人教版高中数学必修二教学案-《立体几何初步》全章复习

人教版高中数学必修一教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《立体几何初步》全章复习课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《立体几何初步》全章复习【知识网络】【要点梳理】知识点一：空间几何体的结构与特征本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形．空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD 平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等．（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --=+ 221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+= ()2cm （３）如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又BD HF BD ∴⊥平面PEG ；【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N 棱锥（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 举一反三：【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.【答案】38【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)211238ππ⨯+⨯+⨯+⨯⨯-=【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。

【总结升华】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视． 类型二：几何体的表面积和体积例3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示 （单位：m ）:（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积和体积.【思路点拨】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出直观图．（2）分别求出个面的面积，之和即为表面积；法一：将该几何体看作一个长方体被截去一个角，而且被截去的部分为一直三棱柱，利用长方体和棱柱的体积公式求解即可．法二：该几何体为直四棱柱，体面为直角梯形，故利用棱柱的体积公式求解即可．【解析】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．直观图如图所示：（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形，∴AA 1=BE=1． 在Rt △BEB 1中，BE=1，EB 1=1，∴BB 1=2∴几何体的表面积S=S 正方形AA1D1D +2S 梯形AA1B1B +S 矩形BB1C1C +S 正方形ABCD +S 矩形A1B1C1D1 =1+12(12)1121122⨯⨯+⨯+⨯++⨯ =72+（m 2）几何体的体积333121()42V m =⨯⨯⨯= ∴该几何体的表面积为（72+）m 2，体积为332m 。

法二：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一， V 直四棱柱D1C1CD-A1B1BA =Sh=313(12)11()22m ⨯+⨯⨯=∴该几何体的表面积为（72+）m 2，体积为332m 。

举一反三：【变式1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A ．2a π B ．273a π C ．2113a π D ．25a π 【答案】 B【解析】设三棱柱底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，易知233323r a a =⨯=，所以球的半径R 满足：22223173212R a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22743S R a ππ==球． 【变式2】如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3.【答案】6.【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中=32BD cm,BD 边上的高是322cm(它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高).∴四棱锥11A BB D D -的体积为133222=632⨯⨯⨯. 类型三：直线、平面的位置关系例4.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1、AB 的中点. （1）求证：C 1M ⊥平面A 1ABB 1； （2）求证：A 1B ⊥AM ；（3）求证：平面AMC 1∥平面NB 1C ； （1）【证明】方法一 由直棱柱性质可得AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 又∵C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥MC 1.又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.方法二由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.（2）【证明】由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，∴A1B⊥平面AMC1，又AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM.（3）【证明】方法一由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形，M、N分别是A1B1、AB的中点，∴AN//B1M.∴四边形AMB1N是平行四边形.∴AM∥B1N.连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 //AB.∴MB1 //BN，∴四边形BB1MN是平行四边形.∴BB1 MN.又由BB1//CC1，知MN//CC1.∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1M//CN.又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N，∴平面AMC1∥平面NB1C.方法二由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理可证，A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式1】如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，30CBA，2PA AB，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面P AC；（Ⅱ）求证：平面P AC 平面PCB ；【解析】（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA .因为 PA平面PAC ，OE平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC .因为 OM ∥AC ， 因为 AC平面PAC ，OM平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC .因为 OE 平面MOE ，OM 平面MOE ，OE OM O ，所以 平面MOE ∥平面P AC . （Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB ，即BC AC ⊥.因为 PA平面ABC ，BC平面ABC ，所以 PA BC ⊥. 因为 AC 平面PAC ，PA 平面PAC ，PAAC A ，所以 BC 平面PAC . 因为 BC平面PBC ，所以 平面P AC平面PCB .【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。

把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。

（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明的最常用方法。

例5．如图所示，在五棱锥P -ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝2AE ＝4，三角形PAB 是等腰三角形．(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ； (2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； (3)求四棱锥P -ACDE 的体积．【解析】 (1)证明：因为∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝4，所以在△ABC中，由余弦定理得：AC 2＝22(22)42224cos 458+-⨯⨯=°，解得22AC =．所以AB 2+AC 2＝8+8＝16＝BC 2，所以AB ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCDE ，所以PA ⊥AB ．又PA ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ．又AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAC ．又因为CDC 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAC ．(2)由(1)知平面PCD ⊥平面PAC ，所以在平面PAC 内，过点A 作AH ⊥PC 于H ，则AH ⊥平面PCD ．又AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离等于点B 到平面PCD 的距离．过点B 作BO ⊥平面PCD 于点O ，连接PO ，则∠BPO 为所求角，且AH ＝BO ，又容易求得AH ＝2，所以sin ∠BPO ＝12，即∠BPO ＝30°，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30°． (3)由(1)知CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AC ．又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是直角梯形．又容易求得DE ＝2，所以四边形ACDE 的面积为1(222)232⨯+⨯=，所以四棱锥P -AC -DE 的体积为1223223⨯⨯=． 【总结升华】 本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积，考查了同学们的空间想象能力． 举一反三：【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB//DC ，ΔPAD 是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=45。