集合论与图论第一章

1.3
集合的基本运算
与并运算类似，可以将集合的交推广到有限个或 可数个集合：
A1 A2 ... An Ai {x i {1,2,..., n}, x Ai )}
类似定义
i 1 n
A1 A2 ... An ... An {x n N , x An }
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1.2
子集、集合的相等
(2)、真子集的概念 定义1.2.2 设A，B为二集合，若AB且x(xB 并且xA),则称A是B的真子集,记作AB,读作A是B的 真子集。 ABAB并且x(xB并且xA), 例如：{a,b}是{a,b,c}的真子集。 设A,B,C为3个集合，下面3个命题为真： (1)AA。 (2)AB，则BA。
集合论与图论
课时：30学时
平时成绩30分，期末考试成绩70分。 平时成绩考核方法：安排5次课堂作业，每次6 分，共30分。 课件邮箱:hjh20130225@ 密码:20130225
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集合论和图论的应用范畴 集合论和图论都属于离散数学 离散数学分为： 数论、集合论、图论、近世代数、数 理逻辑、组合数学 计算机科学领域的大多数基本概念和理论， 几乎均采用集合论和图论的有关术语来描述。
(1)集合中的元素是各不相同的； (2)集合中的元素不规定顺序； (3)集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 例如：正偶数集合用列举法可表示为： B={2,4,6,8,...}。
用描述法可表示为： B={x|x>0且x为偶数}
或{x|x=2(k+1),k为非负整数}。
** 15
1.2
子集、集合的相等
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1.2
子集、集合的相等
设A1,A2,A3为集合, 那么{A1,A2,A3}为一个集族。 集族的表示方法： 若令I={1,2,3}，则iI,i确定了一个唯一的集合Ai。 于是集族{A1,A2,A3}又常写成{Ah}hI。 若J为任一集合，对J中每个元素i有唯一的 一个集合与之对应，这个集合记为Ai,那么所有 这些Ai,形成的集族就用{Ai}iJ表示，其J称为标 号集。
特别是在构建数学模型，算法描述时用的 更广泛。
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集合论和图论的应用范畴 集合论与图论是： 数据结构、算法设计与分析、 计算机图形学、图像处理、 密码学、编码理论、 数据压缩、人工智能、 生物信息工程等计算机课程的基础 课程。 可以说《集合论和图论》是计算机 方向所有软件课程的基础。
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选用教材
子集、集合的相等
定理1.2.2 设集合A的元素个数|A|=n(n为 自然数),则|P (A)|=2n。 证明: A的0个元素的子集个数为:C(n,0) A的1个元素的子集个数为:C(n,1) A的2个元素的子集个数为:C(n,2) ......... A的S个元素的子集个数为:C(n,n) |P (A)|=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n) =2n
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1.3
集合的基本运算
将集合的并运算推广到多个集合的并集。 A1∪A2∪...∪An定义为至少属于A1,A2,...,An中之一 的那些元素构成的集合。
A1∪A2∪...∪An简记为:
A
i 1
n
i
若A1,A2,...,An,...是一个集合的无穷序列,则 它们的并集记为:A1∪A2∪...∪An∪..., 简记为:
定义1.2.5 集合S的所有子集(包括空集Ø和S本 身)形成的集族称为S的幂集,并记为2S,或记为P (S)。 2S={A|AS}
例1.2.3 设S={1,2,3},求2S的步骤如下：
A的幂集 2S={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}}。
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1.2
12
1.1集合的概念
属于理发师理发范围的集合可以表示成： A={x|x是村里不给自己理发的男人｝
下面我们来看一下理发师自己是否属于集合A。 把理发师设为x，如果xA，那么理发师就是不 给自己理发的人， 既然xA,那就属于理发师可以理发的范围，他 自己给自己理发,又推出来xA； 因此xAxA；产生予盾!
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1.1集合的概念 反过来如果xA；也就是说理发师是自己给 自己理发的那些人，按定义，理发师不给这些 人理发，这又推出理发师不给自己理发,xA,也 产生矛盾。
这就是第三次数学危机的来源， 对集合论加以适当的修正，避免悖论。代表 性 成果是公理集合论。
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1.1集合的概念
对于集合的表示法应该注意以下几点：
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1.1集合的概念
对于一个集合A来说，某一对象x或者是集合A的元 素，或者不是，两者必居其一； 如果x是集合A的元素，我们说x属于A，记为xA； 如果x不是集合A的元素，我们说x不属于A，记为 xA。
集合的表示方法： 列举法：列出集合中的全体元素，元素之间用逗号 分开，然后用花括号括起来。 例如：设A是由26个英文字母为元素的集合， 则:A={a,b,c,d,...x,y,z}。
A
i 1

i
定义:A1∪A2∪...∪An∪...={x|nN使得xAn}
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1.3
集合的基本运算
集族中元素的并集 一般地,若{Al}lI是任一集族,则集族中那些集合 的并集记为 简记为
A {x l I使得x A }
l l lI
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1.3
集合的基本运算
(2)、交集的概念 定义1.9 设A,B为二集合，称由A和B的 公共元素(既属于A又属于B)组成的集合为A与 B的交集，记作A∩B，称∩为交运算符。
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1.2
子集、集合的相等
例如：设p为一素数,Ak={x|x=k(modp)}, k=0,1,...,p-1
则A ={A0,A1,...,Ap-1}是以{0,1,2,...p-1} 为标号集的集族,也可以记为 A ={Ak}k{0,1,2,...p-1}
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1.2
子集、集合的相等
(6)、幂集的概念
推论：空集是唯一的。
由推论可知，空集无论以什么形式出现，它们都 是相等的。 {x|x2+1=0xR}={(x,y)|x2+y2<0x,yR}=Ø
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1.2
子集、集合的相等
(5)、集族的概念 定义1.2.4 以集合为元素的集合称为集族。 例如：在学校中，每个班级的学生形成一个 集合，而全校的各个班级就形成一个集族。
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1.2
子集、集合的相等
(4)、空集的概念 定义1.2.4 不拥有任何元素的集合称为空集合， 简称为空集，记作Ø。
例如：A={x|x2+1=0xR} B={(x,y)|x2+y2<0x,yR}都是空集。 {Ø}不是空集！ {Ø}它是包含一个空集的集合。
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1.2
子集、集合的相等
定理1.2.1 空集是一切集合的子集。
A∪B ={5,6,7,8,9,10} ∪{2,3,5,7}
={2,3,5,6,7,8,9,10}。
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1.3
定理1.3.1
集合的基本运算
设A,B,C为任意的三个集合
1.交换律成立, 即A∪B=B∪A; 2.幂等律成立,即A∪A=A; 3.∪A=A; 4.A∪B=BAB。 5.结合律成立,即(A∪B)∪C=A∪(B∪C);
A \ B {x x A且x B}.
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1.3
集合的基本运算
定理1.3.6 设A,B,C为任意三个集合,则 13.A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C)。
lI lI
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1.3
集合的基本运算
定理1.3.4 设A,B,C为任意三个集合，则: 11.交运算对并运算满足分配律, 即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 12.并运算对交运算满足分配律, 即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);
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1.3
集合的基本运算
定理1.3.5 对任何集合A,B,吸收律成立。 13.A∩(A∪B)=A; 14.A∪(A∩B)=A;
(1)、子集的概念 定义1.1 设A,B为二集合,若A中的每个元素都 是B中的元素，则称A是B的子集合,简称子集。这 时我们说A包含在B里(A包含于B),或B包含着A(B 包含A),记作AB。
其符号化形式为：ABx(xAxB) ABxA,xB 或者：ABx(xBxA)
A∩B的描述法表示为： A∩B={x|xA且xB}
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1.3
集合的基本运算
定理1.3.2
设A,B,C为任意的三个集合，则:
6.交换律成立,即A∩B=B∩A; 7.幂等律成立,即A∩A=A;
8.∩A=;
9.A∩B=AAB。
10.结合律成立,即(A∩B)∩C=A∩(B∩C);

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n 1

对于集族{Al}lI中各集的交记成,
A 其定义为
l lI
A
lI
l
{x I , x A }
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1.3
集合的基本运算
定理1.3.3
设A为一集合,{Bl}lI为任一集族,则:
A ( Bl ) ( A Bl )
lI lI
A ( Bl ) ( A Bl )
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1.2
子集、集合的相等
如果A不是B的子集,则记作AB,读作A不包含 于B,或B不包含A。
AB x(xA并且xB) 若A，B，C是集合。 (1)AA (2)如果AB,且BC则:AC 要注意“”与“”在概念上的区别。
对照上面这两个概念，比较集合{a}与{a, {a}}。
{a}{a,{a}}。并且{a} {a,{a}}
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1.2
子集、集合的相等
注意,2Ø={Ø}。 在这里要区分Ø和{Ø} Ø为空集,而{Ø}是一个集族。 Ø { Ø }