高考中的拉格朗日中值定理

于 0 ． 这就说明割线斜率与切线斜率并不一定等 1］ 价， 从而文献［ 对例 2 的解法存在纰漏． 3 一个反例 例3 已 知 函 数 f （ x） = 1 2 x － 2 alnx + 2
因此 存 在 这 样 的 实 数 a 满 足 题 意， 其范围为
（ a － 2 ） x（ a ∈ R ） ， 问： 是否存在实数 a， 对任意的 f（ x2 ） － f（ x1 ） x1 ， x2 ∈（ 0 ， + ∞ ） 且 x1 ≠ x2 ， ＞a恒 有 x2 － x1 成立？ 若存在， 求出 a 的取值范围； 若不存在， 说明 理由． ( 2012 年湖北省孝感市高三数学统考理科试题) 解法 1 利用拉格朗日中值定理 x2 ∈ （ 0 ，+ ∞ ） 且 x1 ≠ x2 ， 对任意 的 x1 ， 要使 f（ x2 ） － f（ x1 ） ＞ a 恒成立， 由拉格朗日中值定理知： x2 － x1 f（ x2 ） － f（ x1 ） +∞） ， ， 必存在 x0 ∈ （ 0 ， 使 f ' （ x0 ） = x2 － x1 即 f ' （ x） ＞ a， 亦即只须 f ' （ x） ＞ a 对 x ＞ 0 恒成立， 2a + （ a － 2 ） ＞ a 对 x ＞ 0 恒成立， 亦即 x － 从而 a ＜ x 1 x（ x － 2 ） 对 x ＞ 0 恒成立． 令 2 g（ x） = 则 1 1 x（ x － 2 ） = ［ （ x － 1） 2 － 1］ ， 2 2 g（ x）
由 f（ x1 ） － f（ x2 ） ≥4 | x1 － x2 | ， 得 f（ x1 ） － f（ x2 ） ≥4 （ x1 － x2 ） ， 从而 即 由 f ' （ x0 ） = f（ x1 ） － f（ x2 ） ≤ － 4， x1 － x2 f ' （ x0 ） ≤ － 4 ． a +1 + 2 ax≤ － 4 ， 得 x － 4x － 1 （ 2x － 1） 2 = － 2， 2 x2 + 1 2 x2 + 1 a ∈（ － ∞ ， － 2］ ． 解法分析 1］ 文献［ 的解题根据是： 对于一个连续可导函 数， 任意一条割线都可以找到一条与其斜率相等的 切线， 这就是高等数学中的拉格朗日中值定理 ： 若函数 f（ x） 满足如下条件： （ 1 ） 若 f（ x） 在闭区间［ a， b］ 上连续； （ 2 ） 若 f（ x） 在开区间（ a， b） 上可导， b ） 内 至 少 存 在 一 点 ξ， 则在 （ a， 使得 f ' （ ξ） = f（ b） － f（ a） ． b －a
f（ x） =
（ 1 ） 略；
（ 2 ） 由拉格朗日中值定理， 知必存在 x0 ∈ （ 0 ， +∞） ， 使得 f ' （ x0 ） = f（ x1 ） － f（ x2 ） ． x2 － x1
（ 1 ） 讨论函数 f（ x） 的单调性； x2 ∈ （ 0 ， （ 2 ） 证 明： 若 a ＜ 5 ， 则 对 任 意 x1 ， +∞） ， x1 ≠x2 ， 有 f（ x1 ） － f（ x2 ） ＞ － 1． x1 － x2
第 12 期
: “高考中的拉格朗日中值定理” 聂文喜 中的一点纰漏
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“高 考 中 的 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ” 中的一点纰漏
●聂文喜
( 广水市第一中学 湖北广水 432700 )
“高考中的拉格朗日中值定理 ” 本刊第 7 期 一 1］ ）， 文中（ 下称文献［ 用拉格朗日中值定理简捷地 f（ x2 ） － f（ x1 ） ＞ a 与 f（ x1 ） － f（ x2 ） 解决了 x2 － x1 从而 ＞
2 斜率， 因此 A = B 并不一定成立． 如 f （ x ） = x （ x ∈
பைடு நூலகம்
故 解法 2
a＜ －
1 ． 2
利用转化思想
不妨设 x1 ＜ 假设存在这样的实数 a 满足条件， x2 ． 由 f（ x2 ） － f（ x1 ） ＞ a， 知 x2 － x1 f（ x2 ） － ax2 ＞ f（ x1 ） － ax1 成立． 令 g（ x） = f（ x） － ax = 1 2 x － 2 alnx － 2 x， 则函 2
得 ( a 2－ 1，+ ∞ ) 上单调递增，
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中学教研 ( 数学)
2012 年
如果记 A = ｛ k | k 是 函 数 y = f （ x ） 的 割 线 斜 B = ｛ k | k 是函数的切线斜率 ｝ ， 对于连续可导 率｝ ， x2 ， 函数及任意的 x1 ， 根据拉格朗日中值定理， 必存 f（ x2 ） － f（ x1 ） x2 ） ， = f ' （ ξ） ， 在 ξ∈（ x1 ， 使 也就是说 x2 － x1 总存在一条切线， 使切线斜率等 对任意的割线 PQ， 于割线斜率， 因此 A B． 例 1 的证明基本是正确 不过应该明确的是证明了一个比原命题更强的 的， 命题． 拉格朗日中值定理没有逆定理， 即对曲线的任 并不一定存在割线， 使割线斜率等于切线 一切线，
+ ∞ ） 单调递增， 数 g （ x ） 在（ 0 ， 从而 g（ x） = x － 2a － 2 ≥0 ， x
2 2 即 2 a≤x － 2 x = （ x － 1 ） － 1 在 （ 0 ，+ ∞ ） 恒成立，
R） ， f ' （ x ） = 3 x2 ， f '（ 0） = 0， 即 f（ x） 在 x = 0 处的切
( 2009 年辽宁省数学高考理科试题) ( 1 ) 略; ( 2 ) 证法 2［1］ f （ x1 ） ） ， B （ x2 ， 不妨设点 A （ x1 ， f（ x2 ） ） ， 原题即证 f （ x） 的任意一条割线的斜率 k AB ＞ － 1 ． 由几何图形可知， 只需证 f （ x ） 的任意一 即证 f ' （ x ） ＞ － 1 对 x ∈ 条切线的斜率 k AB ＞ － 1 ， （ 0， + ∞ ） 恒成立， 也即证 x+ 记 a －1 － （ a － 1） ＞ 0． x 故 2
3 线斜率为 0 ， 但 f（ x） = x 不存在割线使割线斜率等
故 a≤ － ． ( － ∞ ，－ 1 2) 对于例 3 ， 解法 2 的结果是正确的， 解法 1 的 结果是不正确的， 从而进一步说明： 在可导曲线中， ｛ 割线斜率｝ = ｛ 切线斜率｝ 是一个错误的命题． 4 一个结论 利用拉格朗日中值定理易得如下结论 ： 结论 在可导曲线 y = f （ x ） 中， 其图像上任意 2 个不同点连线的斜率组成的集合为 P ， 图像上任 1 ． 2
min
一点处的切线斜率组成的集合为 Q， 则 （ 1 ） P Q， 即｛ 割线斜率｝ ｛ 切线斜率｝ ； （ 2 ） 若 f （ x ） 是定义域内的凸 （ 或凹 ） 函数， 则 P = Q， 即｛ 割线斜率｝ = ｛ 切线斜率｝ ； （ 3 ） f （ x ） 在 定 义 域 内 有 在 唯 一 拐 点 （ x0 ， f（ x0 ） ） ， 则 f ' （ x0 ） P ， 且 P ∪｛ f ' （ x0 ） ｝ = Q． 综上所述， 对于可导函数而言， 其图像上任意 2 个不同点连线的斜率的取值范围与 f ' （ x） 的取值 范围并不等价， 前者所组成的集合只是后者所组成 在解题时应慎用． 集合的子集， 参 考 文 献
［1 ］
（ 1 ） 讨论函数 f（ x） 的单调性； （ 2） 设 a ＜ － 1， x2 ∈（ 0 ， +∞） ， 如果对任意 x1 ， f（ x1 ） － f（ x2 ） ≥4 | x1 － x2 | 成立， 求 a 的取值范 围． ( 2010 年辽宁省数学高考理科试题) 解
［1 ］
已知函数 1 2 x － ax + （ a － 1 ） lnx， a ＞ 1． 2
h（ x）
min
=h
( a 2－ 1 ) = （ a － 1）4（ 5 － a） ＞ 0，
g（ x） ＞ 0 ．
例2
［1 ］
已知函数 f（ x） = （ a + 1 ） lnx + ax2 + 1 ．
a | x1 － x2 | 型不等式的证明与恒成立问题． 笔者读 后受益匪浅， 但笔者认为利用拉格朗日中值定理解 决上述 2 类问题还有待斟酌之处， 特提出来讨论， 并借此向各位同仁求教． 1 原文摘抄 例1
a≤
a －1 g（ x） = x + － （ a － 1） = x x2 － （ a － 1 ） x + a － 1 ， x
2 令 h（ x） = x － （ a － 1 ） x + a － 1 ， 则
h' （ x） = 2 x － （ a － 1 ） ． 因 此， h （ x ） 在 a －1 上 单 调 递 减， 在 ( 0， 2 )
= g（ 1 ） = －
1 ， 2
［ 1］ 吴旻玲， J］ ．中 高考中的 拉 格 朗日 中 值 定 理［ 2012 ( 7 ) : 4446． 学教研( 数学) ，