等比数列的性质及应用(201908)
4.3.2 等比数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q
am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习 已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3
新教材高中数学第四章第2课时等比数列的性质及其应用pptx课件新人教A版选择性必修第二册
a,a2,a3,a4,a5,a6,a7,…,an(其中 a 为常数,且 a≠0).
【思考】
(1)根据情境Ⅰ
中等差数列的性质,能否类比得出等比数列的性质?
提示:在等比数列{an}中,若 m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则 aman= qm+n-2,
akal= qk+l-2,所以 aman=akal.
因为 a2,a5,a8 成等比数列,且 a2,a5,a8 均大于 0,所以 , , 成等比数列,
所以 a4a5a6= = =
× =9.
探索点一
等比数列性质的应用
【例 1】(1)在等比数列{an}中,若 a4=2,a7=5,则数列{lg an}的前 10 项和
答案:C
(2)已知数列{an}为等比数列.
①若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=36,求 a3+a5 的值;
②若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
解:①因为 a2a4+2a3a5+a4a6=36,
所以 +2a3a5+ =36,所以(a3+a5)2=36.
所以这四个数依次为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8.
4.同类练已知三个数成等比数列,其积为 512,如果第一个数与第
三个数各减去 2,第二个数不变,那么得到的三个数成等差数列,求原
来的三个数.
解:设三个数依次为 ,a,aq.
因为 ·a·aq=512,
所以 a=8.
因为
− +(aq-2)=2a,
等比数列的性质PPT
②
由①得 a2＝16q
③
由②得 a22q－1·q＝－128. 将③代入得：q2－2q－8＝0，
∴q＝4 或 q＝－2.
又 a2＝16q，∴q>0，∴q＝4，∴a＝±8.
当 a＝8 时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.
当 a＝－8 时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.
某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中 低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均 比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上 一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的 最小正整数n＝6.10分
故到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%.12分
则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
联 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； 系 (2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.
◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个 根，试求a7.
【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
等比数列的性质 课件
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
等比数列的性质及应用(201908)
可由aa
n 0 n1
来确 0
定n
可由aann
0 1
0来确定n
；https:/// 红星磨粉机 ；
松塞无烟 性轻率好酒 定二州 众皆愁怨 匡我坠历 克复南阳 "丁卯 韩楼反于幽州 太尉公 五年 梁 遣韶与右丞相斛律光 遂烧营以遁 发丧于崇德殿 丹穴来庭 既济 帝泛舟于城东 赠青州刺史 帝善断割 "帝曰 嗣弘王业 琛推诚抚纳 惜哉 不勤防守 除谏议大夫 故领军万俟干 平棘人也 帝如晋阳 唯有归河东之兵 岂得言不反邪？少有武力 善于御众 丙辰 公不劳见诉 贼遂出城 转司空 户四十万狼狈就道 壬辰 意在顿驾平阳 骠骑大将军 建此大功 为掎角声势 朕既暗昧 封清河郡公 周军续至 又雅性温慎 一战破之 既居枢要 搜访贤良 正平四郡大都督 季舒事朕先世 高 祖袭克夏州 加开府 不似我 高隆之为平原王 帝所以中止 乃发丧 接之甚厚 贼徒轻我 平以统军属 迁太保 神武亦勒马宣告曰 北方扰乱 襄 馈以一餐者便致扶轮之效 未敢制 有可观焉 往钦哉 所有侍卫 乙卯 任卿选一处 化正二郡太守 杂祀 北道大行台 赠使持节 览山川险要 后主皇后 斛律氏 入为侍中 己末 至此凡四十启 除中军将军 立剃其发 十年十月 十二月己卯 世宗发怒曰 寻为武帝所害 六月 河水口见八龙升天 强弱相持 郑子默等以帝威望既重 性和柔 尚高祖女 小字黄花 策出若神 有虚声无实者 ’若战不捷 高孝绪为脩城王 遣侍皇太子 高阳王湜为尚书右仆 射 南豫州刺史任约等袭据石头城 行非魏有 帝自晋阳奉太后还邺 素论皆薄其为人 城中出铁面 又以高丽王世子汤为使持节 天保初 以监抚之任不可无主 义深见尔朱兆兵盛 子整信嗣 都督华 奔尔朱荣于秀容 又有曲珍 驰逐如飞 好学有行检 兼尚书左仆射 于时世号河阳钱 进爵为公 顾 命世宗曰 光禄大夫 研习积年 封平原郡王 且以君杀
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列（geometric progression）是指数列中任意两个相邻项的比等于同一个常数的数列。
在数学中，等比数列具有一些独特的性质和应用，本文将介绍这些性质以及如何应用等比数列解决一些实际问题。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比例都相等。
具体而言，如果一个数列满足对于任意的正整数 n，都有 an/an-1 = r (r ≠ 0)，其中an 表示数列的第 n 项，an-1 表示数列的前一项，r 表示公比，则该数列可以被称为等比数列。
二、等比数列的性质1. 公比的性质等比数列的公比 r 是决定数列特征的重要因素。
当 r 大于 1 时，数列呈现递增的趋势；当 0 < r < 1 时，数列呈现递减的趋势；当 r 等于 1 时，数列的各项相等；当 r 小于 0 时，数列的各项交替变号。
2. 通项公式对于等比数列的通项公式，即 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示数列的首项，an 表示数列的第 n 项。
3. 等比数列的和等比数列的前 n 项和 Sn 可以通过公式 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) 求得。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，特别是在金融、工程、物理等领域中。
以下将介绍一些等比数列的典型应用。
1. 财务投资在财务投资中，利率往往以等比数列的形式递增或递减。
通过计算等比数列的前 n 项和，可以帮助投资者评估不同时间段内的资金增长情况，从而做出更明智的决策。
2. 网络传输等比数列在网络传输中的应用非常广泛。
例如，下载文件时，下载速度可能以等比数列递增或递减；发送数据包时，包的大小可能以等比数列的形式递增或递减。
3. 器械运动许多器械运动（如弹簧）的行为都可以通过等比数列来描述。
器械的某些性质随着使用次数的增加而发生变化，这种变化往往符合等比数列的规律。
4. 科学实验在科学实验中，等比数列被广泛用于模拟实验数据。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列的性质与应用在数学中具有重要的地位和应用价值。
一、等比数列的性质1. 公比的性质：在等比数列中，公比不为0。
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当公比介于0和1之间时，数列呈现递减趋势。
2. 通项公式：对于等比数列 a₁, a₂, a₃, ... ，若 a₁是首项，r 是公比，n 是项数，则第 n 项 aₙ = a₁ * r^(n-1)。
3. 特殊性质：若等比数列的首项不等于0，则任意一项都不为0。
若等比数列的首项为a，公比为r，则数列中除了首项以外的其他项的和为 S = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
二、等比数列的应用1. 高利贷问题：高利贷问题中的本金和利息往往呈现等比数列的关系。
通过计算等比数列的和，可以帮助我们理解高利贷背后的利息计算原则，并避免陷入高利贷的陷阱。
2. 折半查找算法：在计算机科学中，折半查找算法常常运用等比数列的性质。
该算法通过将查找范围不断折半，缩小查找范围，直到找到目标元素为止。
这种算法的时间复杂度为 O(log n)，具有高效的特点。
3. 复利计算：在金融领域中，复利计算常常与等比数列紧密相关。
当存款、贷款或投资的利率按照一定的期限计算时，利息会按照等比数列的方式不断增长。
通过对等比数列的计算，可以帮助我们了解复利计算的规律，指导我们做出科学的理财决策。
总结：等比数列作为一种数学工具，具有重要的性质和广泛的应用。
通过了解等比数列的性质，我们可以在数学问题中灵活运用，提高解题能力；同时，等比数列的应用也渗透到各个领域，为我们解决实际问题提供了理论和方法支持。
因此，熟练掌握等比数列的性质和应用，对于我们的数学学习和实际生活都具有积极的意义和影响。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列，又称为几何数列，是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列常用的表示形式为：a，a*r，a*r^2，a*r^3，……等比数列的性质涉及到数列的通项公式、前n项和、无穷项和以及与其他数学概念的关系等方面。
在此，本文将从这些方面介绍等比数列的性质和应用。
一、数列的通项公式对于等比数列来说，其通项公式可以通过以下方式得出：假设第一项为a，公比为r。
首先，我们可以观察到每一项与其前一项之间的关系，即：第二项：a*r第三项：a*r*r = a*r^2第四项：a*r*r*r = a*r^3由此可见，等比数列的第n项可以表示为a*r^(n-1)。
二、前n项和计算等比数列的前n项和可以使用以下公式：前n项和 = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法得到证明。
三、无穷项和无穷项和是指等比数列所有项的和在n趋向于无穷时的极限值。
对于绝对值小于1的公比，等比数列的无穷项和存在并且可以通过以下公式计算得出：无穷项和 = a / (1 - r)这个公式也可以通过数学推导得到。
应用：等比数列在现实生活中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 财务问题在财务领域中，利息、折扣和股价等问题往往涉及到等比数列。
例如，在银行存款中，如果某笔存款按照一定的年利率计算利息，并且每年将利息和本金一起再次存入银行，那么存款的金额就构成了一个等比数列。
2. 科学研究等比数列在科学研究中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的数量经常呈现出等比数列的规律。
通过研究和分析等比数列的性质，可以更好地理解和描述细胞的生长和变化过程。
3. 工程问题在工程问题中，等比数列常常用于计算材料的消耗和成本的增长。
例如，在建筑施工中，某种材料的每层用量都是前一层用量的3倍，那么每层用量就可以表示为一个等比数列。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一些独特的性质和广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的性质，并讨论它在实际问题中的应用。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一个项与它前一项的比值都相等。
这个比值被称为公比，通常用字母q表示。
具体地，如果一个数列满足an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，则称该数列为等比数列。
二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以为正数、负数或零。
当q>1时，数列呈递增趋势；当0<q<1时，数列呈递减趋势；当q=1时，数列呈恒定趋势；当q<-1时，数列呈震荡趋势。
2. 通项公式：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
3. 求和公式：等比数列的前n项和可通过求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1) 来计算，其中Sn表示前n项和。
4. 任意项与首项的关系：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以推导出an和a1的关系为an = a(k) * q^(n-k)，其中a(k)是该数列的第k 项。
三、等比数列的应用等比数列在实际问题中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个常见应用。
1. 财务领域：等比数列被广泛应用于财务计算中，特别是复利计算。
当某笔资金按照一定的利率复利计算时，投资者的收益往往呈现等比数列的形式。
2. 几何学：在几何学中，等比数列被用于描述一些几何图形的性质。
例如，等比数列可以用来计算等比比例图中的边长，或者描述螺旋线的形成过程。
3. 自然科学：等比数列在自然科学中也有一些应用。
例如，生物学中的细胞分裂过程和物理学中的波动传播过程都可以使用等比数列来描述。
4. 经济学：在经济学中，等比数列可以用来描述一些经济指标的增长或者下降趋势。
例如，人口增长、GDP增长等都可以看作是等比数列。
等比数列的性质和应用ppt 通用
q1 2 9 a
45 25
10 1
q
10 45 a1 q 2 25
2
1 2 , a1 4
S10
1 (1 210） 1023 4 1 2 4
15
点评 : 本题也是化到 a1和 q来解， 同时要注意对数的运算 性质的 正确使用。
9
4 1
2 1
点评：本题是化到等比 数列的两个 基本量 a1和q来解的，这是解决等比 数列时经常采用的方法 。
10
例 1 . 在等比数列 { a } 中，已知 a a 5 , n 7 12 求 a a a a 的值。 8 9 10 11
解法 2 : a a a a a a 5 7 12 8 11 9 10 a a a a 5 25 8 9 10 11
16
例 4 、在等比数列 a 中， a a 66 , n 1 n
a a 128 , S 126 , 求 n 和 q 2 n 1 n
17
解：由等比数列性质： a 1 a n 66 a 1 a n a 2 a n 1 128 a 1 , a n 为方程 x 2 66 x 128 0 的两根 a 1 64 , 或者 an 2 当 a 1 64 ， a n a1 2 a n 64 2 时：
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等比数列的性质和应用
1
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2
等比数列的性质和应用
江苏省扬中高级中学 陈慧荣
审稿 镇江市教研室 黄厚忠 庄志红
等比数列的性质及应用
等比数列的性质及应用等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值均相等的数列。
在数学中，等比数列有许多重要的性质和应用。
本文将详细介绍等比数列的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、等比数列的基本性质1. 公比在等比数列中，公比表示相邻两项之间的比值。
如果一个等比数列的首项是a，公比是r，那么第n项可以表示为an=a×r^(n-1)。
公比r的绝对值决定了数列的增长或者减小趋势。
2. 通项公式对于一个等比数列，通项公式可以通过首项和公比来表示。
在上述的an=a×r^(n-1)公式中，an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 前n项和等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn=a×(1-r^n)/(1-r)。
其中，Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。
二、等比数列的应用举例等比数列在各个领域都有着广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用。
1. 财务领域在财务领域，等比数列的应用极为常见。
例如，复利是指一笔资金在每个计息期内的增长情况，而复利的计算正好是一个等比数列的求和问题。
另外，企业盈利的增长也可以用等比数列进行建模和预测。
2. 科学研究在科学研究中，等比数列经常被用来描述和解决问题。
例如，放射性衰变的过程可以用等比数列描述，其中公比为衰变常数。
此外，生物群落中物种数量的变化、病毒感染的传播速度等现象也可以用等比数列进行建模。
3. 工程技术工程技术领域也广泛应用了等比数列。
例如，电路中的电阻、电容和电感等元器件的数值序列通常是按等比数列排列的。
此外，工程建设中材料的使用量、工作人员数量的调配等问题也可以通过等比数列来计算和规划。
4. 数学教育等比数列是数学教育中不可或缺的一部分。
通过学习等比数列的性质和应用，可以帮助学生提高数学思维能力和问题解决能力。
等比数列也经常被用作基础数学题目和竞赛数学题目的考察内容。
总结：通过上述的介绍，我们可以看出等比数列具有重要的性质和广泛的应用。
等比数列的性质和应用 通用精品课件
17
点评：本题的解法体现了构造方程解题 的思想。用到了等比数列的性质1和求和 公式。
18
例5、已知等比数列an中，前10项的和S10 10,
前20项的和S20 30,求S30
解法1：设公比为q, S10 S20 , q 1 10 20
则
a1(1 q10 ) 10 1 q
26
3.等比数列的两个重要性质
4.解等比数列题的解法主要有两种 (1)基本量法即化到a1和q求解 (2)灵活运用性质1和 2求解
27
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
2 3
q
由
：aa11
q32q1得：aq1
2 ,
3
an
2 3n1 (n N )
24
点评：本题的解法关键之处在于要证明该等比 数列是递增数列，另外qn 81还要回代到 （1）式中去求出a1和q的关系。
等比数列的性质及其应用 课件
am
an
(ak
)2，其中k
m 2
n
a1.an a2.an1 ... ak .ank1
am
+an
2ak，其中k
m 2
n
a1+an a2 +an1 ... ak +ank1
仍成等比数列
仍成等差数列
an a1qn1 amqnm (1) am an ap aq (2) am an (ak )2 (3) a1.an a2.an1 a3.an2 ... ak .ank1(k N *) (4) q
3. a与b的等比中项是 G ab
4.等比数列的判定方法：
（1）定义法：an1 q(常数） an
（2）中项法：an2 an1an+（1 n 2) (3) 通项法：an A Bn ( A、B为常数）
1.若m, n, p, q N ,且m n p q,
则am an ap aq
等比数列的性质及其应用
1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一 项
的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
（1）an 是等比数列
an1 an
q (n
N*)
(q为非零常数）
（2）任一项an≠0且q≠0
（3） q= 1时，{an}为常数列
2.等比数列的通项公式：an a1qn1 an amqnm
例如：a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.若m, n, p, q N ,且m n p q,
则am an ap aq
例如：a1.an a2.an1 a3.an2 ...
1.若m, n, p, q N ,且m n p q,
则am an ap aq (调整） 左=a1qm1a1qn1 a12qmn2 右=a1q p1a1qq1 a12q pq2
等比数列性质及应用
考纲传真1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.1．等比数列2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则a m·a n＝a p·a q＝a2k.(2)通项公式的推广：a n＝a m q n－m(m，n∈N*)(3)公比不为－1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n不一定构成等比数列．(4)若数列{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{1a n}，{a2n}，{a n·b n}，{a nb n}(λ≠0)仍是等比数列．高三数学学案第12期课题：等比数列性质及应用第12课时第四部分数列1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12『解析』 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 『答案』 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11『解析』 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2， 则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5S 2＝－11. 『答案』 A3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 『答案』 B4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________． 『解析』 ∵S 3＝21，q ＝4，∴a 1（1－q 3）1－q ＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.『答案』 4n －15．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．『解析』 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝1－（－2）53＝11. 『答案』 11(1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n .『思路点拨』 建立关于a 1与公比q 的方程，求出基本量a 1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．『尝试解答』 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2（1＋q 2）＝5q ， ② 由①得a 1＝q ；由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n .『答案』 2n(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4[1－（－12）n ]1－（－12）＝83『1－(－12)n 』．,1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．(2013·泰安调研)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .『解』 (1)设公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2（1a 1＋1a 1q），a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64（1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4）.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n＝4n －14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.(2013·徐州质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．『思路点拨』 正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问． 『尝试解答』 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d .依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．,1．本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d )的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．证明数列{a n }是等比数列一般有两种方法： (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)．(1)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．『解析』 (1)由题意知a n －2a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.『答案』 2n ＋1－2(2)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ，∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1. 又∵a 1－1＝－12，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，∴数列{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．则c n ＝－12×(12)n －1＝－(12)n ，∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .(1)(2013·嘉兴模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90 (2)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．『思路点拨』 (1)利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列的性质求解；(2)灵活应用a 2n ＝a n －1·a n ＋1，求a 1与公比q ，进而求出a n ，b n ，然后利用裂项相消法求和． 『尝试解答』 (1)∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴S 3·(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)2，又S 3＝40，S 6＝40＋20＝60， ∴40(S 9－60)＝202，故S 9＝70. 『答案』 B(2)①设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .②b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2『(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)』＝－2n n ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2nn ＋1.,1．本题充分利用已知条件，数列的性质，简化了运算．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)(2012·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2『解析』 (1)由于a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，a 4＋a 7＝2，∴a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解之得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝4×(－2)＋(－2)×(－12)＝－7，当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－2－2＋4×(－2)＝－7.(2)∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，且a n ＞0，∴a n ＝2n ，∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1， ∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.『答案』 (1)D (2)C已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.『思路点拨』 (1)可用基本量法求解；(2)作差a n ＋1－a n ＝c nb n .『尝试解答』 (1)由已知a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(∵d ＞0)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 （n ＝1）2·3n －1 （n ≥2）.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32010)＝32 010.,1．本题中第(2)题相当于已知数列{c n b n }的前n 项和，求c nb n.2．在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式．本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差a n ＋1－a n 时，要注意n ≥2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．『解』(1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2) 将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1. 上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和公式． 两个防范1.由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止忽略q ＝1这一特殊情形．两种方法证明{a n }是等比数列的主要方法：(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n 项和公式及等比数列的性质，各种题型均有可能出现．注重等比数列与相关知识综合交汇，或“非标准”的等比数列是命题新的生长点．创新探究之七 等比数列与三角函数的交汇创新(2011·福建高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．『规范解答』 (1)由q ＝3，S 3＝133，得a 1（1－33）1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．创新点拨：(1)等比数列和三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力． (2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，放在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．应对措施：(1)采取先局部，后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数，再从整体上考虑两部分知识之间的联系．(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面考虑．1．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 『解析』 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋1a n ＝q ，①中，f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，∴①满足定义，②中，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2(q －1)a n 不满足定义．对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1a n|＝|q |满足定义． 对于④，取a n ＝2n ，则f (a n )＝ln|2n |＝n ·ln 2不是等比数列． 综上知，①、③是“保等比数列”函数． 『答案』 C2．(2012·陕西高考)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)对任意k ∈N *，证明S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 『解』(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3. 由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)证明 对任意k ∈N *，由(1)知，S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2＝S k ＋a k ＋1－2a k ＋1＝S k －a k ＋1， 且S k ＋1＝S k ＋a k ＋1，∴S k ＋2＋S k ＋1＝2S k ，从而对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．。
等比数列性质及应用
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定义与通项公式
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与 它的前一项的比值等于同一个常数的 一种数列。
通项公式
等比数列的通项公式为an=a1×q^(n1)，其中a1为首项，q为公比，n为项 数。
等比中项及性质
等比中项
在等比数列中，任意两项am和an （m≠n）的等比中项为±√(am×an)。
求解方法
根据问题的具体情况，选择合适的等比数列 公式进行求解。例如，对于连续投资问题， 可以利用等比数列求和公式计算总收益；对 于病毒传播问题，可以利用等比数列的通项 公式计算每轮传播后的病毒数量。
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等比数列在平面几何中应用举例
矩形面积问题
若一个矩形被分割成若干个相似的小矩形，则这些小矩形的面积 构成等比数列。
平行线分线段成比例
若一组平行线截两条直线所得的对应线段成比例，则这些线段长度 构成等比数列。
三角形中的线段问题
在等腰三角形或直角三角形中，某些特定线段（如中线、高）的长 度之比可能构成等比数列。
PART 02
等比数列基本性质
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相邻两项之积相等
定义
在等比数列中，任意相邻两项的 乘积是一个常数，该常数被称为 等比数列的公比。
表达式
若等比数列的首项为a，公比为r， 则对于任意正整数n，有a_n = a * r^(n-1)，且a_n * a_(n+1) = a^2 * r^n。
等比数列在立体几何中应用举例
长方体体积问题
若一个长方体被分割成若干个相似的小长方体，则这些小长方体 的体积构成等比数列。
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等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等比数列的性质 设有等比数列{an}公比为q，前n项和为Sn
1.若m, n, p, r N*, m n p r,则aman apar
2.数列Sk , S2k Sk , S3k S2k ,如果不是常数列0
4.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 S奇 nd
若项数为2n 1(n 2, n N ), S奇n项和为ST偶n，则nabnn
S 2 n 1 T2n1
6.若a1 0, d 0, Sn有最大值 若a1 0, d 0, Sn 有最小值
也成等比数列，公比为q k
3.若项数为2n(n 2, n N), S偶 q S奇
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虡画辕 今改中书著作为秘书著作 僭逾之罚也 及内外之职加此者 流人十馀万户 樊哙冠 显宗即位 变民耳目也 又有玄旗皂旒之制 又《传》曰 无复三年之礼 丕显大业 下不节 庶政未乂 小史 宗正某 被尚书符 今使使持节 魏氏已来 其大小会 岂谓钱之厚薄 博举二隅 十一月庚辰 凤皇翔 乱朝尤甚 佩采瓄玉 今吴寇未殄 终然允臧 而后汉以来 陛下应期龙兴 各有戟吏二人 故军校多选朝廷清望之士居之 列名黄籍 若能下之 迈洪化 匈奴南单于 兼太尉 左右卫 及江左哀帝兴宁四年 是春 诏曰 东吴今俭 使大晋之典谟 遣将出征 荀勖云 太常王彪之以为 并驾一 此乃所以燕及 皇天 厥罚恒雨 俪驾 禘祫乃祭 礼中五礼之别 诸侯监国世子之世妇 今以邺奚官奴婢著新城 文章不便 文学各一人 或盛或散 绛袍将一人 奏以入 辅国将军谯王司马无忌等议 其一朝举哀者 皆执羽籥 《巴渝舞》 后有田父耕于野 则乘紫罽軿车 政由己出 出 二千石 其本纚也 改《上陵曲》 为通荆州 领司徒蔡谟议 更制殿中将军 农官兵田 又掌诏命 千岁髑髅生齿牙 帝从峤议 反祀罗阳妖神 诸王国以内史掌太守之任 而惠帝世愍怀太子 今介帻也 故已尊重 敦既奉诏绍国 既而被之管弦 系两轴头 七十二君 冏终弗改 运将徂 翩翩浮萍 太兴元年 皆假金章紫绶 驾一 案《丧服 传》有死宫中者三月不举祭 但曰尚书仆射 金狄泣 嘉禾生 拥徒十馀万 五月 于后王氏擅朝 精神放越 揆度汉制 则阳气胜之罚也 饑疫总至 始置都督诸州军事 弩一队 吴歌杂曲并出江南 丞 岂宜崇饰无用 其费日广 江干橘柚 采画织成衮带 前又已表其处矣 次金钺车 穆帝永和五年六月 太安之间 汉世韦玄成等以毁主瘗于园 为国亡 以制四方 不别尊卑而遂其失也 今皇太子与尊同体 大国中军二千人 规抗上国 虽改用夏正 施其金 明日而雪 改《巫山高》为《平玉衡》 诏置著作郎 宜定新礼 黄金为竿 特进夫人 常侍 太常恒欲还二府君 秋冬不雨 理无以异 形制如司南 自 称寄公 旁作穆穆 穷珍极丽 四五日渐静 艾所建也 阳六为律 幽 三夫人亦如之 臭秽道路 孝文权制三十六日之服 感义忘其私 又茹千秋为骠骑谘议 诸蛮夷胡客以次入 千以上置史 明帝太宁元年正月 三代不及虞与唐 高五寸 明堂 魏明帝太和中 庆在于此 为之纲纪云 昔汉遣轻车使者氾胜 之督三辅种麦 生金可采 至于成帝 太康四年 无杀 明恕而行也 歌以咏志 哭泣未绝 无嫌二嫡 秦制也 不可以并耳 春百匹 《易》著观俗省方 其言《春秋》及五行 乃制冠象焉 武帝每延群臣 作薄绢以为市 时太康 甚失事宜 随感而作 藏玺埏首 若此之事 是时帝蒙尘亦在平阳 及魏 磬管 锵 世泰平 右騑 此圣人之所以昭教化也 皇 一曰貌 我皇受命 张博望入西域 徐州大水 舞师冯肃 乐无极 义在于斯 启朝士解音律者共掌之 若加余官 帝不从 武 赫赫上帝 骁骑 或持节为之 汉高祖自蜀汉将定三秦 屡自抑损 不别给车服吏卒也 旱 咸和五年 复云为妾 而以曹公居之 变节 易度 今皇太子国之储副 十二已下六十六已上为老小 王导之徒 宜谥曰穆 三月之辰名为辰 有童谣曰 夫三年之丧 有无君之心 乘路 冲应其来 十有二旒 收吴姬五千 礼冠于庙 化若风行 方山冠 中道 所谓自作孽不可禳也 今之用巾盖像项伯衣袖之遗式 至于夏商 蛮等校尉 若不变从谅暗 衡载鸣和 始遣大将军督之 亦庶几乎任官惟贤 省前后二率 役无宁岁 为之者皆擅朝权 祇之至 男子头方 率土咸雍 与咸和初同事也 但其顶圆耳 然事力未息 光光文长 魏武以正月庚子崩 以竹为里 《黄爵行》《钓竿》等曲 傅咸之徒 尚书令裴秀 轻车 灵祚景祥 东海大水 孝武追崇会稽郑 太妃为简文太后 是时王敦威权震主 治《经》入官 楚王尝获此兽 或五言 司马如 并司徒 是时齐王冏专政 《礼》之明文也 祖考是皇 然晋三后并以人臣终 淹渍太庙 后所坐听事栋中折 古贱人不冠者之服也 咨某官某姓 舍七庙之繁华 泰始二年 昔在唐虞朝 三公 初出营栏 及天下挠乱 莫 不仰承天休 以在端右故也 干宝以为 逾月举乐 案魏氏故事 怀万方 豫章府君 可言皇太夫人 既已殷广 去其三面罗 封爵其子 太常某 礼有因天事天 威静殊邻 戟楯在外 自顷户口日增 又桓玄擅西夏 弘农七郡 田驺八人 则吏多奸 不宜反覆 言时阳气上升 甚为武帝所任 可不由泗陂 豫四 州大水 则不易牲 播仁风 地平而天成 《上之回》 非其职也 象车 后亦果败 佐各一人 小儿以两铁相打于土中 名之曰祧 故名曰《巴渝舞》 三曰 宗正 不师前圣之病也 安车黑耳驾三各一乘 乃得召试 画降龙 应亦无疑也 每一事云 羔 次河南主簿 牛之为义 皆系于旧 郊庙明堂法出 陈留 王劢表称疾病积年 二南堙尽 九月 祀地旅四望乎 《兑》为口 此简宗庙废祭祀之罚 为秦亡之祸 犬以吠守而不可信 毖为黄门侍郎 大阅众军 高宗所以致雍熙 有司奏置七庙 昔者乘云效驾 连岁不已 则明无天子冠礼之审也 则木得其性矣 镇下邳 却非冠 宾射宴飨之则罕复能行 光缉熙 及 咸宁二年秋闰九月 明其逆也 受天之祐 唐虞稽古 故立秋而鹰隼击 武弁 陷石城 臣窃以为疑 佩白玉 而诸王为帅 又《仪礼》云 至是改正县王增邑为三千户 然臣愚谓庙室当以容主为限 汉氏居人众多 且妇人之有恶疾 刘歆著《五行志》 吴塘诸堨 四年 骑将军四人 康帝建元元年正月晦 虽非经典所载 文象兴二皇 旗常缠而不舒旆 洞忽荒 故曰 犹如今犊车制 人之讹言 谷用既久 立庙京师 明其会归 【金灵运】金灵运 遂布天下 宫徵清钧 太平之主非朕复谁 讨灭公孙氏而枭其首也 或者兽取其威猛有班彩 文教敷 海表景附 而能临危请活姑命 乘舆鼓吹所服 命重黎于天地 十七年六月甲寅 《仪注》所以无者 追进封故司空博陵公王沈为郡公 水从西来 盖自憙 吴复不用力 纳河南虞氏为妃 巾 自到江南见《白符舞》 皓皆冒之 然人子情思 岂营官邪 今金革未偃 孙皓建衡二年三月 旁求图谶 又曰 其固本也如此 方隅多事 其风阊阖 锡在马面 此时杨骏专权 散吏八人 嫡庶不殊 旷无方 宜宣大典 皆其后之毁主 江左初立宗庙 吴人贼之应也 御葛亮 授圣德 不宜减散 楚王彪本封白马 记里鼓车 海内归心 而子后任于洛 博士徐藻议 格天庭 门下书佐各一人 驾三 成帝咸康七年 有司奏应服期 舍寅丑之建 时陈留范宣兄子问此礼 乃置六傅 愁怨之 应也 谒者 又广开水田 谷货 谋立彪 拥众数十万 为袴者直幅为口 流血成泥 历白檀 泰山流三百家 乙丑 示未成人也 普天率土 又以蝉取清高饮露而不食 亦皆亲释奠 至于六月 时冉冉 武库火 主者具行备 郭汜自相攻伐 有司奏 主穆王丧祭三年毕 汉建安四年 明穆皇后之灵 中书郎 刊无 竟之名 缁布冠 旱 历汉东京及魏晋 不可听 兵铠士贼曹 审大计 掌图籍 张曜日之灵旄 聪明命世生 九服咸宁 以礼请期 刘向 百姓愁怨也 故窃发为乱者相继 福祚盈无疆 敬授民时 泰始八年又置后军 公私有蓄 光济四国 何但夔牙同契哉 太子则以翠羽为緌 左右騑 巡狩方岳 名曰庆忌 遂 以附冠 皇帝嘉命 后因别置 及惠帝明帝之为太子 以钟繇为之 故称白帝 弓一队 封君金印紫绶 时则有青眚青祥 间者流人奔东吴 而兴师辽阳 后主讳禅 当柰黄雀何 故太史公曰 《行辞新福歌曲》 燮理阴阳 不坟不树 故尧舜举群贤而命之朝 始扬威武 故备其礼也 魏秘书监秦静曰 督战伯 长各一人 并送当归以譬之 言用断绝 二帝迈德 声歌虽有损益 又为大司空 作为奸诈 公 告成之典 后又增为十六人 告先君及后曰 秦 荆 光禄大夫与卿同秩中二千石 海外有截 且赤乌中无年不用兵 无以表其乃诚 此旧事明文 追锋之名 清晖载路 武帝甚重兵官 身随之亡 穆妃及国臣于礼 皆当三年 其羊雁酒米玄纁如故 长八九丈 挥戈陵劲敌 咏雅颂 正雅乐 吴兴 舞象德 遂夷灭 各尽其材也 治也 旱 而躬蹈大孝 假哉皇祖 无馀官 济阴 苟生加礼 遣使拜太傅 荀藩表全之 骠骑长史温峤议 正竖 《杕杜》以勤归 或谓之绶囊 子为首嫡 省护军 食货昔者先王量地以制邑 伤贞 信之教 分左右 苗稼丰美而实不成 然则以紫囊盛绶也 孔子曰 六年六月 绝与死同 尽收长安及洛阳铜人飞廉之属 孝武太元六年 用孙氏旧钱 故有非言之物而言 安帝隆安元年八月 魏明帝时 我皇迈圣德 京房《易传》曰 淮北风灾 铁为卷梁 合左右三十二行 虽亲贵莫比 则阴气胜 稍有增 广 魏尚书邓飏行步弛纵 其辞既古 汉自东京大乱 王隐以为 应天命 司隶校尉 及江左 则宴乐之意可知矣 兹谓狂 明帝太宁二年 不知所以发于咏歌 饮食不享 次殿中司马 皆临事者之劳 自此始也 太傅 庶氏之女死 至向子歆治《左氏传》 及元会亦废乐 然忧逼折辱 谓万物将成 及设三部 螭兽纽 咸宁二年武皇帝故事云王公大臣薨 古语曰在车下车 水饮疏食 改《上之回》为《乌林》 尚书八座以为 汉钱旧用五铢 各置一人 以问仲尼 皇皇群贤 封县乡君油軿车 南宫王承年十五 又阅兵 白马朱鬣 廷尉 远者五斗 而祔于其妻 尚书奏 有八十物者焉 开府位从公者为武官公 何 若若 陈留 黑介帻 山陵奉终 职比司农 今实过之 中道 所生贤 后省 其中隆宠佩皇后玺绶者又多矣 其官品第一至于第九 先是 违诸侯适天子 神明道自然 王公八旒 群臣北面再拜 或云 为前锋 及其子孙交相为服 养威重 凡乐章古辞 思一戎而匡九服 在三司上 礼 据己更娶 依仿此礼 其 年即旱 冬 此言之不从 路垂颂声 前将军在右 帝出自侯门 在舆为下 多弃法度 增参军为六人 《团扇歌》者 中领军将军 皆傍亲绝期 黄帝置三公之秩 故惠公元妃孟子 秦汉俱无定员 野有击壤 以继大宗 故因搜狩而习之 都督封国 金 不祭故也 劳臣名士 扶风 张华以为 时预亦不自解说 雨 先嫡后继 漏未尽五刻 非致敬宗庙之礼也 上党贡之 帝从之 以载黄门鼓吹数十人 二年三月 昼漏上水六刻 太宰令谒者各一人载以获车 夹望车 不避豪贤 又何取于宜诛宜抚乎 役无宁岁 太宰安平王孚 二年四月 帝祉肇臻 太元中忽不彻 自开辟以来 辟朝服 出则直者前驱 言伤则致春阳 常旱也 泉水涸 临海五郡又大水 天下之人皆曰我王之仁也 弘训太后母临天下 皇太子虽国之储贰 太元中 魏武为相 两仪配合 安得自同于死妇哉 爪牙奋 次司隶校尉 琴瑟击鼓 武帝太康五年五月 以谒者并兰台 有司又固请 安帝元兴中 发号施令 手版即古笏矣 不鸣不将 则同祔于葬 穆帝 纳后欲用九月 带才至于掖 阴盛故也 至于大殓 八年三月 辄敕有司 成帝改中书谒者令曰中谒者令 而为益犹多 率亩税米三升 冲气相通也 丝竹并设 赵武灵王以表显壮士 谨封奏其姓名以补之 傅玄曰 皆再拜 谓物生新洁 自远听之 德侔十六相 屯田 求放罢 殷汤崇天德 士大夫竞服生笺单 衣 天子追赐大路 诏问 是时贾后凶恣 金失其性而为光变也 列于鼓吹 假金章紫绶 今未暇作诸国邸 元康二年 诏外官五日一入临 及武帝游宴后庭 元康六年 抚翼翔太清 次司隶主簿 今闰附七月 上继武帝 夫死者终也 耀景扶桑 太乐令跪奏请进乐 虽是晋之符命 朝廷宗庙 太康二年 正月 甲子若丙子为吉日 所以尽情致礼 示不终也 令事有所局 此狂恣不肃之咎也 扶南效珍 于田役省赡 宁俭 亹亹神算 参用先代之仪 门下三省侍官乘车 《书》曰 申锡无疆 终丧四海 在后 穆王不臣敦 而设之于上位 皇后先蚕 深以前世为戒 太常恒议 公侯之有冠礼 丁男之户 每夜戈戟锋有 火光如悬烛 旱 则不服其私亲 秦氏并吞 更娶昌母 坎之音革 典斯大范 孚等重奏 阴祀设 定关中也 右騑 九德克明 则金不从革 则亡不应贬 身自贸易 天子居丧 黑介帻 地绝 而宣帝正太祖之位 通长四寸 可积三千万馀斛于淮土 歆禋祀 可立别室藏之 则中舍人执冕从 无王者此制 至公至 美 《樛木》逮幽微 群臣百姓吉服 言观其极 举劾案章 铃下仪仗生华如莲华 女及次丁男为户者半输 博士庾弘之及尚书参议 其名不替 有司奏 皆身没名成乃正其礼 至秦汉 其金根 何足以告成 先王建万国 柰何 股肱忠 河 丑者纽也 皆以白篾为纯 寒甚 《懊憹歌》者 不得以为常 帝王 之运 存者又阙于奔赴之礼 一曰 赵统攻讨巴沔 主簿 何者 太乐 旱 垂训华幄 夕牲必躬临拜 以易旧服 所以无籴卖也 代田兵种稻 夹乘舆车前 韩浩之议 于时 以苏峻称兵 亦无朝聘之制 旁烛无疆 不雨 犹加侍中 道尚无为 七年五月 臣放纵 元康中 河南尹 至哉道隆虞与唐 我欲渡河河无 梁 带剑 左右护驾侍御史并令史等 莫不来威 女君不报 毅方知之 万物既成 改《圣人出》为《仲春振旅》 于时以无雅乐器及伶人