2018版浙江专用高考数学二轮复习： 专题限时集训18 不等式与线性规划
2018年浙江高考数学二轮复习练习第2部分必考补充专题(4份有答案)
专题限时集训(十七) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第151页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥3}，Q＝{x|2<x<4}，则P∩Q＝( ) A．[3,4) B．(2,3]C．(－1,2) D．(－1,3]A[P＝{x|x2－2x≥3}＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}，∴P∩Q＝{x|x≥3或x≤－1}∩{x|2<x<4}＝{x|3≤x<4}，即P∩Q＝[3,4)．]2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)A[∵P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，∴P∪Q＝{x|－1<x<2}．故选A.]3．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．故选C.]4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( ) A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2<x<2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}＝(－2,3]．]5．(2015·浙江高考)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁R P)∩Q＝( ) A．[0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．[1,2]C[由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以∁R P＝{x|0<x<2}＝(0,2)．又Q＝{x|1<x≤2}＝(1,2]，所以(∁R P)∩Q＝(1,2)．]6．(2014·浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2)，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A ．∅B ．{2}C ．{5}D ．{2,5}B [因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5)，故∁U A ＝{2}．] 二、命题及其关系、充分条件与必要条件7．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b >0，ab <0，故a ＋b >0D ⇒/ab >0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab >0，但a ＋b <0，所以ab >0D ⇒/a ＋b >0.故“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件．]8．(2017·湖州市高三第一学期期末调研测试)已知{a n }是等比数列，则“a 2＜a 4”是“{a n }是单调递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件B [若a n ＝(－2)n，是等比数列，且a 2＝4＜a 4＝16，但该数列不具有单调性，所以充分性不成立；若{a n }是单调递增的等比数列，则必有a 2＜a 4，所以必要性成立，即“a 2＜a 4”是“{a n }是单调递增数列”的必要不充分条件，故选B.]9．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.]10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]11．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( ) A．－1＜x≤1B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D[由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁R B)，又∁R B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝{x|－1＜x＜1}．][B组“8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为( ) A．(0,1] B．(0,1)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)C[由题意将两个集合化简得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因为A⊆B，所以c≥1.]2．(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β，则A．①②都是假命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①②都是真命题B[由面面垂直的判定可知m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故命题①为真命题；m∥α，α⊥β，m与β可能平行，在β内，或与α相交，故②为假命题．]3．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件．]4．(2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)已知集合P ＝{x ∈R |0＜x ＜1}，Q ＝{x ∈R |x 2＋x －2≤0}，则( ) A ．P ∈Q B ．P ∈∁R Q C ．∁R P ⊆QD ．∁R Q ⊆∁R PD [由题意得集合P ＝{x |0＜x ＜1}，Q ＝{x |－2≤x ≤1}，所以∁R P ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁R Q ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，所以∁R Q ⊆∁R P ，故选D.]5．函数f (x )的定义域为实数集R ，“f (x )是奇函数”是“|f (x )|是偶函数”的( ) 【导学号：68334154】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件A [f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此|f (x )|是偶函数，但当f (x )为奇函数时，|f (x )|为偶函数，但由|f (x )|为偶函数不能得出结论f (x )为奇函数，因此本题选A.]6．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数“的充要条件，故选C.]7．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }＝{1,2,3,4}． 因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．]8．(2015·浙江高考)设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．( )命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )． A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立A [命题①成立，若A ≠B ，则card(A ∪B )>card(A ∩B )，所以d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )>0.反之可以把上述过程逆推，故“A ≠B ”是“d (A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②成立，由Venn 图，知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )，d (A ，C )＝card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )， d (B ，C )＝card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )，所以d (A ，B )＋d (B ，C )－d (A ，C )＝card(A )＋card(B )－2card(A ∩B )＋card(B )＋card(C )－2card(B ∩C )－[card(A )＋card(C )－2card(A ∩C )]＝2card(B )－2card(A ∩B )－2card(B ∩C )＋2card(A ∩C ) ＝2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card(A ∩B )＋card(B ∩C )] ≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )] ＝[2card(B )－2card ( A ∪CB＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，所以d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．] 二、填空题9．(2017·浙江省名师原创预测卷(二))已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝lnx －1x ，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则(∁RM )∩N ＝________.{1} [由题意得M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＞0，即M ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，N ＝{y |y ≥1}，所以(∁R M )∩N ＝[0,1]∩[1，＋∞)＝{1}．]10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]11．(2017·浙江省名师原创预测卷(四))已知集合A ＝{1,2,3，…，10}，若集合A 的一个非空子集中的奇数的个数不多于偶数的个数，则称该子集为“偏偶集”，那么集合A 的所有非空子集中，“偏偶集”的个数为________．637 [集合A 的所有非空子集可分为三类：偶数的个数多于奇数的个数、奇数的个数多于偶数的个数、偶数的个数与奇数的个数相等．其中前两种情况的子集数相等，现考虑第三种情况，即考虑元素个数为2,4,6,8,10的子集，则共有子集数：(C 15)2＋(C 25)2＋(C 35)2＋(C 45)2＋(C 55)2＝251，从而“偏偶集”的个数为251＋12(210－1－251)＝637.]12．设p ：(x －a )2≤9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12.因为p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]13．(2014·浙江高考)设集合S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，则S ∩T ＝________.[2,5] [因为S ＝{x |x ≥2}，T ＝{x |x ≤5}，所以S ∩T ＝{x |x ≥2且x ≤5}＝{x |2≤x ≤5}．] 14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z ||x |≤1}，则A ∩(∁Z B )＝________.{2,3,4} [因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z ||x |≤1}＝{－1,0,1}，所以A ∩(∁Z B )＝{2,3,4}．] 15．(2016·江南十校一模)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N }，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z }，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于________．2 [集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N }，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z }＝{1,2}，P ∩Q ≠∅，可得b 的最小值为2.]专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.] 4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0， ∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.]6．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________． 3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) 【导学号：68334155】 A ．a 2＜b 2B.a b＜1 C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1.因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m 的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( ) 【导学号：68334157】 A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立． 此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m 的取值为( )A ．2B ．1＋ 2C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·浙江省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为＋2＋＋2＝5，所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12[因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x )＞0的解集为________．{x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13， 则由f (e x )＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．]14．(2017·宁波十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c ＋2c －1的最小值为________．3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b 22ab－1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c ＋2c －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫c －1＋1c －1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c ＝2时，等号成立)．]15．(2016·舟山调研)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 7＋43 [由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4bb －3，由a ＞0，得b ＞3. ∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a ＋b 的最小值为7＋4 3.]专题限时集训(十九) 复数、数学归纳法(对应学生用书第155页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、复数1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)A [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]3．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35iD.45－35i D [∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.] 4．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2 A [由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i1＋i＝－1＋－2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.] 5．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B.]6．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2iB [法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.法二：由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B.]7．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.【导学号：68334158】5 2 [(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.]8．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z＝________.i [由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i.二、数学归纳法9．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的代数式为________．2(2k ＋1) [假设n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k×1×3…×(2k －1)成立；那么n ＝k ＋1时左边应为[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋k －1][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，即从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应添乘的式子是[k ＋k ＋k ＋＋k ＋k ＋1＝k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．]10．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 [1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．]11．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1n ＋2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________．122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3 [观察不等式中各项的分母变化知，n ＝k ＋1时，122＋132＋ (1)2＋1k ＋2＋1k ＋2>12－1k ＋3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵复数z ＝11－i ＝1＋i －＋＝12＋12i ， ∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，其对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.]2．已知i 为虚数单位，若a 1－i ＝1＋ii，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2iC [∵a 1－i ＝1＋ii，∴a ＝＋－i＝2i＝－2i ，故选C.] 3．(2016·浙江镇海中学模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2 B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2，命题为真；对于选项B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2，命题为真；对于选项C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z －1＝a 21＋b 21，z 2·z －2＝a 22＋b 22，所以z 1·z－1＝z 2·z －2，命题为真；对于选项D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21≠z 22，命题为假．]4．复数z ＝3＋4i1－2i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z －＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1＋2iD ．1－2iA [依题意得z ＝＋＋－＋＝－5＋10i5＝－1＋2i ，因此z －＝－1－2i ，故选A.]5．设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5－12i B ．－5＋12i C ．－13＋12iD ．－13－12iB [复数z 1＝3－2i 在复平面内对应的点为(3，－2)，其关于原点对称的点的坐标为(－3,2)，所以z 2＝－3＋2i ，z 1·z 2＝(3－2i)(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选B.]6．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限B [2i1－i＝＋－＋＝－2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.]7．若复数z 满足(2＋i)z ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A.2＋i B.2－i C ．1＋2i D ．1－2iD [依题意得z ＝3i2＋i＝2－2＋2－＝1＋2i ，则复数z 的共轭复数为1－2i ，选D.]8．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3A [假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．] 二、填空题9．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的虚部为________．－1 [∵z ＝1－i(i 为虚数单位)， ∴zz ＋z 2＝1＋i 1－i＋(1－i)2＝＋2－＋－2i ＝2i2－2i ＝－i ，故其虚部为－1.] 10．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足|z ＋i|＝|z －3－i|，则直线l 的斜率为________． －32 [设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵|z ＋i|＝|z －3－i|，∴|x ＋(y ＋1)i|＝|(x －3)＋(y －1)i|，∴x 2＋(y ＋1)2＝(x －3)2＋(y －1)2， ∴6x ＋4y －9＝0，则直线l 的斜率为－32.]11．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是_____________项．2k [f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此，f (2k ＋1)比f (2k )多了2k项．]12．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．1k ＋k ＋[当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋.]13．复数＋23－4i 的值是________．－1 [＋23－4i＝1＋4i ＋4i 23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.]14．已知x1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为________．2－i [x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以x ＝2，y ＝1.]15．设复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝________. 【导学号：68334159】5 [⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i ＋21－i＝|3＋2i ＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.]专题限时集训(二十) 排列组合、二项式定理 (对应学生用书第157页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、排列、组合1．如图201，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图201A．24 B．18C．12 D．9B[从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E 到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72D[第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．]3．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A．18个B．16个C．14个D．12个C[由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.]4．(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种D[满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．]5．某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为( )【导学号：68334160】A．484 B．472C．252 D．232B[分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C312－3C34＝208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有C14·C212＝264种．根据分类计数原理，得208＋264＝472，故选B.]6．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是( ) 【导学号：68334161】A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x10)B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋10x)C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋10x10)D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)...(1＋x＋x2＋ (x10)A[从重量分别为1,2,3,4，…，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，1＋7,2＋6,3＋5，共3种方法，选三个，1＋2＋5，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2＋3＋4＞8.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为 5.A中，x8的系数是1＋3＋1＝5(x8，x·x7，x2·x6，x3·x5，x·x2·x5)，B中，x8的系数大于1×2×3×4×5×6×7×8，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C49＞8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C49)．因此只有A是正确的，故选A.]7．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)660 [法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．]8．(2014·浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．60[把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C23种分法，再分给4人有C23A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44＋C23A24＝24＋36＝60.]二、二项式定理9．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20C．30 D．60C[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C11＝30.故选C.]10．(2014·浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )A．45 B．60C．120 D．210C[因为f(m，n)＝C m6C n4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.]11．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1D[(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.]12．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.16 4 [由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C23×12×C22×22＋C33×13×C12×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C33×13×C22×22＝4.]13．(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)10 [(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r·C r5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]14.⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. －2 [T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.]15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.]16．设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. －10 [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10.]17．已知对任意实数x ，有(m ＋x )(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝32，则m ＝________. 【导学号：68334162】0 [设(1＋x )6＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 6x 6，则a 1＝b 0＋mb 1，a 3＝b 2＋mb 3，a 5＝b 4＋mb 5，a 7＝b 6， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝(b 0＋b 2＋b 4＋b 6)＋m (b 1＋b 3＋b 5)，又由二项式定理知b 0＋b 2＋b 4＋b 6＝b 1＋b 3＋b 5＝12(1＋1)6＝32，所以32＋32m ＝32，m ＝0.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )A ．70B ．98C ．108D ．120B [可分为两类：选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选两门，有C 13C 27＝63；不选A ，B ，C 中的一门，其它7科中选三门，有C 37＝35；所以共有98种，故选B.]2．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( ) A ．20 B ．15 C ．10D ．5D [T r ＋1＝C r4·(ax 6)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b xr ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5.]3．(2018·杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．36种 B ．24种 C ．18种D ．9种C [由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有C 13C 24＝18种，故选C.]4．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．120种D ．96种B [不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A 22种站法，再取一人站左侧有C 14×A 22种站法，余下三人站右侧，有A 33种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A 22×C 14×A 22×A 33＝192，故选B.]5．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) A ．A 26×A 45种 B ．A 26×54种 C ．C 26×A 45种D ．C 26×54种D [有两个年级选择甲博物馆共有C 26种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C 26×54种，故选D.] 6．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120C [因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x2 01810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 018＋…＋C 1010⎝⎛⎭⎪⎫1x 2 01810，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45，故选C.]7．(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )。
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第三部分+考前调节+Word版含答案
回扣一集合与常用逻辑用语[基础知识看一看]一、牢记概念与公式四种命题的相互关系二、活用定理与结论运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.[易错易混想一想]1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y ＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B ＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn 图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[保温训练手不凉]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 2．“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 命题“若α≠β，则“sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然是假命题，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．因此，“α≠β是sin α≠sin β”的必要而不充分条件．3．命题p ：m >7，命题q ：f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R)有零点，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当m >7时，方程x 2＋mx ＋9＝0的判别式Δ＝m 2－36>0，此时f (x )有两个零点；反过来，当f (x )有零点时，Δ＝m 2－36≥0，即m 2≥36，不能得知m >7.因此，p 是q 的充分不必要条件．4．已知集合A ＝{a ，b ，c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1,0}D ．{0,1,2} 解析：选B 不妨设a <b <c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋c ＝2，b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，c ＝2，故⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，|a －c |＝2，|b －c |＝1.由此知所求集合为{1,2}．5．已知集合M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝2x}，则M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |x ≤1}，N ＝{y |y >0}，所以M ∩N ＝{x |0<x ≤1}．答案：(0,1] 6．下面四个命题：①函数y ＝log a (x ＋1)＋1(a >0且a ≠1)的图象必过定点(0,1)； ②“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；③过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直的直线方程为3x ＋2y －1＝0. 其中所有真命题的序号是________．解析：①中，当x ＝0时，y ＝log a 1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以①为真命题；②中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，所以②为真命题，其逆否命题也为真命题；③中，直线2x －3y ＋4＝0的斜率为23，所以和2x －3y ＋4＝0垂直的直线斜率为－32，因为直线过点(－1,2)，所以所求直线方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0，所以③为真命题．综上真命题有①②③.答案：①②③回扣二函__数[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．函数的单调性、奇偶性、周期性(1)单调性是函数在其定义域或定义域某子区间I 上的性质．对任意的x 1，x 2∈I ，若x 1<x 2时都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为I 上的增函数；若x 1<x 2时都有f (x 1)>f (x 2)，则称f (x )为I 上的减函数．(2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(3)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 2．指数与对数式的运算公式a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a m n ；log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b Nlog b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．3．指数函数与对数函数的性质解析式 y ＝a x (a ＞0且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)定义域 R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关于直线y ＝x 对称奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性 0＜a ＜1时，在R 上是减函数；a ＞1时，在R 上是增函数0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a ＞1时，在(0，＋∞)上是增函数1．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．3．函数图象伸缩变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标伸长(a ＞1)或缩短(0＜a ＜1)到原来的a 倍，而横坐标不变，得到函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象．(2)把y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长(0＜b ＜1)或缩短(b ＞1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数y ＝f (bx )(b ＞0)的图象．4．确定函数零点的三种常用方法 (1)解方程判定法．若方程易解时用此法．(2)零点定理法．根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )·f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点．(3)数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．[易错易混想一想]1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x>0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．[保温训练手不凉]1．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A 由题意知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只有选项A 符合． 2．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )A.45B.54C.34D.43解析：选D 首先讨论分母1－x (1－x )的取值范围：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.因此，有0<11－x 1－x≤43.所以f (x )的最大值为43. 3．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0，解得x ＝－1；令x －1＝0，解得x ＝1.所以函数f (x )存在两个零点1和－1，其和为0.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8，故选B.6．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2-43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选B a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，b ＝2-43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11613，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213.考查幂函数y ＝x 13，显然该函数在(0，＋∞)上是增函数，则易知c >a >b .7．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，在各选项中画出直线y ＝2，满足在(－∞，0)内有交点的只有选项D.8．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0， 3 ] C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，函数f x x ＝12x －1＋32x在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：选A g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].和函数y＝m (x ＋1)的图象，如图，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1,0]和y ＝x ，x ∈(0,1]都相交时0<m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m x ＋1，y ＝1x ＋1－3消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，即m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.综上，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，选A.10．设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为________．解析：∵二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a >0，4ac －164a ＝0，∴ac ＝4，c >0，∴1c ＋9a≥29ac ＝3，当且仅当1c ＝9a ，即a ＝6，c ＝23时等号成立，∴1c ＋9a的最小值为3.答案：311．已知奇函数f (x )＝m －g x1＋g x的定义域为R ，其中y ＝g (x )为指数函数，且其图象过点(2,9)，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设g (x )＝a x(a >0，a ≠1)，则a 2＝9，∴a ＝3或a ＝－3(舍去)，∴g (x )＝3x，∴f (x )＝m －3x1＋3x，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m －3－x1＋3－x＝－m －3x1＋3x ，整理得m (3x＋1)＋m (1＋3－x)＝3x＋1＋1＋3－x，∴m ＝1(或由f (0)＝0得m ＝1)，∴f (x )＝1－3x1＋3x .答案：f (x )＝1－3x1＋3x12．设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sinx ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的定义，可得到f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝________.解析：由题意可得，对于函数f (x )＝x 3＋sin x ＋2，当x 1＋x 2＝0时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝4，所以f (－1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1920＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1920＋f (1)＝4×20＋f (0)＝82. 答案：82回扣三导数及其应用[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．基本导数公式： (1)c ′＝0(c 为常数)； (2)(x m)′＝mxm －1(m ∈Q)；(3)(sin x )′＝cos x ； (4)(cos x )′＝－sin x ； (5)(a x)′＝a xln a (a >0且a ≠1)； (6)(e x)′＝e x； (7)(log a x )′ ＝1x ln a(a >0且a ≠1)； (8)(ln x )′＝1x.2．导数的四则运算： (1)(u ±v )′＝u ′±v ′； (2)(uv )′＝u ′v ＋uv ′； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u ′v －uv ′v 2(v ≠0)． 二、活用定理与结论 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．2．函数的单调性与导数的关系在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．3．导数研究函数单调性的一般步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可；若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)＝0的根x0；第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取极小值．5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[易错易混想一想]1．如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．2．导数为零的点并不一定是极值点，例如函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．3．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．[保温训练手不凉]1．已知函数f(x)＝1xcos x，则f′(x)＝( )A.cos xx2B.－sin xx2C.cos x－x sin xx2D.－cos x＋x sin xx2解析：选D f′(x)＝－1x2cos x－sin xx＝－cos x＋x sin xx2.2．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( ) A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.3．一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R)的图象不可能的是( )解析：选B 分两种情况讨论：当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能；当a ≠0时，函数y ＝ax2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax－1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a ，所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 不可能．故选B.4．x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]解析：选C 当x ∈(0,1]时，得a ≥－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )<0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2,0)时，得a ≤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ，令m ＝1x ，则m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，a ≤－3m 3－4m 2＋m ，令g (m )＝－3m 3－4m 2＋m ，m ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，则g ′(m )＝－9m 2－8m ＋1＝－(m ＋1)(9m －1)．显然在(－∞，－1]上g ′(m )≤0，在⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12上，g ′(m )>0，所以g (m )min ＝g (－1)＝－2.所以a ≤－2.由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立．故实数a 的取值范围为[－6，－2]．5．若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意有y ′＝－e －x，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e －m＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e－(－ln 2)＝2.答案：(－ln 2,2) 6．函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.则2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：由已知，得f 1(x )＝f 0′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝cos x x－sin x x2，于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π＋16π3.故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1.答案：－1回扣四不_等_式[基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．不等式的性质 (1)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(2)a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ； (3)a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； (4)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (5)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(6)a ＞b ＞0，n ∈N ，n ＞1⇒a n＞b n，n a ＞nb . 2．简单分式不等式的解法 (1)f xg x ＞0⇔f (x )g (x )＞0，f x g x＜0⇔f (x )g (x )＜0.(2)f x g x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0，g x ≠0，f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≤0，g x ≠0.(3)对于形如f xg x＞a (≥a )的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．3．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0a ＝0a <0|x |<a {x |－a <x <a } ∅ ∅ |x |>a{x |x >a 或x <－a }{x ∈R|x ≠0}R(2)|ax ＋b ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 二、活用定理与结论 1．常用的六个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R)． (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(6)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 2．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域．3．一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.4．基本不等式求最值问题 若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab ，当且仅当“a ＝b ”时取等号．应用基本不等式求最值应注意“一正、二定、三相等”．[易错易混想一想]1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解．5．解绝对值不等式易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．6．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．7．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2,2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．[保温训练手不凉]1．已知－1<a <0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2>－a 3>－a B ．－a >a 2>－a 3C ．－a 3>a 2>－aD ．a 2>－a >－a 3解析：选B ∵－1<a <0，∴0<－a <1，∴－a >(－a )2>－a 3，即－a >a 2>－a 3.2．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．3．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是( ) A ．20 B ．150 C ．75D ．1510解析：选 A 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.4．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ―→·OA ―→的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选B 画出区域D ，如图所示，而z ＝OM ―→·OA ―→＝2x ＋y ，故y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，相应直线过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12，故a 的最小值为12.6．(2017·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：选 D 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A (1,1)，B (3,3)，C (3，－1)为顶点的三角形及其内部．设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，所以z max ＝3＋2×3＝9.7．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{x |x ≥1}． 答案：{x |x ≥1}8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意；(2)当a2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0，解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19. 答案：[1,19)回扣五三角函数、解三角形与平面向量 [基础知识看一看]一、牢记概念与公式 1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ；(2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k∈Z)”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．3．三种函数的性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上单调递增；在[2k π，π＋在⎝ ⎛－π2＋k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z)上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π (k ∈Z)上单调递减2k π](k ∈Z)上单调递减⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z)上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z)； 对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z)对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈Z)；对称轴：x ＝k π(k ∈Z)对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)4．三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2tan α1－tan 2α. 5．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.6．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )， 则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 二、活用定理与结论1．三角函数的两种常见变换2．正、余弦定理 (1)正弦定理①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径． (2)余弦定理①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .3．三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB ―→，AC ―→共线；向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[易错易混想一想]1．注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .2．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．3．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性． 4．求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .7．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b·c )与a 共线．9．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价．[保温训练手不凉]1．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝( )A.12 B.34C.58D.38解析：选D 由倍角公式，得sin 2α＝12(1－cos 2α)．又cos 2α＝14，所以sin 2α＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38.2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B ．60° C ．45°D ．30°解析：选B 依题意，33＝12×4×3sin C ，解得sin C ＝32.故角C 为60°.3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3 C.5π3D.11π6解析：选C 因为角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin5π6，cos 5π6，所以角α在第四象限，tan α＝cos5π6sin5π6＝－3，故α的最小正值为5π3.4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，由点P 在直线AB 上，且|AB ―→|＝2|AP ―→|得AB ―→＝2AP ―→，或AB ―→＝－2AP ―→.而AB ―→＝(2,2)，AP ―→＝(x －2，y )，由(2,2)＝2(x －2，y )，解得x ＝3，y ＝1，此时点P 的坐标为(3,1)；由(2,2)＝－2(x －2，y )，解得x ＝1，y ＝－1，此时点P 的坐标为(1，－1)．综上所述，点P 的坐标为(3,1)或(1，－1)．5．若函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f (x )图象的一个对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 解析：选C f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，由题设知2x ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0.6．已知在三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE ＝3EC ，若P 是BC 边上的动点，则AP ―→·AE ―→的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，103 解析：选C 以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫0，23，E (1,0)．设P (x,0)，x ∈[－2,2]，所以AP ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23＝x ＋43∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.7．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12解析：选 D 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位后，得y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4的图象，由题知tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即π4－π6ω＋k π＝π6(k ∈Z)，解得ω＝6k ＋12(k ∈Z)．又因ω>0，故ω的最小值为12. 8．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sinx 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是________．解析：由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝2π3＋2(k 1－k 2)π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 答案：2π39．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2，x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π2＋π62＝π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0应是与对称轴x ＝7π12相邻的对称中心，∴T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.答案：π10.已知圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为3，P 是圆O 上任意一点，点Q 满足BP ―→＝12PQ ―→，则AB ―→·AQ ―→的取值范围是________．解析：AB ―→·AQ ―→＝AB ―→·(AB ―→＋BQ ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BP ―→)＝AB ―→·(AB ―→＋3BO ―→＋3OP ―→)＝AB ―→2＋3AB ―→·BO ―→＋3AB ―→·OP ―→， 由已知得AB ＝3，OB ＝OA ＝OP ＝2. 〈AB ―→，BO ―→〉＝π－∠ABO ，由余弦定理得cos ∠ABO ＝32＋22－222×3×2＝34.∴cos 〈AB ―→，BO ―→〉＝－34，AB ―→·OP ―→∈[－6,6]．∴AB ―→·AQ ―→＝9－272＋3AB ―→·OP ―→∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－452，272回扣六数列与数学归纳法[基础知识看一看]一、牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列 等比数列概念 a n －a n －1＝d ，n ≥2 a na n －1＝q ，n ≥2 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0) 前n 项和 S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 11．等差、等比数列的常用性质等差数列等比数列性质 (1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，2．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．3．判断等比数列的三种常用方法 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．4．证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．[易错易混想一想]1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n )与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 的奇偶性；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q (n ≥2)，求{a n }的通项公式，要注意分n 的奇偶性讨论． 7．数列相关问题中，切忌忽视公式中n 的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性．如数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2n ，求最小值，既要考虑函数f (x )＝x ＋2x(x >0)的单调性，又要注意n 的取值限制条件．8．求等差数列{a n }前n 项和S n 的最值，易混淆取得最大或最小值的条件． 9．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1的过程中增加了哪些项或减少了哪些项．[保温训练手不凉]1．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＝6，则S 4的值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9解析：选A 由题意得S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝12.2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由题可知，若a 1<a 2<a 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1<a 1q ，a 1q <a 1q 2，当a 1>0时，解得q >1，此时数列{a n }是递增数列，当a 1<0时，解得0<q <1，此时数列{a n }是递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，则a 1<a 2<a 3成立，所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件．3．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 4．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.5．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差d ＝________. 解析：∵a 4＋a 6＝2a 5＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝3， 又S 5＝5a 1＋5×42d ＝5a 1＋10d ＝10，解得公差d ＝12. 答案：126．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：由S 5S 6＋15＝0得(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即30a 21＋135a 1d ＋150d 2＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，由于a 1，d 为实数，故(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0，即d 2≥8，故d ≥22或d ≤－2 2.答案：(－∞，－2 2 ]∪[22，＋∞)7．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大．答案：8回扣七立_体_几_何[基础知识看一看]一、牢记概念与公式1．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线长)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′，r 分别为上、下底面的半径，l 为母线长)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.2．“向量法”求解“空间角” (1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |.(3)向量法求二面角求出二面角αl β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角αl β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角αl β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.二、活用定理与结论 1．把握两个规则。
(完整版)浙江专版2018年高考数学二轮专题复习重难增分训练一函数与导数的综合问题
一 一 .一 1 1 已知 m n € (2 , e),且-2— -2 n m…1 rm> 2+ — n2 1 x 2— 26(2 , e))，贝U f' (x )= 一妒+ x = 丁因为x€ (2 , e),所以f' (x) >0,故函数f (x )在(2 , e)上单调递增.因为f (n ) <f (n),所 以nv m 故选A.2 .已知定义在 R 上的可导函数f (x )的导函数为f ' (x)，满足f ' (x) v f (x )，且f (x+ 2)为 偶函数，f (4) = 1,则不等式f (x ) ve x的解集为.解析：因为f (x+ 2)为偶函数，所以f (x+ 2)的图象关于x = 0对称，所以f (x )的图象关于x............ -------------------------------------------- f x f ， x e x— f x e x=2 对称.所以 f (0) = f (4) = 1.设 g (x ) = ------------------------------ x —(x € R),贝U g (x) =x —2 --------------------- =eex — f x 一， , .... .................... .x .又f (x) v f (x )，所以g ( x) v 0( x e R),所以函数 g (x )在TE 义域上单倜递 exf x f 0x —减.因为 f (x ) v e ? ―一 v 1,而 g (0) =—^— = 1,所以 f (x ) v e? g (x) < g (0)，所以 x > 0.答案：(0 , +8)3. (2017 -广东汕头模拟)已知函数f (x ) = x+ x ln x,若m^ Z,且f (x ) — m (x — 1)>0对任意 的x >i 恒成立，则m 的最大值为…一 一，一 ，, 一， ....................... * 一 x + x In x解析：因为f (x) = x + x In x,且f (x) — mx — 1)>0对任怠的x >1恒成立，等价于 m <一了一:— x — I 在(1 , + 8)上恒成立，等价于m < * + 弋 * min (x >1) .x — 1令 g (x ) = x + xl ： X (x >1) 所以 g z (x ) =x_-_.易知 g' (x ) = 0 必有实根，设为 x 0(x 0 x — 1、， x — 1 -2- In x °= 0),且g (x )在(1 , x °)上单调递减，在(x °, + °°)上单调递增，此时 g (x )min = g(x °) 因此 m <x 0,令 h (x ) = x — 2-In x,可得 h (3)<0 , h (4)>0 ,答案：3x4 .已知函数f (x ) = | x e | ,方程 的取值范围为.重难增分训练(一) 函数与导数的综合问题A.B. nx n解析：选A 由不等式可得.一日< Innv In n,即*+ In nv 』+ In m 设 f (x ) = §+ In x (x m f v |n n ，则(C.的大小关系不确定x 。
2018浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：选择填空题组合特训 题型专项训练2 Word版含答案
题型专项训练2选择填空题组合特训(二)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.已知全集U=R,A={x|x2-2x<0},B={x|x≥1},则A∪(∁U B)=()A.(0,+∞)B.(-∞,1)C.(-∞,2)D.(0,1)2.椭圆=1的焦距为2,则m的值等于()A.5或-3B.2或6C.5或3 D3.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A B+1C D4.已知x,y满足约束条件则z=3x+y的取值范围为()A.[6,10]B.(-2,10]C.(6,10]D.[-2,10)5.(2017浙江宁波十校联考)已知a,b∈R,则“|a|+|b|>1”是“b<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=x2+cos x,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'(x)的图象大致是()7.已知随机变量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),则E(η),D(η)分别是()A.4和2.4B.2和2.4C.6和2.4D.4和5.68.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,当二面角C1-AA1-B为45°时,直线EF和BC1所成的角为()A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n}为“斐波那契”数列,S n为数列{a n}的前n项和,则S7=.10.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是,|z|=.11.若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0=,a5=.12.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B,b=3,sin C=2sin A,则a+c=,△ABC面积为.13.(2017浙江杭州高级中学模拟)若向量a,b满足|a|=|2a+b|=2,则a在b方向上投影的最大值是,此时a与b夹角为.14.某科室派出4名调研员到3个学校调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为.参考答案题型专项训练2选择填空题组合特训(二)1.C解析由题意得,集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|x≥1},所以∁U B={x|x<1},所以A∪(∁U B)={x|x<2},故选C.2.B解析假设椭圆的焦点在x轴上,则m>4,由焦距2c=2,c=,则c2=m-4,解得m=6,当椭圆的焦点在y轴上时,即0<m<4,由焦距2c=2,c=,则c2=4-m,解得m=2,故m的值为2或6,故选B.3.C解析观察三视图可知,几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1.则几何体的体积V=×π×12×1+×1×2×1=.故选C.4.B解析由约束条件作出可行域如图,化目标函数为y=-3x+z,由图可知,当直线y=-3x+z过点A时,z取最大值,由得A(4,-2),此时z max=3×4-2=10;当直线y=-3x+z过点B时,z取最小值,由解得B(0,-2),故z=-2.综上,z=3x+y的取值范围为(-2,10].5.B解析当a=2,b=0时,满足|a|+|b|>1,但b<-1不成立,即充分性不成立;若b<-1,则|b|>1,则|a|+|b|>1恒成立,即必要性成立.则“|a|+|b|>1”是“b<-1”的必要不充分条件,故选B.6.A解析由于f(x)=x2+cos x,∴f'(x)=x-sin x,∴f'(-x)=-f'(x),故f'(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除B,D;又当x=时,f'-sin-1<0,排除C,只有A适合,故选A.7.A解析∵ξ~B(10,0.4),∴E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,∵η=8-ξ,∴E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4,故选A.8.B解析如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面A1B1C1,则A1C1⊥AA1,A1B1⊥AA1,∴∠B1A1C1为二面角C1-AA1-B的平面角,等于45°,∵A1B1=AB=2,∴B1C1=BC=2,以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),E(0,1,0),C1(2,0,2),F(0,0,1),∴=(2,0,2),=(0,-1,1),∴cos<>=, ∴的夹角为60°,即直线EF和BC1所成的角为60°,故选B.9.33解析由题意S7=1+1+2+3+5+8+13=33.10.55解析z=(1+2i)(3-i)=5+5i.故实部为5,模为5.11.0251解析当x=1时,可得a0=0,x10-x5=[(x-1)+1]10-[(x-1)+1]5,所以a5==251.12.3解析由b sin A=a cos B及正弦定理,得sin B sin A=sin A cos B,∵A为三角形的内角,∴sin A≠0,∴sin B=cos B,即tan B=,又B为三角形的内角,∴B=;由sin C=2sin A及正弦定理,得c=2a,①∵b=3,cos B=,∴由b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac,②联立①②解得a=,c=2,∴a+c=3.面积S=ac sin B=×2.13.- 解析∵|2a+b|=2,|a|=2,∴|b|2+4a·b+16=4,设a,b的夹角为θ,则|b|2+8|b|cos θ+12=0.∴cos θ=-.∴a在b方向上投影为|a|cos θ=-=-.∵≥2,当且仅当|b|=时等号成立,∴|a|cos θ≤-.所以a在b方向上投影最大值是-,cos θ=-,θ=.14.36解析分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分法有种;第二步将分好的三组分配到三个学校,其分法有种,所以不同的分配方案种数为=36种,故填36.。
2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训18不等式与线性规划文20180223379
专题限时集训(十八) 不等式与线性规划[建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．(2016·安庆二模)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2016·长沙一模)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4C [依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立，因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.]3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 30 [一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]4．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．4 [∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.]二、线性规划问题5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2]D ．[0,3]B [画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3. 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 故选B.]6．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.] 8．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．3 [画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3.][B 组 “12＋4”模拟题提速练]一、选择题1．(2017·成都模拟)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b c B ．a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b dB [由c ＜d ＜0得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，则－a d ＞－b c ＞0，即a d ＜bc，故选B.]2．(2016·长春一模)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |－1＜x ＜－ln 3}C ．{x |x ＞－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}D [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13， 则由f (e x )＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．] 3．(2017·平顶山一模)若对于任意的x ＞0，不等式xx ＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15A [由x ＞0得xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15. 当且仅当x ＝1时等号成立，则a ≥15，故选A.]4．已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)D [设x ＞0，则－x ＜0，所以g (－x )＝－ln(1＋x )，因为g (x )是R 上的奇函数，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln 1＋x ，x ＞0，易知f (x )是R上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1.故选D.]5．(2016·德阳模拟)已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C.2D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]6．(2017·郑州二模)已知直线y ＝k (x ＋1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，3x －y ≥0，x ＞0，y ＞0表示的区域有公共点，则k 的取值范围为( ) A ．[0，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C [不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(4,0)，(1,3)为顶点的三角形区域(不包含x 轴上的点)(图略)．当直线经过点(1,3)时，k 取得最大值32，因为直线恒过定点(－1,0)，所以直线与不等式组表示的区域有公共点，k 必须大于0，所以0＜k ≤32，故选C.]7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]8．(2016·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m＞0)的最大值为1，则m 的值是( ) A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]9．(2017·江西师大附中模拟)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]10．(2017·泰安模拟)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( )A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]11．(2016·武汉二模)设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my的最大值为2，则m 的取值为( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.]12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋yb(a ≥b ＞0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( ) A ．4＋2 3 B ．4－2 3 C ．9D ．8A [由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，解得A (2,6)，化目标函数z ＝x a ＋y b 为y ＝－b ax ＋bz ， 由图可知，当直线y ＝－b ax ＋bz 过点A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2a ＋6b＝2，即1a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝4＋b a ＋3a b≥4＋2b a ·3ab＝4＋2 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，b ＝3a ，即a ＝3＋1，b ＝3＋3时取等号．] 二、填空题13．(2016·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．－5 [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.]14．(2016·青岛模拟)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.2 [当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy＝ 2.所以所求的最小值为 2.]15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤4，x ≥1表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M内的点，则k 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 [作出不等式组对应的平面区域，如图所示．直线y ＝k (x ＋2)过定点D (－2,0)，由图象可知当直线l 经过点A 时，直线斜率最大， 当经过点B 时，直线斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，11 即A (1,3)，此时k ＝31＋2＝33＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，此时k ＝11＋2＝13， 故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.] 16．(2017·武汉联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x ≥1－lg x ，0＜x ＜1，若f (a )＝f (b )(0＜a ＜b )，则1a ＋4b取最小值时，f (a ＋b )＝________. 1－2lg 2 [由题意知，0＜a ＜1＜b ，由f (a )＝f (b )得－lg a ＝lg b ，即lg a ＋lg b＝0，所以ab ＝1，从而1a ＋4b ≥21a ×4b ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝4b ab ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12b ＝2时等号成立，所以f (a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝lg 52＝1－2lg 2.]。
(教师用书)2018年浙江高考数学二轮复习技法强化训练及答案(4份)
技法强化训练(一) 函数与方程思想(对应学生用书第159页)题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．62C [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1³(1＋4d )，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)³2＝2n －1.∴S 8＝ a 1＋a 8 ³82＝4³(1＋15)＝64.]2．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0B [原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y ＝2x－5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.]3．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( ) 【导学号：68334007】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 B [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≥0，f 0 ＜0，f 2 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.]4．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n的最小值为________．292[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60 ＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n－1.令f (x )＝x ＋60x－1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292.又292＜1027，故a n n 的最小值为292.] 5．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值； (2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．【导学号：68334008】[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 1分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0，3分所以Δ＝(a －1)2－4³12³(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1.4分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1.6分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x，8分所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增， 所以φ(x )＞φ(1)＝0.又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，11分 即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立.12分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16xC [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M ＝15p －9p24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0.∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M 8⇒y M ＝4，p ＝43或163.∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]7．(2017²宁波市镇海中学高三模拟考试)在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )【导学号：68334009】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫255，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，1 A [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，设F (x,0,0)，D (0，y,0)，则GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，－1，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－1，－12，x ，y ∈(0,1)．由于GD ⊥EF ，所以x ＋2y －1＝0，x ＝1－2y ∈(0,1)，解得0＜y ＜12.DF ＝x 2＋y 2＝5y 2－4y ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －252＋15，当且仅当y ＝25时，线段DF 长度的最小值是55，当y ＝0时，线段DF 的最大值是1，由于不包括端点，故y ＝0不能取，所以线段DF 的长度的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1，故选A.] 8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →²OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：68334010】[解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b2＝1，c 2＝a 2－b 2， 解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*) 所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45，8分y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，由OA →²OB →＝125得(x 1，y 1)²(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4³5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2.12分9．如图1，直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′＝λ.图1(1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′CDE 的体积最小，并求出最小体积． [解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 1分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 2分 ∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB . 3分 ∵三棱柱ABC A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 4分 又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE . ∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE .6分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4， 8分 ∴V A ′CDE ＝V C A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )²h＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12 6－x x －3 6－x ²h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，14分 ∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′CDE 有最小值18. 15分技法强化训练(二) 数形结合思想(对应学生用书第160页)题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )【导学号：68334011】A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是( )A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象， A [在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为( )A ．7B ．6C ．3D ．2A [函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7，故选A.]4．若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.【导学号：68334012】1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． 综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2D ．(0,1)A [记y1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数，且f (1)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x ＞0时，f (x )＋xf ′(x )＞1x，则不等式xf (x )＞1＋ln|x |的解集是( )【导学号：68334013】A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1,1)A [令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数， 且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.故选A.]8．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．(10,12) [作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1， ∴abc ＝c .由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．]10．(2017²杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |＞1，若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|≥2(l ＞0)对任意实数x 都成立，则l 的最小值为________. 【导学号：68334014】23 [作出函数f (x )的图象如图，要使原不等式对任意实数x 都成立，由不等式|a |＋|b |≥|a ±b |得|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|≥|[f (x )＋f (x ＋l )－2]±[f (x )－f (x ＋l )]|≥2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧|2f x －2|≥2，|2f x ＋l －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧f x ≥2，f x ＋l ≥2对任意实数恒成立，当x ＝－3时，f (－3＋l )≥2，l ＞0，则l －3≥3，l ≥23，故l 的最小值是2 3.]题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4B [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．(2017²杭州高级中学高三最后一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( )【导学号：68334015】A.213 B ．2C.72D ．3A [由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 的中点为H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，由题易知，点P ，Q 在原点O 的同侧，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． 22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |²|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2³12³|PA |³|AC |＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【导学号：68334016】[解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t2. 6分因为x 20＋y 20＝9 1＋t 2 2＋9t 2 1＋t 2 2＝9 1＋t 21＋t 2 2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. 8分图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如E 53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0).11分 联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 15分技法强化训练(三) 分类讨论思想(对应学生用书第161页)题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n－1(P 是常数)，则数列{a n }是( )【导学号：68334017】A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对D [∵S n ＝P n－1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)Pn －1(n ≥2)．当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列； 当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，2ax －5，x ＞1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：68334018】A ．(－∞，2)B ．(－∞，4)C ．[2,4]D ．(2，＋∞)B [当－a－2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4， 综上可知a ＜4.]3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为( )图1A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A [由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数，当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A. 2B.32C. 5D.5或32D [由题意可知，m 2＝2³8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2－y 24＝1.此时离心率e ＝ 5.(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y 24＝1.此时离心率e ＝32.] 5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________. (－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． (－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ²1lg x＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1lg x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x ²1 －lg x ＝－2，当且仅当lg x ＝1lg x ，即x ＝110时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2 由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞C [因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( ) 【导学号：68334020】 A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C [满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3.∴k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，故选C.] 9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． [解] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，1分 f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.2分 ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 4分 ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 6分 ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 7分则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.10分综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.题组3 根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( ) A.54B.53C.54或53D.35或45C [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；若双曲线的焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，故选C.] 11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.【导学号：68334021】43或833[若侧面矩形的长为6，宽为4，则V ＝S 底³h ＝12³2³2³sin 60°³4＝4 3.若侧面矩形的长为4，宽为6，则V ＝S 底³h ＝12³43³43³sin 60°³6＝833.] 12．已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.图2(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围. 【导学号：68334022】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，2分a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 3分 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，5分①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. 6分②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程y ＝kx ＋b ， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程， 得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，7分∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2－3－b 2)＝0，即b 2＝4k 2＋3，(*)8分记M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 9分 此时x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k ，x 1x 2＝4b 2－363＋4k ，|x 1－x 2|＝43 12k 2＋9－b 23＋4k ， 10分∴|MN |＝1＋k 2³43 12k 2＋9－b 23＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1＜1＋13＋4k 2≤43， 即26＜261＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得：弦长|MN |的取值范围为[26，42]. 15分技法强化训练(四) 转化与化归思想(对应学生用书第162页)题组1 正与反的相互转化1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15B.35 C.710D.910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________. 【导学号：68334023】⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≤0，f 1 ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]3．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x ∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈[1,3]，∴92≤a 2≤412.又a ＞0， ∴322≤a ≤822. 故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.]4．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称．[解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b＝1.2分 把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1.4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.6分(2)反证法：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |. 从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立. 15分题组2 主与次的相互转化5．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________. 【导学号：68334024】 (－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝x 2－x ＋2≥0，g 1 ＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ 1 ＜0，φ －1 ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 7．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________． (－∞，－1)∪(3，＋∞) [设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＞0，f 4 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x －1 ＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.]8．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.【导学号：68334025】[解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分 所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .6分 因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分 当25＜a ＜1时，23a ＞13－a6，8分由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈[1,2])． 所以当0＜a ≤25时，必有2³a 6(2－a )2＞13－a 6，12分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25；当25＜a ＜1时，必有2³a 6(2－a )2＞23a ，结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－ 2. 15分。
2018年浙江高考数学二轮复习练习：第2部分 必考补充专题 专题限时集训18 不等式与线性规划(含答案)
专题限时集训(十八) 不等式与线性规划(对应学生用书第153页) [建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、基本不等式1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B [由a ＋b ＝1a ＋1b，有ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ×2b＝2 2.]2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋xy≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63.] 4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6.令f ′(x )＝1－6x2＝0，解得x ＝6(负值舍去)．当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0， ∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6.综上，f (x )的最小值是26－6.] 二、线性规划问题5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)． 故选D.]6．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12C [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.]7．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( ) A.355 B. 2 C.322D. 5B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.]8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.] 9．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．216 000 [设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]10．(2015·浙江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．3 [满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.][B 组 “8＋7”模拟题提速练]一、选择题1．已知a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＜b 2B.a b＜1 C ．a ＜1－bD.1a ＜1bC [因为a ＜b ＜0，所以a 2＞b 2，a b ＞1，1a ＞1b，a ＋b ＜1. 因此A ，B ，D 不正确，C 正确．]2．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2 D ．2 2A [由⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )，由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A.]3．(2015·浙江高考)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋czB [令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3. A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14； B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.]4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5D [作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D.]5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m ＞0)的最大值为1，则m的值是( ) 【导学号：68334156】 A ．－209B ．1C ．2D ．5B [作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m ＞0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.]6．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14D [可行域由三条直线x ＝0，x ＋y ＝0，kx －y ＋1＝0所围成，因为x ＝0与x ＋y ＝0的夹角为π4，所以x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4或x ＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4.当x ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，可知k ＝1，此时等腰三角形的直角边长为22，面积为14；当x＋y ＝0与kx －y ＋1＝0的夹角为π4时，k ＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为12，所以选D.]7．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值是( ) A ．0 B.98 C ．2D.94C [z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时等号成立． 此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2.∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2，故选C.]8．设m ＞1，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1，且目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m 的取值为( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．3D ．2＋ 2B [因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域如图，直线y ＝mx 与直线x ＋y ＝1交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx垂直，且在B ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m2m ＋1＝2，又因为m ＞1，解得m ＝1＋ 2.] 二、填空题9．(2017·浙江省名校新高考联盟高三第三次联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．[22，5] [由题意得点P (－1,1)关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，则|PA |＋|PB |的取值范围等价于点P 1(－1，－1)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0，y ≥0表示的平面区域内的点的连线的长度的范围，如图，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域(阴影区域，含边界)，由图易得点P 1(－1，－1)到直线x ＋y －2＝0的距离最小，最小值为|－1－1－2|12＋12＝22；点P 1(－1，－1)与点C (2,3)的距离最大，最大值为＋2＋＋2＝5，所以|PA |＋|PB |的取值范围为[22，5]．]10．(2017·萧山中学高三仿真模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |且|x |≤4，则|3x －4y |的最大值为________．32 [∵实数x ，y 满足|2x ＋y －2|≥|6－x －3y |，且|x |≤4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≥0，x －2y ＋4≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≤0，x －2y ＋4≤0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －6≤0，3x ＋4y －8≥0，－4≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x ＋3y －6≥0，3x ＋4y －8≤0，－4≤x ≤4.∴可行域为如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (－4,5)，B (－4,0)，C (0,2)，D (4,4)，E (4，－1)．设目标函数z ＝3x －4y ，则当目标函数z ＝3x －4y 经过A (－4,5)时取得最小值z min ＝－32；当目标函数z ＝3x －4y 经过E (4，－1)时取得最大值z max ＝16，则|z |＝|3x －4y |的最大值为32.]11．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.]12．已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为________．2－12[因为正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ， 所以b c ＋c a ＋b ≥b c ＋c 2b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋c 2b ＋c －12＝2b ＋c 2c ＋c 2b ＋c －12≥2－12. 当且仅当2b ＋c 2c ＝c2b ＋c时取等号．]13．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞13，则f (e x)＞0的解集为________．{x |x ＜－ln 3} [f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13， 则由f (e x )＞0得－1＜e x＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x)＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．]14．(2017·宁波十校高三适应性考试 17)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c >1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12ab －1·c＋2c －1的最小值为________． 3 2 [由题意知，∵a 2＋12ab －1＝a 2＋a ＋b22ab －1＝2a 2＋b22ab≥2(当且仅当a ＝2－1，b ＝2－2时，等号成立)，∴原式≥2c＋2c－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫c－1＋1c－1＋2≥22＋2＝32(当且仅当c＝2时，等号成立)．]15．(2016·舟山调研)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________．7＋43[由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴a＝4bb－3，由a＞0，得b＞3.∴a＋b＝b＋4bb－3＝b＋b－＋12b－3＝(b－3)＋12b－3＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b的最小值为7＋4 3.]。
2018浙江数学高考(理)二轮《不等式》专题能力训练有答案MMUM
专题能力训练2不等式(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若<0,则下列结论不正确的是()A.a2<b2B.ab<b2C.a+b<0D.|a|+|b|>|a+b|2.(2017浙江宁波中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.a<5B.a≥7C.5≤a<7D.a<5或a≥73.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)4.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)<x恒成立,则a的取值范围为()A.a≤-1B.-2<a<0C.0<a<2D.a≥15.若x,y满足且z=y-x的最小值为-12,则k的值为()A.B.-C.D.-6.若m+2n=20(m,n>0),则lg m(lg n+lg 2)的最大值是()A.1B.C.D.27.(2017浙江嘉兴一中适应性模拟)已知xy=1,且0<y<,则的最小值为()A.4B.C.2D.48.设x,y满足约束条件若0≤ax+by≤2恒成立,则a2+b2的最大值是()A.1B.C. D.4二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=4,则xz+yz的最大值是;又若x+y+z=0,则z的最大值是.10.已知实数m,n,且点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m+2n的取值范围为,m2+n2的取值范围为.11.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.12.已知实数x,y满足则z=2|x|+y的取值范围是.13.(2017浙江温州瑞安七中模拟)若x>0,y>0,则的最小值为.14.已知函数f(x)=(1+ax+x2)e x-x2,若存在正数x0,使得f(x0)≤0,则实数a的取值范围是.三、解答题 (本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x+(x>3).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若不等式f(x)≥+7恒成立,求实数t的取值范围.16.(本小题满分15分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a=2,当x∈[-1,3]时,f(x)的最大值不大于7,求b+c的最大值;(2)若当|f(x)|≤1对任意的x∈[-1,1]恒成立时,都有|ax+b|≤M对任意的x∈[-1,1]恒成立,求M的最小值.参考答案专题能力训练2不等式1.D解析由题意可知b<a<0,因此选项A,B,C正确.而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误,应选D.2.C解析如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.故选C.3.A解析①∵当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,∴x<1.②∵当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.综合①②③,可知x<4.故选A.4.A解析依题意,f(x)=易知当a≥0时,f(x)<x不恒成立,故a<0.在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x)<x⇔-a≥1,即a≤-1.故选A.5.D解析依题意,易知k≤-1不符合题意,由可得直线kx-y+3=0与y=0的交点为,在平面直角坐标系中作出各直线(图略),结合图形可知,当直线z=y-x过点时,z有最小值,于是有0+=-12,k=-.故选D.6.A解析因为lg m·(lg n+lg 2)=lg m·lg 2n≤,又m+2n=20≥2,所以mn≤50,从而lg m·(lg n+lg 2)≤1,当且仅当m=10,n=5时等号成立.故选A.7.A解析因为xy=1且0<y<,所以x>,所以x-2y>0.所以=x-2y+≥4,当且仅当x=+1,y=时等号成立.故选A.8.C解析由约束条件作出可行域如图中阴影所示,联立可得A(2,1),联立可得C(0,1),联立可得B(1,2).由0≤ax+by≤2恒成立,可得画出关于a,b的可行域,如下图阴影部分所示:a2+b2的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方,显然点D到原点的距离最大,由可得D.故a2+b2的最大值为.9.2解析xz+yz=+2y·=2,当且仅当x=y=z时取等号;∵x2+y2=4-z2,x+y=-z,则(x+y)2=4-z2+2xy≤4-z2+,即z2≤8-2z2,∴-≤z≤.故z的最大值是,当且仅当x=y 时取等号.10. [1,4]解析由点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,故有作出可行域如图中阴影三角形ABC,令z=m+2n,则直线z=m+2n过点B(0,2)时,z max=4,过点C时,z min=,故m+2n的取值范围为.令|OP|2=m2+n2=u,其中P在阴影三角形ABC内(包括边界),由图知当点P的坐标为(0,2)时,u max=4,当点P 的坐标为(0,1)时,u min=1,故m2+n2的取值范围为[1,4].11.(-∞,0)∪{2}解析当a<0时,显然成立;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+≤4.∴a=2.综上,可知a∈(-∞,0)∪{2}.12.[-1,11]解析根据约束条件画出可行域,画出z=2|x|+y表示的虚线部分.由图得当虚线部分z=2|x|+y过点D(0,-1)时,z最小为-1.当虚线部分z=2|x|+y过点A(6,-1)时,z最大为11.故所求z=2|x|+y的取值范围是[-1,11].13. 解析设=t>0,则+t=(2t+1)-≥2,当且仅当t=时取等号.故答案为.14. 解析由f(x)=(1+ax+x2)e x-x2≤0,得a≤-x-,令g(x)=-x-,则g'(x)=,∴g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)的最大值为g(1)=-2,存在正数x0,使得a≤-x-,则a≤-2.15.解 (1)∵x>3,∴x-3>0.∴f(x)=x+=x-3++3≥2+3=9,当且仅当x-3=,即(x-3)2=9时,上式取得等号.又x>3,∴x=6.∴当x=6时,函数f(x)的最小值是9.(2)由(1)知,当x>3时,f(x)的最小值是9,要使不等式f(x)≥+7恒成立,只需9≥+7, ∴-2≤0,即≤0,解得t≤-2或t>-1.∴实数t的取值范围是(-∞,-2]∪(-1,+∞).16.解 (1)由题意知,f(x)=2x2+bx+c,当x∈[-1,3]时,f(x)≤7恒成立,即f(x)max≤7. (ⅰ)当-≤1,即b≥-4时,f(x)max=f(3)=18+3b+c≤7,得3b+c≤-11,故b+c=(3b+c)+2(-b)≤-11+8=-3.(ⅱ)当->1,即b<-4时,f(x)max=f(-1)=2-b+c≤7,得-b+c≤5,故b+c=(-b+c)+2b<5-8=-3.综上,可得(b+c)max=-3.(2)当|x|≤1时,易知≤1,≤1,故由题意知≤1,≤1,所以|ax+b|=≤1+1=2,所以M≥2.故M的最小值为2.。
(浙江专版)18年高考数学第2部分必考补充专题突破点18不等式与线性规划教学案
突破点18 不等式与线性规划[核心知识提炼]提炼1基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(4)a ＋1a ≥2(a ＞0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a ＜0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．(5)a ＞0，b ＞0，则a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b，当且仅当a ＝b 时取等号． 提炼2 利用基本不等式求最值 已知a ，b ∈R ，则(1)若a ＋b ＝S (S 为定值)，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝S 24，当且仅当a ＝b 时，ab 取得最大值S 24；(2)若ab ＝T (T 为定值，且T ＞0)，则a ＋b ≥2ab ＝2T ，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 取得最小值2T .提炼3 绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式定理常用来解决与最值有关的恒成立问题．不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而解集为∅的不等式的对立面也是不等式恒成立问题(如f (x )>m 的解集是∅，则f (x )≤m 恒成立)，这两类问题都可以转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .提炼4求目标函数的最优解问题(1)“斜率型”目标函数z ＝y －b x －a(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解．(2)“两点间距离型”目标函数z ＝ x －a 2＋ y －b 2(a ，b 为常数)，最优解为点(a ，b )与可行域上点之间的距离取最值时的可行解.提炼5线性规划中的参数问题的注意点(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．。
2018全国高考数学真题线性规划部分整理(附详细答案解析)
2018高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（18全国卷I，文数14，理数13题）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为．解析：不等式组220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示可行域如图中阴影部分所示。
目标函数32z x y =+可化为31y x z =-+，作3y x =-即320x y +=图象，32z x y =+的最大值点应为使3122y x z =-+的截距最大的点，由图易知为点(2,0)。
∴把(2,0)代入32z x y =+得max 32206z =⨯+⨯=。
答案：62.（18全国卷Ⅱ，文数、理数14）若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为．解析：不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，表示的可行域如图中阴影部分所示。
目标函数z x y =+可化为y x z =-+，作y x =-即0x y +=的图象（虚线所示），易知z x y =+中z 取最大值的点应为使y x z =-+截距最大的点，为点()5,4A ，把()5,4A 坐标代入z x y =+中得max 549z =+=答案：93.（18全国卷Ⅲ，文数15）若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，则13z x y =+的最大值是________．解析：不等式组23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，所表示的可行域如右图中阴影部分所示，目标函数13z x y =+可化为33y x z =-+，作出函数3y x =-即30x y +=的图象（图中虚线所示），易知13z x y =+的最大值点为33y x z =-+在y 轴截距的最大值点，为点()2,3A ，把()2,3A 代入目标函数13z x y =+中，得max 12333z =+⨯=答案：34.（18年北京卷文数13、理数12）若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是．解析：不等式12x y x +≤≤等价于12y x y x ≥+⎧⎨≤⎩，其可行域如图中阴影部分所示。
2018届浙江省高考试题逐类透析——简单的线性规划
五、不等式（二）简单的线性规划一、高考考什么？[考试说明]3．了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题。
[知识梳理]1.步骤：（1）作出可行区域；（2）确定最优解（一般在端点）2.常见的几何意义[全面解读]线性规划问题应该抓住两个前提，一个是简单，一个是线性，因此线性规划问题注定不会很难，但线性规划问题又是高考的必考内容，掌握基本题型和一些表达式的几何意义是必须的。
[难度系数] ★★☆☆☆二、高考怎么考？[原题解析] [2004年]（5）设z x y =-,式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为( )A ．1B ．-1C ．3D ．-3 [2005年]（7）设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长，则A 所表示的平面 区域(不含边界的阴影部分)是( )[2006年]（4）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）A．．4 C． D ．2 [2007年]（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．[2008年]（17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于___________。
[2009年]（13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥⎧⎪-≤+⎨⎪-≥⎩，，则，的最小值是__________.[2010年]（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 [2011年]（5）设实数x 、y 是不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为（ ）A ．14B ．16C ．17D ．19 [2013年]（13）设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。
(浙江专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(一)A 理(解析版).pdf
专题限时集训(一)A [第1讲 集合与常用逻辑用语] (时间：30分钟) 1．已知集合P＝{－1，m}，Q＝，若P∩Q≠，则整数m的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 2．设全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋80，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题 C．p为假命题 D．q为假命题 5．已知集合A＝{x|y＝log2(x2－1)}，B＝，则A∩B等于( ) A. B．{x|1<x0} D．{x|x>1} 6．A＝{x|x≠1，xR}∪{y|y≠2，yR}，B＝{z|z≠1且z≠2，zR}，那么( ) A．A＝B B．AB C．AB D．A∩B＝ 7．设a，bR，则“a>1且0<b0且>1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则λ<－4是向量m＝λa＋b与向量n＝(3，－1)的夹角为钝角的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是( ) A．当nα时，“nβ”是“αβ”成立的充要条件 B．当mα时，“mβ”是“αβ”的充分不必要条件 C．当mα时，“nα”是“mn”的必要不充分条件 D．当mα时，“nα”是“mn”的充分不必要条件 10．已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________． 11．已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(UB)∩A＝{1}，(UA)∩(?UB)＝{2,4}，则B∩(UA)＝________. 12．已知集合AM＝{1,2,3，…，11}，把满足以下条件：若2kA，则2k±1A(k∈Z)的集合A称为好集，则含有至少3个偶数的好集A的个数为________个． 专题限时集训(一)A 【基础演练】 1．A [解析] 根据集合元素的互异性m≠－1，在P∩Q≠的情况下整数m的值只能是0. 2．C [解析] 集合A＝{x|x3}，B＝{x|2<x<4}，则UA＝{x|－1≤x≤3}，因此，(UA)∩B＝{x|20时，a与b的夹角为锐角或零度角，所以命题p是假命题；又命题q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题． 【提升训练】 5．D [解析] 集合A为函数y＝log2(x2－1)的定义域，由x2－1>0可得集合A＝(－∞，－1)(1，＋∞)；集合B为函数y＝x－1的值域，根据指数函数性质集合B＝(0，＋∞)．所以A∩B＝{x|x>1}． 6．C [解析] 集合中的代表元素与用什么字母表示无关． 事实上A＝(－∞，1)(1，＋∞)(－∞，2)(2，＋∞)＝(－∞，＋∞)，集合B＝(－∞，1)(1,2)∪(2，＋∞)，所以AB. 7．A [解析] 显然a>1且0<b0且>1；反之，a－b>0且>1a>b且>0a>b且b>0，这样推不出a>1且0<b1且0<b0且>1”的充分而不必要条件． 8．A [解析] m＝(λ＋2,2λ＋3)，m，n的夹角为钝角的充要条件是m·n<0且m≠μn(μ<0)．m·n<0，即3(λ＋2)－(2λ＋3)<0，即λ<－3；若m＝μn，则λ＋2＝3μ，2λ＋3＝－μ，解得μ＝，故m＝μn(μ<0)不可能，所以，m，n的夹角为钝角的充要条件是λ<－3，故λ0，则Q＝[3－m,3＋m]，则(等号不同时取到)，解得：m≥4， 若m<0，Q＝[3＋m,3－m]，则(等号不同时取到)，解得：m≤－4， 若m＝0，Q＝{3}，显然不满足，故m的取值范围为：(－∞，－4][4，＋∞)． 11．{5,6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B∩(UA)＝{5,6}． 12．25 [解析] 可按集合中偶数的个数来分类．若有3个偶数，如2,4,6时，集合A中必含有1,3,5,7，另两个奇数9和11可都有，也可仅有一个，或者没有，因此符合条件的集合有4个．其余情况可类似分析． 高考学习网： 高考学习网：。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(讲)
第03节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【考纲解读】【知识清单】1.二元一次不等式（组）表示的平面区域在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<. 即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 对点练习在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域20340x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩………中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB =（ ）.A.4C.6 【答案】C22.目标函数的最值对点练习【2017浙江4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【考点深度剖析】从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．【重点难点突破】考点1二元一次不等式(组)表示平面区域【1-1】【2018浙江嘉兴第一中学模拟】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】y表示直线的右上方，若构成三角形，点A 在的右上方即可。
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专题限时集训(十八) 不等式与线性规划
(对应学生用书第153页)
[建议A 、B 组各用时：45分钟]
[A 组 高考题、模拟题重组练]
一、基本不等式
1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )
A ．4
B ．2 2
C ．8
D ．16
B [由a ＋b ＝1a ＋1b ，有ab ＝1， 则1a ＋2b ≥21a ×2
b ＝2 2.] 2．(2017·温州九校协作体高三期末联考)已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋x y 的最小值为________．
2＋22 [因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋x y ≥2＋22，当且仅
当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y x ＝x y
，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．]
3．(2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．
63 [因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .
因为a 2＋b 2＋c 2＝1，
所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，
所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，
所以3a 2≤2，所以a 2≤23， 所以－63≤a ≤63.
所以a max ＝63.]
4．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x
－6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．
－12 26－6 [f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12.
当x ≤1时，f (x )min ＝0；
当x >1时，f (x )＝x ＋6x －6.
令f ′(x )＝1－6x 2＝0，解得x ＝6(负值舍去)． 当1<x <6时，f ′(x )<0；当x >6时，f ′(x )>0，
∴f (x )的最小值为f (6)＝6＋66－6＝26－6. 综上，f (x )的最小值是26－6.]
二、线性规划问题
5．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，
x ＋y －3≥0，
x －2y ≤0，
则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6，＋∞)
D ．[4，＋∞) D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z 2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1。