第3章线性规划的建模与应用

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第三章线性规讲义划模型

➢ 对偶问题的对偶是原问题。
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解，且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两种产品，消耗A、B两种原材料。生产一件甲产品可获利2元，生产乙产品获利3元。问在以下条件下如何安排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品产品产品产品甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力（小时）
2000 8000 5000
第三章线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的产品产品产品产品设备能力
机时数（小时/件）甲乙丙丁（小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5

数学建模实验报告-第三章-线性规划

实验名称：第三章线性规划一、实验内容与要求用linprog语句求解各种线性规划问题，对生产实际中的问题，进行预测。

二、实验软件MATLAB7.0三、实验内容：1、某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。

每天每只鸡平均食混合饲料0.5KG，其中动物饲料所占比例不能少于20%。

动物饲料每千克0.30元，谷物饲料每千克0.18元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG，问饲料怎样混合，才能使成本最低？程序：C=[150 90];A=[1 1];B=[12/7];Aeq=[0 1];beq=[0,8];vlb=[0.2 0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)实验结果:2、某工厂用A1、A2两台机床加工B1、B2、B3三种不同零件。

已知在一个生产周期内A1只能工作80机时；A2只能工作100机时。

一个生产周期内计划加工B1为70件、B2为50件、把为20件。

两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下列各表所示：加工每个零件时间表(单位：机时/个)加工每个零件成本表（单位：元/个）问怎样安排两台机床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？程序：C=[2;3;5;3;3;6];A=[1 2 3 0 0 00 0 0 1 1 3-1 0 0 -1 0 00 -2 0 0 -1 00 0 -2 0 0 -3];B=[80;100;-70;-50;-20];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;7];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)实验结果:四、实验体会。

线性规划问题的建模与求解思路

线性规划问题的建模与求解思路线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在工程、经济、运筹学等领域具有广泛的应用。

本文将探讨线性规划问题的建模与求解思路，介绍一些常用的方法和技巧。

一、问题建模在进行线性规划问题的建模时，首先需要明确问题的目标和约束条件。

目标通常是最大化或最小化一个线性函数，而约束条件则是一系列线性等式或不等式。

以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每单位产品A的利润为10万元，每单位产品B的利润为8万元。

公司希望最大化总利润，同时满足以下约束条件：1. 产品A和B的生产总量不超过1000单位；2. 产品A的生产量不低于200单位；3. 产品B的生产量不低于300单位。

根据以上信息，我们可以进行如下的建模：设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y，则目标函数为最大化利润：Maximize Z = 10x + 8y同时，需要满足以下约束条件：x + y ≤ 1000x ≥ 200y ≥ 300二、求解思路一般来说，线性规划问题的求解可以采用图形法、单纯形法、内点法等不同的方法。

下面将介绍其中两种常用的方法：图形法和单纯形法。

1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制目标函数和约束条件的图形来求解最优解。

在上述例子中，我们可以将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，找到目标函数与约束条件的交点，进而确定最优解。

2. 单纯形法单纯形法适用于高维线性规划问题，通过迭代计算来逐步接近最优解。

该方法的核心思想是从一个可行解开始，通过不断调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解。

单纯形法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束；（2）构建初始单纯形表，并选择一个初始基本可行解；（3）计算单位利润向量，并判断是否达到最优解；（4）选择一个入基变量和出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。

三、技巧和注意事项在解决线性规划问题时，有一些常用的技巧和注意事项可以帮助我们更高效地求解问题。

线性规划：建模与应用

3
什么是线性规划模型
线性规划模型的一般形式
4
线性规划问题的分类
资源分配问题(resource-allocation)：资源约束。伟恩德玻璃制品公司产品组合问题
成本收益平衡问题(cost-benefit-trade-off)：收益约束。利博公司广告组合问题，大沼泽地金色年代公司的现金流问题
网络配送问题(distribution-network)：确定需求约束。
混合问题(mix)：多种约束。
5
主要内容
Super Grain Corp. Advertising-Mix Problem (Section 4.1)(超级食品公司的广告组合问题)
Resource Allocation Problems & Think-Big Capital Budgeting (Section 4.2)(资源分配问题和梦大发展公司的资金预算问题)
Question: At what level should they advertise Crunchy Start in each of the three media?
确定各种媒介的广
告力度以获得最有效的广告组合？
11
Algebraic Formulation (数学模型)
Let (设定) TV = Number of commercials for separate spots on television (电视上的广告时段数目) M = Number of advertisements in magazines. (杂志上的广告数目) SS = Number of advertisements in Sunday supplements. (星期天增刊上的广告数目)

线性规划的定义及解题方法

线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。

它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。

线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。

本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。

一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。

它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。

通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。

在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。

这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。

例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。

这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。

二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。

决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。

2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。

3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。

例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。

4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。

它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。

线性规划的建模技巧和求解

线性规划的建模技巧和求解线性规划是一种数学优化方法，用于确定一个或多个线性方程的最佳解。

它在许多领域有广泛应用，如生产、物流、金融等。

下面将介绍线性规划的建模技巧和求解方法。

一、线性规划的建模技巧：1. 确定决策变量：首先要确定需要决策的变量，这些变量决定了模型的目标函数和约束条件。

变量可以表示限制条件或可供选择的决策。

2. 确定目标函数：目标函数是需要优化的目标，可以是最大化或最小化。

一般情况下，目标函数是由决策变量的线性组合构成的。

3. 确定约束条件：约束条件是限制决策变量的条件，包括等式约束和不等式约束。

约束条件可以是资源的限制、技术要求等。

4. 确定约束集：约束集是所有约束条件的集合，它定义了可行解的范围。

在确定约束集时，需要将每个约束条件转化为决策变量的线性等式或不等式。

5. 确定可行域：可行域是约束集在决策变量空间中的几何图形。

可行域是一个多面体或多面体的集合，其中每个面都由一个或多个约束条件定义。

6. 确定边界条件：边界条件是可行域的边界，在边界上的解是目标函数的极值点。

通过分析边界条件，可以确定是否存在最优解以及在哪个边界上可以找到最优解。

二、线性规划的求解方法：1. 图形法：图形法适用于二维情况，可以将可行域和目标函数的等值线绘制在一个坐标系中，通过观察交点找到最优解。

但是，图形法只适用于简单的问题，对于复杂问题无法使用。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。

它通过迭代的方式从可行域的某个顶点开始，逐步向更优解迭代，直到找到最优解。

单纯形法的思想是寻找一个可以改进目标函数值的方向，并且每次改进保证不会违反约束条件。

3. 对偶理论：线性规划问题的对偶问题可以通过原问题的约束条件和目标函数得到。

通过对偶问题的求解，可以得到原问题的最优解、最优解的相应目标值以及松弛变量的价值。

4. 整数规划：如果决策变量是整数变量，那么线性规划问题称为整数规划问题。

整数规划问题的求解通常比线性规划问题要困难得多，因为整数变量会引入离散性。

运筹学课程章节

运筹学课程重点内容总结
对照教学大纲
第1章线性规划章
• 线性规划基本理论：模型形式，解的概念，线性规划基本理论：模型形式，解的概念，解的性质等 • 线性规划应用：6类问题建模线性规划应用：类问题建模类问题建模* • 图解法图解法* • 单纯形法：基本单纯形法，大M法，两阶单纯形法：基本单纯形法*，法段法，段法，前者重要
第2章线性规划的对偶理论
• • • • • 对偶问题的构建：对偶规划对偶问题的构建：对偶规划* 对偶问题的性质运用对偶性质进行线性规划求解* 运用对偶性质进行线性规划求解* 影子价格理解* 影子价格理解灵敏度分析*和参数分析灵敏度分析和参数分析
第4章目标规划
• 目标规划建模* 目标规划建模 • 图解法
第5章运输问题和指派问题
• 运输问题表示：语言描述，表格表示，数运输问题表示：语言描述，表格表示，学模型表示，学模型表示，几何图形表示 • 标准运输问题的表上作业法标准运输问题的表上作业法* • 表格建模：应用，建立运输问题的供需平表格建模*：应用，衡与单位运价表，衡与单位各位同学的选择 • 祝各位同学考试顺利通过并取得好成绩
• 指派问题表示：语言描述，表格表示，数指派问题表示：语言描述，表格表示，学模型表示，学模型表示，几何图形表示 • 表格建模：应用，指派问题的指派平衡与表格建模：应用，单位效率表 • 指派问题的匈牙利算法
第6章网络模型
• 最优生成树问题：最小树，最大树最优生成树问题*：最小树， • 最短路问题*：三种算法，有向图法，无向最短路问题*：三种算法，有向图法，图法，图法，表格法 • 最大流问题：可行流法，增广链法最大流问题*：可行流法，

《实用运筹学》上机实验指导1

《实用运筹学》上机实验指导课程名称：运筹学/Operations Research实验总学时数：60学时一、实验教学目的和要求本实验与运筹学理论教学同步进行。

目的：充分发挥Excel软件这一先进的计算机工具的强大功能，改变传统的教学手段和教学方法，将软件的应用引入到课堂教学，理论与应用相结合。

丰富教学内容，提高学习兴趣。

要求：能用Excel软件中的规划求解功能求解运筹学中常见的数学模型。

二、实验项目名称和学时分配三、单项实验的内容和要求实验一线性规划（－）实验目的：安装Excel软件“规划求解”加载宏，用Excel软件求解线性规划问题。

（二）内容和要求：安装并启动软件，建立新问题，输入模型，求解模型，结果的简单分析。

（三）实例操作：求解习题1.1。

（1）建立电子表格模型：输入数据、给单元格命名、输入公式等；（2）使用Excel软件中的规划求解功能求解模型；（3）结果分析：如五种家具各生产多少？总利润是多少？哪些工序的时间有剩余，并对结果提出你的看法；（4）在Excel或Word文档中写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型和结果分析等。

案例1 生产计划优化研究某柴油机厂年度产品生产计划的优化研究。

某柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一。

主要产品有2105柴油机、x2105柴油机、x4105柴油机、x4110柴油机、x6105柴油机、x6110柴油机，产品市场占有率大，覆盖面广。

柴油机生产过程主要分成三大类：热处理、机加工、总装。

与产品生产有关的主要因素有单位产品的产值、生产能力、原材料供应量与生产需求情况等。

每种产品的单位产值如错误!未找到引用源。

所示。

表 C－1 各种产品的单位产值为简化问题，根据一定时期的产量与所需工时，测算了每件产品所需的热处理、机加工、总装工时，如表 C－2所示。

表 C－2 单位产品所需工时同时，全厂所能提供的总工时如表 C－3所示。

表 C－3 各工序所能提供的总工时产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源。

线性规划建模举例

n块土地
B2 … Bn
问题类似
产量（吨）
a1 a2 ┇ am B1
种农作物
A1
A2 ┇
C11
C21 ┇
C12
C22 ┇
…
… …
C1n
C2n ┇
m
Am
Cm1
b1
Cm2
b2
…
…
Cmn
bn
销量（吨）
每亩的产量
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(三）生产组织与计划问题
总的加工成本最低
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下页
返回
(三）生产组织与计划问题
(五）分派问题
解：设 xij 为Bj分派给人Ai情况： Bj分派给Ai时，X i j 1 ； X 不分派给Ai时， ij 0i, j 1,2,, n 。那末这一问题的数学模型为：求一组变量 xij i, j 1,2,, n 的值，使目标函数 s
n m
c x
上页下页返回
调运量不能为负数
（二）布局问题
• 作物布局
在n块地上种植m种作物，已知各块土地亩数、各种作物计划播种面积及各种作物在各块的单产（每亩的产量）如表— （与运输问题相似），
问：如何合理安排种植计划，才使总产量最多。
上页下页返回
（二）布局问题
产地销地
总产量最多方法与运
线性规划应用举例
线性规划模型举例
继续
返回
一、使用线性规划方法处理实际问题必须具备的条件(建模条件)：
1) 优化条件---问题的目标有极大化或极
小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示。
2) 选择条件---有多种可供选择的可行方
案，以便从中选取最优方案。

线性规划的应用

线性规划的应用1. 引言线性规划是一种优化问题的数学建模工具，广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。

本文将探讨线性规划在生产计划、供应链管理和投资组合优化中的应用。

2. 生产计划中的线性规划应用生产计划是企业核心业务之一，通过合理的生产计划可以提高生产效率和降低成本。

线性规划可以匡助企业确定最佳的生产计划，以满足市场需求并最大化利润。

例如，假设一家创造公司有多个产品需要生产，每一个产品的生产成本、销售价格和市场需求量都不同。

通过线性规划模型，可以确定每一个产品的生产数量，以最大化总利润。

3. 供应链管理中的线性规划应用供应链管理是企业与供应商、生产商和分销商之间协调和优化物流和信息流的过程。

线性规划可以用于优化供应链中的物流和库存管理。

例如，一家零售公司需要决定每一个仓库的库存水平和重新补充货物的频率，以最大程度地满足顾客需求并最小化库存成本。

通过线性规划模型，可以确定最佳的库存水平和补货策略。

4. 投资组合优化中的线性规划应用投资组合优化是金融领域中的一个重要问题，即如何选择一组资产以最大化收益并控制风险。

线性规划可以用于确定最佳的投资组合权重。

例如，一个投资者有多个可选的资产，每一个资产有不同的预期收益率和风险。

通过线性规划模型，可以确定每一个资产的权重，以最大化整体投资组合的预期收益并控制风险。

5. 结论线性规划是一种强大的数学工具，可以应用于各种优化问题中。

本文讨论了线性规划在生产计划、供应链管理和投资组合优化中的应用。

通过合理的模型建立和求解，可以匡助企业和个人做出最佳决策，提高效益和竞争力。

线性规划应用线性规划解决实际问题

线性规划应用线性规划解决实际问题线性规划应用：线性规划解决实际问题线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于解决各种实际问题。

通过对线性函数和线性不等式进行约束，线性规划能够找到最佳解，使得目标函数在约束条件下达到最大或最小值。

在本文中，将探讨线性规划在解决实际问题方面的应用。

一、生产问题的线性规划在生产过程中，线性规划可以帮助企业制定最佳的生产方案。

例如，某家制造公司生产两种产品A和B，每天的生产时间有限。

产品A每单位可以获得100元的利润，产品B每单位可以获得80元的利润。

根据市场需求，每天销售量的上限是200个单位的A和150个单位的B。

此外，生产一个单位的产品A需要2小时，而生产一个单位的产品B需要3小时。

企业想要最大化每天的利润，应该如何分配生产时间？这个问题可以用线性规划来解决。

假设$x$代表生产的产品A数量，$y$代表生产的产品B数量。

则目标函数为$100x+80y$，约束条件为$2x+3y \leq T$，其中$T$为每天的生产时间（以小时为单位）。

另外还有约束条件$x \leq 200$（销售上限）和$y \leq 150$（销售上限），以及$x,y \geq 0$（生产数量非负）。

通过求解这个线性规划问题，可以得到最佳的生产方案，从而实现最大的利润。

二、资源分配问题的线性规划线性规划还可以应用于资源分配问题。

例如，某社区有一定数量的土地可供开发，而开发商希望在这块土地上建造住宅和商业用地，以获得最大的利润。

由于土地有限，住宅和商业面积的总和不能超过土地面积。

此外，开发商希望确保住宅面积至少是商业面积的2倍。

在给定土地面积和其他约束条件的情况下，该如何确定住宅和商业面积的最佳分配？这个问题可以建模为一个线性规划问题。

假设$x$代表住宅面积，$y$代表商业面积。

则目标函数为$x+y$，约束条件为$x+y \leq A$，其中$A$表示土地面积。

另外还有约束条件$x \geq 2y$（住宅面积至少是商业面积的2倍），以及$x,y \geq 0$（面积非负）。

线性规划课件ppt

根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

组合优化问题的线性规划建模与求解方法

组合优化问题的线性规划建模与求解方法组合优化问题是指在给定的一组元素中，通过选择和排列这些元素，使得满足一定的约束条件下，所得到的组合具有最优的性质或目标值。

这类问题广泛应用于各个领域，例如物流配送、生产调度、项目管理等。

线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到满足某个目标函数的最佳线性解。

线性规划在组合优化问题中的应用非常广泛，通过建立合适的线性规划模型，可以有效地求解各种组合优化问题。

在组合优化问题中，线性规划建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件。

决策变量表示需要选择或排列的元素，目标函数则衡量所得到的组合的质量或性能指标，约束条件则限制决策变量的取值范围。

以下是一些常见的组合优化问题及其线性规划建模与求解方法：1. 装箱问题（Bin Packing Problem）：将一组物品装入容量有限的容器中，要求最小化使用的容器数量。

该问题可以使用整数线性规划进行建模。

决策变量可以表示物品是否被装入某个容器，目标函数可以表示使用的容器数量，约束条件包括容器的容量限制以及每个物品被装入一个容器的限制。

2. 旅行商问题（Traveling Salesman Problem）：给定一组城市和各城市之间的距离，求解一条最短路径，使得每个城市恰好被访问一次，并回到起始城市。

该问题可以使用混合整数线性规划进行建模。

决策变量可以表示城市之间的连接关系，目标函数可以表示路径的总长度，约束条件包括每个城市的进出度限制以及避免子循环的限制。

3. 生产调度问题（Production Scheduling Problem）：给定一组任务和可用资源，求解最优的任务分配和调度方案，使得总体生产时间最短。

该问题可以使用整数线性规划进行建模。

决策变量可以表示任务的开始时间和资源的分配情况，目标函数可以表示生产完成时间，约束条件包括资源的可用性和任务之间的时间限制。

4. 资源分配问题（Resource Allocation Problem）：给定一组资源和一组需求，求解最优的资源分配方案，使得满足所有需求的同时最小化资源的使用量。

高中生数学线性规划教案

高中生数学线性规划教案教学内容：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域。

2. 掌握线性规划的解题思路和方法。

3. 在实际问题中运用线性规划进行分析和解决。

教学目标：1. 理解线性规划的定义和特点。

2. 能够根据具体问题建立线性规划模型。

3. 能够运用线性规划解决实际生活中的问题。

教学重点：1. 线性规划的基本概念和特点。

2. 线性规划模型的建立和求解方法。

3. 实际问题中线性规划的应用。

教学难点：1. 将实际问题抽象成线性规划模型。

2. 运用线性规划方法解决问题的能力。

教学过程及教学方法：1. 导入（5分钟）通过介绍一个生活中的实际问题，引出线性规划的概念和应用场景。

2. 理论讲解（15分钟）讲解线性规划的定义、目标函数、约束条件等基本概念，并介绍线性规划的解题思路和方法。

3. 示例分析（20分钟）通过具体的例题演示，引导学生理解如何建立线性规划模型，并运用线性规划方法解决问题。

4. 练习与讨论（15分钟）组织学生进行练习题目，引导学生思考问题的建模和解决方法，并开展讨论分享。

5. 拓展应用（10分钟）介绍线性规划在实际生活中的广泛应用领域，启发学生深入思考线性规划的实际意义。

6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，梳理线性规划的重点和难点，强调学生需要掌握的知识点。

教学资源：1. PPT课件；2. 课堂练习题目；3. 实际问题案例。

教学评估：1. 课堂练习成绩；2. 参与讨论的表现；3. 课后作业完成情况。

教学反馈：及时对学生在课堂练习和课后作业中存在的问题进行指导和辅导，帮助他们提高线性规划解题能力。

《运筹学》第3章线性规划的建模与应用

排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需求人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
3.2 成本收益平衡问题
解：本问题是排班问题，是典型的成本收益平衡问题。（1）决策变量
确定不同排班的上班人数。设：xi为排班i的上班人数 (i＝1,2,,5) （2）目标函数每天的总成本（工资）最少。
3.2 成本收益平衡问题
例3.2 某航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因此需要雇用更多的服务人员。不同时段有最少需求人数，有5种排班方式（连续工作8个小时）。
时段 06:00～08:00 08:00～10:00 10:00～12:00 12:00～14:00 14:00～16:00 16:00～18:00 18:00～20:00 20:00～22:00 22:00～24:00 00:00～ 6:00 每人每天工资（元）
对于特定的数量提供的数量=需求的数量
成本收益平衡问题混合问题
网络配送问题混合问题
注： LHS=左式（一个SUMPRODUCT函数） RHS=右式（一般为常数）
3.4.2 混合问题的应用举例一：配料问题
配料问题的一般提法是：生产某类由各种原料混合而成的产品，如何在满足规定的质量标准的条件下，使所用原料的总成本最低。例3.4 某公司计划要用Ａ、Ｂ、C三种原料混合调制出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求和单价、原料供应量和单价等数据如表3-9所示。问该公司应如何安排生产，才能使总利润最大？
（1）决策变量

线性规划在数学建模中的应用

线性规划在数学建模中的应用摘要：线性规划是运筹学中发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。

它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。

为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

本文在阅读了大量材料的基础上，集中体现了线性规划是如何应用到数学建模中去的。

并且在利用数学建模的思想以线性规划为工具可以解决哪些实际问题，为我们的生活提供哪些便利。

本文大体上可分为三章，第一章主要对线性规划和数学建模这两个理论做简要描述。

并且叙述这两个理论的发展历程，以及研究的背景及意义。

第二章主要介绍线性规划在数学建模中的应用，其中包括现在性规划在物流运输中的应用，线性规划在经济生活中的应用，以及线性规划在现代管理中的应用，并且配备了相应的例子。

第三章主要讨论线性规划在实际应用方面应注意哪些细节，并对第二章的数学模型进行优化，以及对最优解方面的讨论。

关键词：线性规划数学模型物流运输经济生活现代管理Abstract:Linear programming is developed rapidly and widely applied in operational research, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Study of linear objective function under the linear constraint condition extremum problems of mathematics theory and method of LP abbreviations. It is an important branch of operational research, widely used in military, economic analysis, management and engineering technology, etc. For reasonable use of the limited manpower and material resources, financial resources and other resources to make the optimal decision, provide the scientific basis.In this paper, on the basis of reading a lot of material, how concentrated the linear programming is applied to the mathematical modeling. And in using the ideas of mathematical modeling by means of linear programming can solve practical problems, which provide which is convenient for our life. The article in general can be divided into three chapters, the first chapter mainly on linear programming and mathematical modeling the two theories are described briefly. And the development of the two theories, as well as the research background and significance. The second chapter mainly introduces the application of linear programming in mathematical modeling, including the planning in the application of logistics transportation, now the application of linear programming in economic life, as well as the application of linear programming in the modern management, and equipped with corresponding examples. The third chapter mainly discuss details which should be paid attention to in practical application of linear programming, and optimize the mathematical model of the second chapter, and the optimal solution for the discussion.Keywords: Linear programming Mathematical model Logistics transportation The economic life Modern management第一章绪论1.1研究背景以及意义1.1.1研究背景1.1.2研究意义研究线性规划在数学建模中的应用其理论意义主要在于利用数学建模的手段，为线性规划更好的应用于显示生活中提供理论依据。

数学建模中的线性规划方法

数学建模中的线性规划方法随着科技和经济的发展，线性规划在多个领域中得到广泛应用，特别是在数学建模中，它是一种非常重要的工具。

在本文中，我们将探讨线性规划的基本概念、求解方法以及在数学建模中的实际应用。

一、基本概念线性规划是一种最优化的数学模型，通常用于寻找最大或最小值的解决方案。

这种模型通常由多个线性约束条件组成，并有一个或多个变量需要优化。

线性规划的目标是通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。

一个典型的线性规划问题可以用如下的形式表示：\begin{aligned} & \min/\max\ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ &\text{subject to:} \\ & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\leq b_1 \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ & \vdots \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leqb_m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 \end{aligned}其中，$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是待优化的目标函数，$a_{ij}$和$b_i$是已知的线性不等式限制条件。

二、求解方法线性规划有多种求解方法，包括单纯形法、内点法、网络流方法等。

其中，单纯形法是最常用的方法之一。

单纯形法是一种迭代的算法，它从一个起始基（基向量组成的矩阵）开始，不断交替地找出进入基的变量和离开基的变量，从而求出最优解。

具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最小化，并且所有约束条件都是等式形式。

2. 构造初始基。

3. 计算基的费用向量，即基所对应的目标函数系数。

线性规划教案

线性规划教案一、教案概述本教案旨在介绍线性规划的基本概念、解法和应用。

通过本教案的学习，学生将能够理解线性规划的原理和方法，掌握线性规划问题的建模和求解技巧，并能够将线性规划应用于实际问题的解决中。

二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念和特点；2. 掌握线性规划问题的建模方法；3. 学会使用单纯形法和对偶理论求解线性规划问题；4. 能够将线性规划应用于实际问题的解决中。

三、教学内容与安排1. 线性规划的基本概念（1课时）a. 线性规划的定义和特点；b. 线性规划问题的数学模型。

2. 线性规划问题的建模方法（2课时）a. 线性规划问题的常见形式；b. 线性规划问题的约束条件和目标函数的确定；c. 线性规划问题的变量定义和范围确定。

3. 单纯形法的基本原理和步骤（3课时）a. 单纯形法的基本思想；b. 单纯形表格的构造和更新；c. 单纯形法的迭代过程和终止条件。

4. 对偶理论与对偶问题的求解（2课时）a. 对偶问题的定义和性质；b. 对偶问题的求解方法；c. 原始问题与对偶问题的关系。

5. 线性规划问题的应用案例分析（2课时）a. 生产计划问题；b. 资源分配问题；c. 运输问题。

四、教学方法与手段1. 讲授法：通过教师的讲解，向学生介绍线性规划的基本概念、解法和应用案例，匡助学生理解和掌握相关知识。

2. 实例分析法：通过实际问题的分析和求解，引导学生掌握线性规划问题的建模和求解方法。

3. 讨论互动法：组织学生进行小组讨论和问题解答，促进学生之间的交流和思维碰撞，提高学生的学习兴趣和参预度。

4. 案例分析法：通过真正的应用案例，引导学生将线性规划理论应用于实际问题的解决中，培养学生的实际应用能力。

五、教学评价与反馈1. 课堂练习：布置课堂练习题，检验学生对于线性规划的理解和应用能力。

2. 作业评价：布置相关作业，评价学生对于线性规划知识的掌握程度。

3. 课堂互动：通过课堂讨论和问题解答，评价学生对于线性规划的理解和思量能力。

管理运筹学实验报告

实验题目线性规划建模应用一、实验目的1、掌握线性规划问题的建模与解决。

2、学会使用LINDO软件，并在线性规划的求解中的应用。

二、实验内容假定某医院院周会上正在研究制定一昼夜护士值班安排计划。

在会议上，护理部主任提交了一份全院24小时各时段内需要在岗护士的数量报告，见下表。

如果按照每人每天两小班轮换，中间间隔休息时间8小时，这样安排岗位不但会造成人员冗余，同时护理人员上下班不是很方便。

由于医院护理工作的特殊性，又要求尽量保证护理人员工作的连续性，最终确定每名护士连续工作两个小班次，即24小时内一个大班8小时，即连续上满两个小班。

为了合理的压缩编制，医务部提出一个合理化建议：允许不同护士的大班之间可以合理相互重叠小班，即分成六组轮班开展全天的护理值班（每一个小班时段实际上由两个交替的大班的前段和后段共同承担）。

现在人力部门面临的问题是：如何合理安排岗位，才能满足值班的需要？正在会议结束之前，护理部又提出一个问题：目前全院在编的正式护士只有50人，工资定额为10元/小时；如果人力部门提供的定编超过50人，那么必须以15元/小时的薪酬外聘合同护士。

一但出现这种情况又如何安排上述班次？保卫处后来又补充到，最好在深夜2点的时候避免交班，这样又如何安排班次？三、实验分析报告根据各部门提出的意见，预备提出四种备选方案，各方案分析如下：1、没考虑定编上限和保卫处的建议令2：00-6：00-10：00，6：00-10：00-14：00，10：00-14：00-18：00，14：00-18：00-22：00，18：00-22：00-2：00，22：00-2：00-6：00时段的大班开始上班的人数分别为X1, X2, X3, X4, X5, X6. 由此可得的2：00-6：00，6：00-10：00，10：00-14：00，14：00-18：00，18：00-22：00，22：00-2：00各小班人数为X1+X6, X1+X2 , X2+X3, X3+X4, X4+X5, X5+X6.可得线性规划问题如下：目标函数为要求所需开始上班的人数最小，约束条件为由各大班开始上班人数所得的各小班人数必须大于规定的小班需要护士量.MinZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6X1+X6>=10 ，X1+X2>=15X2+X3>=25 ，X3+X4>=20X4+X5>=18 ，X5+X6>=12X1～X6>=0,且X1～X6为整数在不考虑定编上限和保卫处的建议的情况下，在满足正常需要的情况下医院最少需要53名护士。

线性规划问题的建模与求解

线性规划问题的建模与求解线性规划是一种常见的数学优化方法，用于解决一系列约束条件下的最优化问题。

它在工业、经济、管理等领域具有广泛的应用。

本文将介绍线性规划问题的建模过程以及求解方法，并通过实例来说明其应用。

一、线性规划问题的定义线性规划问题可以定义为在一定的约束条件下，寻找一组决策变量的最优解，使得目标函数达到最大或最小值。

其中，目标函数和约束条件均为线性的。

在建模过程中，首先需要明确决策变量、目标函数和约束条件。

决策变量是我们需要确定的决策因素，可以是某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。

目标函数是我们希望最大化或最小化的量，可以是利润、收益、成本等。

约束条件是对决策变量的限制条件，可以是资源约束、技术约束等。

二、线性规划问题的建模过程线性规划问题的建模过程一般包括以下几个步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要确定的决策因素，例如某个产品的生产数量、某个投资项目的投入金额等。

2. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。

如果是最大化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之和；如果是最小化问题，目标函数一般为各决策变量的系数之差。

3. 确定约束条件：根据问题中的限制条件，建立约束条件的数学表达式。

约束条件一般包括资源约束、技术约束等。

每个约束条件都可以表示为决策变量的线性组合与某个常数之间的关系。

4. 确定决策变量的取值范围：根据实际问题的限制条件，确定决策变量的取值范围。

例如，某个产品的生产数量不能为负数，某个投资项目的投入金额有上限等。

5. 建立数学模型：将上述步骤中确定的决策变量、目标函数和约束条件组合起来，建立线性规划问题的数学模型。

三、线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法主要有两种：图形法和单纯形法。

1. 图形法：对于二维或三维空间中的线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中画出目标函数的等高线和约束条件的边界线，最后确定最优解所在的交点。