北京东城区2015届高三上学期期末考试 数学理

北京东城区2015届高三上学期期末考试
数学理
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{0,1}A =，
2{|4}B x x =≤ ，则A B = （A ）{0,1} （B ） {0,1,2}
（C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤
（2）在复平面内，复数i
1+i 对应的点位于
（A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）设a ∈R ，则“
2a a >”是“1>a ”的 （A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于
（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44
（5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，
输出的S 值为
（A ）6
（B ）8
（C ）14
（D ）30
（6）已知函数
1
3
log,0,
()
2,0,
x
x x
f x
x
>
⎧
⎪
=⎨
⎪≤
⎩若
1
()
2
f a>
，则实数a的取值范围是
（A）
(1,0)(3,)
-+∞（
B）
(1-
（C ）
3
(1,0)(,)
-+∞
（D）
(-
（7）在空间直角坐标系
O xyz
-
中，一个四面体的顶点坐标为分别为
(0,0,2)
，
(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为
（（（
（8）已知圆
22
:2
C x y
+=，直线:240
l x y
+-=，点
00
(,)
P x y
在直线l 上．若存在圆C上的点Q，使得45
OPQ
∠=（O为坐标原点），则0x的取值范围是
（A）
[0,1]（B）
8
[0,]
5（C）
1
[,1]
2
-
（D）
18
[,]
25
-
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线
22(0)
y px p
=>的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为．
（10）若实数
,x y满足
10,
10,
3,
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≤
⎩则3
z x y
=-的最大值为_______．
（11）在△
ABC中，3
a=，b=60
B=，则c=；△ABC的面积为_______．
（12）已知向量a，b不共线，若（λ+
a b）∥（2
-
a b），则实数λ=_______．
C （13）已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且)2(+x f 为偶函数．若1)1(=f ，
则=+)9()8(f f ．
（14）如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形, 2PD AD ==，M ，N 分别为线段AC 上的点．若︒
=∠30MBN ，则三棱锥 M PNB -体积的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，
演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分） 已知函数
()sin()(,0,0,||2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R 部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π
个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数
()g x 在区间[0,2π上的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）
已知数列{}n a 是等差数列，满足23a =，56a =，数列{2}n n b a -是公比为3等比数列，且2229b a -=．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
C
B
P
（Ⅱ）求数列
{}
n
b
的前n项和n
S
．
（17）（本小题共14分）
如图，PA⊥平面ABC，AB BC
⊥，22
AB PA BC
===，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A PC B
--的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD AC
⊥，并求
PD
PC的值．
（18）（本小题共14分）
已知函数
2
()(21)ln
f x ax a x
x
=-+-
，
2
()2ln
g x a x
x
=--
，其中a∈R．
（Ⅰ）当2
a=时，求曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线方程；
（Ⅱ）当0
a>时，求)
(x
f的单调区间；
（Ⅲ）若存在
2
1
[,e]
e
x∈
，使得不等式
()()
f x
g x
≥成立，求a的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x
轴上，短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为
1
2的直线l交椭圆C于A，B两点，
求证：22||||PB PA +为定值．
（20）（本小题共13分）
对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.
（Ⅰ）试问数列:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设数列123:,,A a a a ，对数列A 进行“T 变换”，得到数列:,2,()B b a a b ≥，若数列B 的各项之和为2014，求a ，b 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由.。