第七章 随机性解释变量与工具变量估计

第七章 随机性解释变量与工具变量估计
Y X βε=+，古典假定中解释变量X 是非随机的。

如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则原模型出现随机性解释变量的问题。

产生随机性解释变量的情形： 1） 被解释变量的滞后项作为解释变量 1t t t t C Y C γαβε−=+++t
2） 双向因果关系（联立方程） 12123t t t t t t Y X X Y Z ββμγγγ=++=+++ν，
价格（）与需求（t Y t X ）互为因果，t Z 可以指收入。

解释变量的随机性在联立方程中不可避免。

3） 测量误差
12Y X ββ=++ε，若解释变量X 存在测量误差：*X X ν=+，那么实际使用的解释变量是*X ，显然*X 随机。

一、随机性解释变量的导致的理论问题
1ˆ(')'X X X β
βε−=+， 1''ˆlim lim()lim()X X X p p p n n
ε
ββ−=+， 若X 非随机，有()
ˆE β
β=，ˆlim p ββ=； 若X 随机，则?
ˆ()E β
β=，?
ˆlim p ββ= 注意：若(,)f X Y 是(,)X Y 的联合密度，是(,)h X Y (,)X Y 的函数，则：
[(,)]{[(,)]}Y X E h X Y E E h X Y Y =
若解释变量随机，则X 是随机矩阵（至少有一列是随机变量）。

设'lim()X X
p Q n
=，有限，正定。

球形扰动即为：2(')n E X I εεσ=
Case1： X 与ε独立（不相关）：(,)0i i Cov X ε=。

则有()E X ε0=，于是
11ˆ()[(')'][(')'()]X
E E X X X E X X X E X ββεβε−−=+=+=β
最小二乘估计仍为无偏估计，其方差阵为：
111
1
2
ˆˆˆ()[()()'][(')''(')] [(')'(')(')](')X Var E E X X X X X X E X X X E X X X X E X X β
ββββεεεεσ−−−−=−−===1
−
如果ε为条件正态分布，则 21ˆ(,('))N E X X ββσ−∼大样本性质：ˆlim p ββ=。

Case2： X 与ε部分独立。

⇒系数的OLS 估计量仍是一致的，但有偏。

部分独立的含义：如1t t t t C Y C αβγε−=+++t ，ε与不独立，但与独立。

即当期消费未来扰动无关。

t C 1t C −Case3： t X 与t ε相关。

则：1ˆ()[(')']E E X X X β
βε−=+≠β 1''ˆlim lim()lim(X X X p p p n n εβ
ββ−=+≠
二、工具变量（Instrumental Variable ）估计
若X 与ε同期相关，则ˆβ
有偏且不一致。

这不是一个好的估计量，而且X 与ε的相关程度越大，OLS 估计的偏差也会越大。

解决办法：采用工具变量估计。

工具变量法可以得到参数的一致估计，
但不能保证无偏性。

1工具变量的选取：
工具变量：在模型的估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机性解释变量。

它的选取必须满足以下条件：
1）与替代的随机性解释变量高度相关； 2）与随机误差项不相关；
3）与模型中其他解释变量不相关（避免出现多重共线性）； 即为以下条件：
a.'lim(ZZ Z Z
p Q n =，有限正定；
b. 'lim(ZX Z X
p Q n =，有限，秩为；
k c.'lim(0Z p n ε
=，即Z 与ε无关。

2、工具变量估计：
Y X βε=+，n k n L X Z ××⇒
<1>L k =：
IV 估计：Y X βε=+；1ˆ(')'IV
Z X Z Y β−= 111
'''Z Y Z X Z n n n
βε=+ '''lim()lim()lim()lim()Z Y Z X Z Z X p p p p n n n
'n βεβ=+=
11''''(ˆlim lim()lim()lim()lim[]IV
Z X Z Y Z X Z X p p p p p n n n n
)βεββ−−+=== 显然有ˆlim()IV
p ββ= <2>
L k >Y X βε=+
11111
'(')''(')''(')'1X Z Z Z Z Y X Z Z Z Z X X Z Z Z Z n n n
βε−−=+− 1111ˆˆˆˆ['(')']['(')'](')'IV
X Z Z Z Z X X Z Z Z Z Y X X X Y β−−−−==，相当于ˆX 作为X 的IV ，1ˆ(')'X
Z Z Z Z X −=，相当于X 对Z 回归得到的拟合值ˆX 。

注意：ˆIV
β的精度取决与Z 与X 的相关程度。

以一元回归模型为例说明： Y X αβ=++ε，工具变量Z ：
ˆi
i
IV
i i
z y
z x
β=∑∑，其中均写成变量Z 与X 的离差形式。

222222
2
2221
1
ˆˆˆˆ..()()
()
i IV
i i i i i
i ZX
i
i
z
Est Asy Var x z x z x x r x z
βσσ
σ
===∑∑∑∑∑∑∑2
) 所以21,ZX r →ˆ..(IV Est AsyVar β越小，20,ZX r →ˆ..(IV
Est Asy Var )β越大。

同学们此时能否说明ˆlim IV
p ββ=？ 说明：
1）IV 估计量仍是有偏的，工具变量并没有替代模型中的解释变量，只是在估计过程中作为“工具”使用；
2）IV 估计可以概括为两阶段最小二乘法。

第一阶段：X 对Z 回归，得ˆX
，第二阶段：对Y ˆX 回归得ˆIV
β。

3）一个随机性解释变量可以有多个工具变量。

但在实际中，工具变量的寻找并不是件容易的事情。

有时可以用1t X −作为t X 的工具变量。

三、测量误差
1、被解释变量的测量误差：i i Y X i αβε=++ 若被解释变量存在测量误差，则观测到i Y *i i Y Y u i =+ 设与i u i ε不相关，与i u i X 不相关。

实际采用的回归模型为：
()*i i i Y X αβε=+++i u i
2、解释变量存在测量误差：i i Y X αβε=++ 若被解释变量i X 存在测量误差，则观测到*i i i X X v =+ 设与i v i ε不相关，与i v i X 不相关。

实际采用的回归模型为：
()*i i i Y X i v αβεβ=++−
请思考：这两种情形下模型的OLS 估计会有什么问题？如果解释变量和被解释变量都存在测量误差呢？。