北京燕山初三一模数学试题及答案版

燕山2015年4月
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．-2的相反数是
A ．2
B ．2-
C ．12
- D ．1
2
2．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改
善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为
A ．2
1073⨯ B ．3
103.7⨯ C ．4
1073.0⨯ D ．2
103.7⨯ 3
A ．
B ．
C ．
D ． 4．如图，∠1＝∠B ，∠2＝25°，则∠D ＝
A ．25°
B ．45°
C ．50°
D ．65° 5．下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：
从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为 A ．
41 B ．52 C ．10
3 D ．201 6
以上两位同学的对话反映出的统计量是
A ．众数和方差
B ．平均数和中位数
C ．众数和平均数
D ．众数和中位数
7．在多项式x 2
+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是
A ．x
B ．3x
C ．6x
D ．9x 8．如图，⊙O 的半径长6cm ，点C 在⊙O 上，弦AB 垂直平分OC 于点D ，则弦AB 的长为
A ．9 cm
B ．36cm
C ．
2
9
cm
D ．33cm
9．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于
2
1
AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若CD ＝BC ，∠A ＝35°，则 ∠C ＝ A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°
第4题图
1
2
A
B
C
D
10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P
)
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若代数式
2
3
-
x 有意义，则x 的取值范围是 ． 12．分解因式：a ab -2
＝ ．
13．如图，跷跷板
AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45cm
，当它的
一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为 cm ．
14．已知某函数图象经过点(-1，1)，且当x >0时，y 随x 的增大而增大．请你写出一个．．
满足条件的函数解析式：y ＝ .
15．为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；
超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费 元． 16．定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把
a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为12
11
-=-，1-的差倒数为
)1(11--＝21．记2
1
1=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒
数，…，依此类推，则2a ＝ ；2015a ＝ ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．
A
B
C
D
E F N
M A
B
D C
第9题图
B D
第13题图
第8题图
分
第10题图
18．计算：0
1)3(30tan 3|3|)31(π-+︒--+-．19．解不等式组：⎩
⎨⎧≤-<-．21512x x ，
20．已知022
=--x x ，求代数式)1)(1()12(-+--x x x x 的值． 21．列方程或方程组解应用题：
赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多
5
3
小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度． 22．已知关于x 的方程03)32(2
2
=-+--k k x k x ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．
（1）求证：四边形OCED 为矩形；
（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积．
24．根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，
而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）
（2）每件快递专用包装的平均价格约为元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了
约多少亿元的损失
（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量
年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到 亿件．（直接写出结果，精确到）
D
O F
E
C
A
B 市民收到快递后对包装处理方式统计图
D ：其他
C ：留着下次寄件 使用；B ：收集整理后作 为废品卖掉；A:直接丢弃；60%20%8%
12%A B C D 16014012080601004020
02014140
年)
业务量
(亿件23
57
37
2010－2014年全国快递业务量统计图
25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点
E ．
（1）求证：∠CDE ＝90°；
（2）若AB ＝13，sin ∠C ＝13
5
，求CE 的长．
26．阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到
E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．
如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PACD ＝PCBD ．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．抛物线c bx x y C ++=
2
12
1:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；
（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛
物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．
图1
A
B D
C
A
B
D
C
图2
图3
E A
B
P
28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点
为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．
（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数；
（2）当∠BAC 为钝角时，
请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系
29．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），
(31-
，3
1
-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12
+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐
点的坐标；
（2）若二次函数)0(42
≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(
23，2
3
)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4
3
42≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的
取值范围．
（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x
n
y G =
：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，
且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．
图1
图2
A
B
H C
A
B
H
C
E
D
燕山地区2015年初中毕业考试
数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项
A
B
D
A
C
D
C
B
A
D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．2≠x 12．)1)(1(-+b b a ； 13．90； 14．答案不唯一：x
y 1-
=，2
x y =，2+=x y ，… 15．48； 16．2；2．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分
在△BAE 和△DCF 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=，＝，CF AE C A CD AB ,
∴△BAE ≌△DCF （SAS ）， ………………………4分 ∴BE ＝DF ． ………………………5分
18．解:原式＝13
3
333+⨯
-+ ………………………4分 ＝4．
………………………5分
19．解：解不等式①，得 3<x ， ………………………2分
解不等式②，得
1-≥x ， ………………………4分
∴原不等式组的解集为31<≤-x ． ………………………5分
20．解：)1)(1()12(-+--x x x x
＝)1(22
2
---x x x ………………………2分 ＝122
2+--x x x
＝12
+-x x ． ………………………3分 ∵022=--x x ，即22
=-x x ． ………………………4分 ∴原式＝1)(2
+-x x ＝2＋1＝3． ………………………5分 21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分
依题意得
5
321212=-x x ， ………………………2分
解方程得 x ＝10. ………………………3分 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分 答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分 22．解:(1)Δ＝)3(14)32(2
2
k k k -⨯⨯--
………………………1分
＝k k k k 12491242
2
+-+-＝9>0，
∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分
(2)解法一： 把0=x 代入方程03)32(2
2
=-+--k k x k x 中，
得 032
=-k k ，
解得 0=k ，或3=k ． ………………………3分 当0=k 时，原方程化为032
=+x x ，
解得 31-=x ，02=x ； ………………………4分 当3=k 时，原方程化为032
=-x x ， 解得 31=x ，02=x ．
综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分 解法二：∵Δ＝9，由求根公式，得
2
3
)32(129)32(21±-=⨯±-=
k k x ，，
∴原方程的根为k x =1，32-=k x ． ………………………3分 当01==k x 时，332-=-=k x ； ………………………4分 当032=-=k x 时，31==k x ．
综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．
∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分 （2）解法一：∵菱形ABCD ，
∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，
∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝2
1
AC ＝4，
∴S △DOC ＝
OC OD ⋅2
1＝4321
⨯⨯＝6． ………………………3分
在Rt△OBC 中，
H
B A
C
D E
F
O
BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝
BC OB ＝5
3
． 作FH ⊥OC 于点H ，
在Rt△CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝
FC FH ＝5
3
， ∴FH ＝
53CF ＝5
12
． ………………………4分 ∴S △OCF ＝
FH OC ⋅21＝5
12421⨯⨯＝524．
∴S 四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋
524＝5
54． ………………………5分
解法二：∵菱形ABCD ，
∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ， ∴OD ＝OB ＝
21BD ＝3，OA ＝OC ＝2
1
AC ＝4， ∴S △DCB ＝
OC DB ⋅21＝462
1
⨯⨯＝12． ………………………3分 在Rt△OBC 中，
BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝
BC OB ＝5
3
． 作OG ⊥BC 于点G ，
∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC CF ＝5 4＝1． 在Rt△OCG 中，sin ∠OCG ＝
OC OG ＝5
3
， ∴OG ＝
53OC ＝5
12
． ………………………4分 ∴S △OBF ＝
OG BF ⋅21＝512121⨯⨯＝56．
∴S 四边形OFCD ＝S △DCB S △OBF
＝12
56＝554
．
…………5分
24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；
G
B A
C
D
E
F
O (亿件)
补全条形统计图如图； …………2分 （2）140×60%×＝亿元； …………4分
答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约亿元的损失． （3），，，，，，其中之一． ………………………5分 25．（1）证明：如图，连接OD ，
∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，
∴∠EDO ＝90°．
1分
∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ，
∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，
∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，
∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt△CED 和Rt △BDA 中， ∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，
∴CD ＝BD ＝22AD AB -＝12． ∴13
1212⨯＝
CE ＝13144
． ………………………5分 26．（1）1<AD <5； ………………………2分
（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分
∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，
P
∴△BDF ∽△CDP ． ………………………4分
即PA ·CD ＝PC ·BD ． ………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴交于点C (0，3)， ∴3=c ； ………………………1分 ∵抛物线c bx x y ++=
2
2
1的对称轴为2=x ， ∴22
12=⨯-
b ，
解得2-=b ， ………………………2分 ∴抛物线1C 的解析式为322
12
+-=
x x y ． ………………………3分 （2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=
2
2
1． ………………………4分 当抛物线经过点A (2，0)时，
022
1
2＝k +⨯， 解得2-=k ． ………………………5分
∵O (0，0)，B (2，2)， ∴直线OB 的解析式为x y =．
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==k x y x y 2
21,， 得0222
=+-k x x ，（*） 当Δ＝k 214)2(2
⨯⨯--＝0，即2
1
=
k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点，
此时方程（*）化为0122
=+-x x ， 解得1=x ，
即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是21
2<
<-k ．
分 28．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ，∠ABC ＝45°，
∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH
＝45°，
∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ，
∴∠
1＝∠2． ………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，
∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分 ②解法一：如图1－1，
∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，
∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°． ………………………4分
解法二：如图1－2，
过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE ＝90°，
即∠4＋∠5＝90°．
又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4． 在△AHE 和△BHF 中， ⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠，，
，
3421BH AH ∴△AHE ≌△BHF ， ………………………3分 ∴EH ＝FH ．
∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形，
∴∠BEH ＝45°． ………………………4分 29．解：（1）令x x =+-12，解得3
1
=
x ， 图1－2
图1－1
图2
∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(31，3
1
)； ………………………2分 令x x ＝12
+，即012
＝+-x x ，
∵根的判别式Δ＝114)1(2
⨯⨯--＝－3<0，
∴方程01
2
＝+-x x 无实数根， ∴函数12
+=x y 的图象上不存在和谐点．
3分 （2）令x c x ax ＝++42
，即032
＝c x ax ++，由题意，Δ＝ac 432
-＝0，即94=ac ，
又方程的根为2
3
23=-a ，
解得1-=a ，4
9
-
=c ． ………………………4分 ∴函数4
342
-
++=c x ax y ，即342
-+-=x x y ， 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分
由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342
-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1， ∴42≤≤m ． ………………………6分 （3）04
5
<<n －，或10<<n ． ………………………8分
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。