等比数列性质及应用1
高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22233610812n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，有t kp m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若99123992a a a a =···…·，求50a ． 解：19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为mq （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．设112341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。
初中数学知识归纳等比数列的性质与应用
初中数学知识归纳等比数列的性质与应用初中数学知识归纳：等比数列的性质与应用在初中数学学习中，等比数列是一个重要的概念。
它的性质和应用广泛存在于各类数学题目中。
本文将对等比数列的性质与应用进行归纳和阐述。
一、等比数列的基本性质等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与它的前一个数的比等于一个常数。
该公比常被表示为q。
1. 公比的概念公比q是等比数列中相邻两项的比值，可以通过以下公式计算：```q = 第n项 / 第(n-1)项```其中，n表示数列的项数。
在等比数列中，任意两项之间的比值都相等，即相邻两项的比值等于公比q。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以根据已知条件得到。
设首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则通项公式为：```aₙ = a₁ * q^(n-1)```这个公式可以帮助我们直接计算等比数列中任意一项的值。
3. 等差数列与等比数列的区别等比数列与等差数列是两个不同的数列概念。
在等差数列中，两个相邻项之间的差是常数，而在等比数列中，两个相邻项之间的比是常数。
因此，等比数列中的项之间的增长或减小呈倍数关系，而等差数列中的项之间的增长或减小是固定的。
二、等比数列的应用等比数列的性质使得它在各类数学题目中有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 成绩评定某班级的同学们在一次数学测验中，考试分数符合等比数列的规律。
已知第1位同学得了80分，而第5位同学得了5分。
我们可以利用等比数列的通项公式来求得第n位同学的分数。
设第n位同学的分数为aₙ，则有：```a₁ = 80a₅ = 5q = a₅ / a₁ = 5 / 80```带入通项公式，我们可以得到：```aₙ = 80 * (5 / 80)^(n-1)```这样我们就可以根据题目给出的条件，计算任意一位同学的分数。
2. 几何图形等比数列的概念也与几何图形有关。
例如，在绘制分形图形时，我们经常使用等比数列来确定各个图形的大小比例。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列（geometric progression）是指数列中任意两个相邻项的比等于同一个常数的数列。
在数学中，等比数列具有一些独特的性质和应用，本文将介绍这些性质以及如何应用等比数列解决一些实际问题。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比例都相等。
具体而言，如果一个数列满足对于任意的正整数 n，都有 an/an-1 = r (r ≠ 0)，其中an 表示数列的第 n 项，an-1 表示数列的前一项，r 表示公比，则该数列可以被称为等比数列。
二、等比数列的性质1. 公比的性质等比数列的公比 r 是决定数列特征的重要因素。
当 r 大于 1 时，数列呈现递增的趋势；当 0 < r < 1 时，数列呈现递减的趋势；当 r 等于 1 时，数列的各项相等；当 r 小于 0 时，数列的各项交替变号。
2. 通项公式对于等比数列的通项公式，即 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示数列的首项，an 表示数列的第 n 项。
3. 等比数列的和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) 求得。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，特别是在金融、工程、物理等领域中。
以下将介绍一些等比数列的典型应用。
1. 财务投资在财务投资中，利率往往以等比数列的形式递增或递减。
通过计算等比数列的前 n 项和，可以帮助投资者评估不同时间段内的资金增长情况，从而做出更明智的决策。
2. 网络传输等比数列在网络传输中的应用非常广泛。
例如，下载文件时，下载速度可能以等比数列递增或递减；发送数据包时，包的大小可能以等比数列的形式递增或递减。
3. 器械运动许多器械运动（如弹簧）的行为都可以通过等比数列来描述。
器械的某些性质随着使用次数的增加而发生变化，这种变化往往符合等比数列的规律。
4. 科学实验在科学实验中，等比数列被广泛用于模拟实验数据。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列的性质与应用在数学中具有重要的地位和应用价值。
一、等比数列的性质1. 公比的性质：在等比数列中，公比不为0。
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。
2. 通项公式：对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ... ，若 a₁是首项，r 是公比，n 是项数，则第 n 项 aₙ = a₁ * r^(n-1)。
3. 特殊性质：若等比数列的首项不等于0，则任意一项都不为0。
若等比数列的首项为a，公比为r，则数列中除了首项以外的其他项的和为 S = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
二、等比数列的应用1. 高利贷问题：高利贷问题中的本金和利息往往呈现等比数列的关系。
通过计算等比数列的和，可以帮助我们理解高利贷背后的利息计算原则，并避免陷入高利贷的陷阱。
2. 折半查找算法：在计算机科学中，折半查找算法常常运用等比数列的性质。
该算法通过将查找范围不断折半，缩小查找范围，直到找到目标元素为止。
这种算法的时间复杂度为 O(log n)，具有高效的特点。
3. 复利计算：在金融领域中，复利计算常常与等比数列紧密相关。
当存款、贷款或投资的利率按照一定的期限计算时，利息会按照等比数列的方式不断增长。
通过对等比数列的计算，可以帮助我们了解复利计算的规律，指导我们做出科学的理财决策。
总结：等比数列作为一种数学工具，具有重要的性质和广泛的应用。
通过了解等比数列的性质，我们可以在数学问题中灵活运用，提高解题能力；同时，等比数列的应用也渗透到各个领域，为我们解决实际问题提供了理论和方法支持。
因此，熟练掌握等比数列的性质和应用，对于我们的数学学习和实际生活都具有积极的意义和影响。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列，又称为几何数列，是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列常用的表示形式为：a，a*r，a*r^2，a*r^3，……等比数列的性质涉及到数列的通项公式、前n项和、无穷项和以及与其他数学概念的关系等方面。
在此，本文将从这些方面介绍等比数列的性质和应用。
一、数列的通项公式对于等比数列来说，其通项公式可以通过以下方式得出：假设第一项为a，公比为r。
首先，我们可以观察到每一项与其前一项之间的关系，即：第二项：a*r第三项：a*r*r = a*r^2第四项：a*r*r*r = a*r^3由此可见，等比数列的第n项可以表示为a*r^(n-1)。
二、前n项和计算等比数列的前n项和可以使用以下公式：前n项和 = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法得到证明。
三、无穷项和无穷项和是指等比数列所有项的和在n趋向于无穷时的极限值。
对于绝对值小于1的公比，等比数列的无穷项和存在并且可以通过以下公式计算得出：无穷项和 = a / (1 - r)这个公式也可以通过数学推导得到。
应用：等比数列在现实生活中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 财务问题在财务领域中，利息、折扣和股价等问题往往涉及到等比数列。
例如，在银行存款中，如果某笔存款按照一定的年利率计算利息，并且每年将利息和本金一起再次存入银行，那么存款的金额就构成了一个等比数列。
2. 科学研究等比数列在科学研究中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的数量经常呈现出等比数列的规律。
通过研究和分析等比数列的性质，可以更好地理解和描述细胞的生长和变化过程。
3. 工程问题在工程问题中，等比数列常常用于计算材料的消耗和成本的增长。
例如，在建筑施工中，某种材料的每层用量都是前一层用量的3倍，那么每层用量就可以表示为一个等比数列。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的性质，并讨论它在实际问题中的应用。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一个项与它前一项的比值都相等。
这个比值被称为公比，通常用字母q表示。
具体地，如果一个数列满足an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，则称该数列为等比数列。
二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以为正数、负数或零。
当q>1时，数列呈递增趋势；当0<q<1时，数列呈递减趋势；当q=1时，数列呈恒定趋势；当q<-1时，数列呈震荡趋势。
2. 通项公式：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
3. 求和公式：等比数列的前n项和可通过求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1) 来计算，其中Sn表示前n项和。
4. 任意项与首项的关系：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出an和a1的关系为an = a(k) * q^(n-k)，其中a(k)是该数列的第k 项。
三、等比数列的应用等比数列在实际问题中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个常见应用。
1. 财务领域：等比数列被广泛应用于财务计算中，特别是复利计算。
当某笔资金按照一定的利率复利计算时，投资者的收益往往呈现等比数列的形式。
2. 几何学：在几何学中，等比数列被用于描述一些几何图形的性质。
例如，等比数列可以用来计算等比比例图中的边长，或者描述螺旋线的形成过程。
3. 自然科学：等比数列在自然科学中也有一些应用。
例如，生物学中的细胞分裂过程和物理学中的波动传播过程都可以使用等比数列来描述。
4. 经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述一些经济指标的增长或者下降趋势。
例如，人口增长、GDP增长等都可以看作是等比数列。
等比数列的性质和计算
等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。
一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。
即，第n项为a * q^(n-1)。
2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。
3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。
若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。
4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。
二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。
2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。
3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。
4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。
例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。
解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。
前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。
等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值均相等的数列。
在数学中，等比数列有许多重要的性质和应用。
本文将详细介绍等比数列的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、等比数列的基本性质1. 公比在等比数列中，公比表示相邻两项之间的比值。
如果一个等比数列的首项是a，公比是r，那么第n项可以表示为an=a×r^(n-1)。
公比r的绝对值决定了数列的增长或者减小趋势。
2. 通项公式对于一个等比数列，通项公式可以通过首项和公比来表示。
在上述的an=a×r^(n-1)公式中，an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 前n项和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn=a×(1-r^n)/(1-r)。
其中，Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。
二、等比数列的应用举例等比数列在各个领域都有着广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用。
1. 财务领域在财务领域，等比数列的应用极为常见。
例如，复利是指一笔资金在每个计息期内的增长情况，而复利的计算正好是一个等比数列的求和问题。
另外，企业盈利的增长也可以用等比数列进行建模和预测。
2. 科学研究在科学研究中，等比数列经常被用来描述和解决问题。
例如，放射性衰变的过程可以用等比数列描述，其中公比为衰变常数。
此外，生物群落中物种数量的变化、病毒感染的传播速度等现象也可以用等比数列进行建模。
3. 工程技术工程技术领域也广泛应用了等比数列。
例如，电路中的电阻、电容和电感等元器件的数值序列通常是按等比数列排列的。
此外，工程建设中材料的使用量、工作人员数量的调配等问题也可以通过等比数列来计算和规划。
4. 数学教育等比数列是数学教育中不可或缺的一部分。
通过学习等比数列的性质和应用，可以帮助学生提高数学思维能力和问题解决能力。
等比数列也经常被用作基础数学题目和竞赛数学题目的考察内容。
总结：通过上述的介绍，我们可以看出等比数列具有重要的性质和广泛的应用。
高中数学选择性必修二 4 3 1 2等比数列的性质及应用(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.2等比数列的性质及应用要点一 等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(m ，n ∈N *)(2)若p ＋q ＝s ＋t (p 、q 、s 、t ∈N *)，则a p ·a q ＝s t a a 【重点总结】(1)在已知等比数列{a n }中任一项a m 及公比q 的前提下，可以利用a n ＝a m q n－m求等比数列中任意项a n ；(2)已知等比数列{a n }中的a m 和a n 两项，就可以使用a n a m ＝q n －m 求公比，其中m 可大于n ，也可小于n.要点二 等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时，等比数列{a n }为递增数列； (2)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时，等比数列{a n }为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{a n }为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当1<1时，等比数列{a n }为摆动数列． 【重点总结】由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．要点三 等比数列的其它性质 若{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)若m ，p ，n (m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(2)数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2. (3)若{b n }是公比为p 的等比数列，则{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也都是等比数列，公比分别为pq 和qp .(4)在数列{a n }中，每隔k (k ∈N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋1. (5)在数列{a n }中，连续相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或qk 2)的等比数列． 【重点总结】若数列{a n }是各项都为正数的等比数列，则数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列； 若数列{b n }是等差数列，公差为d ，则数列{cb n }是以c d (c>0且c ≠1)为公比的等比数列． 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列．( )(3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( )(4)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 【答案】D【解析】∵q <0，a 1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D. 3．(多选题)若数列{a n }为等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 25 C ．a 1a 9＝a 3a 7 D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6 【答案】BC【解析】根据等比数列的性质知BC 正确．4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 【答案】25【解析】∵a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝25.题型一 等比数列性质的应用 【例1】已知{a n }为等比数列．(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．【解析】(1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14. (2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10. 【方法归纳】有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．【跟踪训练1】(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7. (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .【解析】(1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.题型二 灵活设项求解等比数列【例2】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为________________．【解析】设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，① 所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.【变式探究】本例中的条件换为“前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80”，则这4个数为__________________．【答案】1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8【解析】由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.【方法归纳】巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.题型三 等比数列与等差数列的综合应用【例3】在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求d ，q 的值；(2)是否存在常数a ，b ，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝b 1q ，a 1＋7d ＝b 1q 2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝5，q ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝0，q ＝1，(舍去)．(2)由(1)知a n ＝1＋(n －1)·5＝5n －4， b n ＝b 1q n －1＝6n －1.假设存在常数a ，b ，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，则5n －4＝log a 6n －1＋b ， 即5n －4＝n log a 6＋b －log a 6.比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 6＝5，b －log a 6＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝615，b ＝1.故存在a ＝615，b ＝1，使得对任意n ∈N *，都有a n ＝log a b n ＋b 成立．【解题关键】 (1)联立方程组可求．(2)假设存在，由(1)得出方程，注意比较系数可求a ，b. 【方法归纳】求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a 1，d 或b 1，q 的作用，并用好方程这一工具． (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．【跟踪训练2】已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n, 若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值。
等比数列性质及应用
考纲传真1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.1．等比数列2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则a m·a n＝a p·a q＝a2k.(2)通项公式的推广：a n＝a m q n－m(m，n∈N*)(3)公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n不一定构成等比数列．(4)若数列{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{1a n}，{a2n}，{a n·b n}，{a nb n}(λ≠0)仍是等比数列．高三数学学案第12期课题：等比数列性质及应用第12课时第四部分数列1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12『解析』 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 『答案』 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11『解析』 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2， 则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5S 2＝－11. 『答案』 A3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 『答案』 B4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________． 『解析』 ∵S 3＝21，q ＝4，∴a 1（1－q 3）1－q ＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.『答案』 4n －15．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．『解析』 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝1－（－2）53＝11. 『答案』 11(1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n .『思路点拨』 建立关于a 1与公比q 的方程，求出基本量a 1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．『尝试解答』 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2（1＋q 2）＝5q ， ② 由①得a 1＝q ；由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n .『答案』 2n(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4[1－（－12）n ]1－（－12）＝83『1－(－12)n 』．,1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．(2013·泰安调研)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .『解』 (1)设公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2（1a 1＋1a 1q），a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64（1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4）.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n＝4n －14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.(2013·徐州质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．『思路点拨』 正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问． 『尝试解答』 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d .依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．,1．本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．证明数列{a n }是等比数列一般有两种方法： (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)．(1)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．『解析』 (1)由题意知a n －2a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.『答案』 2n ＋1－2(2)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ，∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1. 又∵a 1－1＝－12，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，∴数列{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．则c n ＝－12×(12)n －1＝－(12)n ，∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .(1)(2013·嘉兴模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90 (2)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．『思路点拨』 (1)利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列的性质求解；(2)灵活应用a 2n ＝a n －1·a n ＋1，求a 1与公比q ，进而求出a n ，b n ，然后利用裂项相消法求和． 『尝试解答』 (1)∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴S 3·(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)2，又S 3＝40，S 6＝40＋20＝60， ∴40(S 9－60)＝202，故S 9＝70. 『答案』 B(2)①设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .②b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2『(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)』＝－2n n ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2nn ＋1.,1．本题充分利用已知条件，数列的性质，简化了运算．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)(2012·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2『解析』 (1)由于a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，a 4＋a 7＝2，∴a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解之得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝4×(－2)＋(－2)×(－12)＝－7，当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－2－2＋4×(－2)＝－7.(2)∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，且a n ＞0，∴a n ＝2n ，∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1， ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.『答案』 (1)D (2)C已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.『思路点拨』 (1)可用基本量法求解；(2)作差a n ＋1－a n ＝c nb n .『尝试解答』 (1)由已知a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(∵d ＞0)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 （n ＝1）2·3n －1 （n ≥2）.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32010)＝32 010.,1．本题中第(2)题相当于已知数列{c n b n }的前n 项和，求c nb n.2．在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式．本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差a n ＋1－a n 时，要注意n ≥2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．『解』(1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2) 将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1. 上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和公式． 两个防范1.由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止忽略q ＝1这一特殊情形．两种方法证明{a n }是等比数列的主要方法：(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n 项和公式及等比数列的性质，各种题型均有可能出现．注重等比数列与相关知识综合交汇，或“非标准”的等比数列是命题新的生长点．创新探究之七 等比数列与三角函数的交汇创新(2011·福建高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．『规范解答』 (1)由q ＝3，S 3＝133，得a 1（1－33）1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．创新点拨：(1)等比数列和三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力． (2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，放在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．应对措施：(1)采取先局部，后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数，再从整体上考虑两部分知识之间的联系．(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面考虑．1．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 『解析』 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋1a n ＝q ，①中，f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，∴①满足定义，②中，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2(q －1)a n 不满足定义．对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1a n|＝|q |满足定义． 对于④，取a n ＝2n ，则f (a n )＝ln|2n |＝n ·ln 2不是等比数列． 综上知，①、③是“保等比数列”函数． 『答案』 C2．(2012·陕西高考)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)对任意k ∈N *，证明S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 『解』(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3. 由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)证明 对任意k ∈N *，由(1)知，S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2＝S k ＋a k ＋1－2a k ＋1＝S k －a k ＋1， 且S k ＋1＝S k ＋a k ＋1，∴S k ＋2＋S k ＋1＝2S k ，从而对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．。
等比数列性质及应用
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定义与通项公式
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与 它的前一项的比值等于同一个常数的 一种数列。
通项公式
等比数列的通项公式为an=a1×q^(n1)，其中a1为首项，q为公比，n为项 数。
等比中项及性质
等比中项
在等比数列中，任意两项am和an （m≠n）的等比中项为±√(am×an)。
求解方法
根据问题的具体情况，选择合适的等比数列 公式进行求解。例如，对于连续投资问题， 可以利用等比数列求和公式计算总收益；对 于病毒传播问题，可以利用等比数列的通项 公式计算每轮传播后的病毒数量。
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感谢观看
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等比数列在平面几何中应用举例
矩形面积问题
若一个矩形被分割成若干个相似的小矩形，则这些小矩形的面积 构成等比数列。
平行线分线段成比例
若一组平行线截两条直线所得的对应线段成比例，则这些线段长度 构成等比数列。
三角形中的线段问题
在等腰三角形或直角三角形中，某些特定线段（如中线、高）的长 度之比可能构成等比数列。
PART 02
等比数列基本性质
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相邻两项之积相等
定义
在等比数列中，任意相邻两项的 乘积是一个常数，该常数被称为 等比数列的公比。
表达式
若等比数列的首项为a，公比为r， 则对于任意正整数n，有a_n = a * r^(n-1)，且a_n * a_(n+1) = a^2 * r^n。
等比数列在立体几何中应用举例
长方体体积问题
若一个长方体被分割成若干个相似的小长方体，则这些小长方体 的体积构成等比数列。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结
等比数列是数学中常见的一种数列，它的性质和规律在数学中有着重要的地位。
通过对等比数列的性质进行总结，可以更好地理解和应用等比数列的相关知识。
首先，等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为
项数。
根据等比数列的通项公式，可以推导出等比数列的性质。
其次，等比数列的性质包括首项、公比、项数、前n项和等差数列之间的关系。
首项a1决定了等比数列的起始值，公比q决定了等比数列中每一项与前一项的比值，项数n决定了等比数列的长度。
前n项和Sn表示了等比数列前n项的和，它
们之间也有一定的关系。
另外，等比数列的性质还包括了等比中项、等比均值不等式等概念。
等比中项
是指在等比数列中，任意两项的中间项，它的计算可以通过求根号得到。
等比均值不等式则是指在等比数列中，任意两个正数的几何平均数不小于它们的算术平均数。
此外，等比数列还有着一些特殊的性质，比如当公比q大于1时，等比数列呈
现出递增的趋势；当公比q小于1且大于0时，等比数列呈现出递减的趋势；当公
比q等于1时，等比数列变成了等差数列。
综上所述，等比数列的性质包括了通项公式、首项、公比、项数、前n项和等
差数列之间的关系，以及等比中项、等比均值不等式等概念。
了解和掌握等比数列的性质，有助于更好地理解和运用等比数列的知识，为解决数学和实际问题提供了重要的数学工具。
通过对等比数列性质的总结，我们可以更深入地理解等比数列的规律和特点，
为进一步学习和应用等比数列打下坚实的基础。
希望本文的内容能够对读者有所帮助，让大家对等比数列有更清晰的认识和理解。
高三第一轮复习等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用主干知识归纳 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *，q 为公比)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n． (4)若等比数列{a n }共有2n 项，则S 偶：S 奇=q ；若有2n+1项，则S 奇——S 偶=（a 1+a 2n+1q ）/(1+q)（q ≠1且q ≠－1）． 方法规律总结1.在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n 项和公式建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质，可减少运算量．2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如等比数列中S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．【指点迷津】【类型一】等比数列的性质【例1】：(1) 设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________．(2) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝( )A.72 B ．－92 C.92 D ．－72[解析]： [解析] (1)由题意可得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，解得a 5a 6＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：10(2) 因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 10＝12S 5，所以S 10－S 5＝－12S 5.由等比数列的性质得，S 5，－12S 5，S 15－12S 5成等比数列，所以14S 52＝S 5S 15－12S 5，得S 15＝34S 5，所以S 5＋S 10＋S 15S 10－S 5＝S 5＋12S 5＋34S 5－12S 5＝－92.答案：B【例2】：)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝72，S 6＝352，则S 9＝________．【解析】： (1)因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.答案：A(2)由S 3＝72，S 6＝352得，公比q ≠1，且⎩⎨⎧a 1（1－q 3）1－q ＝72，a 1（1－q 6）1－q ＝352，两式相除，得1＋q 3＝5，即q 3＝4， 则a 11－q ＝－76， 故S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝a 11－q [1－(q 3)3]＝－76×(1－43)＝1472.答案：1472【类型二】等比数列性质的应用【例1】：若等比数列{a n }的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．【解析】：方法一：设此数列的公比为q ，首项为a 1.当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )； 当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q(1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)，∴S n 2＋S 2n 2＝a 11－q2[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n＋q 2n)，又S n (S 2n ＋S 3n )＝a 11－q2(1－q n )2(2＋2q n ＋q 2n)，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二：根据等比数列的性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S n 2＋S 2n 2＝S n 2＋[S n (1＋q n )]2＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S n 2(2＋2q n ＋q 2n )，∴S n 2＋S 2n 2＝S n (S 2n ＋S 3n ).【例2】：已知数列{a n }的首项为a (a ≠0)，前n 项和为S n ，且有S n ＋1＝tS n ＋a (t ≠0)，b n ＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当t ＝1时，若对任意n ∈N *，都有|b n |≥|b 5|，求a 的取值范围；(3)当t ≠1时，若c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求能够使数列{c n }为等比数列的所有数对(a ，t )． 【解析】：(1)当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，得a 2＝at .当n ≥2时，有S n ＝tS n －1＋a ，∴(S n ＋1－S n )＝t (S n －S n －1)，即a n ＋1＝ta n .又a 1＝a ≠0，∴a n ＋1a n＝t (n ∈N *)，即数列{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，∴a n ＝at n －1. (2)当t ＝1时，S n ＝an ，b n ＝an ＋1.当a >0时，数列{b n }递增，且b n >0，不合题意；当a <0时，数列{b n }递减，由题意知b 4>0，b 6<0，且⎩⎨⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围为【－29，－211】.(3)∵t ≠1，∴b n ＝1＋a －atn1－t，∴c n ＝2＋1＋a1－t n －a1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋1＋a1－t n －at （1－t n ）（1－t ）2＝2－at （1－t ）2＋1＋a1－tn ＋at n ＋1（1－t ）2.由题设知，{c n }为等比数列，所以有⎩⎨⎧2－at （1－t ）2＝0，1－t ＋a 1－t＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1，2)．【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3，因为a 1>0，所以q 3>1，即q >1，故a 3<a 5成立；由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4，因为a 1>0，所以q 2>1，即q <－1或q >1.所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件． 答案：A2．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1 ＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】： 由题知a n ＝2n ，log 2a 2n －1＝2n －1， log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C.3．已知{a n }为等比数列，且a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－7【解析】：设等比数列的公比为q .∵a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， ∴a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，∴a 1＝－8，a 10＝1，∴a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，∴a 10＝－8，a 1＝1，∴a 1＋a 10＝－7.综上可得，a 1＋a 10＝－7. 答案：D4．等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】：由于a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1，又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9值最大，此时n ＝9.答案：C5．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于( )A.－12n －2B.12n －2C.－12n －1D.12n －1【解析】：∵n ＜m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 答案：C 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为 ．【解析】：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10， ∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n.答案：a n ＝24－n7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝12，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________． 【解析】：由S 8≠2S 4可知，公比q ≠1，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等比数列，公比为S 8－S 4S 4＝12， 故a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝S 16－S 12＝S 4123＝1.答案：18．设数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，关于数列{a n }有下列四个结论：①若a n ＋1＝a n (n ∈N *)，则{a n }既是等差数列又是等比数列；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，则{a n }是等差数列；③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列；④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N *)也成等比数列． 其中正确的结论是________．(填上所有正确结论的序号)【解析】：若a n ＋1＝a n ＝0，则{a n }不是等比数列，①错误；②正确；③中{a n }是公比为－1的摆动数列，如2，－2，2，－2，2，－2，…，③正确；如对于等比数列2，－2，2，－2，2，－2，…，有S 2＝0，S 4＝0，S 6＝0，显然S 2，S 4－S 2，S 6－S 4不成等比数列，④错误． 答案：②③ 三、解答题9．已知等比数列{a n }的首项为a 1＝13，公比q 满足q ＞0且q ≠1.又已知a 1,5a 3,9a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝log 31a n，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1的值．【解析】： (1)∵2×5a 3＝a 1＋9a 5，∴10a 1q 2＝a 1＋9a 1q 4，∴9q 4－10q 2＋1＝0， ∵q ＞0且q ≠1，∴q ＝13，∴a n ＝a 1q n －1＝3－n.(2)∵b n ＝log 31a n＝log 33n＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.10.等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n nS ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上． （1）求r 的值； （2）当b=2时，记1()4nnn b n N a ++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】：(1)因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n nS b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n nn n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-【二级目标】能力提升题组一、选择题1．设x ，y ，z 均是实数，若3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋zx的值是( )A.327B.358C.3312D.3415【解析】：因为3x ，4y ，5z 成等比数列，所以16y 2＝15xz ，又因为1x ，1y ，1z 成等差数列，所以y ＝2xz x ＋z .联立可得16×4x 2z 2＝15xz (x ＋z )2，因为xz ≠0，所以（x ＋z ）2xz＝6415，所以x z ＋z x ＝3415. 答案：D2．函数y ＝9－（x －5）2的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列不可能是该等比数列的公比的是( ) A.34B. 2C. 3D. 5 【解析】：函数y ＝9－（x －5）2等价于⎩⎨⎧（x －5）2＋y 2＝9，y ≥0，其图像为圆心在(5，0)，半径为3的上半圆．半圆上的点到原点的最小距离为2(点(2，0)处)，最大距离为8(点(8，0)处)，则最大的公比q 应满足8＝2q 2，即q 2＝4，解得q ＝2，最小的公比q 应满足2＝8q 2，即q 2＝14，解得q ＝12.又不同的三点到原点的距离不相等，故q ≠1，故公比q 的取值范围为12≤q ≤2，且q ≠1，故选D.答案：D二、填空题3．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为数列{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2na n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．【解析】：∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是等比数列，∴R n ＝82a 11－3n2－a 1（1－3n）（1－3）a 1·3n2＝3n 22－823n2＋813n2（1－3）＝11－3×3n 2＋813n 2－82≤11－3×(2 81－82)＝643－1，当且仅当3n 2＝813n 2，即3n＝81，即n ＝4时等号成立，∴数列{R n }的最大项为第4项．答案：4 三、解答题4.已知数列{a n }中，a 1＝2，对任意n ∈N *，恒有a n ·a n ＋1＝2×4n成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：由a 1＝2，a 1·a 2＝2×4＝8，得a 2＝4.由a n ·a n ＋1＝2×4n，得a n ＋1·a n ＋2＝2×4n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝4， 则数列{a n }的奇数项成等比数列，首项a 1＝2，公比q ＝4，故当n 为奇数时，a n ＝a 1×4n －12＝2n.当n 为奇数时，则n ＋1为偶数，由a n ·a n ＋1＝2×4n ，得2n ·a n ＋1＝2×4n ，则a n ＋1＝2n ＋1.故对任意n ∈N *，恒有a n ＝2n，a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2，故数列{a n }是等比数列．(2)易知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(a 1＋a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9＋a 11)＋…＋(a 6n －5＋a 6n －3＋a 6n －1)， 则数列{b n }的前n 项和S n 即数列{a n }的奇数项和(共3n 项)， 则S n ＝2（1－43n）1－4＝23(26n－1)．【高考链接】1.（2015年新课标全国卷Ⅱ）已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84[解析]：由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42. [答案]：B2．（2015年高考安徽卷）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[解析]：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n ＝1×（1－2n）1－2＝2n－1.[答案]：2n－13．（2015年高考四川卷）设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．[解析]： (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12×1－12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210， 所以n ≥10，所以使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10.。
等比数列及数列的综合应用
等比数列及数列的综合应用等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
数列的综合应用是指将数列的概念和性质应用到实际问题中，解决具体的实际问题。
下面我会详细介绍等比数列的性质以及数列的综合应用。
首先，我们先来了解等比数列的性质。
等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，记作：a，ar，ar²，ar³，...，其中a为首项，r为公比。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an为数列的第n项。
一般来说，等比数列的公比r可以是正数、负数或零。
如果公比r大于1，则数列是递增的，每一项大于前一项；如果公比r介于0到1之间，则数列是递减的，每一项小于前一项；如果公比r小于-1，则数列交替增减；如果公比r介于-1到0之间，则数列也是交替增减的。
在数列的综合应用中，等比数列可以帮助我们求解一些与实际生活相关的问题。
下面我将通过几个例子来说明等比数列的应用。
例1：小明每个月养鱼，第一个月养了2条鱼，从第二个月起，每个月的鱼的数量是前一个月的2倍。
问第n个月养了多少条鱼？这个问题可以用等比数列来解决。
首先，我们知道第一个月养了2条鱼，所以首项a=2，公比r=2。
根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得第n个月养的鱼的数量。
例如，求解第5个月养的鱼的数量，我们可以代入n=5得到an = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32，所以第5个月养了32条鱼。
例2：某商场的招待所有100个房间，第一个房间的价格是200元，从第二个房间起，每个房间的价格都是前一个房间的80%。
问最后一个房间的价格是多少？这个问题也可以用等比数列来解决。
首先，我们知道第一个房间的价格是200元，所以首项a=200，公比r=0.8。
根据等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)，我们可以求得最后一个房间的价格。
例如，求解最后一个房间的价格，我们可以代入n=100得到an = 200 * 0.8^(100-1) ≈0.00029元，所以最后一个房间的价格约为0.00029元。
等比数列的概念与应用
等比数列的概念与应用等比数列是数学中经常出现的一种数列形式，它的每一项与前一项的比例都相等。
本文将介绍等比数列的概念及其应用，并探讨其在实际生活和数学问题中的意义和应用。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与前一项的比例相等的数列。
数列中的比例称为公比，通常用字母q表示。
以首项a1开始的等比数列可以表示为：a1, a1*q, a1*q^2, a1*q^3, ...其中，a1为首项，q为公比。
需要注意的是，公比不能为0，否则数列中的每一项都将为0。
二、等比数列的性质1. 公比的取值范围公比q的取值范围决定了等比数列的性质。
当q大于1时，数列递增；当0<q<1时，数列递减；当q小于-1时，数列交替变号；当-1<q<0时，数列的绝对值递减。
2. 通项公式等比数列可以通过通项公式来求解任意一项的值。
对于以首项a1开始的等比数列，第n项的通项公式为：an = a1*q^(n-1)。
3. 前n项和等比数列的前n项和可以通过公式S_n = (a1*(q^n - 1))/(q - 1)来求得。
三、等比数列的应用等比数列在数学中有着广泛的应用，以下将介绍其在几个典型问题中的具体应用。
1. 财务投资在财务投资领域，等比数列可以描述投资本金按照一定的利率复利计算的情况。
如果某笔投资的年利率为r，则每年的投资金额可以构成一个等比数列。
利用等比数列的通项公式，可以方便地计算出每年的投资金额。
2. 科学实验在科学实验中，等比数列可以用来描述一些物理量的变化规律。
例如，在放射性衰变实验中，放射性物质的衰变量可以构成一个等比数列。
通过研究衰变规律，可以预测未来的衰变情况。
3. 几何图形构造等比数列在几何图形构造中也有重要应用。
例如，金字塔的层数、植物的分枝数、螺旋线的半径等都可以构成等比数列。
利用等比数列的性质，可以更好地研究和分析这些几何图形的特点。
四、等比数列的意义和价值等比数列作为数学中重要的概念，具有广泛的实际意义和应用价值。
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等比数列的应用
等比数列的应用数列是数学中一个重要的概念，它的应用非常广泛。
其中，等比数列是一种特殊的数列，在很多实际问题中有着重要的应用。
本文将介绍等比数列的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个固定的常数，这个常数被称为公比。
等比数列的一般形式可以表示为：a，ar，ar²，ar³...，其中a是首项，r是公比。
等比数列有许多重要的性质：1. 通项公式：等比数列的每一项可以用其下标n表示，通项公式为an = a * r^(n-1)，其中n表示第n个项。
2. 求和公式：对于一个有限等比数列，它的和可以表示为Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
3. 前n项和：对于前n项的和，可以用Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)来表示，其中n表示第n个项。
4. 无穷等比数列的和：如果|公比r| < 1，那么等比数列的无穷项和S∞ = a / (1 - r)，其中a是首项，r是公比。
二、等比数列在实际问题中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用情况：1. 财务规划：等比数列可以用于财务规划中的利率计算。
例如，一个人每年定期存入银行一定金额，年利率为r，那么每年的账户余额就可以用等比数列来表示。
2. 科学实验：在某些科学实验中，特定物质的重量、温度等参数可能会随着时间呈等比数列的变化。
利用等比数列的性质，可以准确地计算出这些参数在不同时间点的数值。
3. 折扣问题：在商业交易中，折扣是一种常见的销售策略。
如果某商品的价格每次打折后都是原来价格的一定比例，那么购买多次的总花费形成一个等比数列。
4. 成绩分析：在学生的成绩分析中，可以将学生的成绩按照一定的比例转化为等级。
例如，将成绩在90分以上为优秀，80-89分为良好，70-79分为中等等。
这样可以将学生成绩的分布情况用等比数列来表示。
课件3：4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质
(方法二)设后三个数分别为 a－d，a，a＋d(a≠0)， 则第一个数为a－a d2.
由题意得a－a d2a－da＝27， a－d＋a＝9，
化简得a2－a－d＝d＝3，9， 解得ad＝＝63，， ∴这四个数分别为23，3,6,9.
(方法三)设前三个数分别为 a，aq，aq2(a≠0)， 则第四个数应为 2aq2－aq.
a·aq·aq2＝27， 由题意得aq＋aq2＝9，
化简得aaqq＝1＋3，q＝9，
解得a＝32， q＝2，
∴这四个数分别为23，3,6,9.
探究题 4 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三 个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为 6，求这三个数． 解：由题意，这三个数成等差数列， 可设这三个数分别为 a－d，a，a＋d. ∵a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2， 即三个数分别为 2－d,2,2＋d. ①若 2－d 为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)， 解得 d＝6 或 d＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8.
②若 2＋d 是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)， 解得 d＝－6 或 d＝0(舍去)，此时三个数为 8,2，－4. ③若 2 为等比中项，则有 22＝(2＋d)(2－d)， 解得 d＝0(舍去)． 综上可知，这三个数是－4,2,8 或 8,2，－4.
探究题 5 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1＝1，an＋1＝ 2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式； (2)等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 ＝15，又 a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列，求 Tn. 解：(1)由 an＋1＝2Sn＋1，可得 an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得 an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)． 又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1， 故{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，∴an＝3n－1.
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等差数列 定 义 数 学 表 达 式 通项公 式证明 通 项 公 式
等比数列
等比数列用“比”代替了等差数列中的 “差”
常数
an q(q 0) an 1
an-an-1=d
（n≥2）
减—除 加—乘
迭加法
迭乘法
加-乘
an a1 (n 1)d
an a1 qn1 (a1 q 0)
性质： （1）an=amqn-m （2）若m+n=p+k，则am·n=ap·k, a a （1）若a1a9=64，且a3+a7=20，则a11=________ （2）若a7·12=5，则a8·9·10·11=_________ a a a a
练习:
• 1.在等比数列{an}中，且an＞0，
a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ . • 2.在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90, 则a60 =__________.
乘—乘方
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质１： an=am+(n-m)d 猜想1：bm b n q m n
性质２：若a,c 若a,b,c是等比数列 ， 则b2=a· c
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
已知2 3,2 6,2 12, 则a, b, c( )
a b c
A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列 C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列
解题技巧的类比应用：
1.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积
等于64，求这三数。
思考题： 已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和19， 后三个数成等差数列，它们的和12，求这四个数
猜想3：若n+m=p+q 则bn·m=bp· q b b
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 猜想3：若n+m=p+q 则bn·m=bp· q, b b
性质４：从原数列中取 猜想４：从原数列中 出偶数项组成的新数列 取出偶数项，组成的 公差为2d. 新数列公比为 q 2 . (可推广) (可推广) 性质５: 若{cn}是公差为 d′的等差数列，则数 列{an+cn}是公差为 d+d′的等差数列。 猜想５：若{dn}是公比 为q′的等比数列,则数 列{bn•dn}是公比为 q· q′的等比数列.
猜想3：若n+m=p+q 则bn·m=bp· q, b b
性质４：从原数列中取出偶数项组 猜想４：从原数列中取出偶 成的新数列公差为2d.(可推广) 数项，组成的新数列公比 为 q 2 .(可推广) 性质５: 若{cn}是公差为d′的等差 猜想５：若{dn}是公比为q′ 数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′ 的等比数列,则数列{bn•dn}是 公比为q· q′的等比数列. 的等差数列。
3. 知 等 差 数 列 n }的 公 差 0， 且a2 , a5 , a11成 等 比 数 列 ， 已 {a d a1 a 3 a 9 求 的值。 a 2 a 4 a11
再 见
{ n}是公差为d的等差数列
a
{bn}是公比为q的等比数列 猜想１：
性质１： an=am+(n-m)d
性质２：若an-k,an,an+k是{an}中
bm bn q mn
猜想2：若an-k,an,an+k是{an} 的三项，则b 2 =bn-k•bn+k
n
的三项，
则2an=an-k+an+k
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
• 3.在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_____ .
例：已知{an},{bn}是项数相同的等比数列， 求证{an•bn}是等比数列.
小结：等比数列{an}的三种判定方法
an 1 (1) q (q是不为0的常数，n N * ) {an }是等比数列 an (2)a n cq n (c , q是不为0的常数，n N * ) {an }是等比数列 (3)a 2 an an 2 (an an1 an 2 0, n N * ) n+1 {an }是等比数列