必修二复习立体几何

八个定理
④判定或证明线面平行的依据： （i）定义法（反证） l l // （用于判断） ： ；
a // b （ii）判定定理： a a // “线线平行 面面平行” （用于证明） ； b
// （iii） （用于证明） ； a // “面面平行 线面平行” a
// ③面面平行的性质定理： a a // b b
八个定理
④判定与证明面面平行的依据： （1）定义法； （2）判定定理及结论 1； （3）结论 2. 结论 1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的 两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述： a, b , a b O, a ', b ' , a // a ', b // b ' // 结论 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述： a , a // .【如右图】
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构
识 图
图
画
简单几何体的结构特征
空 间 几 何 体
Hale Waihona Puke 柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积 体积
正棱锥性质2
棱锥的高、斜高和斜高在 底面的射影组成一个直角 三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成 一个直角三角形
Rt⊿ SOH Rt⊿ SOB Rt⊿ SHB Rt⊿ BHO
棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类 似的直角梯形。
棱台
结构特征
D’ C’ B’ C
用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底 面与截面之间的部分是 棱台.
4.运用长对正、高平 齐、宽相等的原则画 出其它视图 5.检查,加深, 加粗。
正视图方向
总结
(1)一般几何体，投影各顶点,连接。
画三视图： (2)常见几何体,熟悉。
三视图中，
两个三角形， 一般为锥体 两个矩形， 一般为柱体 两个梯形， 一般为台体 两个圆， 一般为球
斜二测画法步骤是： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴， 两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成 对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使 ∠x’O’y’=45°（或135 °），它们确定的 平面表示水平面。 （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段， 在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线 段。 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观 图中保持原长度不变，平行于y轴的线段， 长度为原来的一半。
圆台
结构特征
用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆 锥,底面与截面之间的 部分是圆台.
O’ O
球
结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的 旋转体.
半径 O 球心
空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积： S 2 rl 圆锥的侧面积： S rl 面积 圆台的侧面积： S ( r r )l
ba （Ⅳ） b a // （用于判断） ； a
八个定理
2.面面平行： ①定义： // ； ②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： a, b , a b O, a // , b // //
三类关系
共面:a b=A,a//b 1.线线关系： 异面:a与b异面
异面直线： （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个 平面内不过此点的直线是异面直线。
异面直线所成的角：1） （ 范围： 0,90 ； （2）作异面直线所成的角：平移法
D A’
A
B
圆柱
结构特征
以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转 形成的曲面所围成的几何 体叫做圆柱。
母 线
A’
O’
B’ B’
轴 侧 面
A
O B
底面
圆锥
顶点 S 母 线 轴 侧 面
结构特征
以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥。
A
O
B
底面
的正三角形，则侧视图的面积为（ B ）
A.
4
B. 2
3
C. 2
2
D.
3
2
3
侧视图
9：
将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是
三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按
图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
H B I A
Q
G C
A
侧视 B
C
E
图1
P
D F
E
图2
D F
B
B
B
B
E A．
E B．
E C．
“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.
练4：某生画出了图中实物的正视图与俯视图，则下列判断正确的 是（ B ） A.正视图正确，俯视图正确 B.正视图正确，俯视图错误 C.正视图错误，俯视图正确 D.正视图错误，俯视图错误 俯视 正视图 俯视图 左视
正视 练5：下图中三视图所表示物体的形状为（ 一个倒放着的圆锥 ） 主视图 左视图 俯视图
答：不一定是．如图所示，不是棱柱．
棱柱的性质
1.侧棱都相等，侧面都是平 行四边形； 2.两个底面与平行于底面的 截面都是全等的多边形； 3.平行于侧棱的截面都是平 行四边形；
棱柱的分类
1、按侧棱是否和底面垂直分类： 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类： 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、·· ·· ··
• 三种角
• 八个定理
四个公理
• 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线 在平面内.（常用于证明直线在平面内）
• 公理2：不共线的三点确定一个平面. （用于确定平面）. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. • 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共 点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. • 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
20
主视图
10 10
20
侧视图
20
俯视图
20
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
• 三类关系 直线与直线位置关系 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 线线角 线面角 二面角 线面平行的判定定理与性质定理 线面垂直的判定定理与性质定理 面面平行的判定定理与性质定理 面面垂直的判定定理与性质定理
练1：圆柱的正视图、侧视图都是 矩形 ，俯视图是 圆 ； 圆锥的正视图、侧视图都是 三角形 ，俯视图是圆及圆心； 圆台的正视图、侧视图都是 梯形 ，俯视图是 圆环 。
练2：利用斜二测画法可以得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平 行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图 是菱形。以上结论正确的是（ A ） （A）①② （B）① （C）③④ （D）①②③④ 练3：根据三视图可以描述物体的形状，其中根据左视图可以判 断物体的 宽度和高度 ；根据俯视图可以判断物体的 长度和宽度 ；根据正视图可以判断物体的 长度和高度。
2 cm2
2.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积 是底面面积的四分之一，则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为( (A)1 : 4
C
)
(B) 1 : 3
(C) 1 : 8
(D) 1 : 7
2 6
练4：一个正三棱锥的底面边长是6，高是 3 ，那么这个正三棱 锥的体积是（ A ） 7 9 （A）9 （B） （C）7 （D） 2 2
球的表面积：
S 4 R
3
2
柱体的体积： V Sh 体积 锥体的体积： V 1 Sh 台体的体积：V 1 ( S
3 S S S ) h
球的体积：
V 4 R3 3
练习
1.设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面 (过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是( C ) (A)4cm2 (C)2cm2 (B) 2 2 cm2 (D)
球
由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体
棱柱
结构特征
有两个面互相平行，其 余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面 围成的多面体。
E’ F’ A’
D’ B’
C’
底 面
E
侧棱
D
C B
F A
侧面
顶点
注意：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
A1
C1 B1
练5：一个正三棱台的上、下底 面边长分别为3cm和6cm， 高是1.5cm，求三棱台的侧 面积。
27 3 cm 2 2
A B
C
6.如图，等边圆柱（轴截面为正 方形ABCD）一只蚂蚁在A处，想
吃C1处的蜜糖，怎么走才最快，并 求最短路线的长？
D
C
D
C
A
B
A
B
知识框架
二、空间几何体的三视图和直观图 中心投影 投影 平行投影 三视图 正视图 侧视图 俯视图
侧面
C
D B
A
棱锥的分类
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱 锥、五棱锥、……