数列求和的常用方法

数列求和的常用方法

永德二中 王冬梅

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

第一类：公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列的前n 项和公式

2

)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式

⎪⎩

⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n

3、常用几个数列的求和公式

（1）、)1(213211

+=

+⋯+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221

2++=

+⋯+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331

3)]1(21[321+=+⋯+++==∑=n n n k S n

k n 第二类：乘公比错项相减（等差⨯等比）

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⨯的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。

例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。

解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0

Ⅱ、若q =1，则)1(2

1321+=

+⋯+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，

则12321-+⋯+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +⋯+++=3232 ②

①式—②式：n n n nq q q q q S q -+⋯++++=--1321)1(

⇒)1(11132n n n nq q q q q q

S -+⋯++++-=- ⇒)11(11n n

n nq q

q q S ----= ⇒q

nq q q S n

n n ----=1)1(12 综上所述：⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21)0(02q q q nq q q q n n q S n

n n 且 解析：数列}{1-n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

第三类：裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

1、乘积形式，如：

（1）、1

11)1(1+-=+=n n n n a n （2）、)1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）、])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n （4）、n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=

-则 2、根式形式，如：

n n n n a n -+=++=111

例2：求数列211⨯，321⨯，4

31⨯，…，)1(1+n n ，…的前n 项和n S 解：∵

)1(1+n n =111+-n n

1

11313121211+-+⋯++-+-=n n S n ⇒1

11+-=n S n 例3：求数列

311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S 解：由于：)2(1+n n =2

11(21+-n n ） 则：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-=)211()4121()311(21n n S n ⇒ )2

111211(21+-+--=n n S n ⇒ 4

2122143+-+-=n n S n 解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项。

第四类：倒序相加法

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

例4：若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。

（1）)1()1(

)2()1()0(f n n f n f n f f a n +-+⋯+++=，数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论； （2）求数列}1{1

+⨯n n a a 的的前n 项和n T 。 解：（1）、)1()1()2()1()0(f n

n f n f n f f a n +-+⋯+++=（倒序相加） ⇒)0()1()2()1()1(f n

f n n f n n f f a n ++⋯+-+-+= 1221101=⋯=-+=-+=+n

n n n n n 则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。

⇒）（

1222222+=+⋯+++=n a n ⇒1+=n a n ⇒21+=+n a n

⇒11=-+n n a a

从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。