2019届高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理(全国通用)
2019届高三数学一轮复习目录(理科)
2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。
2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)
2019高考数学复习专题：逻辑与命题(含解析)一、考情分析在高考数学中，集合是一个重要的考点，难度通常为中等或中等以下。
考查的主要形式是判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定，以及充分条件与必要条件的判断。
这些知识点常常与其他知识点交织考查，其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围是本节中的一个难点。
二、经验分享1.两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性。
2.注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别。
3.充分条件、必要条件的三种判定方法包括定义法、集合法和等价转化法。
4.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上。
解题时需要注意将条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，同时要注意区间端点值的检验。
5.对于“p∨q”、“p∧q”、“p”等形式命题真假的判断，需要确定命题的构成形式，判断其中命题p、q的真假，然后确定“p∧q”、“p∨q”、“p”等形式命题的真假。
6.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。
要判断特称命题是真命题，只需在限定集合内至少找到一个x＝x，使p(x)成立。
7.对全（特）称命题进行否定的方法包括找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词，以及对原命题的结论进行否定。
8.已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围。
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决。
三、知识拓展1.从集合角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件。
2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何7双曲线(一)课件理
(6)双曲线形状与 e 的关系：k＝ba＝
c2－a2 a
＝
ac22－1 ＝
e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线
的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开
口就越开阔．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．
(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线．
离心率
渐近线
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c c2＝a2＋b2
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
关于 x 轴，y 轴和原点对称
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
实轴长 2a，虚轴长 2b
e＝ca(e>1)
xa±yb＝0(或 y＝±bax)
y2;0，b>0)的
离心率分别是e1，e2，则
1 e12
＋
1 e22
＝1(此结论中两条双曲线为共轭
双曲线)．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．(课本习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦 点坐标为________．
答案 ( 26，0)
(2)(2018·广东普宁市华侨中学期末)过双曲线 x2－y42＝1 的左 焦点 F1 作一条直线 l 交双曲线左支于 P，Q 两点，若|PQ|＝4，F2 是双曲线的右焦点，则△PF2Q 的周长是________．
【解析】 由题意，|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2. ∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，∴|PF2|＋|QF2| ＝8.∴△PF2Q 的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12. 【答案】 12
高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用
重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练31---双曲线的方程及几何性质(解析版)
新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线课件文
[答案] 2
3．(2015·北京卷)已知(2,0)是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一个焦 点，则 b＝________.
[解析] 因为(2,0)是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一个焦点，所以 1＋b2＝4，则 b＝ 3.
[答案] A
5．已知 F1、F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦
点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的
大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是( )
A. 2x±y＝0
B．x± 2y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
[解析] 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a， 解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，而 c>a，所以|PF2|<|F1F2|，
[小题速练] 1．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线ax22－y92＝1(a>0)的一条渐近线方程 为 y＝35x，则 a＝________.
[解析] 因为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y ＝±bax，所以 a＝5.
[答案] 5
2．(2017·北京卷)若双曲线 x2－ym2＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________.
提示：a＝8，b＝6，c＝10，所以||PF1|－|PF2||＝16，又|PF1| ＝17，所以|PF2|＝1 或|PF2|＝33，又 c－a＝2>1，所以|PF2|＝33.
2020届高考理科数学一轮复习第9章 第6节 双曲线含答案
第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略．①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； ②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在；③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e22＝1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、选填题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2 2C．4 D．4 2解析：选C双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x24－y28＝1，故实轴长为4.2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)解析：选C∵原方程可化为x21－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.解析：因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)4．若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．解析：由题意得2a＝|(－5＋6)2＋22－(－5－6)2＋22|＝45，所以a＝25，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.答案：x 220－y 216＝1考点一 双曲线的标准方程[基础自学过关][题组练透]1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为双曲线过点P (2,1)， 所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线标准方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1＜λ＜4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x 22－y 2＝1.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝15．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[名师微点]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． [提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．(如第4题)考点二 双曲线的定义及其应用 [师生共研过关][典例精析](1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.(3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ，根据两圆外切的充要条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2＜6.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小)，且a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，则其轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， |PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22， 则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.(3)因为F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，所以F (－4,0)，设其右焦点为H (4,0)，则由双曲线的定义可得|PF |＋|PA |＝2a ＋|PH |＋|PA |≥2a ＋|AH |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9.[答案] (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2)34(3)9[解题技法]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a ＜|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．[过关训练]1．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．1 B.52C ．2D. 5解析：选A 不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝|m －n |＝4.又因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝20，即m 2＋n 2＝20.又||PF 1|－|PF 2||2＝|m －n |2＝16，所以mn ＝2.所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn ＝1，故选A.2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1解析：选A 如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F . |AG |＝|AE |＝7，|BF |＝|BG |＝3，|CE |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为x 24－y 221＝1(x ＞2)．考点三 双曲线的几何性质[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[例1] (1)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54[解析] (1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a ＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5,0)，可知半焦距c ＝5，设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形，如图，过点O 作OA 垂直于直线4x －3y ＋20＝0，垂足为A ，则易知OA 为△PFF 2的中位线，又原点O 到直线4x －3y ＋20＝0的距离d ＝4，所以|PF 2|＝2d ＝8，|PF |＝|FF 2|2－|PF 2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF 2|－|PF |＝2a ＝2，所以a ＝1，故e ＝ca＝5.[答案] (1)B (2)A考法(二) 求双曲线的渐近线[例2] (2019·武汉调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a 2＝25，b 2＝16，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35， ∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A考法(三) 求双曲线的方程[例3] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 [解析] 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ， 所以F (－2a ,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a ＝1，所以2a ＝4，解得a ＝22， 所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1.[答案] B[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：选A ∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 2解析：选C 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.3．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1―→·MF 2―→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233解析：选A 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)， MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1―→·MF 2―→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线C 上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.。
专题10 双曲线及其性质-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A．4B．2C．D．【答案】A【解析】由2,,a b c===,2PPO PF x=∴=Q，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by xa=上，则222P Pby xa=⋅==，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【名师点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F，是双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的左，右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF=，则C的离心率为AB．2专题10 双曲CD【答案】B【解析】由题可知22,PF b OF c ==，∴||PO a =， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， ∵在12PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b F PF F P O F c+-∠==，∴)222224322b c bc a b cc+-=⇒=⋅，∴e =，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等． 【答题模板】1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：第一步：将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式； 第二步：利用222b c a +=和ce a=转化为关于e 的方程或不等式； 第三步：通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 2．其他问题：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ．（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min =a+c ，|PF 2|min =c –a ．（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为22b a；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a ．（4）若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △=2tan 2b θ，其中θ为∠F 1PF 2．（5）若P 是双曲线22x a22y b -=1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a ． 【方法总结】1．双曲线定义的应用策略（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题． （3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置． 2．求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： ①c 2=a 2+b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a ．求轨迹方程时，满足条件：|PF 1|–|PF 2|=2a （0<2a <|F 1F 2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍． （2）待定系数法 一般步骤为①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程． 常见设法有①与双曲线22x a –22y b =1共渐近线的双曲线方程可设为22x a –22y b=λ（λ≠0）；②若双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，则双曲线方程可设为22x a –22yb =λ（λ≠0）；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为2x m +2y n=1（mn <0）；④与双曲线22x a –22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k -–22y b k+=1（–b 2<k <a 2）；⑤与椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）有共同焦点的双曲线方程可设为22x a λ-+22y b λ-=1（b 2<λ<a 2）．注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1（mn <0）． 3．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e，e； 4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a的值，于是e 2＝22c a ＝222a b a +＝1＋2()b a ，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即b a个解．1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±【答案】C【解析】因为双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点为（2，0），所以234a +=，故21a =，因此双曲线的方程为2213y x -=，所以其渐近线方程为y =．故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，双曲线上的点P 满足121243PF PF F F +≥u u u v u u u u v u u u u v恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A ．312e <≤B ．32e ≥C ．413e <≤D ．43e ≥【答案】C【解析】∵OP 是12F PF △的边12F F 上的中线，∴122PF PF PO+=u u u v u u u u v u u u v． ∵121243PF PF F F u u u v u u u u v u u u u v +≥，∴1283PO F F ≥u u u v u u u u v，当且仅当12,,F P F 三点共线时等号成立． 又PO a ≥u u u v ，122F F c =u u u u v ，∴86a c ≥，∴43c e a =≤，又1e >，∴413e <≤．故离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选C ． 【名师点睛】解答本题时注意两点：一是注意数形结合在解题中的应用，特别是由题意得到PO a ≥u u u v；二是根据题意得到,,a b c 间的关系，再根据离心率的定义求解，属于基础题．3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，线段2PF 的中点M ，则此双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，易求点P 的坐标为,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，中点M 的坐标为,2bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2222)2bc OM c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴224a b =，即2b a =．故选A ． 【名师点睛】本题考查双曲线的方程与简单的几何性质，考查计算能力与转化能力，属于基础题． 4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是A ．53 B ．54C ．43或53D ．53或54【答案】D【解析】33404x y y x +=⇒=-，当焦点位于横轴时，2239416b b a a =⇒=，而222c a b =+，所以22295164c a c e a a -=⇒==； 当焦点位于纵轴时，22222222416165,,3993b bc a c c a b e a a a a -=⇒==+⇒=⇒==故选D ． 【名师点睛】本题考查了通过双曲线的渐近线方程求离心率问题，解题的关键是对焦点的位置进行分类．5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()220=>y px p 与双曲线C 有相同的焦点．设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且12sin PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为AB或3 C ．2D ．2或3【答案】D【解析】不妨设P 在第一象限且()00,P x y ，则1,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 过P 作直线2px =-（抛物线的准线）的垂线，垂足为E ， 则112F PE PF F ∠=∠，故112sin sin 7F PE PF F ∠=∠=， 因1F PE △为直角三角形，故可设,2p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0P x ， 且25PE PF k ==，17PF k =，所以02052242p x k k px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得043p k x k =⎧⎨=⎩或062p k x k =⎧⎨=⎩， 若043p k x k =⎧⎨=⎩，则124F F k =，22752ke k k ==-； 若062p k x k =⎧⎨=⎩，则126F F k =，33752ke k k ==-． 综上可得，选D ．【名师点睛】离心率的计算关键在于构建,,a b c 的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离．6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线1C ：22142-=x y ，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，则双曲线2C 的离心率为 A ．3 B ．2 CD ．1【解析】由题意，双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，设双曲线2C 的方程为22(0)24y x λλ-=>，则双曲线2C =A ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中根据双曲线2C 的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线1C 相同，得出双曲线2C 的方程的形式，再根据离心率的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 到，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【解析】设双曲线的渐近线方程为()0,0by x a b a=±>>， 根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选A ．【名师点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线2212x y -=的离心率为A BCD【解析】由双曲线的方程2212x y -=可得：222,1a b ==，所以2223c a b =+=，所以2c e a ===．故选D ． 【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力，属于基础题．9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率为 A ．43 B ．53C ．54D ．2【答案】C【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为34y x =，可得34b a =，即222916c a a -=，解得e 22516=，e 54=．故选C ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则双曲线C 的离心率为A B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】设双曲线另一个焦点为F '，如下图所示．因为线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，所以MFA △是等边三角形，边长为a c +，M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，所以有23MF MF a MF a c -=⇒='+'，在MFF '△中，由余弦定理可得：'2222cos60MF MF FF MF FF ︒=+-'⋅'， 即22430a ac c +-=，解得4a c =，即4ca=，双曲线的离心率为4，故选D ． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为12,F F ，以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于,A B 两点，则四边形12F AF B 的面积为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】因为双曲线22213x y a -=的左右焦点分别为()()12,0,0F c F c -，，双曲线的渐近线方程为y x a=±0ay -=， 以它的一个焦点为圆心，半径为a 的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点， 根据焦点到渐近线的距离及双曲线中a b c 、、的关系，可得223a c a ==+⎪⎩，解得a c ==A ⎝⎭，则四边形12F AF B的面积为1212122622F AF B F AF S S ==⨯⨯=．故选D ． 【名师点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为A ．221124x y -=B ．22179x y -=C ．22188x y -=D ．221412x y -=【答案】D【解析】∵以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点）， ∴半径4R c ==，则圆的标准方程为()22416x y -+=，(),0A a ，b y a b a=⋅=，即(),B a b ，则()22416a b -+=，即2281616a a b -++=，即280c a -=，即816a =，则2a =，216412b =-=，则双曲线C 的方程为221412x y -=，故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径4c =是解决本题的关键．属于简单题．13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线()222:10y C x b b-=>的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为 A．y =B ．2y x =±C ．3y x =± D．y =【答案】D【解析】双曲线C ：()22210y x b b-=>的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2，∵1+b 2＝c 2＝4，∴b =C 的渐近线方程为y =x ，故选D ．【名师点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为F ，则点F 到C的渐近线的距离为 A ．3 BC ．a D【答案】B【解析】因为双曲线()222:103x y C a a -=>的右焦点为()0F c ，，渐近线y x =， 所以点F到渐近线y x ===B ． 【名师点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求焦点坐标与渐近线方程，以及点到直线距离公式的应用，属于基础题．若双曲线方程为22221x y a b-=，则渐近线方程为b y x a =±．15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线221x y m-=的一条渐近线为20x y -=，则实数m = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】∵双曲线的方程为221x y m-=，∴双曲线的渐近线方程为yx ，又∵一条渐近线方程为y =12x ，∴m =4．故选B ． 【名师点睛】本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m 的值，属于基础题．16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是A ．2B ．2C2D．3或2【答案】A【解析】设双曲线C 的渐近线方程为y =kx，∴k =，得双曲线的一条渐近线的方程为3y =，∴焦点在x 、y 轴上两种情况讨论： ①当焦点在x轴上时有：b c e a a ==②当焦点在y轴上时有：23a c e b a ==＝．∴求得双曲线的离心率2A ． 【名师点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案． 17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c =2，213PF F S =△，则双曲线的两条渐近线的夹角为 A ．5π B ．4πC ．π6D ．π3【答案】D【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a =1，b所以双曲线的渐近线方程为y =，可得双曲线的渐近线的夹角为π3，故选D ． 【名师点睛】本题主要考察双曲线的性质及渐近线的方程，熟练掌握其性质是解题的关键．18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线2y =的焦点为双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】C【解析】抛物线2y =的焦点为)，所以双曲线中c =，由双曲线方程2221x y a-=，222+=a b c，所以a =因此双曲线的渐近线方程为2y x =±，故选C ． 【名师点睛】本题考查抛物线的焦点，根据焦点求双曲线的方程和渐近线方程，属于简单题． 19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，P 为双曲线右支上一点，若点P 关于双曲线中心O 的对称点Q 满足AP k ⨯14AQ k =，则双曲线的离心率为 A1BCD1【答案】B【解析】设(,),(,),P x y Q x y --∵AP k ⨯14AQ k =， ∴222000014y y y y y x a x a x a x a x a -----⋅=⋅==----+-， ∵22221x y a b -=，∴22222=()b y x a a-，∴222222()14b x a ax a -=-， ∴a =2b ，∴222244()a b c a ==-，∴2254a c =，∴2e =．故选B ． 20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线C的一个焦点坐标为0)，渐近线方程为2y x =±，则C 的方程是 A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【答案】B【解析】因为双曲线C的一个焦点坐标为),所以c =又因为双曲线C的渐近线方程为2y x =±，所以有2b a=a ⇒=，c =而c =1a b ==，因此双曲线方程为2212x y -=，故选B ．【名师点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了解方程、运算能力．21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是 A1B1C D 【答案】C【解析】不妨设P 在第一象限，由于12PF F △是有一个内角为23π的等腰三角形，故()2P c ，代入双曲线方程得2222431c c a b -=，化简得4224480c a c a -+=，42810e e -+=，解得2e =，故e =C ． 【名师点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题．22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，已知椭圆的离心率为134e =，则双曲线的离心率2e =AB ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】椭圆22221x y a b+=左右焦点分别为12,F F ，椭圆的离心率为134e =，不妨令4,3a c ==，则b =221167x y +=，双曲线22221x y m n-=的一条渐近线交椭圆于点P ，且满足12PF PF ⊥，可设(),,0,0P s t s t >>，可得()13,PF s t =---u u u r ，()23,PF s t =--u u u u r ，则222291167s t s t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22329499s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入双曲线方程渐近线方程n y x m =±，可得224932n m =，双曲线的离心率为：28e ===．故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线,a b 之间满足的关系是解题关键．23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F ，点()0Q （c 为半焦距）．P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6．则双曲线C 的方程为___________．【答案】2213y x -=【解析】设双曲线右焦点为2F ，则122PF PF a -=，所以122PF PQ a PF PQ +=++， 而2PF PQ +的最小值为22QF c ==，所以1PF PQ +最小值为226a c +=，又2c a =，解得12a c ==，，于是23b =，故双曲线方程为2213y x -=． 【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的定义，及双曲线的离心率，考查了计算能力，属于中档题．24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】3【解析】∵21AF AF ⊥，∴12AF F △是直角三角形，又O 是12F F 中点，∴AO c =，又A 在双曲线渐近线上，∴(,)A a b ，∴12tan AF F ∠=2b ac =+， 变形可得：22230c ac a --=，()(3)0c a c a +-=，∴3c a =，3ce a==．故答案为：3． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右顶点A 作x 轴垂线，交渐近线于点P ，则OP c =，AP b =．。
高考数学总复习考点双曲线教案
2019届高考数学总复习考点双曲线教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2019届高考数学总复习考点双曲线教案，希望能给大家带来帮助!高三数学理科复习40-----双曲线【考纲要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单性质。
【自学质疑】1.双曲线的轴在轴上，轴在轴上，实轴长等于，虚轴长等于，焦距等于，顶点坐标是，焦点坐标是，渐近线方程是，离心率，若点是双曲线上的点，则，。
2.又曲线的左支上一点到左焦点的距离是7，则这点到双曲线的右焦点的距离是3.经过两点的双曲线的标准方程是。
4.双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于。
5.与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程为【例题精讲】1.双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求该双曲线的方程。
2.已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么之积是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。
3.设双曲线的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。
【矫正巩固】1.双曲线上一点到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为。
2.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是。
3.若双曲线上一点到它的右焦点的距离是，则点到轴的距离是4.过双曲线的左焦点的直线交双曲线于两点，若。
则这样的直线一共有条。
【迁移应用】1. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的2倍，则该双曲线的离心率2. 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为。
3. 双曲线的焦距为4. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则5. 设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为.要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
高考数学(文科)总复习 9.4 双曲线及其性质
- a,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= b
y0= 2 y0 =
x0 2x0
y1 y2 =-
x1 x2
23,又知kAB=-1,∴-
3 2
×(-1)=- a ,∴ a =- 3 ,故选A. bb2
答案 A
方法技巧
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
考点清单
考点一 双曲线的定义及其标准方程
考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 ||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|. (2)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支. 当2a=|F1F2|时,轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线. 当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2
过两个已知点,则双曲线方程可设为 m + n =1(mn<0),也可设为Ax2+By2= 1(AB<0).
例1 设双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 27 36
交点的坐标为( 15 ,4),则此双曲线的标准方程是
.
解析 解法一:椭圆 2x72 + 3y62 =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 ay22 -
的距离d= | 4 | ≤ 2 ,即2b2+8≥16,∴b2≥4,又知双曲线离心率e= c =
2019届高三数学(理科)一轮复习计划表
章（单元）名称
节名称
计划复习时间
课时
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
9。1-9。6
4
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
9。7-9。8
4
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
9。9—9。12
4
第二章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
9。13—15
3。30—3。31
2
第二节排列与组合
4。1—4.2
3
第三节二项式定理
4.3—4.4
3
第四节随机事件的概率
4.5-4.6
3
第五节古典概型
4。7—4.8
3
第六节几何概型
4。9—4.10
3
第七节离散型随机变量及其分布列
4。11—4。12
4
第八节n次独立重复试验与二项分布
4.13—4。15
4
第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布
10。29-10.30
4
第三节三角函数的图像和性质
11.5—11。6
4
第四节函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单应用
11。7—11。8
4
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11。9—11.10
4
第六节简单的三角恒等变换
11。12—11。14
4
第七节正弦定理和余弦定理
11。15—11.17
5
第四章平面向量、复数
第一节平面向量的概念及其线性运算
11.18—11。20
4
第二节平面向量基本定理及其向量坐标运算
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析
§9。
4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于 （ ) A 。
1 B 。
17C.1或17 D 。
以上均不对 答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（ ）A 。
x 24-y 212=1 B 。
x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。
x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。
若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（ ）A 。
实半轴长相等B 。
虚半轴长相等C 。
离心率相等 D.焦距相等 答案 D考点二 双曲线的几何性质5。
已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。
1答案 D6。
双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（ ） A 。
2 B.2√2 C 。
4 D 。
4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。
y=±14x B.y=±13xC 。
y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。
2019届高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件文新人教B版
-7知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
������2 ������2 ������2 (1)双曲线方程������2 − ������2 =λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是������2 − ������2 ������ ������ = 0, 即 ± =0. ( ) ������2 ������ ������ ������2 ������2 (2)关于 x,y 的方程 ������ − ������ =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线. ������2 (3)与双曲线 ������ ������2 ������2 为 − =λ(λ≠0). ������ ������ ������2 − ������ =1(其中 mn>0)共渐近线的双曲线方程可设
������2 − 2 =1(a>0,b>0)的离心 ������ 关闭
(
答案
)
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
2.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一 条渐近线的距离为( )
A. 3
B. 3m
C.3
D.3m
关闭
双曲线 C
������ x,即 ������
-3知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2 a2
− b 2 =1(a>0,b>0)
Байду номын сангаас
y2
y2 a2
− b 2 =1(a>0,b>0)
双曲线(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
年理数天津卷】已知双曲线的离心率为
到双曲线同一条渐近线的距离分别为，且
B. C. D.
【答案】C
（则可得：，不妨设：
双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则
，双曲线的离心率：，据此可得：
则双曲线的方程为
的左、右焦点分别为为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分，则的值为（
C. 52
D.
位于双曲线的左支，则：
：
若为直角三角形，则
B. 3
C.
D. 4
【答案】
年浙江卷】双曲线的焦点坐标是−，，0)，(2，−)，【答案】
O PF中，
1 ()22
+
2b a
是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则
B. 2
C.
D.。
高考数学第一轮复习第九章 §9.7双曲线
9m－28n＝1， ∴
72m－49n＝1，
解得mn＝＝－－271155.，
∴双曲线的标准方程为2y52 －7x52 ＝1.
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴ S△F1PF2＝华
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而 根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|－ |PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
例1 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝ 3
2|PF2|，则cos∠F1PF2＝__4__.
解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2 2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2，
则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2
∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
解 ∵双曲线经过点M(0,12)， ∴M(0,12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y轴上，且a＝12. 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为1y424－2x52 ＝1.
解 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
师生共研
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2018·郑州模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x_2－__y_82_＝__1_(_x_≤__－__1_) .
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第四节 双曲线
A 组 专项基础测试
三年模拟精选
一、选择题
1．(2015²山东青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 220－y 25
＝1 B.x 25－y 220
＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.x 2100－y 225＝1 解析 由题意知：b a ＝12，c ＝5，所以a 2＝20，b 2＝5，则双曲线的方程为x 220－y 25
＝1，故选A.
答案 A
2．(2015²河南开封模拟)已知a >b >0 ，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，双曲线 C 2 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为32
， 则C 1 、 C 2 的离心率分别为( ) A.12，3 B.22，62 C.64，2 D.14，2 3 解析 由题意知，a 2－b 2a ²a 2＋b 2a ＝32
，所以a 2＝2b 2，则C 1、C 2的离心率分别为e 1＝22，e 2＝62
，故选B. 答案 B
3．(2014²洛阳模拟)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为
( ) A. 5 B.52 C.10 D.102 解析 令c ＝a 2＋b 2，则c 为双曲线的半焦距长．据题意，F 1F 2是圆的直径，
∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2
.
∴(2c )2＝(3|PF 2|)2＋|PF 2|2，即2c ＝10|PF 2|.
根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a .
∴e ＝2c 2a ＝102
， ∴双曲线的离心率为
102. 答案 D
二、填空题
4．(2014²青岛一模)已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．
解析 由已知，得a ＝1，c ＝5，∴e ＝c a
＝ 5. 答案 5 5．(2014²广州一模)已知双曲线x 29－y 2
a
＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为______________．
解析 由题意得c ＝13，所以9＋a ＝c 2＝13，所以a ＝4.即双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1，所以双曲线的渐近线为2x ±3y ＝0.
答案 2x ±3y ＝0
一年创新演练 6．双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b
的最小值为________．
解析 由题意可得，k ＝b a ＝tan π3
＝3， ∴b ＝3a ，则a 2＝b 23，∴e ＝1＋b 2a
2＝2. ∴a 2＋e b ＝b 2
3＋2
b ＝b 3＋2b
≥2b 3³2b ＝263
. 当且仅当b 3＝2b ，即b ＝6时取等号．。