2018届高三数学二轮复习 角与距离 专题卷(全国通用) word版(含参考答案)

专题对点练17 角与距离

1.

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

(1)证明由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,

所以AF⊥平面EFDC.

又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.

(2)解过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.

以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.

由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,

可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).

由已知,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.

由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,

所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.

从而可得C(-2,0,).

所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,

则

所以可取n=(3,0,-).

设m是平面ABCD的法向量,则

同理可取m=(0,,4),

则cos==-.

故二面角E-BC-A的余弦值为-.

2.(2017山东,理17)

如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.

(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.

解 (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.

(2)解法一:取的中点H,连接EH,GH,CH.

因为∠EBC=120°,

所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=.

取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,

所以∠EMC为所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EM=CM==2.

在△BEC中,由于∠EBC=120°,

由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以EC=2,因此△EMC为等边三角

形,故所求的角为60°.

解法二:以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故

=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量.

由可得

取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2).

设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.

由可得

取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2).

所以cos=.

因此所求的角为60°.

3.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF 交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.

(1)证明:D'H⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.

解 (1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.

又由AE=CF得,

故AC∥EF.

因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.

由AB=5,AC=6得DO=BO==4.

由EF∥AC得.

所以OH=1,D'H=DH=3.

于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.

又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,

所以D'H⊥平面ABCD.

(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.

则

H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=

(3,1,3).

设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,

则

所以可取m=(4,3,-5).

设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,

则

所以可取n=(0,-3,1).

于是cos==-.

sin=.

因此二面角B-D'A-C的正弦值是.

4.

(2017北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M 在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(1)求证:M为PB的中点;

(2)求二面角B-PD-A的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

(1)证明设AC,BD交点为E,连接ME.

因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,

所以PD∥ME.

因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.

所以M为PB的中点.

(2)解取AD的中点O,连接OP,OE.

因为PA=PD,所以OP⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,

所以OP⊥平面ABCD.

因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.

因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.

如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).

设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),

则令x=1,则y=1,z=.

于是n=(1,1,),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).

所以cos=.

由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.