人教A版高中数学必修1--作业3 1.1.1-3集合的含义与表示 --含解析

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人教A版数学必修一课时作业1集合的含义与表示

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）课时作业1:集合的含义与表示一、选择题：1. 下列各组对象不能组成集合的是( )A ．里约热内卢奥运会的比赛项目B ．中国文学四大名著C ．我国的直辖市D ．抗日战争中著名的民族英雄2.集合{2}x N|x ∈-<，用列举法表示是( )A.{01234}，，，，B.{1234}，，， C {01234,5}，，，， D.{1234,5}，，，3.下列对象能构成集合的是( )A.高一年级全体较胖的学生B.sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点4.设集合{1,2,4}A =，集合{|,,}B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合B 中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75．下列各组对象中不能构成集合的是( )A ．正三角形的全体B ．所有的无理数C ．高一数学第一章的所有难题D ．不等式2x ＋3>1的解6.若21{2,x x ∈+}，则x =( )A.1-B.1C.11-或D.07.下列各组中的两个集合A 和B 表示同一集合的是( )A.{}{}π, 3.1415926A B ==B.{0,1},{(0,1)}A B ==C.{}{}21,0,1A x x B =∈==RD.{}{}*|11,1A x x B =∈-<≤=N8.下列所给关系中，正确的个数是( ) ①2∈Q ；② 0N ∈；③2016Z ∉A ．0B ．1C ．2D ．39.方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x ，的解集不可表示为( ) A.3{(,)|}1x y x y x y +=⎧⎨-=⎩ B.1{(,)|}2x x y y =⎧⎨=⎩ C.(12)， D ．{(1,2)} 10．已知集合1,2M x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1,2k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，若0x M ∈,则0x 与 N 的关系是( ) A.0x N ∈ B.0x N ∉ C.0x N ∈或0x N ∉ D.不能确定11.若集合2{|10}A x R ax ax =∈++=其中只有一个元素，则a =( )A.4B.2C.0D.0或4 12.若集合2{|20,}A x mx x m m R =++=∈中有且只有一个元素，则m 的取值集合是( )A.{1}B.{1}-C.{11}-， D.{101}-，，二、填空题13．已知集合2{2,2}A m m m =++，若3A ∈，则m 的值为________．14．若集合{}{}2,0,1,1=-=B A ,则集合{}B y A x y x z z ∈∈+=,,中的元素个数为_________.15．集合A 中含有三个元素0，1-，x ，且2x A ∈，则实数x 的值为________．116．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20172018a b += .三、解答题：17．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1- 且小于5的整数组成的集合A ；（2）方程x 2−9＝0的实数根组成的集合B ；（3）小于8的质数组成的集合C .18．设集合B ＝{x ∈Z |63x- ∈N}．（1）试判断元素1,-1与集合B 的关系；（2）用列举法表示集合B .19.．已知集合{}2210A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R .（1）若12A ∈，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B .参考答案1.D2.A3.D4.C5.C6.B7.D8.B9.C 10. A 11. A 12. D 13.32m =-; 14.3; 15.1； 16. −117.解：（1）大于−1且小于5的整数包括0，1，2，3，4，所以A ＝{}0,1,2,3,4．（2）方程x 2－9＝0的实数根为－3，3，所以B ＝{－3,3}．（3）小于8的质数有2，3，5，7，所以C ＝{2，3，5，7}．18.解：（1）当x ＝1时， 631-＝3∈N.当x ＝-1时，631+＝32∉N.因此1∈B,-1∉B.（2）因为x ∈Z ， 63x -∈N ，所以3－x ＝1,2,3,6.此时x ＝2,1,0，－3，所以B ＝{2,1，0,-3}．19.解：(1)因为12∈A ，所以12是方程2210ax x ++=的根，所以21121022a ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭，解得8a =-.所以方程为28210x x -++=. 所以1211,24x x ==-，所以A ＝11,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.（2）若0a =，则方程为210x += 所以12x =- ，A 中仅有一个元素；若a ≠0，A 中仅有一个元素，则440=a ∆-= Δ＝4−4a ＝0，即a ＝1，方程有两个相等的实根121x x ==-，所以所求集合B ＝{0,1}．。

新课标人教A版高中数学知识点总结

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.+（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a e M，或者a电M，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合③描述法：｛x|x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集•②含有无限个元素的集合叫做无限集•③不含有任何元素的集合叫做空集（0）.【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A有>个元素，则它有n个子集，它有n一个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算8）交集、并集、补集交集AQB{x I x e A,且x e B}（1）AA=A⑵An0=0⑶AnB匸AAQB u B并集AUB{x I x e A,或x e B}补集{x I x e U,且x电A}（1）AUA=A（2）AU0=A（3）AUB-AAUB-Bi An（C A）=02Au（c A）=UU U（AA B）=（C A）U（B）UUU【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集I x I<a（a〉0）{x I一a<x<a}I x I>a（a〉0）x I x<-a或x>a}I ax+b l<c,I ax+b I>c（c〉0）把ax+b看成一个整体，化成丨x I<a，I x I>a（a〉0）型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式A=b2一4acA>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c（a〉0）的图象\\//I\11V1111I tIV °卜\yO一元二次方程ax2+bx+c=0（a〉0）的根x=-1,2（其匸bx=x=—122a无实根1±Jb2一4ac2ahx<x）112ax2+bx+c〉0（a〉0）的解集{x I x<x或x〉x}「b、{x I x丰一——}2aRax2+bx+c<0（a〉0）的解集{x I x<x<x}1200〖1.2〗函数及其表示1.2.1】函数的概念1)函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作/:A T B.②函数的三要素：定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.2)区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且a<b，满足a§x§b的实数x的集合叫做闭区间，记做［a，b］；满足a<x<b的实数x的集合叫做开区间，记做(a，b)；满足a§x<b，或a<x§b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b)，(a,b］；满足x>a,x>a,x§b,x<b的实数x的集合分别记做［a,),(a,),(—g,b］,(—g,b).注意：对于集合｛兀1a<x<b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a<b.3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数.②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.⑤y=tan x中，x丰k兀+—(k G Z).2⑥零(负)指数幕的底数不能为零.⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为［a，b］，其复合函数/［g(x)］的定义域应由不等式a§g(x)§b解出.⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法：若函数y二f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)二0，则在a(y)丰0时，由于x,y为实数，故必须有'二b2(y)-4a(y)-c(y)>°，从而确定函数的值域或最值.④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法5)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6)映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则/)叫做集合A到B的映射，记作f：A T B.②给定一个集合A到集合B的映射，且aG A，bG B•如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值X 、x ，当x<x 时，都12•1••2有f(x)〉f(x)，那么就说•••12•f(x)在这个区间上是减函数•yo(1)利用定义y=f(x)(2)利用已知函数的 f(x )N. 单调性1f (X )(3)利用函数图象(在f(x)某个区间图 xx x象下降为减)12(4)利用复合函数(2)打““”函数f (x )-x+x (a >0)的图象与性质(3) /(x )分别在(一a 厂、2］、W'a ,+8)上为增函数，分别在S ，°)、(0,2］上为减函数.q 石£最大(小)值定义V -24a\② 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数y 二f ［g (x )］，令u 二g (x )，若y 二f (u )为增，u 二g (x )为增，则y 二f ［g (x )］为增；若y 二f (u )为减，u 二g (x )为减，则y 二f ［g (x )］为增；若y 二f (u )为增，u 二g (x )为减，则y 二f ［g (x )］为减；若y 二f (u )为减，u 二g (x )为增，则y 二f ［g (x )］为减. ①一般地，设函数y 二f (x )的定义域为1,如果存在实数M满足：(1)对于任意的x e 1f (x )<M ；(2)存在x 0e1，使得f (x 0)-M•那么，我们称M是函数/(x )记作f (x )二M .max②一般地，设函数y 二f (x )的定义域为I ，如果存在实数m 满足：(1)对于任意的x e 1，都有f (x )=m ；(2) 存在x 0e1，使得f (x 0)-m .那么，我们称m 是函数/(x )的最小值，记作f (x )-m .00max【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个X ，都有f(—x)=—f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.-a-(a,f (aj)KT .(1) 利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2) 利用图象(图象关于原点对称)jy(-a.0K/(j)-xi-—(d>0)，都有如果对于函数f （x）定义域内（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）h、°左移h个单位>y=f(x+h)y=f(x)m>y=f(x)+k ②伸缩变换y=f(x)°<吧1申>y=f(①x)®>i,缩y=f(x)°申申申>y=Af(x)A>1,伸③对称变换y=f(x)原点>y=-f(-x)y=f(x)直线y=<>y=f-1(x)去掉申轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象>y=f(I x l)y=f(x)<保留x轴上方图象<将x 轴下方图象翻折上去②若函数f（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则f（°）-°.③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数.〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具•要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数（I）〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幕的运算（1）根式的概念①如果x n=a，aGR，xGR，n>1，且nGN，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根用+③根式的性质：(na)n=a；当n为奇数时，n an=a；当n为偶数时,(a>0)(a<0)符号n'a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号一n a表示；0的n次方根是0；负数a 没有n次方根.②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a、0.2)分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幕的意义是：a n二nam(a>0,n e N,且n>1).0的正分数指数幕等于o.+m1m f1②正数的负分数指数幕的意义是：a一n=(一)n=n：(—)m(a>0,n e N，且n>1).0的负分数指数幕没a¥a+有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．3)分数指数幂的运算性质①a r-a s=a r+s(a>0,r,s e R)②(a r)s=a r(a>0,r,s e R)③(ab)r=a r b r(a>0,b>0,r e R)【2.1.2】指数函数及其性质4)指数函数函数名称指数函数定义函数y-a x(a>0j i a丰1)叫做指数函数a>10<a<1V八y-ax/\y-a x y图象丿\y-1(0,1)(0,1)—”鼻，O x0x定义域R值域(0,+如过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y二1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数①加法：log M +log N 二log(MN )aaa③数乘：n log M =log M n (n e R )aa②减法：lo g M -lo g N 二lo gaaa N④a lo g a N =Nn⑤log M n=logM(b 丰0,n e R )ab a〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算1）对数的定义①若a x 二N （a >0,且a 丰1）,则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x 二log N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.a② 负数和零没有对数． ③ 对数式与指数式的互化：x=lo g N o ax =N （a >0,a丰1,N >0）.a2）几个重要的对数恒等式log1=0,log a =1,log a b =b .aa a3）常用对数与自然对数常用对数：l g N ,即lo g N ；自然对数：l nN ,即lo g N （其中e =2.71828...）.10e（4）对数的运算性质如果a >°，a丰1,M >0,N >0,那么log N⑥换底公式：log N —b (b >0,且b丰1)a log ab2.2.2】对数函数及其性质设函数y二f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y二f(x)中解出x，得式子x(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=(y)表示x是y的函数,函数X=9(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作X=f T(y)，习惯上改写成y=f T(X).(7)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=f T(y)；③将x=f-1(y)改写成y=f-1(x)，并注明反函数的定义域.8)反函数的性质①原函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.②函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域、定义域.③若P a b)在原函数y=f(x)的图象上，则P'(b，a)在反函数y=f-1(x)的图象上.④一般地，函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数.〖2.3〗幂函数1)幂函数的定义一般地，函数y二x a叫做幕函数，其中x为自变量，a是常数.关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限②过定点：所有的幕函数在（°，+8）都有定义，并且图象都通过点（i，i）.③单调性：如果0，则幕函数的图象过原点，并且在［°,+8）上为增函数•如果0，则幕函数的图象在（°,+8）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.④奇偶性：当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当a=-（其中p，q互质，p和q GZ），p若p为奇数q为奇数时，则y=x p是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y=x p是偶函数，若p为偶数q为奇数时, ■q则y=XP是非奇非偶函数.⑤图象特征：幕函数y二x a，xG（°，+8），当a>1时，若°<x<1，其图象在直线y=x下方，若x>1，其图象在直线y=x上方，当a<1时，若°<x<1，其图象在直线y=x上方，若x>1，其图象在直线y=x下方.〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）二ax2+bx+c（a丰°）②顶点式：f（x）二a（x-h）2+k（a丰°）③两根式: f（x）二a（x—x1）（x—x2）（a丰°）（2）求二次函数解析式的方法b 需，顶点坐标是②当a >0时，抛物线开口向上, 函数在Z ，-冷上递减’在［--2a ，+Q 上递增’当x 一2a 时' 2a 4a M (x ,0)M (x ,0),MM 曰x -x I 二I a I ① 已知三个点坐标时，宜用一般式.② 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.③ 若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f （x ）更方便.3）二次函数图象的性质 ①二次函数/（x ）二ax 2+bx +c （a 丰0）的图象是一条抛物线，对称轴方程为x 二一b4ac -b 22a'4a4ac -b 2bb 、min （X ）=石；当。

人教A版高中数学必修一：1.1.1集合的含义与表示第二课时课件(人教A版必修1)(2)

2．用描述法表示下列集合： (1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x2＋2＝0的解的集合； (3)不等式4x－6<5的解集； (4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．解：(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}． (2){x|x2＋2＝0，x∈R}． (3){x|4x－6<5，x∈R}． (4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．
2．用集合所含元素的_共__同__特__征__表示集合的方法称为描述法．具体的方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
自主探究
1．集合{x|x>1}与集合{y|y>1}是否表示同一集合？答：虽然两个集合的代表元素不同，但实质上它们均表示大于1的所有实数，故是同一集合． 2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋ 1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．它们各自的含义是什么？它们是不是相同的集合？答：集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
(3)集合语言的转化集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下：
3．用列举法表示大于2小于15的偶数全体为 ________．
答案：{4,6,8,10,12,14} 4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|， x∈A}，则B＝________. 解析：∵|－1|＝1，|0|＝0，|1|＝1，故B＝{0,1}．答案：{0,1}

高中数学必修一人教A版·数学·必修1课时作业1集合的含义 Word版含解析

A．0∉MB．2∈M
C．－4∉MD．4∈M
【解析】当x>0，y>0，z>0时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.
【答案】D
12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
【解析】因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，
所以y的值为0,1，即集合A中的元素为0,1，又t∈A，所以t＝0或1.
10．数集A满足条件：若a∈A，则 ∈A(a≠1)．若 ∈A，求集合中的其他元素．
【解析】因为 ∈A，所以＝2∈A，
所以＝－3∈A，
所以＝－ ∈A，
所以＝ ∈A.
故当 ∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－ .
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11．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()
【解析】因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0，当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.
【答案】－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)大于3的所有自然数组成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
【答案】A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列对象：①方程x2＝2的正实根，②我校高一年级聪明的同学，③大于3小于12的所有整数，④函数y＝2x的图像上的点．能构成集合的个数为___________________________________．
【解析】①③④中对象具有确定性，能构成集合；而②中对象含糊不清，不确定，故不能构成集合．
【答案】B
3．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为()

高中数学人教A版必修1《1.1.1集合的含义与表示》教案3

必修一《1.1.1集合的含义与表示》教学案教学目标1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．重点难点教学重点：集合的基本概念与表示方法．教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．教学过程导入新课思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．思路2．你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？这就是本节课我们所要学习的内容．思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”推进新课新知探究提出问题①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？②全体自然数能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？③方程x2－3x＋2＝0的所有实数根能否构成一个集合？如果能，这个集合由什么组成？④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义？讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．②能．这个集合由0，1，2，3，……等无限个元素组成，称为无限集．③能．这个集合由1，2两个数组成．④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．提出问题通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.①近视超过300度的同学能否构成一个集合？②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物.那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次？⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素？分别是什么？⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质？⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3，4，5，6，7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5，3，6，7，4，那么这还是一个顺子么？类比集合中的元素，一个集合中的元素是3，4，5，6，7，另外一个集合中的元素是5，3，6，7，4，这两个集合中的元素相同么？集合相同吗？这体现了集合中的元素的什么性质？讨论结果：①能．②不能．③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．④一次．⑤4个元素．e，v，r，y这四个字母．⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．提出问题①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a＝1.58，那么元素a和集合A，B分别有着怎样的关系？②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．③3∈A，4∉A.提出问题①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？②字母表示法中有哪些专用符号？③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？小于10的质数；不等式x－2＞5的解集.⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！⑦集合的表示方法共有几种？讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．②非负整数集(或自然数集)，记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.③两种，列举法与描述法．④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1，2}．⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．应用示例例1下列所给对象不能构成集合的是__________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1.80米的学生．活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．答案：(1)(3)例2用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{}”内，并用逗号隔开．解：(1)小于10的自然数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0，1}；(3)1～20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2，3，5，7，11，13，17，19}．点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.例3试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：针对例3(1)——列举法①方程x2－2＝0的解是什么？②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？针对例3(1)——描述法①描述法的定义是什么？②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？③如何用描述法表示所求集合？针对例3(2)——列举法①大于10小于20的所有整数有哪些？②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？针对例3(2)——描述法①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？②如何用描述法表示所求集合？解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－2，x2＝2，因此，用列举法表示为A ＝{－2，2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B ＝{x∈Z|10＜x＜20}；大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.知能训练课后练习1，2.【补充练习】1．考查下列对象能否构成集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．2．用适当的符号填空：(1)0__________N ，5__________N ，16__________N ；(2)－12__________Q ，π__________Q ，e __________C R Q (e 是个无理数)；(3)2－3＋2＋3＝__________{x |x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q }．答案：(1)∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ (3)∈3．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解：∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．∴m 只能取3.4．用适当方法表示下列集合：(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合；(2)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合；(3)不等式x －3＞2的解集；(4)自然数中不大于10的质数集．答案：(1)描述法：{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，a ≠0}．(2)描述法：⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝x ＋3y ＝－2x ＋6＝⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝4.列举法：{(1，4)}．(3)描述法：{x |x ＞5}(4)列举法：{2，3，5，7}．拓展提升问题1：设集合P ＝{x －y ，x ＋y ，xy }，Q ＝{x 2＋y 2，x 2－y 2，0}，若P ＝Q ，求x ，y 的值及集合P ，Q .活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导学生讨论：本题中集合P ，Q 对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．解：∵P ＝Q 且0∈Q ，∴0∈P .若x ＋y ＝0或x －y ＝0，则x 2－y 2＝0，从而Q ＝{x 2＋y 2，0，0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x ＋y ≠0且x －y ≠0；若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.当y ＝0时，P ＝{x ，x ，0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y ≠0；当x ＝0时，P ＝{－y ，y ，0}，Q ＝{y 2，－y 2，0}，由P ＝Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝y 2，y ＝－y 2，y ≠0， ① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝－y 2，y ＝y 2，y ≠0.②由①得y ＝－1，由②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，此时P ＝Q ＝{1，－1，0}．点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．问题2：已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中的元素至多只有一个，求a 的取值范围．活动探究：讨论关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0实数根的情况，从中确定a 的取值范围，依题意，方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．解：(1)a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，x ＝23，符合题意．(2)a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程．由Δ＝9－8a ≤0，得a ≥98.∴当a ≥98时，方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．综合(1)(2)，知a ＝0或a ≥98.点评：“a ＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a ≠0”的条件下，方程ax 2－3x ＋2＝0才是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题．问题3：设S＝{x|x＝m＋2n，m，n∈Z}．(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S？活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋2n的形式；如果能，m和n分别是多少，如果不能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋x2，x1·x2是否是集合S中的元素．解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋2×0∈S.(2)不妨设x1＝m＋2n，x2＝p＋2q，m，n，p，q∈Z.则x1＋x2＝(m＋2n)＋(p＋2q)＝(m＋p)＋2(n＋q)，m，n，p，q∈Z.∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋2n)·(p＋2q)＝(mp＋2nq)＋2(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．课堂小结本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．课后作业习题1.1A组3，4.。

人教A版高一数学必修1课后习题及答案(全部三章)

高中数学必修1课后习题答案第一章集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ；（2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=；（4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =；（6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}AB ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}AB A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U AB A B 痧?． 4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð，则(){2,4}U AB =ð，()(){6}U U A B =痧．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ；（2）23______N ；（3）π_______Q ；（4_______R ；（5Z ；（6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数；（2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数；（4R 是实数；（5Z3=是个整数；（6）2N ∈ 2)5=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ；（2）7_______A ；（3）10-_______A ．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉；（3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}AB x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ，AC ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R AB ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð，(){|2,3710}R AB x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得DC ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得U B A ⊆ð，即()U UAB B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð，得{1,3,5,7}U B =ð，而()U UB B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案第一章集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+；（2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数． 1，y ==050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与A的B 中的元素是什么？与B相对应的A 中元素是什么？（A ）（B ）（C ）（D ）4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B因为2sin 45=，所以与B 相对应的A 中元素是45．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-；（2）()f x =（3）26()32f x x x =-+；（4）()f x =． 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-；（2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x =．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =；（2）8y x=；（3）45y x =-+；（4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值；（3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩；（2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即d =(0)d x =>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=，显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即1235xt -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，3．解：该函数在[1,0]在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+；（2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=；（4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--；（2）29y x =-.1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间；（2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-；（2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+，所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数；（4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B .3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =. 4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=；（2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．人教A 版高中数学必修1课后习题及答案新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章基本初等函数（I ） 2．1指数函数练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x .所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数练习（P64）1.（1）2log 83=；（2）2log 325=；（3）21log 12=-；（4）2711log 33=-2.（1）239=；（2）35125=；（3）2124-=；（4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-；（3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =；（4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）22211lglg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞；（4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =；（4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x =(5) 100.3x = (6) xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)x c =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭。

人教新课标版数学高一-A版必修一课后训练 1.1.1.1集合的含义

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课后提升训练一集合的含义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·安庆高一检测)关于集合下列正确的是( )A.-1∉NB.∈QC.π∉RD.Q∈Z【解析】选A.由N,Q,Z,R的意义知,A正确.2.方程x2-2x+1=0的解集中元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根x1=x2=1,根据元素的互异性知其解集中有1个元素.3.(2017·中山高一检测)下列各组对象中不能构成集合的是( )A.某校高一(2)班的全体男生B.某校全体学生的家长C.李明的所有家人D.王明的所有好朋友【解析】选D.A,B,C中的元素都是确定的,而D中元素不确定,故构不成集合.4.已知集合A由元素1和a2组成,实数a不能取的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.不能确定【解析】选C.因为1和a2是集合A中的元素,故a2≠1,即a≠1或a≠-1.5.(2017·菏泽高一检测)由形如x=3k-1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是( )A.-1∉AB.-11∈AC.3k+2∉AD.3k2-1∈A【解析】选D.A中,当k=0时,x=-1,所以-1∈A;B中,令-11=3k-1,得k=-∉Z,所以-11∉A;C中,3k+2=3(k+1)-1,因为k+1∈Z,所以3k+2∈A;D中,由于3k2-1,k2∈Z,所以3k2-1∈A.6.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,那么这个四边形可能是( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解题指南】根据集合中元素的互异性判断.【解析】选A.由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们构成的四边形的四条边互不相等,因此选A.【误区警示】解答本题易忽视集合中元素必须具有“互异性”这一特征而错选答案,因此集合元素的特性是分析解决该类问题的切入点. 【补偿训练】若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【解析】选D.根据集合中元素的互异性知,集合M中任何两个元素都不相同,即对于三角形而言任何两边都不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.7.若集合A中含有三个元素1,a+b,a;集合B中含有三个元素0,,b,若集合A与集合B相同,则b-a= ( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选C.由题意知a+b=0且a≠0,即a=-b,=-1,所以b=1,a=-1,故b-a=2.8.已知x,y都是非零实数,z=++可能的取值组成的集合为A,则下列判断正确的是( )A.3∈A,-1∉AB.3∈A,-1∈AC.3∉A,-1∈AD.3∉A,-1∉A【解题指南】对x,y取值的正负分别讨论,去掉绝对值号,从而求出z 的值.【解析】选B.当x>0,y>0时,z=1+1+1=3;当x>0,y<0时,z=1-1-1=-1;当x<0,y>0时,z=-1+1-1=-1;当x<0,y<0时,z=-1-1+1=-1.所以3∈A,-1∈A.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·贵阳高一检测)方程x2-2x-3=0的解集与集合A相等,若集合A中的元素是a,b,则a+b=________.【解析】由x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,故集合A中的元素为-1和3,所以a+b=2.答案:210.设y=2x+3上的点集为P,点(1,5)与点集P的关系为(1,5)________P(填“∈”或“∉”).【解析】因为y=2x+3,当x=1时,y=2×1+3=5,所以(1,5)∈P.答案:∈三、解答题11.(10分)(2017·武汉高一检测)已知集合A中含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.【解析】因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,所以a=-1,或a=-. 当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以a=-1舍去.当a=-时,经检验,符合题意,所以a=-.【延伸探究】本题中若将条件“且-3∈A”去掉,则a的取值范围是什么?【解析】由集合中含有三个元素a-2,2a2+5a,12,得即故a的取值范围是a≠-1且a≠-4且a≠且a≠14.关闭Word文档返回原板块。

新人教A版高中数学【必修1】 1.1.1集合的表示第2课时课时作业练习含答案解析

第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3} B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2} D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }；③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．12．C [由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.]13．A [M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数，∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.]。

人教A版数学必修一作业1-集合的概念与表示(答案).docx

作业1 集合的概念与表示(答案)班级___________ 姓名__________主要学点：集合的含义，元素与集合的关系，列举法和描述法，常用数集的记法,集合相等1.下列说法不正确的是（）A . *0N ∉B ．Z ∈-5 C. Q ∈31 D. R ∉-3 答案：D 解析：3-是实数，其它都正确。

2. 以下对象的全体不能构成集合的个数是（）（1）我班的高个子同学（2）2009年中国GDP 最高的城市（3）我市中考分数580以上的同学（4）中国古代四大发明（5）我国的大河流（6）大于3的偶数A ．2 B.3 C.4 D.6答案：A 解析：(1) (5)的元素不确定，错误。

3.已知某个四边形的边长可构成集合M={a ，b ，c ，d}，那么此四边形可能是（）A ．矩形B .菱形 C.等腰梯形 D.直角梯形答案：D 解析：根据集合的元素互异性。

4.方程组⎩⎨⎧=-+=+-032042y x y x 的解集是（）A . }2,1{- B. )2,1(- C. )}2,1{(- D . }2,1{-==y x答案：C 解析：解得2,1=-=y x ，用列举法表示为C 。

5．设2231+=x ，π23+=y ，集合{},M m m a a Q b Q ==+∈∈，那么,x y 与集合M 的关系是（）A ．,x M y M ∈∈B ．,x M y M ∈∉C ．,x M y M ∉∈D ．,x M y M ∉∉答案：B 解析：2232231-=+=x ，23π+=y ,对比系数可得。

6.集合{|2, P x x k k ==∈Z },若对任意的, a b P ∈都有*a b P ∈，则运算*不可能．．．是（）A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法答案：D 解析：两个偶数的和、差、积仍为偶数，其商却不一定为偶数。

7.下列集合与集合},42|{2R x x x y y M ∈+-==相等的是（）A. },42|{2Z x x x y y P ∈+-==B. },42|),{(2R x x x y y x Q ∈+-==C. },42|{2R x x x y x S ∈+-==D. }1,12|{-≤+-==t t x x T 答案：D 解析：集合M 表示抛物线上所有点的纵坐标值的集合，与D 相同。

人教A版必修一第一章1.1.1集合的含义与表示

数集还是点集．
• 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
• 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．,
• 〔跟踪练习3〕
• 用列举法表示下列集合：
• (1)不大于10的非负偶数组成的集合；
• [知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
• (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
• (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
• 其中能够组成集合的是________. • [思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满
足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
• [解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些
标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
• ②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
• 『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑” 的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
• 2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．,
数学
必修① ·人教A版
第一章
集合与函数概念
• 据央视新闻报道，中国于2016年年中至2017年上半年间，组织实施载人航天工程空间实验室任务．中国发射了“神舟”十一号飞船，搭乘2名航天员，与天宫二号对接，在飞船进入预定轨道的过程中包含了一些可以用函数描述的变化规律，如上升过程中飞船离地面的距离随时间的变化而变化，飞船外的温度和气压随飞船与地面的距离的变化而变化，等等．

高中数学人教A版必修1练习：1.1.1 集合的含义与表示课堂强化 2020(含答案解析)

1.1.1 集合的含义与表示1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体.其中能构成集合的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是 ( ) ①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2，2}．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3.答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N ⑤π∈Q ⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的．答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z.所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z. 所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z，所以17∈β.答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有非负偶数的集合；(5)所有能被3整除的数的集合；(6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}．(3){x |x 是梯形}或{梯形}．(4){0，2，4，6，8，…}．(5){x |x ＝3n ，n ∈Z}．(6){1，2}．(7){x |2x －1>5}．。

高中数学 1.1.1第1课时集合的含义课时作业(含解析)新人教A版必修1

课时作业(一) 集合的含义[学业水平层次]一、选择题1．(2014·遵义高一检测)以下各组对象不能组成集合的是( )A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2－1＝0的实数解D．周长为10cm的三角形【解析】因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．【答案】 B2．设集合A只含有一个元素a，则有( )A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A【解析】∵集合A中只含有一个元素a，故a属于集合A，∴a∈A.【答案】 C3．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含( )A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素【解析】由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．1【答案】 A4．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4 C．4 D．0【解析】若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A若a＝6，则6－6＝0∉A，故选B【答案】 B二、填空题5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．【解析】方程x2－5x＋6＝0的解是2，3；方程x2－x－2＝0的解是－1，2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．【答案】 36．(2014·石家庄高一检测)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________ 【解析】∵P与Q相等，∴a2＝4，∴a＝±2，经检验知a＝±2满足题意，故a＝±2，【答案】±27．(2014·天津高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.23 【答案】 0或1三、解答题8．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z，n ∈Z)的数构成的，判断12－3是不是集合 A 中的元素．【解】由分母有理化，得12－3＝2＋ 3.由题意可知m ＝2，n ＝1，均有m ∈Z，n ∈Z ，∴2＋3∈A ，即12－3∈A .9．已知集合A 含有两个元素1，2，集合B 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解的集合，且集合A 与集合B 相等，求a ，b 的值．【解】 ∵集合A 与集合B 相等，且1∈A ，2∈A ，∴1∈B ，2∈B ，∴1，2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－a ，1×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.[能力提升层次]1．若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 △ABC 的三边长两两不等，故选D.【答案】 D2．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )4 A ．2 B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【解析】由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0，3，2，符合题意．【答案】 B3．已知集合A 中含有两个元素1和a 2，则a 的取值范围是________．【解析】由集合中元素的互异性，可知a 2≠1，所以a ≠±1，即a ∈R 且a ≠±1.【答案】 a ∈R 且a ≠±14．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．【解】 ∵2∈A ，由题意可知，11－2＝－1∈A .由－1∈A 可知，11－（－1）＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A .故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。

人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1.1.1集合的含义与表示¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .∈、∉表（3）{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．x 代入得a =1x =⑶方程有一解为：将x =a 1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§1.1.2集合间的基本关系¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.A 与集合B ），.B A =，则B A =，则¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：）{菱形}{；{等腰三角形）（）. 元素，A =（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =.若N M ⊆,满足1123a a==-或，解得1123a a ==-或.故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅”，因为A =∅时存在A B ⊆.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}.若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b ax a b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0,所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0,即(x -1)(2x +1)=0.又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立.综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲§1.1.3集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训B （读作“B （读作“,()U B A B ð. {|3B x =(){|U A B x =【例2】设A （1）()A BC ；（2()A A B C ð. {}6,5,4,1,0,1,2,3,4,5,6A =-----. ）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；）又{}1,2,3,4,5,6B C =， {})6,5,2,1,0B C =---. ()A A C B C {}6,3,2,1,0=-----.3】已知集合A =B A =，求实数：由A B A =，可得在数轴上表示集合A 由图形可知，m ≥研究不等式所表示的集合问题，关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =. 由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U C A C B =，-24mx BA 4mx A B-1 3 5()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =， ()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C A B =，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲§1.1.3集合的基本运算（二）¤知识要点：1.含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.维{}9A B =，求实数{}9A B =，则有：={9, 0, 4}－，不合题意，故舍去；不合题意，故舍去； B ,A B P 14B {1,3,4}A B =A B =∅；{1,3,4}A B ={1}A B =；{1,3,4}A B ={4}A B =；时，{3,}A a =，则{1,3,4,A B =B =∅.，需要对参数a 进行分情况讨论.罗列参数集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则|22(10x a ++=，a ∈B a 或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N=≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -=.（由教材P 12补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}UC A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素.如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .第5讲§1.2.1函数的概念x ，（），与x a ,b )叫开.3)(3,1)(1,)---+∞. 3x ≥且9x ≠，(9,)+∞.】求下列函数的定义域与值域：）要使函数有意义，则54-05445445445444y x x x x ==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为{|}4y y ≠-. （2）22192()24y x x x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+.求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()(f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()(234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++. （2）原式11117(1)((2)())((3)(((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算.正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键..A 中的A 边函（1）|2|y x =-；（教材P 26练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩.函数图象如右：域I 时，（说f 若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,2b a -∞-上单调递增.同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲§1.3.1函数最大（小）值¤知识要点： 1.定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x =M .那么，称M 是函数()y f x =的最大值（MaximumValue ）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue ）的定义.244ac b a-+再利用.现在他1010(10)x -件，所赚得的利润为 8)[10010(10)]x --.210280160010(x x +-=-360.所以，他将售出价定为14】求函数解法研究，也可以用换元法研究.【另解】令t =，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.()f x 叫偶()f x 叫于y ()f x -与(f x 则1()()1f x g x x ⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()1f x g x x ⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.。

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第一章1-1集合

1．在用列举法表示集合时应注意： ①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意： (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
高中数学人教版 A 版必修一第一章集合与函数概念 §1.1 集合
1．1.1 集合的含义与表示第 1 课时集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．元素与集合的概念
(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．
____
____
一、选择题 1．下列语句能确定是一个集合的是( )
A．著名的科学家 B．留长发的女生 C．2010 年广州亚运会比赛项目 D．视力差的男生 2．集合 A 只含有元素 a，则下列各式正确的是( ) A．0∈AB．a∉A C．a∈AD．a＝A 3．已知 M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是 () A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．由 a2,2－a,4 组成一个集合 A，A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是 () A．1B．－2C．6D．2 5．已知集合 A 是由 0，m，m2－3m＋2 三个元素组成的集合，且 2∈A，则实数 m 为( ) A．2B．3 C．0 或 3D．0,2,3 均可

人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(2)

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{0,2}A =，则下列关系表示错误的是（）． A ．0A ∈ B ．{2}A ∈C ．A ∅⊆D ．{0,2}A ⊆2．方程组221x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（）A ．{}1,1x y ==B ．{}1C ．()1,1D ．(){},1,1x y x y ==3．已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为（） A ．0B ．1C ．1-D ．±14．已知集合{}1,2,3A =，集合(){},,B x y x A x y A =∈-∈，则符合条件的集合B 的子集个数为（） A ．3B ．4C ．8D ．105．若{}2213,1,1a a a -∈---，则a=（）A ．1-B ．0C ．1D ．0或16．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式||||||||xyzxyz x y z xyz+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（） A ．0M ∉B ．2M ∈C ．4M -∉D ．4M7．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 8．集合（x ，y ）|y ＝3x 2－11x}表示（） A ．方程y ＝3x 2－11x B ．（x ，y ）C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝3x 2－11x 图象上的所有点组成的集合9{}0x x >，0.2Q ∉，3N -∈，0∈∅，其中正确的个数A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =的集合B 可以是（）A ．{}|0x x ≤B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥二、填空题 1．方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 2．实数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容依次是________，________，________.3．集合A=x|x=2k ，k∈Z}，B=x|x=2k+1，k∈Z} ，C=x|x=4k-1，k∈Z}，若m∈A， n∈B，则m+n∈ ___________（选填A 、B 、C ）。

高一数学人教a版必修一精品教案：1.1.1集合的含义与表示含答案

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a ∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，∈记作a∉A（或a A）（举例）6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

高中数学课时作业3 1.1.1.3 集合的含义与表示新人教

课时作业(三) 1.1.1.3 集合的含义与表示1.设x∈N ，且1x ∈N ，则x 的值可能是( )A.0B.1C.－1D.0或1答案 B解析首先x≠0，排除A ，D ；又x∈N ，排除C ，故选B.2.下面四个关系式：π∈{x|x 是正实数}，0.3∈Q ，0∈{0}，0∈N ，其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案 A解析本题考查元素与集合之间的关系，由数集的分类可知四个关系式均正确. 3.集合{x∈N |－1<x<112}的另一种表示方法是( )A.{0，1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{0，1，2，3，4，5}D.{1，2，3，4，5}答案 C解析 ∵x∈N ，且－1<x<112，∴集合中含有元素0，1，2，3，4，5，故选C.4.已知集合A ＝{x∈N *|－5≤x ≤5}，则必有( ) A.－1∈A B.0∈A C.3∈A D.1∈A答案 D解析 ∵x∈N *，－5≤x ≤5，∴x ＝1，2，即A ＝{1，2}，∴1∈A. 5.集合M ＝{(x ，y)|xy<0，x ∈R ，y ∈R }是( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集答案 D解析根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.6.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形D.梯形答案 D解析由于集合中的元素具有“互异性”，故a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.7.集合A ＝{x|x∈N ，且42－x ∈Z }，用列举法可表示为A ＝________.答案 {0，1，3，4，6}解析注意到42－x ∈Z ，因此，2－x ＝±2，±4，±1，解得x ＝－2，0，1，3，4，6，又∵x∈N ，∴x ＝0，1，3，4，6.8.一边长为6，一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素. 答案 1解析这样的三角形只有1个，是两腰长为6，底边长为3的等腰三角形. 9.点P(1，3)和集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋2}之间的关系是________. 答案 P∈A解析在y ＝x ＋2中，当x ＝1时，y ＝3，因此点P 是集合A 的元素，故P∈A. 10.用列举法表示集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为________. 答案 {(0，3)，(1，2)，(2，1)}解析集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1.故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}.11.若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x|x ＝t 2，t ∈A}，用列举法表示集合B ＝________. 答案 {4，9，16}解析由题意可知集合B 是由集合A 中元素的平方构成，故B ＝{4，9，16}.12.下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1}，D ＝{(x ，y)|x＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个. 答案 2解析因为集合{(2，1)}的元素表示的是有序实数对，由已知集合的代表元素知，元素为有序实数对的是C ，D ，而A 表示含有两个元素x ＝2，y ＝1的集合，B 表示含有2个元素的集合.13.设A 是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a∈A，且3a∈A，求a 的值. 解析 ∵a∈A 且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2. 又∵a 是自然数，∴a ＝0或1.14.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.解析本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性.若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a ＝－1. ►重点班·选做题15.已知集合A ＝{0，2，5，10}，集合B 中的元素x 满足x ＝ab ，a ∈A ，b ∈A 且a≠b，写出集合B.解析当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，b ＝0时，x ＝0；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2时，x ＝10；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝2时，x ＝20；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5时，x ＝50. 所以B ＝{0，10，20，50}.1.已知A ＝{x|3－3x>0}，则有( ) A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.－1∉A答案 C解析因为A ＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.2.“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”.(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来.解析三女相会的日数，即为5，4，3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60，120，180}.3.数集M 满足条件：若a∈M，则1＋a 1－a ∈M (a≠±1且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来.解析 ∵a＝3∈M，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M，∴1－21＋2＝－13∈M.∴1－131＋13＝12∈M ，∴1＋121－12＝3∈M.即M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－2，－13，12.4.设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若集合A ，B 相等，求实数x ，y 的值. 解析因为A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去. (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去. 综上知：x ＝1，y ＝0.5.集合A ＝{x|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x2}可化简为________. 以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由.学生甲：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝1，故A ＝{0，1}；学生乙：问题转化为求直线y ＝x 与抛物线y ＝x 2的交点，得到A ＝{(0，0)，(1，1)}. 解析同学甲正确，同学乙错误.由于集合A 的代表元素为x ，因此满足条件的元素只能为x＝0，1；而不是实数对⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故同学甲正确.。