第三章线性规划的应用及计算机求解
管理运筹学作业 韩伯棠第3版高等教育出版社课后答案
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
线性规划的应用及计算机求解
金融投资
在金融投资领域，如何合理配置资产以实现最大收益或最小风险是投资者关注的问题。线性规划可以用于制定最优的资产配 置方案，考虑风险和收益的平衡，以实现投资效益的最大化。
例如，一个养老基金可以使用线性规划来配置股票、债券和现金等资产，以实现长期稳定的收益并控制风险。
农业优化
在农业生产中，如何合理安排种植、养殖等 生产活动以达到最优的经济效益是农业经营 者关注的问题。线性规划可以用于解决农业 生产的优化问题，考虑土地、水资源、劳动 力等资源的限制，通过调整生产结构实现农 业生产的效益最大化。
其中，单纯形法是最常用的一种，它 通过迭代的方法逐步逼近最优解，直 到找到最优解或确定无解为止。
02
线性规划的应用领域
生产计划
生产计划是企业运营管理中的重要环节，线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最小化生产成本 或最大化利润为目标，考虑生产能力、市场需求、产品组合等因素，通过调整生产资源的配置，实现 生产效益的最大化。
金融投ห้องสมุดไป่ตู้优化案例
总结词
金融投资优化
数学模型
目标函数通常是最大化预期收益或最小化 风险，约束条件包括投资限额、资产种类
限制等。
详细描述
线性规划在金融投资优化中具有实际应用 价值，通过合理配置投资组合，降低投资 风险，提高投资收益。
求解方法
使用计算机求解线性规划问题，常用的算 法有单纯形法、椭球法等。
资源分配优化案例
总结词 详细描述 数学模型 求解方法
资源分配优化
线性规划在资源分配优化中起到关键作用，通过合理分配有限 资源，实现资源利用的最大化，提高资源效益。
目标函数通常是最小化总成本或最大化总效益，约束条件包括 资源限制、需求约束等。
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
《管理运筹学》第四版课后习题答案
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC。
（2）等值线为图中虚线部分。
? （3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x =12， x ??15 727图2-1 ；最优目标函数值 69。
72．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解?x 1 ??0.2，函数值为3.6。
?x 2图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
? （5）无穷多解。
?x ? （6）有唯一解 ??1? 203，函数值为 92 。
8 3x ? ??2 33．解： （1）标准形式max f ??3x 1 ??2x 2 ??0s 1 ??0s 2 ??0s 39x 1 ??2x 2 ??s 1 ??30 3x 1 ??2x 2 ??s 2 ??13 2x 1 ??2x 2 ??s 3 ??9 x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0（2）标准形式min f ??4x 1 ??6x 2 ??0s 1 ??0s 23x 1 ??x 2 ??s 1 ??6x 1 ??2x 2 ??s 2 ??10 7x 1 ??6x 2 ??4x 1, x 2 , s 1, s 2 ≥ 0（3）标准形式min f ??x 1????2x 2????2x 2??????0s 1 ??0s 2?3x 1 ??5x 2????5x 2??????s 1 ??70 2x 1????5x 2????5x 2??????50 3x 1????2x 2????2x 2??????s 2 ??30 x 1?, x 2??, x 2????, s 1, s 2 ≥ 0 4．解： 标准形式max z ??10x 1 ??5x 2 ??0s 1 ??0s 23x 1 ??4x 2 ??s 1 ??95x 1 ??2x 2 ??s 2 ??8x1, x2 , s1, s2 ≥0≤松弛变量（0，0）最优解为 x 1 =1，x 2=3/2。
管理运筹学第四版 第三章习题6答案(P35)
《数据、模型和决策》作业一学号：2461604112 姓名：王康兵班级：2016秋MBA2周末班一、第三章线性规划问题的计算机求解习题6 （P35）答：根据图3-10回答问题如下：（1）最优解即最优产品组合是产品Ⅰ每天的产量是150个，产品Ⅱ每天的产量是70个。
此时最大的目标函数即最大利润为103000元。
（2）车间1和车间3的加工工时数已使用完，车间2和车间4的加工工时数还没用完。
车间2的松弛变量即没用完的加工工时数为330工时，车间4的松弛变量即没用完的加工工时数为15工时。
（3）车间1的加工工时的对偶价格为50元，即增加一个工时就可能使总利润增加50元；车间2的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加；车间3的加工工时的对偶价格为200元，即增加一个工时就可能使总利润增加200元；车间4的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加。
（4）如果要在这四个车间选择一个车间进行加班生产，我会选择车间3。
因为在车间3的加工工时的对偶价格为200元，即每增加一个工时就可能使总利润增加200元，能为公司创造价值。
（5）目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，当c1在400与+∞之间变化时，最优产品组合不变。
（6）目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，当c2从400元提高到490元时，最优产品组合没有变化。
因为当c2=490元时，0《490《500，仍在c2的系数变化范围内，所以其最优产品组合没有变化。
（7）约束条件中的常数项的现在值由图3-10可知，b1=300，b2=540，b3=440，b4=300。
所谓常数项的上限和下限是指当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
具体地说，当车间1的加工工时数在200到440的范围内时，其对偶价格都为50元；当车间2的加工工时数在210到+∞范围内时，其对偶价格为零；当车间3的加工工时数在300到460范围内时，其对偶价格都为200元；当车间4的加工工时数在285到+∞范围内时，其对偶价格为零。
计算机应用数学(线性规划三)
Appiled Mathematics
线 性 规 划
Linear Programming
计算机应用数学
Appiled Mathematics
知识目标
1、理解线性规划的思想； 2、掌握用图解法解线性规划（Linear Programming）
问题的方法;
能力目标
会用图解法解决实际问题（线性规划方面）
XB
c1 cmcm1 cn i b x1 xm xm1 xn
b1 bm
ci b i
x1 xm
Z
0 a1,m1 a1n 1 am,m1 amn 0 0 j c j ci aij
1 0
max z= s.t.
3x1
+2x2 +x3 +2x3 x3
+5x3 ≤430 ≤460 ≤420 ≥0
宁波职业技术学院数学教研室
2x1 3x1 x1 x 1,
+2x2 +4x2 x 2,
计算机应用数学
cj cB 0 0 xB x4 x5 b 430 460
Appiled Mathematics 3 x1 2 3 2 x2 2 0 5 x3 1 2 0 x4 1 0 0 x5 0 1 0 x6 0 0
x3 x6
230 420
-1150 -9/2
宁波职业技术学院数学教研室
计算机应用数学
cj cB
100
Appiled Mathematics
3 b
100
2 x2 1 0 0 0
5 x3 0 1 0 0
0 x4 0 -2 -1
《管理运筹学》第三版(韩伯棠 )课后习题答案 高等教育出版社
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
50xa + 100xb ≤ 1200000 5xa + 4xb ≥ 60000 100xb ≥ 300000 xa , xb ≥ 0 基金 a,b 分别为 4000，10000。 回报率：60000
b 模型变为： max z = 5xa + 4xb
50xa + 100xb ≤ 1200000 100xb ≥ 300000 xa , xb ≥ 0
xi ≥ 0, yi ≥ 0 i=1,2,…,11
稍微变形后，用管理运筹学软件求解可得：总成本最小为 264 元。 安排如下：y1=8（ 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班），y3=1，y5=1，y7=4，x8=6 这样能比第一问节省：320-264=56 元。
x2＋x3＋x4＋x5＋1 ≥ 3 x3＋x4＋x5＋x6＋2 ≥ 3 x4＋x5＋x6＋x7＋1 ≥ 6 x5＋x6＋x7＋x8＋2 ≥ 12 x6＋x7＋x8＋x9＋2 ≥ 12 x7＋x8＋x9＋x10＋1 ≥ 7 x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班 次。
约束 -------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
线性规划的应用及计算机求解
等级
非常好 很好 一般 一般 非常好 很好
设投资于A,B,C,D,E,F六只债券上的投资额(万元)分别 为 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ，则可列出如下线性规划模型：
max P 0.085 x1 0.09 x2 0.1x3 0.095 x4 0.085 x5 0.09 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 10000 x 2500 1 x2 2500 x3 2500 x 2500 4 x5 2500 x6 2500 x1 x2 x5 x6 5000 x x 3000 4 3 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
ห้องสมุดไป่ตู้
s.t.
Excel求解汽车生产计划问题
用Excel求解线性规划问题，可以按照如下三个步骤 进行：
１
2 3
列出所求问题的标准表格
把标准表格转换为Excel电子表格。 利用Excel的“规划求解”进行求解。
其中：单元格J4(目标函数)的计算公式为： =SUMPRODUCT(B4:F4,$B$15:$F$15) 单元格Jk(约束条件k)的计算公式为： =SUMPRODUCT(Bk:Fk,$B$15:$F$15)
P59(a)
例题3：
max P 3 x1 2 x2 x1 2 x2 1 x x 2 2 1 2 x1 x2 6 x1 5 2 x1 x2 16 x x 12 2 1 x1 x2 21 x2 10 x1 , x2 0 P59(f)
第三章 线性规划问题的计算机求解.
➢ 注意：
➢ 1、允许增加（减少）量为无穷大时，其允许 增加（减少）百分比都看做0。
➢ 2、百分之一百法则是判断最优解或对偶价格 是否变化的充分条件，但不是必要条件。
第三章
线性规划问题 的计算机求解
➢ 一、“管理运筹学”软件的操作方法
➢ 2.5版比之2.0版改进了不少功能，如，线性 规划结果输出部分增加了线性规划的逐步运 算过程
➢ 应用注意：
➢ 1、输入系数可以是整数、小数，但不能是分 数；
➢ 2、输入前要合并同类项； ➢ 3、可以解决包含50个约束条件、100个决策
➢ 3、百分之一百法则不能用于约束条件右端常 数项和目标函数系数同时变化的情况，在这 种情况下只有重新求解。
影子价格与对偶价格的区别和联系
➢ 影子价格：当约束条件中的常数项增加一个 单位时，最优目标和数值增加的数量。
➢ 对偶价格：当约束条件中的常数项增加一个 单位时，最优目标和数值改进的数量。
➢ 因此，当目标函数为最大化要求时，影子价 格＝对偶价格，当目标函数为最小化要求时， 影子价格＝－对偶价格。
变量的线性规划问题。
➢ 二、管理运筹学软件的输出信息分析
➢ 1、基本信息内容
➢ 相差值：使决策变量取正值，目标函数系数 要改进的数量。
➢ 对偶价格：约束条件右端项（资源、限制） 增加一个单位使目标函数值得到改进的数量。
➢ 价值系数上下限是最优解不变的范围； ➢ 常数项上下限是对偶价格不变的范围。
X2
Hale Waihona Puke 400C1＝-100
运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解
变量 下限 当前值 上限
x1
0
50
100
x2
50
100 无上限
从上面可知目标函数中X1的系数的上限为100，故C1
允许增加量为： 上限-现在值=100-50=50；
而X2的下限为50，故C2的允许减少量为： 现在值-下限=100-50=50。
定义Ci 的允许增加(减少)百分比为：Ci 的增加量 (减少量)除以Ci 的允许增加量(允许减少量)的值。
在上题中C1 的允许增加百分比与C2 的允许减 少百分比之和为92％不超过100％，所以当每件产 品Ⅰ利润从50元增加到74元，每件产品Ⅱ利润从 100元减少到78元时，此线性规划最优解仍然为Ⅰ 产品生产50件， Ⅱ产品生产250件(即x1= 50， x2=250)，此时有最大利润为:
74× 50+78× 250=3700＋19500=23200(元)。
为50元，即增加了一个台时数就可使总利润增加50元；
原料A还有50千克没有使用，原料A的对偶价格当然为零，
即增加1千克A原料不会使总利润有所增加；原料B全部使
用完，原料B的对偶价格为50元，即增加一千克原料B就
可使总利润增加50元。
在目标函数系数范围一栏中，所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50，x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数（其它决策 变量的系数固定在当前值）在此范围内变化时，其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时，因为0≤80≤100，在x1的系数变化范 围内，所以其最优解不变（此时要固定c2=100)，也即当x1=50， x2=250时，有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了，其最大利润也增加了(最优值变了)，
第三章 线性规划问题的求解07.9
输入部分： 2. 输入部分：
（1）线性规划、整数规划的目标函数和约束的输 线性规划、 入必须按由小到大的序号顺序输入， 入必须按由小到大的序号顺序输入，同时约 束变量必须放在运算符的左侧。 束变量必须放在运算符的左侧。如（x1+x2x3=0，不能输为x2-x3+x1=0；x1-x2+x3=0， ， ； ， 不能输为x1+x3=x2） （2）输入的约束中不包括" ≥ "或"≤"，而是用 输入的约束中不包括 或 ，而是用">“ 代替， 或“<”代替，这不会影响求解。如 对于约束 代替 这不会影响求解。 X1 ≥ 2,则输入 X1>2,而不是 1 ≥ 2。 而不是X 则输入 而不是 。 （3）当所有的约束条件输入完了之后，在下一个 ）当所有的约束条件输入完了之后， 约束条件中输入“ 约围：
当前值——指bj的现在值 指 当前值 上限值和下限值——指bj在此范围内变化时，则与 上限值和下限值 指 在此范围内变化时， 其对应的约束条件的对偶价格不变。 其对应的约束条件的对偶价格不变。
三、百分之一百法则及其应用
1、允许增加量：允许△ = 上限 – 现在值 、允许增加量： 2、允许减少量：允许△ = 现在值 – 下限 、允许减少量： 3、允许增加（减少）百分比： 、允许增加（减少）百分比：
输出部分： 4. 输出部分：
（1）线性规划和整数规划子程序没有把运算结 果存储到文本文件的功能， 果存储到文本文件的功能，其它子程序都 可以实现。 可以实现。 （2）若不通过运行Main.exe进入各子问题，而 若不通过运行Main.exe进入各子问题， Main.exe进入各子问题 是直接运行各子程序，系统会默认当前目 是直接运行各子程序， 录为存储目录。 录为存储目录。
管理运筹学(第五版)韩伯棠主编第三章 线性规划问题的计算机求解课后习题参考答案
第三章线性规划问题的计算机求解3-1（1）甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720。
（2）油漆工艺生产增加1小时，可以使总利润提高13.333元。
（3）常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333。
（4）不变，因为还在120和480之间。
3-2（1）最优决策为截第一种钢板6张，第二种钢板7张。
（2）需要A种规格的小钢板成品个数在12和27范围内时，第一个约束条件的对偶价格不变。
（3）B种规格的小钢板成品的剩余变量值为4，表示此决策下，截得B种规格成品的实际数量比B种规格的成品的需求量多了4个。
3-3（1）农用车有12辆剩余。
（2）300到正无穷范围内。
（3）每增加一辆大卡车，总运费降低192元。
3-4（1）是最优解。
（2）此常数项在-∞到2范围内变化时，约束1的对偶价格不变。
3-5（1）圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元。
（2）相差值为0代表，不需要对相应的目标函数系数进行改进就可以生产该产品。
（3）最优解不变，因为C1允许增加量200-6=140；C2允许减少量为100-30=70，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（75-60）/140+（100-90）/70＜100%，所以最优解不变。
3-6（1）1150x=，270x=，即产品I的产量为150，产品II的产量为70；目标函数最优值103 000，即最大利润为103 000。
（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。
（3）50，0，200，0。
含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。
（4）3车间，因为增加的利润最大。
线性规划模型的求解及应用毕业论文
毕业论文（设计）课题名称线性规划模型的求解及应用业数学与应用数学（S）2010级数学2班指导教师________________________________ 学生姓名______________________________隹木期大学数务处word文档可自由复制編辑线性规划模型的求解及应用佳木斯大学理学院数学系2014年6月线性规划是运筹学的一个重要分支，它辅助人们进行科学管理，是国际应用数学、经济、计算机科学界所关注的垂要研究领域.线性规划主要研究有限资源最佳分配问题，即如何对有限的资源进行最佳地调配和最有利地使用，以便最充分发挥资源的效能来获取最佳的经济效益.线性规划运用数学语言描述某些经济活动的过程，形成数学模型，以一定的算法对模型进行计算，为制定最优计划方案提供依据•其解决问题的关键是建立符合实际情况的数学模型，即线性规划模型.在各种经济活动中，常采用线性规划模型进行科学、定量分析, 安排生产组织与计划，实现人力物力资源的最优配置，获得最佳的经济效益.目前，线性规划模型被广泛应用与经济管理、交通运输、工农业生产等领域.本文主要介绍线性规划的两种基本解法即图解法和单纯形法，并讨论了这两种方法的优缺点和在一些实际问题屮的应用.关键词：线性规划：图解法：单纯形法：数学模型：应用AbstractLinear progianmiing is an iinpoilant branch of operations research, which assist people to scientific management is an important area of research iiitemationally applied mathematics, economics, computer science conmiunity^s concerns. The main study of linear programming optimal allocation of limited resomces, namely liow to limited resoiuces optimally deploy and most advantageously used in order to most hilly effective resources to get the best value for money.Linear progianmiing using mathematical language to describe the process of certain economic activities, the fonnation of mathematical models to a certain algorithm to calculate the model toword文档可自由复制編辑provide a basis for the fonnulation of the optimal plan for. The key to solve the problem is to create a mathematical model in line with the actual situation, namely linear progranmiing model. In various economic activities, often using linear progianuning model for scientific, quantitative analysis, organization and planning for production to achieve the optimal allocation of hiunan and material resources, to get the best value for money. At present, the linear progianmiing model is widely used in economic management, tiansportation, industrial and agricultural production and other fields.This paper describes two basic solution that giaphical method for linear programming and the simplex method, and discuss the advantages and disadvantages of both methods and applications in a number of practical problems・Key words：Linear Programming： Graphic method; simplex method; mathematical model;Application摘要........................................................................... Abstract .................................................................................................................................第1章绪论 ....................................................................1.1线性规划的基本概念......................................................1.1.1线性规划简介........................................................1.1.2线性规划由來的时间简史..............................................1.2线性规划的研究目的及意义................................................第2章线性规划问题的数学模型..................................................2.1线性规划模型的建立......................................................2.2线性规划模型的求解方法..................................................2.2.1图解法..............................................................2.2.2单纯形法............................................................ 第3章线性规划在实际问题中的应用..............................................3.1线性规划在企业管理中的应用 ..............................................3.1.1线性规划在企业管理中的应用范围......................................3.1.2如何实现线性规划在企业管理中的应用..................................3.2线性规划在企业生产计划中的应用 ..........................................33线性规划在运输问题中的应用............................................... 结论........................................................................... 參考文献.......................................................................第［章绪论1.1.1线性规划简介线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支, 它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备利新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题•满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素.1.1.2线性规划由来的时间简史法国数学家J. - B. - J.傅里叶和C.瓦莱一普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意.1939年苏联数学家fl.B.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视.1947年美国数学家G. B. Dantzing提出求解线性规划的单纯型法，为这门学科奠定了基础.1947年美国数学家J. von诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域, 扩大了它的应用范围和解题能力.1951年美国经济学家T. C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖.50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法.例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析利参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B•丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等.线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究.由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX, OPHEIE, UMPIRE等，可以很方便地求解几「个变量的线性规划问题.1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法.1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法. 用这种方法求解线性规划问题在变屋个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50.现已形成线性规划多项式算法理论.50年代后线性规划的应用范用不断扩人.建立线性规划模型的方法第2章线性规划问题的数学模型2.1线性规划模型的建立线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学的方法•它的基本思路是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优•它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务资源数量己定，精细安排，用最少的资源去实现这个任务：二是资源数量己定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多.前者是求极小，后者是求极大.线性规划的一般定义如下：对于求取一组变量Xj (j=l,2,-,n),使之既满足线性约束条件，又使具有线性特征的目标函数取得极值的一类最优化问题称为线性规划问题.线性规划模型建立需具备以下条件：一是最优目标.问题所要达到的目标能用线性函数來描述，且能够使用极值(最大或最小)来表示.二是约束条件•达到目标的条件是有一定限制的，这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式來表示.三是选择条件，有多种方案可以供选择，以便从中找出最优方案.线性规划问题的一般数学模型如下：max(或min) Z = c1x l + c2x2 ------- 1- c n x n(1)r a1I x1 + a.2x2 + -+a.B x n< (=,b t+a22x2 4-- + a2a x c < (=,>) h2s.t. / : :: ⑵a：x l+a m2x2+ - + a mn x n 兰(=,>)b maV x:x2 ........... x n > 0(< 0)Xj (j = 1,2，“n) 称为决策变量word文档町“由复制编辑bj(j = 1,2, ...,n) 称为约束右端系数屯(}= 1,2,= 1,2, ...r n) 称为约束系数 其中式(1)为目标函数，式(2)称为约束条件•由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别，线性规划问题有多种表达式，为了便 于讨论和制定统一的算法，规定标准形式如下：(1) 标准形式 iaxz = CiXj+C?%+••• + %£a n x i + + ・• • + a in\ =b 】a 21X l • • • + + ・•・ + ** * • • • a 2n X n =■ + 3^X3+ •••+ a nm\ =X )n 0 (j = 1，…,n)(2) £记号简写式nmax z =工 C J X Jj ・i■n E a u x j =b ： (i = l ，2,.・.m)[Xj=O (j =1,2,...41)(3) 矩阵形式max z = CXjAX = b(X>O式中c=(C v ...,c n ), X= (xp.— xj 311 a 12 …a lnL 0A= 321 a 22 …a 2n ,b = b, ■ ,0 = 0• • • • • • ••• • • • • • ••• a ml a m2 …a mn b 3 0■ Cj(j = 1,2,…,n)称为1=1标函数系数max z = CXf Pkbn x>o式中C, X, b, 0的含义与矩阵的表达式相同，而Pj = [a ir a 2?-^a mj]0 = 12 …，n)即 A= (p 1,p 2r»>p n )将非标准形式化为标准形式的情况(3种基本情况)(1) 目标函数为求极小值minZ=CA ；则作 Z=-CX,即 maxZ^-CX(2) 右端项小于0只需要将两端同乘(-1),不等号改变方向，然后再将不等式改为等式(3) 约束条件为不等式 若约束条件为“兰”则在不等式左侧增加一个非负松驰变最，使其转化为若约束条件为“X”，则在不等式左侧减去一个非负剩余变量(也称松驰变暈)，使其转化 为 “ =” •2.2线性规划模型的求解方法线性规划可以在一定条件下合理安排人力、物力等资源，使经济效果达到最好.一般 来说，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问 题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变星、 约束条件、目标函数是线性规划的三要素.然而图解法不适合解大规模的线性规划的问 题，局限性比较大.但对于只有两个或考三个变量的线性规划问题，可以用图解法求最优 解，也就是作出约束条件的可行域，利用图解的方法求出最优解，其特点是过程简洁、 图形清晰，简单易懂•下面仅做只有两个变量的线性规划问题.只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平而上作图的方法求解，步骤如下：(4)向量形式 2. 2.1 解法（1）以变量X】为横坐标轴，X：为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系.由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内.（2）图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）.（3）画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向.（4）可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解.卜面举出一个实例来说明：例1•某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3,第二种有56假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一张圆桌可获利60元,生产一个衣柜可获利100元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多？解：设生产圆束x张，生产衣柜y个，利润总额为n元，则由已知条件得到的线性规划模型为：max z = 60x+ 100y,s.t. 0.18x+ 0.009y <72,0.08x+0.28y < 56,x>0,y>0.图2-1这是二维线性规划，可用图解法解，先在xy坐标平面上作出满足约束条件的平面区域，即可行域S,如上图所示.再作直线l:60x-F100y=0,即l:3x+5y=O,把直线1半移至的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最远，此时z=60x+100y取最大值，为了得到M点坐标解方程组(°层+。
统计学 第3章 线性规划的计算机求解
结果含义
相差值： 表示使决策变量取正值，相应的目标 系数的改进值。比如：若x1 =0，相差值为20 ，则表示只有当c1 =5+20时，x1才不为0。 即产品才能生产。 对偶价格(dual)： 表示增加一个台时数时，可使利润增加50元。 表示增加一千克原料A时，利润不增加。 表示增加一千克原料B时，可使利润增加50元。 目标函数系数范围 下限 和 上限 表示： 当 0 ≤ c1 ≤100时，最优解不变。 当 50 ≤ c2时，最优解不变。 注意：最优值变了。
当前值 50 100
上限 100 无
当前值 300 400 250
上Hale Waihona Puke 325 无 300常数项范围 下限 和 上限表示：(1)当 250 ≤ b1 ≤325 时，约束条件1的对偶价格不变。 (2)当350 ≤b2时，约束条件2的对偶价格不变。
线性规划的计算机求解
一 计算机输出结果的含义： 例如：对线性规划问题 max z = 50 x1 +100 x2 s.t. x1 + x2 ≤300 2 x1 + x2 ≤400 x2 ≤250 x1≥0， x2≥0 计算机输出结果为：
——————目标函数
台时数 原料A ———— 约束条件 原料B
输出结果
线性规划的计算机求解及应用举例
得：x天各时间段内所 需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00 所需人员 60 70 60 50 20 30
（1）建立Excel工作表。用
举例
在电子表格上建模（生产计划）
举例
使用Excel Solver求解模型求解生产计划 案例，求解的过程如下。
例１ A工厂计划生产甲、乙两种产品。每千克产品的销售价 格和能源消耗量、以及能源资源见表，怎样安排生产计划才 能使A工厂获益最大？
解：x1：产品甲的计划生产量；x2：产品乙的计划生产量，则有如下 线性规划问题： max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制) 4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
线性规划的计算机求解 及应用举例
计算机软件求解
关于线性规划问题的求解，有许多好的专业软件和 商务软件，通过计算机可十分方便地完成求解过程。 最简便易行的求解软件是Excel，下面介绍其使用方法。 一组单元格表示变量，作 为可变单元格（空）；用几组单元格分别表示各约束 条件和目标函数的系数；用一些单元格输入公式表示 各组系数和变量的关系。 （2）打开工具栏中的“规划求解”对话框，指定存 有目标函数的单元格为目标单元格，指定表示变量的 单元格为可变单元格，建立约束条件。 （3）在规划求解对话框中按下“求解”按钮，即可 求出最优解和最优值。推出规划求解对话框。
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解-(1)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 任课教师:王挺第五种方案0 3 0 0第六种方案0 1 1 3第七种方案0 0 2 1设：第i种方案需要的钢管为Xi根（其中i=1，2...6）,可得:minz=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7解：model:min= X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7;3*X1+2*X2+2*X3+X4>=100;X2+2*X4+3*X5+X6>=150;X3+X6+2*X7>=120;endObjective value: 135.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.2500000X2 0.000000 0.1666667X3 50.00000 0.000000X4 0.000000 0.8333333E-01X5 50.00000 0.000000X6 0.000000 0.1666667X7 35.00000 0.0000004人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
班次时间所需人数班次时间所需人数1 6:00~10:00 60 4 18:00~22:00 502 10:00~14:00 70 5 22:00~2:00 203 14:00~18:00 60 6 2:00~6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？5投资计划问题某地区在今后三年内有四种投资机会，第一种是在3年内每年年初投资，年底可获利润20%，并可将本金收回。
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历史订单数据还表明,微型豪华轿车的订单数量不会超过其他四款轿车订单总量的一半，即：
微型豪华轿车与其他轿车定单数量关系
最后,所有轿车的产量必须是大于等于零,所以:
ﻩﻩ
我们给出汽车生产计划完整的线性规划模型:
ﻩ
3.１.2标准格式
为了利用计算机求解汽车生产问题,有必要将线性规划的约束条件整理成标准格式。其基本要求如下:
每辆轿车的车身都必须使用用同一种混合材料制造,其库存总量是 。装配任何一款轿车都用到两种基础配件:配件 和配件 ,而工厂现有库存量分别是 件和 件。装配线上的工人必须接受过专业训练,工厂技术工人的总工时为 小时。我们假设其他在轿车生产过程中的其他辅助材料，零配件,像轮胎，皮革，塑料成品等可以随叫随到,不受限制,还假设其他工种工人的工时数不受限制。
而约束: 可被表示为:
ﻩﻩﻩ
那么,线性规划问题 的标准格式如下:
ﻩ
3．1．3松弛和剩余变量
若对标准最大化线性规划问题 的约束条件引入辅助变量,则可将不等式约束条件转化成等式约束条件。为了便于区分，通常称线性规划问题的决策变量 为主变量。对于小于等于 形式的约束条件,可以通过引进松弛变量将其转换为等式约束，比如对下述约束：
3.1线性规划在制造业中的应用:制定生产计划
在制造行业中,利用线性规划制订企业的生产计划是非常普遍现象。详细的生产计划包括决定生产那些规格的产品以及对应于每种产品的数量,同时生产计划一方面应当考虑市场需求和有效地满足企业现有的原材料,人力,材料供应,和设备加工能力等约束条件,另一方面应当考虑产品之间的关系。线性规划能够根据管理者的目标在各种可行的生产方案中挑选出一个最优的方案,比如说，寻求利润最大的生产方案。
ﻩ每款轿车的单车利润是单车销售收入减单车生产成本,假设各款轿车的单车利润分别为人民币 , , ， ，和 万元,所以下述目标函数反应了生产计划的总利润：
ﻩ在资源使用方面,每辆豪华型轿车的车身需用去 混合材料,高档轿车，中档轿车,经济型轿车,和微型豪华轿车的单车用料分别为 , , ,和 。所以,混合材料构成的约束条件为:
混合材料库存上限
在每款轿车组装过程中,都必须用到配件 和配件 ,其具体使用数量参见表 :
表 :配件 和 的消耗量
汽车型号
配件
配件
豪华型轿车
高档轿车
中档轿车
经济型轿车
微型豪华轿车
所以,配件 和 的总量约束构成了以下两个约束条件:
配件 库存上限
配件 库存上限
用于豪华型轿车,高档轿车，中档轿车,经济型轿车,和微型豪华轿车上的装配工时分别为 ， , , ，和 小时,下述约束条件成立:
引进松弛变量, ,其经济含义为混合材料现存的库存数量。将 增加到上式左端后,则获得等式约束条件：
它的经济含意是已消耗混合材料数量, ,加尚未使用数量 ，等于总库存量 。
而对于大于等于 类型的约束条件,则可引进剩余变量将其转换为等式约束条件,考虑问题 中约束:
引进剩余变量 ,其经济含义为中档轿车现存的产量。将 增加到上式左端后,则获得等式约束条件:
３.1．1汽车生产计划
首都汽车制造厂生产五种不同档次轿车,而生产轿车的关键原材料或部件,以及熟练技术工人的工时都是有限的，工厂经营者需要决定每款轿车的产量,使得总利润最大。为了建立线性规划模型,我们首先定义决策变量如下:
ﻩ 豪华型轿车的产量
高档轿车的产量
中档轿车的产量
经济型轿车的产量
微型豪华轿车的产量
第三章线性规划的应用及计算机求解
———————————————————————————————— 作者：
—————————பைடு நூலகம்—————————————————————— 日期：
ﻩ
3.线性规划的应用及计算机求解
迄今为止,线性规划可以说是最成功的定量分析工具之一。特别是随着信息技术的发展,线性规划在国民经济的各行各业中，特别是在金融,企业管理,市场销售，人力资源,和生产管理等领域获得广泛应用。实践证明,利用线性规划分配资源可为企业和社会节约大量财富。在本章中,我们将要研究常见的资源配置问题并说明如何利用线性规划工具求解最优配置问题。对于那些愿意将工作完成更好的个人或机构，为满足某一特定目标而对有限资源进行分配是一件非常重要的工作。
ﻩﻩ
它的经济含意是中档轿车的产量 减去剩余产量 等于订单量 辆。
因为松弛变量和剩余变量都具有经济含意，它们必须大于等于零,即 和 。
3.2利用计算机求解线性规划问题
当一个线性规划问题只有二个决策变量时,我们可以通过几何方法求解,当线性规划问题的变量多于二个以上时,我们一般是利用单纯形法进行迭代求解。在第二章中，我们介绍了如何设计单纯表格，利用手工进行求解的过程(从初始基可行解开始,确定主元素，以及利用高斯消元法完成迭代),但是随着决策变量和约束条件的增多,手工计算就难以完成大型线性规划问题的求解工作。如果将单纯形法编制成计算机软件，通过计算机求解就可以解决大型线性规划问题。随着信息技术的不断进步,求解线性规划问题的计算机软件也日趋丰富和多样化。为了方便大家对于求解线性规划问题工具的使用,在本书中我们主要介绍如何将 电子表格作为求解工具。
利用 电子表格求解线性规划问题,如汽车生产问题 ，我们可以按照以下三个步骤进行：
约束条件中的所有决策变量都必须出现在不等式的左端。所以约束条件: 应表示为：
ﻩﻩ
约束条件中的决策变量顺序应与其定义顺序相一致。比如说,在所有约束条件中,变量 都必须先于变量 ,就是根据它们的定义顺序。
每个决策变量都有属于自己的系数。比如,ﻩ约束条件:
应当改写为:
如果决策变量在约束条件中不出现,则给它们补系数 。例如，约束: 可被表示为：
装配工时上限
ﻩ从上面四个约束,即线性规划的约束条件仅适用于导致生产瓶颈的那些有限资源,也就是说,并不是所有生产要素都必须反应在线性规划的约束条件中。
ﻩ再考虑工厂的销售情况,由于工厂已经获得 辆中档轿车和 辆经济型轿车的订单，所以这两款车的产量必须满足：
中档轿车需求量
经济轿车需求量
历史订单数据表明，高档轿车与豪华轿车通常一起接到订单,平均来说,在收到 辆高档轿车定单的同时至少会收到 辆豪华型轿车的订单，所以,这两款车的产量存在下述关系: