解三角形知识点复习

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解三角形复习讲义

解三角形复习讲义【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系1．边的关系：两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<；2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-=cos()cos()cos A B C C π+=-=-tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sin sin()cos 2222A B C C π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-= tan tan()cot 2222A B C C π+=-= 要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎫=+-⎪=+-⎬⎪=+-⎭⇒222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊情况，22290cos 0a b c C C +=⇔=︒⇔=. ②在ABC ∆中，222222cos 0902b c a c b a A A bc +-+>⇔=>⇔<︒，所以A 为锐角；若222a c b +>，222a b c +>，同理可得角B 、C 为锐角.当222a c b +>，222a b c +>，222c b a +>都成立时，ABC ∆为锐角三角形． ③在ABC ∆中，若222222cos 0902b c a c b a A A bc +-+<⇔=<⇔>︒，所以A 为钝角，则ABC ∆是钝角三角形．同理：若222a cb +<，则ABC ∆是钝角三角形且B 为钝角；若222a b c +<，则ABC ∆是钝角三角形且C 为钝角．要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知,a b 和角A 时，解的情况如下： (1)若A 为锐角时：a bsin A a bsin A ()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能．要点四、三角形面积公式1．12a S a h =⋅（a h 表示a 边上的高）； 2．111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===； 3．22sin sin sin S R A B C =；4．4abc S R=；要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B 的方位角是0135α=。

必修五数学解三角形知识点

必修五数学解三角形知识点必修五数学解三角形知识点判断解法已知条件：一边和两角一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

已知条件：两边和夹角一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解时只有一解。

已知条件：两边和其中一边的对角一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

(或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C)①若ab，则AB有唯一解;②若ba，且babsinA有两解;③若absina则无解。

p=常用定理正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径)。

变形公式(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(3)asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R面积公式(5)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h(原始公式)余弦定理a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

变形公式cosC=(a²+b²-c²)/2abcosB=(a²+c²-b²)/2accosA=(c²+b²-a²)/2bc数学二元一次方程组知识点1.定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

解三角形知识点小结

解三角形知识点小结一、知识梳理1.内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -sin sin A B A B >⇔>，cos cos A B A B >⇔<〔cos y x =在(0,)π上单调递减〕面积公式:111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===设2a b cp ++=那么()()()S p p a p b p c =---在三角形中大边对大角，反之亦然.2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边化正弦)形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =〔比的性质〕形式四：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===〔正弦化边〕3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A=+-2222cos b c a ca B =+- (遇见二次想余弦)2222cos c a b ab C =+-形式二：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=二、方法归纳(1)两角A 、B 与一边a,由A+B+C=π及sin sin sin a b cA B C ==，可求出角C ，再求b 、c.（2）两边及一角，用余弦定理。

（3）三边，用余弦定理。

（4）求角度，用余弦。

三、经典例题问题一：利用正弦定理解三角形【例1】在ABC ∆中，假设5b =，4B π∠=,1sin 3A =，那么a = .【例2】在△ABC 中，a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c. 问题二：利用余弦定理解三角形【例3】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.1=a ，2=b ，41cos =C . 〔Ⅰ〕求ABC ∆的周长，〔Ⅱ〕求()C A -cos 的值.【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=- 【例4】〔2021重庆文数〕设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a bc .(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值. 假设条件改为：2223sin 3sin 3sin sin B C A B C +-=？ 2 .在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-c a b +2. 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设b=13，a+c=4，求△ABC 的面积. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例5】〔2021山东文数〕在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cos A-2cos C 2c-a=cos B b．〔I 〕求sin sin CA的值；〔II 〕假设cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【注】“边化正弦，正弦化边〞“余弦直接代入〞考虑以下式子：1cos 2a C c b+=，(2)cos cos a c B b C -=，(2)cos cos 0a c b b C -+=【例6】〔2021全国卷Ⅰ理〕在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b【注】对条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。

解三角形知识点汇总和典型例题

文成教育学科辅导教案讲义授课对象授课教师徐老师授课时间 3月11日授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材教学目标熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教学重点和难点灵活解斜三角形参考教材人教版必修5第一章教学流程及授课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

中考解直角三角形知识点整理复习

x tan 21°
8 3
x
；
B
D
第 19 题图
在
Rt△CEG 中， tan
CGE
CE GE
，则 GE
tan
CE CGE
x tan 37°
4 3
x
∵ EF FG EG，∴ 8 x 50 4 x ． x 37.5 ，∴ CD CE ED 37.51.5 39 （米）．
3
3
答：古塔的高度约是 39 米． ························ 6 分
a2 b2
a 由 Sin A＝c，求∠A；∠B＝90°－A，b＝
c2 - a2
∠B＝90°－A，a＝b·Sin A，c＝cosA
A bC 一
和
角一锐角
锐角，对边（如∠A，a）
∠B＝90°－A，b＝，c＝
斜边，锐角（如 c，∠A）
∠B＝90°－A，a＝c·Sin A， b＝c·cos A
2、测量物体的高度的常见模型
35º 40
CB
D
面 CD 有多长
º
(结果精确到 0.1m．参考数据：sin40º ≈，cos40º ≈，sin35º ≈，tan35º ≈
（2012）20.（8 分）
附历年真题标准答案：
（2007）19．（本小题满分 6 分）
解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D，得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD．
数学模型
所用应测数据
工具
α β x
h1
h
皮尺
αβ a
h x
侧倾器
仰角α 俯角β 高度 a
俯角α 俯角β
高度
数量关系

解三角形知识点总结

解三角形知识点总结解三角形是数学中非常重要的一个知识点，涉及到计算角度和边长的方法。

在解三角形的过程中，我们需要运用多种方法和公式，通过观察和计算来确定三角形的未知量。

本文将对解三角形的一些基本概念、方法和公式进行总结和归纳。

一、三角形的基本概念三角形是由三条边和三个角所组成的一个几何图形。

根据三角形的边长和角度的不同，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等不同类型。

二、解三角形的基本方法1.已知两边和夹角如果我们已知两条边和它们之间的夹角，可以根据余弦定理来计算第三边的长度。

余弦定理的表达式为：c² = a² + b² - 2ab*cosC其中，a和b分别表示已知的两条边的长度，C表示夹角的大小，c 表示未知边长。

2.已知两边和非夹角当我们已知两边和一个非夹角时，可以利用正弦定理来计算其他两个角的大小。

正弦定理的表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形对应的角度。

3.已知边长和高当我们已知一个边和它对应的高时，可以通过面积公式来计算另外两个未知量。

三角形的面积公式为：S = 1/2 * 底 * 高其中，底表示三角形的底边长度，高表示从底边到对应顶点的垂直距离。

三、特殊的三角形1.等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个角都是60度。

2.等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角（基角）是相等的。

3.直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，可以利用勾股定理来计算未知边长。

四、解三角形的实际应用解三角形的知识在实际应用中有很多重要的用途。

在地理学中，我们可以通过测量地球上两个点的经纬度来计算它们之间的距离和方位角。

在建筑学中，解三角形的方法可以用于测量高楼大厦的高度。

解三角形的知识也广泛应用于导航、航空和测量等领域中。

解三角形一轮复习

解三角形一、基本知识点1内角和定理：在错误！不能通过编辑域代码创建对象。

中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

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面积公式:错误！不能通过编辑域代码创建对象。

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2正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(解三角形的重要工具)形式二：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

(边角转化的重要工具)3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：错误！不能通过编辑域代码创建对象。

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二、基本考点及应用（一）：利用正弦余弦定理求未知量1在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.2在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于3在错误！不能通过编辑域代码创建对象。

中，A、B的对边分别是错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，且错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，求B4若错误！不能通过编辑域代码创建对象。

中，错误！不能通过编辑域代码创建对象。

，求角C5在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cos A=a cos C，求cos A6在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CB sin sin 的值7在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积8在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边, 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

解三角形知识点总结及典型例题

则 = = =
因为，所以
[例2 ] 若、、是的三边，，则函数的图象与轴( )
A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点
【解析】由余弦定理得，所以 = ，因为 1,所以 0，因此 0恒成立，所以其图像与轴没有交点。
题型2 三角形解的个数
[例3]在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A、，，；B、，，；
C、，，；D、，，。
题型3 面积问题
[例4] 的一个内角为，并且三边构成公差为的等差数列，则的面积为
【解析】设△ABC的三边分别：，
∠C=120°，∴由余弦定理得：，解得：，
∴ 三边分别为6、10、14，
.
题型4 判断三角形形状
[例5] 在中，已知 ,判断该三角形的形状。
【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。
方法一：
由正弦定理，即知
由，得或 ,
即为等腰三角形或直角三角形.
方法二：同上可得
由正、余弦定理，即得：
即
或 ,
即为等腰三角形或直角三角形.
【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例6]在中，分别为角的对边，且且
（1）当时，求的值；
（2）若角为锐角，求的取值范围。

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形一、锐角三角函数（一）、锐角三角函数定义在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即sinA=ca ,（2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即cosA=cb ,（3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即tanA=ba ，(4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。

否则，不存在上述关系注意:锐角三角函数的定义应明确(1)c a ，c b ，b a ，ab 四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；（2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；（二）、同角三角函数的关系（1）平方关系：122sin =∂+COS α (2)倒数关系：tan ａcota=1 (3)商数关系：∂∂=∂∂∂=sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

(2)()∂∂sin sin 22是的简写，读作“∂sin 的平方”，不能将∂∂22sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义；（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,1223030cossin22=•=∂+∂οο，而1cossin 22=+∂β就不一定成立。

解三角形,知识点汇总和典型例题

解三角形的必备知识和典型例题一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。

（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°；（ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）： sin A ＝cos B ＝ a， cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。

cc b2．斜三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， A 、 B 、C 为其内角， a 、 b 、 c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。

（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ π。

（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等ab c2R （ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于另两边平方的和减去其与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ；b 2＝c 2＋ a 2－ 2ca cos B ；c 2＝ a 2＋ b 2－ 2ab cos C 。

3 ．三角形的面积公式：（ 1） S ＝ 1 ah a ＝ 1 bh b ＝ 1ch c （ h a 、 h b 、 h c 分别表示 a 、b 、 c 上的高）； 2 22（ 2） S ＝ 1ab sin C ＝ 1bc sin A ＝ 1 ac sin B =abc=2R 2sinAsinBsinC22 24R4 ．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（此中起码有一个是边）求其余未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还能够包含三角形的高、中线、角均分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要种类：（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和随意一边，求其余的两边及一角.第 2、已知两角和此中一边的对角，求其余边角.（ 2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其余两角 .5 ．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自己的特色。

解三角形知识点总结及典型例题

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1两角和与差的正弦公式，sin( a + B )=sin a cos B +cos a sin B,sin( -a )=sin a cco $ a sin B ・2两角和与差的余弦公式，cos( a + B )=cos a -^os B sin B cos(诩)=cos a cos+sin a sin B3两角和、差的正切公式⑶ tan22ta n 1 tan 2默写上述公式，检查上次的作业课本上的 !解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式)(2) si nA —,si nB — ,si nC —(角化边公式)2R2R2R/、a sin A a sin Ab sin B(3) a:b: c sinA:sinB:sin C (4) — ---- ，一 ---- ,- ---课前复习⑴ sin22sin cos .1 si n22 2sincos 2 sin cos(sincos )22⑵ cos2 cos.2sin 22cos1 1 2si n 2升幕公式1 cosc 22cos —,1 cos2sin 2—2 2cos 2 1 . 2 1 cos2降幕公式cos 2sin2 2简单的三角恒等变换二倍角的正弦、余弦和正切公式: tan tantan( a +=B1 tan tan(tan ta n tan 1 tan tan )；tan( -B )=tan tan. ( tan1 tan tantan tan tan tan ).a b c sin A sin B sin C2R （R 为三角形外接圆半径）b sin Bc sin C c sin C2、正弦定理适用情况： (1) 已知两角及任一边(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 已知a , b 和A ,求B 时的解的情况：如果si nA si nB ，则B 有唯一解；如果si nA si nB 1，贝U B 有两解; 如果sin B 1,贝U B 有唯一解；如果si nB 1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论4、余弦定理适用情况：(1)已知两边及夹角；(2)已知三边.5、常用的三角形面积公式6、三角形中常用结论二、典型例题题型1边角互化2 ,2 2贝 U cosC = a---- —2ab因为0 C ，所以C(b 2 c 2 a 2)x c 2，则函数f(x)的图象与x 轴()2ab 22 c b 2 2 a 2a 2c2 c b 22bccosA2accosB2abcosC ■ 2 2 2A b c a cosA ------ 2bc s ^^\ c 2 b 2 co --_____z2ac … a b c cosC---------------- 2ab(1)S ABC (2 ) S ABC1 1底高 21 —absi nC 21 1bcsi nA easin B (两边夹一角) 2(1) a b c, ba,a b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) (2) 在 ABC 中， (3) 在厶 ABC 中,.A B Csin -------- cos , cos2 2BB CA B 2 b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边)，所以 sin (A B) si nC ; cos( A B) cosC ; tan(A B) tanC . .C sin —.2［例1 ］在ABC 中，若【解析】由正弦定理可得sin A: sin B: sinC 3:5:7， a: b :c 3:5:7，,令 a 、b 、则角C 的度数为c 依次为3、5、7，32 52 7 = 1 2 3 5 2 ABC 的三边，f(x) b 2x 2A 、有两个交点B 、有一个交点C 、没有交点D 、至少有一个交点【解析】由余弦定理得 b 2c 2a 22bccosA ，所以f(x) b 2x 2 2bccos Agx c 2 = (bx ccos A)2 c 2 c 2 cos 2 A ，因为 cos 2 A 1,所以 c 2 c 2 cos 2 A 0，因止匕 f(x) 0恒成立，所以其图像与 x 轴没有交点。

中考解直角三角形知识点整理复习

中考解直角三角形知识点整理复习直角三角形是指角度为90度的三角形。

在中考中，解直角三角形是一个重要的考点，需要掌握的知识点包括勾股定理、三角函数的定义和性质以及相关应用。

以下是解直角三角形的知识点整理和复习材料。

一、勾股定理勾股定理是解直角三角形中最基础的定理，也是解题的基础。

勾股定理的表达式为：a²+b²=c²其中，a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

二、三角函数的定义和性质1.正弦函数正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边sinA的性质：（1）sinA在0°~90°区间内递增；（2）sinA在90°~180°区间内递减；（3）sinA在对称轴x=90°处对称。

2.余弦函数余弦函数的定义为：cosA = 邻边/斜边cosA的性质：（1）cosA在0°~90°区间内递减；（2）cosA在90°~180°区间内递增；（3）cosA在对称轴x=90°处对称。

3.正切函数正切函数的定义为：tanA = 对边/邻边tanA的性质：（1）tanA在0°~90°区间内递增；（2）tanA在90°~180°区间内递减；（3）tanA在对称轴x=90°处对称。

4.三角函数的相互关系正弦函数与余弦函数、正切函数的关系：（1）sinA = cos(90° - A)（2）cosA = sin(90° - A)（3）tanA = 1/cotA三、特殊角的三角函数值1.30°角的三角函数值sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√32.45°角的三角函数值sin45° = cos45° = 1/√2, tan45° = 13.60°角的三角函数值sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3四、应用题1.判断直角三角形当三条边满足勾股定理时，即a²+b²=c²，可以判断为直角三角形。

数学高三解三角形知识点

数学高三解三角形知识点高三数学是高中数学的最后一个学年，也是最后一次系统学习数学的机会。

解三角形是数学高三中非常重要的一个知识点，它揭示了三角形的性质和关系，为日后深入研究几何学奠定了基础。

本文将从角度定量关系、边长定量关系和面积定量关系三个方面，探讨高三解三角形的知识点。

一、角度定量关系在解三角形中，角度是一个关键的概念。

首先，我们需要了解三角形的内角和外角关系。

在任意一个三角形中，三个内角的和等于180度。

这个性质被称为三角形内角和定理，可以用于解决一些角度的计算问题。

除此之外，我们还可以利用三角形的外角性质解决问题。

对于一个三角形的任意一个内角，它的外角等于它两个不相邻内角的和。

这个性质被称为三角形外角定理，可以帮助我们快速计算出某些角度的数值。

二、边长定量关系在解三角形中，边长是我们经常需要计算的一个要素。

通过利用三角形的各个边长之间的关系，我们可以解决一些与边长有关的问题。

首先，我们需要了解三角形中的边长关系。

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这个性质被称为三角形边长关系定理，它帮助我们判断三条边能否构成一个三角形。

此外，我们还需要了解正弦定理和余弦定理。

正弦定理在解决非直角三角形的边长问题时非常有用。

它表达了一个三角形的边长与其对应的角度之间的关系。

余弦定理则可以用于解决含有多个边长和角度的复杂三角形。

它描述了一个三角形的边长之间和角度之间的复杂关系。

三、面积定量关系在解三角形中，面积是另一个需要计算的重要量。

通过利用三角形的底边和高，我们可以计算出三角形的面积。

对于一个三角形而言，它的底边与高之间的乘积等于它的面积的两倍。

这个性质被称为三角形面积定理，它帮助我们计算出三角形的面积。

另外，我们还需要掌握海伦公式。

海伦公式可以用于计算任意三角形的面积，而不仅仅局限于特殊的情况。

它利用三角形的三条边长来计算三角形的面积，是解决复杂三角形面积问题的重要工具。

综上所述，解三角形是高三数学的重要知识点之一。

最全面的解三角形讲义

解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.【例题2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】（14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. （1）求角A 的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cb Ca--︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为 .7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3π.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．巩固训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3 ，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ；（2）求a ，b 的值.13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案例题答案题型一正弦、余弦定理【例题1】解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2-=-21,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc（当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R, ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=C B C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1. 22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解（1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3，所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二判断三角形形状【例题】解方法一已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA -sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】解方法一 ∵2cos 2B-8cosB+5=0,∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π. ∵a，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴co sB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cosB+5=0，∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π, ∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π,∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三测量距离问题【例题】解在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四测量高度问题【例题】解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ，解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6巩固训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=ac b c a 2222-+=22223443bb b b -+=23, 所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53. 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB, 故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=C A AB sin sin ⨯=211.12. 解（1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b .∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab=40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解（1）∵A+B+C=180°,由4sin22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ，由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B 16.解析如图．答案 B17.解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C18.解析由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75.解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)。

解三角形题型分类讲解

解三角形知识点总结及题型分类讲解一、知识点复习 1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况： 1已知两角及任一边2已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况已知a ,b 和A ,求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥,则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ,则B 有两解；如果1sin =B ,则B 有唯一解；如果1sin >B ,则B 无解. 3、余弦定理及其推论 4、余弦定理适用情况： 1已知两边及夹角；2已知三边. 5、常用的三角形面积公式1高底⨯⨯=∆21ABC S ； 2B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆两边夹一角.6、三角形中常用结论1,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； 2sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. 3在△ABC 中,π=++C B A ,所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.42sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+.二、典型例题题型1、计算问题边角互换例1、在ABC ∆中,若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中,∠A 60=︒,3a =,则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=b ．求角A 的大小；答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60。

,则此三角形的解的情况是 A. 有一解 B. 两解 C. 无解 D.有解但个数不确定例2.在ABC ∆中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是 A 、7=a ,14=b ,︒=30A ； B 、25=b ,30=c ,︒=150C ； C 、4=b ,5=c ,︒=30B ；D 、6=a ,3=b ,︒=60B ;例3. 在△ABC 中,b sin A ＜a ＜b ,则此三角形有 A.一解B .两解C.无解D.不确定例4,在ABC ∆中,a=x, b=2, B=45°,若三角形ABC 有两个解,则x 的取值范围____________.例5．在ABC ∆中有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a o A b =∠>==λλλ 题型3、判断三角形形状例1 在ABC ∆中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状;答案：等腰三角形或直角三角形例2 △ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例3. △ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,若πsin π=πcos π=πcos π,则△ABC 为 A.锐角三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形D.任意三角形例4. 在ABC ∆中,已知3b =2√3πsin π,且cos π=cos π,角A 是锐角,则ABC ∆的形状是_________________.例5. 在ABC ∆中,若sin π=2sin πcos π,且sin π2=sin π2+sin π2, 则ABC ∆的形状是_________________.点拨判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状；角化边二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状;边化角题型4、求范围或最值问题例1、在锐角ABC ∆中,BC=1,B=2A,则ππcos π的值等于______,AC 的取值范围为________.例2、在ABC ∆中,∠A 60=︒,BC=3,则ABC ∆的两边AC+AB 的取值范围是____________.例3、在ABC ∆中,∠B 60=︒,AC=√3,,则AB+2BC 的最大值————————. 例4、在ABC ∆中,∠B 60=︒,AC=√3,则ABC ∆的周长的最大值为_________________.例5、△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,且a cos π+12π=π. 1.求角A 的大小2若a=1,求三角形ABC 的周长l 的取值范围. 题型5、面积问题例1、ABC ∆的一个内角为0201,并且三边构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为答案：15√3例2.设在ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且b=3,c=1, △ABC 的面积为2,求cosA 与a 的值；例3:在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=,4cos ,35A b ==; Ⅰ求sin C 的值；Ⅱ求ABC ∆的面积.例4：C ∆AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．向量π⃗⃗⃗⃗ =(π,√3π)与π⃗⃗⃗⃗ =(cos π,sin π)平行． I 求A ；II 若7a =,2b =求C ∆AB 的面积例5．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足 1求△ABC 的面积；2若c ＝1,求a 的值．例6.在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=b ．Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积．例7：ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =I 求C ；II 若c ABC △=求ABC △的周长．题型六、边化角,角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分,能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢若两边都是正弦首先考虑角化边,若sin,cos 都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC ． Ⅰ求角C 的大小；例2在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若3a ＝2b ,则错误!的值为_____________.例3 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a sin A ＋c sin C －错误!a sin C ＝b sin B .1求B ；2若A ＝75°,b ＝2,求a ,c .例4在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. I 证明：sin sin sin A B C =；II 若22265b c a bc +-=,求tan B .例5在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知b +c =2a cos B. I 证明：A =2B ；II 若△ABC 的面积2=4a S ,求角A 的大小.例6ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. I 若c b a ，，成等差数列,证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； II 若c b a ，，成等比数列,求B cos 的最小值. 题型七、三角变换与解三角形的综合问题例1. 在△ABC 中,AC=6, cos π=45 ，π=π4 （1）求AB 的长（2）求cos (π−π6)的值变式练习. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.且b sin 2π=πsin π 1,求角C2.若sin (π−π3)=35 ,求sin π的值2. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且tan π=2 ，tan π=3 1.求角A 的大小 2若c=3,求b 的长.题型八、解三角形与平面向量结合例1. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且ABC ∆的面积为S, 3ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2π. 1求sin π的值 2若C=π4 ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16 求b 的值变式练习1.在锐角ABC ∆中,向量m =(cos (π+π3)，sin (π+π3))，π=(cos π,sin π),且π⊥π 1.求A-B 的值2.若cos π=35,ππ=8,求ππ的长2. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且m =(π−π，π+π)，π=(π−π,π),且π∥π 1求B2若b =√13, cos (π+π6)=3√3926,求a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题例1.在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,a =b (sin π+cos π). 1.求∠ABC2若∠A=π2,D 为三角形ABC 外一点,DB=2, DC=1,求四边形ABCD 面积的最大值;变式练习.如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB, DE=1, EC=√7, EA=2,∠ADC =2π3,且∠CBE, ∠BEC,∠BCE 成等差数列. 1求sin ∠πππ 2 求BE 的长4、如图,在梯形ABCD 中,已知A D∥BC,AD=1,BD=2√10，∠πππ=π4,tan ∠ADC=-2,求： 1CD 的长 2三角形BCD 的面积课时达标训练1、在锐角ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，1.设ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证三角形ABC 是等腰三角形2.设向量S=(2sin π,−√3),π=(cos 2π ,cos π),且π∥π,sin π=13,求sin (π3−π)的值.2、在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.已知a>b,a=5,c=6,sin π=35. 1求b 和sin π的值 2求sin (2π+π4)的值3、在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.a =mb cos π,π为常数. 1若m=2,且cos π=√1010,求cos π的值；2若m=4,求tan （π−π）的最大值.4、如图,在梯形ABCD 中,已知A D∥BC,AD=1,BD=2√10，∠πππ=π4,tan ∠ADC=-2,求： 1CD 的长 2三角形BCD 的面积 5、已知函数fx=√32πππ2π−cos π−121求fx 的最小值,并写出取得最小值时自变量x 的取值集合；2设ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且c=√3，π(π)=0,若ππππ=2ππππ,求a,b 的值;6. 在锐角ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,已知2cosB=2c-b. 1若cosA+C=5√314,求cosC 的值；2若b=5,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5,求三角形ABC 的面积； 3若O 是三角形ABC 外接圆的圆心,且cos πsin πππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cos πsin πππ=πππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 求π的值⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解三角形基础练习1、满足︒=45A ,6=c ,2=a 的ABC ∆的个数为m ,则m a 为 .2、已知35,5==b a ,︒=30A ,解三角形;3、在ABC ∆中,已知4=a cm ,x b =cm ,︒=60A ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是A 、4>xB 、40≤<xC 、3384≤≤x D 、3384<<x 4、在ABC ∆中,若),(41222c b a S -+=则角=C . 5、设R 是ABC ∆外接圆的半径,且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-,试求ABC ∆面积的最大值;6、在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,33=BD ,135sin =B ,53cos =∠ADC ,求AD . 7、在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为角C B A ,,的对边,若cos cos a Bb A=,试确定ABC ∆形状;8、在ABC ∆中,,,a b c 分别为角C B A ,,的对边,已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=1求sin sin C A；2若1cos ,2,4B b ==求ABC ∆的面积;1、在ABC ∆中,若bc a c b c b a 3))((=-+++,且C B A cos sin 2sin =,则ABC ∆是A 、等边三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形2、ABC ∆中若面积S=)(41222c b a -+则角=C3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔AB ,在塔顶A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为α,在塔底B 处测得点C 的俯角为β,若铁塔的高为h m ,则清源山的高度为 m ; A 、)sin(cos sin βαβα-hB 、)sin(sin cos βαβα-hC 、)sin(sin sin βαβα-hD 、)sin(cos cos βαβα-h4、ABC ∆的三个内角为A B C 、、,求当A 为何值时,cos 2cos 2B CA ++取得最大值,并求出这个最大值;5、在ABC ∆中,,,a b c 分别为角A B C 、、的对边,且满足sin cos c A a C = 1求角C 的大小2cos()4A B π-+的最大值,并求取得最大值时角B A ,的大小;正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2＋c2－b2＝错误!ac,则角B的值为或错误!或错误!2．已知锐角△ABC的面积为3错误!,BC＝4,CA＝3,则角C的大小为A．75° B．60° C．45°D．30°3．2010·上海高考若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13,则△ABCA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为5．2010·湖南高考在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定二、填空题6．△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a＝错误!,b＝3,C＝30°,则A＝7．2010·山东高考在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．8．已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且AB＝1,BC＝4,则边BC上的中线AD的长为________．三、解答题9．△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b,且sin B ＝4cos A sin C,求b.10．在△ABC中,已知a2＋b2＝c2＋ab.1求角C的大小；2又若sin A sin B＝错误!,判断△ABC的形状．11．2010·浙江高考在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,且S＝错误!a2＋b2－c2．1求角C的大小；2求sin A＋sin B的最大值．12.2015高考新课标2,理17本题满分12分ABC∆中,D是BC上的点,AD平分BAC∠,ABD∆面积是ADC∆面积的2倍．Ⅰ求sinsinBC∠∠；Ⅱ若1AD=,DC=求BD和AC的长．。