3.平面任意力系

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[例] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为 P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B
由 X 0
N S B sin 0 Y 0
P S B cos 0
P S B , N P tg cos
mO ( Fi ) 0
①一矩式

mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不 AB 连线
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
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[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）
解除约束
由 mA ( Fi ) 0
P2a N B 3a 0, N B
X 0
XA 0
2P 3
Y 0 YA N B P 0,
P YA 3
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[例] 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动, MA为限制转动。
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§3-3
平面任意力系的简化结果 合力矩定理
简化结果： 主矢 R，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0，即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可 以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中 心O无关。 ③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的 合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合 力）, R R 。（此时与简化中心有关，换个简化 中心，主矩不为零） 10
' YD 6 YG 1 0 50 YD 8.33( kN ) 6
③ 再 研 究 整 体
mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 YB 100(kN)
Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN) 32
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
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大小： M O mO ( Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 + — （转动效应） 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的 代数和） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
车刀
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固定端（插入端）约束
说明 ①认为Fi这群力在同一 平面内;
M O ( R ) mO ( Fi ) ———合力矩定理
i 1
n
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩 等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
12
§3-4
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
由于 R =0 为力平衡 MO =0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R和主矩 MO 都等于零，即：
[例2] 已知:P=100N，AC=1.6m，BC=0.9m，CD= EC =1.2m，AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD垂直于 斜面； 求 S BD ?和A点的支座反力？
解：研究整体，画受力图， 选坐标列方程 mB 0,YA 2.5 P1.20
' X 0,
解得: X A 136N; YA 48N
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得： qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN)
1
第三章
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不 汇交为一点又不相互平行的力系叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变 成已知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
2
第三章
平面任意力系
§3–1 力的平移
§3–2 平面任意力系向一点简化
§3–3 平面任意力系的简化结果 • 合力矩定理
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再研究轮
mO ( F ) 0
S A cos R M 0
X 0
X O S A sin 0
Y 0 S A cos YO 0
M PR X O P tg
YO P
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[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
《平面一般力系习题课》
本章小结：
④ R ≠0，MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可
以继续简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢
合力 R的作用线位置
MO d R
11
结论： 平面任意力系的简化结果 ： ①合力偶MO ； ②合力 R n 合力矩定理：由于主矩 M O mO ( Fi )
i 1
而合力对O点的矩 mO ( R ) Rd M O (主矩)
16
§3-5 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡 一、静定与静不定问题的概念 我们学过： X 0 平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个 Y 0 独未知数。 力偶系 mi 0 一个独立方程，只能求一个独立未 知数。 X 0 Y 0 平面任意力系 三个独立方程，只能求三 mO ( Fi ) 0 个独立未知数。 独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题 17
[ 例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中 用位移谐调条件来求解。
18
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成 的系统叫∼。 [例 ]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
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物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体） 解物系问题的一般方法： 由整体 局部，由局部 整体
6
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
Ry Y 1 1 R 主矢 方向： tg tg Rx X （移动效应）
平面平行力系的平衡方程 X 0 成为恒等式 一矩式 二矩式 Y 0 m A ( F ) 0 A B 连线不平行于 力线 m A ( F ) 0 mB ( F ) 0
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平面汇交力系的平衡方程 平面力偶系的平衡方程
X 0 m A ( F ) 0 成为恒等式 Y 0
30
[例3] 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重。求：A ,B和D点的反力（看出未知数多 余三个，不能先整体求出，要拆开）
解：①研究起重机
由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
50 510 YG 50( kN ) 2
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② 再研究梁CD 由mC 0
M B 100011000( Nm)
④ 解方程得
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① 再研究CD杆 ② 受力如图
mE 0,SCA sin 45o CE PED 0
P ED 10001 1414( N ) o sin 45 CE 0.7071
28
③ 取E为矩心，列方程 ④ 解方程求未知数 SCA
2 2 R ' ( X ) ( Y ) 0 M o mo ( Fi ) 0
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X
0 Y 0
X 0
mA ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上
力F 力偶 ( F，F )
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说明： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系： 力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关， m=F•d ③力线平移定理是力系简化的理论基础。
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§3-2 平面任意力系向一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化 汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
八、例题分析 [例1] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B 点的反力？ 解： ① 选整体研究 ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy, B点列方程为:
X 0 X B 0; Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
§3–4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §3–5 静定与静不定问题的概念 •物体系统的平衡 平面一般力系习题课
3
§3-1
力的平移
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F 平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 F 对新作用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力+力偶 二、平面一般力系的合成结果 ① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0; ② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0; ③ 平衡