双曲线方程及几何性质教案
教学设计2：3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
21yb的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程21yb，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线21,(0,0)ya bb的角度分析）类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程2221x yb研究双曲线的范21yb，可以直观发现双曲线上的（，纵坐标的范围是y R．“数”的角度：根据方程22221x y ab ①， 得到222211x y a b，∴x ≤－a ，或x ≥a ；y R ．由（x ，y ）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线x a 及其左侧，以及直线x a 及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．“数”的角度：用−x 代x ，−y 代y ，−x ，−y 分别代x ，y ，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x 轴有两个交点A 1（－a ，0）和A 2（a ，0），与y 轴没有公共点．这与椭圆不同. “数”的角度：令y =0，得到x =a 或x =−a ，所以A 1（－a ，0）和A 2（a ，0）， 令x =0,y 2=−b 2,没有实数解。
追问2：能否类比椭圆把B 1（0，－b ），B 2（0，b ）两点画在y 轴上？线段B 1B 2有何几何意义？师生活动：引导学生画图，学习线段B 1B 2称为双曲线的虚轴，△22A OB 是直角三角形，且2OA a ，22A B c ，2OB b ，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．追问3：在双曲线29x －24y ＝1位于第一象限的曲线上画一点M ，测量点M 的横坐标x M 以及它到直线3x －2y＝1的距离d ，向右拖动点M ，观察x M 与d 的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB 软件作图，在向右拖动点M 时，点M 的横坐标M x 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0.经过两点A 1，A 2作y 轴的平行线x ＝±3，经过两点B 1，B 2作x 轴的平行线y ＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy ．可以发现，双曲线22194x y 的两支向外延伸时，与两条直线032x y 逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线22221x y ab （0a ,0b ）的两支向外延伸时，与两条直线0x ya b逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线的定义及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义；（2）掌握双曲线的标准方程及性质；（3）能够运用双曲线方程解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）通过公式推导，培养学生的逻辑思维能力；（3）通过实例分析，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；（3）引导学生感受数学与实际生活的联系，提高学生的应用意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义；（2）双曲线的标准方程及性质。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导过程；（2）双曲线性质的理解与应用。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 教学素材：双曲线的图形、公式、例题。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习椭圆的定义及标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的定义及标准方程。
2. 自主探究：（1）学生根据已有知识，尝试给出双曲线的定义；（2）学生根据椭圆的标准方程，尝试推导双曲线的标准方程。
3. 课堂讲解：（1）讲解双曲线的定义，强调关键要素；（2）讲解双曲线的标准方程及性质，示例分析；（3）讲解双曲线方程在实际问题中的应用。
4. 巩固练习：（1）学生独立完成课后习题；（2）教师挑选代表性题目进行讲解，解答学生疑问。
5. 课堂小结：（2）强调双曲线性质的重要性及应用。
五、课后作业1. 完成课后习题；2. 运用双曲线方程解决实际问题；3. 预习下一节课内容。
六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程，分析它们的异同；2. 探讨双曲线在现实生活中的应用实例，如天文学、物理学等；3. 介绍双曲线的几何性质，如焦点、准线、离心率等。
七、课堂互动1. 提问：双曲线与椭圆、抛物线有何区别？2. 提问：双曲线的标准方程如何推导？3. 提问：双曲线在实际生活中有哪些应用？八、教学评价1. 课后习题完成情况；2. 学生对双曲线定义及标准方程的理解程度；3. 学生运用双曲线方程解决实际问题的能力。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
双曲线的简单几何性质教案
课题：双曲线的简单几何性质（1）一．教学目标：1.知识与能力了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.2.过程和方法通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质.3.情感态度与价值观通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系．二．教材分析：本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
三．学情分析：学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。
通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。
四．重点难点：重点：双曲线的简单几何性质难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程五．教学过程：1.导入新课：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ）在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率等）这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 2.学案反馈：通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。
同时通过速记、提问方式加强记忆。
3.探究活动：通过阅读教材5856P P -,完成下表合作探究一：已知双曲线方程求性质.144169122近线方程顶点坐标、离心率、渐、焦点坐标、的实半轴长、虚半轴长：求双曲线例=-y x自主学习——组内展开讨论——展示——小组评价 .43,450,40,4-0,50,5-34191622x y a c e b a y x ±======-渐近线方程：离心率））、（顶点坐标（））、（焦点坐标（，虚半轴长可得实半轴长程解：把方程化为标准方类题通法：1.求双曲线性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点位置，这样便于直接的写出a ，b 的数值，进而求出c 。
人教版高中数学双曲线教案
人教版高中数学双曲线教案
教学目标：
1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 掌握双曲线的标准方程和图像。
3. 能够利用双曲线方程解决实际问题。
教学重点：
1. 双曲线的定义。
2. 双曲线的标准方程和图像。
3. 利用双曲线求解实际问题。
教学难点：
1. 确定双曲线的焦点和渐近线。
2. 利用双曲线方程解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备双曲线的相关知识讲解。
2. 准备多媒体教学资料，用于展示双曲线的图像。
3. 准备练习题，用于学生巩固练习。
教学过程：
一、引入：
教师通过举例引入双曲线的概念，并讲解双曲线的定义和性质。
二、概念讲解：
1. 讲解双曲线的标准方程和图像。
2. 解释双曲线的焦点和渐近线的概念。
三、例题演练：
1. 讲解双曲线的方程与图像的对应关系。
2. 解答一些实际问题，让学生应用双曲线方程进行求解。
四、课堂练习：
教师出示多个双曲线练习题，让学生在课堂上进行解答。
五、总结：
教师总结本节课的重点内容，强调学生需要重点掌握的知识点。
六、作业布置：
布置相关的练习题作业，要求学生在家中完成，并在下节课上进行讲解和批改。
教学反思：
通过本节课的教学，发现学生在理解双曲线的概念和性质上存在一定的困难，需要进一步加强讲解和练习。
在下节课上会结合学生的实际情况进行有针对性的教学。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
初中双曲线画图教案模板
初中双曲线画图教案模板一、教学目标1. 让学生了解双曲线的定义和性质，能够识别和描述双曲线。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对双曲线的探究，培养学生的合作意识，提高学生的探究能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义和性质2. 双曲线的画法3. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 双曲线的定义和性质2. 双曲线的画法四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究双曲线的性质和画法。
2. 利用多媒体技术辅助教学，直观展示双曲线的图形和变化过程。
3. 组织小组合作学习，培养学生之间的交流与协作能力。
五、教学步骤1. 导入新课通过展示生活中常见的双曲线图形，如卫星轨迹、声音传播等，引发学生对双曲线的兴趣，进而导入新课。
2. 自主探究引导学生通过观察、分析、归纳双曲线的性质，如渐近线、离心率等。
学生通过自主探究，总结双曲线的性质，并能够描述双曲线的基本特点。
3. 教师讲解根据学生的自主探究结果，教师进行讲解，详细介绍双曲线的定义、性质和画法。
通过示例，讲解双曲线的画法步骤，让学生掌握双曲线的画图技巧。
4. 练习与反馈学生根据教师讲解的方法，独立完成双曲线的画图练习。
教师对学生的练习进行点评，及时给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5. 应用拓展引导学生运用双曲线的知识解决实际问题，如卫星轨道计算、信号传播等。
通过解决问题，让学生体会数学在生活中的应用价值。
六、教学评价1. 学生能够准确描述双曲线的性质和画法。
2. 学生能够运用双曲线的知识解决实际问题。
3. 学生具备良好的合作意识和探究能力。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的辅导措施，促进学生的全面发展。
八、课后作业1. 复习双曲线的定义和性质，总结双曲线的基本特点。
2. 练习双曲线的画图，熟练掌握画图技巧。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
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【知识导图】教学过程一、导入1情境引入类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆•思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。
强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节2、步步深化类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆•二、知识讲解平面内到两定点％F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线.即||MF i — MF?] =2a.【教学建议】注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，得到的轨迹是双曲线的一支•教师讲完定义后，可顺带引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量—2 2x y2 - 2=1(a 0,b 0)a b2 2y x\ - 2 = 1(a 0,b 0)a bx_a 或x_-a, y R x R, y - -a,或y - a 渐近线c2二a2b2(c a 0, c b 0)注意:对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A_a, 0，Aa,0 A 0, - a ，A0,a考点2双曲线的标准方程与几何性质标准方程离心率 e =c，e 1,,其中c=a准线2x*c线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长•线段AA2 =2a '线段B B叫做双曲线的虚B〔B 2 实虚轴轴，它的长B^二加；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系2 2 2(1) 区分双曲线中的a , b , c 大小关系与椭圆a , b , c 关系，在椭圆中a = b + c ,而在双曲 线中 c 2= a 2 + b 2.⑵双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e € (0,1).2 2 .22x y b y x(3)双曲线孑一4 1(a > 0, b > 0)的渐近线方程是y =±x , a 2 — b 2 = 1(a > 0, b > 0)的渐近线方 a程是y =苇x.求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法:(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ,b ,c 的c方程或不等式，利用b 2= c 2— a 2和e = a 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式 求得离心率的值或取值范围.(2) 求渐近线时，利用c 2= a 2+ b 2转化为关于a , b 的方程或不等式•双曲线渐近线的斜率与离心率的关系1.a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线，其中 e —. 2，渐近线.2•共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲2 2线•它们互为共轭•互为共轭双曲线的方程为：笃一爲 "(a ■ 0,b 0)和a b2 2 ■^2x y = 1(a 0, b 0) •a b1 1性质：①它们有相同的渐近线 ②它们的四个焦点共圆•③离心率满足 —= 1.e 〔 e ?类型一 双曲线的定义与标准方程2 2若k € R ，贝U k>3是方程 —-——=1表示双曲线的( )k —3 k+3b 叮c — ak=±；=VA .充分不必要条件 C .充要条件 【答案】 A2 2 2 2【解析】 若k>3，则方程 —y1，表示双曲线；若方程 — y1表示k-3k+3k-3k+3'k —3A 0 'k —3C 0双曲线，则丿或丿解得k>3或k< — 3•故选A.k 十3 > 0k +3 C 0!U【教学建议】引导学生思考本题左边为加号时的情形2 2【总结与反思】本题考查双曲线的定义， — 丄=1是双曲线的充要条件是 m 、n 异号.m n已知双曲线两个焦点的坐标为F , (-5,0), F 2 (5,0),双曲线上一点P 到F ,, F 2的距离之差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程•【解析】 由题意知，双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为2 2笃-告=1(a 0,b 0)a b2 2所求双曲线标准方程为x y1.169【总结与反思】此题考查双曲线定义，点到两定点的距离之差为定值的点可能为双曲线， 比较定点距离与距离之差的大小，写出标准方程.2 2已知双曲线 二生 =1(a 0,b 0)的一条渐近线平行于直线I : y = 2x +10,双曲线的一a 2b 2 个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为()2 2A.x -y=15202 2B.x -y=120 5 C .3x 225 1003x 2 3y 2’ D.110025b【解析】双曲线的渐近线方程为 y = ±x ,b因为一条渐近线与直线 y = 2x + 10平行，所以a = 2.B •必要不充分条件 D •既不充分也不必要条件又因为双曲线的一个焦点在直线y=2x+ 10 上，所以一2c+ 10= 0，所以c= 5.故由c2= a2+ b2,得25= a2+ 4a2,贝a2= 5, b2= 20,2 2从而双曲线方程为 乞一_L=i .520【答案】A【总结与反思】本题考查利用双曲线的几何性质求标准方程， 属简单题，明白渐近线与双曲线标准方程的关系即可作答•类型二 双曲线的几何性质a. 4 2【答案】 C【总结与反思】本题考查双曲线的离心率与标准方程的关系、双曲线渐近线•离心率与渐近线斜率都与a 、b 、c 之间的比值有关，所以求解时并不需求出 a 、b 、c 的值，只要知道关系 即可作答•已知F 为双曲线C ：X 2 — my 2= 3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.；3 B . 3 C. , 3m D . 3m2 2x 2 2厂——2 【解析】由题意知，双曲线的标准方程为3m — 3 = 1，其中a = 3m , b = 3,故c =、J a + b = 3m + 3.不妨设F 为双曲线的右焦点，故 F 「3m + 3, 0) •其中一条渐近线的方程为 y = /m l衍•rn^i|x ,即x — ,my = 0，由点到直线的距离公式可得 d = ”+(_ , m )2=, 3，故选A.【答案】 A【总结与反思】 本题考查双曲线的简单几何性质， 考虑先将方程化为标准形式， 再把需要用的量用m 表示出来，得出距离公式，约去变量m ,得到距离..2 2已知双曲线E : a 2—活=1(a>0, b>0)，若矩形ABCD 的四个顶点在 E 上，AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2AB|= 3|BC|,贝y E 的离心率是 ___________ . 【答案】2x 2 y 2亚已知双曲线C : a 2-1(a>0, b>0)的离心率为，则C 的渐近线方程为()D . y = ±1 y = Ex •故选 C .1A . y = ±jx 1B . y = ±3x1C . y = ±2x【解析】•--5_1 乂1 , ••• C 的渐近线方程为【解析】 如图所示，由题意得|BC|= |F I F 2|= 2 c. 又 2|AB = 3|BC|, 3••• |AF i |= 2C.在 Rt △ AF 1F 2 中, 5 3• 2a = |AF 2|— |AF I |= 2c — 2c = c. c e = a = 2.【总结与反思】本题考查离心率的求法，在几何背景下求离心率问题要考虑矩形的特点， 利用三角形求离心率类型三 直线与双曲线综合问题2V过双曲线X 2— 3 = 1的右焦点且与X 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A , B 两点,则 |AB|=()4」3A. 3 B . 2 .3 C . 6 D . 4 .32【解析】双曲线X 2 —卷=1的右焦点为F(2, 0)，其渐近线方程为,3x±y = 0. 不妨设 A(2, 2 3), B(2，— 2 _3)，所以 RB|= 4.3，故选 D. 【答案】D【总结与反思】本题考查双曲线渐近线与直线与双曲线综合应用，属简单题， 直接求出渐近线，带入焦点横坐标，求出两点纵坐标即可得出两点距离.已知双曲线的中心在原点，焦点 F i , F 2在坐标轴上，离心率为 .2,且过点(4, —. 10).(1)求双曲线方程；⑵ 若点M(3, m)在双曲线上，求证： MF 1MF 2= 0；(3) 求厶F 1MF 2的面积.【解析】(1) T e = 2, •设双曲线方程为X 2— y 2=入 又•••双曲线过(4，— •. 10)点,•入=16— 10= 6, •双曲线方程为X 2— y 2= 6.|AF 2| = r ： ； |AF 1 f +|F i F 2 f = 2=5C .⑵证明 法一 由⑴知a = b = 6, c = 2 3, •-F i （ - 2.3, 0）, F 2（2 .3, 0）,mm•kMF i=3 + 2 3, kMF 2 = 3_ 23,2 2 m m•- kMF i kMF 2 = 9— 12= — 3, 又点（3, m ）在双曲线上，•••m 2= 3,• - kMF i kMF 2 = — 1, MF 」MF 2, M ? 1 MI F 2 = 0.法二 •/ M |1 = （— 3— 2風—m ）, M F 2= （2羽—3,— m ）,• M F 1 MIF 2= （3 + 2 肩）（3 — 2护）+ m 2=— 3+ m 2.•/ M 在双曲线上， • 9— m 2= 6, •- m 2 = 3, •- M"F 1 MF 2= 0.⑶•••在△ F 1MF 2 中，|F 1F 2|= 4 ,3，且 |m|= 3,1 1• S A F 1MF 2= 2 IF 1F 2I | m|= 2^4 . 3 X. 3= 6.【教学建议】双曲线中的证明问题， 可以利用双曲线的性质将所要证明的结论用坐标关系表 示出来，即可证得结论•四、课堂运用其中一个交点为 P ,则|PF 2|=（1.下列双曲线中，渐近线方程为 y = ±2x 的是（）2y-=142m x 2“B .— y 2=1 C .2y-=122x 2 “D . — y 2=12.已知F 1, F 2是双曲线 x 2 的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线相交,B . 4C . 2D . 13.已知双曲线 C : 2x 2 - a 2y b 2=1(a 0,b 0）的离心率 5e = 4，且其右焦点为F 2（5, 0），则双 曲线C 的方程为（)2 222A. Xy =1B • x -y=1 439 162222C. X .y =1f x D • - -y =1 16934222 2x yx y4.若实数k 满足0<k<9 , 则曲线25— 9 — =1与曲线25— k — 9 = 1的（）A •焦距相等B •实半轴长相等C .虚半轴长相等D •离心率相等2 2x V5. 设F 1 , F 2分别为双曲线 孑一b ^= 1（a>0, b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1| 9+ |PF 2|= 3b , |PF 1| • |PF 2|=4ab ,则该双曲线的离心率为 （）答案与解析1. 【答案】A2y_x 2- 2 = 0,得 y = 士.2x ；对于 D ，令 2 — y 2= o ,得 y = ±2x.故选 A . 2. 【答案】A【解析】由题意知 PF 2I —|PF i |= 2a ,由双曲线方程可以求出 |PF i |= 4, a = 1,所以|PF 2= 4 + 2 = 6.故选 A. 3. 【答案】C b ! 5+ a 2 = 4,又右焦点为 F2(5 ,e =0),2 2& y故双曲线C 的方程为16— 9 = 1.故选C. 4. 【答案】A【解析】••• 0<k<9, ••• 9— k>0, 25— k>0. 2 2 2 2x y x y• 25 — 9— k = 1与25 — k — 9 = 1均表示双曲线, 又 25+ (9 — k)= 34 — k = (25 — k) + 9 ,【解析】对于A ,2令 X 2-4得y = i2x ;对于2X B ，令4-y 2= 0，得 y =£x ；对于 c ,令【解析】由题意得 a + b = C ，所以 a = 16, b = 9,•••它们的焦距相等，故选 A.2 2 x y5•【答案】g -16= 1（x>3）•【解析】如图，△ ABC与内切圆的切点分别为G, E, F.AG|= |AE|= 8, |BF|= |BG|= 2, |CE|= |CF|,所以|CA|—|CB|= 8-2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A, B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支,1（x>3）.2 2 2 21. 已知a>b>0，椭圆C i的方程为冷•占=1，双曲线C2的方程为冷= 1 , C i与C2a2b2a2b2的离心率之积为~2，则C2的渐近线方程为（）A . x± 2y= 0 B. 2x± y= 0 C. x±2y= 0 D. 2x± y= 02 2< y_2. 已知双曲线6—3= 1的焦点为F" F2,点M在双曲线上且MF」x轴，则F1到直线F?M的距离为（）3 ,6 5』6 6 5A~^B. 6 C.5 D. 62 2x yE：孑一b2= 1（a>0, b>0）上一点，M , N分别是双曲线E的左，右顶点,1直线PM , PN的斜率之积为5.求双曲线的离心率;答案与解析1. 【答案】A【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和良，则e1= a , e2= a .因为3 a —b3 b4 1 b _2e1 e2= 2，所以a^ = 2，即a = 4，二a= 2 .故C2的渐近线方程为x±. 2y= 0.2. 【答案】C_6M( —3, 2 ).2 2x y 方程为9—16= 3•已知点P（x o, y°）（x o M±）是双曲线【解析】如图所示，由x y6 —3 = 1知,F1(—3,0), F2(3,0).设M( —3, y o),则y o= ±2，取直线MF2 的方程为 2 x+ 6y— 2 = 0，即x+ 2.6y—3= 0.线AB 的方程为答案与解析1.【答案】B【解析】(1)：飞=2, •可设双曲线方程为 x 2— y 2 = •••过点(4,—屮0), •16— 10=入即 X= 6.•双曲线方程为x 2 — y 2 = 6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中 a = b = 6,• c = 2.3, •- F 1(— 2 .3, 0)、F 2(2 3, 0),..kMF1= 3 + 2：3，kMF 2= 3 —3，2 2m mkMF 1 kMF 2= 9— 12=一 3，•••点(3, m)在双曲线上，• 9 — m 2= 6, m 2= 3, 故 kMF 1 kMF 2=— 1, • MF 1 X MF 2. •- M F 1 M F 2= 0. 2. 【答案】B|一 3 — 3| 6•••点F i 到直线MF 2的距离为d = -1 * 24= 5.姮3.【答案】T2 2x V【解析】由点P(x o , y o )(x o M±)在双曲线a 2— b 2= 1上， =2yb -20 X- a宀， y ° y o 1 22由题意有x o — a*+ a = 5，可得a = 5b ,c 2= a 2 + b 2= 6b 2,1.已知双曲线的中心在原点， 焦点F 1、F 2在坐标轴上, 离心率为 2, 且过点(4, — .10).点M(3, m)在双曲线上.(1)求此双曲线方程; ⑵求证：M F 1 M F 2= 0.2.如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点, M , N 是双曲线的两顶点，若M , O ,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是B . 2C. .33.过点P(8,1)的直线与双曲线 x 2— 4y 2= 4相交于A 、D . B 两点, ) 2且P 是线段AB 的中点，则直ca2a a e i 2轴长为7=2,所以离心率的比值e2=c=2.a3.【答案】2x-y—15= 0【解析】设A、B坐标分别为(x i, y i)、(x2, y2),则x2—4y? = 4 ①x2- 4y2=4②①一②得(X i + X2)(x i —X2)—4(y i + y2)(y i —丫2)= 0.T P是线段AB的中点，x i + X2= i6, y i + y2= 2,y i—y2 X i + x2…x i —X2= y i + y2 = 2.•••直线AB的斜率为2,•••直线AB的方程为2x—y—i5 = 0.本节主要讲了三部分：双曲线的定义与标准方程、双曲线的几何性质、双曲线综合应用•双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF i—|PF2||= 2a（其中0v 2a v |F i F2|）与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题；双曲线的标准方程与几何性质的考查比较频繁，主要是对离心率、渐近线与标准方程之间的「 2 2关系进行考查•其中e= —, e i, c= a2亠b2，渐近线方程可以将斗-—=i中a a2b2的i化成0求直线方程，避免忽略焦点在y轴的情形；双曲线综合应用中主要是双曲线与直线、双曲线与椭圆的综合应用，主要以大题形式考查.常用联立方程或者点差法转化条件，做题时应注意总结做法.2 2X，若顶点到渐近线的距i.已知双曲线= i（a 0,b 0）的渐近线方程为a b离为3，则双曲线的方程为（）第ii页2x 3y 2彳2x2y 2x2y 3x 22y A.1B. 1C.1 D.14412 4412442 2x y_2.设双曲线a 2— 9 = 1（a>0）的渐近线方程为3xi2y = 0，则a 的值为（ ）A . 4B . 3C . 2D . 12 23.已知双曲线 爲-彳 1过点2,-1，则双曲线的离心率为（）a 4A. .2B. 2C. 3D. 42 2x _y_4. 若双曲线E : ~9 — 16= 1的左、右焦点分别为 F i , F 2,点P 在双曲线E 上，且|PF i |= 3,则 |PF 2| 等于（） A . 11 B . 9 C . 5D . 3答案与解析 1. 【答案】B【解析】渐近线方程化简为x_、3y=0,顶点坐标 a,0，顶点到渐近线的距离为2y 1.选 B . 42.【答案】C【解析】渐近线方程可化为 y =±x.T 双曲线的焦点在x 轴上,3. 【答案】C【解析】由题意可得:4. 【答案】B【解析】由题意知 a = 3, b = 4,「. c = 5.由双曲线的定义有||PF 1—|PF 2||= |3—|PF 2||= 2a = 6, •-|PF 2| = 9.解得a = 2-、3，根据渐近线方程的斜率 - a于，可得心,所以双曲线的方程为X 212 翌.由题意知a>0,••• a = 2.故选C.据此有 a = 1 ,b 22=4,c 2 =a 2 b 2，则，解得a = a巩固2 21.“a _2”是 直线I :2ax -y 2a 2 =0 ( a ■ 0)与双曲线C :笃1的右支无交点a 4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 C的离心率为2，焦点为F i, F 2,点A 在C 上.右|F 识|= 2|F 2A|,则cos / AF 2F 11B. 12 2C :予一b 2= 1(a>0, b>0)，若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于A , B两点且AF = 3BF ，则双曲线离心率的最小值为 ( )A. ,2B. 3C . 2D . 2 2答案与解析 1. 【答案】A【解析】因为直线I 过双曲线C 的左顶点且双曲线 C 的右支无交点，所以直线I 的斜率不小22于双曲线C 的渐近线y x 的斜率，即2a _ ，又a 0，所以a _ 1，故选A.a a2. 【答案】AJF 1AI - |F 2A|= 2a ,【解析】由题意得|F 1A|= 2|F 2A|, 解得 |F 2A|= 2a , |F 1A|= 4a ,c又由已知可得2= 2,所以c = 2a ，即|F 1F 2|= 4a , |F 2A f + IF 1F 2I 2— IF 1AI 2 4a 2 + 16a 2— 16a 2 1 所以 cos / AF2F 1=2 |F 2A| |F 1F 2| = 2>2aX4a = 4•故选 A.3. 【答案】C2.已知双曲线1 A] 3.已知双曲线【解析】因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于A , B 两点且AF = 3BF ，故直线与双曲线相 设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2)，右焦点 F(c , 0)(c>0)，因为 AF = 3BF ，所以 c — x i = 3(c — x), 3x 2 —cx i = 2c ,由图可知，X iJ a , x 2^a ，所以一x i^a , 3x 2>3，故 3x 2 — x i >4，即 2c 》4, a 》2 即e >2故选C.1•已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为120 ° 则E 的离心率为( )C.3 D. ,22 22. 已知双曲线7 — b "= 1(b >0),2 23.过双曲线2 7(9 0,b 0)的左焦点向圆宀作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线截得的线段长为 辰，则该双曲线的离心率为 _______________答案与解析 1.【答案】D2 2【解析】设双曲线方程为 孑一活=1(a > 0, b > 0), 不妨设 M 在第一象限，|AB|=|BM|= 2a , / ABM = 120°.N ,易得 |BM|= 2a , |MN|= 3a ，贝U M(2a , 3a).【解析】如图，b双曲线渐近线方程 OB : y = 2x. 、 「 b 、 1b 2b设 B X 0, 2X 0，贝V 2 X 0 2x 0= 8 ,交只能如图所示的情况，即 A 点在双曲线的左支, B 点在双曲线的右支,A.以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的 两条渐近线相交于 A , B , C A. 4 — 4 = 1 2 2x y_ C. 4 — 4 = 1D 四点，四边形ABCD 的面积为 x 2 4y ! B.4 — 3 = 1 2 2x y_D. 4 — 12 = 12b ,则双曲线的方程为( )如图，过M 作x 轴垂线，垂足为 2 24a 3a-~2 ~2 — A•- a — b —2.【答案】DX o=1 ,••• 12+ b2=22,• b2= 12.2 2x y•••双曲线的方程为4—12=1.3.【答案】a【解析】不妨设圆的切线过焦点F1 -c,0，借助图形可得其斜率k ，方程为by = a x c与渐近线y = b X联立可解得交点横坐标为X1b a2a cr~2 2b - a；方程为ay x c与渐近线by=-—x联立可解得交点横坐标为a% -x22a2bb2- a2c则由题设：x r 二3a也即-2'j2-a2c-_2a b bb2='、3b，所以4 e2-1 =3 e2-2 ［即4 2 2 23e -16e *16=0，解之得e =4或e所以e = 2或e二生3，应填答案。