南昌五中2017—2018学年度高二上学期数学期中考试试卷及答案(理科A卷)(2017年11月)

111 1 3 a正视图 俯视图侧视图 南昌市第五中学2017～2018学年第一学期高二年级期中考 数学 A 卷(理)分值： 150 分 时长： 120 分钟 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.函数x x f x 43)(+=的零点所在的区间是（ ）A.()1,0B.()2,1C.()1,2--D.()0,1-2.命题“),0[+∞∈∀x ，1≥x a 成立”的否定是（ ）A.),0[+∞∈∀x ，1<xa 成立B.)0,(-∞∈∀x ，1<xa 成立C.),0[0+∞∈∃x ，使10<xa 成立D.)0,(0-∞∈∃x ，使10<xa 成立3.已知函数x x x f cos 41sin 2)(2+-=，给定条件p ：3π<x 或2π>x ，x ∈R ，条件q ：2)(2<-<-m x f ．且q 是p ⌝的必要条件，则m 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21B.()3,1C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.∅4.如图所示正方体''''D C B A ABCD -中，E 为CD 中点，点P 在 线段'AD 上运动，下列命题中真命题的个数是（ ）①DP AB ⊥；②存在P 使AC EP //；③存在P 使C A EP '//； ④存在P 使BE EP ⊥.A.2个B.1个C.4个D.3个5.函数2ln 32)(++=x x f ，在点())0(,0f 处切线的斜率是（ ）A.42ln 5B.45C.42lnD.416.函数)(x f 的定义域为开集A ，R A ⊆,A x ∈∀,1)('>x f 恒成立，A x x x ∈210,,，且21x x <则下列命题中真命题的个数是（ ）①0)(0>x f ；②)()(21x f x f <；③0>∆∃x 使2)()(00-<∆∆+-∆-xx x f x x f ；④直线)())(('000x f x x x f y +-=与)(x f y =的图像只有一个交点.A.1个B.4个C.2个D.3个7.点A 是抛物线)0(2:21>=p px y C 与双曲线)0,0(1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ）A.2B.5C.3D.28.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，若椭圆上存在点P 使1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. ()1B.0,2⎛ ⎝⎭C.)1,1D.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭9. 如图所示，点F 是抛物线x y 42=的焦点，点B A 、分别在抛物线和圆()4122=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是 平行于x 轴求FAB ∆的周长取值范围（ ）A.[]6,4B.()4,2C.[]4,2D.()6,4 10.在R 上可导的函数)(x f 对任意x 均满足0)(<x f ， 且0)(')(<+x f x f ，下列不等式始终成立的是（ ）A.)2(3)1(f f <B.)2(3)1(f f >C.)2(2)1(f f <D.)2(2)1(f f >11.函数x x x f +=cos )(的大致图像是（ ）A. B. C. D.12. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<⋅-≥--+⋅=-a x a x xa x x f a x x a,244,248log 4)(21，0>a 时，)(x f 在R 上无最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,41B.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,81D.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,81 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数ax x x x f --=24234)(恰有一个极值点，求实数a 的取值范围 . 14.三棱锥三视图如图所示，当a 变化时，求该三棱锥外接球表面积的最小值 .15.在平面直角坐标系中01:1=+-y kx l 与022:2=++k ky x l 相交于点P ，则当k 变化时P 到直线0322=-+y x 的最大距离为 .16.已知)0(1:22221>>=-b a by a x C 的右焦点为)0,(c F ，以F 为圆心，2c 为半径的圆2C ，若不存在与曲线1C 相切且与圆2C 相交的直线，则1C 的离心率的范围是 .14题2O F E C BA 三、 解答题（本大题共6小题，共70分，答题卡上需写上解答过程及必要的文字说明） 17.（10分）在直角坐标系xOy 中，⎩⎨⎧⋅=⋅=ααsin cos :t y t x l t (为参数)，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 54cos 53y x (α为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 的普通方程和C 的极坐标方程；（2）设6,3ππϕ=时l 与C 分别交于异于原点的B A 、两点，求AOB ∆的面积.18.（12分）已知p :对任意[]2,1∈x ，有02≥-a x ，q ：函数()1)1(lg )(2+-+=x a x x f 的定义域为R . （1）已知r ：0>a ，则r p ∧是r q ∧的什么条件;（2）若q p ⌝∨是真命题，q p ⌝∧是假命题，求实数a 的取值范围.19.（12分）在四棱锥-A EFCB 中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． （3）求证BE AO ⊥; （4）求直线CE 与平面AOC 所成的角的正弦值. 20.（12分）设函数x x x f -=ln )(，12)(--=x xe x g x . （1）关于x 的方程m x x x f +-=310)(2在区间[]3,1上有解，求m 的取值范围； （2）当0>x 时，)()(x f a x g ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 长轴长为4，焦距为22.P 、M 在椭圆上，过点P 斜率为2-的直线1l 交椭圆于点Q ，过点M 斜率为2的直线2l 交椭圆于点N （1）求椭圆C 的方程； （2）试推测直线NQ 与直线MP 的斜率之和为何值并证明.，22.（12分）已知函数a ae x x f x-++=-)1ln()(，R ∈a . （1）当 1=a 时，求证)(x f 在()+∞,0是增函数； （2）若[)+∞∈∀,0x ，不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.3南昌市第五中学2017～2018学年第一学期高二年级期中考 数学 A 卷数学参考答案一、选择题DCAD CABC DBBA1. D.【解析】0)0(,0)1(><-f f ，所以零点在区间()0,1-.2. C.【解析】考察命题的否定3. A.【解析】1cos 4cos 2)(2++-=x x x f 3)1(cos 22+--=x ;p ⌝：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,3ππx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0cos x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-m m m x f 25,1)(,q p ⇒⌝，⎪⎩⎪⎨⎧<-->-22521m m ，解得：321<<m . 4. D.【解析】①③④正确。

5. C.【解析】42ln )0(',3222ln 2)('=+=f x f x x6. A.【解析】①错误；②错误，例如x x x f 1)(-=，111)('2>+=xx f ；③正确；④错误.7. B.【解析】),2(p p A ,5,22==÷=e pp a b .8. C.【解析】)2,1(=+<<-i c a PF c a i，由正弦定理12,,21->+->=e ca ca a c PF PF a c . 9. D.【解析】联立解得抛物线与圆交点1=x ，()3,1∈B x ，()6,4321∈+=-+++=++=B A B A FAB x x x x BA FB AF l10. B.【解析】令xe xf xg ⋅=)()(，0)](')([)('<+=xe xf x f xg ，),2()1(g g >2)2()1(e f e f ⋅>⋅，)2(3)2()1(f f e f >⋅>.11. B.【解析】1)0(=f ，排除A,01sin )('≥+-=x x f 排除D,令0)('=x f ，,25,2,23πππ-=x ，观察导数为0的点排除C ，选B.12. A.【解析】)(x f 在[)+∞,a 递增，a a f 42)(⋅=，在()a ,∞-，令()ax t 2,02∈=，a a a t t t t g 442224)(22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=，不存在最小值则a a 222≤21≤⇒a ，且)()2(a f g a <，244244--⋅<-a a ，4124>⇒>a a ，所以2141≤<a .二、填空题13. (][)+∞-∞-,22, . 【解析】a x x x f --=3)('3有一变号零点，2|313-=-=x x x ，2|313=--=x x x ，(][)+∞-∞-∈,22, a .14. π16. 【解析】三棱锥底面外接圆半径2=r ，外接球半径r R ≥，当1=a 时，2==r R ，此时ππ1642min ==R S .15. 463.【解析】点P 轨迹方程为)1(1222-≠=+y y x ，设)sin ,cos 2(θθP ，P 到直线距离为4632233223)cos(32223sin 2cos 22=≤--=-+=ϕθθθd .16. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,332【解析】圆()4:2222c y c x C =+-需在区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-><x a b y x a b y 内，31232=>c c a b ，33212>+⎪⎭⎫⎝⎛=a b e ，若332=e ,此时渐近线与圆2C 相切，存在直线与右支相切.三、解答题17.【解析】（1）0cos sin :=⋅-⋅y x l θθ；θθρsin 8cos 6:+=C ……5‘ （2）l 极坐标方程为ϕθ=，把36ππθ，=分别代入θθρsin 8cos 6:+=C 343,334+=+=B A ρρ，432512)63sin(21+=-=B A AOBS ρρππ……10’18.【解析】若p 真，1≤a ，若q 真，()0412<--=∆a ，即31<<-a （1）r p ∧即10≤<a ，……2’r q ∧即30<<a ，……4‘ 所以r p ∧是r q ∧的充分不必要条件；……6‘（2）因为q p ⌝∨是真，q p ⌝∧是假，所以q p ,同为真或同为假p 真q 真：11≤<-a ……8‘ p 假q 假:3≥a ……10‘所以11≤<-a 或3≥a……12‘419.【解析】（1）正ABC ∆中，O 为EF 的中点，EF AO ⊥……2‘平面⊥AEF 平面EFCB ，EFCB AO 平面⊥……4’ ∴BE AO ⊥……5‘（2）解法一：设E 到平面AOC 的距离为d ，2==BE CF ，3222=⋅-+=BC BE BC BE CE ……7’7=OC ，……8‘ 3=AO ，22121=⋅=OC AO S AOC ……9’ 23120sin 21=︒⋅⋅==EC OF S S FOC EOC ……10‘ 721221233=⋅=⋅=AOC EOC S S AO d ，……11’ CE 与平面AOC 所成的角为θ，14732721sin =⨯==CE d θ.……12‘ 解法二：建系.以O 为原点，OE 为x 轴，OA 为z 轴()0,3,3-= ，……7‘()()()0,2,3OAC 3,0,00,3,2=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=-=法向量平面，……10’设所求线面角为θ，147,cos sin =><=n CE θ.……12’ 20.【解析】（1）方程可化为m x x x =+-37ln 2，令x x x x h 37ln )(2+-=)0(>xx x x x x x h 3)32)(13(3721)('-+-=+-=……2‘，)(x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1递增，在⎪⎭⎫⎝⎛3,23递减4523ln 23,3423ln )3(,34)1(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-==h h h……4‘ []3,1∈x 时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈4523ln ,23ln )(x h ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈4523ln ,23ln m ……6’（2）a x f x g ≥-)()(恒成立，令)0(1ln )()()(>---=-=x x x xe x f x g x F x)1()1(11)1()('-+=--+=x x xe x x x e x x F令1)(-=x xe x G ，0>x 时，0)1()('>+=xe x x G ，01)1(,01)0(>-=<-=e G G )(x G 在()∞+，0单调且有唯一零点()1,0∈c ……9‘在区间()c ,00)(',0)(<<x F x G ，)(x F 递减 在区间()+∞,c 0)(',0)(>>x F x G ，)(x F 递增1ln )()(---=≥c c ce c F x F c ，代入01=-c ce ，又0ln 1=+⇒=c c ce c0)(=c F ，0)()(=≥c F x F ，即0≤a……12’ 21. 【解析】（1）12422=+y x ……4’（2）猜测0=+NQ MP k k ……6‘ 设),(),(),,(),,(44332211y x Q y x P y x N y x M ，s x y l +-=2:1，t x y l +=2:2，分别与椭圆联立得0428922=-+-s sx x ，0428922=-++t tx x9843s x x =+，9821t x x -=+;……8’ ()()()()()()()()()'120)922(4)(98)942942(4))((98'1044))(()2222()2222()()2(2)2(22413222224132224132143214324132424124243214324241313⋯⋯=---+-=-----++-=⋯⋯--+---+-=--+-++++---+--+-=-+-+-+-+-+-=+x x x x s t t s x x x x s t t s t s x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x t x s x x x t x s x k k NQ MP22.【解析】（1）1)1ln()(-++=-xe x xf ，0)1()1(11)('≥++-=-+=-xx xe x x e e x xf ……4’)(x f 在),0(+∞递增……6‘（2）x x x x eae x x a x e x x a e xf -=++-+≥++-=1)1()1(1)1()1()('①1≤a 时，0)('≥x f ，0)0()(=≥f x f ，符合题意；……8‘②1>a 时，xx ex x a e x f )1()1()('++-=令)1()(+-=x a e x g x ，a e x g x-=)('，)(x g 在()a ln ,0递减，)(ln )(a g x g ≥，01)0(<-=a g ，)(x f 在)ln ,0(a 递减，)ln ,0(a x ∈时，0)0()(=<f x f ，不符……10‘ 综上所述(]1,∞-∈a .……12’。