2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.1 向量的加法运算

6.2平面向量的运算

6.2.1向量的加法运算

学习目标

1.理解并掌握向量加法的概念.

2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.

3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.

知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2.向量求和的法则

向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.

思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？

答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律

交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律

(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )

1.0＋a ＝a ＋0＝a .( √ )

2.AB →＋BC →＝AC →

.( √ ) 3.AB →＋BA →

＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC →

.( × ) 5.|AB →|＋|BC →|＝|AC →

|.( × )

一、向量加法法则

例1(1)如图①所示，求作向量a＋b.

(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.

→＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. 解(1)首先作向量OA

(2)方法一(三角形法则)如图④所示，

首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b，然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.

方法二(平行四边形法则)如图⑤所示，

首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，

以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，

则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.

再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，

则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求.

反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.

(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →

＝________. 答案 (1)OB → (2)AD →

(3)0

解析 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →

＝OB →.

(2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →

. (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →

＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：

(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →

. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →

＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →

＝AF →＋F A →

＝0.

反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.

跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →

|＝________. 答案 2 2

解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →

|＝2 2. 三、向量加法的实际应用

例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.

解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →

＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →

即为小船的实际航行速度.

∴|OC →|＝

|a ＋b |2＝

|a |2＋|b |2＝20(km/h)，

tan ∠AOC ＝103

10

＝3，∴∠AOC ＝60°，

∴小船的实际航行速度为20 km/h ，沿北偏东30°的方向航行. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.

跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.