20x y -+.由()2213sin 4ρθ+=得2223sin 4ρρθ+=，代入公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得22234x y y ++=，∴2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程是2214x y +=.（4分）（2）方法一：由θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥），得sin 5β=，cos 5β=-.将射线(0)θβρ=≥代入曲线C的极坐标方程，可得222513sin 12344M ρβ===++⨯⎝⎭，∴2Mρ=.直线l的极坐标方程为cos 2sin 0ρθρθ-+=，将(0)θβρ=≥代入直线l的极坐标方程可得cos 2sin 0ρβρβ-+=，∴N ρ=，∴22N M MN ρρ=-=.（10分）方法二：由题可得射线θβ=（其中()0,πβ∈，且1tan 2β=-，0ρ≥）的直角坐标方程为1(0)2y x x =-≤.联立()2214102x y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-≤⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.联立()20102x y y x x ⎧-+⎪⎨=-≤⎪⎩解得x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(N -.∴MN .（10分）23.解析：（1）()223f x x x =++-=31,15,1331,3x x x x x x -+≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，①当1x ≤-时，43153x x -+≤⇒≥-，解得413x -≤≤-；②当13x -<<时，550x x +≤⇒≤，解得10-<≤x ；③当3x ≥时，3152x x -≤⇒≤，无解，∴不等式的解集为403x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（5分）（2）∵22min R,3(),3()x a a f x a a f x ∀∈-≤∴-≤，由（1）知()f x 在(,1)-∞-递减，[1,3)-递增，[3,)+∞递增，min ()(1)4f x f ∴=-=，2234,434a a a a ∴-≤∴-≤-≤，解得14a -≤≤（10分）。

河南省十市2023届高三下学期开学考试数学(文)试题及答案(含解析)

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2M x y x ==+，{}53N x x =-<<，则MN =（）A.{}23x x -<≤B.{}5x x >- C.{}3x x < D.{}52x x -<-≤ 2.复数312ii z -=在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知函数()2ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线3y x =-平行，则该切线的方程为（）A.210x y ++=B.330x y +-=C.320x y +-=D.210x y +-=4.我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追潮到西汉时期.下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（）A.31824π-B.31216π-C.3912π- D.368π-5.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km ，上底面的边长为40km ，若水库的最大蓄水量为932810m 3⨯，则水库深度（棱台的高）为（） A.10m B.20m C.30m D.40m6.已知抛物线C ：()220y px p =>，过焦点F 的直线4340x y +-=与C 在第四象限交于M 点，则MF =（） A.3B.4C.5D.67.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（）A.14B.15C.16D.178.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1 2 3 4 5 6 7 在线外卖规模y （百万元）111318★28★35其中4､6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23.若利用回归直线方程y bx a =+来拟合预测，且7月相应于点()7,35的残差为-0.6，则ˆˆab -=（） A.1.0B.2.0C.3.0D.4.09.已知等比数列{}n a 的前4项和为30，且54314a a a =-，则9a =（） A.14B.18C.116D.13210.记函数()()2cos 0,2f x x b πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若24T f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 的,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则当ω取得最小值时，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.2B.1C.-1D.-211.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与C 交于P ，Q 两点，若P ，F ，Q 四等分线段AB ，则C 的离心率为（）A.33D.12.已知球O 的半径为2，四棱锥的顶点均在球O 的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（） A.53B.2C.73D.83二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,2m a a =-+-，()3,4n a a =-+，若()m n m +∥，则实数a =___________.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1233a a a +-=，34511a a a +-=，则n S =___________.15.写出与圆()2211x y -+=和()()22134x y -+-=都相切的一条直线的方程___________. 16.已知函数()3ln22a f x x b x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭（a ，b ∈R 且0a ≠）是偶函数，则a =___________，b =___________.（本题第1问2分，第2问3分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin tan sin sin B C A B C -=. （1）若A B =，求2sin A 的值；（2）证明：222a b c +为定值.18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间[]50,100中，并将数据分组，制成如下频率分布表：（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在[)70,80，[)80,90，[]90,100内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.19.（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，4AB =，2AD =，23BC =，6CD =.（1）证明：平面PCD ⊥平面PBC ；（2）若4PD =，求三棱锥P -ABC 的体积. 20.（12分）已知函数()33xf x xe x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当13x ≥时，()26f x ax x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，对称轴分别为x 轴､y 轴，且过A （-1，0），212B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点. （1）求E 的方程；（2）设F 为椭圆E 的一个焦点，M ，N 为椭圆E 上的两动点，且满足0MN AF ⋅=，当M ，O ，N 三点不共线时，求△MON 的面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11323133t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos sin 10m ρθρθ+-=. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()112f x x x =-++. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）设函数()2g x x a x =-+-，若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高三文科数学参考答案､提示及评分细则1.B {}{}22,{53}M xy x x x N x x ==+=-=-<<∣∣∣，所以{5}M N x x ⋃=>-∣.故选B.2.A 312i 12i 2i i i z --===+-，所以复数312i iz -=在复平面内对应的点为()2,1.故选A. 3.C ()12f x ax x'=-，则()1213f a -'==-，解得1a =-，所以()11f =-，则该切线的方程为()131y x +=--，即320x y +-=.故选C.4.C 如图所示，设两圆的圆心分别为12,O O ，两圆相交于,A B 两点，则两圆互过圆心，连接111222,,,,,,O A O B O O O A O B AB AB 与12O O 交于C ，则12111,1,2O O AB O A O C ⊥==，所以160AO C ∠=，则21120AO B AO B ∠∠==，所以弓形2AO B 的面积为211131332234S ππ=⨯⨯-⨯⨯=-，在矩形内任取一点，该点取自两圆公共部分的概率为3234332912p ππ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⨯.故选C.5.A 设水库深度为km h ，由题意，(22221282040204033h ++⨯⋅=，解得0.01km h =，即10m h =.故选A.6.C 由题意可知，F 的坐标为()1,0，则12p=，所以2p =，则抛物线C 的方程为24y x =，设(00,2M x x -，由00243MF x k -==-，解得04x =，所以052p MF x =+=.故选C.7.B 由题知111111,152231S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，111111514122315161615S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，开始出现1415S >，故输出的k 的值为15.故选B. 8.B ()112345674,237x y =++++++==，所以ˆˆ423b a +=.因为相应于点()7,35的残差为0.6-，则点()7,35.6在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，即ˆˆ735.6b a +=，解得ˆˆ 6.2, 4.2ab ==，则ˆˆ 2.0ab -=.故选B. 9.C 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，由54314a a a =-，得214q q =-，解得12q =，由414112112a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-30，解得116a =，所以891116216a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选C. 10.D 由题意可知，2,3T b πω==-，由24T f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2cos 322πϕ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=-，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，又函数()f x 的图象关于点,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以,662k k ωππππ-=+∈Z ，所以64,k k =+∈Z ，因为0ω>，所以当0k =时，ω取得最小值4，则()2cos 436f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故2cos 32826f πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 11.A 不妨设交点的顺序自上而下为,,,A P Q B ，则AP PF FQ QB ===，由对称性可知，AB x ⊥轴，则AB 的方程为x c =-，代入b y x a =-，求得,bc A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x ya b -=，求得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22,bc b b AP PF a a-==，所以22bc b b a a -=，所以2c b =，则a =，所以C 的离心率为3c e a ===.故选A. 12.D 四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形ABCD 的外接圆半径为r ，AC 与BD 的夹角为α，则四边形ABCD 的面积2111sin 222222S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⨯⨯=，当且仅当四边形ABCD 是正方形时，四边形ABCD 的面积取到最大值22r ）.要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心O ，该四棱锥为正四棱锥，设底面的边长为a ，四棱锥的高为h ，底面外接圆的半径为2r a ==，由题意可知，22(2)4r h +-=，即221(2)42a h +-=，所以()2224a h h =-，则04h <<，四棱锥的体积为()22312433V a h h h =⨯=-，令()234(04)f x x x x =-<<，则()283f x x x -'=，由()0f x '=，得83x =，由80,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0f x '>，由8,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0f x '<，所以()f x 在80,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则当83x =时，()f x 取得极大值，也就是最大值，此时83h =.故选D. 13.54()2,6m n +=，由()m n m +∥，得()()61220a a -+--=，解得54a =. 14.225n n +设等差数列{}n a 的公差为d ，由1233453,11a a a a a a +-=+-=两式相减得28d =，解得4d =，由(()111)23a a d a d ++-+=，得17a =，故()2174252n n n S n n n -=+⨯=+.15.3y =--或3y =--+或1y =（答案不唯一，3个中任填一个即可）易知圆22(1)1x y -+=和22(1)(3)4x y -+-=外切，显然1y =与这两圆都相切.设直线y kx b=+与圆22(1)1x y -+=和22(1)(3)4x y -+-=1=2=，所以23k b k b +=+-，令k b t +=，则2230t t +-=，解得1t =或3t =-，当1t =时，解得0k =，此时1b =，直线方程即为1y =；当3t =-3=，解得k =±，当k =3b =--；当k =-3b =-+，所以直线方程为3y =--或3y =--+.16.8ln2易知3y x =是奇函数，因为函数()3ln22af x x b x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭是偶函数，所以()ln22ag x b x=---是奇函数，又知2x ≠，根据奇函数的定义域关于原点对称，则2x ≠-，当2x =-时，204a-=，所以8a =，所以()824ln 2ln 22x g x b b x x +=--=---，则()040ln020g b +=-=-，解得ln2b =.经检验，8,ln2a b ==时符合题意. 17.（1）解：由A B =及已知，得()sin sin sin sin cos AA C A C A-=，又sin 0A ≠，所以()sin cos sin A C A C -=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C -=，所以sin cos 2cos sin A C A C =，又2C A π=-，则()()sin cos 22cos sin 2A A A A ππ-=-，所以-sin cos22cos sin2A A A A =，则()22sin 2cos 14cos sin A A A A --=，所以-222cos 14cos A A +=，解得21cos 6A =，故225sin 1cos 6A A =-=. （2）证明：由题意知，（sin sin cos cos sin )sin sin cos AB C B C B C A-=，所以()sin sin cos sin sin cos cos sin A B C C B A B A =+，则()2sin sin cos sin sin sin A B C C A B C =+=，由正弦定理，得2cos ab C c =，由余弦定理，得22222a b c ab c ab+-⨯=，整理，得2222223,3a b c a b c +=+=，故222a b c+为定值，得证. 18.解：（1）由频率分布表可知，10.150.250.300.100.20m =----=.这200份问卷得分的平均值估计为550.15650.25750.20850.30950.1074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由分层抽样的方法可知，抽取的6人中，成绩在[)70,80内的有2人，分别记为12,A A ；成绩在[)80,90内的有3人，分别记为123,,B B B ；成绩在[]90,100内的有1人，记为1C ，则从这6人中随机抽取3人的所有基本事件为{}{}{}{}{}121122123121112,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A C A B B ，{}{}{}{}{}{}{}{}113111123121131212213211,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B C A B B A B C A B C A B B A B B A B C ，{}{}{}{}{}{}{}223221231123121131231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B C A B C B B B B B C B B C B B C ，共20个，记这3人来自不同组为事件A ，其基本事件有{}{}{}{}{}111121*********,,,,,,,,,,,,,,A B C A B C A B C A B C A B C ，{}231,,A B C ，共6个，故这3人来自不同组的概率为()632010P A ==. 19.（1）证明：连结BD ，因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为,4,AB AD AB AD ⊥==22218BD AD AB =+=.又BC CD ==222,BD CD BC BC CD =+⊥.又,PD CD D PD ⋂=⊂平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，故平面PCD ⊥平面PBC .（2）解：法一：由（1），得BD =所以()sin sin sin cos cos sin ABC ABD DBC ABD DBC ABD DBC ∠∠∠∠∠∠∠=+=+3==，则ABC 的面积为11sin 422ABCSAB BC ABC ∠=⨯=⨯⨯=故三棱锥P ABC -的体积为11433ABCP ABC V S PD -=⨯⨯=⨯=三校倠法二：因为,AB AD BC CD ⊥⊥，所以ABC ADC ∠∠π+=，所以cos cos ABC ADC ∠∠=-.在ABC 与ADC 中，由余弦定理得222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABC AD CD AD CD ADC ∠∠=+-⋅⋅=+-⋅⋅，因此22224242ABC ABC ∠∠+-⨯⨯=++，解得cos ABC ∠=，所以sin ABC ∠=则ABC 的面积为11sin 422ABC S AB BC ABC ∠=⨯⋅=⨯⨯=，故三棱锥P ABC -的体积为114333ABC P ABC V S PD -=⨯⨯=⨯=三校倠. 20.解：（1）()()()()21e 331e 33x x f x x x x x =+-+=+-+'，设()e 33x h x x =-+，则()e 3xh x '=-，当(),ln3x ∞∈-时，()0h x '<，当()ln3,x ∞∈+时，()0h x '>，所以()h x 在(),ln3∞-上单调递减，在()ln3,∞+上单调递增，所以()()ln363ln30h x h =->，则e 330x x -+>，所以当(),1x ∞∈--时，()0f x '<，当()1,x ∞∈-+时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1∞--，单调递增区间为()1,∞-+.（2）当13x 时，()26f x ax x +恒成立，等价于e 3x a x x x --在1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立. 设()e 313x g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()22221e 1e 331x x x x x g x x x x---+=-+'=，设()()211e 33x x x x x ϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则()()e 2x x x ϕ'=-，当1,ln23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()ln2,x ∞∈+时，()0h x '>，所以()x ϕ在1,ln23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()ln2,∞+上单调递增，则()()()()()22ln22ln21(ln2)32ln21(ln2)2ln22ln20x ϕϕ=--+>--+=->，所以()0g x '>，则()g x 在1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递增，故()g x 的最小值为12833g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3283e 3a-，所以实数a 的取值范围为283∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 21.解：（1）设E 的方程为221(0,0,)sx ty s t s t +=>>≠，由题意，1,1,2s s t =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,2s t ==，故E 的方程为2212y x +=. （2）由椭圆的对称性，不妨设F 为下焦点，则()0,1F -，所以()1,1AF =-，因为0MN AF ⋅=，所以直线MN 的斜率为1，设直线MN 的方程为()()()11220,,,,y x m m M x y N x y =+≠，由221,2,y x y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得223220x mx m ++-=，则()()222Δ4432830m m m =-⨯⨯-=->，所以23m <且0m ≠.2121222,33m m x x x x -+=-=所以12MN x =-=== 原点O 到直线MN的距离为d =，则MON的面积为)()223112223322MON m mS MN d +-=⨯⨯=⨯=⨯=，当且仅当232m =，即2m =±时，MON 的面积最大，显然2m =±满足23m <且0m ≠，所以MON22.解：（1）因为113123t t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且22222211132,32433t t t t x y ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以2244x y -=，则曲线C 的普通方程为()22114y x x -=. （2）由cos sin 10m ρθρθ+-=，化为直角坐标方程为10mx y +-=. 由2210,1,4mx y y x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()224250m x mx -+-=. 则()2222240,Δ42040,20,450,4m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪-⎪>-⎩解得2m <<，故m的取值范围为(. 23.解：（1）()12,1,231,1,22112,,22x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+>⎪⎩当1x <-时，由1232x --，得714x -<-；当112x -时，()3f x 恒成立；当12x >时，由1232x +，得1524x <. 综上，()3f x 的解集为7544xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）因为对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =，所以(){}(){}yy f x y y g x =⊆=∣∣. 又()()()11311,22222f x x x x x g x x a x a =-++--+==-+--，等号都能取到，所以322a -，解得1722a ，所以实数a 的取值范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题含答案(III)

2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围；（Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

四川省成都市石室中学2024届高三上学期开学考试数学文科试题含答案

侧视图0.5俯视图1正视图10.5成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}14A x x =∈-≤<N ，{}2230B x x x =--<，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32.若复数z 满足(13i)24i z ⋅+=-，则z =()A ．22B ．1C D ．23.函数23()e xx xf x -=的图象大致是()AB C D 4.已知实数,x y 满足()01x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y>D ．33x y>5.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A.8B.6C.4D.26.已知命题:p 若22,ac bc >则a b >；命题:q 在ABC ∆中，sin sin A B =是A B =的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ⌝∨ B.()p q ⌝∨ C.p q ∧ D.p q ∧⌝7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A ．14B.12C.1D.28.已知函数()sin(4)(0)f x A x ϕϕ=+<<π的图象与y 轴交点的坐标为，且图象关于直线24x π=-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()A ．12B ．1C D ．29.已知ABC ∆中，若23A π=，2c =，ABC ∆的面积为32，D 为边BC 的中点，则AD 的长度是（）A.5714B.32C.1D.210.已知0.90.930.7,log 2a c ==，b=0.8，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<11.已知圆2212316:()33C x y +-=过双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点12,F F ,曲线1C 与曲线2C 在第一象限交点为M ，1212,MF MF ⋅=则双曲线2C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．312.已知函数()114x xf x e e --=-+，若方程()4(0)f x kx k k =+->有三个不同的根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=（）A.4B.3C.2D.k第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知倾斜角为α的直线l 与直线:230m x y -+=垂直，则cos 2α=.14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤--+0202222y x y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是_________.15.直线01=--y x 与抛物线x y 42=交于,A B 两点，过线段AB 的中点作直线1-=x 的垂线，垂足为M ，则=⋅MB MA .16.已知三棱锥BCD A -中,2====AD BC CD AB ,t BD AC ==,当三棱锥BCD A -体积最大时,t 的值为.三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-.（1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，平面ADP ⊥底面ABCD ，AP =DP ，且AP ⊥DP ，设E ，F 分别为CP ，BD 的中点，2FP =．（1）求证：AP ⊥CP ；（2）求三棱锥P -ADE 的体积．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中24y =,71()(70i i i x x y y =--=∑，721()=176i i y y =-∑．（1）运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？（2）若求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数()()nii xx y y r --=∑y bx a =+$$$，其中121()(()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$8.77≈．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点分别为1F ,2F ，且2F 为抛物线22:8C y x=的焦点，P 为椭圆1C 上一点.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知A ，B 为椭圆1C 上不同两点，且都在x 轴上方，满足12F A F B λ=.（ⅰ）若3λ=，求直线1F A 的斜率；（ⅱ）若直线1F A 与抛物线2y x =无交点，求四边形12F F BA 面积的取值范围.设()ln f x x =．（1）证明：()y f x =的图象与直线xy e=-有且只有一个横坐标为α的公共点，且1(,1)e α∈；（2）求所有的实数k ，使得直线y kx =与函数2()y f x =的图象相切；（3）设2,,((,)a b c eα∈+∞（其中α由（1）给出），且3a b c ++=，()ln 2g x x =+，求g 2(a )+g 2(b )+g 2(c )的最大值．22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为.(1)求的值；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCADCDACBACB二、填空题13.35-;14.3+15.0;16.433.三、解答题17．解：（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列.．．．．．．．．．．．．．5分（2）()11122n nn a n a --=-⋅=1n n n b b a n +=+-12nn n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥ 12b =满足上式.2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）∵ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ．（1分）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，（3分）∴CD ⊥AP ．又AP ⊥DP ，CD ∩DP =D ，∴AP ⊥平面PCD ，（5分）∴PA PC ⊥．（6分）（2）∵四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则AC ∩BD =F ，F 为AC 中点．∵E 为PC 中点，∴在△ACP 中，EF PA ∥．∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF 平面ADP ．∴E 到面ADP 的距离等于F 到面ADP 的距离．（8分）由（1）知，PA PC ⊥，∴12PF AC ==AC=，∴2AB AD ==,PA PD ==（9分）（法一）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则MF ∥CD ，又CD ⊥平面ADP ，∴MF ⊥平面ADP ．∴111113323P ADE E PAD F PAD PAD V V V MF ---∆===⋅=⨯=．（12分）（法二）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则PM ⊥AD ．∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，PM ⊂平面PAD ，∴PM ⊥底面ABCD ，112PM AD ==．∴11111213323P ADE E PAD F PAD P ADF ADF V V V V S PM ----∆====⋅=⨯⨯⨯⨯=．（12分）19．解：（1）根据题意，得()1891011121314117x =++++++=．（1分）()()()()()()()()2222227122811+911+1011+1111+1211+1311+1411=28i i x x =-------=-∑（2分）70.16．（3分）因而相关系数()()7700.99870.16iix x y y r --==≈∑．（5分）由于0.998r ≈很接近1，∴可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．（6分）（2）()()()7172178ˆ0522i ii ii x x yy bx x ==--===-∑∑，（8分）5724112ˆ2a=-⨯=-，（9分）∴ y 关于 x的回归方程为5722ˆy x =-．（11分）若19x =，则5719442ˆ2y=⨯-=颗．∴在19℃的温度下，种子的发芽颗数为44．（12分）20．解：（1）依题意得2c =，则1(2,0)F -，2(2,0)F .于是12a PF =2PF +=，从而a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.．．．．．．．．．．．．．3分（2）如图，设1F A 直线交椭圆于另一点'B ，2F B 直线交椭圆于另一点A'，由12F A F B λ=，故12//F A F B ，由椭圆对称性，2112',A'BF B F AF F ==，且四边形''ABA B 为平行四边形.．．．．．．．．．．．．．5分○1由题意直线'AB 的斜率不为0，设直线'AB ：2x ty =-，由22228x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()222440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22',B x y ，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+，由12111233'3F A F B F A F B y y =⇒=-⇒=-（*）带入上式，解得：122262,22t ty y t t -==++故2222124,0(),1(2)2t t t t t -=->∴=++由图Q ，故1F A 的斜率为1.．．．．．．．．．．．．．8分○2由22x ty y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得220y ty -+=，由()280t ∆=--<得28t <.所以12'AB y =-=)2212t t +=+，'AB 与'BA 间的距离d =2F 到'AB 的距离），故1212AF F BAB A B S S ''==)221122t t +⋅+28212t =+，[)1,3s =∈，则1222AF F BS t=+211s s s==++5⎛∈ ⎝，所以四边形12AFF B的面积的取值范围为5⎛⎝⎦.．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）考虑函数()ln xu x x e =+，易知()u x 在(0,1)上单调递增，且(1)0u >，1()0u e<．因此有且只有1(,1)e α∈使得()0u α=，即()y f x =的图象与直线x y e=-有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为α．…………3分（2）22ln [()]xf x x'=．设200(,ln )P x x 是2()y f x =的图象上一点，则该点处的切线为200002ln ln ()x y x x x x -=-，整理得200002ln 2ln ln x y x x x x =-+．令2002ln ln 0x x -+=，解得01x =或20x e =．因此0y =与24y x e=与函数2()y f x =的图象相切．因此所求实数k 的值为0或24e ．…………7分（3）设224()ln h x x x e =-，则22ln 4()x h x x e '=-．设ln ()x x x ϕ=，则21ln ()xx xϕ-'=．当2x e α<<时，()0x ϕ'>；当x e >时，()0x ϕ'<．因此()x ϕ在2(,)e α上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．从而()h x '在2(,)e α上单调递增，(,)e +∞上单调递减．注意到2()0h e '=，故当2e x e <<时()0h x '>，当2x e >时()0h x '<，因此()h x 在2(,)e e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增．所以当[,)x e ∈+∞时，2()()0h x h e ≤=．另一方面，注意到24(1)0h e '=-<，故必然存在0(1,)x e ∈，使得0()0h x '=，且当20x x α<<时()0h x '<，当0x x e <<时()0h x '>．因此()h x 在20(,)x α上单调递减，在0(,)x e 上单调递增．显然2()()0h e h e <=，而22222422()ln (2ln )(2ln )0h e e eααααα=-=+-=．因此当2(,)x e α∈时，()0h x <．综上可知当2x α>时()0h x ≤，即224ln x x e≤，当且仅当2x e =时等号成立．由于222()ln ()g x e x =，故当22e x α>，即2()x e α>时，2224()()4g x e x x e<⋅=，当且仅当22e x e =，即1x =时等号成立．因此222()()()44412g a g b g c a b c ++≤++=，当且仅当1a b c ===时等号成立．因此222322……5分（2）曲线:2cos C ρθ=，直线:(cos sin )4l ρθθ+=，分别代入θα=，得2cos A ρα=，4sin cos B ραα=+，由||||OA AB =知2B A ρρ=，即44cos sin cos ααα=+，2sin cos cos 1ααα∴+=即π2sin(2)42α+=，故π3π244α+=即π4α=.……10分。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学(文)试题(含答案解析)

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}13A x N x =∈≤≤，{}2650B x x x =-+<，则A B = （）A ．∅B ．{}1,2,3C ．(]1,3D ．{}2,32．在复平面内，复数212i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数x ､y 满足210104210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则z =x +3y 的最小值为（）A ．-9B ．1C ．32D ．25．已知6log 2a =，sin1b =，12c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．a b c<<6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．2337．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A ．3πϕ=，73πω=B ．()2y f x =+是奇函数C ．直线4x =-是()f x 的对称轴D ．函数()f x 在[]3,4上单调递减9．在ABC 中，()()221tan 7π2:sin πcos cos 21tan 2Bp B C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，:q ABC 为直角三角形，则“p ”是“q ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．2311．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线28y x =有共同的焦点2F ，双曲线左焦点为1F ，点P 是双曲线右支一点，过1F 向12F PF ∠的角平分线做垂线，垂足为,1N ON =，则双曲线的离心率是（）A ．2BC ．43D112．已知函数()(),f x g x 的定义域均为()R,f x 为偶函数，且()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=，下列说法正确的有（）A ．函数()g x 的图象关于1x =对称B ．函数()f x 的图象关于()1,2--对称C ．函数()f x 是以4为周期的周期函数D ．函数()g x 是以6为周期的周期函数二、填空题13．已知()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥，则b = __________.14．已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线上，点B 在l 上，若ABF △为等边三角形，则ABF △的面积为__________.15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是空间中任意一点.①若点P 是正方体表面上的点，则满足12AP =的动点轨迹长是π；②若点P 是线段1AD 上的点，则异面直线BP 和1B C 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若点P 是侧面11BCC B 上的点，P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则P 的轨迹是椭圆；④过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，则平面α截正方体所得截面的最大面积是⑤设1BD 交平面11AC D 于点H ，则123BH HD =.以上说法正确的是__________.（填序号）三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，现给出下列三个条件：①1S ，2S ，4S 成等比数列；②416S =；③()8841S a =+．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(1)求n a 的通项公式；(2)若()142n n n b b a n --=，且13b =，设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证1132n T ≤≤．18．某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄､更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）一支200人的队伍，男士占其中的38，40岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整22⨯列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.40岁以下40岁以上合计男士30女士70合计200附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥L 0.050.0250.0100.0050.0010k L3.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，1BF =.（1）求证：BD ⊥平面AED ，AD ⊥平面BDEF ；（2）点P 在线段EF 上运动，求三棱锥C PBD -的体积.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆C 上一点，且2AF x ⊥轴，1OM AF ⊥，M 为垂足，O 为坐标原点，且225OM AF =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆交于,P Q 两点，G 为x 轴正半轴上一点，且22PGF QGF ∠=∠，求点G 的坐标．21．已知函数()()()e 21,R ,sin xf x ax a bg x x x =--∈=-.(1)当[)0,x ∈+∞对，求函数()g x 的最小值；(2)若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 取值集合；(3)求证：对*N n ∀∈，都有11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 1cos 2θρθ=-．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知过点3,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若M 为线段AB的三等分点，求tan α的值．23．已知函数()21f x x x =-++．(1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()1f x a x x >-+恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】∵{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤=，{}{}265015B x x x x x =-+<=<<，∴{}2,3A B ⋂=．故选：D ．2．A【分析】化简复数，求出z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】()()212i i 12i 12i 2i 11i (1i)2i 2i i22z +++-+====-+-则z 的共轭复数为11i2+故选：A.3．D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D 4．B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数z =x +3y 的几何意义知，其在10（，）处取得最小值，此z =1+0=1.故选：B.5．A【分析】借助中间值12比较大小即可.【详解】661log 2log 2a =<，1sin1sin 62b π=>=，所以bc a >>.故选：A.6．C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为3221111152111232322V ⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：C.7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.8．C【分析】根据已知函数图象求得()f x 的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据()f x 的函数图象可知，()()cos f x A x ωϕ=+的最大值为2，又0A >，故2A =；又()01f =，即2cos 1ϕ=，则1cos 2ϕ=，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3πϕ=；又102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1cos 023πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1,232k k Z ππωπ+=+∈，故可得2,3k k Z πωπ=+∈；又142T >，则ωπ<，又0ω>，故当0k =时，3πω=；故()2cos 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ：由上述求解可知，3πϕ=，3πω=，故A 错误；对B ：()22cos 2cos 33f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()2f x +是偶函数，故B 错误；对C ：当4x =-时，()()2cos 2f x π=-=-，即当4x =-时，()f x 取得最小值，故4x =-是()f x 的对称轴，故C 正确；对D ：当[]3,4x ∈时，45,3333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而2cos y x =-在45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调，故D 错误.故选：C.9．D【分析】利用三角恒等变换公式，把p 中等式化为sin2sin 2B C =，从而()()cos sin 0B C B C +-=，得π2B C +=或0B C -=，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由()()221tan 7π2sin πcos cos 21tan2BB C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，得()222221π2s o in cos co c s π22sin os si c s 12n B B B C C B B -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即()2222π22s i in cos cos π22cos sin cos s 2n BBB C C BB -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即sin2sin 2B C =，即()()()()sin sin B C B C B C B C ++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C +-++-()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C =+--+-整理得()()cos sin 0B C B C +-=，则()cos 0B C +=或()sin 0B C -=，因为0πB <<，0πC <<，0πB C <+<，ππB C -<-<，则π2B C +=或0B C -=，即π2A =或B C =，所以由p 不能推出q ；当ABC 为直角三角形时，A 不一定为π2，,B C 也不一定相等，所以由q 不能推出p ，故“p ”是“q ”的既不充分也不必要条件．故选：D ．10．C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】22()4f x x x m '=-+ ，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤-又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -==故选：C ．11．A【分析】由抛物线的方程得焦点2(2,0)F ，延长1F N 交2PF 的延长线于点M ，由角平分线的性质得1PF PM =且1F N NM =，由中位线的性质得22F M =，根据双曲线的定义求得1a =，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线28y x =的焦点2(2,0)F ，故2c =，延长1F N 交2PF 的延长线于点MPN 是12F PF ∠的角平分线，1F N PN ⊥于点N ，1PF PM ∴=且1F N NM=点O 是12F F 的中点，//ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得122PF PF a -=,故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.12．C【分析】根据题中所给条件可判断()g x 关于2x =和4x =对称，进而得()g x 的周期性，结合()g x 的周期性和()f x 的奇偶性即可判断()f x 的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由()()21f x g x +-=得()()21f x g x -++=，又()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，进而可得()()22g x g x -=+；因此可得()g x 的图象关于2x =对称,又()()43g x f x --=可得()()843g x f x ---=，结合()f x 为偶函数，所以()()8g x g x =-，故()g x 的图象关于4x =对称，因此()()()44g x g x g x =-=+，所以()g x 是以4为周期的周期，故D 错误，由于()()()()()()223231322f x g x g x f x f x f x -=+-=--=--⇒=---，所以()()22f x f x -+-=-且()()()()224224f x f x f x f x =---=-----=-⎡⎤⎣⎦，因此()f x 的图象关于()1,1--对称，函数()f x 是以4为周期的周期函数，故C 正确，B 错误，根据()f x 是以4为周期的周期函数，由()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=得()()24g x g x +-=，所以数()g x 的图象关于()1,2对称，故A 错误，故选：C 13．5【分析】根据()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥求出λ的值，然后再求b 【详解】()()()221,2,32,1a b λλ-=-=- 又()2a b a -⊥，220,4λλ∴-+=∴=()4,3,5b b ∴===故答案为：514【分析】先根据ABF △为等边三角形得到AF AB =，再设(A a ，表示出B 点坐标，再根据BF AB =,列出关于a 的方程，解出a ，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.【详解】 ABF △为等边三角形AF AB∴=由题意得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭设(A a ，则12B ⎛- ⎝12BF AB a ∴==+解得32a =2AB ∴=∴ABF △是边长为2的等边三角形，122sin 602ABF S ︒∴=⨯⨯⨯=15．【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin22ABC S ac B ∆==⨯=【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16．④【分析】满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧,求出动点轨迹长即可判断①，证明1B C ⊥面11ABC D ，可得1B C BP ⊥，判断②，若P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则点P 在线段1CC 上可判断③作出平面α截正方体的正六边形求出其面积可判断④，利用111111D A DC D D A C V V --=，求出1D H ，再利用11BH BD D H =-在求出BH .【详解】对于①，满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧，因此动点轨迹为11332424ππ⨯⨯⨯=.故①正确；对于②，连接1BC ，则11B C BC ⊥,AB ⊥Q 面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B 1AB B C∴⊥1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂面11ABC D 1B C ∴⊥面11ABC D 点P 是线段1AD 上的点，BP ∴⊂面11ABC D 可得1B C BP⊥故直线BP 和1B C 所成角恒为2π.故②不正确对于③，过点P 作PM BC ⊥于点M ，则P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为，当点P 在线段1CC 上时，112PM PC PC PC +>+=此时不满足P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，所以P 的轨迹为线段1CC ，故③不正确.对于④，过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.111A P A R AQ ==,则平面PQR 与正方体过点1A 的三条棱所成的角相等，若点,,,,,E F G H M N 分别为相应棱的中点，则平面//EFGHMN 面PQR ，且六边形EFGHMN 为正六边形，边长，故六边形的面积为264⨯=,故④正确.对于⑤1111111111111222323D A DC D D A C A DC V V SD H H --==⨯⨯⨯==13D H ∴=1BD =1133BH BD D H ∴=-=12BH HD ∴=故⑤错误故答案为：④.17．(1)21n a n =-(2)证明见详解【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式将已知条件转化为关于1a 和d 的关系式，求出1a 和d 的值即可得到n a 的通项公式；（2）由（1）知184n n b b n --=-，利用累加法求出n b 的通项，再由裂项求和即可证明12n T <，再根据1n T T ≥即可证明1132n T ≤≤．【详解】（1）解：由条件①得，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =，即()()2111246a d a a d +=+，又0d ≠，则12d a =，由条件②得414616S a d =+=，即1238a d +=，由条件③得()8841S a =+，可得()11828471a d a d +=++，即11a =．若选①②，则有112238d a a d =⎧⎨+=⎩，可得112a d =⎧⎨=⎩，则()1121n a a n d n =+-=-；若选①③，则122d a ==，则()1121n a a n d n =+-=-；若选②③，则123238a d d +=+=，可得2d =，所以()1121n a a n d n =+-=-．（2）证明：由()14842n n n b b a n n --==-，且13b =，所以当2n时，则有()()()()()()21213218412131220843412n n n n n b b b b b b b b n n --+-=+-+-++-=++++-=+=- ，又13b =也满足241n b n =-，故对任意的*n ∈N ，有241n b n =-，则()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦L ，由于21n n T n =+单调递增，所以113n T T ≥=，综上：1132n T ≤<．18．（1）37；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.【分析】（1）根据频率分布直方图及平均数的定义直接计算即可；（2）列出22⨯列联表，计算2K 与临界值比较即可得出结论.【详解】（1）这60人年龄的平均数为150.15250.2350.3450.15550.1650.05750.0537⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则22⨯列联表如下：40岁以下40岁以上合计男士304575女士7055125合计10010010020022200(30557045) 4.810010075125K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=4.8 3.8> 所以，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.19．（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；（2）根据C PBD P BCD V V --=计算棱锥的体积即可.【详解】（1）证明，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，30CDB CBD ∴∠=∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥.又四边形BDEF 是矩形，DE DB∴⊥又AD DE D ⋂=Q ，BD ∴⊥平面ADE平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ⋂平面ABCD BD =，DE ⊂平面BFED ，，又ED BD ⊥ ，ED ∴⊥平面ABCD ，ED AD ∴⊥ED BD D = ，AD ∴⊥平面BDEF .（2）//,EF DB EF ⊄ 平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，∴P 到平面ABCD 的距离等于1BF =,41sin 111222BCD BC S B C D C D ∠=⨯⨯⋅⨯=⋅=△113412C PBD P BCD V V --∴==⨯⨯=.20．(1)22143x y +=(2)()4,0G 【分析】（1）利用△1F MO ∽△12F F A 构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出12y y +和12y y ，利用几何关系可知0GP GQ k k +=，即可得1201221my y x y y =++，将韦达定理代入化简即可求得点G 的坐标.【详解】（1）∵椭圆的焦距为2，∴22c =，即1c =，2AF x ⊥ 轴，∴22b AF a =，则22212222b a b AF a AF a a a-=-=-=,由212AF F F ⊥，1OM AF ⊥，则△1F MO ∽△12F F A ，∴121OM OF AF AF =，即22225ac a b =-，整理得22522ac a c =+，即22520e e -+=，解得12e =或2e =（舍去）∴2a =，∴2223b a c =-=，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）设直线l 的方程为1x my =+，且()()()11220,,,0P x y Q x y G x ，，，将直线方程与椭圆方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立得()2234690m y my ++-=，()()()22236493414410m m m ∆=-⨯-⨯+=+>，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，∵22PGF QGF ∠=∠，∴0GP GQ k k +=，∴()()()()1202101210201020GP GQ y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+=----0=,∴121021200y x y x y x y x -+-=，∴()()122112210121211y my y my y x y x x y y y y ++++==++121221my y y y =++229218341146634m m m m m m -⨯-+=+=+=--+，即()4,0G .21．(1)0(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)证明见解析【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据()00f =，()00f '=得到12a =，再证明出充分性成立，而12a >与12a <均不合要求，从而得到答案；（3）由第一问结论得到11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，只需证明111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）可知，()e 10xf x x =--≥，得到()11e 1,2,3,,1en kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，结合等比数列求和公式证明出1111111231e 1111e 1e 1n n n n n n n n n n ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）()()1cos 0,g x x g x =≥'-在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()min ()00g x g ==.（2）()e 2xf x a '=-，由于()00f =，故()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=，下证当12a =时，()e 10xf x x =--≥恒成立，此时令()e 10xf x '=->，解得：0x >，令()e 10xf x '=-<，解得：0x <，故()e 1xf x x =--在0x >上单调递增，在0x <上单调递减，故()e 1xf x x =--在0x =处取得极小值，也是最小值，且()()0min 0=e 010f f x =--=，故()0f x ≥对x ∈R 恒成立；当12a >时，()1e 21e x x f x ax x =-<---，则()0010e 0f -<-=，显然不合要求，舍去当12a <时，令()e 20xf x a '=->，解得：ln 2x a >，令()e 20xf x a '=-<，解得：ln 2x a <，其中ln 20a <，则()e 21xf x ax =--在ln 2x a <上单调递减，在ln 2x a >上单调递增，又()00f =，故当()ln 2,0x a ∈时，()0f x <，不合题意，舍去；综上：实数a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）可知，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，*N ,N k n *∈∈，所以1111123sin sin sin sin 1111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111231111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只需证明：111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即可由（2）可知，()e 10x f x x =--≥，则1e x x +≤，()11(1)e n x n x ++∴+≤，令()11,2,3,,1k x k n n +==+ ，则()11e 1,2,3,,1e n k n k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，()11112311231e e e e 1111e n n n n n n n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()11111e 1e 1e e 1e e 1ee e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----，11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22．(1)22y x=(2)tan 2α=或2tan 3α=【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；（2）写出直线的参数方程，代入曲线C 的方程，得到关于参数t 的一元二次方程，由已知结合韦达定理以及参数t 的几何意义，可得关于tan α的方程，求解得答案.【详解】（1）由4cos 1cos 2θρθ=-，得2sin 2cos ρθθ=，所以22sin 2cos ρθρθ=所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）设直线l 的参数方程为3,21x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数，t ∈R ），代入22y x =，得()()22sin 2cos sin 20t t ααα---=，0∆>恒成立，所以()22cos sin sin A B t t ααα-+=，22sin A B t t α-=．由M 为线段AB 的三等分点，且0A B t t <，故2A B t t =-．将2A B t t =-代入前式，得()24cos sin sin A t ααα-=，()22cos sin sin B t ααα--=，所以()2428cos sin 2sin sin αααα---=，224(cos sin )sin ααα-=，则23tan 8tan 40αα-+=解得：tan 2α=或2tan 3α=．23．(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围.【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或．（2）当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈．当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x -++>，因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。