2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.1 向量的加法运算

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.0＋a ＝a ＋0＝a .( √ )2.AB →＋BC →＝AC →.( √ ) 3.AB →＋BA →＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC →.( × ) 5.|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( × )一、向量加法法则例1(1)如图①所示，求作向量a＋b.(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.→＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. 解(1)首先作向量OA(2)方法一(三角形法则)如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b，然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.方法二(平行四边形法则)如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →＝________. 答案 (1)OB → (2)AD →(3)0解析 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →. (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 答案 2 2解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2 2. 三、向量加法的实际应用例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度.∴|OC →|＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝20(km/h)，tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h ，沿北偏东30°的方向航行. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos 60° ＝10×12＝5(N).∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.1.化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA → C.CD → D.DC → 答案 C解析 根据平面向量的加法运算，得CB →＋AD →＋BA →＝(CB →＋BA →)＋AD →＝CA →＋AD →＝CD →. 2.下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A.②③ B.② C.① D.③ 答案 B解析 ②错误，AB →＋BA →＝0，①③正确. 3.在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A.四边形ABCD 一定是矩形 B.四边形ABCD 一定是菱形 C.四边形ABCD 一定是正方形 D.四边形ABCD 一定是平行四边形 答案 D解析 由AC →＝AB →＋AD →知，A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形.4.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO → 答案 B→＋BC→＋AB→＋DO→＝DO→＋OA→＋AB→＋BC→＝DA→＋AB→＋BC→＝DB→＋BC→＝DC→.解析OA5.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示_________. 答案向东南航行3 2 km解析根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知a＋b表示向东南航行3 2 km.1.知识清单：(1)向量加法的三角形法则.(2)向量加法的平行四边形法则.(3)向量加法的运算律.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.1.化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB → B.BA → C.0 D.AC → 答案 D解析 AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →答案 D解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 3.若正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|等于( )A.1B. 2C.3D.2 2答案 B解析 在正方形ABCD 中，AB ＝1，可知AC ＝2， 所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝ 2.4.已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →答案 C5.(多选)下列说法错误的有( )A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同B.在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0C.若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点 D.若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b | 答案 ACD解析 A 错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；B 正确；C 错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足AB →＋BC →＋CA →＝0；D 错，|a ＋b |≤|a |＋|b |. 6.已知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，AE →＝e ，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. 答案 e解析 a ＋b ＋c ＋d ＝AB →＋BC →＋CD →＋DE →＝AE →＝e .7.在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 答案 1解析 如图，由题意知△ABD 为等边三角形，所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.8.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.(1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 (1)AD →(2)09.如图，已知在▱ABCD 中，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO →＋AC →；(2)DE →＋BA →.解 (1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →即为所求.(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →即为所求.10.在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解 作出图形，如图所示.设船速v 船与岸的方向成α角， 由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角. ∴船是沿与水流方向成120°角的方向行进.11.在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A.2 5 B.4 5 C.12 D.6 答案 B解析 因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍. 又|AC →|＝42＋22＝25，所以向量AB →＋AD →＋AC →的长度为4 5.12.若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案 D解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形. 13.已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于点E ，点E 为BC 的中点，延长AE 到点D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.14.如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N.则F 1和F 2的合力为________ N.答案 12 3解析 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|OA →|＝24， |AC →|＝12，∠OAC ＝60°， ∴∠OCA ＝90°，∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为与F 2成90°角，竖直向上.15.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.∵PB →与QC →大小相等，方向相反，∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.16.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何知识可知，EF→＝CD→，BF→＝F A→，所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋BF→) ＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→)＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋0＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋F A→＝0.。