函数与方程和不等式
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
3.2 高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》
高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》教材分析函数是中学数学的核心概念，函数的零点是函数的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机地联系在一起。
本节课是在学生学习了函数的性质，数形结合的知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质，判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，以及函数与方程的综合应用，如知道零点求参数范围等问题。
学情分析学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练地掌握了求解一元二次方程的方法，但是学生对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在学生的头脑中，函数、方程、不等式都是模糊的。
通过这节课的学习，能让学生真正地体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。
教学目标1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系。
2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和求零点的一元高次不等式的方法。
3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法。
教学重点1、理解零点的概念与性质。
2、应用函数解不等式的步骤与方法。
教学难点函数与方程、不等式之间的关系。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入已知函数f（x）= x - 1，我们知道，这个函数的定义域为x∈R，而且可以求出，方程f（x）= 0的解集为 {1}，不等式f（x）＞0的解集为{1，+∞}，不等式f（x）＜0的解集为{-∞，1）。
在图3-2-1中作出函数f（x）= x-1的图象，总结上述方程，不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。
二、新知由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。
具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A = {x∈D | f（x）＜0}B = {x∈D | f（x）= 0}C = {x∈D | f（x）＜0}显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D = A∪B∪C。
函数与方程(组)、不等式的联系
函数与方程（组）、不等式的联系山东 孙延林万事万物都处于普遍联系之中,数学各知识之间也是如此.运用联系的观点来认识一次函数、方程和不等式,对于提高大家的认知水平和解题能力是大有裨益的.一、一次函数和一元一次方程的联系任何一个一元一次方程都可以化简成ax+b=0(a ≠0,a,b 为常数)的形式,其解恰好就是一次函数y=ax+b(a ≠0,a,b 为常数)的函数值为0时,自变量x 的取值,反映在图象上,就是直线y=ax+b 与x 轴的交点横坐标.例1 一次函数y=21-x+2图象与x 轴的交点A 的坐标是 , 与y 轴的交点B 的坐标是 .析解: 由于x 轴上所有点的纵坐标都为0,故令y=0,即有21-x+2=0,将一次函数图象与x 轴的交点问题转化为一元一次方程的问题.解得x=2,因此点A 的坐标是(4,0).同理,令x=0,得到一元一次方程y=2,即点B 的坐标是(0,2).二、一次函数和一元一次不等式的联系任何一个一元一次不等式都可以化简成ax+b>0(或 ax+b<0)(a ≠0,a,b 为常数) 的形式, 其解恰好就是一次函数y=ax+b(a ≠0,a,b 为常数)的函数值大于(或小于0)时,自变量x 的取值范围,反映在图象上,就是直线y=ax+b 在x 轴上方的部分(或x 轴下方的部分)对应的自变量x 的取值范围.例 2 一次函数y=2x-4的图象如图1所示,当x时,其函数值大于0; 当x 时,其在x 轴的下方.析解:令y>0,即2x-4>0,解不等式得x>2;图象在x 轴的下方就是指y<0,从而2x-4<0,解不等式得x<2.三、一次函数和二元一次方程组的联系任何一个二元一次方程都可以看作一次函数,反过来,任何一个一次函数解析式都是二元一次方程,从而一次函数解析式----直线上点的坐标就是二元一次方程的解;进一步说,任何二元一次方程组都对应两个一次函数,也就对应两条直线.从数的角度看,解方程组相当于求自变量为何值时两个函数的值相等,以及求该函数值.反映在图象上, 解方程组相当于求两条直线的交点坐标.例3 如图2，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P, 则根据图象可得，关于y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是 . 析解:求方程组的解实际上就是求两条直线交点的坐标.从图2直接看出函数图象的交点(-4,-2),即关于y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是⎩⎨⎧-=-=.2,4y xx 图2。
函数、方程与不等式的关系
函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。
它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。
一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。
函数可以通过方程或不等式来表示和描述。
在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。
方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。
方程可以是一元的或多元的。
一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。
不等式可以是一元的或多元的。
一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。
在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。
1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。
例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。
这样，方程就转化为了函数的表示形式。
2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。
这样，函数就转化为了方程的形式。
3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。
例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
f(a)·f()<0,如图(2)所示.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
2.填空
(1)函数零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且
f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区
四
2.填空
(1)定义:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做
这个函数的零点.
(2)性质:
①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.
②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值
保持同号.
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
下列函数中没有零点的是(
A.f(x)= B.f(x)=x2
1
令 h(x)=x2(x≠0),g(x)=.
在同一直角坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图像,由图可知两个图像只
1
1
x2-=0,因为
有一个交点,故函数 f(x)=x2- 只有一个零点.
∴g(x)=ax2-bx=ax2-ax.∴g(x)的零点为0和1.
(2)要使函数有意义,只需x2+x-12≥0.
方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且
与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).
故原不等式的解集为{x|x≤-4或x≥3}.
答案:(1)C (2)C
如果f(a1)·f(x1)>0,则零点位于区间[x1,b1]上,令a2=x1,b2=b1;
3.2函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案
3.2 函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.能够了解函数与方程、不等式之间的关系；2.能够掌握一次函数、二次函数的相关知识；3.能够熟练运用函数求解方程、不等式。
二、教学内容1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法–函数方程的两种形式：显式解和隐式解–利用函数求解方程2.函数与不等式–一次函数的性质–二次函数的图像与性质–利用函数求解不等式三、教学重点和难点1.教学重点：函数方程的两种形式，利用函数求解方程和不等式；2.教学难点：二次函数的图像及其性质。
四、教学策略1.教师讲授与学生自主学习相结合；2.通过图像和实例进行教学；3.激发学生的兴趣，提高课堂参与度。
五、教学过程第一步：引入新知识教师通过讲解实例引发学生对函数与方程、不等式之间的关系的兴趣，为接下来的学习铺垫。
第二步：授课1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法函数在坐标系中的表示方法有图形、表格和公式三种。
其中，图形最容易理解，表格便于计算，公式最具普适性。
–函数方程的两种形式：显式解和隐式解函数方程的显式解指的是“y=函数表达式”，隐式解是除y之外的变量和常量所组成的方程式。
–利用函数求解方程利用函数求解方程，可以将需要求解的方程式代入函数表达式中，求出变量值，即为方程的解。
2.函数与不等式–一次函数的性质一次函数对应的图像是一条直线，其性质包括：斜率决定了直线的倾斜方向和大小，截距决定了直线与y轴的交点。
–二次函数的图像与性质二次函数对应的图像是抛物线，其性质包括：开口方向由二次项系数的正负决定，开口朝上的抛物线最小值为D，对称轴方程为x=-b/2a。
–利用函数求解不等式利用函数局部区间的正负性和函数性质，将不等式转化为相等式或函数的零点问题，从而求解不等式。
第三步：练习通过例题进行练习，加深学生对知识点的理解和掌握程度。
第四步：分组讨论将学生分成小组，进行讨论和分享，培养学生彼此之间的合作精神和交流能力。
函数,方程,不等式之间关系
数学补习（一）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
从图象上看，这相当于已知 ，确定 的值。
2、一元一次不等式与一次函数的关系 （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a ≠0）是一次函数y=ax+b （a ≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b 上使函数值y>0（x 轴上方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0 的解集；使函数值y<0（x 轴下方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0的解集．典型例题例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题： （1）当x ＝0时，y ＝ ，当y ＝0时，x ＝ ； （2）写出直线对应的一次函数的表达式 ；（3）一元一次方程 12 x+2=0和一次函数 y= 12x+2 有什么联系？一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）1．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 2．一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况填上表。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式数学是研究现实世界的量的关系的学科——恩格斯。
由于数学概念、理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程(方程组)及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系(一)从关系式上看。
一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式。
同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式。
(二)从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标。
二、函数与二元一次方程组的关系当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程与不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程与不等式瞧作三个独立的知识点。
实际上,她们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系,并在做题时灵活运用,将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先瞧函数解析式:(0)y ax b a =+≠,这就是一个一次函数,图像就是一条直线。
对于这个函数而言,x 就是自变量,对应的就是图像上任意点的横坐标;y 就是因变量,也就就是函数值,对应的就是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =,上面的解析式也就变成了0ax b +=,也就就是一个一元一次方程了。
我们知道,一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候,令0y =(同理求一个函数图像与y 轴交点的时候,令0x =)。
所以上面的意义可以这样表达:将函数解析式中的y 变为0,那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就就是函数解析式与方程之间的关系,它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下:例如函数23y x =-的图像如右所示:该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2,也就就是在函数解析式23y x =-中,令0y =即可。
令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=,其解与一次函数与x 轴的交点的横坐标就是相同的。
接下来推广到二次函数:例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示:很容易验证,该函数图象与x 轴的交点的横坐标正就是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象就是通过列表、描点、连线的方式作出来的,虽然比较精确,但过程十分繁琐。
在实际中,很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系,我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程就是22520x x -+=,先求出这个方程的两个解。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
3、函数与方程、不等式关系(学生用)
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式知识点1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理）例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3•的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3．方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4•上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3．选择题1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤12．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-23．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0）填空题4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是________．7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．解答题9．某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，•观察图象，回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家的车合算？10．在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1<y2探究题12．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<y2；②y1≥y2（3）利用图象求出：当x取何值时有：①y1<0且y2<0；②y1>0且y2<0一、选择题1．直线y=3x+9与x轴的交点是（）A ．（0，-3）B ．（-3，0）C ．（0，3）D ．（0，-3）2．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-33．已知直线y=kx+b 与直线y=3x -1交于y 轴同一点，则b 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．13D ．-134．已知直线AB ∥x 轴，且点A 的坐标是（-1，1），则直线y=x 与直线AB 的交点是（ ）A ．（1，1）B ．（-1，-1）C ．（1，-1）D ．（-1，1）5、已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 12x+2上，则y 1 y 2大小关系是( ) （A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1 <y 2 （D ）不能比较6.已知一次函数y=ax+4与y=bx -2的图象在x 轴上相交于同一点,则的值是( )(A)4 (B)-2 (C) 12 (D)- 127、一次函数y=ax+b,若a+b=1,则它的图象必经过点( )A 、(-1,-1)B 、(-1, 1)C 、(1, -1)D 、(1, 1)8. 如图，直线与轴交于点(－4,0)，则>0时，的取值范围是( )A 、>－4B 、>0C 、<－4D 、<09.无论m 为何实数，直线m x y 2+=与4+-=x y 的交点不可能在（ ）A.第一象限B 第二象限C.第三象限D.第四象限10．若函数y=（2m+1）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ）A ．m>12B ．m=12C ．m<12D ．m=-1211．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．k>3B ．0<k ≤3C ．0≤k<3D ．0<k<312．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A ．y=-x-2B ．y=-x-6C ．y=-x+10D ．y=-x-1二、填空题1．直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a 的值是______．2．已知直线y=2x+8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______． 与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．3．已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x 轴的交点坐标是________．4．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x 等于_________ 时的函数值是8．5.若函数y=(2+m)x 32-m 是正比例函数，则常数m 的值是 .6.y=311-++x x 中x 的取值范围是 . 7.当x= 时，y=2x+2与y=x+1有相同的函数值。
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课题:函数与方程、不等式
主备：黄征 课型：复习 审核：九年级数学组 班级 姓名 学号
【考点链接】
函数、方程、不等式之间的联系：
【课前热身】
1.直线y=kx+b （k ≠0）的图象如图1，则方程kx+b=0•的解为x=_______，不等式kx+b<0的解集为___ ___．
2. 如图2,已知函数1y ax b =+ 和2y kx = •的图象，则方程组12
y ax b
y kx =+⎧⎨
=⎩的解_______．
当x 时，12y y >；
图1 图2 图3 图4 3.如图3是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2=m
x
的图象，•观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范围是_________．
4. 已知二次函数y 1=ax 2
+bx+c （a ≠0）和直线y 2=kx+b （k ≠0）的图象如图4，则 （1）当x=______时，y 1=0； (2)当x 满足 时，y 1=y 2； （3）当x 满足__ ____时，y 1<0； （4）当x 满足__ ____时，y 1>y 2
【例题教学】
例1、如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，
则不等式1
2x kx b >+
的解集为 ．
例2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴
的正半轴的交点在(02)，
的下方．下列结论： ①420a b c -+=；
②0a b <<； ③20a c +>； ④210a b -+>．
其中正确结论的序号是 ．
例3、已知二次函数y 1=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图像经过三点（1，0），（－3，0），（0，3
2
-
）． （1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像； （2）若反比例函数22y x
=
（x ＞0）的图像与二次函数y 1=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图像在第一象 限内交于点A(x 0，y 0)，x 0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数y 2=
（x ＞0，k ＞0）的图像与二次函数y 1=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图像在第
一象限内的交点A ，点A 的横坐标x 0满足2＜x 0＜3，试求实数k 的取值范围．
【课堂检测】 1．一次函数的图象如图1所示，当
时，的取值范围是 ；
（图1） （图2） （图3）
2.如图2，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0
y <时，x 的取值范围是 ．
3. 如图3所示，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图像交点为P ，•则不等式x+b>ax+3的解集为________．
4.若关于x 的一元二次方程2
250ax x +-=的两根中有且仅有一个根在0与1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）
A ．3a <
B ．3a >
C ．3a <-
D ．3a >-
【课后巩固】
1. 已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程
220x x m -++=的解为 ．
（图1） （图2） （图3）
2. 已知二次函数
（
）与一次函数
的图象相交于点A
（－2，4），B （8，2）（如图2所示），则能使成立的的取值范围是 ．
3. 如图3，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4
x
交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．
4. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：
①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是 。
5. 已知关于x 的一次函数y=mx+2m －7在－1≤x ≤5上的函数值总是正数，则m 的取值范围是_______．
6．二次函数y = ax 2
+ bx + c 的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y ＜0时，x 的取值范围是（ ）． A ．x ＜0或x ＞2 B ．0＜x ＜2 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．－1＜x ＜3 7. 如图，已知反比例函数k
y x
=
与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次
函数的值的x 的取值范围． 课后反思。