课题六：函数连续性
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
《函数连续性》课件
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函 数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行 加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续 。
《函数连续性》ppt课 件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状 态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态 ，如果函数在这一点或这个范围内的 极限值等于该点的函数值，则函数在 该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对 于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使 得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是 说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭 区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过 渡。
函数连续性的性质
函数的连续性(6)
f (x)
f ( x0 )
且 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f
2(
x)
lim
x x0
f
(
x
)
lim
x x0
f ( x)
f 2( x0 )
故| f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x) 在x0 0 连续
三、连续函数的四则运算
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) 断 点)
特 点 ： 左 右 极 限 都 存在
例2：f
(x)
2 1,
x,
0 x 1 x 1
1 x, x 1
(可 去 间 断 点)
特 点 ： 左 右 极 限 都 存在
y
o
x
y y 1 x
2
y2 x
1
o1
x
情形2：左右极限不同时存在的间断点
M max f (x), m min f (x)
x[ a , b ]
x[ a , b ]
则对任意 (m, M ), (a, b), 使得
f ( )
y
M f(x)
g(x)
m
a
o
x
b
函数的连续性67806 PPT资料共26页
在左端点x=0处不是右连续.
练习2：利用下列函数的图象，说明函数在给定点
或开区间内是否连续.
(1)f(x)1,点x0; (2)f(x)|x|,点 x0;
x2
y
连续
不连续
o
x
( 3 )f( x ) a x 2 b x c ,在 开 区 间 ( , ) ;
连续
(4)f(x)x24,开区 (0,2 间 ). x2
y
f ( x1 )
f (x2)
oa
x2
x1 b
x
性质: (最大值最小值定理) 如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函
数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大 值和最小值.
注:函数的最大值、最小值可能在区间端点
上取得.如函数 f(x)x(x [1,1])
在点x=1处有最大值1，在点x=-1处有最小值
并且
limf
xx0
(x)
f
(x0)
,
则称f(x)在点 x 0 处左连续.
y O
ax
例如:函数
f
(x)
1(x 0) 1(x 0)
y
如图，在点x=0附近，
1
o -1
limf(x)1f(0)
x0
x
limf(x)1f(0)
x 0
因而函数 f (x)在x=0处是右连续，而非左连续.
lim xx0
f
(x)
f
(x0)
x
(3)
lim
xx0
f
(x)
f
(x0)
如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处 连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以 以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函
函数 连续
函数连续性一、函数连续性的定义函数连续性是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点或某一范围内的极限行为。
如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
更具体地说，对于函数f(x)，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
如果函数在定义域内的每一点都连续，则称函数为连续函数。
二、连续函数的性质连续函数具有许多重要的性质，这些性质在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。
1.连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数。
2.连续函数的复合函数也是连续函数。
3.连续函数在闭区间上具有最大值和最小值。
4.如果函数在区间(a, b)的两端点处取值，则该函数在此区间内为常数。
5.连续函数的原函数存在且连续。
三、连续函数的判断要判断一个函数是否连续，需要求出函数的极限，并将其与函数值进行比较。
如果极限值等于函数值，则函数在该点连续；否则，函数在该点不连续。
对于一些特殊形式的函数，可以根据其性质来判断其连续性。
例如，多项式函数、三角函数等在其定义域内都是连续的。
四、连续函数的应用连续函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，许多问题可以通过连续函数来描述其变化规律。
在解决实际问题时，我们需要选择适当的数学模型来描述问题，而连续函数作为一种常见的数学工具，被广泛应用于各种模型的建立和求解中。
此外，连续函数还在数值分析、微分方程、积分方程等领域中有广泛的应用。
五、不连续函数和分段函数的特性不连续函数是指在其定义域内某些点上不满足连续性的函数。
不连续点也称为间断点，其特点是函数的左右极限不相等或者不存在。
分段函数则是指在其定义域内由若干个不相交的区间组成的函数。
分段函数的每一段都可以是连续的或不连续的。
不连续函数和分段函数具有一些特殊的性质，例如在间断点处的取值、跳跃度等。
这些性质使得它们在某些特定的问题中有特殊的应用价值。
函数的连续性(课件
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
函数的连续性
初等函数在其有定义的区间内都是连续的.
即若 f ( x ) 是一初等函数,它在 [a , b] 上有定义,则对任何
x0 (a, b), 有
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ).
例9 求下列极限:
x 2 ln(4 3 x ) (1) lim ; x 1 arctan x
x 1, x 0 1 例5 讨论函数 f ( x ) , x 0,在 x0 0处的连续性. 2 sin x , x 0
左、右极限均存在但不相等的函数的间断点称为跳跃 间断点. 函数的跳跃间断点和可去间断点统称为函数的第一类 间断点.
定义5 若 x0 为函数 f ( x ) 的一个间断点,且 lim f ( x ) 与
x x0
lim f ( ( x )) f ( ( x0 )).
推论 若 lim ( x ) A,且 y f ( u) 在 u A 处连续,则
lim f ( ( x )) f (lim ( x )).
即若函数 y f ( u) 连续,则极限符号可以拿到连续函数 符号里边去.
无穷型间断点
1 sin , x 0, x 例7 讨论函数 f ( x ) 在点 x0 0 处的连续 0, x 0
性. 振荡型间断点
三、连续函数的基本性质
定理2 若 f ( x ), g( x ) 在点 x0 处连续,则
(1) f ( x ) g( x ) 在点 x0 处连续,其中 , 为常数; (2) f ( x ) g( x ) 在点 x0处连续;
1 x 例8 求 lim sin(1 ) . x x
函数的连续性(课件
定义：左极限等于右极限等于 函数值
连续函数的另一个定义是左极限和右极限存在且都等于该点的函数值。这意 味着函数在该点处无突变且可以从左右两个方向无限接近结点的函数值。
函数的性质：连续函数与不连 续函数
连续函数具有平滑的曲线，其在定义域内连续。相反，不连续函数会在定义 域上出现断裂、跳跃或间断。
函数的连续性与导数的关系
连续函数具有导数，而不连续函数则未必。导数可以描述函数变化的速率和 斜率。
连续性的局部性质
连续函数具有局部性质，即在定义域上的任何小范围内，函数仍然保持连续。
中值定理
中值定理是连续函数的重要定理之一，它说明在一定条件下，函数在某个区间内的平均变化率等于某一 点的瞬时变化率。
函数的连续性 (课件)
函数的连续性是指函数的某个值与其极限值相等的性质。在个课件中，我 们将介绍函数连续性的定义、性质以及与导数的关系。
什么是函数的连续性？
函数的连续性指的是函数在定义域上没有突变或断裂，可以被描绘为连续的 曲线。连续函数可以无间断地拥有函数值。
定定义：极限存在与函数值相等
连续函数的定义是指函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值。换句话说，在函数曲线中那一点没 有突变。
函数连续性说课教学教案
五、教学过程 应用概念：
例3：观察下列函数的图像，说出函数在点x=a处是否连续？
教学设想：这组图像的共性是，在a点处都有定义，且存在，limf (x) xx0
但图1满足了，图2不满足，这组练习是用来加深对函数在某点处连 续定义的条件3的理解。
五、教学过程
应用概念：
例4：讨论下列函数在给定点处的连续性
方法1.由定义说明 方法2.由图象直观说明 3.闭区间上连续函数的性质
五、教学过程
作业： P69.7 P69.5 思考:函数在某一点的极限与连续有何关系？
为了落实因材施教，循序渐进的原则，本次作 业分了3个层次，这样既能使所有学生巩固所学知 识，又能为学有余力者留有自由发展的空间，从 而为所有学生的可持续发展打下坚实的基础。
四、方法手段
教学方法：
采用引导发现式，变教授为导学，让学生学会学习 为了更好地培养学生的自主学习能力，尽可能的调动学生 学习的主动性和积极性 提高学生的综合素质 给学生提供一个广阔的探索思维空间 提供一个充分展示创造思维，创新能力的机会
五、教学过程
学法指导： 学习是一种建构过程，是一种活动过程，学习必 须处于丰富的情境中，因此教师通过学生观察、 分析、比较、抽象和概括，促使学生对函数的连 续性概念表述的严谨性作出探索，从而把传授知 识和培养能力融为一体。
精神。
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二、教学目标
（3）情感目标： 在揭示函数连续性实质的同时，渗透辩证唯物主义思
想。 通过教师与学生，学生与学生的交流，让学生体会交
流思想的重要性，培养团队协作精神。 要在学习过程中充分发挥学生的主动性，要能体现
出学生的首创精神。
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三、重点难点
教学重点： 由于函数的连续性是建立在函数极限的基础上 又是后一章学习的基础 因此函数在某点处的连续的定义是本节课的重点
初等函数的连续性问题
初等函数的连续性问题初等函数是指由基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算得到的函数。
在数学中，研究初等函数的性质是一个重要的课题。
其中一个关键问题是确定初等函数在其定义域内的连续性。
本文将就初等函数的连续性问题展开讨论。
1. 连续性的概念在介绍初等函数的连续性前，我们首先需要了解连续性的概念。
在数学中，若函数在某一点的函数值与其极限值相等，那么该函数在该点是连续的。
具体而言，设函数f在点a的定义域内，如果lim(x→a)f(x)=f(a)，则称函数f在点a处连续。
2. 初等函数的连续性初等函数的连续性与其定义域内的极限有着密切的关系。
一般而言，对于初等函数f(x)，其在定义域内的每个点a，如果满足以下条件之一，则称函数f在点a处连续。
①点a处的函数值f(a)存在；② lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)；3. 常见初等函数的连续性讨论下面我们将以几个常见的初等函数为例，来讨论它们在其定义域内的连续性。
3.1 幂函数幂函数f(x)=x^k (k为常数)在定义域内连续。
根据连续性的定义，我们可以发现当k为正整数、负整数或分数时，幂函数在实数范围内都是连续的。
3.2 指数函数指数函数f(x)=a^x (a>0且a≠1)在定义域内连续。
指数函数在整个实数范围内都是连续的。
3.3 对数函数对数函数f(x)=loga(x) (a>0且a≠1)在定义域内连续。
对数函数的连续性可以通过其定义域内的性质得到证明。
3.4 三角函数三角函数是初等函数中另一个重要的类型。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在其定义域内，这些三角函数都是连续的。
4. 初等函数的连续性定理除了以上例子所示的情况外，初等函数的连续性还与初等函数的性质定理有关。
在此仅举一例：4.1 初等函数的四则运算性质如果初等函数f(x)和g(x)在点a处连续，则它们的和、差、积和商在点a也都连续。
5. 应用初等函数的连续性在数学和实际问题中都有重要的应用。
函数的连续性教学备课
函数的连续性教学备课一、引言在高中数学课程中，函数的连续性是一个重要的概念。
掌握了连续性的概念和应用，学生将能够更好地理解函数的性质和应用。
本教学备课将重点介绍连续性的定义、连续性的运算性质以及应用连续性解决实际问题。
二、连续性的定义连续性是函数学中一个基本的概念，它在分析和微积分中具有广泛的应用。
要能够准确理解和掌握连续性的概念，学生首先需要了解函数在一个点上连续的定义。
函数f(x)在点x=a处连续，意味着当x趋近于a时，f(x)趋近于f(a)。
具体来说，对于任意一个ε>0，存在一个δ>0，当0<|x - a|<δ时，有|f(x) - f(a)| < ε。
这个定义是连续性的基础，学生要通过例题和练习来加深对连续性定义的理解。
三、连续性的运算性质连续性的运算性质是学生在学习连续性时需要掌握的关键内容。
函数的和、差、积、商（除数不为零）、复合函数等操作在一定条件下保持函数的连续性。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，那么它们的和、差、积、商（除数不为零）和复合函数f(g(x))在同一点x=a处也连续。
学生需要通过推理和证明，理解连续性运算性质的原理和应用。
四、连续性的应用连续性在实际问题中有广泛的应用。
例如，在求函数在某区间上的最大值和最小值时，可以首先通过连续性的性质确定函数在区间的端点和驻点上的值，然后再比较求得最大值和最小值。
此外，连续性还可应用于方程求根和函数图像的绘制等问题。
学生在掌握了连续性的定义和运算性质后，可以通过举例和解题演练来掌握连续性的应用技巧。
五、教学方法为了有效地教授连续性的概念和应用，教师可以采用多种教学方法。
首先，通过提供具体的例子和练习，引导学生理解连续性的定义和概念。
其次，可以通过教师讲解和学生参与讨论的方式，引导学生理解连续性的运算性质和应用。
最后，通过课堂练习和作业布置，巩固和拓展学生对连续性的理解和应用。
在教学过程中，教师要注重与学生的互动，激发学生的学习兴趣，提高他们对连续性的理解和应用能力。
函数连续性教学设计
函数连续性教学设计函数的连续性教学设计XXX内容分析：函数的连续性是在学生研究了函数概念、函数极限的概念以及极限计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。
高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质。
因此，这一节内容是高等数学课程的基础性知识，十分重要。
XXX学情分析：高等数学》是我院所有专业学生必学的一门公共基础课，也是学生研究专业知识的基础，是学生专升本必学必考的一门课程。
但据多数学生反映及本人教学发现，高等数学确实是一门比较难的课程，对于我们学校的学生而言研究更为困难。
之所以更难，有两个主要原因。
其一，高等数学这门课程难，它是初等数学以外的一门数学，它有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。
其二，高职学生的知识基础差，研究兴趣低．教学中发现学生对这门课程表现出不知所措，无奈，无所谓的态度，这是一种令人担忧的现象，尤其是在讲函数的连续性这块，问题更是很多：无趣，无用，无耐等．讲授目标:1.理解函数连续的概念，会利用定义判断函数在某一点的连续性;2.了解闭区间上连续函数的性质；3．培养学生利用函数连续与间断的思想思考、分析、判断工程问题中变量变化规律的能力。
能力训练:任务一会讨论函数在某一点的连续性;任务二会用初等函数的连续性求极限。
教学重点:函数连续的概念，初等函数的连续性。
教学难点:函数连续的定义。
1教学过程设计：讲授环节讲授过程一、函数的连续性导课：现实世界的许多现象和实物不仅是运动变化的，而且其运动过程是连续不断的，如每日气温的变化、物体运动路程的变化、金属丝加热或冷却时长度的变化等，这种连续不断变化的现象和事物在数量上的描述就是函数的连续性。
增量：讲增量是为函数在一点继续改变量也叫做增量，它包定义的研究打基础的，在讲改变括自变量改变量和函数改变量概念时,很多学生对函数的改量。
变量的表示一脸茫然，所以此时我的设计是画图，帮助他们直观理解函数改变量的表达式。
初二数学函数连续性概念详解
初二数学函数连续性概念详解函数是数学中一个非常重要的概念，而连续性则是函数中一个关键的性质。
在初中数学中，我们学习了函数的定义和基本性质，今天我们将深入探讨函数的连续性概念。
1. 函数的定义与基本性质函数是一个在数学上有明确定义的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
一般来说，我们将函数表示为 f(x) = y，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数具有以下基本性质：- 定义域：函数定义的有效输入范围，常用符号表示为 D(f)。
- 值域：函数所有可能的输出值所构成的集合，常用符号表示为R(f)。
- 单调性：函数在定义域内的取值是递增或递减的。
- 奇偶性：函数的基本性质之一，可通过函数的解析式判断。
2. 连续性的定义与解析在数学中，连续性是函数的一个重要性质，表示函数图像上没有断裂或间断点。
现在我们来详细了解连续性的定义。
若一个函数 f(x) 在某一点 x0 处满足以下条件，则称函数在点 x0 处连续：- 函数 f(x) 在 x0 处有定义。
- 函数 f(x) 在 x0 处的极限存在，即lim(x→x0) f(x) = f(x0)。
换句话说，函数在某一点连续意味着函数在该点的值与其极限值相等。
3. 连续性的分类根据函数在定义域内是否连续，我们可将连续性分为以下三种情况：- 函数f(x) 在定义域内的每一点都连续，我们称该函数为连续函数。
连续函数的图像没有断裂或间断点，而是一条连续的曲线。
- 函数 f(x) 在定义域的某些点上不连续，则称其为间断函数。
间断函数可以分为可去间断和不可去间断两种情况。
- 函数在某一点 x0 处的极限存在，但函数在该点处无定义，我们称此时的间断为可去间断。
可去间断点意味着函数在该点的图像出现一个孤立的点。
- 函数在某一点 x0 处的极限不存在，我们称此时的间断为不可去间断。
不可去间断点意味着函数在该点的图像出现一个突变或断裂。
- 函数的定义域为空集，或者函数在定义域内的每一点上的极限都不存在，则称其为无定义函数。
函数的连续性(6)共40页PPT资料
定理 函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0
处既左连续 . 又右连续
例讨 ：论f(函 x) 数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的.连 x0,
右连续：✔
左连续：✖
连 续：✖
定义3： （ 函数在区间上的连续性）
函 数 在 开 区 间 的：连 续 性
若 函 数 f (x)在 开 区(a间 ,b)的 每 一 点 处,都 则 称f (x)在 开 区(a间 ,b)内 连.续
x0, x0
在点x0处间断
y
2•
1
x
O
x1,
y
g(x)
0,
x1,
x 0,
x0, 在点x0处间断
x 0.
y
x
•
O
在点x0处间断
一、连续函数的定义
定 义设 1f： (x)在x0的 某 邻 域 内 ,如有 果定
lx im x0 f(x)f(x0) 则 称 函 f 在 数点 x0处 连. 续
""定义 :
x, 1 x,
x 0, x 0,
(x x0跳 跃 间 断) 点
特点：左右极限都存 在
例2：f
(x)
2 1,
x,
0 x 1 x 1
1 x, x 1
(可 去 间 断 点)
特点：左右极限都存 在
y
o
x
y y1x
2
y2 x
1
o1
x
情形2：左右极限不同时存在的间断点
y
例1： 正 切 函y数tanx在x 处 没
函数在闭区间 ：的连续性
若 函f(数 x)在 开 区 (a,b)间 内 连,且 续在a右 点连 续 ,在 点 b左 连,则 续称 f(x)在 闭 区 [a,b]间 上 连.
第六节函数的连续性PPT课件
1
x1
o1
x
x 1为函数的可去间断点.
【说明】 可去间断点只要改变（原来有定义时）或 者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义, 则 可使其变为连续点，故称其为可去间断点.
17
第17页/共55页
如例5中, 令 f (1) 2,
y
则
f
(x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
2 1
在x 1处连续 .
22 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续 同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续
【结论】反三角函数在其定义域内皆连续.
26
第26页/共55页
2、复合函数的连续性
【定理3】若 lim x x0
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
课后习题P65 5（2）反例
在定义域R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
【观察练习】立即说出下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
第22页/共55页
x
22
又如:
x
2
x0
x1
y
y tan x
o
x 无穷间断点
2
y y sin 1 x
振荡间断点
x
【解】在x 0处没有定义,
且 limsin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为振荡间断点.
【特点】 f ( x0 ) 与 f ( x0 )中至少有一个因函数 振荡而不存在，但均不为∞，称之.
函数的连续性教案示例
函数的连续性教案⽰例函数的连续性·教案⽰例⽬的要求了解函数在⼀点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在定义区间内每⼀点都连续，会从⼏何直观上理解闭区间上的连续函数有最⼤值和最⼩值．内容分析1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，⽽连续概念是建⽴在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0在且两者相等为定义⽅式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，⼜是顺理成章的．2．⼈们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅⼊深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进⾏了研究，本课再⽤学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进⼀步，更完善．3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思：(1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义；(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→存在；＝可结合图形说明，只要缺其中的任意⼀个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解．4．函数在区间连续是建⽴在函数在⼀点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每⼀点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x ax b +-层层推进的定义⽅式能很好地培养学⽣严谨的逻辑思维．5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在其定义区间⾥每⼀点都是连续的．6．从⼏何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当⾃变量x ⽆限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就⽆限地接近函数值f(x 0)．也可⽤“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设⾃变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0认识．教学过程1．实例引⼊概念，图形直观说明(1)⽔银柱⾼度随温度的改变⽽连续变化；(2)邮费随邮件重量的增加⽽作阶梯式的增加．函数值是否会因为⾃变量的细⼩变化⽽“⼤起⼤落”，这就是要研究的问题．引出课题：函数的连续性从下列图形中分析：问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→是否存在？是否与相等？答：图(1)满⾜3条；图(2)不满⾜(1)；图(3)不满⾜条件(2)；图(4)不满⾜条件(3)．由此概括出函数在⼀点处连续的定义．2．函数在⼀点处连续的定义：如果函数＝在点＝处及其附近有定义，⽽且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0f(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 000提问：连续函数在图形上有何特点？3．举例应⽤例讨论下列函数在给定点处的连续性：(1)f(x)x 0＝，点＝；1x(2)g(x)＝sinx ，点x ＝0．解：画图．(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因⽽它在点＝处不连续．1x(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0课堂练习：教科书第97页练习第1、2题(不连续的指出不满⾜定义中的哪⼀条)，第98页习题2．6第2、4题．4．函数在区间⾥连续(1)在开区间连续：如果函数在某⼀开区间(a ，b)内每⼀点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续，或说函数是开区间内的连续函数．(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b+- 区间[a ，b]上连续．5．闭区间上连续函数的性质性质(最⼤值最⼩值定理)：如果f(x)是闭区间[a ，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a ，b]上有最⼤值和最⼩值．6．归纳⼩结(1)函数在⼀点处连续的定义．(2)判定函数在⼀点处是否连续：⽅法1：由定义说明，⽅法2：由图象直观说明．(3)闭区间上连续函数的性质．想⼀想：函数在某⼀点的极限与连续有何关系？布置作业教科书第98页习题2．6第1、3题。
函数的连续性(119)
利用连续性求解实际问题
总结词
在解决实际问题时，可以利用函数的连续性进行数学建模和求解。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等许多领域中，连续函数被用来描述实际问题。通过分析这些函数的连续性，可以更 好地理解问题的本质，并找到合适的数学模型进行求解。
利用连续性研究函数的性质
总结词
连续性是研究函数性质的重要工具。
函数的连续性
目录
• 连续性的定义 • 连续性的分类 • 连续性的应用 • 连续性的证明
01 连续性的定义
函数在某点的连续性
函数在某点的连续性是指，当自变量在该点的值变化无穷小 时，函数值的变化也无穷小。即，如果函数在某点的左右极 限相等，则该函数在该点连续。
具体来说，如果lim(x->x0) f(x) = f(x0)，则函数f在点x0处连续。
性质法
利用函数的基本性质，如极限的四则运算法则和复合函数的连续性，推导出函数在某点 的连续性。
证明函数在区间上的连续性
定义法
根据函数在区间上的连续性的定义，对 任意一点$x_0$属于该区间，证明函数在 $x_0$处的极限值等于函数在该点的函数 值，从而证明函数在该区间上的连续性 。
VS
性质法
利用函数的基本性质，如闭区间上连续函 数的性质和一致连续性定理，推导出函数 在区间上的连续性。
02 连续性的分类
处处连续与只在有限点间断
处处连续
如果函数在定义域内的每一个点都连 续，则称为处处连续。
只在有限点间断
如果函数在定义域内仅在有限个点上 不连续，则称为只在有限点间断。
可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点
可去间断点
函数在该点的左右极限相等，但该点的函数值 可能与其他点的函数值不同。
函数的连续性
0
就称点 x0 为函数 f ( x) 的间断点。
间断点产生于下列三种情形之一：
求间断点的思路
⑴ f ( x0 ) 无意义；
f ( x) 不存在；
⑵ xlim
x
0
f ( x) 存在，但 lim f ( x) f ( x0 ) .
⑶ f ( x0 ) 有意义且 xlim
x
xx
0
0
48-12
x0
x
又 f (0) 0,
lim
f ( x ) f (0),
x 0
所以 函数 f ( x )在 x 0处连续.
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
左连续：
0 ，即
0 ) f ( x0 ) 。
x x0
lim
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
右连续：
0 ，即
0 ) f ( x0 ) 。
但 lim
f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定
x x
0
义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 .
y
o
x0
x
y
y
可去型
o
x0
x
跳跃型
o
x0
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
f ( x) lim(2 x 1) 5 f (2)
证 lim
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即
f ( 0 ) lim ( e a ) lim
x x 0 x 0
sin 3 x x
，即 f ( 0 ) 3
课题四、函数的连续性
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间断点的分类 (1)第一类间断点---左右极限都存在的间断点。包括：可去间
断点和跳跃间断点。 例1：讨论函数 f ( x ) x
x x0 0
说 明: (1)上述三个条件任一不满足，函数都不连续. (2)判定函数的连续性时，从上向下依次验证。
函数的连续性
连续函数的几何直观
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连续函数在连续区间内的图像是一条连绵不断的曲线。
可以证明： 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
练习:பைடு நூலகம்(1)讨论函数
x2 ,x 0 f (x) x 1, x 0
x
解：因为
x 0
lim
1 x
;
x 0
lim
1 x
所以，x=0为无穷间断点。
2
例4、讨论函数 解：因为 lim
x k
f ( x ) tan x 在 x k
的间断点类型。
2
f (x)
所以，x k
2
为无穷间断点。
函数的连续性
在x=0处的连续性. 在x=0处连续.
(2)试定义f(0)的值,使函数
sin 3 x ,x 0 f (x) x e x a, x 0
函数的连续性
练习题（解析）
(1)讨论函数 在x=0处的连续性. 解：函数在x=0点及附近有定义。 因为 f ( 0 0 ) lim ( x 1) 1; f ( 0 0 ) lim x 0 所以 lim f ( x ) 不存在，故函数在x=0点不连续。
函数的连续性
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连续的定义1：设y=f(x)在x0点及附近有定义,当自变 量x 在x0的增量 x 0 时,相应的函数增量 y 0 ,则称 函数y=f(x)在x0点连续. 函数连续性的直观解释:函数在x0点连续. 如图所示: y
y f ( x)
y
0
x x0 x x0
2
,x 0
在x=0点的间断点类型。
所以，x=0为跳跃间断点。
x 1, x 0
解：因为
x 0
lim f ( x ) 1， f ( x ) 0 lim
x 0
例2、讨论函数 解：因为
2 x sin , x 0 x f (x) x 0 1,
x
说明：函数在x0点连续的理论解释:
当自变量在x0处的增量
x 0
时,有函数的增量 y 0 。
函数的连续性
函数不连续(间断)的直观解释: 如下图所示:函数y=f(x)在x0点间断.
y
y f ( x)
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y
L
0
x0
x
说明:函数在x0点间断的理论解释为:
当在x0的增量 x
0 时,函数的增量 y 不趋于0.
2 x 0
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下页
x2 ,x 0 f (x) x 1, x 0
x 0
x 0
(2)试定义f(0)的值,使函数
sin 3 x ,x 0 f (x) x e x a, x 0
在x=0处连续.
解：要使函数在x=0处连续，必须
f ( 0 ) lim f ( x ) f ( 0 0 ) f ( 0 0 )
在x=0点的间断点类型
2 x 0
f ( 0 ) 1，而 lim f ( x ) lim x sin
x 0 x 0
所以，x=0为可去间断点。
函数的连续性
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下页
间断点的分类 (2)第二类间断点---左右极限至少有一个不存在的间断点。其
中至少有一个极限为无穷大的间断点称为无穷间断点。 例3：讨论函数 f ( x ) 1 在x=0点的间断点类型。
函数间断点的类型（图像）
y f ( x) y f ( x)
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y f ( x)
0 0
x0
0
x0
(a)
(b)
(c)
注意：仔细观察各图像中 间断点类型的区别。
y f ( x)
0
x0
(d)
函数的连续性
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连续的定义2：设y=f(x)在x0点及附近有定义,若有 lim f ( x ) f ( x ) ,则称函数y=f(x)在x 点连续. 0 由此定义得出函数在某点(x0)连续的三个条件: (1)函数在x0点有定义; (2)函数在x0点的极限存在; (3)函数在x0点的极限值等于函数值.