专题1.4+多元问题的最值问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品+Word版含解析

一．方法综述多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等. 二．解题策略 类型一 导数法例1.【2018上海市长宁、嘉定区一模】若不等式()222x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y恒成立，则实数c 的最大值为__________．【答案】4【举一反三】【2018江西省临川二中、新余四中联考】已知函数()f x 的定义域是R ，()()()210 811(0)x ax x f x ln x x ⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩（a 为小于0的常数）设12x x <且()()12''f x f x =，若21x x -的最小值大于5，则a 的范围是__________．【答案】(),4-∞-类型二 消元法例2.【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数x ，都存在实数y 与之对应，则当()220x y y x e y x ae ----=时，实数a 的取值范围为（ ）A. 1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. (),0-∞ C. 10,3e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 1,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D【解析】由题设有()33x ya y x e-=-，令x y t -=，则3,ta te t R =-∈，所以()3'13,t a t e t R =-+∈，当1,3t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时， '0a >， 3t a te =在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭为增函数；当1,3t ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时， '0a <， 3t a te =在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭为减函数，所以max 13a e =，注意到当0t >时， 0a <，故选D. 【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把x y -看成整体，从而把问题转化为一元函数的值域来讨论. 【举一反三】类型三.基本不等式法例 3.【2018湖南省长沙市第一中学模拟】设二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222b a c+的最大值为__________．【答案】2【举一反三】【2018四川省成都市第七中学一诊】设函数()()21,,x x xf xg x x e+==对任意()12,0,,x x ∈+∞不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是__________．【答案】121k e ≥- 【解析】对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立， ()2112x f x x x x +=++≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，即()f x 的最小值是2，由()x xg x e =，则()()21'x x x x e xe x g x e e--==，由()'0g x >得01x <<，此时函数()g x 为增函数，由()'0g x >得1x >，此时函数()g x 为减函数，即当1x =时， ()g x 取得极大值同时也是最大值()11g e =，则()()12g x f x 的最大值为1122e e=，则由112k k e ≥+，得21ek k ≥+，即()211k e -≥，则121k e ≥-，故答案为121k e ≥-. 类型四 换元法例4.若a 1x ≤sin x ＜a 2x 对任意的x ∈(0,]2π都成立，则a 2－a 1的最小值是________．【答案】21π-【举一反三】【2018四川省广元市统考】若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ）A. 94-B. 94C. 274D. 274- 【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意知1q >． ∵()()243510a a a a λ+-+-=，∴3241142531111a a a q a q a a a q a q λ+-+-==--． ∴33678761111891114222111111a q a q a q a q q a a a q a q a q q a q a q q q λ+-+-+=+⋅=+⋅=---， 设()62,(1)1x f x x x =>-，则()()()52222231x x f x x -'=-，故当1x <<()()0,f x f x '<单调递减；当x >时， ()()0,f x f x '>单调递增．∴当x =，即232x =时， ()f x 有最小值，且()min 32724f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴89a a λ+的最小值为274．故选C ． 三．强化训练1．【2018四川省绵阳市南山二诊】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（ ）A. 0B.C.D. -1 【答案】D2．【2018河北省涞水波峰中学联考】已知函数()()231,ln 42x xf x eg x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A.12ln22+ B. ln2 C. 2ln2 D. 1ln22+ 【答案】D 【解析】令231ln 42m nek -=+=，则()141ln 3,22k m k n e -=+=， 所以()1412ln 32k n m ek --=-+，令()()1412ln 32k h k e k -=-+， 则()141'22k h k ek -=-，又()'h k 是增函数，且1'04h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()h k 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()min 11ln242h k h ⎛⎫==+⎪⎝⎭，故选D 。

3．【2018四川省绵阳市一诊】已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ）A. 2﹣B. 1﹣C. ﹣2D. ﹣1 【答案】D4.若曲线21:C y x =与曲线2:x C y ae =(0)a >存在公共切线，则a 的取值范围为（ ） A ．28[,)e +∞ B ．28(0,]e C ．24[,)e+∞ D ．24(0,]e 【答案】D5.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 【答案】A【解析】当x ≤0时，f (x )＝2x ，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x ＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 2(log 2x )，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝⎛⎭⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.6．【2018四川省广元市统考】已知函数()()1,ln22xx f x e g x ==+，对任意a R ∈，存在()0,b ∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 1B. 212e -C. 2ln2-D. 2ln2+ 【答案】D【解析】令a y e =， 则a lny = ，令122b y ln =+ ，可得122y b e -= ，则112212'2y y b a elny b a ey---=-∴-=-，（）． 显然，'b a -（） 是增函数，观察可得当12y = 时，'0b a -=（），故'b a -（） 有唯一零点．故当12y = 时， b a -取得最小值为111222122222y e lny e ln ln ---=-=+，故选D ．7．【2018河南省郑州市检测】已知函数()()2,1 1,12,x x f x ln x x ⎧≤⎪=⎨-<≤⎪⎩若不等式()5f x mx ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】5[0,]2①当0m <时不成立； ②当0m =时成立；③当0m >时，需满足当2x =时， ()2520g m =-≥，解得502m <≤． 综上可得502m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是5[0,]2．8.已知函数2()(,),f x x bx c b c R =++∈对任意的x R ∈，恒有'()f x ≤()f x .若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为 ． 【答案】23.9．【2018江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校监测】已知函数()()ln f x x e a x b =+-+，其中e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最大值为__________． 【答案】1e【解析】由函数的解析式可得： ()()()1'0f x e a x x=+->， 当0,x a e >≤时， ()'0f x >，不合题意，舍去， 当a e >时，由()'0f x =可得： 1x a e=-，令()()()()ln H x e x e x e x e =--->，则()'H x = ()ln 1x e ---，令()'0H x =可得： 1x e e=+， 当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时， ()()'0,H x H x >单调递增，当1,x e e⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时， ()()'0,H x H x <单调递减，当1x e e =+时， ()H x 取得最大值： 11H e e e e ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 且：x e →时， ()0H x >， ()20H e =，据此可知()g x 在区间(),2e e 上单调递增，在区间()2,e +∞上单调递减，即函数()g x 的最大值为()ln 1122e g e e e+==， 综上可得： b a 的最大值为1e . 10.已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为__________．【答案】10【解析】当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝169＋25k 25(1＋k 2)＝165 9＋25k 2(1＋k 2)2，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t ⎝⎛⎭⎫t ＋16252＝165×25t t 2＋162＋32t ＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10. 11．【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】已知函数)0,()(23≠∈-+=a R a ax x ax x f 且.如果存在实数(]1--，∞∈a ，使函数)()()(x f x f x g '+=，[]b x ,1-∈()1->b 在1-=x 处取得最小值，则实数b 的最大值为 .【答案】21-17解得21171-≤<-b ，故实数b 的最大值为21-17. 12．【2018江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校联考】已知函数()33x x f x e e x x -=-++，若()()2110f a f b -+-=，则, ()22211,11a b a a b+∈-++时的最小值为________． 【答案】94。