集合论与图论

集合论与图论习题册软件基础教研室刘峰2015.02第一章 集合及其运算8P 习题1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。

2.下列命题中哪些是真的，哪些为假a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ⊆；c)对每个集A ，{}A A ∈；d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ⊆；f)对每个集A ，{}A A ⊆； g)对每个集A ，2A A ∈；h)对每个集A ，2A A ⊆； i)对每个集A ，{}2A A ⊆；j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ⊆； m)对每个集A ，{}A A =；n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ⊆，则22A B ⊆q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈⇔∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。

答案：3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆ ，试证：12n A A A === 。

4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。

16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔= 。

7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆。

9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C = 。

10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。

11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。

12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C = 且A B B C = ，试证B=C 。

15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。

(1)(\)\(\)A B C A B C = ；(2)(\)()\A B C A B C = ；(3)\()()\A B C A B B = 。

（答案：都不正确）16．下列命题哪个为真？ 答案：_________a)对任何集合A,B,C ，若A B B C = ，则A=C 。

b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C = ，则B=C 。

c)对任何集合A,B ，222A B A B = 。

d)对任何集合A,B ，222A B A B = 。

e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。

f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。

17．填空：设A,B 是两个集合。

a)x A B ∈⇔ ________________； b)x A B ∈⇔ _________________ c)\x A B ∈⇔_________________； d)x A B ∈∆⇔_________________。

18．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？答案：____（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C ；（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C ；（e ）()()A B A C 。

20P 习题20．设A,B,C 为集合，并且A B A C = ，则下列断言哪个成立？(1)B C =；(2)A B A C = ；(3)C C A B A C = ；(4)C C A B A C = 。

答案：21．设A,B,C 为任意集合，化简()()()()()()()C C C C C C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C25P 习题24．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。

求2,,,A B B A A C A B ⨯⨯⨯⨯。

25．设A,B 为集合，试证：A×B＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。

26．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：()()()()A B C D A C B D ⨯=⨯⨯29．设,,A B C 是三个任意集合，证明：()()()A B C A B A C ⨯∆=⨯∆⨯。

30．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？（1）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈且y B ∈； （2）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈或y B ∈；（3）222A B A B ⨯=⨯； （4）若A C B C ⨯=⨯，则A B =；（5）若,A C B C C ⨯=⨯≠∅，则A B =。

答案：______31．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？ 答案：_______32．设,A B 是两个集合，B ≠∅，试证：若B B B A ⨯=⨯，则A B =。

33P 习题33．设A,B 是两个有限集，试求22?A B ⨯=34.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。

问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？第二章 映射习题39P 习题1. 设A ，B 是有穷集，,A m B n ==。

则（1）计算B A ； （2）从A 到A 有多少个双射？43P 习题3. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。

5. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。

6.设12,,,n a a a 为1,2,3,,n 的任一排列，若n 是奇数且12(1)(2)()0n a a a n ---≠ ，则乘积为偶数。

46P 习题7.设:f X Y →，,C D Y ⊆，证明111(\)()\()f C D f C f D ---=8. 设:f X Y →，X B A ⊆,，，证明)(\)()\(B f A f B A f ⊇。

10.设:,,f X Y A X B Y →⊆⊆。

以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。

（1）（a ）若()()f x f A ∈，则x 未必在A 中；（b ）若()()f x f A ∈，则x A ∈；（c ）若()()f x f A ∈，则x A ∈； （d ）若()()f x f A ∈，则c x A ∈。

（2）（a ）1(())f f B B -=； （b ）1(())f f B B -⊆；（c ）1(())f f B B -⊇； （d ）1(())c f f B B -=。

（3）（a ）1(())f f A A -=； （b ）1(())f f A A -⊆；（c ）1(())f f A A -⊇； （d ）上面三个均不对。

（4）（a ）()f A ≠∅； （b ）()f B ≠∅；（c ）若1,()y Y f y x -∈∈则； （d ）若1,()y Y f y x -∈⊆则。

50P 习题15. 设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0X a b c Y Z f X Y f a f b ===→==，()1;:f c g Y =→Z ，(0)2,(1)3g g ==，试求g f 。

55P 习题17．设{1,2,3,}N = ，试构造两个映射f 和g ：N N →，使得（1）N fg I =，但N gf I ≠；（2）N gf I =，但N fg I ≠。

18.设:f X Y →则（1）若存在唯一的一个映射:g Y X →，使得X gf I =，则f 是可逆的吗？（2）若存在唯一的一个映射:g Y X →，使得Y fg I =，则f 是可逆的吗？20. 是否有一个从X 到X 的一一对应f ，使得1f f -=，但X f I ≠？63P 习题21.设1212345123454321532514σσ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，＝，求11122112,,,σσσσσσ--。

22.将置换123456789791652348⎛⎫ ⎪⎝⎭分解成对换的乘积。

第三章 关系习题86P 习题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的 二元关系？3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立：a)若R 与S 是自反的，则,R S R S 分别也是自反的；b) 若R 与S 是对称的，则,R S R S 分别对称的；c) 若R 与S 是传递的，则R S 也是传递的；d) 若R 与S 不是自反的，则R S 也不是自反的；e) 若R 与S 是反自反的，则,R S R S 也是反自反的；f) 若R 是自反的，则c R 也是反自反的；g) 若R 与S 是传递的，则R\S 是传递的。

答案：________________________________________________4.实数集合上的“小于”关系<是否是反自反的？集合X 的幂集上的“真包含”关系⊂是否是反自反的？为什么？5.设R 、S 是X 上的二元关系。

证明：（1）11()R R --=； （2）111()R S R S ---= ；（3）111()R S R S ---= ； （4）若R S ⊆，则11R S --⊆；6．设R 是X 上的二元关系，证明：1R R - 是对称的二元关系。

7．设R 为X 上的是反自反的和传递的二元关系,证明：R 是反对称的。

92P 习题9.“父子“关系的平方是什么关系？ 答案：_____________11.设R 与S 为X 上的任两个二元关系，下列命题哪些为真？ 答案：_______a ）若R,S 都是自反的，则R S 也是自反的；b ）若R,S 都是对称的，则R S 也是对称的；c ）若R,S 都是反自反的，则R S 也是反自反的；d ）若R,S 都是反对称的，则R S 也是反对称的；e ）若R,S 都是传递的，则R S 也是传递的。

12．设R 1是A 到B ，R 2和R 3是B 到C 的二元关系，则一般情况下：1231213(\)()\()R R R R R R R ≠ 。

但有人声称等号成立，他的证明如下：设123(,)(\)a c R R R ∈ ，则b X ∃∈，使得1(,)a b R ∈且23(,)\b c R R ∈。

于是2(,)b c R ∈且3(,)b c R ∈。