八年级数学下册 正方形的性质教案
人教版八年级数学下册正方形正方形的性质
四边都相等
四个角都是直角
√
√ 对角线互相平分
√
对角线互相垂直
对角线相等
√
菱形
正方形
√√ √√
√ √√ √√
√
定义
有一组邻相等，并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形.
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都
正方形 是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。 1.四个角都是直角 (2)提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 的性质 8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
O
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. B
C
精典例题
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
即学即练
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
平行四 边形
矩形
√ 对边平行且相等
正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解正方形的定义及性质；
2.判定一个四边形是否为正方形；
3.运用正方形的性质解决实际问题。
二、教学重难点
1.判断四边形是否为正方形的方法；
2.运用正方形的性质解决实际问题。
三、教学内容及步骤
（一）导入（5分钟）
1.通过观察物体，引出正方形的含义；
2.介绍本节课的学习目标。
（二）正片（30分钟）
1. 正方形的定义
1.学生回顾并回答正方形的定义；
2.老师引导学生深入理解正方形的定义，并与长方形、菱形等进行比较。
2. 正方形的性质
1.学生回顾并回答正方形的性质；
2.老师引导学生深入理解正方形的性质，包括等边、等角、对角线互相垂直、对角线相等等。
3. 判定正方形的方法
1.老师通过例题引导学生掌握判定正方形的方法；
2.学生进行练习，巩固判定正方形的方法。
4. 运用正方形的性质解决实际问题
1.通过例题引导学生运用正方形的性质解决实际问题；
2.学生进行练习，巩固运用正方形的性质解决实际问题。
（三）小结（5分钟）
1.回顾本节课所学内容；
2.强调正方形的定义及性质在实际生活中的应用。
（四）作业布置（5分钟）
1.完成课堂练习；
2.完成课后作业。
四、教学反思
本节课通过例题引导学生掌握了正方形的定义及性质，并且通过练习巩固了判定正方形的方法和运用正方形的性质解决实际问题的能力。
同时，课堂中老师与学生的互动也让学生参与性更强，思维更加开放。
八年级数学下册《正方形的性质及判定》教案、教学设计
2.注重启发式教学：针对正方形性质和判定的学习，教师应采用问ห้องสมุดไป่ตู้驱动、实例分析等方法，引导学生主动思考、探索，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作，共同解决以下问题：
a.证明正方形的对角线互相垂直平分。
b.证明正方形的四条边都相等。
c.探讨正方形的内角和与外角和的关系。
4.完成以下拓展练习：
a.画出一个正方形，并标出其周长和面积。
b.画出一个正方形，并将其分割成四个大小相等的小正方形。
c.画出一个正方形，并找出其内切圆和外接圆，计算它们的半径。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第35页的练习题，包括以下内容：
a.判断下列四边形是否为正方形，并说明理由。
b.计算给定正方形的周长和面积。
c.探索正方形与矩形、菱形之间的联系与区别。
2.结合生活实际，找一找身边的正方形物体，并描述它们的特点。例如，正方形瓷砖、桌面、窗户等。
3.教师引导学生观察正方形的特点，如四条边相等、四个角相等等，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教师引导学生探究正方形的性质，通过观察、猜想、验证等方法，发现正方形的性质，如四条边相等、四个角相等、对角线互相垂直平分等。
2.教师结合实例，讲解正方形性质的应用，如计算正方形的周长、面积等。
3.教师讲授正方形的判定方法，如邻边相等、对角线互相垂直平分、四条边都相等等，并通过实例进行解释和说明。
（三）学生小组讨论
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质(教案)
5.激发对数学几何图形的兴趣，培养数学审美和学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及特征：确保学生理解正方形是一种特殊的矩形，具有四条边相等、四个角都是直角的特点。
-正方形的性质：强调正方形四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的核心性质。
4.正方形对角线与边长的关系，即对角线将正方形平分成长度为边长一半的小正方形；
5.运用正方形性质解决实际问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握正方形的定义、性质及判定定理，提高空间观念和几何直观能力；
2.能够运用正方形性质解决实际问题，增强数学应用意识和问题解决能力；
3.通过探索正方形性质，培养推理能力和逻辑思维能力；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正方形的基本概念。正方形是四条边相等、四个角都是直角的特殊平行四边形。它在几何图形中具有重要地位，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过观察正方形的实物模型，分析其性质和特点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定定理这两个重点。对于难点部分，如对角线性质，我会通过举例和图形演示来帮助大家理解。
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册18.2.3正方形性质。本节课我们将学习以下内容：
1.正方形的定义及特征；
2.正方形的性质，包括四条边相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等；
3.正方形的判定定理，即有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形；
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
正方形性质教案
正方形性质教案【篇一：正方形的性质教案】【篇二：1.3.1正方形的性质与判定(优秀教案)】课题：1．3．1正方形的性质与判定课型：新授课年级：九年级教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题．教学过程：一、回忆童年，情境引入师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？学生思考回答正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）所以说正方形既是菱形又是矩形．（几何画板演示动画）我们这节课就来深入了解正方形．【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．二、实践探究，交流新知师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端．师：你能详细说一说吗？生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．（多媒体显示）正方形性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们能尝试写一下这两个命题的证明过程吗？（学生独立完成，并相互交流）想一想：师：正方形有几条对称轴？（学生思考或者画图验证）三、典例学习，巩固新知如图 1-18，在正方形 abcd 中，e 为 cd 边上一点，f 为bc 延长线上一点，且 ce = cf．be 与 df 之间有怎样的关系？解：be = df，且 be⊥df．理由如下：（1）∵四边形 abcd 是正方形，∴∠ bce = ∠ dcf．又∵ ce = cf，∴△bce ≌△dcf．∴ be = df．（2）延长 be 交 df 于点 m（如图 1-19）．∵△bce ≌△dcf，∴∠ cbe = ∠ cdf．∴ be⊥df．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．（学生画图）（多媒体显示）设计意图：①使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题．实际上就是充分锻炼学生理论依据（本节课是关于正方形的定理）图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力．充分锻炼学生的空间观念．②使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质．同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段．巩固练习1：如图，在正方形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形abcd中，点f为对角线ac上一点，连接bf,df．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．四、课堂小结，内敛提升师：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈纠正1、正方形的四条边，四个角，两条对角线____．2、已知：如图，四边形abcd为正方形，e、f分别为cd、cb延长线上的点，且de＝bf．求证：∠afe＝∠aef．f3．如图，e为正方形abcd内一点，且△ebc是等边三角形，求∠ead与∠ecd b c六、作业布置，落实目标选做题：课本22页习题7．1第1、2题．选做题：课本22页习题7．1第3题．板书设计【篇三：正方形的性质教案】第一章特殊平行四边形3. 正方形的性质与判定（一）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。
初中数学《正方形的性质》学历案
八年级数学下册第学历案活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？归纳定义：评价一：1.你还能举出生活中其他的正方形的例子吗？（检测目标1）(评价最高标准：第1题每说出一个+2，最高4分)任务二：正方形的性质探究和证明（指向目标2）1.如图，正方形ABCD，从角、边、对角线、对称性四个方面探究正方形的性质：边：角：对角线：对称性：2.性质证明①已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.②已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.3.归纳总结正方形是特殊的 ,也是特殊的 ,也是特殊的 .所以、有的性质,正方形都有.性质：1.正方形的四个角都是 ,四条边 .2.正方形的对角线 .平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：评价二：2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）（检测目标2）A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）（检测目标2）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等（评价最高标准：第2-3题答案正确每题+4，最高8分）任务三：正方形性质应用（指向目标3）1.【例题】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE 与DF之间有怎样的关系？请说明理由．（包括数量关系和位置关系）OBDAC2.归纳总结：通过证明三角形 得到边和角 ，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边 ，四个角都是 为证明三角形全等提供了条件．评价三：（检测目标3）4. 如图，A. B. C. D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P 和Q 分别位于AD 和DC 上，且PD=QC 。
正方形的性质+课件+2023-2024学年人教版数学八年级下册
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是
等腰直角三角形
先证
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：△ ,△ ,△ ,△ 是全等的等腰直角三角形 .
思考：图中
共有多少个
等腰直角三
角形？
同理：△ BCO ≌△ CDO， △ CDO ≌△ DAO
四个角
都是直角
对角线相等，
对角线互相平分
对角相等，
邻角互补
对角线互相垂直，
对角线互相平分，
每条对角线
平分一组对角
菱
形
对边平行，
四边相等
正方形性质
边
角
图形
语言
文字
语言
Hale Waihona Puke o对边平行，四条边相等
四个角都是直角
∵四边形ABCD是正方形 ∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
几何 ∴AB∥CD, AD∥BC,
第一部分 新课内容
第十八章 平行四边形
第11课时 §18.2.3 正方形的性质
学习目标
1、理解并掌握正方形的概念及性质。
2、探索正方形的性质。
3、利用正方形的性质解决实际问题。
重点
探索正方形的性质。
难点
能利用正方形的性质解决实际问题。
类比、归纳思想
回顾：矩形、菱形的性质
矩
形
边
角
对角线
对边平行
对边相等
正方形ABCD的周长为________，面积为________；
3 2
2
变式1-1：正方形的一条对角线的长为3，则此正方形的边长是____
八年级下册数学教案《正方形的性质》
八年级下册数学教案《正方形的性质》学情分析本节课主要学习正方形的概念和性质，是在学生学习了平行四边形、菱形、矩形的定义、性质以及判定方法的基础上进行的。
本节课给出了正方形的一种定义方式：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
通过对概念的分析，自然渗透从菱形角度出发，从矩形角度出发的正方形定义方式，给学生提供从不同角度看问题的体验。
教学目的1、探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形的联系与区别。
2、会应用正方形的性质，解决相关证明及计算问题。
3、通过观察操作、猜想、证明过程，培养学生科学探索精神。
教学重点正方形的性质教学难点与平行四边形、矩形、菱形之间的联系、区别及相关计算。
教学过程一、新课导入用一张长方形的纸片（如图）折出一个正方形。
什么样的四边形是正方形？四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
二、讲授新知1、正方形的性质（1）矩形怎样变化后就成了正方形呢？矩形沿着一条直边对折，与另一条直边对齐，变化成了正方形。
（2）菱形怎样变化后就成了正方形呢？拉动菱形的四个角，直至四个角转变成直角，菱形就变化成了正方形。
、2、正方形定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
证一证：已知：如图，四边形ABCD是正方形。
求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角。
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A= 90°，AB = AC（正方形定义）又∵正方形是平行四边形，∴正方形是矩形（定义），正方形是菱形（定义）。
∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°AB = BC = CD = AD3、已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于点O，求证：AO = BO = CO = DO。
证明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO = BO = CO = DO∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。
4、思考：请同学们拿准备好的正方形纸片折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么有几条对称轴？正方形是轴对称图形。
华师大版数学八年级下册《正方形的性质》教学设计
华师大版数学八年级下册《正方形的性质》教学设计一. 教材分析《正方形的性质》是华师大版数学八年级下册的一章内容。
本章主要让学生掌握正方形的性质，包括正方形的定义、性质、判定和应用。
在本章的学习中，学生将更深入地了解正方形的特点，以及如何运用正方形的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了矩形、菱形等四边形的性质，具备了一定的几何基础。
但正方形作为特殊的矩形和菱形，其性质更具特色，需要学生进一步理解和掌握。
此外，学生需要在学习过程中培养观察、思考和解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解正方形的定义和性质。
2.学会运用正方形的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.正方形的性质及其应用。
2.学生对正方形性质的深入理解和灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究正方形的性质。
2.运用实例分析法，让学生通过观察、操作和思考，理解正方形的性质。
3.采用合作学习法，培养学生团队合作、交流分享的能力。
六. 教学准备1.准备相关正方形的图片、实物模型等教学资源。
2.设计有针对性的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片、实物模型等引导学生回顾矩形和菱形的性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，提出问题：“正方形是特殊的矩形还是特殊的菱形？它有哪些独特的性质？”激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示正方形的定义和性质，引导学生观察、思考，并尝试用自己的语言总结正方形的性质。
教师在学生总结的基础上，给予归纳和提炼，确保学生对正方形性质的准确理解。
3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用正方形的性质进行解答。
教师在学生解答过程中给予指导，帮助学生巩固正方形的性质。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用正方形的性质解决实际问题。
教师在学生合作学习过程中，关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导。
青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》教学设计
青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》教学设计一. 教材分析《正方形的性质和判定定理》是青岛版数学八年级下册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解正方形的性质和判定定理，掌握正方形的特点和判定方法，为后续学习正多边形和圆的知识打下基础。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究正方形的性质，并通过推理和证明，使学生掌握正方形的判定定理。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了矩形、菱形等四边形的性质，对平行四边形的性质有一定的了解。
但正方形与这些四边形有所不同，它的特殊性质和判定定理需要学生通过探究和证明来掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，引导学生通过自主学习和合作交流，理解和掌握正方形的性质和判定定理。
三. 教学目标1.了解正方形的性质，并能运用这些性质解决相关问题。
2.掌握正方形的判定定理，并能运用判定定理判断一个四边形是否为正方形。
3.培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.正方形的性质和判定定理的理解和运用。
2.正方形性质和判定定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、操作、推理和证明，自主探究正方形的性质和判定定理。
2.合作交流法：学生分组进行探究，分享学习成果，互相学习和交流。
3.案例分析法：教师通过展示正方形的实际应用案例，引导学生理解和运用正方形的性质和判定定理。
六. 教学准备1.教学PPT：包含正方形的性质和判定定理的相关内容，以及实际应用案例。
2.教学素材：正方形的图片、实物模型等。
3.练习题：用于巩固学生对正方形性质和判定定理的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些正方形的实际应用案例，如正方形地毯、正方形桌面等，引导学生关注正方形的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现正方形的性质和判定定理，引导学生观察和思考，引导学生用自己的语言描述正方形的特点。
人教版八年级数学下册《正方形的性质及判定》教案
《正方形的性质及判定》教案一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．．的平．．．．．．．并且有一个角是直角行四边形．．．．叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD， AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又 DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴∠EAO=∠FDO．∴△AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，∴ PN∥QM，∠PNM=90°．∵ PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∴△ABM≌△DAN．∴ AM=DN．同理 AN=DP．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN．∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．六、随堂练习（附后）七、课后练习1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．。
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形的性质》(第1课时)教案
人教版数学八年级下册18.2.3《正方形的性质》（第1课时）教案一. 教材分析《正方形的性质》是人教版数学八年级下册第18章的一部分，主要让学生掌握正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
本节课的内容包括正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，以及正方形的判定方法。
这些内容是学生进一步学习矩形、菱形和正六边形等图形的基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了矩形的性质，对图形的性质有一定的了解。
但正方形作为一个特殊的矩形，其性质更为特殊，需要学生进一步理解和掌握。
在导入部分，可以利用学生已知的矩形性质，引导学生发现正方形的特殊性质。
三. 教学目标1.了解正方形的性质，能够运用正方形的性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.正方形的性质的理解和运用。
2.正方形性质的证明和推导。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
通过提出问题，引导学生发现正方形的性质；通过合作学习，让学生共同探讨和解决问题；通过引导发现，让学生自主探究正方形的性质。
六. 教学准备1.正方形和矩形的模型或图片。
2.直尺、量角器等测量工具。
3.教学PPT或黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用学生已知的矩形性质，提出问题：“矩形的四个角都是直角，那么正方形的四个角是什么角？”让学生回答，并引导学生发现正方形的特殊性质。
2.呈现（10分钟）展示正方形和矩形的模型或图片，让学生观察并比较它们的性质。
引导学生发现正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直尺、量角器等测量工具，测量和记录正方形和矩形的边长、角度和对角线的长度。
通过实际操作，让学生加深对正方形性质的理解。
4.巩固（10分钟）给出一些实际问题，让学生运用正方形的性质解决。
正方形的判定教案
正方形的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解正方形的定义和性质。
2. 培养学生运用正方形的性质解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察、思考和动手能力。
二、教学内容：1. 正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形。
2. 正方形的性质：对边平行且相等，对角相等，四条边都相等。
3. 正方形的判定方法：（1）四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。
（2）对边平行且相等，对角相等，四条边都相等四边形是正方形。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正方形的定义、性质和判定方法。
2. 教学难点：正方形的判定方法。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究正方形的性质。
2. 利用多媒体演示，直观展示正方形的性质和判定方法。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：展示一些生活中的正方形物品，如骰子、瓷砖等，引导学生思考正方形的特征。
2. 新课导入：介绍正方形的定义和性质。
3. 案例分析：分析一些图形，判断它们是否为正方形。
5. 课堂练习：布置一些有关正方形的练习题，巩固所学知识。
7. 作业布置：让学生课后找一些正方形的物品，观察并描述它们的特征。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对正方形定义、性质和判定方法的理解程度。
2. 练习题：分析学生完成练习题的情况，评估他们对正方形知识的掌握。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展：1. 邀请数学家或者相关人员来讲解正方形在生活中的应用，激发学生对数学的兴趣。
2. 组织学生进行数学竞赛，如正方形绘画比赛，提高学生的动手能力和创新能力。
3. 引导学生思考正方形与其他几何图形的关系，如正方形与矩形、菱形的关系。
八、教学反思：1. 教师在课后要对课堂教学进行反思，思考如何更好地讲解正方形的性质和判定方法。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法，使教学更符合学生的学习需求。
八年级数学下册《正方形的性质和判定定理》优秀教学案例
一、案例背景
在八年级数学下册的教学过程中，正方形的性质和判定定理作为几何知识的重要组成部分，对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。本教学案例旨在通过引导学生从生活实例中抽象出正方形的性质，激发学生的学习兴趣，运用启发式教学方法，帮助学生掌握正方形的判定方法，并能够在实际问题中灵活运用。本案例结合教材内容，注重知识体系的构建，突出学以致用，以培养学生解决问题的能力为核心，提升学生的综合素质。在教学过程中，关注学生的个体差异，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在探索正方形性质和判定定理的过程中，体验到数学学习的乐趣。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。教师将学生分成若干小组，每组4-6人，让组内成员相互协作，共同探讨正方形的性质和判定定理。在合作过程中，学生可以相互交流想法，共同解决问题，提高团队协作能力和沟通能力。教师还要关注各小组的学习进度，适时给予指导和帮助，确保每个学生都能在小组合作中受益。
（四）反思与评价
3.反馈：教师要及时给予学生反馈，指出学生在学习过程中的优点和不足，帮助学生找到提高的方向。同时，鼓励学生提出教学建议，促进教学相长，不断提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的正方形物品，如正方形瓷砖、桌面等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在生活中的应用有哪些？
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生通过观察、思考、提问等方式，发现正方形的性质和判定定理。教师提出一系列具有启发性的问题，如“正方形具有哪些性质？”“如何判断一个四边形是正方形？”等，让学生在解决问题的过程中，掌握正方形的相关知识。同时，鼓励学生提出自己的疑问，培养他们勇于质疑、善于思考的习惯。
正方形的判定教案
一、教案基本信息教案名称：正方形的判定教案课时安排：1课时年级学科：初中数学教学目标：1. 让学生掌握正方形的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维和判断能力。
教学重点：正方形的定义和性质教学难点：正方形判定方法的灵活运用教学准备：课件、黑板、几何模型二、教学过程1. 导入：通过展示正方形的实物模型，引导学生观察正方形的特点，引发学生对正方形的好奇心。
2. 探究正方形的定义：请学生尝试给出正方形的定义，师生共同总结出正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形。
3. 分析正方形的性质：引导学生从正方形的定义出发，探讨正方形的性质，师生共同总结出正方形的性质：（1）四条边相等；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相垂直且平分；（4）相邻边互相垂直。
4. 判定正方形的方法：引导学生思考如何判定一个四边形是正方形，师生共同总结出判定正方形的方法：（1）四条边相等且四个角都是直角；（2）对角线互相垂直且平分，且相等；（3）相邻边互相垂直且相等。
5. 练习与应用：出示一些练习题，让学生运用所学的正方形知识解决问题，提高学生的实际应用能力。
三、课堂小结通过本节课的学习，我们掌握了正方形的定义、性质和判定方法，能够灵活运用这些知识解决实际问题。
我们也要注意在日常生活和工作中发现和运用几何知识，提高我们的观察能力和思维能力。
四、课后作业1. 完成练习册的相关练习题。
2. 观察生活中的正方形物体，拍照或者画图，下节课分享给大家。
五、教学反思课后教师要对自己的教学进行反思，查看教学目标的达成情况，对学生的学习效果进行评估，为下一步的教学提供改进方向。
要关注学生的学习反馈，了解他们在学习过程中遇到的问题，以便更好地指导学生。
六、课堂活动1. 小组讨论：请学生们以小组为单位，讨论正方形的性质，每组选一个代表进行汇报。
2. 几何模型操作：学生们可以动手操作几何模型，观察正方形的特点，加深对正方形性质的理解。
初中八年级数学教案-正方形的性质及判定(省一等奖)
正方形目标确定的依据1.课程标准相关要求理解正方形的概念探索并证明正方形的性质定理，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质。
2、教材分析《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。
目的在于让学生通过探索正方形的性质，进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。
这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。
3、学情分析学生基础一般，但上课很积极，有很强的表现欲，通过前一学期的培养，具有一定的独立思考和探究的能力。
但学生的语言表达能力稍有欠缺，所以在本节课的教学过程中，设计了让学生自己组织语言并培养学生对符合语言转化的能力。
学习目标1、借助学具，通过探索得出正方形的概念。
知道正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系。
2、通过合作交流，复习矩形、菱形的性质，归纳出正方形的性质。
会运用正方形的性质进行计算和证明。
（★重点）评价任务1、通过自学指导，能独立说出正方形的概念，知道几种特殊四边形之间的关系。
（目标1）2、通过小组讨论完成“类比归纳”和“合作交流”环节的内容，归纳出正方形的性质，并能转化成符号语言。
（目标2）3、通过教师的引导能灵活运用正方形的性质完成“例题探究”和“拓展延伸”环节的证明。
（目标2）学习过程学习环节评价要点教学流程温故知新通过图片找出熟悉的四边形，并说出他们的概念1、这些图形都给我们什么样的印象呢并说出他们的定义。
2、视频导入，了解生活中的正方形自学探究自学课本，同桌两人交流得出正方形的概念。
1、自学课本P58-59页，对照课本图，借助手中的学具，试着从矩形、菱形、平行四边形的角度给正方形下定义。
（目标1）问题1：什么样的矩形是正方形问题2：什么样的菱形是正方形问题3：什么样的平行四边形是正方形自学完成后各组选派代表进行展示2、思考：正方形与平行四边形，矩形，菱形之间有怎样的关系（目标1）检测一（达成目标1）判断：下列说法是否正确为什么（1）正方形一定是矩形，正方形一定是菱形（）（2）菱形一定是正方形，矩形一定是正方形（）（3）正方形、矩形、菱形都是平行四边形（）（4）四条边都相等的四边形是正方形（）类比归纳通过复习矩形，菱形的性质，归纳出正方形的性质。
八年级数学下册《正方形的性质》教案、教学设计
5.引导学生、学情分析
八年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了正方形的基本概念和部分性质，具备了一定的几何图形认知基础。然而，对于正方形性质的深入理解和运用，他们仍需要进一步的学习和实践。在本章节的教学中，我们需要关注以下学情：
5.提高学生的几何图形观察能力，培养空间想象力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.采用直观演示、动手操作等方法，引导学生观察、发现正方形的性质，培养学生自主探究的能力；
2.通过典型例题的分析与讲解，使学生掌握解决正方形问题的关键步骤和技巧；
3.设计不同难度的练习题，使学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力；
4.鼓励学生在课后继续探索正方形的性质，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对正方形性质的理解和应用，以及提高他们的解题能力，特布置以下作业：
1.请同学们完成课后练习题，包括以下内容：
a.根据正方形的性质，计算给定正方形的面积和周长；
b.利用正方形的性质，解决一些简单的几何证明问题；
c.结合正方形与其他图形的关系，分析并解答实际问题。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.正方形性质的深入理解与应用是本章节的教学重点，特别是正方形对角线性质、面积计算方法等，需引导学生通过实际操作和例题分析，熟练掌握并运用；
2.解决正方形相关几何证明问题是难点，如证明正方形对角线互相垂直平分、正方形四边形相等等，需要培养学生严谨的逻辑思维能力和几何图形分析能力；
3.讲解正方形面积的计算公式，以及如何运用正方形性质解决相关问题；
4.结合典型例题，分析解题思路，引导学生掌握正方形性质的应用；
八年级数学教案《正方形》【优秀4篇】
八年级数学教案《正方形》【优秀4篇】八年级数学教案《正方形》篇一课题：4.6 正方形（一）教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识”教学重点：正方形的定义。
教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系。
教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法。
为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：（1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？教学过程：让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片。
问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（一）新课由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
请同学们推断出正方形具有哪些性质？性质１、（１）正方形的四个角都是直角。
（２）正方形的四条边相等。
性质２、（１）正方形的两条对角线相等。
（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。
（３）正方形的每条对角线平分一组对角。
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O。
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。
证明：△四边形ABCD是正方形，△AC=BD，AC△BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）。
人教版八下数学18.2.3正方形 课时1 正方形的性质教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用正方形的定义计算和证明；2．理解并运用正方形的性质进行计算和证明；3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系．过程与方法目标经历正方形的定义及其性质的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力．情感、态度与价值观目标让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯．【教学重点】正方形性质定理的运用．【教学难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图、问题和例题.学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.【教学过程设计】一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究知识点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合例1菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题例3 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系例4 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题例5 如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、教学小结师生共同归纳小结.1.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:2.分小组进行讨论,整理所学的性质:正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边四个角都是直互相垂直、平分且相轴对称图形,有四条对称都相等角等,每条对角线平分一轴组对角四、学习检测1.下列命题是真命题的是( )A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD 的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.3.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.【解析】本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课时1 正方形的性质1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质学案【学习目标】1．理解正方形的概念；2．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3．会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【自主学习】一、知识回顾1．你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？二、新知探究知识点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【典例探究】例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题 1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【跟踪练习】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．三、知识梳理内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24. 在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.5. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.6.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E=度.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)第4题图第5题图7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.9. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.10.如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.【解析】猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.解:AM=MN.理由如下:在AB上取一点P,使BP=BM,连接PM,如右上图.∵AB=BC,BP=BM,∴AP=MC,∠BPM=45°,∴∠APM=135°.∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMN.∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.。
人教版数学八年级下册说课稿：第18章正方形(一)
人教版数学八年级下册说课稿：第18章正方形（一）一. 教材分析人教版数学八年级下册第18章正方形（一）是本册内容的重要部分，主要内容包括正方形的性质、正方形的判定以及正方形与其他图形的性质比较。
本章内容在学生已有矩形、菱形等四边形性质的基础上进行，为后续正六边形等复杂图形的性质学习打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了四边形的基本性质，具有较好的逻辑思维能力和观察能力。
但在学习本章内容时，仍需注意以下几点：1. 学生对概念的理解和运用还不够熟练，需要通过实例加深理解；2. 正方形性质的证明较为复杂，学生可能一时难以接受；3. 学生对实际应用题的解决能力有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握正方形的性质，能够运用正方形的性质解决实际问题；2. 过程与方法目标：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力；3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 说教学重难点1.重点：正方形的性质及其应用；2. 难点：正方形性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等；2. 教学手段：多媒体课件、实物模型、几何画板等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的正方形实例，引导学生关注正方形，激发学习兴趣；2. 新课导入：介绍正方形的定义，引导学生思考正方形与矩形、菱形的联系与区别；3. 性质探究：引导学生通过观察、操作、证明等方法，探究正方形的性质；4. 性质应用：通过实例，讲解正方形性质在实际问题中的应用；5. 巩固提高：设计一些练习题，让学生运用正方形性质解决问题；6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调正方形性质的重要性；7. 课后作业：布置一些有关正方形的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计正方形性质板书设计：1.正方形的定义2.正方形的性质a.四条边相等b.四个角都是直角c.对角线互相垂直平分d.邻边垂直3.正方形的判定4.正方形性质的应用八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生课后作业和课堂练习的完成质量，评估学生对正方形性质的掌握程度；3. 小组合作：评估学生在小组合作中的表现，培养学生的团队合作精神。
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18.2.3正方形
第1课时正方形的性质
1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)
一、情境导入
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
问题：什么样的四边形是正方形？
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型一】特殊平行四边形的性质的综合
菱形，矩形，正方形都具有的性质是()
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.
方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题
如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC 于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；
(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE ＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE ＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.
方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题
在正方形ABCD 中，点F 是边AB
上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .
(1)求证：△AEB ≌△DEC ；
(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数． 解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝1
2DF ，根据
“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .
(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝
1
2
DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE
＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，
∴△AEB ≌△DEC (SAS)；
(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝1
2×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边
形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．
探究点二：正方形性质的综合应用 【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系
如图，AE 是正方形ABCD 中
∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：
(1)BE ＝BF ； (2)OF ＝1
2
CE .
解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝1
2CE .根据平行线的性质即可求得
∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝1
2CE .
证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；
(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝1
2CE ，∴∠OGF
＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝1
2CE .
方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直
平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定
理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，
有时也利用全等三角形来解决．
【类型二】有关正方形性质的综合应
用题
如图，正方形AFCE中，D是边
CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB
＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则
AC长是________cm.
解析：∵四边形AFCE是正方形，∴AF
＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°.在
Rt△AED和Rt△AFB中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧AD＝AB，
AE＝AF，
∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴S△AED＝
S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝
24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得
AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故
答案为4 3.
方法总结：在解决与面积相关的问题
时，可通过证三角形全等实现转化，使不规
则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，
从而解决问题．
三、板书设计
1．正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边
形是正方形．
对边平行，四条边都相等；四个角都是
直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且
每一条对角线平分一组对角．
2．正方形性质的综合应用
通过学生动手操作得出的结论归纳矩
形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，
激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义
的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活
泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生
保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚
的学习兴趣．。