高中数学必修4北师大版 向量平行的坐标表示 学案1

4.3 向量平行的坐标表示

向量平行的条件

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，那么当且仅当____________时，向量a ，b (b ≠0)共线．由于规定零向量与任何向量平行，所以b ≠0的条件可去掉．当x 2y 2≠0时，向量a ，b 共线的条件也可以写作__________．

即：(1)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． (2)若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行． 预习交流1

如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 预习交流2

a ＝(x 1，y 1)，

b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与x 1x 2＝y 1

y 2等价吗？

预习交流3

(1)下列各组的两个向量，共线的是( )． A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2)

D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4)

(2)若a ＝(5,2)，b ＝(6，y )且a ∥b ，则y ＝______.

答案：x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1x 2＝y 1

y 2

预习交流1：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．

例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．

预习交流2：提示：不等价，因为x 2，y 2为零时，x 1x 2，y 1

y 2

无意义．

预习交流3：(1)D (2)12

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1．已知向量共线，求参数的值

已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？

思路分析：题目给出了a ，b 的坐标，欲求k 的值使k a ＋b 与a －3b 平行，可先把向量k a ＋b 与a －3b 的坐标形式表达出来，再利用向量平行的坐标表示列出方程，或利用向量共线的定理列出方程求得k 的值，再根据符号确定两向量的方向．

已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2

利用向量共线的条件求值问题的处理思路：

对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．

2．关于三点共线问题

如果向量AB →＝i －2j ，BC →

＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A ，B ，C 三点共线．

思路分析：要使A ，B ，C 三点共线，则需AB →∥BC →

，由向量共线的条件可求出m 的值．

p ，q ，r 是互异实数，三个点P (p ，p 3)，Q (q ，q 3)，R (r ，r 3)，求证：若P ，Q ，R 三点共线，则p ＋q ＋r ＝0.

三点共线的实质与证明

三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．

3．利用向量共线的条件求交点的坐标

如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．

思路分析：方法1：要求点P 的坐标，可利用O ，P ，B 三点共线，OP →＝λOB →，用OB →

的坐标表示OP →

的坐标，然后利用A ，P ，C 共线求出P 点坐标．

方法2：设出P 点的坐标，利用O ，P ，B 三点共线，A ，P ，C 三点共线，列出方程组求解．

在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →

，AD 与BC 交于点

M ，求点M 的坐标．

求两直线AB 与CD 的交点P 的坐标，常有两种思路，一种是利用AP →＝λAB

→

表示出AP →

的坐标，进而利用C ，P ，D 共线求出P 点坐标；另一种是设P 点坐标为(x ，y )，利用A ，P ，B 共线和C ，P ，D 共线建立方程组解出x ，y 的值．

答案：活动与探究1：解法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )，

∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0.

解得k ＝－1

3

.

此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－13

－3，－2

3＋2 ＝⎝⎛⎭⎫－103，43＝－13(10，－4)＝－1

3

(a －3b )， ∴当k ＝－1

3

时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．

解法二：由解法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为(k a ＋b )∥(a －3b )， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．

由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， ∴⎩

⎪⎨⎪⎧

k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝－13，λ＝－13.

当k ＝－1

3

时，k a ＋b 与a －3b 平行，

这时k a ＋b ＝－1

3

a ＋

b .

∵λ＝－13＜0，∴－1

3

a ＋

b 与a －3b 反向．

迁移与应用：D 解析：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，