中国科学院线性代数2003真题
考研数学二2003年真题
考研数学二2003年真题2003年的考研数学二真题是考研数学考试中的经典题目之一，它涵盖了数学二的各个知识点，对于考生来说是一次很好的复习和检验自己的机会。
本文将对这道题目进行解析，帮助考生更好地理解和掌握数学二的相关知识。
这道题目是一道关于矩阵的题目，要求考生计算一个给定矩阵的特征值。
首先，我们需要明确矩阵的定义和特征值的含义。
矩阵是一个由数个数按照一定规律排列成的矩形阵列，而特征值是矩阵在线性代数中的一个重要概念，它表示矩阵在某个向量上的作用效果。
接下来，我们来具体分析这道题目。
题目给出了一个3阶矩阵A，要求计算其特征值。
首先，我们需要计算矩阵A的行列式。
行列式是矩阵的一个重要性质，它可以表示矩阵的某些特征。
对于一个3阶矩阵，行列式的计算方法是将矩阵的每一行按照一定规律展开，然后进行运算。
在这道题目中，我们可以使用拉普拉斯展开定理来计算行列式。
根据拉普拉斯展开定理，我们可以选择一行或一列进行展开，然后将矩阵分解为若干个子矩阵的行列式之和。
在这道题目中，我们可以选择第一行进行展开。
展开后，我们可以得到一个2阶矩阵的行列式。
根据行列式的定义，我们可以计算出这个2阶矩阵的值。
接下来，我们需要计算这个2阶矩阵的特征值。
对于一个2阶矩阵，特征值的计算方法是求解矩阵的特征方程。
特征方程是一个关于特征值的方程，它是由矩阵的特征值和特征向量的定义推导出来的。
在这道题目中，我们可以使用特征方程来计算特征值。
特征方程的计算方法是将矩阵减去特征值的单位矩阵，然后计算其行列式。
根据特征方程的定义，我们可以得到一个关于特征值的方程。
解这个方程，我们可以得到特征值的值。
在这道题目中，我们可以得到一个关于特征值的二次方程。
解这个方程，我们可以得到两个特征值。
最后，我们需要将这两个特征值带入原矩阵的特征方程中，求解对应的特征向量。
特征向量是矩阵在特征值上的作用效果，它可以表示矩阵的某些特征。
在这道题目中，我们可以使用特征方程来计算特征向量。
2003-数二真题标准答案及解析
2003 年考研数学（二）真题一、 填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）1（ 1） 若 x0 时， (1 ax 2 ) 41 与 xsin x 是等价无穷小，则 a=.（ 2 ） 设 函 数 y=f(x)由 方 程 xy 2ln x y 4所 确 定 ， 则 曲 线 y=f(x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程是.（ 3）y 2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是 __________.（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a (a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 __________.（5） 设 为 3 维列向量，T 是T的转置. 若T=.11 11 1 1，则11110 1 （ 6） 设三阶方阵 A,B 满足 A 2 BA B E ，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A 02 0 ，则2 0 1B ________.二、选择题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1）设 { a n }, { b n }, { c n } 均为非负数列，且lim a n0 , lim b n1 , lim c n,则必有nnn(A) a n b n 对任意 n 成立 .(B) b n c n 对任意 n 成立 .(C)极限 lim a n c n 不存在 .(D) 极限 lim b n c n 不存在 .[]nn3 n（ 2）设 a nn 1x n 1 1 x n dx , 则极限 lim na n 等于2 0 n33 (A)(1 e)21 . (B)(1e 1 ) 2 1 .33(C)(1e 1) 2 1 .(D)(1 e) 2 1.[]（ 3）已知 yx 是微分方程 y y ( x) 的解，则 ( x) 的表达式为ln x xyyy 2y 2（A ）x 2.(B)x2 .x 2x 2(C)y 2 .(D)y 2 .[]（ 4）设函数 f(x) 在 ( , ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(A) 一个极小值点和两个极大值点 . (B) 两个极小值点和一个极大值点 . (C) 两个极小值点和两个极大值点 .(D) 三个极小值点和一个极大值点 .[ ]yOx（5）设 I 1 4 tan xdx , I 2 4 xxdx , 则tan x(A) I 1 I 2 1.(B) 1 I 1 I 2 .(C)I 2I 11.(D)1 I 2I 1 .[]（6）设向量组 I ： 1, 2 ,, r 可由向量组 II ：1,2 , , s 线性表示，则(A) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (B)当 r s 时，向量组 II 必线性相关 .(C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .(D) 当 r s 时，向量组 I 必线性相关 .[]三 、（本题满分 10 分）ln(1 ax 3 ), x0,x arcsin xx 0,设函数 f (x)6,e ax x 2ax 1 x0,,xx sin4问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？四 、（本题满分 9 分）x 1 2t2 ,d 2y.设函数 y=y(x) 由参数方程1 2 ln t eu(t 1) 所确定，求du dx 2x 9 y1u五 、（本题满分 9 分）计算不定积分xe arctan xdx.(1 3x 2 )2六 、（本题满分 12 分）设函数 y=y(x) 在 (, ) 内具有二阶导数，且 y0, x x( y) 是 y=y(x) 的反函数 .(1)试将 x=x(y) 所满足的微分方程d 2x ( ysin x)( dx) 30 变换为 y=y(x) 满足的微分方程；dy 2dy (2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0, y (0)3的解 .2七 、（本题满分 12 分）讨论曲线 y4 ln x k 与 y4x ln 4 x 的交点个数 .八 、（本题满分 12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点 ( 2 , 1) ，其上任一点P(x,y) 处的法线与 y 轴的交点为 Q ，且线22段 PQ 被 x 轴平分 .(1) 求曲线 y=f(x) 的方程；(2) 已知曲线 y=sinx 在 [ 0, ] 上的弧长为 l ，试用 l 表示曲线 y=f(x) 的弧长 s. 九 、（本题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x ( y)( y 0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求， 当以 3 3 / min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m 2/ min 的m速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 ( y) 之间的关系式；(2) 求曲线 x( y) 的方程 .(注： m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 .) 十 、（本题满分 10 分）设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续， 在开区间 (a,b)内可导， 且 f (x) 0.若极限 limf (2xa)存在，证x axa明：(1) 在(a,b)内 f(x)>0;(2)在 (a,b)内存在点b 2 a 22 ，使b；f (x)dxf ( )a，使 f ( )(b2a 2)2 b(3) 在 (a,b) 内存在与 (2)中 相异的点f ( x) dx. a a十一、（本题满分10 分）220若矩阵 A82a相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P使P1AP.006十二、（本题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1 :ax2by3c0 ，l 2:bx2cy3a0，l 3:cx2ay3b0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.2003 年考研数学（二）真题评注一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）1（ 1） 若 x0时， (1ax 2 ) 4 1 与 xsin x 是等价无穷小，则a=-4.1【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim(1ax 2 ) 41 ，反过来求 a. 注意在计算过程中xxsin x应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.11【详解】当 x0 时， (1 ax 2 ) 4 1 ~ax 2 ， x sin x ~ x 2 .42 11 ax 2(141于是，根据题设有ax )lim 41，故 a=-4.lim2ax 0 x sin xx 0 x4（ 2 ） 设 函 数 y=f(x) 由 方 程 xy 2 ln xy 4 所 确 定 ，则 曲 线 y=f(x) 在点 (1,1)处的切线方程是x-y=0 .【分析 】 先求出在点 (1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式 xy 2 ln xy 4 两边直接对 x 求导，得y xy2 4y3 y ，x将 x=1,y=1 代入上式，有y (1) 1. 故过点 (1,1)处的切线方程为y 1 1 (x 1) ，即x y 0.【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点 .（ 3） y2 x 的麦克劳林公式中 x n 项的系数是( l n2) n .n!【分析 】 本题相当于先求y=f(x) 在点 x=0 处的 n 阶导数值 f (n ) ( 0) ，则麦克劳林公式中 x n 项的系数是f (n) (0).n!【详解】 因为y2 x ln 2 ， y2x (ln 2)2 ，, y ( x)2 x (ln 2)n ，于是有y(n ) (0) ( l n2) nxny ( n) (0)(ln 2)n，故麦克劳林公式中项的系数是n!.n!【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（ 4） 设曲线的极坐标方程为e a (a0) ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为1(e4 a1).4a【分析】利用极坐标下的面积计算公式S 12 ( )d即可 . 2【详解】所求面积为S 122()d122ad 2 0 2 0e=1e2a21(e4 a1) .4a4a.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂111（5）设为3维列向量，T是的转置.若T T=3.1 11，则111【分析】本题的关键是矩阵T1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一的秩为行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由T1111111 1 =11 1 1，知 1 ，于是111111T1111 3.1a1【评注】一般地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有A a2 b1 b2bn .a n101（6）设三阶方阵A,B 满足A2B A B E ，其中E为三阶单位矩阵，若A020 ，则B2 011.2【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由A2B A B E知，(A2E)B A E，即(A E)(A E)B A E，易知矩阵 A+E 可逆，于是有(A E)B E.再两边取行列式，得A EB 1，0011因为AE0102.,所以B2002【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 1）设{ a n}, { b n}, { c n}均为非负数列，且lim a n0 , lim b n 1, lim c n,则必有n n n(A)a n b n对任意n成立.(B)b n c n对任意n成立.(C)极限 lim a n c n不存在.(D) 极限lim b n c n不存在 .[D]n n【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B) ；而极限lim a n c n是 0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限lim b n c n属 1型，必为无穷n n大量，即不存在 .【详解】用举反例法，取a n 21，c n11,2,) ，则可立即排除(A),(B),(C) ，因此， b n n(n正确选项为 (D).n2【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.n（ 2）设a n 3 n 1 x n 11x n dx ,则极限lim na n等于20n33(A)(1e) 2 1 .(B)(1e1) 2 1 .33(C)(1e1) 2 1 .(D)(1e) 21.[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为3n3a n n 1 x n 11 x n dx=202nnn 11 x n d (1x n ) 013n=(1 x n ) 2n 1 n01{[1 (n3)n] 21} ，n n1n 33可见lim na n=lim {[ 1 ()n] 21}(1 e 1 ) 2 1.n n n1【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（ 3）已知y x是微分方程 y y( x) 的解，则(x) 的表达式为ln x x y y y 2y 2（A ）x2.(B)x 2.22(C)x2 .(D)x2.[ A ] y y【分析】将 y x代入微分方程，再令的中间变量为u，求出(u) 的表达式，进而可计算出 ( x ) .ln x y【详解】将 y x代入微分方程y y( x) ，得ln x x yln x11(ln x)，即(ln x)1.ln 2 x2 ln x ln x令 lnx=u ，有(u)1(x y2.应选 (A). u2 ，故) =x2y【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（ 4）设函数f(x)在(, ) 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x) 有(D)一个极小值点和两个极大值点 .(E)两个极小值点和一个极大值点 .(F)两个极小值点和两个极大值点 .(D)三个极小值点和一个极大值点 .[C ]yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0 为极大值点，故f(x) 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x) 的图象去推导 f ( x) 的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过 .（5）设 I 14tan x dx , I 24xdx , 则xtan x(A) I 1 I 2 1.(B) 1 I 1 I 2 .(C)I 2I 11.(D)1I 2 I 1 .[ B]【分析】 直接计算 I 1,I2 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解 】 因为当 x>0 时，有 tanx>x ，于是tan x1，x1，从而有I 14 t a nx，dxxtan xx4I 2 4x，dx4tan x可见有I 1I 2且 I 2，可排除 (A),(C),(D) ，故应选 (B).4【评注 】 本题没有必要去证明I 11 ，因为用排除法，(A),(C),(D) 均不正确，剩下的 (B)一定为正确选项 .（6）设向量组 I ： 1 , 2 ,, r 可由向量组 II ：1,2,,s 线性表示，则(A)当 r s 时，向量组 II 必线性相关 .(B) 当 r s 时，向量组 II 必线性相关 . (C) 当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .(D)当 rs 时，向量组 I 必线性相关 .[ D ]【分析 】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ： 1 ,2 ,, r 可由向量组II ： 1,2 ,, s 线性表示， 则当 r s 时，向量组 I 必线性相关 . 或其逆否命题： 若向量组 I ： 1 , 2 ,, r可由向量组 II ： 1 , 2 ,, s 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 rs . 可见正确选项为 (D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案 .1 0101 ,【详解 】 用排除法：如1 ,1,2 ，则12 ，但2 线性无关，10 11 1 ,排除(A) ；1, 2 ,10 ， 则 2 可 由 1线性表示，但 1线性无关，排除 (B)；0 01 , 11 ,1 线性无关，排除 (C). 故正确选项为 (D).1 0 1,21 ，1 可由2 线性表示，但【评注 】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三、（本题满分10 分）ln(1ax 3 ) ,x0,x arcsin xx0,设函数 f (x)6,e ax x 2ax1x0,,x sin x4问 a 为何值时， f(x) 在 x=0 处连续； a 为何值时， x=0 是 f(x) 的可去间断点？【分析】分段函数在分段点 x=0 连续，要求既是左连续又是右连续，即f (00) f (0) f (00).【详解】 f (00)lim f ( x)lim ln(1ax 3 )lim ax 3x 0x0x arcsin x x 0 x arcsin x= lim 3ax 2lim3ax2 12x0x 01x111x23ax 26a.= lim1x 2x02f (00)lim f (x)lim e ax x2ax1x 0x0x sinx4= 4 lim e ax x 22ax1 4 lim ae ax2x a2a 2 4.x 0x x 02x令 f (0 0) f (0 0) ，有 6a2a 2 4 ，得a 1或a 2 .当 a=-1 时，lim f ( x)6f(0)，即 f(x) 在 x=0 处连续 .x0当 a=-2 时，lim f ( x)12 f (0)，因而 x=0 是 f(x) 的可去间断点 .x0【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四、（本题满分9 分）x12t 2 ,d2y.设函数 y=y(x) 由参数方程 1 2 ln t e u(t1) 所确定，求y dx21udu x9【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当 x=9 时，可相应地确定参数 t 的取值 .【详解 】由dye 12ln t 22et ， dx4t ，dt 12 ln t t1 2ln tdtdydy 2ete得dt1 2 ln t 2(1,dxdx 4t2 ln t )dt所以d 2 y d dy 1e12 1dx 2dt ( dx )dx=2 (1 2 ln t )2 t 4tdte= 4t 2(1 2ln t) 2.当 x=9 时，由 x1 2t2 及 t>1 得 t=2, 故d 2 yee2 .dx 2x 94t 2 (1 2ln t) 2t216(1 2 ln 2)五 、（本题满分 9 分）xe arctan x计算不定积分(1x 2 )3 dx.2【分析 】 被积函数含有根号1 x2 ，典型地应作代换： x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换： arctanx=t ，即 x=tant.【详解 】 设 xtant ，则xe arctan xdx e t tan t2tdt = tsin tdt.(13 =(1 tan 2 3sec ex 2 ) 2t) 2ttdttt又esin e dcos= ( e t cost e t costdt)=e t cost e t sinte t sin tdt ，故t1 t ( s i n c o s) .e s i nt d t 2 ettCxe arctan x1 e arctan x ( x 1因此3 dx =) C(1 x 2 ) 2 2 1 x 21 x 2(x1)e arctan x=C.2 1 x 2【 评注 】本题也可用分布积分法：xe arctan xx de arctan x3dx =(1x 2 ) 21 x 2xe arctan x e arctan xdx=1 x2 (1 3x 2 ) 2= xe arctan x1 de arctan x1 x 21 x 2xe arctan x e arctan xxe arctan xdx ，=1 x 21 x 23(1 x 2 ) 2移项整理得arctan xdx = (xarctan xxe 31)e C.(1 x 2 ) 22 1 x 2本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctan x t 或 tant=x.六 、（本题满分 12 分）设函数 y=y(x) 在 (, ) 内具有二阶导数，且y 0, x x( y) 是 y=y(x) 的反函数 .(1)试将 x=x(y) 所满足的微分方程d 2x ( y sin x)( dx) 30 变换为 y=y(x) 满足的微分方程；dy 2 dy3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)的解 .2【分析 】 将dx转化为dy 比较简单， dx 11，关键是应注意：dydx dy =dyydxd 2 x d ( dx ) = d ( 1 ) dxdy 2 dy dy dx y dyy1 y = y2y( y )3.然后再代入原方程化简即可.【详解】(1) 由反函数的求导公式知dxdy 1y，于是有d 2 x d dx d 1 dx y 1ydy 2dy (dy)=dx(y)dy=y 2y( y )3.代入原微分方程得y y sin x.(*)(2) 方程 ( * )所对应的齐次方程y y0 的通解为Y C1e x C2 e x .设方程 ( * ) 的特解为y* A cos x B sin x ，代入方程 ( * )，求得A0, B1，故 y*1sin x ，从而y y sin x 的通解是212y Y y*C1 e x C2e x sin x.32由y(0) 0, y (0)，得 C11,C21.故所求初值问题的解为21s i nx.y e x e x2【评注】本题的核心是第一步方程变换 .七、（本题满分 12 分）讨论曲线 y 4 ln x k 与 y4x ln 4 x 的交点个数.【分析】问题等价于讨论方程ln 4 x 4 ln x 4x k 0 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数） .【详解】设(x)ln 4x 4 ln x4x k ，y则有( x)4(ln 3x1x) .4-kx不难看出， x=1 是(x) 的驻点.O1x当 0x1时，(x)0 ，即( x) 单调减少；当x>1时， ( x)0 ，即(x) 单调增加，故 (1) 4 k 为函数(x) 的最小值.当 k<4，即 4-k>0 时，( x) 0无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即 4-k=0 时，( x) 0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即 4-k<0 时，由于lim( x)lim [ln x(ln 3 x4)4x k ] x 0x 0lim( x)lim [ln x(ln 3 x4)4x k] x x ；，故( x) 0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,) 内，即两条曲线有两个交点.【评注】讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标 .八、（本题满分12 分）设位于第一象限的曲线y=f(x) 过点(2 , 1)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线2 2段 PQ 被 x 轴平分 .(3)求曲线 y=f(x) 的方程；(4)已知曲线 y=sinx 在[ 0,] 上的弧长为l ，试用 l 表示曲线y=f(x) 的弧长 s.【分析】 (1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ 被 x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线 y=f(x) 的方程 .(2)将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式bx 2y 2 dt 进行计算即可.sa【详解】 (1)曲线 y=f(x) 在点 P(x,y) 处的法线方程为Y y 1( X x) ，y其中 (X,Y) 为法线上任意一点的坐标. 令 X=0，则Y y x，y故 Q 点的坐标为(0, y x).由题设知y1( y y x )0 ，即 2 ydy xdx0.2y积分得x 2 2 y2 C (C为任意常数).由 y2x21知 C=1，故曲线y=f(x) 的方程为2x22y 2 1.(2) 曲线 y=sinx 在 [0，]上的弧长为l1cos2 xdx 2 2 1 cos2 xdx.00曲线 y=f(x)的参数方程为x c o ts,y0t.2 s i nt,2 2故 s2 sin2 t 1cos2 t dt12 1 sin 2 t dt ，0220令 t u ，则21 s2l =2 2012 1 cos2 udu1 cos2 u ( du)2202l.4【评注】注意只在第一象限考虑曲线y=f(x) 的弧长，所以积分限应从0 到，而不是从0 到2 .2九、（本题满分10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x( y)( y0) 绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 3 3 / min的速率向容器内注入液体时，m液面的面积将以m2/ min 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体） .(3)根据 t 时刻液面的面积，写出t 与( y) 之间的关系式；(4)求曲线 x( y) 的方程.(注： m 表示长度单位米，min 表示时间单位分 .)【分析】液面的面积将以m 2 / min 的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：22t ，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与( y) 之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可 .【详解】 (1)设在 t 时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为2 ( y)4t ,从而t2 ( y) 4.(2)液面的高度为 y 时，液体的体积为y2 (u)du 3t 3 2 ( y) 12. 0上式两边对y 求导，得2 ( y) 6 ( y) ( y) ，即( y) 6( y).解此微分方程，得y( y)Ce 6，其中C为任意常数，由 (0) 2 知C=2,故所求曲线方程为yx 2e6 .【评注】作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十、（本题满分10 分）设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b)内可导，且f (x)0. 若极限lim f (2x a)存在，证x a x a 明：(2)在 (a,b)内 f(x)>0;(3)在 (a,b)内存在点，使b2 a 22；bf ( x)dx f ()a(3)在 (a,b) 内存在与 (2) 中相异的点，使f ()(b 2 a 2 )2bf (x)dx.a a【分析】 (1)由limf (2x a)f(x)>0.(2) 要证的结论显含x a存在知， f(a)=0, 利用单调性即可证明x af(a),f(b) ，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3)注意利用 (2)的结论证明即可 .【详解】 (1)因为 lim f (2x a)存在，故 lim f (2 x a) f (a) 0.又 f ( x)0 ，于是f(x)在(a,b)x a x a x a 内单调增加，故f (x) f (a)0, x(a,b).设 F(x)= x2, g(x)xx b) ,则 g ( x) f ( x) 0 ，故 F (x), g( x) 满足柯西中值定理(2) f (t )dt (aa的条件，于是在 (a,b)内存在点，使F (b) F (a)b2 a 2(x 2 )，g (b)g(a)b a xf (t )dt f (t) dt)xf (t )dt(a a a即b 2 a 22.bf ( )f ( x)dx a(3) 因 f ( ) f ( ) f (0) f ( ) f (a) ，在 [ a, ] 上应用拉格朗日中值定理， 知在 (a, ) 内存在一点，使 f ( )f ( )(a) ，从而由 (2) 的结论得b 2 a 22，bf ()( a)f ( x) dxa即有f ( )(b2a 2 )2bf (x)dx.a a【评注 】 证明 (3)，关键是用（ 2）的结论：222bb 2 a22f ( )(ba )af (x) dxb f ( x)dxf( )( a)aaf ( ) f ( )( a)（ 根据 (2) 结论 ）f ( )f (a)f ( )( a) ，可见对 f(x) 在区间 [ a, ] 上应用拉格朗日中值定理即可 .十 一、（本题满分 10 分）2 2 0若矩阵 A8 2 a 相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 P 1AP.0 0 6【分析 】 已知 A 相似于对角矩阵，应先求出 A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量 的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求 P ，则是常识问题 .【详解 】 矩阵 A 的特征多项式为2 2 0EA82 a (6)[(2) 216]6= (6)2( 2) ，故 A 的特征值为126, 32.由于 A 相似于对角矩阵 ，故对应1 26 应有两个线性无关的特征向量，即3 r (6E A) 2 ，于是有 r (6E A) 1.42 0 2 1 0 由6EA8 4 a 0 0 a ，0 0知 a=0.于是对应于1 26 的两个线性无关的特征向量可取为110 ，22 .1当 32 时，42 0 2 1 0 2EA8 4 0 0 0 1 ，80 0 02x 1x 2 0,1 解方程组2 的特征向量2 .x 30,得对应于330 11令P0 2 21 0，则 P 可逆，并有 P 1AP.十二 、（本题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0 ， l 2 : bx 2cy 3a 0 ， l 3 : cx2ay 3b0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2.【详解 】 方法一 ：必要性设三条直线 l 1, l 2 ,l 3 交于一点，则线性方程组ax 2by 3c, bx 2cy 3a,(*)cx 2ay3b,a 2b a 2b 3c有唯一解，故系数矩阵Ab 2c 与增广矩阵 Ab 2c 3a 的秩均为 2，于是 A 0.c 2ac2a3ba 2b 3c由于Ab 2c 3a 6(ab c)[ a 2 b 2c 2abac bc]c2a3b=3(a b c)[( a b) 2 (b c)2(ca) 2 ] ,但根据题设( a b ) 2 ( b ) 2 ( c a ) 2 0 ，故ca b c 0.充分性：由 a b c 0 ，则从必要性的证明可知，A 0，故秩 (A)3.由于a 2b 2(ac 2 ) 2[ ( )b2 ]b 2cba ab=2[( a 1 b) 2 3 b 2 ]0 ，故秩 (A)=2.2 4 于是，秩(A)= 秩 ( A) =2.因此方程组 (*) 有唯一解，即三直线l 1 , l 2 , l 3 交于一点 .方法二 ：必要性x 0设三直线交于一点 ( x 0 , y 0 ) ，则 y 0 为 Ax=0 的非零解，其中1a 2b 3c Ab 2c 3a .c 2a3b于是 A0 .a 2b 3c而Ab 2c 3a 6(a b c)[ a 2 b 2c 2 ab ac bc ]c 2a3b=3( a b)[( a ) 2 ( b c ) 2 ( c a ) 2 ] ,cb 但根据题设( a b ) 2 ( b ) 2 ( c a ) 2 0 ，故ca b c 0.充分性：考虑线性方程组ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2ay3b,将方程组 (*) 的三个方程相加，并由a+b+c=0 可知，方程组 (*) 等价于方程组ax2by3c,(* *)bx2cy3a.a2b2(2)2[()2]因为b2c ac b a a b b=-[ a2 b 2(a b) 2 ] 0 ,故方程组 (* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1 ,l 2 , l3交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
数1--03真题初步答案
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：7-12小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1）【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式()lim(()1)()lim ()(1)g x f x g x f x e ∞-=进行计算求极限均可.【详解】方法1： )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 222000ln cos ln(1cos 1)cos 11limlim lim ln(1)2x x x x x x x x x →→→+--=-+等等， 故 原式=.121ee =-方法2： 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2） 542=-+z y x【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】 和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3） 1【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21Λ]=[n ααα,,,21Λ]P ，因此过渡矩阵P 为：P =[121],,,-n αααΛ[],,,21n βββΛ.【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P =[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】 （5）41 . 【分析】 已知二维随机变量X Y （，）的概率密度(,)f x y ，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(212=-⎰dx x x 【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）)49.40,51.39( .【分析】可以用两种方法求解：（1）已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间.（2）本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值μ的置信区间问题。
【精品】线性代数2003
2003年研究生入学考试题—线性变换2003－010－6设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为()33ij A a ⨯=,则σ在基231,,εεε下的矩阵为。
2003－010－15（15分）设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，Im φ与ker φ分别表示φ的值域与核，证明下列条件等价：(1)Im ker V φφ=⊕；（2)Im ker 0φφ⋂=;（3）若12,,,r ααα是Im φ的一组基，则12(),(),,()r φαφαφα是2Im φ的一组基； （4）秩()φ=秩2()φ。
（注:表示Im ker φφ⊕直和）2003－011－6（24分）设φ是n 维线性空间V 上的线性变换，记{}Im ()|V φφαα=∈，{}ker |()0V φαφα=∈=。
求证下列命题等价：（1）Im ker V φφ=⊕；(2)Im ker 0φφ⋂=；(3）2ker()ker()φφ=；(4)2Im()Im()φφ=。
2003－012－6（13分）设A 为n 维线性空间V 的线性变换σ关于某基的矩阵，证明：2A 的秩＝A 的秩当且仅当1()(0)V V σσ-=⊕。
200300106给定R 上二维线性空间V 的线性变换A ，A 在一组基下的矩阵表示为01,0.10A a a ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭求A 的不变子空间。
200300205设V 是数域P 上的一个n 维线性空间,12,,,n a a a 是的一个基，用1V 表示由12n a a a +++生成的线性子空间，令211{0,}n ni i i i i i V k a k k P ====∈∑∑（1） 证明2V 是V 的子空间（2） 证明12V V V =⊕,（3） 设V 上线性变换A 在基12,,,n a a a 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0)，证明1V 与2V 都是A 的不变子空间。
线性代数试题2003
2003年 试卷一一、填空题（每小题4分） （2）曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面的方程是_________. 解：245x y z +-=设000(,,)x y z 为与平面240x y z +-=平行的切平面的切点坐标，则过000(,,)x y z 的法向量为00{2,2,1}n x y =-于是过000(,,)x y z 的切平面方程为000002()2()()0x x x y y y z z -+---= 即000220x x y yz z +--= 由题意两平面平行，故00221241x y -==-解得001,2x y ==，故220005z x y =+= 因此所求方程为245x y z +-=（4）从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为________解：2312⎛⎫⎪--⎝⎭.设P 为基12,αα到基12,ββ的过渡矩阵 则1212(,)(,)=ββααP11212(,)(,)-=P ααββ 1111102301120112⎛⎫⎛⎫→ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭ 所以2312⎛⎫= ⎪--⎝⎭P .二、选择题（每小题4分）（4）设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示，则（A ）当r s <时，向量组II 必线性相关. （B ）当r s >时，向量组II 必线性相关. （C ）当r s <时，向量组I 必线性相关. （D ）当r s >时，向量组I 必线性相关.222 解：（D ）正确.从r 与s 的大小关系，无法确定向量组II 的线性相关性，这可从以下例子看出.设j e 表示n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,2,,j n =例1. 取向量组I:123,,e e e 3r =； 取向量组II:1234,,,e e e e 4s =.向量组I 可由向量组II 线性表示，r s <，但向量组II: 1234,,,e e e e 线性无关，故（A ）错误.例2. 取向量组I: 1233,,,2e e e e 4r =； 取向量组II:123,,e e e 3s =.向量组I 可由向量组II 线性表示，r s >，但向量组II: 123,,e e e 线性无关，故（B ）错误.不过从r 与s 的大小关系可以确定向量组I 的线性相关性. 由例1知（C ）错误.设向量组I 、II 是n 维向量组.因为12,,,r ααα可由12,,,s βββ线性表示，所以存在s r ⨯矩阵P ，使12(,,,)r =ααα12(,,,)s βββP ，当r s >时，考虑线性方程组0,R r=∈Px x因为r s >，故在非零解1r k k ⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭α0，使1r k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 0，其中1,,r k k 不全为零，于是 111212(,,,)(,,,)r s r r k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααβββP 0这说明12,,,r ααα线性相关，故（D ）正确.本题的实质问题是：线性无关的向量组，不能由个数不超过它的向量组线性表示，所以当r s >时，向量组I 必线性相关.（5）设有齐次线性方程组=Ax 0和=Bx 0，其中,A B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：①若=Ax 0的解均是=Bx 0的解，则()()r r ≥A B ； ②若()()r r ≥A B ，则=Ax 0的解均是=Bx 0的解； ③若=Ax 0与=Bx 0同解，则()()r r =A B ； ④若则()()r r =A B ，则=Ax 0与=Bx 0同解. 以上命题中正确的是（A ）①②. （B ）①③. （C ）②④. （D ）③④. 解：（B ）正确.·223·在过去历年的选择题中，正确的答案只是一个命题，本题标志着由单选开始转入多选。
2003年线性代数考研试题
= ⎜⎜⎝⎛11⎟⎟⎠⎞, β 2
= ⎜⎜⎝⎛ 12⎟⎟⎠⎞ 的过渡
矩阵为
P=[α1
,α
2
]−1
[
β1
,
β
2
]
=
⎡1 ⎢⎣0
1 ⎤ −1 ⎡1 −1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦ .
⎡1 = ⎢⎣0
1 ⎤⎡1 − 1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣− 1
3⎤ − 2⎥⎦.
2. 设向量组 I：α1,α 2 ,",α r 可由向量组 II： β1, β 2 ,", β s 线性表示，则[ D ]
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
【详解】 用排除法：如α1
=
⎜⎜⎝⎛
0 0
⎟⎟⎠⎞,
β
1
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
⎟⎟⎠⎞,
② 若秩(A) ≥ 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；
③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；
④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解.
以上命题中正确的是[ B ]
(A) ① ②.
(B) ① ③.
(C) ② ④.
(D) ③ ④.
【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，
⎧ax + 2by = −3c,
⎪⎨bx + 2cy = −3a,
2003冬线代试题
一、判断题（正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“Х”，每小题2分，共12分）1．行列式D =0的充分必要条件是D 中至少有一行的元素可用行列式的性质化为0.（ ）2．若m ⨯ n 矩阵A , B 等价，则A ，B 的列向量组等价. （ ）3．设A ，B 均为非零的n 阶矩阵，且AB =0，则R (A )，R (B )都小于n . （ ）4．当m<n 时，方程组b x an j j ij =∑=1(i =1, 2, …, m )有无穷多解.（ ） 5．若方阵A , B 相似，则A , B 有相同的特征值和特征向量. （ ）6．若A , B 均为n 阶正定矩阵，则AB 也是正定矩阵. （ ）二、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共24分）1．设3214214314324321=D ，A i 4为D 中元素a i 4的代数余子式（i =1, 2, 3, 4），则A 14+2A 24+3A 34+4A 44= （ ）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 非零2．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）(A) AB +BA (B) AB -BA (C) (AB )2 (D) BAB3．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k ，必有 （ ）(A) α1，α2，α3，k β1+β2线性相关. (B) α1，α2，α3，k β1+β2线性无关.(C) α1，α2，α3，β1+k β2线性相关. (D) α1，α2，α3，β1+k β2线性无关.4．向量组α1=(1, -3, -2, 2, -1)'，α2=(0, 0, 1, 2, -1)'，α3=(2, 6, -4, 5, 7)'，α4=(-1, -3, 4, 0, -19)'的一个最大无关组为 （ ）(A) α1，α2，α3 (B) α2，α3，α4 (C) α1，α2 (D) α2，α35．设A 为4⨯5矩阵，且A 的行向量组线性无关，则 （ ）(A) A 的列向量组线性无关.(B) 方程组Ax =b 的增广矩阵的行向量组线性无关.(C) 方程组Ax =b 的增广矩阵的任意4个列向量构成的向量组线性无关.(D) 方程组Ax =b 有唯一解.6．设A 为三阶方阵，|A +2E |=|A +3E |=|A -4E |=0，A *为A 的伴随矩阵，则A *的特征值为（ ）(A) 2，3，-4 (B) -2，-3，4 (C) 12，8，-6 (D) -12，-8，67．设A 为n 阶正定矩阵, 若矩阵B 与A 相似，则B 必为 （ ）(A) 实对称矩阵 (B) 正定矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 正交矩阵8．下列说法正确的是 （ ）(A) 方程组Ax =b (b ≠0) 的所有解向量关于向量的加法以及实数与向量的乘法构成线性空间.(B) 所有n 阶实可逆矩阵关于矩阵的加法以及实数与矩阵的乘法构成线性空间.(C) 欧氏空间中从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.(D) 欧氏空间中两组不同基底下的度量矩阵是相似的.三、填空题（每空3分，共24分）1．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n n n n n n n a a a b x x x x a a a a a a A21211122111,,111，a i ≠a j (i ≠j , i , j =1, 2, …, n ), 则非齐次线性方程组b Ax =的解是x = ___________________________.2．设A 为5阶方阵，R (A )=3，则R (A *) =________________.3．设A 为n 阶方阵，|A |≠0，将A 的第i 行与第j 行互换得到矩阵B ，则AB -1=___________.4．设α, β, γ是3维列向量，已知3阶行列式|4γ-α, β-2γ, α|=40，则行列式|α, β, γ|=________.5．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知α1，α2，α3是它的3个解向量，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4002,3002321ααα，则方程组的通解为_______________________________. 6．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=60028022a A 可以相似对角化，则a =_______________.7．设二次型3121232221321222),,(x x x tx x x x x x x f +-++=正定，则t 满足____________.8．从R 2的基底α1=(1, 0)'，α2=(1, -1)'到基底β1=(1, 1)'，β2=(1, 2)'的过渡矩阵为____________.四、（8分）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足A *X =A -1+2X ，其中A *是A 的伴随矩阵，求X .五、（12分）对线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ（1）λ取何值时，方程组无解？（2）λ取何值时，方程组有唯一解？（3）λ取何值时，方程组有无穷多解？用向量形式写出其通解.六、（12分）已知二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=（1） 写出二次型f 的矩阵表达式f =x 'Ax ；（2） 用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.七、（8分）设向量组α1, α2, …, αm(m>1)线性无关，且β=α1+α2+…+αm，证明向量组β-α1,β-α2, … , β-αm线性无关.。
2003年数学四试题考研数学真题及解析
2003年考研数学（四）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= - .（2）dx ex x x⎰--+11)(= - .（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= - .（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则1)(--E A = - .（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= - .（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ]（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ] （3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.[ ] （4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ]（5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立.[ ]（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.(C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ ] 三 、（本题满分8分） 设],21,0(,)1(11sin 1)(∈---=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 五 、（本题满分8分） 计算二重积分.)s i n (22)(22d x d y y x eI Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t-=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量. 九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集
1 0 0 1 0 0 1 0 ， P2 = 0 0 1 ，则 A =（ 得单位矩阵。记 P 1 = 1 0 0 1 0 1 0
（A） P 2 1P （B） P 1 P 2
* −1
）
（C） P2 P 1
（D） P2 P 1
T
−1
（8） 设 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是 4 阶矩阵，A 为 A 的伴随矩阵。 若 (1 ,0,1,0) 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 A* x = 0 的基础解系可为（ （A） α 1 , α 3 （B） α 1 , α 2 ） （D） α 2 , α 3 , α 4
．
记
a1 b1 α = a 2 , β = b2 ． a b 3 3
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2αα + ββ ；
T T
（2）若 α , β 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 + y 2 ．
2 2
考研数学二(2003-2013) 线性代数历年真题及答案汇总
2013 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价． （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． ( )
2 −1 . −1 2
(C )
1 −2 . −2 1
（14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, λ .若行列式 2 A = −48 ，则 λ = ___ . （22） （本题满分 12 分）
2003-数二真题、标准答案及解析
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim 4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xaxx x ax x x ，故a=-4.（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(l n n n.【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中n x 项的系数是.!)0()(n fn 【详解】 因为 2ln 2x y ='，2)2(ln 2xy =''，nx x y )2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(l n)0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-ae aπ . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = 3 .【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ A ]【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(y x ϕ.【详解】将xxy ln =代入微分方程)(y x x y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(y x ϕ=.22x y - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是 1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4t a n 401ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 42ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→=113lim 1113lim 22022--=----→→x ax xax x x=.6213lim 220a x ax x -=--→ 4sin1lim )(lim )00(200xx ax x e x f f ax x x --+==+++→→=.4222lim 41lim 420220+=-+=--+++→→a x ax ae xax x e ax x ax x 令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a . 当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=， 得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==tt t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x五 、（本题满分9分） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【分析】 被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant. 【详解】 设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e ttcos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt⎰--=tdt e t e t e tttsin sin cos ⎰-+-， 故.)c o s (s i n 21s i nC t t e t d t e tt +-=⎰ 因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan=.12)1(2arctan C xe x x ++-【评注】本题也可用分布积分法：dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de x x arctan 21⎰+=dx x e xxe x x ⎰+-+232arctan 2arctan )1(1=x x de x x xe arctan 22arctan 111⎰+-+=dx x xe xe xxe x x x ⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得dx x xe x ⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xe x x ++-本题的关键是含有反三角函数，作代换t x =arctan 或tant=x. 六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有)(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xx e C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.s i n 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】 设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4则有 .)1(ln 4)(3xx x x +-='ϕ 不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. 当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k-=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ，故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(3) 求曲线 y=f(x)的方程；(4) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 )(1x X yy Y -'-=-， 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=， 故Q 点的坐标为).,0(y xy '+由题设知 0)(21='++y xy y ，即 .02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C 为任意常数).由2122==x y知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 .1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为 .cos 12cos 120202dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,s i n 22,c o s t y tx .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=2022022sin 121cos 21sin ππ， 令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=22022cos 121)(cos 121ππ=.4222l l =【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到2π，而不是从0到.2π 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(3) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (4) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而.4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u yϕϕπ上式两边对y 求导，得)()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'= 解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知C=2, 故所求曲线方程为.26yex π=【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解. 十 、（本题满分10分） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(2) 在(a,b)内f(x)>0;(3) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη【分析】 (1) 由ax a x f ax --+→)2(lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f ax --+→)2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=> (2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x xa baaadt t f x dtt f dt t f a b a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dxx f a b ba-'=-⎰ξηξ，即有 ⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：⎰-=-'b adx x f a a b f )(2))((22ξξη⇔))((2)(22a f dx x f a b ba-'=-⎰ξηξ))(()(a f f -'=⇔ξηξ （ 根据(2) 结论 ） ))(()()(a f a f f -'=-⇔ξηξ， 可见对f(x)在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】 矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(6028222---=------=-λλλλλλa A E=)2()6(2+-λλ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00000012000480246a a A E ， 知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ 当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ， 解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
2003年考研数学二真题答案解析
1. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim 4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xax x x ax x x ，故a=-4.【评注】 本题属常规题型2.. 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x3.. 【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)0()(n f n 【详解】 因为 2ln 2x y ='，2)2(ln 2x y =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(l n )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 4.. 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ. 5.. 【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6.. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）7. 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).8.. 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n n n n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n 【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.9.. 【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(yx ϕ.【详解】将x x y ln =代入微分方程)(yxx y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(u u -=ϕ，故 )(y xϕ=.22xy - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.10.. 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题..11.. 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0. 【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4t a n 41ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 402ππ<=⎰dx x x I ，可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B). 【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.12.. 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。
2003-数二真题、标准答案及解析
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） x y 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(yxϕ的表达式为 （A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim 4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xax x x ax x x ，故a=-4.（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(ln n n.【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中n x 项的系数是.!)0()(n f n 【详解】 因为 2ln 2x y ='，2)2(ln 2x y =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(ln )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-ae aπ . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ. 【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = 3 .【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n n n n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(yxϕ的表达式为 （A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ A ]【分析】 将x x y ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(y xϕ. 【详解】将x x y ln =代入微分方程)(yxx y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(u u -=ϕ，故 )(y xϕ=.22xy - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是 1tan >x x ，1tan <x x ，从而有 4tan 401ππ>=⎰dx x x I ，4tan 42ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B). 【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→ =113lim 1113lim 22022--=----→→x ax xax x x=.6213lim220a x ax x -=--→ 4sin1lim )(lim )00(200xx ax x e x f f ax x x --+==+++→→=.4222lim 41lim 420220+=-+=--+++→→a x ax ae xax x e ax x ax x 令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a .当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=， 得 ,)ln 21(24ln 212t e t t etdtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==tt t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e +- 当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===e t t e dx y d t x 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x⎰+【分析】 被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant.【详解】 设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰ 又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-= =)cos cos (tdt e t e t t ⎰-- =tdt e t e t e t t t sin sin cos ⎰-+-， 故 .)cos (sin 21sin C t t e tdt e t t +-=⎰ 因此 dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan=.12)1(2arctan C xe x x++- 【评注】本题也可用分布积分法： dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de x xarctan 21⎰+=dx x e x xe x x⎰+-+232arctan 2arctan )1(1=x xde x x xe arctan 22arctan 111⎰+-+ =dx x xe x e x xe x x x⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11， 移项整理得dx x xe x⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C x e x x ++-本题的关键是含有反三角函数，作代换t x =arctan 或tant=x.六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dx dy 比较简单，dy dx =y dxdy'=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 y dy dx '=1，于是有)(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为.21x x e C e C Y -+=设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=- 由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为 .sin 21x e e y x x --=- 【评注】 本题的核心是第一步方程变换.七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】 设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4则有 .)1(ln 4)(3xx x x +-='ϕ 不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. 当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k-=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 300k x x x x x x ϕ； +∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ， 故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(3) 求曲线 y=f(x)的方程；(4) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba ⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为)(1x X yy Y -'-=-， 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=， 故Q 点的坐标为).,0(y x y '+由题设知 0)(21='++y x y y ，即 .02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C 为任意常数). 由2122==x y 知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 .1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为.cos 12cos 120202dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=2022022sin 121cos 21sin ππ， 令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=202022cos 121)(cos 121ππ =.4222l l =【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到2π，而不是从0到.2π 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(3) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式；(4) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 【分析】 液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u y ϕϕπ上式两边对y 求导，得)()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'=解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数， 由2)0(=ϕ知C=2,故所求曲线方程为.26y e x π=【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f a x --+→)2(lim 存在，证明：(2) 在(a,b)内f(x)>0;(3) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'b adx x f a a b f .)(2))((22ξξη 【分析】 (1) 由ax a x f a x --+→)2(lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f a x --+→)2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x x a ba a a dt t f x dt t f dt t f ab a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即 )(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dx x f a b b a -'=-⎰ξηξ， 即有 ⎰-=-'b a dx x f a a b f .)(2))((22ξξη 【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：⎰-=-'b a dx x f a a b f )(2))((22ξξη⇔))((2)(22a f dx x f a b b a-'=-⎰ξηξ ))(()(a f f -'=⇔ξηξ （ 根据(2) 结论 ）))(()()(a f a f f -'=-⇔ξηξ，可见对f(x)在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P 【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】 矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(600280222---=------=-λλλλλλa A E=)2()6(2+-λλ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00000012000480246a a A E ， 知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ 当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ， 解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P 十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb aA ---++++=---= =])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于 ])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-= =0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222ac c b b a c b a -+-+-++-,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为 ])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-= =-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
2003-数二真题、标准答案及解析
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim 4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xaxx x ax x x ，故a=-4.（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(ln n n.【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中n x 项的系数是.!)0()(n fn 【详解】 因为 2ln 2xy ='，2)2(ln 2xy =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(ln )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-ae aπ . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = 3 .【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ A ]【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(y x ϕ.【详解】将xxy ln =代入微分方程)(y x x y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(y x ϕ=.22x y - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是 1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4tan 401ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 42ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→=113lim 1113lim 22022--=----→→x ax xax x x=.6213lim 220a x ax x -=--→ 4sin1lim )(lim )00(200xx ax x e x f f ax x x --+==+++→→=.4222lim 41lim 420220+=-+=--+++→→a x ax ae xax x e ax x ax x 令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a . 当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=， 得,)ln 21(24ln 212t e t t et dtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dx dy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e+-当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===et t edx y d t x五 、（本题满分9分） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【分析】 被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant. 【详解】 设t x tan =，则dx x xe x ⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e t t ⎰--=tdt e t e t e tttsin sin cos ⎰-+-， 故.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt +-=⎰ 因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan=.12)1(2arctan C xe x x ++-【评注】本题也可用分布积分法：dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de x x arctan 21⎰+=dx x e xxe x x ⎰+-+232arctan 2arctan )1(1=x x de x x xe arctan 22arctan 111⎰+-+=dx x xe xe xxe x x x ⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得dx x xe x ⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xe x x ++-本题的关键是含有反三角函数，作代换t x =arctan 或tant=x. 六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有)(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】 设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4则有 .)1(ln 4)(3xx x x +-='ϕ 不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. 当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k-=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ，故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(3) 求曲线 y=f(x)的方程；(4) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 )(1x X yy Y -'-=-， 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=， 故Q 点的坐标为).,0(y xy '+由题设知 0)(21='++y xy y ，即 .02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C 为任意常数).由2122==x y知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 .1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为 .cos 12cos 120202dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=2022022sin 121cos 21sin ππ， 令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=202022cos 121)(cos 121ππ=.4222l l=【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到2π，而不是从0到.2π 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(3) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (4) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而.4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u yϕϕπ上式两边对y 求导，得)()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'= 解此微分方程，得yCe y 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知C=2, 故所求曲线方程为.26yex π=【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解. 十 、（本题满分10分） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(2) 在(a,b)内f(x)>0;(3) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη【分析】 (1) 由ax a x f ax --+→)2(lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f ax --+→)2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x xa baaadt t f x dtt f dt t f a b a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dxx f a b ba-'=-⎰ξηξ，即有 ⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：⎰-=-'b adx x f a a b f )(2))((22ξξη⇔))((2)(22a f dx x f a b ba-'=-⎰ξηξ))(()(a f f -'=⇔ξηξ （ 根据(2) 结论 ） ))(()()(a f a f f -'=-⇔ξηξ， 可见对f(x)在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】 矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(6028222---=------=-λλλλλλa A E=)2()6(2+-λλ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00000012000480246a a A E ， 知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ 当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ， 解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
2003-数二真题标准答案及解析
2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= -4 . 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin )1(lim 4120=-→xx ax x ，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xaxx x ax x x ，故a=-4.（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 !)2(l n n n.【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，则麦克劳林公式中n x 项的系数是.!)0()(n fn 【详解】 因为 2ln 2xy ='，2)2(ln 2xy =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(l n)0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414-ae aπ . 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ.【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = 3 .【分析】 本题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，若n 阶矩阵A 的秩为1，则必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B 21. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ A ]【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(y x ϕ.【详解】将xxy ln =代入微分方程)(y x x y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(uu -=ϕ，故 )(y x ϕ=.22x y - 应选(A).【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ B ] 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是 1tan >x x ，1tan <xx，从而有 4t a n 401ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 42ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(+==-f f f【详解】 xx ax x x ax x f f x x x arcsin lim arcsin )1ln(lim )(lim )00(30300-=-+==----→→→=113lim 1113lim 22022--=----→→x ax xax x x=.6213lim 220a x ax x -=--→ 4sin1lim )(lim )00(200xx ax x e x f f ax x x --+==+++→→=.4222lim 41lim 420220+=-+=--+++→→a x ax ae xax x e ax x ax x 令)00()00(+=-f f ，有 4262+=-a a ，得1-=a 或2-=a . 当a=-1时，)0(6)(lim 0f x f x ==→，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim 0f x f x ≠=→，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t 的取值.【详解】由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=， 得 ,)ln 21(24ln 212t e t t etdtdx dt dy dx dy +=+== 所以 dtdx dxdy dt d dx y d 1)(22==t t t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e +- 当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故.)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===e t t e dx y d t x 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x⎰+【分析】 被积函数含有根号21x +，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx ，同样可考虑作变换：arctanx=t ，即 x=tant.【详解】 设t x tan =，则dx x xe x⎰+232arctan )1(=tdt t t e t 2232sec )tan 1(tan ⎰+=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t t cos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e t t ⎰--=tdt e t e t e t t t sin sin cos ⎰-+-，故 .)c o s (s i n 21s i n C t t e t d t e t t +-=⎰ 因此 dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan=.12)1(2arctan C xe x x++- 【评注】本题也可用分布积分法： dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de x xarctan 21⎰+=dx x e x xe x x⎰+-+232arctan 2arctan )1(1=x xde x x xe arctan 22arctan 111⎰+-+ =dx x xe x e x xe x x x⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11， 移项整理得dx x xe x⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C x e x x ++-本题的关键是含有反三角函数，作代换t x =arctan 或tant=x.六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy 比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 y dy dx '=1，于是有)(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为.21xx e C e C Y -+=设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=， 代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=- 由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为 .s i n 21x e e y x x --=- 【评注】 本题的核心是第一步方程变换.七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程04ln 4ln 4=-+-k x x x 有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x 轴交点的个数）.【详解】 设=)(x ϕk x x x -+-4ln 4ln 4则有 .)1(ln 4)(3xx x x +-='ϕ 不难看出，x=1是)(x ϕ的驻点. 当10<<x 时，0)(<'x ϕ，即)(x ϕ单调减少；当x>1时，0)(>'x ϕ，即)(x ϕ单调增加，故k-=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的最小值.当k<4，即4-k>0时，0)(=x ϕ无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，0)(=x ϕ有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当 k>4，即4-k<0时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 300k x x x x x x ϕ； +∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ， 故0)(=x ϕ有两个实根，分别位于(0,1)与),1(+∞内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(3) 求曲线 y=f(x)的方程；(4) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q ，再由题设线段PQ 被x 轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式dt y x s ba ⎰'+'=22进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为)(1x X yy Y -'-=-， 其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则y x y Y '+=， 故Q 点的坐标为).,0(y x y '+由题设知 0)(21='++y x y y ，即 .02=+xdx ydy 积分得 C y x =+222 (C 为任意常数). 由2122==x y 知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 .1222=+y x(2) 曲线y=sinx 在[0，π]上的弧长为.cos 12cos 120202dx x dx x l ⎰⎰+=+=ππ曲线y=f(x)的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,s i n 22,c o s t y t x .20π≤≤t 故 dt t dt t t s ⎰⎰+=+=2022022sin 121cos 21sin ππ， 令u t -=2π，则du u du u s ⎰⎰+=-+=202022cos 121)(cos 121ππ =.4222l l =【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到2π，而不是从0到.2π 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(3) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式；(4) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 【分析】 液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ϕ之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππϕ+=4)(2, 从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022-==⎰y t du u yϕϕπ上式两边对y 求导，得)()(6)(2y y y ϕϕπϕ'=，即 ).(6)(y y ϕπϕ'=解此微分方程，得y Cey 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知C=2,故所求曲线方程为.26y e x π=【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解.十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f a x --+→)2(lim 存在，证明：(2) 在(a,b)内f(x)>0;(3) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'b adx x f a a b f .)(2))((22ξξη 【分析】 (1) 由ax a x f a x --+→)2(lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)>0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为ax a x f a x --+→)2(lim 存在，故.0)()2(lim ==-+→a f a x f a x 又0)(>'x f ，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 设F(x)=2x ,)()()(b x a dt t f x g xa ≤≤=⎰, 则0)()(>='x f x g ，故)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点ξ，使ξ=''=--=--⎰⎰⎰x x a ba a a dt t f x dt t f dt t f ab a g b g a F b F ))(()()()()()()()(222，即 )(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰. (3) 因)()()0()()(a f f f f f -=-=ξξξ，在],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，知在),(ξa 内存在一点η，使))(()(a f f -'=ξηξ，从而由(2) 的结论得))((2)(22a f dx x f a b b a -'=-⎰ξηξ， 即有 ⎰-=-'b a dx x f a a b f .)(2))((22ξξη 【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：⎰-=-'b a dx x f a a b f )(2))((22ξξη⇔))((2)(22a f dx x f a b b a-'=-⎰ξηξ ))(()(a f f -'=⇔ξηξ （ 根据(2) 结论 ）))(()()(a f a f f -'=-⇔ξηξ，可见对f(x)在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理即可.十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P 【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P ，则是常识问题.【详解】 矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(600280222---=------=-λλλλλλa A E =)2()6(2+-λλ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-00000012000480246a a A E ， 知a=0.于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ 当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ， 解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P 十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb c ba A ---++++=---= =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于 ])([2)(22222b b a a b ac c b ba ++-=-= =0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb a A ---++++-===])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为 ])([2)(22222b b a a b ac c b b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.。
中科院-中科大2003试题及答案
中国科学院——中国科学技术大学2003年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题试题名称：物理化学一、选择题（共5题，10分）1．（2分）理想气体在恒定外压p 下，从10dm3膨胀到16dm3，同时吸热126J，计算此气体的△U.( )（A）-284J （B）842J （C）-482J （D）482J2．(2分)下列宏观过程：（）（1）p ，273K下冰融化为水；（2）电流通过金属发热；（3）往车胎内打气（4）水在101325Pa，375K下蒸发可看作可逆过程的是：（A）（1），（4）（B）（2），（3）（C）（1），（3）（D）（2），（4）3．(2分)298K时两个级数相同的反应Ⅰ，Ⅱ，活化能EI =E∏，若速率常数k1=10k∏，则两反应之活化熵相差：( )（A）0.6J·K-1·mol-1（B）10 J·K-1·mol-1（C）19 J·K-1·mol-1（D）190 J·K-1·mol-14．（2分）有人在不同pH的条件下，测定出牛的血清蛋白在水溶液中的电泳速度，结果如下：（）pH 4.20 4.56 5.20 5.65 6.30 7.00泳速/（μm2/s·V）0.50 0.18 -0.25 -0.65 -0.90 -1.25由实验数据可知：（A）该蛋白质的等电点pH>7.00 （B）该蛋白质的等电点pH<4.20（C）该蛋白质的等电点pH<7.00 （D）从上述实验数据不能确定等电点范围5.（2分）吸附理论主要用来描述：（）（A）均相催化（B）多相催化（C）酸碱催化（D）酶催化二、填空题6．（2分）理想气体等温（T=300K）膨胀过程中从热源吸热600J，所做的功仅是变到相同终态时最大功的1/10，则体系的熵变△S = J·K-1。
7.（2分）在300K时，48.98dm3的理想气体从100kPa变到500KPa，体系的吉布斯自由能变化为kJ.8.(2分)从微观角度面言，熵具有统计意义，它是体系的一种量度。
2003中科院计算数学博士试卷
2003年中国科学院地质与地球物理研究所博士学位研究生入学加试题计算数学试卷1． 设矩阵A 有一个特征值为λ，对应的特征向量为V ，证明：（15分 1）λ1为 A -1 的一个特征值。
2）αλ为αA 的一个特征值（α为常数） 3）αλ+为A +αI 的一个特征值（I 为单位阵） 2、（15分）已知)exp()(limA nA I nn =+∞→，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010000100001I ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A试证)exp())det(exp(44332211a a a a A +++=如果I 、A 为一般方阵，有何结论？ 3、（10分）试求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211a a a a A 的条件数 4、已知)3()2()1()(321-+-+-=n x a n x a n x a n x和)}5(),4(),3(),2(),1(),0({x x x x x x 的值，试导出),,{321a a a 的最小二乘解。
（15分）5、 试用切比雪夫多项式)arccos cos(x n T n=求4x 在)1,1(-∈x 之间的三次多项式逼近。
（15分）6、 （15分）设N 为偶数, 巳知x[n]的N 点离散傅里叶变换为X[m] ,即][][m X n x N−→← 。
令，，]12[][]2[][21+==k x k x k x k x 它们的N/2点离散傅里叶变换分别为X1[m]、X2[m] , 即][][12/1m X k x N −−→← 、][][22/2m X k xN −−→←。
证明:][][][21m X W m X m X mN -+=其中)2exp(NiWπ=7、（15分）已知运算M 是一个矩阵到矩阵的映射 [M]X=AX-XAAX 和XA 都为普通矩阵乘法运算。
2003考研数学二真题及答案
2003考研数学二真题及答案一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕〔1〕 假设0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，那么a= .〔2〕 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，那么曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .〔3〕 x y 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 .〔4〕 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，那么该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .〔5〕 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 假设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，那么ααT = .〔6〕 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，假设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，那么=B .二、选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]〔2〕设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 那么极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]〔3〕x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，那么)(yxϕ的表达式为 〔A 〕 .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]〔4〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.[ ]〔5〕设⎰=401tan πdx x x I ,dx xxI ⎰=402tan π, 那么(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] 〔6〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、〔此题总分值10分〕设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax 问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去连续点？四 、〔此题总分值9分〕设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、〔此题总分值9分〕 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、〔此题总分值12分〕设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、〔此题总分值12分〕讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、〔此题总分值12分〕设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、〔此题总分值10分〕有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面〔如图〕，容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大〔假设注入液体前， 容器内无液体〕.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十 、〔此题总分值10分〕设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 假设极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使 ⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη 十 一、〔此题总分值10分〕假设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、〔此题总分值8分〕平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a参考答案1. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于1sin )1(lim4120=-→xx ax x ，反过来求 a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进展化简.【详解】 当0→x 时，241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x . 于是，根据题设有 14141lim sin )1(lim 2204120=-=-=-→→a xax x x ax x x ，故a=-4.【评注】 此题属常规题型，完全类似例题见?数学复习指南?P.38 【例1.62】.2.. 【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】 等式4ln 2y x xy =+两边直接对x 求导，得 y y xy x y '=+'+342， 将x=1,y=1代入上式，有 .1)1(='y 故过点(1,1)处的切线方程为 )1(11-⋅=-x y ，即 .0=-y x【评注】 此题属常规题型，综合考察了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见?数学复习指南?P.55 【例2.13】和【例2.14】.3.. 【分析】 此题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n 阶导数值)0()(n f，那么麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)0()(n f n 【详解】 因为 2ln 2x y ='，2)2(ln 2x y =''，n x x y)2(ln 2,)(= ，于是有nn y )2(ln )0()(=，故麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn = 【评注】 此题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. 4.. 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式θθρβαd S ⎰=)(212即可. 【详解】 所求面积为θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a )1(414-ae aπ. 【评注】 此题考察极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比拟复杂. 完全类似例题见?数学复习指南?P.200 【例7.38】.5.. 【分析】 此题的关键是矩阵Tαα的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行〔或任一非零行〕，列向量的元素那么为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT【评注】 一般地，假设n 阶矩阵A 的秩为1，那么必有[].2121n n b b b a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=完全类似例题见?数学复习指南?P.389 【例2.11】和?考研数学大串讲?P.162 【例13】. 6.. 【分析】 先化简分解出矩阵B ，再取行列式即可. 【详解】 由E B A B A =--2知，E A B E A +=-)(2，即 E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A+E 可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为 2002010100=-=-E A , 所以 =B 21.【评注】 此题属基此题型，综合考察了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 完全类似例题见?考研数学大串讲?P.160 【例11】.二、选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕7. 【分析】 此题考察极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见?数学最后冲刺?P.179.8.. 【分析】 先用换元法计算积分，再求极限. 【详解】 因为dx x x a n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+=}1])1(1{[1)1(1231023-++=++n n n nn n n x n， 可见 n n na ∞→lim =.1)1(}1])1(1{[lim 23123-+=-++-∞→e n n n n【评注】 此题属常规题型，综合考察了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最根底的问题，一般教材中均可找到其计算方法.9.. 【分析】 将xxy ln =代入微分方程，再令ϕ的中间变量为u ，求出)(u ϕ的表达式，进而可计算出)(yx ϕ.【详解】将x x y ln =代入微分方程)(yxx y y ϕ+='，得)(ln ln 1ln 1ln 2x x x x ϕ+=-，即 xx 2ln 1)(ln -=ϕ. 令 lnx=u ，有 21)(u u -=ϕ，故 )(y xϕ=.22xy - 应选(A).【评注】 此题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.10.. 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 那么是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 此题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考察的是f(x)的图象去推导)(x f '的图象，此题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.11.. 【分析】 直接计算21,I I 是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0. 【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x ，于是1tan >x x ，1tan <xx，从而有4tan 41ππ>=⎰dx x x I ， 4tan 402ππ<=⎰dx x x I ， 可见有 21I I >且42π<I ，可排除(A),(C),(D)，故应选(B). 【评注】 此题没有必要去证明11<I ，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项.12.. 【分析】 此题为一般教材上均有的比拟两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 此题将一定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，假设记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。
2003年数学四试题 考研数学真题及解析
2003年考研数学（四）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= - . （2）dx e x x x ⎰--+11)(= - .（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= - .（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(--E A = - .（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= - .（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX , 则2)(Y X E += .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ]（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ]（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.[ ]（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ]（5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立.(C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立.[ ]（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.(C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. [ ]三 、（本题满分8分）设],21,0(,)1(11sin 1)(∈---=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y xg -=,求.2222yg x g ∂∂+∂∂ 五 、（本题满分8分）计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I D y x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t -=)(在),(+∞-∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；(2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+-=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ。