江苏省南京市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
江苏省南京市1617学年度高一下学期期末考试——数学数学
江苏省南京市2016—2017学年度下学期期末考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名和考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效． 4．本卷考试结束后，上交答题卡．参考公式：锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．直线y ＝3x －2的倾斜角大小为 ▲ ．2．若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 6的值为 ▲ ． 3．直线3x －4y －12＝0在x 轴、y 轴上的截距之和为 ▲ ．4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝2，A ＝120°，则B 的大小为 ▲ ．5．不等式x －1x ＋2＜0的解集为 ▲ ．6．函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为 ▲ ．7．若函数y ＝x ＋9x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，则该函数的最小值为 ▲ ．8．如图，若正四棱锥P —ABCD 的底面边长为2，斜高为5， 则该正四棱锥的体积为 ▲ ．9．若sin(θ＋π3)＝513，θ∈(π6，2π3)，则cos θ的值为 ▲ ．10．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号．．．．．为 ▲ ．①若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β．11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．若S 3，S 2，S 4成等差数列，则实数q 的值为 ▲ ． 12．已知关于x 的不等式(x －1)(x －2a )＞0(a ∈R )的解集为A ，集合B ＝(2，3)．若B A ，则a 的取值范围为 ▲ ． 13．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2n ，n ∈N *．若16λ1＋a n＋19≤3n 对任意n ∈N *都成立，则实数λ的取值范围为 ▲ ．14．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且1x －y ＋8x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．DPABC（第8题）已知sin α＝35，α∈(π2，π)．（1）求sin(π6－α)的值；（2）求tan2α的值．16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，M ，N ，P 分别为AB ，A 1C 1，BC 的中点． 求证：（1）C 1P ∥平面MNC ；（2）平面MNC ⊥平面ABB 1A 1．已知三角形的顶点分别为A (－1，3)，B (3，2)，C (1，0)． （1）求BC 边上高的长度；（2）若直线l 过点C ，且在l 上不存在到A ，B 两点的距离相等的点，求直线l 的方程． 18．（本小题满分16分）如图，在圆内接△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ． （1）求B 的大小；（2）若点D 是劣弧AC ⌒上一点，AB ＝3，BC ＝2，AD ＝1，求四边形ABCD 的面积．某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB 为4米，它所占水平地面的长AC 为8米．该广告画最高点E 到地面的距离为10.5米，最低点D 到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN 为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE 的视角为θ．（1）设此人到直线EC 的距离为x 米，试用x 表示点M 到地面的距离； （2）此人到直线EC 的距离为多少米时，视角θ最大？20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }，其中{a n }的公差不为0．设S n 是数列{a n }的前n 项和．若a 1，a 2，a 5是数列{b n }的前3项，且S 4＝16． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若数列{4S n －1a n ＋t}为等差数列，求实数t ；（3）构造数列a 1，b 1，a 2，b 1，b 2，a 3，b 1，b 2，b 3，…，a k ，b 1，b 2，…，b k ，…．若该数列前n 项和T n ＝1821，求n 的值．南京市2016—2017学年度第二学期期末学情调研测试卷高一数学参考答案及评分标准 2017.06说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．60° 2．32 3．1 4．45° 5．(－2，1) 6． 27．4 8．839．53－122610．③④θDE M C B A N （第19题）11．－212．(－∞，1] 13．(－∞，－8] 14．253二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为sin α＝35，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45， …………………3分所以 sin(π6－α)＝sin π6cos α－cos π6sin α …………………5分＝12×(－45)－32×35＝－4＋3 3 10． …………………7分（2）因为tan α＝sin αcos α＝－34， …………………9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α …………………12分＝2×(－34)1－(－34)2＝－247． …………………14分16．证明：（1）方法1连结MP ．因为M ，P 分别是AB ，BC 的中点，所以MP ∥＝12AC ．…………………2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC ∥＝A 1C 1，且N 是A 1C 1的中点， 所以MP ∥＝C 1N ，所以四边形MPC 1N 是平行四边形，所以C 1P ∥MN ． …………………4分又因为C 1P 平面MNC ，MN 平面MNC ，所以C 1P ∥平面MNC ． …………………6分方法2 连结AC 1，与CN 交于点D ，连结AP ，与CM 交于点E ，连结DE ．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以∠ACD ＝∠C 1ND ．又因为∠ADC ＝∠C 1DN ，所以△ACD ∽△C 1ND ．又因为N 为A 1C 1的中点，所以AD DC 1＝ACNC 1＝2．……………2分在△ABC 中，E 为中线AP ，CM 的交点，所以E 为△ABC 的重心，所以AEEP＝2，B 1NB AA 1M C 1CP （第16题）所以AD DC 1＝AE EP ，所以AD AC 1＝AEAP， 所以DE ∥C 1P ． …………………4分 又因为C 1P 平面MNC ，DE 平面MNC ， 所以C 1P ∥平面MNC ． …………………6分 （2）在△ABC 中，因为CA ＝CB ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ． …………………8分 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ， 因为CM 平面ABC ，所以B 1B ⊥CM ． …………………10分 又因为B 1B∩AB ＝B ，B 1B ，AB 平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥平面ABB 1A 1， …………………12分 又CM 平面MNC ，所以平面MNC ⊥平面ABB 1A 1． …………………14分17．解：（1）因为k BC ＝2－03－1＝1，…………………2分所以直线BC 的方程是y ＝x －1，即x －y －1＝0． …………………4分所以A 到直线BC 的距离为d ＝|－1－3－1|12＋(－1)2＝522， 即BC 边上高的长度为522．…………………6分（2）方法1①若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝1．假设l 上存在一点P (1，y 0)到A ，B 两点的距离相等，所以AP ＝BP ，即[1－(－1)]2＋(y 0－3)2＝(1－3)2＋(y 0－2)2，解得y 0＝52，即存在点P (1，52)到A ，B 两点的距离相等，所以此时直线l 不符合题意． …………………8分②若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －1)．假设l 上存在一点P (x 0，k (x 0－1))到A ，B 两点的距离相等， 所以AP ＝BP ， 即[ x 0－(－1)]2＋[k (x 0－1)－3]2＝(x 0－3)2＋[k (x 0－1)－2]2，…………………10分化简得(8－2k ) x 0－3＋2k ＝0，(*)(Ⅰ)若k ＝4，该方程(*)无解，即不存在点P 到A ，B 两点的距离相等，所以此时直线l 符合题意．此时直线l 的方程为y ＝4(x －1)，即y ＝4x －4． ………………12分(Ⅱ)若k ≠4，则x 0＝2k －32k －8，即点P (2k －32k －8，5k2k －8)，所以此时直线l 不符合题意．综上，直线l 的方程为y ＝4x －4． …………………14分方法2 k AB ＝3－2－1－3＝－14．…………………8分因为l 上不存在点到A ，B 两点的距离相等，所以l ⊥AB ，……………10分所以k l ＝4， …………………12分 所以直线l 的方程为y ＝4(x －1)，即y ＝4x －4． …………………14分18．解：（1）方法1设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得 2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ， …………………2分 即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，所以sin B ＝2sin B cos B ． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝12．…………………4分 因为0＜B ＜π，所以B ＝π3．…………………6分方法2根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·cos B ，……………2分化简得cos B ＝12．…………………4分因为0＜B ＜π，所以B ＝π3． …………………6分（2）在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝9＋4－2×3×2×12＝7，所以AC ＝7．…………………8分 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π3．…………………10分在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，代入得 7＝1＋CD 2－2·CD ·(－12)，所以CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3（舍）． …………………14分所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC sin ∠ABC ＋12AD ·CD sin ∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×32＝23． …………………16分 19．解：（1）作MG ⊥CE 交于点G ，作NH ⊥AC 交于H ，则CH ＝GM ＝x ．在Rt △BAC 中，因为AB ＝4，AC ＝8，所以tan ∠BCA ＝12，所以NH ＝CH ·tan ∠BCA ＝x2， …………………2分所以MH ＝MN ＋NH ＝3＋x2． ……………4分（2）因为MH ＝GC ，所以DG ＝DC －GC ＝DC －MH ＝5－x2，EG ＝EC －GC ＝EC －MH ＝9－x2．θDEMCB AN（第19题）GH在Rt △DGM 中，tan ∠DMG ＝DGGM ＝5－x 2x ，在Rt △EGM 中，tan ∠EMG ＝EGGM ＝9－x2x，…………………6分所以tan θ＝tan ∠EMD ＝tan(∠EMG －∠DMG ) ＝tan ∠EMG －tan ∠DMG1＋tan ∠EMG ·tan ∠DMG＝9－x 2x －5－x 2x 1＋9－x 2x ·5－x 2x＝16x5x 2－28x ＋180 …………………10分 ＝165x －28＋180x（0＜x ≤8）． 由x ＞0，得5x ＞0，180x ＞0，所以5x －28＋180x ≥25x ·180x－28＝32，所以tan θ＝165x －28＋180x ≤12． …………………12分当且仅当5x ＝180x ，即x ＝6时取“＝”，且6∈(0，8]． …………14分因为y ＝tan θ在区间(0，π2)上是单调增函数，所以当x ＝6米时，tan θ取最大值12，此时视角θ取最大值．…………15分答：此人到直线EC 的距离为6米时，视角θ最大． …………16分20．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 1，a 2，a 5是数列{b n }的前3项，且S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，4a 1＋4×32d ＝16， 因为d ≠0，所以解得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝2．所以，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1．…………………2分又b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，故数列{b n }的公比q ＝3，所以b n ＝b 1q n －1＝3n －1． …………………4分（2）方法1由（1）可知S n ＝n 2．因为数列{4S n －1a n ＋t }是等差数列，所以可设4S n －1a n ＋t ＝an ＋b ，其中a ，b ∈R ，所以4n 2－1＝(2n －1＋t )(an ＋b )对任意n ∈N *都成立， …………6分即(2a －4)n 2＋(at －a ＋2b )n ＋b (t －1)＋1＝0对任意n ∈N *都成立． 不妨设A ＝2a －4，B ＝at －a ＋2b ，C ＝b (t －1)＋1， 则An 2＋Bn ＋C ＝0对任意n ∈N *都成立． 取n ＝1，2，3，联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＋C ＝0，4A ＋2B ＋C ＝0，9A ＋3B ＋C ＝0，解得A ＝B ＝C ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝0，at －a ＋2b ＝0，b (t －1)＋1＝0，解得t ＝0或t ＝2．…………………8分令c n ＝4S n －1a n ＋t，①当t ＝0，c n ＝4S n －1a n ＋0＝2n ＋1．因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．②当t ＝2，c n ＝4S n －1a n ＋2＝2n －1．因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列． 综上，实数t 为0或2． …………………10分 方法2由（1）可知S n ＝n 2．因为数列{4S n －1a n ＋t}是等差数列，所以4S 1－1a 1＋t ，4S 2－1a 2＋t ，4S 3－1a 3＋t 成等差数列， ………………6分所以2×4S 2－1a 2＋t ＝4S 1－1a 1＋t ＋4S 3－1a 3＋t ，即2×153＋t ＝31＋t ＋355＋t，解得t ＝0或t ＝2．…………………8分令c n ＝4S n －1a n ＋t，①当t ＝0，c n ＝4S n －1a n ＋0＝2n ＋1．因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．②当t ＝2，c n ＝4S n －1a n ＋2＝2n －1．因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列． 综上，实数t 为0或2． …………………10分（3）设从a 1到a k 各项的和为S ，S ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋[b 1＋(b 1＋b 2)＋…＋(b 1＋b 2＋…＋b k －1)]．因为b 1＋b 2＋…b k －1＝1＋3＋…＋3k －2＝1－3k －11－3＝12(3k －1－1)，所以S ＝k 2＋12×(1＋3＋32＋…＋3k －1－k )＝k 2＋12×(3k －12－k )＝k 2－k 2＋3k －14．…………………12分当k ＝8时，S ＝1700＜1821．当k ＝9时，S ＝4997＞1821． …………………14分 故T n －1700＝1821－1700＝121，所以1＋3＋32＋…＋3m －1＝12(3m －1)＝121，即3m ＝243，解得m ＝5， 所以n ＝8＋(1＋2＋…＋7)＋5＝41．…………………16分。
江苏省南京市高一数学上学期期末试题(含解析)
2015-2016学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．函数f（x）=的定义域是．2．集合A={0，1}的子集的个数是个．3．求值log345﹣log35= ．4．已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．6．函数f（x）=cos（x﹣），x∈[0，]的值域是．7．若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）．8．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为．9．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且=， =，则•= ．10．已知函数f（x）=﹣log2x的零点为x0，若x0∈（k，k+1），其中k为整数，则k= ．11．已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，则f[f（）]= ．12．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围．13．若函数f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是．14．若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值﹣1的x的值均唯一，则ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共58分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知sinx=，其中0≤x≤．（1）求cosx的值；（2）求的值．16．已知向量=（2，﹣1），=（3，﹣2），=（3，4）（1）求•（+）；（2）若（+λ）∥，求实数λ的值．17．经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=﹣t+30（1≤t≤20，t∈N*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，且f（0）=f（）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间．19．已知向量、、，满足||=，||=，•=﹣5， =x+（1﹣x）．（1）当⊥时，求实数x的值；（2）当||取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．20．对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐进函数”．（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐进函数，并求此实数p的值；（2）若函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐进函数是g（x）=ax，求实数a的值，并说明理由．2015-2016学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．函数f（x）=的定义域是（3，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．【解答】解：要使原函数有意义，则x﹣3＞0，即x＞3．∴函数f（x）=的定义域是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．集合A={0，1}的子集的个数是 4 个．【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】根据含有n个元素的集合的子集个数为2n．求解．【解答】解：集合A={0，1}中含有2个元素，∴集合A共有22=4个子集．故答案为：4．【点评】本题考查了求集合的子集个数，含有n个元素的集合的子集个数为2n．3．求值log345﹣log35= 2 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log345﹣log35=log39=2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的运算法则的应用，是基础题．4．已知角α的终边过点P（2，﹣1），则sinα的值为﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据任意角的三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边过点P（2，﹣1），∴r=，故sinα==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的定义的应用，比较基础．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9 cm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．【分析】利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】解：由题意可得圆心角大小为α=2（rad），半径为r=3，则扇形的面积为S=r2α=\frac{1}{2}×{3}^{2}×2=9cm2．故答案为：9．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．6．函数f（x）=cos（x﹣），x∈[0，]的值域是[，1] ．【考点】三角函数的最值．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意可得x﹣∈[﹣，]，由余弦函数可得最值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴当x﹣=﹣即x=0时，函数取最小值，当x﹣=0即x=时，函数取最大值1，故函数的值域为[，1]故答案为：[，1]【点评】本题考查三角函数的最值，属基础题．7．若a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c的大小关系（由小到大是）b＜a＜c ．【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查a，b，c的大小关系的判断，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的灵活运用．8．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式为y=sin（2x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】左加右减上加下减的原则，直接求出将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位所得函数的解析式：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），故答案为：y=sin（2x﹣）．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x 前面的系数的应用．9．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=2，且=， =，则•= ﹣5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，代入数量积公式计算．【解答】解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），E（3，1），F（1，1）．∴=（3，1），=（﹣2，1）．∴•=﹣6+1=﹣5．故答案为﹣5．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可简化数量积运算，是基础题．10．已知函数f（x）=﹣log2x的零点为x0，若x0∈（k，k+1），其中k为整数，则k= 2 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】求函数的定义域，判断函数的单调性，利用函数零点的判断条件进行求解即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数在定义域上为减函数，∵f（1）=3＞0，f（2）=﹣log22=﹣1=＞0，f（3）=1﹣log23＜0，∴函数f（x）在（2，3）内存在唯一的一个零点x0，∵x0∈（k，k+1），∴k=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据条件判断函数的单调性以及函数零点存在的区间是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，则f[f（）]= ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f[f（）]=f[ln]==．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．12．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围（0，）∪（10，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】直接根据偶函数图象关于y轴对称的性质列出不等式，运算求解即为结果．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在x∈[0，+∞）上是单调增函数，则f（1）=f（﹣1），结合偶函数的图象，不等式f（lgx）＞f（1）等价为：|lgx|＞1，即lgx＞1或lgx＜﹣1，解得，x∈（0，）∪（10，+∞），故答案为：（0，）∪（10，+∞）．【点评】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数函数的图象和性质，对数不等式的解法，属于中档题．13．若函数f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（0，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】根据函数与方程之间的关系转化为f（x）=m﹣4x﹣3×2x+1﹣2=0，有根，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性质进行转化进行求解即可．【解答】解：若f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2的图象与x轴有交点，即f（x）=m•4x﹣3×2x+1﹣2=0，有根，即m•4x=3×2x+1+2，则m==+，设t=，则t＞0，则函数等价为m=6t+2t2=2（t2+3t）=2（t+）2﹣，∵t＞0，∴y=6t+2t2=2（t2+3t）=2（t+）2﹣＞0，即m＞0，故答案为：（0，+∞）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法和转化法结合指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．若函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值﹣1的x的值均唯一，则ω的取值范围是[，）．【考点】三角函数的最值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的周期性以及最值，可得≤2π＜，由此求得ω的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值﹣1的x的值均唯一，∴≤2π＜，求得≤ω＜，故答案为：[，）．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及最值，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共58分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知sinx=，其中0≤x≤．（1）求cosx的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】（1）由sinx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosx的值即可；（2）原式利用诱导公式化简，将sinx与cosx的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵sinx=，0≤x≤，∴cosx==；（2）∵sinx=，cosx=，∴原式===．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．16．已知向量=（2，﹣1），=（3，﹣2），=（3，4）（1）求•（+）；（2）若（+λ）∥，求实数λ的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出各向量的坐标，代入坐标公式计算．【解答】解：（1）=（6，2），=2×6﹣1×2=10．（2）（+λ）=（2+3λ，﹣1﹣2λ），∵（+λ）∥，∴4（2+3λ）﹣3（﹣1﹣2λ）=0，解得λ=﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量共线的判断，是基础题．17．经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t（天）的函数，日销售量（单位：件）近似地满足：f （t）=﹣t+30（1≤t≤20，t∈N*），日销售价格（单位：元）近似地满足：g（t）=（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）通过S=f （t）•g（t）求出函数的解析式．（2）利用函数的解析式，通过分段函数分别求出函数的最值．【解答】解：（1）由题意知，S=f （t）•g（t）=…（2）当1≤t≤10，t∈N*时，S=（2t+40）（﹣t+30）=﹣2 t2+20t+1200=﹣2 （t﹣5）2+1250．因此，当t=5时，S最大值为1250；…当11≤t≤20，t∈N*时，S=15（﹣t+30）=﹣15t+450为减函数，因此，当t=11时，S最大值为285．…综上，S的最大值为1250．答：当t=5时，日销售额S最大，最大值为1250元．…【点评】本题考查分段函数的解析式的求法，考查函数的最值，考查计算能力．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，且f（0）=f（）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的解析式，并写出它的单调增区间．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由函数图象可得A=2，又由f（0）=f（），可知函数f（x）一条对称轴为x=，即可求得f（x）的最小正周期T=4（﹣）=π．（2）由（1）及周期公式可得：ω=2，由点（，﹣2）在函数图象上，可得：2sin（×2+φ）=﹣2，结合范围0＜φ＜2π，可得φ，即可解得f（x）的解析式，由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z即可解得函数单调递增区间．【解答】（本题满分为10分）解：（1）由函数图象可得：A=2，又由f（0）=f（），可知函数f（x）一条对称轴为x==，故函数f（x）的最小正周期T=4（﹣）=π．（2）由（1）可得：ω==2，由点（，﹣2）在函数图象上，可得：2sin（×2+φ）=﹣2，解得：φ=2kπ+，k∈Z，又0＜φ＜2π，可得：φ=，f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）．故由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z即可解得函数单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．19．已知向量、、，满足||=，||=，•=﹣5， =x+（1﹣x）．（1）当⊥时，求实数x的值；（2）当||取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用．【分析】（1）利用⊥时•=0，列出方程求出x的值；（2）求出x=时||取得最小值，再求此时向量与的夹角余弦值．【解答】解：（1）||=，||=，•=﹣5， =x+（1﹣x）；当⊥时，•=•[x+（1﹣x）]=x•+（1﹣x）=0，∴﹣5x+5（1﹣x）=0，解得x=；（2）∵=x2+2x（1﹣x）•+（1﹣x）2=10x2﹣10x（1﹣x）+5（1﹣x）2=25x2﹣20x+5，当x==时，||取得最小值，此时=+，∴•=+•=×10+×（﹣5）=1，且||=1，∴向量与的夹角余弦值为cos＜，＞===．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题，也考查了求向量的模长与夹角的应用问题，是基础题目．20．对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减；②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b为f（x）的“渐进函数”．（1）证明：函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐进函数，并求此实数p的值；（2）若函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐进函数是g（x）=ax，求实数a的值，并说明理由．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过令t（x）=f（x）﹣g（x），利用“渐近函数”的定义逐条验证即可；（2）通过记t（x）=f（x）﹣g（x），结合“渐近函数”的定义可知＜a，问题转化为求当x∈[0，+∞）时q（x）=的最大值问题，进而计算可得结论．【解答】解：（1）证明：依题意，令t（x）=f（x）﹣g（x），则t（x）=﹣（x+1）=，∵t′（x）=﹣＜0，∴t（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且t（x）=0，∴0＜t（x）≤t（0）=2，于是函数g（x）=x+1是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数，此时实数p=2；（2）解：记t（x）=f（x）﹣g（x）=﹣ax，则t′（x）=﹣a，∵函数f（x）=，x∈[0，+∞）的渐近函数是g（x）=ax，∴当x∈[0，+∞）时t′（x）＜0，即＜a，令函数q（x）=，其中x∈[0，+∞），当x=0时，q（x）=0；当x≠0时，q（x）===在区间（0，+∞）上单调递增，且q（x）=2，∴a≥2．【点评】本题考查新定义函数，涉及导数的计算，函数单调性及极限知识，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2016-2017学年江苏省南京市高一下期末数学试卷((有答案))AlPnqU
2016-2017学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为．8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．2016-2017学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）直线y=x﹣2的倾斜角大小为60°．【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=，设倾斜角等于α，则0°≤α＜180°，且tanα=，∴α=60°，故答案为60°．2．（5分）若数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6的值为32．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1=2a n，n∈N*，则a6=1×25=32．故答案为：32．3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为1．【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式：=1，∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1．故答案为：1．4．（5分）在△ABC中，若a=，b=，A=120°，则B的大小为45°．【解答】解：∵a=，b=，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=45°．故答案为：45°．5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2，又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx===．∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为．故答案为：7．（5分）若函数y=x+，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为4．【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞），∴x+2＞0∴y=x+=x+2+﹣2≥2﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，故该函数的最小值为4，故答案为：48．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则c osθ的值为．【解答】解：sin（θ+）=，利用和与差构造即可求解．∵θ∈（，），∴θ+∈（，π）∴cos（θ+）=﹣．那么：cosθ=cos[（θ+）﹣]=cos（θ+）cos+sin sin（θ+）==．故答案为：．10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为③④．①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若a⊥α，b⊥α，则a∥b；④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确；在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．故答案为：③④．11．（5分）设等比数列{a n}的公比q，前n项和为S n．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为﹣2．【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0，可得q=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立，解得．②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a．综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．13．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，若+19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8] ．【解答】解：∵a1=1，且a n+1﹣a n=2n，n∈N*，即n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n﹣1．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n﹣1．∵+19≤3n，化为：λ≤=f（n）．+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min．由f（n）≤0，可得n≤，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．f（n+1）﹣f（n）=﹣=≤0，解得n≤．∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），可得f（n）min=f（5）=﹣8．则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．故答案为：（﹣∞，﹣8]．14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y的最小值为．【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且+=1，则x+y===≥=．当且仅当y=，x=时取等号．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知sinα=，α∈（，π）．（1）求sin（﹣α）的值；（2）求tan2α的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π）．∴cosα==．可得：tanα=．（1）sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=×=．（2）tan2α==．16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）（1）求BC边上高的长度；（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0），∴BC的斜率为=1，故直线BC的方程为y﹣0=1•（x﹣1），即x﹣y﹣1=0，故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即=．（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB，故直线l的斜率为==4，故直线l的方程为y﹣0=4•（x﹣1），即4x﹣y﹣4=0．18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．（1）求B的大小；（2）若点D是劣弧上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB．由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB．得sinB=2sinBcosB．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴cosB=，即B=．（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=．由余弦定理，cos=，可得：AC=．在△ADC中，AC=，AD=1，ABCD在圆上，∵B=．∴∠ADC=．由余弦定理，cos==．解得：DC=2四边形ABCD的面积S=S△ABC +S△ADC=AD•DC•sin+AB•BC•sin=2．19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x，由△CHN∽△CAB可得，即，∴NH=，∴M到地面的距离MH=MN+NH=．（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=，同理EG=9﹣，∴tan∠DMG===，tan∠EMG==，∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，∵0＜x≤8，∴5x+≥2=30，当且仅当5x=即x=3时取等号，∴当x=3时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，若该数列前n项和T n=1821，求n的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{b n}的前3项，且S4=16．∴，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴b1=1，b2=3，公比q=3．∴b n=3n﹣1．（2）S n==n2．∴=．∵数列{}为等差数列，∴=+，t2﹣2t=0．解得t=2或0，经过验证满足题意．（3）由（1）可得：S n=n2，数列{b n}的前n项和A n==．数列{A n}的前n项和U n=﹣n=﹣n．数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，a k，b1，b2，…，b k，…，∴该数列前k+=项和=k2+﹣（k﹣1），∵37=2187，38=6561．∴取k=8，可得前=36项的和为：=1700，令T n=1821=1700+，解得m=5．∴n=36+5=41．。
南京市2016-2017学年度第一学期期末检测卷(高一数学)参考答案终稿
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高一数学参考答案及评分标准 2017.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1，2} 2．(－∞，1) 3．2π3 4．－513 5．126．9 7．－148．5 9．c ＜a ＜b 10．1 11．3 12．4 13．(0，13)∪(3，＋∞) 14．(0，14) 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15． 解：（1）因为sin α＋cos αsin α－2cos α＝2，化简得sin α＝5cos α． ……………………………2分 当cos α＝0时不符合题意，所以cos α≠0，所以tan α＝5． ………………………………………………6分（2）cos(π2－α)·cos(－π＋α)＝－sin αcos α ……………………………8分 ＝－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝－tan αtan 2α＋1…………………………………………12分 ＝－ 526． ……………………………………………14分 16．解：（1）因为a ＝(－2，1)，b ＝(3，－4)，所以a ＋b ＝(1，－3)，2a －b ＝(－7，6)， ……………………4分所以(a ＋b )·(2a －b )＝1×(－7)＋(－3)×6＝－25． ……………………6分（2）由（1）可知a ＋b ＝(1，－3)，且a ＝(－2，1)，所以|a |＝5，|a ＋b |＝10，a ·(a ＋b )＝－5． ……………………9分设向量a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝－22． ……………………11分 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即向量a 与a ＋b 的夹角为3π4． ……………………14分 17．解：（1）依题意，y ＝x (a －2x )(2a －2x )，x ∈(0，1]． ………………………………4分（2）y ＝V (x )x＝(a －2x )(2a －2x ) …………………………………6分 ＝4x 2－6ax ＋2a 2．因为对称轴x ＝34a ，且a ＞2 ，所以x ＝34a ＞32＞1， …………………………8分 所以当x ＝1，y min ＝4－6a ＋2a 2． ………………………12分答：当x ＝1时，y 最小，最小值为4－6a ＋2a 2． …………………………14分18． 解：（1）由T ＝2πω，得2πω＝π，所以ω＝2． 因为点P (π6，2)是该函数图象的一个最高点，且A ＞0，所以A ＝2．…………2分 此时f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又将点P (π6，2)的坐标代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 得2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ． ………………………4分 又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6． 综上，f (x )＝2sin(2x ＋π6)． ………………………6分 （2） 因为x ∈[－π2，0]，所以2x ＋π6∈[－5π6，π6]， ………………………8分 所以sin(2x ＋π6)∈[－1，12]，即2sin(2x ＋π6)∈[－2，1]， 所以函数y ＝f (x )的值域为[－2，1]． ………………………10分（3）y ＝g (x )＝2sin[2(x －θ)＋π6]＝2sin(2x －2θ＋π6)． ………………………12分 因为0≤x ≤π4，所以π6－2θ≤2x －2θ＋π6≤2π3－2θ， 所以⎩⎨⎧π6－2θ≥2k π－π2，2π3－2θ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得－k π＋π12≤θ≤－k π＋π3，k ∈Z ． ………………………14分 因为0＜θ＜π2，所以k ＝0，所以π12≤θ≤π3． ………………………16分 19．解：（1）因为AB →＝CB →－CA →， ………………………2分所以AB →2＝(CB →－CA →)2＝CB →2－2CB →·CA →＋CA →2＝22－2×2×1×12＋12＝3， 所以|AB →|＝3． ………………………4分（2）解法1：①当λ＝12时，AE →＝12CB →－CA →，CD →＝12(CB →＋CA →)． ……………………6分 所以AE →·CD →＝(12CB →－CA →)·12(CB →＋CA →)＝12×(12CB →2－12CB →·CA →－CA →2) ＝12×(12×22－12×2×1×12－12)＝14． …………………8分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为BE →＝λBC →，所以AE →＝CE →－CA →＝(1－λ)CB →－CA →． …………………10分因为AD →＝λAB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝λCB →＋(1－λ)CA →． ……………………12分所以AE →·CD →＝[(1－λ)CB →－CA →]·[λCB →＋(1－λ)CA →]＝λ(1－λ)CB →2＋(λ2－3λ＋1)CB →·CA →－(1－λ)CA →2＝λ(1－λ)×22＋(λ2－3λ＋1)×2×1×12－(1－λ)×12 ＝－3λ2＋2λ＝0． ………………………14分解得λ＝23或λ＝0． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，故存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 解法2：由（1）得CA ＝1，CB ＝2，AB ＝3，满足CB 2＝AB 2＋CA 2， 所以∠CAB ＝90︒．如图，以A 原点，AB 边所在直线为x 轴，AC 边所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (3，0)，C (0，1)． ……………6分 ①当λ＝12时，AE →＝(32，12)，CD →＝(32，－1)， 则AE →·CD →＝14． ………………………10分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为AE →＝(3(1－λ)， λ)，CD →＝(3λ，－1)，所以AE →·CD →＝－3λ2＋2λ＝0， ………………………14分解得λ＝0或λ＝23． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，所以存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 20．解：（1）F (x )＝f (x )－g (x )＝x －a －a |x |．①当a ＝12时，由F (x )＝0，得x －12－12|x |＝0． 当x ≥0时，x －12－12x ＝0，解得x ＝1，满足条件． 当x ＜0时，x －12＋12x ＝0，解得x ＝13，不满足条件． 综上，函数y ＝F (x )的零点是1． ………………………2分②F (x )＝0，则x －a －a |x |＝0，即a (1＋|x |)＝x ．因为1＋|x |≠0，所以a ＝x 1＋|x |． ………………………4分 设φ(x )＝x 1＋|x |， 当x ＞0时，φ(x )＝x 1＋x ＝1－11＋x，所以φ(x )∈(0，1)． ………………………6分 因为φ(－x )＝－φ(x )，所以φ(x )是奇函数，所以当x ＜0时，φ(x )∈(－1，0)．又因为φ(0)＝0，所以当x ∈R ，φ(x )∈(－1，1)，所以a ∈(－1，1)． ………………………8分（2）设函数h (x )的最大值和最小值分别是M ，N ．因为对任意x 1，x 2∈[－2，2]，| h (x 1)－h (x 2)|≤6成立，所以M －N ≤6． ………………………10分解法1：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当a ＞1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＜0，所以h (x )在(－∞，0)单调减．因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2)，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (0)＝－a ，所以a ＋2－(－a )≤6，解得a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． ………………………12分②当a ＝1时，h (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，－1， x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝3，N ＝h (x )min ＝－1，所以3－(－1)≤6恒成立，所以 a ＝1符合题意．③当－1＜a ＜1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以(a ＋2)－(a －2)＝4≤6恒成立，所以－1＜a ＜1符合题意．④当a ＝－1时，h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≥0，2x ＋1，x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝1，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝－3，所以1－(－3) ＝4≤6恒成立，所以a ＝－1符合题意． ……………………14分⑤当a ＜－1时，因为a ＋1＜0，所以h (x )在(0，＋∞)单调减；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (0)＝－a ，因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2) ，所以N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以－a －(a －2)≤6，解得a ≥－2．又因为a ＜－1，所以－2≤a ＜－1．综上，a 的取值范围为[－2，2]． ……………………16分解法2：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．可知函数的图象是由两条折线段构成．所以函数的M 和N 分别为h (－2)＝－2＋a ，h (0)＝－a ，h (2)＝2＋a 三个值当中的两个． 显然2＋a ＞－2＋a ．当a ≤－1时，2＋a ≤－a ；当a ＞－1时，2＋a ＞－a ．当a ≤1时，－2＋a ≤－a ；当a ＞1时，－2＋a ＞－a ．所以，①当a ＞1时，M ＝2＋a ，N ＝－a ，M －N ＝2＋2a ，因为M －N ≤6，所以a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． …………………12分②当－1＜a ≤1时，M ＝2＋a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝4．因为M －N ≤6恒成立，所以－1＜a ≤1满足条件． …………………14分③当a ≤－1时，M ＝－a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝2－2a ．因为M －N ≤6，所以a ≥－2．又因为a ≤－1，所以－2≤a ≤－1.综上，a 的取值范围为[－2，2]． ………………………16分解法3：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当0≤x≤2，h(x)＝(1＋a)x－a．若a＞－1，则1＋a＞0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是增函数．所以h(x)max＝h(2)＝2＋a，h(x)min＝h(0)＝－a．若a＜－1，则1＋a＜0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(0)＝－a，h(x)min＝h(2)＝2＋a．若a＝－1，h(x)＝1，所以h(x)max＝h(x)min＝1．②当－2≤x＜0，h(x)＝(1－a)x－a．若a＜1，则1－a＞0，所以h(x)＝(1－a)x－a是增函数．所以h(x)＜h(0)＝－a，h(x)min＝h(－2)＝－2＋a．若a＞1，则1－a＜0，所以h(x)＝(1－a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(－2)＝－2＋a，h(x)＞h(0)＝－a．若a＝1，h(x)＝－1，所以h(x)max＝h(x)min＝－1．………………12分显然2＋a＞－2＋a．因为当a≤－1时，2＋a≤－a；当a＞－1时，2＋a＞－a；当a≤1时，－2＋a≤－a；当a＞1时，－2＋a＞－a．………………………14分所以，(Ⅰ)当a＞1时，M＝2＋a，N＝－a，M－N＝2＋2a．因为M－N≤6，所以a≤2．又因为a＞1，所以1＜a≤2．(Ⅱ)当－1＜a≤1时，M＝2＋a，N＝－2＋a，M－N＝4．因为M－N≤6恒成立，所以－1＜a≤1满足条件．(Ⅲ)当a≤－1时，M＝－a，N＝－2＋a，M－N＝2－2a．因为M－N≤6，所以a≥－2．又因为a≤－1，所以－2≤a≤－1．综上，a的取值范围为[－2，2]．………………………16分。
(完整word版)江苏省南京市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．双曲线=1的渐近线方程是．3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是．14．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．已知复数z1=m﹣2i，复数z2=1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若m=1，n=﹣1，求|z1+z2|的值；（2）若z1=（z2）2，求m，n的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M 斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．20．已知函数f （x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f （x）的最小值；（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f （x）=1成立，求a 的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f （x）≥f （）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直接利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线与曲线的切点为P（m，n），点P分别满足直线方程与曲线方程，同时y'（m）=4即可求出b值【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=5，则P到准线的距离也为5，即x+1=5，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，可得|r﹣2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【考点】归纳推理．【分析】由题意可以直接得到答案．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用；特称命题．【分析】若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得实数a的取值范围．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数f（x）的导数，根据f′（﹣3）=0，求出m的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数的极小值即可．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，0）=﹣1，故f（x）极小值=f（故答案为：﹣1．12．有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆；②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行；③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0；④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题；【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是[] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x，y），由PM=PF⇒x2+y2=2c2．只需x2+y2=2c2与椭圆E： +=1（a＞b＞0）由公共点，即b≤≤a，可求离心率的取值范围．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E： +=1（a＞b＞0）由公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）求出BC中点D的坐标，AD的斜率，即可求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求出BC边上的高所在直线的斜率为，即可求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…所以AD的斜率为k==8，…所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…16．已知复数z1=m﹣2i，复数z2=1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．（1）若m=1，n=﹣1，求|z1+z2|的值；（2）若z1=（z2）2，求m，n的值．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】（1）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．（2）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（1）当m=1，n=﹣1时，z1=1﹣2i，z2=1+i，所以z1+z2=（1﹣2i）+（1+i）=2﹣i，…所以|z1+z2|==．…（2）若z1=（z2）2，则m﹣2i=（1﹣ni）2，所以m﹣2i=（1﹣n2）﹣2ni，…所以，…解得．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…所以圆M的半径为r=，…所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f （θ）取最大值．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M 斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知点的坐标结合向量等式求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）写出CD所在直线方程，得到BC所在直线方程联立求得C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值；（3）联立直线方程和椭圆方程，求得C、D的横坐标的和与积，代入斜率公式可得k1k2为定值．【解答】（1）解：∵A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，∴3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．又∵=，∴c=，则b2=a2﹣c2=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；（2）解：CD的方程为y=k（x+1），∵BC⊥CD，∴BC的方程为y=﹣（x﹣2），联立方程组，可得点C的坐标为（，），代入椭圆方程，得，解得k=±2．又∵点C在x轴上方，＞0，则k＞0，∴k=2；（3）证明：∵直线CD的方程为y=k（x+1），联立，消去y得：（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，k1k2=====﹣，∴k1k2为定值．20．已知函数f （x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f （x）的最小值；（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f （x）=1成立，求a 的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f （x）≥f （）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）得到a=+，设g（x）=+，x∈[，e]，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）问题转化为a（x﹣）﹣2lnx≥0，令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f'（x）=1﹣=，令f'（x）=0，则x=1．…当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，…所以当x=1时，f （x）取到最小值，最小值为1．…（2）因为 f （x）=1，所以ax﹣lnx=1，即a=+，…设g（x）=+，x∈[，e]，则g'（x）=，令g'（x）=0，得x=1．当＜x＜1时，g'（x）＞0，所以g（x）在（，1）上单调递增；当1＜x＜e时，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，e）上单调递减；…因为g（1）=1，g（）=0，g（e）=，所以函数g （x）的值域是[0，1]，所以a的取值范围是[0，1]．…（3）对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，则ax﹣lnx≥+lnx，即a（x﹣）﹣2lnx≥0．令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，则h'（x）=a（1+）﹣=，①当a≥1时，ax2﹣2x+a=a（x﹣）2+≥0，所以h'（x）≥0，因此h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以x∈[1，+∞）时，恒有h（x）≥h（1）=0成立，所以a≥1满足条件．…②当0＜a＜1时，有＞1，若x∈[1，]，则ax2﹣2x+a＜0，此时h'（x）=＜0，所以h（x）在[1，]上单调递减，所以h（）＜h（1）=0，即存在x=＞1，使得h（x）＜0，所以0＜a＜1不满足条件．…③当a≤0时，因为x≥1，所以h'（x）＜0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，所以a≤0不满足条件．综上，a的取值范围为[1，+∞）．…。
2017-2018学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={x|0≤x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N=______．2.计算：lg4+lg的值是______．3.函数f（x）=（x-2）的定义域是______．4.已知tanα=2，则tan（α+）的值是______．5.若函数f（x）=cos x+|2x-a|为偶函数，则实数a的值是______．6.已知向量=（1，2），=（-2，1）．若向量-与向量k共线，则实数k的值是______．7.已知角α的终边经过点P（12，5），则sin（π+α）+cos（-α）的值是______．8.已知函数f（x）=，则f（-2）+f（log23）的值是______．9.在△ABC中，若tan A＞1，则角A的取值范围是______．10.在平行四边形ABCD中，=，=．若||=2，||=3，与的夹角为，则线段BD的长度为______．11.已知α∈（0，），且满足=2，则tanα的值是______．12.已知函数f（x）=sin（ωx-）（ω＞0），将函数y=f（x）的图象向左平移π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是______．13.如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（-4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）＞log2（x+2）的解集是______．14.若m＞0，且关于x的方程（mx-1）2-m=在区间[0，1]上有且只有一个实数解，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知向量=（1，2），=（-3，4）．（1）求向量+与向量夹角的大小；（2）若 ⊥（+λ），求实数λ的值．16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）若x∈[-，]，求f（x）的值域．17.已知sinα=-，α∈（-，0）．（1）求cos（+α）的值；（2）若sin（α+β）=-，β∈（0，），求β的值．18.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C．记∠AOB=θ，四边形ACOB的周长为l．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．19.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且=2．M是线段CE上一动点．（1）若M是线段CE的中点，=m+n，求m+n的值；（2）若AB=9，•=43，求（+2）•的最小值．20.如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）求证：函数f（x）=log2（x+1）是“和谐函数”；（2）若函数g（x）=+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】{0，1}【解析】解：集合M={x|0≤x＜2}，N={-1，0，1，2}，则M∩N={0，1}．故答案为：{0，1}．根据交集的定义计算即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】1【解析】解：lg4+lg=lg10=1．故答案为：1．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】[2，+∞）【解析】解：f（x）=（x-2）=，由x-2≥0，得x≥2．∴函数f（x）=（x-2）的定义域是：[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．化分数指数幂为根式，再由根式内部的代数式大于等于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】-3【解析】解：tanα=2，则tan（α+）==-3，故答案为：-3．直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换和求值问题的应用．5.【答案】0【解析】解：根据题意，若函数f（x）=cosx+|2x-a|为偶函数，则f（-x）=f（x），即cos（-x）+|-2x-a|=cosx+|2x-a|，则有|2x+a|=|2x-a|恒成立，必有a=0；故答案为：0．根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），即cos（-x）+|-2x-a|=cosx+|2x-a|，分析可得答案．本题考查函数奇偶性的定义与性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．6.【答案】-1【解析】解：；∵向量与向量共线；∴3（2k+1）-（k-2）=0；解得k=-1．故答案为：-1．可先求出，根据向量与向量共线即可得出3（2k+1）-（k-2）=0，求出k的值即可．考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，共线向量的坐标关系．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点P（12，5），∴sinα==，cosα==，则sin（π+α）+cos（-α）=-sinα+cosα=-+=，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．8.【答案】5【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（-2）=log24=2，3）==3，f（log∴f（-2）+f（log23）=2+3=5．故答案为：5．4=2，f（log23）==3，由此能求出f（-2）+f（log23）的值．推导出f（-2）=log本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】（，）【解析】解：△ABC中，A∈（0，π），又tanA＞1，∴角A的取值范围是（，）．故答案为：（，）．根据△ABC中A∈（0，π），结合正切函数的图象与性质，即可得出A的取值范围．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．10.【答案】【解析】解：如图所示，平行四边形ABCD中，=，=；若||=2，||=3，与的夹角为，则=-，∴=-2•+=-2•+=32-2×3×2×cos+22=7，∴线段BD的长度为．故答案为：．根据题意画出图形，利用平面向量的平行四边形合成法则表示出，再求线段BD的长度．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题．11.【答案】1【解析】解：∵==2，∴=2，∵α∈（0，），∴tanα＞0，则tanα=1，故答案为：1．结合二倍角公式化简=，然后分子分母同时除以cos2α即可求解．本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的基本应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．12.【答案】2【解析】解：∵函数y=sin（ωx）的图象向左平移π个单位后与原图象重合，∴π=n×，n∈z，∴ω=2n，n∈z．又ω＞0，故其最小值是2．故答案为：2．函数y=sin（ωx）的图象向左平移π个单位后与原图象重合，可判断出π是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，求出它的最小值．本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，解题的关键是对题意的理解，是中档题．13.【答案】（-2，2）【解析】解：根据题意，由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+2）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+2）的x范围是-2＜x＜2；所以不等式f（x）≥log2（x+2）的解集是（-2，2）；故答案为：（-2，2）根据题意，作出y=log2（x+2）的图象，利用数形结合得到不等式的解集即可得答案．本题考查了数形结合求不等式的解集；关键是准确作出函数的图象，属于基础题．14.【答案】（0，1]∪[3，+∞）【解析】解：根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，有f（0）=1-m，f（1）=m2-3m，若方程（mx-1）2-m=在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，又由m为正实数，则（1-m）（m2-3m）≤0⇒（1-m）（m-3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞），故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．根据题意，令f（x）=m2x2-2mx-+1-m，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1-m）（m2-3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数方程的转化思想，注意运用函数的零点判定定理，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】解：（1）因为=（1，2），=（-3，4），所以+=（-2，6），所以|+|==2，||=，（+）•=-2+12=10；…（4分）记向量+与向量的夹角为θ，从而cosθ===；…（6分）因为θ∈[0，π]，所以θ=，即向量+与向量的夹角为；…（8分）（2）因为 ⊥（+λ），所以•（+λ）=0，即+λ•=0，所以5+λ（-3+8）=0，…（12分）解得λ=-1．…（14分）【解析】（1）利用平面向量的数量积求模长和夹角的大小；（2）根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求得λ的值．本题考查了平面向量的数量积与模长公式和夹角的计算问题，是基础题．16.【答案】解（1）根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象，设函数f（x）的最小正周期为T，由图象知：A=2，T=-（-）=，所以周期T=π，从而ω==2．因为函数图象过点（-，2），所以sin（-+φ）=1．因为0＜φ＜π，所以-＜-+φ＜，所以-+φ=，解得φ=．因此A=2，ω=2，φ=．（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+），因为x∈[-，]，∴-≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，从而函数f（x）的值域为[-，2]．【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解（1）因为sinα=-，α∈（-，0），所以cosα==．从而 cos（+α），=cos cosα-sin sinα=×-×（-），=．（2）因为α∈（-，0），β∈（0，），所以α+β∈（-，）．因为sin（α+β）=-，所以cos（α+β）==．从而sinβ=sin[（α+β）-α]，=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-×-×（-）=．因为β∈（0，），所以β=．法二：因为 sin（α+β）=-，所以-cosβ+sinβ=-．从而有2sinβ-8cosβ=-3，又sin2β+cos2β=1，解得cosβ=，sinβ=或cosβ=，sinβ=-（舍去）．因为β∈（0，），所以β=．【解析】（1）直接利用已知条件和同角三角函数关系式的变换求出结果．（2）利用和（1）同样的方式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）在直角三角形OAB中，∵OA=1，∠AOB=θ，∴OB=cosθ，AB=sinθ．在直角三角形OAC中，∵∠POQ=，∴∠AOC=-θ，从而OC=cos（-θ），AC=sin（-θ）．∴l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ），θ∈（0，）；（2）由（1）知，l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ）=sinθ+cosθ+（cosθ-sinθ）+（cosθ+sinθ）=sinθ+cosθ=（+1）（sinθ+cosθ）=（+1）sin（θ+），θ∈（0，）．∵θ∈（0，），∴θ+∈（，），∴当且仅当θ+=，即θ=时，l取得最大值+1．∴当θ=时，l取得最大值，最大值为+1．【解析】（1）在直角三角形OAB中，由OA，∠AOB，求出OB=cosθ，AB=sinθ，在直角三角形OAC中，由∠POQ=，可得∠AOC=-θ，从而求出OC=cos（-θ），AC=sin（-θ），则可求出l关于θ的函数关系式；（2）由（1）知，l=sinθ+cosθ+sin（-θ）+cos（-θ），利用三角函数的诱导公式化简可得l=（+1）sin（θ+），由θ∈（0，），可得θ+∈（，），从而求出当θ+=，即θ=时，l取得最大值．本题考查简单的数学建模思想方法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．19.【答案】解（1）因为M是线段CE的中点，=2，所以=+=+=+（-）=（+），=（++）=+=m+n，因为与不共线，所以m=，n=，则m+n=．…（7分）；（2）在矩形ABCD中，=--，=+=--，所以•=（--）•（--）=2+•+ 2=2+2．因为AB=9，•=43，所以2+2=×92+2=43，解得||=4，即AD=BC=4．在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，则EC=5．…（11分）因为=2，所以+2=（+）+2（+）=3++2=3．…（13分）设ME=t，0≤t≤5．所以（+2）•=-3ME•MC=-3t•（5-t）=3（t2-5t）=3（t-）2-，0≤t≤5．因此当且仅当t=时，（+2）•有最小值-，从而（+2）•的最小值为-．…（16分）解法二：建立如图直角坐标系，则A（0，0），E（6，0），B（9，0），设C（9，m），m＞0．则=（-9，-m），=（-3，-m），•=27+m2=43，所以m=4 …（3分）所以C（9，4），因为M在线段CE上，设=λ，0≤λ≤1．M（x，y），则=（x-9，y-4），=（-3，-4），x-9=-3λ，y-4=-4λ，所以x=9-3λ，y=4-4λ．即M（9-3λ，4-4λ）…（5分）所以=（3λ-9，4λ-4），=（3λ，4λ-4）+2=（9λ-9，12λ-12），=（3λ，4λ），（+2）•=27λ2-27λ+48λ2-48λ=75（λ2-λ）=75（λ-）2-，0≤λ≤1．…（8分）所以当且仅当λ=时，（+2）•有最小值-，从而（+2）•的最小值为-．…（9分）注：第（1）问（7分），将用与线性表示，得（4分），指出m，n并求出m+n的值（3分），不交代与不共线，扣（1分）；第（2）问（9分），求出AD的长得（3分），求出EC的长得（1分），得出+2=3得（2分），列出（+2）•的函数关系式得（2分），求出最值得（1分）．用坐标法（解法二），求出C点坐标（即求出m值）得（3分），得出M点坐标得（2分），列出函数关系式得（3分），求出最值得（1分）．【解析】（1）由已知，用表示，然后利用向量的基本定理可求m，n，即可；（2）利用向量加法及减法的平行四边形法则表示，，，然后利用向量的数量积的定义求解•，可求AD，然后再结合向量数量积的定义及二次函数的性质可求法二：利用向量的坐标表示，结合二次函数的性质可求．本题主要考查了向量数量积及运算在实际问题中的应用，解题中要注意把实际图形问题转化为数学问题．20.【答案】解：（1）证明：函数f（x）=log2（x+1）的定义域为（-1，+∞），且在（-1，+∞）上单调递增；考察函数F（x）=f（x）-x2=log2（x+1）-x2，x∈（-1，+∞）；因为F（0）=log2 1-0=0，取a=0，则F（a）=0，即f（a）=a2；F（1）=log2 2-1=0，取b=1，则F（b）=0，即f（b）=b2；因为f（x）在[a，b]上单调递增；所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；所以函数f（x）=log2（x+1）是（-1，+∞）上的“和谐函数”；（2）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2；则g（x1）-g（x2）==，即g（x1）＜g（x2）；因此g（x）在[1，+∞）单调递增；因为函数g（x）=是“和谐函数”；所以存在[a，b]⊆[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；即g（a）=a2，g（b）=b2．因此g（x）=x2，即在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；令，u≥0，方程可化为u2+1=u+t；即u2-u+1-t=0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；记h（u）=u2-u+1-t，h（u）的对称轴为直线u=；所以△；解得＜t≤1，即t的取值范围为（，1]．【解析】（1）可判断f（x）在（-1，+∞）上单调递增，考察F（x）=f（x）-x2，可求出F（0）=F（1）=0，取a=0，得出f（a）=a2；取b=1，得出f（b）=b2．即f（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，即得出f（x）是“和谐函数”；（2）可判断g（x）在[1，+∞）上单调递增，根据g（x）是“和谐函数”可得出，存在[a，b]⊆[1，+∞）使得函数g（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]．从而得出方程在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根．进而得出u2-u+1-t=0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根，从而可得出，这样即可求出t的取值范围．考查对“和谐函数”定义的理解，对数函数单调性，函数单调性的定义，以及二次函数图象和性质．。
【解析版】数学高一上期末测试题(课后培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12116]已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>3．(0分)[ID ：12093]设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则BA =（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．(0分)[ID ：12127]在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．(0分)[ID ：12076]若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 7．(0分)[ID ：12058]已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃9．(0分)[ID ：12036]已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ）A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<10．(0分)[ID ：12032]函数121y x x =-++的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)11．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,212．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,213．(0分)[ID ：12069]已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ）A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+14．(0分)[ID ：12038]曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 15．(0分)[ID ：12074]对数函数y =log a x(a >0且a ≠1)与二次函数y =(a −1)x 2−x 在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：12208]已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 17．(0分)[ID ：12191]已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.18．(0分)[ID ：12176]若当0ln2x ≤≤时，不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．(0分)[ID ：12165]已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 20．(0分)[ID ：12161]已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 21．(0分)[ID ：12158]对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 22．(0分)[ID ：12142]若函数()242xx f x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.23．(0分)[ID ：12137]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．24．(0分)[ID ：12133]已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________.25．(0分)[ID ：12131]高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题26．(0分)[ID ：12323]定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数； （2）若()21f =，解不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 27．(0分)[ID ：12322]已知函数2()ln(3)f x x ax =-+. (1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，解不等式()x f e x ≥.28．(0分)[ID ：12298]已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ． （1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值． 29．(0分)[ID ：12286]已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.30．(0分)[ID ：12238]已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C8．C9．C10．A11．D12．C13．B14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函17．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题18．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【19．【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（﹣11）分别讨论a＞0a＜0时f（x）＞g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题20．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为21．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力22．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解23．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没24．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点25．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，c a b ∴<<．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．D解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．B解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求BA 得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}BA x x =≤<.故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．5．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.078044f ππ⎛⎫=≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 9．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=,则()()()012f f f <-<故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．10．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.11．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解12．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.13．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.14．A解析：A 【解析】试题分析：1(22)y x =-≤≤对应的图形为以0,1为圆心2为半径的圆的上半部分，直线24y kx k =-+过定点()2,4，直线与半圆相切时斜率512k =，过点()2,1-时斜率34k =，结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点：1．直线与圆的位置关系；2．数形结合法15．A解析：A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0<a <1，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，又由函数y =(a −1)x 2−x 开口向下，其图象的对称轴x =12(a−1)在y 轴左侧，排除C ，D. 若a >1，则y =log a x 在(0,+∞)上是增函数，函数y =(a −1)x 2−x 图象开口向上，且对称轴x =12(a−1)在y 轴右侧， 因此B 项不正确，只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题16．【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为：【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域． 【详解】设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．17．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题 解析：0a ≤【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0a ≤ 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.18．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为：【解析：25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】设x x t e e -=-，1xxx x t e e e e -=-=-是增函数，当0ln2x ≤≤时，302t ≤≤， 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥，即240t at ++≥，不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立，0t =时，显然成立，3(0,]2t ∈，4a t t -≤+对3[0,]2t ∈上恒成立，由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数，32t =时，min 256y =，∴256a -≤，即256a ≥-．综上，256a ≥-．故答案为：25[,)6-+∞． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．19．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围． 【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2ax =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．20．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x xa a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为1221．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1 【解析】 【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案. 【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣故答案为：1 【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.22．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】 将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.23．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-.综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.24．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4 【解析】 【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+ 44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩即240m m m --+=，解得：0m =或3m =- ①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.25．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析：{}1,0,1-【解析】 【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x xe f x e e e +-=-=--=-+++， 11x e +>，1011xe ∴<<+， 2201xe ∴-<-<+， 19195515xe ∴-<-<+， 所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，{}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.三、解答题 26．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]⋃ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与()f x -之间的关系，进而证明；（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，得()()()10f f x f x =-=，再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又412f f x x ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2424x f x f x x -⎛⎫=⋅=-⎪⎝⎭， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->⎧⎨-≤⎩或240,242,x x -<⎧⎨-≥-⎩解得23x <≤或12x ≤<.所以不等式4121f f x x ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为[1,2)(2,3]⋃. 【点睛】本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式.27．(1)24a ≤<；(2){0x x ≤或}ln3x ≥ 【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得a 的取值范围.（2）将3a =代入函数解析式,结合不等式可变形为关于x e 的不等式,解不等式即可求解. 【详解】 （1）()f x 在(,1]-∞上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知23y x ax =-+需单调递减则12130a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩解得24a ≤<.（2）将3a =代入函数解析式可得2()ln(33)f x x x =-+则由()x f e x ≥,代入可得()2ln 33x x e e x -+≥同取对数可得233x x x e e e -+≥即2(e )430x x e -+≥,所以()(e 1)30x x e --≥即e 1x ≤或3x e ≥ 0x ∴≤或ln x ≥3, 所以原不等式的解集为{}0ln 3x x x ≤≥或【点睛】本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题. 28．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m =【解析】【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值.【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m ≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m ≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值，当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去；当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意．综上所述，1m =．【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.29．(1)()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3；(2)a ∈⎣ 【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式；（2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,]2π上的单调性，而()g x a =有两个解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解得A =，2B =. 又22362T πππ=-=，可得2ω=.由6322f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得6π=ϕ.所以()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z .又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. (2)函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,]12π是递增，在[,]122ππ上递减， 要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解， 即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，所以a ∈⎣. 【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础． 30．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围.【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足AB =∅.②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >- 又A B =∅，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
南京市2017-2018学年度第一学期高一期末统考数学试卷(含解析)PDF-1
1, 2 ， b 2,1 若 向 量 a b 与 向 量 k a b 共 线 ， 则 实 数 k 的 值 是
__________ 【答案】 ：-1 【解析】 ： a b (3,1) k a b (k 2,2 k 1 )
3 (k 2) k 1 , 1 (2k 1) 2 x a 为偶函数，则实数 a 的值是__________
【答案】 ：0 【解析】 ：本题考查偶函数的定义，结合绝对值函数和余弦函数的性质。 法 1： 由题意 故有
f x f xcos x 2x a cos x 2x a cos x 2x a
5 的值是__________ 2
【答案】 ：1 【解析】 ：本题考查对数的运算，属于基础题目。
lg 4 lg
5 5 lg 4 1g10 1 2 2
1
3.函数
f x x 2 2 的定义域是__________
【答案】 ： 2, 【解析】 ： 本题是常规考点， 幂函数的定义域， 注意根式的非负性， 结果要写成集合的形式。
9.在 △ABC 中，若 tan A 1，则角 A 的取值范围是__________ 【答案】 ：
, 4 2
【解析】 ： ABC 中， A (0, ) ∵ tan A 1 ∴在
0, 中， A
, 4 2
3
，则
10.在平行四边形 ABCD 中， AB a ， AD b ，若 a 2 ， b 3 ， a 与 b 的夹角为 线段 BD 的长度为__________ 【答案】 ： 7
【答案】 ：3
tan 2 3 2 【解析】 ： 原式左边上下同除以 cos ，得 tan
【解析版】数学高一上期末经典题(课后培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12114]已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．(0分)[ID ：12106]若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>5．(0分)[ID ：12082]设f(x)＝()2,01,0x a x x a x x ⎧-≤⎪⎨++>⎪⎩若f(0)是f(x)的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]6．(0分)[ID ：12075]已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x ++++=( )A ．1010B ．2020C ．1011D ．20227．(0分)[ID ：12049]已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且RA B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >8．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,29．(0分)[ID ：12065]已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．(0分)[ID ：12064]下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =11．(0分)[ID ：12045]点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．12．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2B ．12C ．13D ．－1213．(0分)[ID ：12099]设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 14．(0分)[ID ：12035]已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1115．(0分)[ID ：12029]对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值2，最小值1 C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题16．(0分)[ID ：12209]对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.17．(0分)[ID ：12204]已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____. 18．(0分)[ID ：12196]已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．19．(0分)[ID ：12194]若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；20．(0分)[ID ：12193]定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________21．(0分)[ID ：12191]已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.22．(0分)[ID ：12182]已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：12180]设,,x y z R +∈，满足236x y z ==，则112x z y+-的最小值为__________.24．(0分)[ID ：12157]已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 25．(0分)[ID ：12147]若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12304]已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.（1）求实数a 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数；（3）若对于任意实数t ，不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立，求实数k 的取值范围. 27．(0分)[ID ：12273]已知函数()22xxf x k -=+⋅，()()log ()2xa g x f x =-（0a >且1a ≠），且(0)4f =.（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82x tf x ≥+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 28．(0分)[ID ：12240]药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数) 29．(0分)[ID ：12232]已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围;(2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.30．(0分)[ID ：12256]某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．B 10．A 11．C 12．B13．D14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可17．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f（x）是定义域在R上的偶函数将f（m ﹣2）>f（2m﹣3）转化为再利用f（x）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f（x）是定义域在R上的偶函数且f18．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本19．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为：20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式21．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题22．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题23．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题24．【解析】因为所以所以故填25．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）即f（﹣x）∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a）即2x2+（226． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果.由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <， 又函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.5．D解析：D 【解析】 【分析】由分段函数可得当0x =时，2(0)f a =，由于(0)f 是()f x 的最小值，则(,0]-∞为减函数，即有0a ≥，当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，则有22a a ≤+，解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为当x≤0时，f(x)＝()2x a -，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x ＞0时，1()2f x x a a x=++≥+，当且仅当x ＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需22(0)a f a +>=，即220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以a 的取值范围是02a ≤≤， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.6．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值.【详解】()()10f x f x ++-=，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．C解析：C 【解析】 【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.8．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．A解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A11．C解析：C【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．12．B解析：B 【解析】 y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B. 13．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．14．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.15．D解析：D 【解析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题16．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f （x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可解析：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．17．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）（53，+∞） 【解析】 【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）（53，+∞）.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解：由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填：点睛：本 解析：[0,1]【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩ ，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.19．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+，且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.21．【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为：【点睛】本题 解析：0a ≤【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，可知12ax x -≤-，即11a x≤-，令11y x =-，根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增，求解a 的取值范围，即可. 【详解】()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-，即11a x≤-. 令11y x =-，则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：0a ≤ 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.22．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题4 ⎥⎝⎦【解析】 【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.4⎥⎝⎦【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.23．【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析：【解析】 【分析】令236x y z t ===，将,,x y z 用t 表示，转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈，令1236x y z t ==>=，则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==，21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当x =.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.24．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35m n k ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =25．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f（﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2 解析：23【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解 【详解】 ∵函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即f （﹣x ）()()()()2121x xx x a x x a -==--+--+-，∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ）， 即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ， ∴2a ﹣1＝0，解得a 12=．故2(1)3f = 故答案为23【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．三、解答题 26．(1) 1a =;(2)证明见解析；(3) 13k k ≥≤-或 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，由(0)0f =，可得a 的值； （2）用定义法进行证明，可得函数()f x 在R 上是减函数；（3）根据函数的单调性与奇偶性的性质，将不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值，可得k 的范围. 【详解】解：(1)由函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数，可得：(0)0f =，即：1(0)02a f -==，1a =； （2）由(1)得：12()21xx f x -=+，任取12x x R ∈,且12x x ＜，则122112121212122(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++，12x x ＜，∴21220x x -＞，即：2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++＞， 12()()f x f x ＞，即()f x 在R 上是减函数；（3）()f x 是奇函数，∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为 ()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立，()f x 在R 上是减函数，∴21t kt t -≥-,2(1)10t k t -++≥恒成立，设2()(1)1g t t k t =-++，可得当0∆≤时，()0g t ≥恒成立，可得2(1)40k +-≥，解得13k k ≥≤-或，故k 的取值范围为：13k k ≥≤-或.【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题. 27．(1) 3k =；(2) 当1a >时，()2,log 3x ∈-∞；当01a <<时，()2log 3,x ∈+∞；(3)(],13-∞-【解析】【分析】（1）由函数过点()0,4，待定系数求参数值；（2）求出()g x 的解析式，解对数不等式，对底数进行分类讨论即可.（3）换元，将指数型不等式转化为二次不等式，再转化为最值求解即可.【详解】（1）因为()22x x f x k -=+⋅且(0)4f =，故：14k +=， 解得3k =.（2）因为()()log ()2x a g x f x =-，由（1），将()f x 代入得：()log (32?)x a g x -=，则log (32?)0x a ->，等价于：当1a >时，321x ->，解得()2,log 3x ∈-∞当01a <<时，321x -<，解得()2log 3,x ∈+∞.（3）()82x t f x ≥+在R 上恒成立，等价于： ()()228230x x t --+≥恒成立；令2x m =，则()0,m ∈+∞，则上式等价于：2830m m t --+≥，在区间()0,+∞恒成立.即：283t m m ≤-+，在区间()0,+∞恒成立，又()2283413m m m -+=--，故： 2(83)m m -+的最小值为：-13，故：只需13t ≤-即可.综上所述，(],13t ∈-∞-.【点睛】本题考查待定系数求参数值、解复杂对数不等式、由恒成立问题求参数范围，属函数综合问题. 28． (1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克 【解析】【分析】当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．【详解】(1)由题意得，当04x <≤时，2v =；当420x <≤时，设v ax b =+，由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+， 故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩． (2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩， 当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=；当420x <≤时，()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克．【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题．29．(1)(,5)-∞;(2)()0,1.【解析】【分析】（1）由(5)8(2)f f =求得a 的值，再利用指数函数的单调性解不等式，即可得答案； （2）作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象，利用两个图象有两个交点，可得实数t 的取值范围.【详解】(1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2x f x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2x f x =,由题知21xy =-图象与y t =图象有两个不同交点,由图知:(0,1)t ∈【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.30．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元【解析】【分析】（1）先求出36x =，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元，再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大.【详解】（1）两个合作社的投入相等，则36x =，1(36)253620872f =++⨯+=（万元） （2）设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤，乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时，11()25(72)208122f x x x =+-+=-+，令t =6t ≤≤，则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+， 当4t =即16x =时，总收益取最大值为89；当3657x <≤时，11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+， ()f x 在(36,57]上单调递减，所以()(36)87f x f <=.因为8987>，所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.。
(完整word版)江苏省南京市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(文科)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题 卡相应位置上1 .命题 若a=b ,则| a| =| b| ”的逆否命题是 ______ . 2•双曲线- —=1的渐近线方程是3. 已知复数亍〒为纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是_.4. 在平面直角坐标系xOy 中，点(4，3)到直线3x -4y+a=0的距离为1,则实 数a 的值是 ____ .5. 曲线y=x 4与直线y=4x+b 相切，则实数b 的值是 ____ .x+y - 6 .已知实数x ，y 满足条件* — 则z=2x+y 的最大值是 ___________ . 7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一 点，且PF=5,则点P 的横坐标是_ .8 .在平面直角坐标系xOy 中，圆O: x 2 +y 2=r 2 (r >0)与圆M : (x - 3) 2+ (y+4) 2=4相交，则r 的取值范围是 ________ .照此规律，TT— 27 TT — 23 兀—2兀 —2(sin)+(sin;「) +(sin ;j )+"(sin;j )=—.10. ____________________________________________________ 若？ x € R ，x 2+ax+a=0”是真命题，则实数a 的取值范围是 _____________________ .11. 已知函数f (x ) = (x 2+x+m ) e x (其中m € R ，e 为自然对数的底数).若在9.观察下列等式:7T(sin ：).7T(sin•)(sin 上) (sin )(sin =) / • 2兀、(sin)(si n ]) (sin)2= [ X1X 2；— —2一 )2=X 2X 3；(；)=-X 3X 4；/痕兀、-2 4()=X 4X 5;(si 2+ 2+sin ( (si 2+ 2+・・+sinx=- 3处函数f (x)有极大值，则函数f (x)的极小值是____________ .12. 有下列命题：①“心0”是方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1是直线l i：ax+y- 1=0与直线I2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③函数f (x) =x3+mx单调递增”是“m> 0”的充要条件；④已知p, q是两个不等价命题，则“威q是真命题”是“I且q是真命题”的必要不充分条件.其中所有真命题的序号是—./ V213. 已知椭圆E:七+ ±=1 (a>b>0)的焦距为2c (c>0),左焦点为F,点/ b2M的坐标为(-2c, 0).若椭圆E上存在点P,使得PM^PF,则椭圆E离心率的取值范围是________________ .x(x - t) xCt14. 已知t >0,函数f (x) = 1 、，若函数g (x) =f (f (x)- 1)4恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是 _ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC三个顶点坐标为A (7, 8), B (10, 4),C (2,- 4).(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程.16. 已知复数Z1=m- 2i,复数z2=1 - ni，其中i是虚数单位，m, n为实数.(1)若m=1, n=- 1,求|可+乙2|的值；(2)若Z1=(Z2)2,求m, n 的值.17. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-仁0相切于点P (2,- 1).(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为「，求直线l的方程.18 •某休闲广场中央有一个半径为1 (百米)的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径(如图).设/ AOF=9,其中0为圆心.(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于B的函数f ( B);(2)当B为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积.B/ \A19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：_<>1 (a>b>。
2017-2018南京高一上期末数学试卷及解析
南京市2017-2018学年度第一学期期末调研测试卷高一数学 2018.01注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题-第14题），解答题（第15题-第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1. 已知集合{}|02M x x =≤<，{}1,0,1,2N =-，则M N = ．【答案】{}0,1；【解析】由交集定义可知．2. 计算：5lg 4lg 2+的值是 ．【答案】1；【解析】同底对数相加，真数部分相乘，55lg 4lg lg 4lg10122⎛⎫+=⨯== ⎪⎝⎭3. 函数()()122f x x =-的定义域是 ． 【答案】[)2,+∞； 【解析】()()122f x x =-0．4. 已知tan 2α=，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】3-；【解析】由正切的和角公式：πtan tanπ4tan 3π41tan tan 4ααα+⎛⎫+==- ⎪⎝⎭-．5. 若函数()cos 2f x x x a =+-为偶函数，则实数a 的值是 ． 【答案】0；【解析】由()f x 为偶函数可得()()11f f -=，则22a a -=--，则22a a -=--或22a a -=+，解得0a =，经检验此时()f x 是偶函数．6. 已知向量()1,2=a ，()2,1=-b ．若向量-a b 与向量k +a b 共线，则实数k 的值是 ． 【答案】1-；【解析】()()3,1,2,21k k k -+=-+a b =a b ，由-a b 和k +a b 共线，可得632k k +=-即1k =-．7. 已知角α的终边经过点()12,5P ，则()()sin πcos αα++-的值是 ． 【答案】713； 【解析】由题意512sin ,cos 1313αα==，原式7sin cos 13αα=-+=．8. 已知函数()()2log 2,12,1x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22log 3f f -+的值是 ．【答案】5；【解析】分段函数将自变量带入所在范围内，()()2log 3222log 3log 42235f f -+=+=+=．9. 在ABC △中，若tan 1A >，则角A 的取值范围是 ． 【答案】ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭；【解析】在三角形中，()0,πA ∈，结合正切函数图象可知tan 1A >时ππ,42A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10. 在平行四边形ABCD 中，AB =a ，AD =b ．若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，则线段BD 的长度为 ．【解析】BD AD AB =-，()222π24223cos973BD AD AB =-=-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=b a a a b b ．11. 已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足22sin 3cos 2sin cos αααα-=，则tan α的值是 ． 【答案】3；【解析】由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得cos 0α≠，tan 0α>，由22sin 3cos 2sin cos αααα-=可得2tan 32tan αα-=， 则2tan 2tan 30αα--=，()()tan 3tan 10αα-+=，由tan 0α>可得tan 3α=．12. 已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值是 ． 【答案】4；【解析】由平移后图象与原图象重合可得平移量为周期的整数倍，则2ππ,k k ω=⋅∈Z ，则2,k k ω=∈Z ，由0ω>可得min 2ω=．13. 如图，已知函数()f x 的图象为折线ACB （含端点,A B ），其中()4,0A -，()4,0B ，()0,4C ，则不等式()()2log 2f x x >+的解集是 ．【答案】()2,2-；【解析】根据图象AC 段显然在()2log 2x +上方结合()2log 2x +定义域，()2,0-是解集的一部分，只需考虑CB 段，在折线与()2log 2x +交点左侧符合不等式，所以只需求交点的横坐标，经过尝试1x =时，BC 上的点为()1,3，在()21,log 3上方，2x =时，BC 上的点为()2,2，恰好也在对数型函数图象上，所以解集为()2,2-．14. 若0m >，且关于x 的方程()21mx m --=[]0,1上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(][)0,13,+∞；【解析】记()()()21,h x mx m f x =--=，①11m≥即01m <≤时，此时()h x 在上单调递减，()f x 在[]0,1上单调递增，结合图象，根据零点定理只需()()()()0011h f h f ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩即可，即()21011m m m -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得01m <≤；（第13题图）②101m<<即1m <时，此时观察可得()()0100h m f =-<=， 故两个函数在10m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上必然没有交点，即题目可转化为在1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个交点，结合图象，根据零点定理只需()()11h f ≥， 即()211m m --≥，解得3m ≥. 综上取值范围是(][)0,13,+∞.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）已知向量()1,2=a ，()3,4=-b ． ⑴ 求向量+a b 与向量a 夹角的大小； ⑵ 若()λ⊥+a a b ，求实数λ的值． 【答案】⑴ 45︒；⑵ 1λ=-．【解析】⑴ ()2,6+=-a b ，设a 与+a b 的夹角为θ，则()cos 2θ+⋅===+⋅a b aa b a，由[]0,πθ∈可得夹角为45︒； ⑵ ()13,24λλλ+=-+a b ，由于()λ⊥+a a b ， 所以()0λ⋅+=a a b ，即550λ+=，解得1λ=-．16. （本小题满分14分）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+()0,0,0πA ωϕ>><<的图象如图所示． ⑴ 求,,A ωϕ的值；⑵ 若ππ,212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域．（第16题图）x【答案】⑴ 2π2,2,3A ωϕ===；⑵ ⎡⎤⎣⎦； 【解析】⑴ 由最大值为2，0A >，可得2A =；由图象可得ππ4612T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则πT =，则2ππω=，由0ω>可得2ω=， 由π212f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得πsin 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()ππ2π62k k ϕ-=+∈Z ，即()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，由0πϕ<<可得2π3ϕ=， 则2π2,2,3A ωϕ===；⑵ ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ5π2,336x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则2πsin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x 值域为⎡⎤⎣⎦．17. （本小题满分14分）已知sin α=，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． ⑴ 求πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；⑵ 若()sin αβ+=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值．【答案】⑴；⑵ π3；【解析】⑴ 由于π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以1cos 7α=，)πcos cos sin 4ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭； ⑵ ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()13cos 14αβ+=，要求β只需先求sin β，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+=， 由于π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3β=．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，点A 在弧PQ 上（异于点,P Q ），过点A 作AB OP ⊥，AC OQ ⊥，垂足分别为,B C ．记AOB θ∠=，四边形ACOB 的周长为l ．⑴ 求l 关于θ的函数关系式；⑵ 当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值．【答案】⑴π03θθθ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭；⑵ π6θ=时l最大，最大值为1 【解析】⑴ ππsin ,cos ,cos ,sin 33AB OB OC AC θθθθ⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππsin cos cos sin 33l θθθθ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π03θθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭； ⑵(11sin 2l θθ⎫=+⎪⎪⎝⎭(π1sin 3θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由于π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 3θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦， 所以当π6θ=时l最大，最大值为1 答：π6θ=时，l 有最大值，l的最大值为1+．Q PCBAOθ（第18题图）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =．M 是线段CE 上一动点． ⑴ 若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； ⑵ 若9AB =，43CA CE ⋅=，求()2MA MB MC +⋅的最小值． 【答案】⑴43；⑵754-． 【解析】⑴ 由ABCD 为矩形，可知：AC AB AD =+；在ACE △中，M 为CE 中点，可知：1122AM AC AE =+，再由2AE EB =， 得：()11112512222362AM AC AE AB AD AB AB AD ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭； 所以：43m n +=； ⑵ 法一：()13CA CE CD CB CD CB ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭，因为ABCD 为矩形，所以0CD CB ⋅=，所以()22114333CA CE CD CB CD CB CD CB ⎛⎫⋅=++=+= ⎪⎝⎭，得：4CB =；()22123333ME MA AE MA AB MA AM MB MA MB =+=+=++=+； 所以()23MA MB MC ME MC +⋅=⋅，因为,,C M E 共线，且,ME MC 反向， 所以ME MC ME MC ⋅=-，因为5CE CM ME =+=，所以22524ME MC ME MC +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以254ME MC ME MC ⋅=-≥-， 当且仅当M 为中点的时候取等号，所以()2MA MB MC +⋅的最小值为754-． 法二：以C 为原点，DC 方向为x 轴正方向，BC 方向为y 轴正方向建系；设CB a =，所以()9,CA a =--，()3,CA a =--，由43CA CE ⋅=，得4a =； 设()3,4CM CE λλλ==--，所以()3,4M λλ--，又有()()9,4,0,4A B ---； 所以()93,44MA λλ=-+-+，()3,44MB λλ=-+，()3,4MC λλ=；()()221752757524MA MB MC λλλ⎛⎫+⋅=-=-- ⎪⎝⎭，当12λ=时，取最小值754-．ME DCBA如果函数()f x 在定义域内存在[],a b ，使得该函数在区间[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则称函数()f x 是该定义域上的“和谐函数”．⑴ 求证：函数()()2log 1f x x =+是“和谐函数”；⑵ 若函数()()1g x t x =≥是“和谐函数”，求实数t 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】⑴ ()f x 可看作2log y x =向左平移一个单位得到，因此在()1,-+∞单调递增，[]0,1x ∈时，由函数()()2log 1f x x =+递增，得值域[]0,1，所以为“和谐函数”； ⑵ 先证明函数()()1g x t x =≥在定义域上单调递增，证明如下： 任取121x x ≤<，()()22210x x x x g x g x +-->，所以函数()()1g x t x =≥在定义域上单调递增； 因为函数()g x 在[],a b 上是“和谐函数”，则根据单调性有：()()22g a t ag b t b⎧==⎪⎨=⎪⎩2t x=在1x ≥上至少有两个不同的实数解； 转化成：2,y t y x ==-1x ≥上至少有两个不同的交点； 令0m ，则2,1y t y m m ==+-在0m ≥有两个不同的交点； 令()21h m m m =-+，对称轴为12m =，在10,2m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，递减，值域为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦； 在1,2m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，递增，值域为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；所以3,14t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．。
数学---江苏省南京市2016-2017学年高一下学期期末考试试题
江苏省南京市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题参考公式：锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．直线y ＝3x －2的倾斜角大小为 ．2．若数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 6的值为 ． 3．直线3x －4y －12＝0在x 轴、y 轴上的截距之和为 ． 4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝2，A ＝120°，则B 的大小为 ． 5．不等式x －1x ＋2＜0的解集为 ．6．函数f (x )＝sin x －cos x 的最大值为 ．7．若函数y ＝x ＋9x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，则该函数的最小值为 ．8．如图，若正四棱锥P —ABCD 的底面边长为2，斜高为5，则该正四棱锥的体积为 ．9．若sin(θ＋π3)＝513，θ∈(π6，2π3)，则cos θ的值为 ．10．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的．．．序号．．为 ． ①若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β．11．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ．若S 3，S 2，S 4成等差数列，则实数q 的值 为 ．12．已知关于x 的不等式(x －1)(x －2a )＞0(a ∈R )的解集为A ，集合B ＝(2，3)．若B A ，则 a 的取值范围为 ．13．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2n ，n ∈N *．若16λ1＋a n ＋19≤3n 对任意n ∈N *都成立，则实数λ的取值范围为 ． 14．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且1x －y ＋8x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知sin α＝35，α∈(π2，π)．（1）求sin(π6－α)的值；（2）求tan2α的值．16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，M ，N ，P 分别为AB ，A 1C 1，BC 的中点．求证：（1）C 1P ∥平面MNC ； （2）平面MNC ⊥平面ABB 1A 1．17．（本小题满分14分）已知三角形的顶点分别为A (－1，3)，B (3，2)，C (1，0)． （1）求BC 边上高的长度；（2）若直线l 过点C ，且在l 上不存在到A ，B 两点的距离相等的点，求直线l 的方程．18．（本小题满分16分）如图，在圆内接△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ．（1）求B 的大小；（2）若点D 是劣弧AC ⌒上一点，AB ＝3，BC ＝2，AD ＝1，求四边形ABCD 的面积．19．（本小题满分16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米，最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离；（2）此人到直线EC的距离为多少米时，视角θ最大？20．（本小题满分16分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，其中{a n}的公差不为0．设S n是数列{a n}的前n项和．若a 1，a 2，a 5是数列{b n }的前3项，且S 4＝16． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若数列{4S n －1a n ＋t}为等差数列，求实数t ；（3）构造数列a 1，b 1，a 2，b 1，b 2，a 3，b 1，b 2，b 3，…，a k ，b 1，b 2，…，b k ，…．若该数列前n 项和T n ＝1821，求n 的值．【参考答案】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．60° 2．32 3．1 4．45° 5．(－2，1)6． 2 7．4 8．839．53－122610．③④11．－212．(－∞，1] 13．(－∞，－8] 14．253二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为sin α＝35，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以 sin(π6－α)＝sin π6cos α－cos π6sin α＝12×(－45)－32×35＝－4＋3 3 10． （2）因为tan α＝sin αcos α＝－34 ，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－247．16．证明：（1）方法1 连结MP ．因为M ，P 分别是AB ，BC 的中点， 所以MP ∥＝12AC ． 又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC ∥＝A 1C 1，且N 是A 1C 1的中点， 所以MP ∥＝C 1N ，所以四边形MPC 1N 是平行四边形， 所以C 1P ∥MN ．又因为C 1P 平面MNC ，MN 平面MNC ， 所以C 1P ∥平面MNC ．方法2连结AC 1，与CN 交于点D ，连结AP ，与CM 交于点E ，连结DE ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 所以∠ACD ＝∠C 1ND ．又因为∠ADC ＝∠C 1DN ，所以△ACD ∽△C 1ND ． 又因为N 为A 1C 1的中点，所以AD DC 1＝ACNC 1＝2． 在△ABC 中，E 为中线AP ，CM 的交点， 所以E 为△ABC 的重心，所以AEEP ＝2，所以AD DC 1＝AE EP ，所以AD AC 1＝AE AP，所以DE ∥C 1P ． 又因为C 1P 平面MNC ，DE 平面MNC ， 所以C 1P ∥平面MNC ．（2）在△ABC 中，因为CA ＝CB ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ， 因为CM 平面ABC ，所以B 1B ⊥CM ． 又因为B 1B∩AB ＝B ，B 1B ，AB 平面ABB 1A 1， 所以CM ⊥平面ABB 1A 1，又CM 平面MNC ，所以平面MNC ⊥平面ABB 1A 1．17．解：（1）因为k BC ＝2－03－1＝1，所以直线BC 的方程是y ＝x －1，即x －y －1＝0．所以A 到直线BC 的距离为d ＝|－1－3－1|12＋(－1)2＝5 22，即BC 边上高的长度为5 22．（2）方法1①若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为x ＝1． 假设l 上存在一点P (1，y 0)到A ，B 两点的距离相等， 所以AP ＝BP ，即 [1－(－1)]2＋(y 0－3)2＝(1－3)2＋(y 0－2)2， 解得y 0＝52，即存在点P (1，52)到A ，B 两点的距离相等，所以此时直线l 不符合题意．②若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －1)．假设l 上存在一点P (x 0，k (x 0－1))到A ，B 两点的距离相等， 所以AP ＝BP ，即 [ x 0－(－1)]2＋[k (x 0－1)－3]2＝(x 0－3)2＋[k (x 0－1)－2]2， 化简得(8－2k ) x 0－3＋2k ＝0，(*)(Ⅰ)若k ＝4，该方程(*)无解，即不存在点P 到A ，B 两点的距离相等， 所以此时直线l 符合题意．此时直线l 的方程为y ＝4(x －1)，即y ＝4x －4．(Ⅱ)若k ≠4，则x 0＝2k －32k －8，即点P (2k －32k －8，5k2k －8)，所以此时直线l 不符合题意． 综上，直线l 的方程为y ＝4x －4．方法2 k AB ＝3－2－1－3＝－14．因为l 上不存在点到A ，B 两点的距离相等，所以l ⊥AB ， 所以k l ＝4，所以直线l 的方程为y ＝4(x －1)，即y ＝4x －4． 18．解：（1）方法1设外接圆的半径为R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入得 2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝2×2R sin B cos B ，即sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，所以sin B ＝2sin B cos B ． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 所以cos B ＝12．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3．方法2根据余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·cos B ，化简得cos B ＝12．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3．（2）在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝9＋4－2×3×2×12＝7，所以AC ＝7．因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠ADC ＝2π3．在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ， 代入得 7＝1＋CD 2－2·CD ·(－12)，所以CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2或CD ＝－3（舍）． 所以S ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC sin ∠ABC ＋12AD ·CD sin ∠ADC ＝12×3×2×32＋12×1×2×32＝23． 19．解：（1）作MG ⊥CE 交于点G ，作NH ⊥AC 交于H ，则CH ＝GM ＝x ． 在Rt △BAC 中，因为AB ＝4，AC ＝8，所以tan ∠BCA ＝12，所以NH ＝CH ·tan ∠BCA ＝x2，所以MH ＝MN ＋NH ＝3＋x2．（2）因为MH ＝GC ，所以DG ＝DC －GC ＝DC －MH ＝5－x2，EG ＝EC －GC ＝EC －MH ＝9－x2．在Rt △DGM 中，tan ∠DMG ＝DGGM ＝5－x 2x ，在Rt △EGM 中，tan ∠EMG ＝EGGM ＝9－x2x ，所以tan θ＝tan ∠EMD ＝tan(∠EMG －∠DMG ) ＝tan ∠EMG －tan ∠DMG1＋tan ∠EMG ·tan ∠DMG＝9－x 2x －5－x 2x 1＋9－x 2x ·5－x 2x＝16x 5x 2－28x ＋180＝165x －28＋180x（0＜x ≤8）． 由x ＞0，得5x ＞0，180x ＞0，所以5x －28＋180x ≥2 5x ·180x－28＝32， 所以tan θ＝165x －28＋180x≤12． 当且仅当5x ＝180x，即x ＝6时取“＝”，且6∈(0，8]． 因为y ＝tan θ在区间(0，π2)上是单调增函数， 所以当x ＝6米时，tan θ取最大值12，此时视角θ取最大值． 答：此人到直线EC 的距离为6米时，视角θ最大．20．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 1，a 2，a 5是数列{b n }的前3项，且S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，4a 1＋4×32d ＝16， 因为d ≠0，所以解得⎩⎨⎧a 1＝1d ＝2．所以，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1．又b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，故数列{b n }的公比q ＝3，所以b n ＝b 1q n －1＝3n －1．（2）方法1由（1）可知S n ＝n 2．因为数列{4S n －1a n ＋t }是等差数列，所以可设4S n －1a n ＋t＝an ＋b ，其中a ，b ∈R ， 所以4n 2－1＝(2n －1＋t )(an ＋b )对任意n ∈N *都成立，即(2a －4)n 2＋(at －a ＋2b )n ＋b (t －1)＋1＝0对任意n ∈N *都成立． 不妨设A ＝2a －4，B ＝at －a ＋2b ，C ＝b (t －1)＋1，则An 2＋Bn ＋C ＝0对任意n ∈N *都成立．取n ＝1，2，3，联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＋C ＝0，4A ＋2B ＋C ＝0，9A ＋3B ＋C ＝0，解得A ＝B ＝C ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝0，at －a ＋2b ＝0，b (t －1)＋1＝0，解得t ＝0或t ＝2．令c n ＝4S n －1a n ＋t， ①当t ＝0，c n ＝4S n －1a n ＋0＝2n ＋1． 因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．②当t ＝2，c n ＝4S n －1a n ＋2＝2n －1．因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．综上，实数t 为0或2．方法2由（1）可知S n ＝n 2．因为数列{4S n －1a n ＋t}是等差数列， 所以4S 1－1a 1＋t ，4S 2－1a 2＋t ，4S 3－1a 3＋t成等差数列， 所以2×4S 2－1a 2＋t ＝4S 1－1a 1＋t ＋4S 3－1a 3＋t ，即2×153＋t ＝31＋t ＋355＋t ， 解得t ＝0或t ＝2．令c n ＝4S n －1a n ＋t， ①当t ＝0，c n ＝4S n －1a n ＋0＝2n ＋1． 因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．②当t ＝2，c n ＝4S n －1a n ＋2＝2n －1．因为c n ＋1－c n ＝2，所以{c n }是等差数列．综上，实数t 为0或2．（3）设从a 1到a k 各项的和为S ，S ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋[b 1＋(b 1＋b 2)＋…＋(b 1＋b 2＋…＋b k －1)]．因为b 1＋b 2＋…b k －1＝1＋3＋…＋3k －2＝1－3k －11－3＝12(3k －1－1)，所以S ＝k 2＋12×(1＋3＋32＋…＋3k －1－k ) ＝k 2＋12×(3k －12－k )＝k 2－k 2＋3k －14．当k ＝8时，S ＝1700＜1821．当k ＝9时，S ＝4997＞1821．故T n －1700＝1821－1700＝121，所以1＋3＋32＋…＋3m －1＝12(3m －1)＝121，即3m ＝243， 解得m ＝5，所以n ＝8＋(1＋2＋…＋7)＋5＝41．。
江苏省南京一中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．函数f（x）=的定义域为．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是．5．设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）6．lg=．7．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．8．x2﹣3x+1=0，则=．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于．10．若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．13．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．函数f（x）=的定义域为[﹣2，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2≤x≤3，故函数的定义域是[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数恒过定点（0，1），结合图象的平移变换确定结果．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）【点评】本题考查了指数函数过定点的性质以及图象的平移变换．属于基础题．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是f（x）=x﹣2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】幂函数的一般形式是f（x）=xα，再利用图象经过点（2，），得f（2）=，可以求出α，问题解决．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，）∴f（2）==2﹣2，从而α=﹣2函数的解析式f（x）=x﹣2，故答案为：f（x）=x﹣2．【点评】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．值得提醒的是准确把握幂函数的表达式的形式和理解函数图象经过某点的意义是解决本题的关键．5．（2010秋•南通期中）设，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．（按从小到大的顺序）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．6．lg=lg6+．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式===lg6+．故答案为：lg6+．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2014秋•建湖县校级期中）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为4．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）=，知f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，所以f[f（﹣1）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．x2﹣3x+1=0，则=11．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】推导出x﹣=3，由此能求出x2+的值．【解答】解：∵x2﹣3x﹣1=0，∴x﹣=3，两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=9，则x2+=11．故答案为：11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于（0，1] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P•Q=（0，1]故答案为：（0，1]【点评】此题要求学生掌握对数函数的定义域的求法及对数函数的单调性，会求绝对值不等式的解集．学生做题时应正确理解题中的新定义．10．（2005•江西）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0即log a（x+）+log a（﹣x+）=0∴log a（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a对数式的底数，a＞0∴a=故应填【点评】考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程，主要训练对定义与法则的理解与掌握．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是{x|x≥1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式：|x﹣1|+2x＞4可得①，或．解①求得x≥1，解②求得x∈∅，故原不等式的解集为{x|x≥1}，故答案为{x|x≥1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（，1）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），可得f（x）的偶函数，当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），可知f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数．即可将f（m+1）＞f（2m）转化为等式求解．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＞|2m|吗，两边平方得：（m+1）2＞4m2，解得：，所以实数m的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性运用能力．属于基础题．13．（2015秋•苏州校级期中）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可得，从而可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴解得≤a＜．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数单调性的性质，得到（3a﹣1）×1+4a≥a1是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于基础题．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤﹣1或a≥8．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，，∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．②由当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立，可得：2|a|﹣7≥a+1解得a≤﹣8或a≥8．综上可得：a≤﹣1或a≥8．因此a的取值范围是：a≤﹣1或a≥8．故答案为：a≤﹣1或a≥8．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化法．【分析】（1）利用十字相乘法，可进行分解；（2）利用十字相乘法和提公因式法，可进行分解；【解答】解：（1）5x2+6xy﹣8y2=（5x﹣4y）（x+2y）（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5）=（x+5）（x﹣3﹣a）【点评】本题考查的知识点是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．16．（10分）（2015秋•张家港市校级期中）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x ﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得B⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．17．（12分）（2015秋•苏州校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）代入值计算即可，（2）根据函数的单调性，即可求其值域．【解答】解：（1）把代入f（x）=a x﹣1，得．（2）由（1）得f（x）=（）2x﹣（）x﹣2+8=∵x∈[﹣2，1]∴，当时，f（x）max=8，当时，f（x）min=4∴函数f（x）的值域为[4，8]．【点评】本题主要考查了质数函数的单调性和利用函数的最值求值域，属于基础题．18．（12分）（2014秋•高邮市期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤400时，当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x所以…（7分）（2）当0≤x≤400时当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）所以当x=300时，f（x）max=25000答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．…（15分）【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令g max （x）＜0解出a的取值范围．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．（2）∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的对称轴为x=1．①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得．，⇒③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2⇒2＜t≤2；④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，常根据对称轴与区间的关系来判断单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
江苏省南京市金陵中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 含解析
2016-2017学年江苏省南京市金陵中学高一（上)期中数学试卷一、填空题（共14小题）1．已知集合A=｛1，2，5｝,B={1，3，5｝，则A∩B=．2．函数的定义域为．3．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）=．4．函数y=的值域为．5．函数f(x）=lg（x2﹣9）的单调增区间是．6．已知,则f（4)=．7．若关于x的方程lgx=5﹣2x的解x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=．8．幂函数f（x)的图象经过,则f（2)=．9．已知函数f（x）=x5+px3+qx﹣8满足f（﹣2）=10,则f（2)=．10．已知函数f（x）=，则=．11．若m∈（1，2），a=0。
3m，b=log0.3m,c=m0。
3,则用“＞”将a,b，c按从大到小可排列为．12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0］上单调递减，且f（﹣4)=0，则使得x｜f（x）+f（﹣x）｜＜0的x的取值范围是．13．设f(x）=1﹣2x2,g(x）=x2﹣2x，若，则F(x）的最大值为．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2,若对任意的x∈［t，t+2］，不等式f（x+2t）≥4f（x)恒成立，则实数t的取值范围是．二、解答题15．（1）计算：2lg4+lg；（2)已知=3，求的值．16．设全集为R，集合A=（﹣∞,﹣1）∪（3,+∞）,记函数f（x）=的定义域为集合B（1）分别求A∩B,A∩∁R B；（2）设集合C=｛x｜a+3＜x＜4a﹣3}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数，当x＞0时,f(x）=x2+2x﹣1（1）求f（﹣3）的值;（2）求函数f（x）的解析式．18．2016年10月28日,经历了近半个世纪风雨的南京长江大桥真“累”了,终于停下来喘口气了，之前大桥在改善我们城市的交通状况方面功不可没．据相关数据统计，一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时．研究表明，当30≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1)当0≤x≤280时，求函数v（x）的表达式;（2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v(x)可以达到最大，并求出最大值．19．已知函数f（x）=+m为奇函数，m为常数．（1)求实数m的值;（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求实数a的取值范围．20．已知函数g(x）=x2﹣ax+b,其图象对称轴为直线x=2,且g（x）的最小值为﹣1，设f(x）=．（1）求实数a,b的值;（2)若不等式f（3x）﹣t•3x≥0在x∈[﹣2，2］上恒成立，求实数t的取值范围；（3)若关于x的方程f（｜2x﹣2|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市金陵中学高一（上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题)1．（2016秋•南京期中）已知集合A={1,2，5｝，B={1,3，5｝，则A∩B=｛1，5｝．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可【解答】解：由集合A=｛1，2，5}，集合B={1,3，5}，得A∩B={1，5｝，故答案为：{1,5｝．【点评】此题考查了两集合交集的求法,是一道基础题2．（2015春•武汉校级期末）函数的定义域为（0，1］．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据偶次根式下大于等于0,对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．【解答】解:要使函数有意义则由⇒0＜x≤1故答案为：（0,1］．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法,属于基础题．3．（2016秋•南京期中）已知f(x)=x2﹣1，则f(2x)=4x2﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】定义法；函数的性质及应用．【分析】直接将f(x)=x2﹣1中x替换成2x即可．【解答】解：由题意：f（x)=x2﹣1则f（2x）=（2x）2﹣1=4x2﹣1故答案为:4x2﹣1．【点评】本题考查了函数带值计算问题，比较基本，属于基础题．4．(2016秋•南京期中）函数y=的值域为[0，2] ．【考点】二次函数的性质；函数的值域；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义域，进而结合二次函数的图象和性质，分析函数的最值，进而可得函数的值域．【解答】解：要使函数y=的解析式有意义，﹣x2+4≥0，解得：﹣2≤x≤2，当x=±2时，﹣x2+4取最小值0，此时函数y=取最小值0,当x=0时，﹣x2+4取最大值4，此时函数y=取最大值2,故函数y=的值域为[0，2]，故答案为：[0，2]．【点评】本题考查的知识点是函数的最值,函数的值域,二次函数的图象和性质,难度中档．5．（2016秋•南京期中)函数f（x)=lg(x2﹣9)的单调增区间是(3，+∞)．【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣9＞0,求得函数的定义域，且f(x)=g(t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解:令t=x2﹣9＞0，求得x＜﹣3,或x＞3，故函数的定义域为｛x｜x＜﹣3，或x＞3 }，且f(x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为(3，+∞)，故答案为：(3，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质,属于中档题．6．(2015秋•徐州期中)已知，则f（4）=23．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想;综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，直接求解函数值即可．【解答】解：知，则f(4）=f（）=2×10+3=23．故答案为：23．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，是基础题．7．（2016秋•南京期中）若关于x的方程lgx=5﹣2x的解x0∈(k，k+1）,k∈Z，则k=2．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想;定义法;函数的性质及应用．【分析】方程的解即对应函数f（x）=lgx+2x﹣5的零点，由f(2）＜0，f（3）＞0知,方程f （x）=0 的零点在（2，3）上，又方程f（x)=0 的零点在∈(k,k+1）上，k∈Z，可得k值．【解答】解：令f（x)=lgx+2x﹣5，则方程lgx+2x﹣5=0的解x=x0∈(k，k+1），k∈Z，即函数f（x）的零点，在(k,k+1）上,k∈Z，∵f（2)=lg2+4﹣5＜0，f（3）=lg3+6﹣5＞0，∴函数f(x）的零点在（2，3）上，∴k=2，故答案为2．【点评】本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解．解答关键是函数思想，和方程思想的应用，属于基础题型．8．（2016秋•南京期中)幂函数f（x）的图象经过，则f（2）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】通过幂函数的图象经过的点满足方程，求出玫瑰色的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：∵幂函数f(x）的图象经过，∴，解得α=﹣2，幂函数为f（x）=x﹣2．f（2）=2﹣2=．故答案为：．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，基本知识的应用，考查计算能力．9．（2016秋•南京期中）已知函数f(x)=x5+px3+qx﹣8满足f(﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】由已知得f(﹣2）=﹣32﹣8p﹣2q﹣8=10,从而﹣32﹣8p﹣2q=18，由此能求出f(2)．【解答】解：∵函数f（x）=x5+px3+qx﹣8满足f（﹣2)=10，∴f（﹣2）=﹣32﹣8p﹣2q﹣8=10，∴﹣32﹣8p﹣2q=18，f(2）=32+8p+2q﹣8=﹣18﹣8=﹣26．故答案为:﹣26．【点评】本题考查函数值的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用．10．（2016秋•南京期中)已知函数f(x）=，则=．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先求出f（）==﹣3，从而=f（﹣3）,由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣3,=f（﹣3）=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．（2013秋•赣榆县校级期末)若m∈（1，2），a=0。
江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分,不需要写解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置)1．已知集合A={1,2,4}，B={2，4，6},则A∩B=．2．函数f(x）=lg（x﹣1）的定义域是．3．计算27的结果是．4．下列四个函数图象中，不是函数图象的是（填序号）5．不等式2x+2＞8的解集为．6．设f(x)=，则f（4）=．7．已知一次函数f（x)满足f(f(x）)=4x+9,则f（x）的函数关系式．8．已知f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，则a﹣b的值是．9．幂函数y=f(x)的图象经过点（2,8），且满足f(x)=64的x的值是．10．已知函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R,若f（﹣3）=﹣1，则f(3)=．11．已知a3+b3=（a+b)(a2﹣ab+b2），a，b∈R，则计算（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5)3+结果是．12．若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是［2，n］，则m n=．13．函数f（x）=满足对于任意x1＜x2时都有＞0成立，则a的取值范围．14．设已知函数f(x）=|lnx｜，正数a,b满足a＜b,且f（a）=f（b），若f（x）在区间［a2，b］上的最大值为2，则2a+b=．二、解答题(本大题共6小题,共90分，解答应必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（本题满分90分）15．已知集合A={x｜﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}．求∁R(A∪B）；已知C=｛x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．16．解方程ln(2x+1)=ln（x2﹣2）；求函数f（x)=()2x+2×（)x（x≤﹣1)的值域．17．定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,f(x）=﹣x2+2x﹣3．当x∈［2，4]时,求f(x）的值域；当f（m）=6时,求m的值．18．某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90°,甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元)关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．19．已知函数f(x）=，x∈R，a∈R．（1）a=1时，求证：f（x）在区间（﹣∞,0)上为单调增函数；（2）当方程f（x）=3有解时，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=x2+2bx+5（b∈R）．（1）若b=2,试解不等式f（x）＜10；（2）若f（x）在区间[﹣4,﹣2］上的最小值为﹣11,试求b的值;（3)若|f(x）﹣5|≤1在区间（0,1）上恒成立，试求b的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分，不需要写解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置）1．已知集合A=｛1，2，4｝，B=｛2，4，6}，则A∩B={2，4} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义找出A，B的所有的公共元素组成的集合即为A∩B．【解答】解：∵A=｛1，2，4}，B=｛2，4,6｝，∴A∩B={2,4}故答案为：｛2,4}．2．函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是｛x｜x＞1} ．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据对数的真数大于零，列出不等式进行求解，再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义,则有x﹣1＞0,解得，x＞1，∴函数的定义域是{x|x＞1}，故答案为：{x｜x＞1｝．3．计算27的结果是．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：27==，故答案为：4．下列四个函数图象中，不是函数图象的是（2）(填序号）【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义可知:对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应，紧扣概念，分析图象即可得到结论．【解答】解:根据函数的定义可知，只有（2）不能表示函数关系．故答案为(2）．5．不等式2x+2＞8的解集为（1，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】把不等式两边化为同底数,转化为一元一次不等式求解．【解答】解：由2x+2＞8,得2x+2＞23，∴x+2＞3，即x＞1．∴不等式2x+2＞8的解集为（1,+∞)．故答案为：（1，+∞）．6．设f（x)=,则f（4）=2．【考点】分段函数的应用;函数的值．【分析】由已知f（x）=，将x=2代入可得答案．【解答】解：∵f(x）=，∴f(4）=log24=2，故答案为:27．已知一次函数f（x)满足f（f（x）)=4x+9，则f(x）的函数关系式f（x）=2x+3和f（x)=﹣2x﹣9．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】设函数f（x）=kx+b（k≠0）,带入f（f（x））=4x+9，利用待定系数法求解k,b的值．【解答】解：由题意：f(x)是一次函数,设函数f（x)=kx+b（k≠0）,则：f（f(x））=k（kx+b)+b=k2x+kb+b∵f（f（x）)=4x+9，可得：k2x+kb+b=4x+9,即，解得:或∴f(x）的函数关系式为f（x)=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．故答案为:f（x)=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．8．已知f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，则a﹣b的值是﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数的定义得出x2﹣3ax+4=x2+3ax+4，且b﹣3+2b=0，得出a=0，b=1即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵函数f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，∴f（﹣x）=f(x），即x2﹣3ax+4=x2+3ax+4,且b﹣3+2b=0得出a=0，b=1，∴a﹣b=﹣1．故答案为﹣19．幂函数y=f(x）的图象经过点（2，8），且满足f（x)=64的x的值是4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】用待定系数法，求出幂函数y=f（x)的解析式，再由f（x）的值求出对应x的值．【解答】解：设幂函数y=f(x）=xα，α∈R;∵函数的图象过点（2,8），∴2α=23，解得α=3；又∵f（x）=64，∴x3=64，解得x=4．故答案为：4．10．已知函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3)=11．【考点】二次函数的性质；函数的值．【分析】根据已知中函数的解析式，可得f（﹣x）+f（x）=10,再由f(﹣3）=﹣1,可得f（3）的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣bx+5,a，b∈R，∴f（﹣x）=﹣ax3+bx+5，∴f（﹣x）+f（x）=10，∵f(﹣3)=﹣1，∴f（3)=11，故答案为：11．11．已知a3+b3=（a+b)(a2﹣ab+b2)，a,b∈R，则计算（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5）3+结果是．【考点】对数的运算性质．【分析】利用已知条件，结合对数运算法则化简求解即可．【解答】解：(lg2）3+3lg2•lg5+（lg5)3+=（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25)+3lg2•lg5+=lg22+2lg2lg5+lg25+=（lg2+lg5)2+=1+=．故答案为:．12．若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是[2，n],则m n=8．【考点】二次函数的性质．【分析】利用二次函数的对称轴公式求出对称轴，判断出二次函数的单调性，得到函数的最值，列出方程求出m，n．【解答】解:∵f（x)=x2﹣4x+4+m的对称轴为x=2，∴函数f（x）在[2,n]上为增函数，f（2）=4﹣8+4+m=2，解得m=2，f（n）=n2﹣4n+4+m=n，解得n=3或n=2（舍去)，∴m n=23=8,故答案为：813．函数f（x)=满足对于任意x1＜x2时都有＞0成立，则a的取值范围［﹣，0）．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由增函数的定义知，得到此函数是一个增函数，由此关系得出a的取值范围即可．【解答】解：根据题意，由增函数的定义知,此函数是一个增函数;故有，解得﹣≤a＜0，则a的取值范围是［﹣,0）,故答案为：［﹣，0）．14．设已知函数f（x）=｜lnx｜,正数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b)，若f（x）在区间[a2，b］上的最大值为2，则2a+b=+e．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可知0＜a＜1＜b，以及ab=1，再f（x）在区间［a2，b]上的最大值为2可得出f（a2）=2求出a，故可得2a+b的值．【解答】解：由对数函数的性质知∵f（x）=|lnx|正实数a、b满足a＜b，且f（a)=f（b)，∴0＜a＜1＜b,以及ab=1，又函数在区间[a2,b]上的最大值为2，由于f(a）=f（b），f（a2）=2f（a）故可得f（a2）=2，即|lna2｜=2，即lna2=﹣2，即a2=，可得a=，b=e则2a+b=+e,故答案为： +e．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应必要的文字说明,证明过程或演算步骤）（本题满分90分）15．已知集合A=｛x｜﹣1≤x≤10},集合B={x|2x﹣6≥0}．求∁R(A∪B）；已知C={x｜a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意化简集合B,求出A∪B的补集∁R（A∪B）,再根据C⊆A，列出不等式求出a的取值范围．【解答】解：集合A={x｜﹣1≤x≤10},集合B={x｜2x﹣6≥0}=｛x|x≥3｝，∴A∪B=｛x｜3≤x≤10};∴∁R（A∪B）=｛x｜x＜3或x＞10｝;又C={x|a＜x＜a+1},且C⊆A，∴，解得a的取值范围是﹣1≤a≤9．16．解方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）;求函数f(x）=（）2x+2×(）x（x≤﹣1）的值域．【考点】函数的值域；对数的运算性质．【分析】（1）根据方程式,方程的解需要满足函数定义域要求，再根据对数相等即可列出方程式；（2)利用换元法转化为一元二次函数来求原函数的值域即可；【解答】解：（1）由题意:ln（2x+1）=ln（x2﹣2)；所以有⇒x=3 或﹣1(负舍）故方程的解为｛x｜x=3}；（2）由题意：函数f(x）=（）2x+2×（)x（x≤﹣1）令t=∈［2，+∞），换元后得:g（t）=t2+2t (t≥2）g（t)为一元二次函数，开口朝上，对称轴为t=﹣1，知：g(t）在(2，+∞）上单调递增，g（t）min=8故g（t）的值域为［8，+∞）17．定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)=﹣x2+2x﹣3．当x∈[2,4］时，求f(x）的值域；当f(m)=6时，求m的值．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用配方法求f（x）的值域；求出当x＜0时,f(x）=﹣f（﹣x）=﹣(﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x+3，利用f（m）=6，求m的值．【解答】解：当x＞0时,f（x)=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∵x∈[2，4],∴函数单调递减,∴f（x)的值域是[﹣11，﹣3]；x＞0时，f（x）=﹣x2+2x﹣3=6，可得x2﹣2x+9=0，无解；当x＜0时,f（x）=﹣f(﹣x）=﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x+3=6,∴x=﹣3或x=1（舍去），∴m=﹣3．18．某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设,三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米,OB=3千米，∠AOB=90°,甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元)关于x的函数关系式；求x为何值时,种植花卉的总造价最小，并求出总造价．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】求出三角形BCD、三角形CAE区域的面积,可得函数解析式，利用配方法，可得函数的最值．=x2．【解答】解：由题意，CD=OE=x．由△BCD∽△BAO知BD=x,所以S△BCD=(x﹣4）2．…6分同理得S△CAE所以，y=［x2+（x﹣4）2×4］=（5x2﹣32x+64)，其中，0＜x＜4．…10分y= [5(x﹣）2+］…13分因为0＜＜4，…14分所以x=时,y有最小值为4.8万元．…15分答:x为时，种植花卉的总造价最小，总造价最小值为4.8万元．19．已知函数f（x）=，x∈R，a∈R．（1）a=1时，求证:f（x)在区间（﹣∞，0）上为单调增函数;（2）当方程f（x)=3有解时,求a的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义证明即可；（2）问题转化为函数y=ax和y=3｜x｜+2有交点，从而求出a的范围即可．【解答】证明:（1）a=1时，f（x）=,x＜0时,f（x）=，令x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1＜x2＜0，∴（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞,0）上为单调增函数；解：（2）由f（x）==3,得:ax=3｜x|+2，画出函数y=ax和y=3｜x｜+2的图象，如图示:，结合图象，a＞3或a＜﹣3．20．已知函数f（x）=x2+2bx+5(b∈R）．(1）若b=2，试解不等式f(x)＜10；（2）若f（x）在区间［﹣4，﹣2]上的最小值为﹣11，试求b的值;(3）若｜f（x)﹣5｜≤1在区间（0，1）上恒成立，试求b的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解得即可．（2）根据所给的二次函数的性质,写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最小值，（3)利用函数的单调性分别求出y=﹣x 的最小值为0，y=﹣x﹣的最大值为﹣2,由此求得b的取值范围．【解答】解:（1）f(x）=x2+4x+5＜10，即x2+4x﹣5＜0,即（x+5）（x﹣1)＜0，解得﹣5＜x＜1，故不等式的解集为(﹣5,1),（2）f（x）=x2+2bx+5=（x+b）2﹣b2+5,其对称轴为x=﹣b，当b＜﹣4时，在区间［﹣4，﹣2]上单调递增，故y min=16﹣8x+5=﹣11，解得b=4，舍去当﹣4≤b≤﹣2时，在对称轴处取最小值，故y min=﹣b2+5=﹣11，解得b=﹣4，当b＞﹣2时，在区间［﹣4，﹣2］上单调递减，故y min=4﹣4b+5=﹣11，解得b=5，综上所述：b的值为﹣4或5，（3)｜f(x）﹣5｜≤1在区间（0,1）上恒成立，∴|x2+bx｜≤1在区间(0,1）上恒成立,∴﹣1≤x2+2bx≤1，∴﹣x﹣≤2b≤﹣x+∵函数y=﹣x﹣在(0，1）上为增函数,y＞﹣1﹣1=﹣2,函数y=﹣x+在（0，1）上为减函数,y＜﹣1+1=0，∴﹣2≤2b≤0，解得﹣1≤b≤0，故b的取值范围为[﹣1.0］2016年11月26日。
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2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为．10．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为．13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为．14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V （x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1} ．【考点】对数函数的定义域．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为c＜a ＜b．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为2．【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减∵f（1）＞f（log3x）∴1＜|log3x|，∴0＜x＜3或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，故答案为0＜x＜3或x＞3．14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos （﹣α）•cos （﹣π+α）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值． （2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos （﹣α）•cos （﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos ＜， +＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V （x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ω=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a ≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得： |x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．2017年2月21日。