2019年浙江省中考《第38讲：阅读理解型问题》课后练习含答案

课后练习38 阅读理解型问题A 组1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，1， 2C ．1，1， 3D ．1，2， 33．对点(x ，y )的一次操作变换记为P 1(x ，y )，定义其变换法则如下：P 1(x ，y )＝(x ＋y ，x －y )；且规定P n (x ，y )＝P 1(P n －1(x ，y ))(n 为大于1的整数)．如P 1(1，2)＝(3，－1)，P 2(1，2)＝P 1(P 1(1，2))＝P 1(3，－1)＝(2，4)，P 3(1，2)＝P 1(P 2(1，2))＝P 1(2，4)＝(6，－2)．则P 2019(1，－1)＝( )A ．(0，21008)B ．(0，－21008)C ．(0，－21009)D ．(0，21009)4．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2(x ＋1x )；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x(x ＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2(x ＋1x )＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是( ) A ．2 B ．1 C ．6 D ．105．定义[]p ，q 为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．(1)若特征数是[]2，m ＋1的一次函数为正比例函数，求m 的值；(2)已知抛物线y ＝(x ＋n )(x －2)与x 轴交于点A 、B ，其中n >0，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且△OAC 的面积为4，O 为原点，求图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．6．(2019·杭州)如图1，⊙O 的半径为r (r >0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′·OP ＝r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”，如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA ＝60°，OA ＝8，若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长．第6题图7．点P 是双曲线y ＝k x(x ＞0)上一点，以点P 为圆心，2为半径的圆与直线y ＝x 的交点为A 、B ，则称线段AB 是双曲线y ＝k x (x ＞0)的径长．如图，线段AB 是双曲线y ＝k x(x ＞0)的径长．(1)当⊙P 与x 轴和y 轴都相切时，求双曲线y ＝k x(x ＞0)的径长及k 的值； (2)若点P 在双曲线y ＝4x(x >0)上运动，当径长等于23时，求点P 的坐标．第7题图8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________________；(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是____________________；(3)如图2，已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．第8题图B 组9．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，则称矩形ABCD 为方形．(1)设a ，b 是方形的一组邻边长，写出a ，b 的值(一组即可)；(2)在△ABC 中，将AB ，AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4的对边分别在B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4，BC 上，如图2所示．①若BC ＝25，BC 边上的高为20，判断以B 1C 1为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以B 3C 3为一边的矩形为方形，求BC 与BC 边上的高之比．第9题图10．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB ′C ′，即如图1，∠BAB ′ ＝θ，AB ′AB ＝B ′C ′BC ＝AC ′AC＝n ，我们将这种变换记为[θ，n ]． (1)如图1，对△ABC 作变换[60°，3]得△AB ′C ′，则S △AB ′C ′∶S △ABC ＝____________________；直线BC 与直线B ′C ′所夹的锐角为____________________度；(2)如图2，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、C ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为矩形，求θ和n 的值；(3)如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BC ＝1，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、B ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为平行四边形，求θ和n 的值．第10题图11．(2019·绍兴)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A 的斜平移，如点P (2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A 的坐标为(1，0)．(1)分别写出点A 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；(2)如图，点M 是直线l 上的一点，点A 关于点M 对称的点为点B ，点B 关于直线l 对称的点为点C .①若A 、B 、C 三点不在同一条直线上，判断△ABC 是否是直角三角形？请说明理由；②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n 的值．第11题图12．(2019·衢州)定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．第12题图(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图2，已知抛物线C∶y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．C组13．(2019·广东模拟)定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：(1)如图1，已知A 、B 、C 在格点(小正方形的顶点)上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ；(2)如图2，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC ＝BD .求证：四边形ABCD 是对等四边形；(3)如图3，在Rt △PBC 中，∠PCB ＝90°，BC ＝11，tan ∠PBC ＝125，点A 在BP 边上，且AB ＝13.用圆规在PC 上找到符合条件的点D ，使四边形ABCD 为对等四边形，并求出CD 的长．第13题图参考答案课后练习38 阅读理解型问题A 组1．A 2.D 3.D 4.C5. (1)由题意得 m ＋1＝0.∴ m ＝－1. (2)由题意得点A 的坐标为(－n ，0)，点C 的坐标为(0，－2n )．∵ △OAC 的面积为4，∴ 12×n ·2n ＝4，∴ n ＝2.∴ 点A 的坐标为(－2，0)，点C 的坐标为(0，－4)．设直线AC 的解析式为 y ＝kx ＋b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2k ＋b ，－4＝b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4.∴ 直线AC 的解析式为 y ＝－2x －4. ∴ 图象过A 、C 两点的一次函数的特征数为[]－2，－4.6．∵OA ′·OA ＝16，OA ＝8，∴OA ′＝2，同理可得OB ′＝4，即B 点的反演点B ′与B 重合，设OA 交圆于点M ，连结B ′M ，∵∠BOA ＝60°，OM ＝OB ′，∴△OB ′M 为正三角形，又∵点A ′为OM 的中点，∴A ′B ′⊥OM ，根据勾股定理，得：OB ′2＝OA ′2＋A ′B ′2，即16＝4＋A ′B ′2，解得：A ′B ′＝2 3.7．(1)∵⊙P 与x 轴和y 轴都相切，半径为2，∴点P 到x 轴和y 轴的距离都是2，∴点P (2，2)，∴线段AB 经过圆心，2＝k 2，∴径长AB ＝4，k ＝4. (2)设点P (m ，n )，点P 在直线l 上方时，如图，作PC ⊥AB 于点C ，作PD ⊥x 轴于点D ，PD 与AB 交于点E ，连结PB ，∴C 是AB 中点， ∴BC ＝3，∴PC ＝PB 2－BC 2＝4－3＝1，∵点E 在直线y ＝x 上， ∴OD ＝ED ＝m ，∴∠OED ＝45°，∴∠PEC ＝45°，∴PE ＝2PC ＝2，∴n ＝PD ＝DE ＋PE＝m ＋2，∵点P 在双曲线y ＝4x上，∴mn ＝4，∴m (m ＋2)＝4，解得m 1＝2，m 2＝－22，∵点P 在第一象限，∴m ＝2，∴n ＝22，∴点P (2，22)，类似地求出点P 在直线l 下方时坐标为(22，2)，∴点P 的坐标为(2，22)或(22，2)．第7题图 第8题图8．(1)1 (2)0<sad A <2 (3)设AB ＝5a ，BC ＝3a ，则AC ＝4a .如图，在AC 延长线上取点D 使AD ＝AB ＝5a ，连结BD .则CD ＝a .BD ＝CD 2＋BC 2＝a 2＋（3a ）2＝10a .∴sad A ＝BD AD ＝105. B 组9．(1)答案不唯一，如a ＝2，b ＝4； (2)①以B 1C 1为一边的矩形不是方形．理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，交B 1C 1于E ，交B 2C 2于H ，交B 3C 3于G ，交B 4C 4于N ，则AM ⊥B 4C 4，AM ⊥B 3C 3，AM ⊥B 2C 2，AM ⊥B 1C 1，∵由矩形的性质得：BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥B 4C 4，∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽△AB 4C 4，∴B 1C 1BC ＝AE AM ，B 2C 2BC ＝AH AM ，B 3C 3BC ＝AG AM ，B 4C 4BC ＝AN AM，∵AM ＝20，BC ＝25，∴B 1C 1＝5，B 2C 2＝10，B 3C 3＝15，B 4C 4＝20，AE ＝4，AH ＝8，AG ＝12，AN ＝16，∴MN ＝GN ＝GH ＝HE ＝4，∴B 1Q ＝B 2O ＝B 3Z ＝B 4K ＝4，即B 1C 1≠2B 1Q ，B 1Q ≠2B 1C 1，∴以B 1C 1为一边的矩形不是方形； ②∵以B 3C 3为一边的矩形为方形，设AM ＝h ，∴△ABC ∽△AB 3C 3，∴B 3C 3BC ＝AG AM ＝35，则AG ＝35h ，∴MN ＝GN ＝GH ＝HE ＝15h ，当B 3C 3＝2×15h 时，BC AM ＝23；当B 3C 3＝12×15h 时，BC AM ＝16.综合上述：BC 与BC 边上的高之比是23或16.第9题图10．(1)3 60 (2)∵四边形ABB ′C ′是矩形，∴∠BAC ′＝90°.∴θ＝∠CAC ′＝∠BAC ′－∠BAC ＝90°－30°＝60°.在Rt △ABB ′中，∠ABB ′＝90°， ∠BAB ′＝60°，∴n ＝AB ′AB＝2. (3)∵四边形ABB ′C ′是平行四边形，∴AC ′∥BB ′，又∵∠BAC ＝36°，∴θ＝∠CAC ′＝∠ACB ＝72°∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B ＝∠BAC ＝36°，而∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△B ′BA ，∴AB 2＝CB ·B ′B ＝CB ·(BC ＋CB ′)，而CB ′＝AC ＝AB ＝B ′C ′， BC ＝1, ∴AB 2＝1·(1＋AB )，∴AB ＝1±52，∵AB ＞0，∴n ＝B ′C ′BC ＝1＋52. 11．(1)∵点P (2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，点A 的坐标为(1，0)，∴点A 经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A 经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4)；(2)①连结CM ，如图1：由中心对称可知，AM ＝BM ，由轴对称可知：BM ＝CM ，∴AM ＝CM ＝BM ，∴∠MAC ＝∠ACM ，∠MBC ＝∠MCB ，∵∠MAC ＋∠ACM ＋∠MBC ＋∠MCB ＝180°，∴∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；②延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图2：∵A (1，0)，C (7，6)，∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，由①得∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为(13，0)，设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵C ，E 点在直线上，可得：⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋b ＝0，7k ＋b ＝6，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝13，∴y ＝－x ＋13，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B (n ＋1，2n )，由2n ＝－n －1＋13，解得：n ＝4，∴B (5，8)．第11题图12．(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)； (2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A (0，0)，如图，作PG ⊥x 轴于点G ，∵点P 的坐标为(1，3)，∴AG ＝1，PG ＝3，P A ＝AG 2＋PG 2＝12＋（3）2＝2，∵tan ∠P AB ＝PG AG＝3，∴∠P AG ＝60°，在Rt △P AB 中，AB ＝P A cos ∠P AB ＝212＝4，∴点B 坐标为(4，0)，设y ＝ax (x －4)，将点P (1，3)代入得：a ＝－33，∴y ＝－33x (x －4)＝－33x 2＋433x ； (3)当点Q 在x 轴上方时，由S △ABQ ＝S △ABP 知点Q 的纵坐标为3，则有－33x 2＋433x ＝3，解得：x 1＝3，x 2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q 的坐标为(3，3)；当点Q 在x 轴下方时，由S △ABQ ＝S △ABP 知点Q 的纵坐标为－3，则有－33x 2＋433x ＝－3，解得：x 1＝2＋7，x 2＝2－7，∴点Q 的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)；综上，满足条件的点Q 有3个：(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．第12题图C 组13．(1)如图1所示(画2个即可)．第13题图(2)如图2，连结AC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ADB 和Rt △ACB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴Rt △ADB ≌Rt △BCA ，∴AD ＝BC ，又∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是对等四边形． (3)如图3，点D 的位置如图所示：①若CD ＝AB ，此时点D 在D 1的位置，CD 1＝AB ＝13；②若AD ＝BC ＝11，此时点D 在D 2、D 3的位置，AD 2＝AD 3＝BC ＝11，过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥PC ，垂足为E ，F ，设BE ＝x ，∵tan ∠PBC ＝125，∴AE ＝125x ，在Rt △ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2，即x 2＋⎝⎛⎭⎫125x 2＝132，解得：x 1＝5，x 2＝－5(舍去)，∴BE ＝5，AE ＝12，∴CE ＝BC －BE ＝6，由四边形AECF 为矩形，可得AF＝CE ＝6，CF ＝AE ＝12，在Rt △AFD 2中，FD 2＝AD 22－AF 2＝112－62＝85，∴CD 2＝CF －FD 2＝12－85，CD 3＝CF ＋FD 3＝12＋85，综上所述，CD 的长度为13，12－85或12＋85.。