等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义：

()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q

推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=

⇔=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅

4、等比数列的前n 项和n S 公式：

（1）当1q =时，1n S na =

（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --=

=-- 11''11n n n a a q A A B A B A q q

=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列

（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列

6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*1

2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：

（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅

等差和等比数列比较：

经典例题透析

类型一：等比数列的通项公式

例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .

思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .

解析：

法一：设此数列公比为q ，则8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩

由(2)得：241(1)20a q q += (3)

∴10a >.

由(1)得：421()64a q = , ∴418a q = (4)

(3)÷(4)得：42120582

q q +==， ∴422520q q -+=,解得22q =或212

q = 当22q =时，12a =，1011164a a q =⋅=；

当212

q =时，132a =，101111a a q =⋅=. 法二：∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=,

∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根，

∴⎩⎨⎧==4

1673a a 或 ⎩⎨⎧==16473a a ∵23117a a a ⋅=, ∴27113

1a a a ==或1164a =. 总结升华：

①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【答案】±96

法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8=256，∴q=±2，∴a 6=±96；

法二：a 52=a 1a 9⇒a 5=±48⇒q=±2，∴a 6=±96。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【答案】64；

∵218945

16a a a ==，又a n ＞0，∴a 45=4 ∴344454645

64a a a a ==。 【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

【答案】12n n a -=或32n n a -=；

法一：∵2132a a a =，∴31232

8a a a a ==，∴22a = 从而13135,4

a a a a +=⎧⎨=⎩解之得11a =，34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时，12

q =

。 故12n n a -=或32n n a -=。

法二：由等比数列的定义知21a a q =，231a a q =

代入已知得2111211178

a a q a q a a q a q ⎧++=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩ 21331(1)7,8a q q a q ⎧++=⎪⇒⎨=⎪⎩211(1)7,(1)2(2)a q q a q ⎧++=⇒⎨=⎩ 将12a q

=代入（1）得22520q q -+=，

解得2q =或12

q = 由（2）得112a q =⎧⎨=⎩或1

412

a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，以下同方法一。 类型二：等比数列的前n 项和公式

例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q.

解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.

因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q

---+=---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，

由q≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，

因q 3≠1，故312

q =-

，所以q =。 举一反三：

【变式1】求等比数列111,,,39

L 的前6项和。 【答案】364243

； ∵11a =，13

q =，6n = ∴666111331364112324313

S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】1211219或

； ∵3

22273a a =⇒=，31(1)113313

a q q q q -=⇒==-或，则a 1=1或a 1=9 ∴5555191131213121S 113913

S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==-－或＝＝－. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和q 。 【答案】12

q =或2，6n =；