2020-2021学年福建省高三适应性考试数学(理)试卷及答案解析

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2021年1月福建省新高考适应性考试物理试题及答案

2021年1月福建省普通高等学校招生适应性测试物理试题一、单项选择题:本题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动。

转轴位于线圈平面内并与磁场方向垂直产生的交变电流i 随时间t变化关系如图所示，则A.该交变电流频率是0.4HzB.该交变电流有效值是0.8AC.t=0.1s时，穿过线圈平面的磁通量最小D.该交变电流瞬时值表达式是sin5πt2.在图示的双缝涉实验中，光源S到缝S1、S2距离相等，P0为S1S2连线中垂线与光屏的交点。

用波长为400 nm的光实验时，光屏中央P0处呈现中央亮条纹（记为第0条亮条纹），P处呈现第3条亮条纹。

当改用波长为600nm的光实验时，P处将呈现A.第2条亮条纹B.第3条亮条纹C.第2条暗条纹D.第3条暗条纹3.人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。

下列说法正确的是A.周期是24小时的卫星都是地球同步卫星B.地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小C.近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大D.近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大4.已知某种核电池的电能由23894Pu 衰变释放的能量提供，该衰变方程形式上可表示为23894Pu →42Z A X He +。

某次由静止23894Pu 衰变释放的能量为E ，射出的α粒子动能是E α，假定23894Pu 衰变释放的能量全部转化为新核和α粒子的动能。

则A.A=234，Z=92，119118E E α=B.A=234，Z=92，119117E E α=C.A=236，Z=94，119118E E α=D.A=236，Z=94，119117E E α=二、多项选择题:本题共4小题，每小题6分，共24分每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

5.如图，同一竖直平面内A 、B 、C 、D 四点距O 点的距离均为r ，0为水平连线AB 的中点，C 、D 为AB 连线中垂线上的两点。

2021年福建省普通高中学业水平合格性考试(会考 )适应性练习语文试卷五

2021年福建省普通高中学业水平合格性考试适应性练习语文试卷(五)(考试时间:90分钟满分:100分)考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名写在试题卷、答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试卷和答题卡一并收回。

一、现代文阅读(27分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，6分)阅读下面的文字，完成1～3题。

无论是花样百出的AI测温，还是5G“赋能”的无人车，互联网技术在抗疫中所能做到的，是利用其先天优势，在“链条关系”上做文章一一但也仅限于此，它们只能在“切断新冠肺炎传播途径”上敲敲边鼓。

而随着更多的企业开始复工，病毒潜伏期延长，这些所谓的“高端技术”也显得日渐无趣且无用。

在根除传染病上，目前我们无法指望互联网公司拿出什么硬核技术，它们现有的技术甚至很难直接参与到疾病的治疗环节。

即便是云计算，能起到的作用也止步于新冠病毒测序和预测突变。

在寻找、研制针对新冠病毒的特效药和广谱疫苗方面，互联网公司的作用仍然十分有限。

术业有专攻，不能强求互联网公司具备生物医药公司那种实力。

相比之下，不在正面战场刷存在感，而在大后方开辟新战场，以实力维持人们正常生活的互联网公司，更值得尊敬。

比起2003年的“非典”时期，如今的互联网公司已经有了当时无法企及的完备供应链和物流实时的信息传播平台，全套的网上服务和在线办公、在线教育系统。

京东依靠在武汉的亚洲一号智能园区，成了武汉市民来购生活用品的渠道之一；钉钉被学生狂刷了一拔差评，也成了特殊时期的空中课堂；武汉市民出行不便，有滴滴的支援车队保障紧急需求……这些“即使无法复工、复学也能运行的技术”，正是“非典”时期的互联网公司不具备的优势。

福建省2023届高三高考模拟(高三毕业班适应性练习卷)省质检数学试题(含解析)

福建省2023届高三高考模拟（高三毕业班适应性练习卷）省质检数学试题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合{}lg A x y x ==，{}2B y y x ==，则（）A ．RA B ⋃＝B ．R A B ⊆ðC ．A B B I ＝D ．A B⊆2．（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x 2-2x +2=0的一个根，则|z |=（）A．1B C D ．23．（2023·福建·统考模拟预测）函数()2ln 2x x f x x-+＝的图象大数为（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A ．360πsin 2n n︒≈B ．180πsinn n︒≈C ．π≈D ．π≈5．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -（a >0，b >0）的离心率为12F F ，，1F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A ．2B C ．3D ．46．（2023·福建·统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A ，B ，C 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（）A ．72B ．84C ．88D ．1007．（2023·福建·统考模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>8．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ:，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（）A ．45B ．53C ．54D ．90二、多选题9．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量()1,2a =r ，()4,2b =-r ，则（）A ．()()a b a b-⊥+r r r r B ．a b a b-=+r r r r C ．b a -r r 在a r 上的投影向量是a -r D ．a r在a b +r r 上的投影向量是()3,4-10．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数f (x)=sin x x ωω(ω>0)满足:f (π6)=2,f (2π3)=0,则( )A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f (π3x -)是奇函数C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f (x )的值域为[-2,2]11．（2023·福建·统考模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，PQ 垂直l 于点Q ，直线QF 与C 相交于M ､N 两点.若M 为QF 的三等分点，则（）A ．cos ∠12PQM ＝B ．sin∠QPM C ．NF QF=D．PN 12．（2023·福建·统考模拟预测）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为侧面11AA D D 上的点，N 为侧面11CC D D 上的点，则下列判断正确的是（）A．若BM M 到直线1A DB ．若11B N AC ⊥，则1N CD ∈，且直线1B N //平面1A BD C ．若1M A D ∈，则1B M 与平面1A BDD ．若1M A D ∈，1N CD ∈，则M ，N三、填空题13．（2023·福建·统考模拟预测）写出过点()2,0且被圆224240x x y y -+-+=截得的弦的一条直线的方程___________.14．（2023·福建·统考模拟预测）已知{an }是单调递增的等比数列，a 4+a 5=24，a 3a 6=128，则公比q 的值是___________.15．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.四、解答题16．（2023·福建·统考模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC V 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，求四边形ABCD 面积的最大值.17．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，28a =，212122log n n n a a a -++=，2122216n a n n a a ++=.(1)证明：{}21n a -是等差数列：(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.18．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.x y t1021ii x=∑101i ii x y=∑1021ii t=∑101i ii t y=∑2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110ii t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.(2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．（2023·福建·统考模拟预测）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2ABPC ==，PA PB ==M 是棱PD 上的点，且四面体MPBC 的体(1)证明：PM MD =；(2)若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.20．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆221()116A x y ++=：，直线1l 过点20(1)A ，且与圆1A 交于点B ，C ，BC 中点为D ，过2A C 中点E 且平行于1A D 的直线交1AC 于点P ，记P 的轨迹为Γ(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O 关于1A ，2A 的对称点分别为1B ，2B ，点1A ，2A 关于直线y x =的对称点分别为1C ，2C ，过1A 的直线2l 与Γ交于点M ，N ，直线1B M ，2B N 相交于点Q .请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①QBC △的面积是定值；②12BB B V 的面积是定值：③12QC C △的面积是定值.21．（2023·福建·统考模拟预测）已知函()()e xf x x a =+，R a ∈.(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.五、双空题22．（2023·福建·统考模拟预测）如图，一张4A 纸的长AD ＝，宽2AB a =，.M ，N 分别是AD ，BC 的中点.现将ABD △沿BD 折起，得到以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，则三棱锥A BCD -的外接球O 的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN 被球O 截得的线段长的取值范围是___________.参考答案：1．D【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可.【详解】因为{}{}lg 0A x y x x x ===>，{}{}20B y y x y y ===≥，所以A B ⊆，所以A B B ⋃＝，A B A ⋂＝，又{}0A x x =>，所以{}R 0A x x =≤ð，不满足R A B ⊆ð，故选项A 、B 、C 错误，选项D 正确，故选：D.2．B【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.【详解】因为方程x 2-2x +2=0是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即1,222i 1i 2z ±==±，即1i 1i z z =±⇒==m 故选：B 3．C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数()f x 为奇函数.然后得到0x >时，()ln 2x f x x x x =-++，根据导函数求得()f x 的单调性，并且可得极大值点011ex <<，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠.又()()2ln 2x x f x x---+--＝()2ln 2x x f x x-+==--，所以，函数()f x 为奇函数.当0x >时，()2ln 2ln 2x x x f x x x x x-+=-++＝，则()22221ln 2ln 11x xx x x f x x x x ⋅-++'=-+-=-.设()2ln 1g x x x =++，则()120g x x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以，()g x 在()0,∞+上单调递增.又421e 210e g -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，21e 110e g -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以，根据零点存在定理可得，0211,e e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，有()00g x =，且当00x x <<时，有()0g x <，显然()22ln 10x x f x x ++'=->，所以()f x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，有()0g x >，显然()22ln 10x x f x x ++'=-<，所以()f x 在()00,x 上单调递减.因为011ex <<，所以C 项满足题意.故选：C.4．A【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内解正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n︒≈.故选：A.5．D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF S S =V V 求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan bMOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=V V ，故选：D 6．D【分析】由题意可知，若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去B 点的安排方法.同理，即可得出甲去C 点的安排方法，即可得出答案.【详解】若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.当剩余4人只去,A C 两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=；当剩余4人分为3组去,,A B C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有2343C A 36⋅=，综上可得，甲去B 点，不同的安排方法数是143650+=.同理，甲去C 点，不同的安排方法数也是50，所以，不同的安排方法数是5050100+=.故选：D.7．A【分析】构造()22xf x x =-，根据导函数可得()f x 在()0,1上单调递减，进而可得出c a >.构造()12e xh x x x =--+，根据导函数可得()h x 在()0,1上单调递减，进而由102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出()ln 20h <，整理即可得出c b <，即可得出答案.【详解】令()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，令()2ln 22xg x =-，则()2ln 220x g x '=⋅>恒成立，所以()g x ，即()f x '在R 上单调递增.又()12ln 22220f '=-<-=，所以，当()0,1x ∈时，()()10f x f ''<<恒成立，所以，()f x 在()0,1上单调递减.又()112210f =-⨯=，0ln 21<<，所以()()ln 210f f >=，即，ln 222ln 20->，即220a a ->，即2a a a ->，所以c a >.令()12e xh x x x =--+，则()212ln 21xh x x'=--，令()212ln 21xk x x =--，则()232ln 220xk x x '=⋅+>在()0,∞+恒成立.所以，()k x ，即()h x '在R 上单调递增.又()()12ln 2112ln 210h '=--=-<，所以，当01x <<时，有()()10h x h ''<<成立，所以，()h x 在()0,1上单调递减.又121132e 2e 0222h ⎛⎫=--+=< ⎪⎝⎭，因为42ln 21ln 0e-=>，所以，1ln 212<<，所以，()1ln 202h h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又()ln 211ln 22ln 2e 2e ln 2a h a a=--+=--+，所以，12e 0aa a--+<，所以，12e aa a-<-，即c b <.综上可得，b c a >>.故选：A.8．B【分析】由已知可推得，()5.35 5.55P ξ<<()3P X μσμσ=-<<+，根据已知以及正态分布的对称性，可求得()5.35 5.55P ξ<<0.84≈.则(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，求出函数的最大整数值，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()5.35 5.55 5.400.05 5.4030.05P P ξξ<<=-<<+⨯()3P X μσμσ=-<<+.又()()()3332P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+-<<+=0.68270.99730.842+≈=，所以，(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅.设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，则()()45454414545451C 0.840.16C 0.840.16x x x x f x f x -+-+⋅⋅=⋅⋅()()()1!44!45!10.160.161!4445!45!x x x x x x +-+=⋅=⋅>--，所以，110452.521x <=，所以()()5352f f >.()()4545454545461C 0.840.161C 0.840.16x x x x f x f x ---⋅⋅=-⋅⋅()()()!45!45!0.160.1611!4546!45!x x x x x x -=⋅=⋅<---，所以，37545377x >=+，所以()()5354f f >.所以，以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为53.故选：B.【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得(),0.84K B N :，得出()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，利用函数求出N 的最大值.9．BC【分析】根据向量的坐标运算求出()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r ，即可求出数量积以及模，判断A 、B 项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r .对于A 项，因为()()()5304150a b a b -⋅+=⨯-+⨯=-≠r r r r ，故A 项错误；对于B 项，因为5a b -=r r ，5a +=r ，所以a b a b -=+r r r r，故B 项正确；对于C 项，因为()5,0b a -=-r r ，()51025b a a -⋅=-⨯+⨯=-r rr=，所以b a -r r 在a r上的投影向量是()b a a a a a a-⋅⋅==-r r r r r r r ，故C 项正确；对于D 项，()()13245a a b ⋅+=⨯-+⨯=r r r，5a b +=r r ，所以a r 在a b +r r 上的投影向量是()()51343,4,5555a a b a b a b a b ⋅++⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭++r r r r rr r r r ，故D 项错误.故选：BC.10．ABD【分析】用辅助角公式化简()f x ,再利用22,063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()y f x =的值域为[2,2]-,故D 正确；因为203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112,33k k Z ππωπ+=∈,所以1131,2k k Z ω-=∈，因为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以222,632k k Z πππωπ+=+∈,所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k -=+,即1281k k =+，所以{1,13,25,37}ω∈L ，因为()227732sin 1212sin 1426632f k k πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以曲线()y f x =关于直线76x π=对称,故A 正确；因为()22sin 121333f x k x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222sin 12142sin 121k x k k x π=+-=+即33f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,故B 正确；取13ω=,则最小正周期2271366T πππππω==<-=,故C 错误.故选：ABD 11．ACD【分析】过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线为l 与x 交于点K ，由抛物线的定义可得1cos 2HM QMH QM ==∠，可判断A ；求出,PM QM 的长，由正弦定理可判断B ；求出,NF QF 可判断C ；求出,PN PQ 可判断D.【详解】如下图，过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线l 与x 交于点K ，由抛物线的定义知：MF HM =，因为M 为QF 的三等分点，所以1cos 2HM QMH QM ==∠，所以60QMH QFK ∠=∠=︒，所以60PQM ∠︒＝，所以cos ∠12PQM ＝，故A 正确；对于B ，在QPF △中，由抛物线的定义知：PF PQ =，60PQM ∠︒＝，所以QPF △为等边三角形，又因为1cos 2FM FK FM QFK p FM =-∠=-，解得：23FM p =，同理可得：2FN p =，所以43QM p =，因为QPF △为等边三角形，所以2FQ PQ PF p ===M 为QF 的三等分点，所以PMQ V 中，由余弦定理可得：2222cos 60PM PQ QM PQ QM =+-⋅︒，则2221641422932PM p p p p =+-⨯⋅⋅，则PM p ，所以在PMQ V 中，由正弦定理可得：sin sin QM PMQPM PQM=∠∠，代入可得43sin p QPM =∠sin∠QPM B 不正确；对于C ，2QF QM MF p =+=，2FN p =，所以QF NF =，故C 正确；对于D ，因为60,60,120QFK QFP PFN ∠=︒∠=︒∴∠=︒，所以PFN V 中，2FN PF p ==，由余弦定理可得：222222212cos1204424122PN PF FN PF FN p p p p ⎛⎫=++⋅︒=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则PN =，所以PN ，故D 正确.故选：ACD.12．BD【分析】由已知可推得M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A 项；先证明1AC ⊥平面1A BD ，结合11B N AC ⊥，即可得出1B N //平面1A BD ；建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的法向量，表示出11cos ,n B Mu r u u u u r=C 项；MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r，求出2n u u r ，即可根据投影向量，求出最小值.【详解】对于A 项，因为BM M 在以B 为半径的球上.又M 为侧面11AA D D 上的点，所以M 在球被平面11AA D D 截得的交线上.因为，AB ⊥平面11AA D D ，1AB =，BM ，所以12AM ==，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.如图1，11AM A D ⊥，则1AM =，M 到直线1A D 12-，故A 项错误；对于B 项，如图2，连结1,AC AD .因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥.又BD AC ⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C =I ，所以，BD ⊥平面1ACC .又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.同理可得，11A D AC ⊥.又BD ⊂平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以，1AC ⊥平面1A BD .又11B N AC ⊥，1B ∉平面1A BD ，所以直线1B N //平面1A BD ，故B 项正确；对于C 项，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为,,x y z 轴的正方向，如图3建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()11,0,1DA =u u u u r，()1,1,0DB =u u u r，()11,1,1DB =u u u u r .因为1M A D ∈，设()1,0,DM DA λλλ==u u u u r u u u r，()01λ≤≤，()111,1,1B M DM DB λλ=-=---u u u u r u u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r是平面1A BD 的一个法向量，则11100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，即111100x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111y z ==-，()11,1,1n =--u r是平面1A BD 的一个法向量.则111111cos ,n B M n B M n B M ⋅=u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r==又()222432111λλλ-+=-+≥，当1λ=时，有最小值1，≤=，即11cos ,n B M ≤u r u u uu r 所以，1B M 与平面1A BD C 项错误；对于D 项，由C 项知，()11,0,1DA =u u u u r ，()10,1,1CD =-u u u u r.当1MN DA ⊥，1MN CD ⊥，即MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =u u r ，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r ，则212100n DA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即222200x z y z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =，则()21,1,1n =--u u r.DC u u u r 在2n u u r=所以，M ，N两点之间距离的最小值为d =D 项正确.故选：BD.13．2y x =-（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离d =先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离1d =，得出方程，即可解出k 的值.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1，半径1r =，d ==.当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心在直线上，弦长为22r =，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，此时圆心到直线的距离1d ==，解得1k =±.所以，直线的方程为2y x =-或2y x =-+.故答案为：2y x =-.14．2【分析】利用等比数列性质得到3645a a a a =，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知3645a a a a =，联立454524128a a a a +=⎧⎨=⎩,解得45816a a =⎧⎨=⎩或45168a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是单调递增的等比数列,所以45816a a =⎧⎨=⎩，即542a q a ==.故答案为：2.15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分0x =，0x <以及0x >，分别讨论，构造函数，结合0x =处的函数值，推导得出函数的单调性，进而得出导函数的符号，即可推得答案.【详解】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22e x g x a -'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x h x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e 10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：当0x >时，()()1ln 12x ax k x +=-，根据()00k =，可推得要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，进而推得a 的取值范围.16．(1)π6；1.【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出tan C =的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O e 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【详解】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC V 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r，所以DA BA ⊥，故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅221122x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==.所以四边形ABCD1.解法二：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD u u u r 在BA u u u r上的投影向量为BA λu u u r ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .又22BA BD BA BA ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1λ=，所以BD u u u r 在BA u u u r 上的投影向量为BA u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 2θ=，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC V 外接圆O e 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC V 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝，()10B ,. 因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以12BA ⎛=- ⎝u u u r ，()cos 1,sin BD ββ=-u u u r ，代入2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即1BA BD ⋅=u u u r u u u r，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O e 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD α=+=+⋅△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD1.17．(1)证明见解析；(2)最小值为10.【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得212122n n a an a -++=，2123222n n a a n a ++++=，相乘结合已知，即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得2222221log log 4n n n a a a +++=，结合已知即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；（2）解法一：先根据（1）推出21n a n -=，然后结合已知条件得到2122n n a +=，然后计算得到910,S S ，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()()2841123kk k k S -+=+，进而得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案.【详解】（1）解法一：由212122log n n n a a a -++=，得212122n n a an a -++=，则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a a a a a an n a a -+++-+++++++=⋅=.又21214222162n n a an n a a -++==，所以2121232124n n n n a a a a -+++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.解法二：由20n a >，且2122216n an n a a ++=，则()2122222log log 16n a n n a a ++=，得2222221log log 4n n n a a a +++=，因为212122log n n n a a a -++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()21212123214n n n n n a a a a a -+++++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.（2）解法一：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.所以，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法二：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又212122log n n n a a a -++=，所以()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.当*k ∈N 时，21232k kS a a a a =++++L ()()135212462k k a a a a a a a a -=+++++++++L L ()()357211232222k k +=+++++++++L L ()()841123kk k -+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +--++⨯-=-=+-=+，所以5925156248695202323S S ⨯-⨯⨯-==+=<，()51025841562743202323S S ⨯-⨯==+=>，又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法三：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a --++++===.当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a --=++++L ()()1352124622k k a a a a a a a a --=+++++++++L L ()()357211232222k k -=+++++++++L L ()()()118411114821423k k k k k k ---++⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，所以()4925184156695202323S S ⨯--⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>.又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.18．(1)()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%(2)（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【详解】（1）由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.（2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.19．(1)证明见解析；【分析】（1）解法一：取AB 中点O ，连接PO ，CO .推导得到PO ⊥平面ABCD ，//AD 平面PBC ，根据体积即可得出答案；解法二：先证明CO ⊥平面PAB . 过M 作//MN AD 交AP 于点N ，证明得到//MN 平面PBC ，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，AB CO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD .因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，所以111433D PBC A PBC P ABC ABC V S V V PO ---⋅====⨯=△因为12M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.解法二：如图2，取AB 中点O ，连接PO ，CO ，因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =，又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，AB PO O =I ，所以CO ⊥平面PAB .所以，111332A PBC C ABP ABP S V V CO --====⋅△过M 作//MN AD 交AP 于点N ，//AD BC ，所以//MN BC .又BC ⊂平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC ，所以13M PBC N PBC C NB BP P N V V V CO S ---=⋅===△因为13A ABP P C B V CO S -⋅=△，13N NBP P C B V CO S -⋅=△，所以ABP NBP S S =△△，所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =.（2）解法一：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥.如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为//BD α，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数a ，b ，使得CQ aCM bBD =+u u u r u u u u r u u u r，所以312a b a λλ⎧=⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得431323a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .设平面BCQ 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即20330y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r u r u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法二：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .设平面α的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即30102y y z -=⎨-+=⎪⎩.取1y =，得到平面α的一个法向量)=rn .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+=r u u u r ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 设平面BCQ 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即1111120330y z y ⎧-+=⎪-=.取11x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r ur u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法三：在平面ABCD 内，过C 作//EF BD 交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ，因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作1//PP AE 交EM 的延长线于点1P ，设1EP 交AP 于点Q .所以，四边形1EDPP 是平行四边形，1PP DE =，1//PPDE .所以1QPP QAE △∽△，所以112PP PQ AQ AE ==，所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点.如图5，在平面PAB 内，作//QT PO ，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT BC ⊥，因为1PO =，2233QT PO ==，在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作//AK TN 交BC 于K ，在ABK V 中，2AB =，60ABK ∠=︒，所以AK AB ==所以23TN AK ==，因为QT BC ⊥，TN BC ⊥，QT T TN =I ，且两直线在平面内，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥.所以QNT ∠是二面角A BC Q --的平面角.在Rt QTN V 中，tan QNT QT NT ==∠cos QNT =∠所以平面BCQ 与平面ABCD .20．(1)()22:1243x y x Γ+=≠±(2)结论③正确，证明见解析【分析】（1）由几何性质知P 到1A ，2A 两点的距离之和为定值可得P 的轨迹为椭圆；（2）解法一、二：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法三：当直线2l 垂直于x 轴时求得Q 横坐标为4，当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线():1l y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法四：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程，利用()22,N x y 在椭圆上得22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，将直线2B N 的方程化为()222324x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，与直线1B M 联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.【详解】（1）由题意得，()11,0A -，()21,0A .因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D C A ⊥，又1//PE A D ，所以2PE C A ⊥，又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC AC A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以1A ，2A 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.设()2222:1x y x a a b Γ+=≠±，其中0a b >>，222a c b -=.则24a =，2a =，1c =，b ==故()22:1243x y x Γ+=≠±.（2）解法一：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()21122222y x x x y x ++=--，()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---，解得4x =-.故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422d C C=⨯⨯=⋅.解法二：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦，故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422dC C =⨯⨯=⋅.。

2023届福建省质检数学试卷答案

福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分40分。

1．D 2．B3．C4．A5．D6．D7．A8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．BC 10．ABD 11．ACD 12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

13．2y x =−，2y x =−+（只需填其中的一个即可）14．2 15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16，3a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，由正弦定理得，sin 2sin sin 6B C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ................................................................................................................. 1分又因为()()sin sin sin B A C A C =π−−=+，所以()sin 2sin sin 6A C C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ............................................................................................... 2分展开得1sin cos cos sin 2sin cos 22A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭， ........................................................ 3分即sin cos sin 0A C C A −=，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =. ........................................................................ 4分又因为()0,C ∈π，所以6C π=. .......................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=， .............................................. 8分1131222ABD CBD S S S AB AD BC CD xy =+=⋅+⋅=+△△ ..................................................................... 9分 2231312222x y ++⋅=+，当且仅当2x y =时，等号成立. 所以四边形ABCD 31. ........................................................................................ 10分解法二：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA 上的投影向量为BA λ, 所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA ⋅==，所以1λ=，所以BD 在BA 上的投影向量为BA .所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=， ......................................................................................................... 8分113sin 222ABD CBD S S S AB AD CB CD θ=+=⋅+⋅=△△. .................................................................. 9分当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD 31. ................................................ 10分解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥. 在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则113222ABD CBD S S S AB AD BD h h =+=⋅+⋅=+△△. ........................................................................ 9分当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+. ............................................. 10分解法四：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠， ......................................................................... 6分故ABC △外接圆O 的半径R =1. 即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=. 如图，以ABC △外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则1322A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0B .因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()()0,2π0,2αβ∈∈π，. 所以()13,cos 1,sin 22BA BD ββ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭，， ................................................................................... 7分代入2BA BD BA ⋅=，即1BA BD ⋅=，可得113cos 122ββ−+=，....................................... 8分即1sin 62βπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭.由()0,2β∈π可知ππ11π666β⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，，所以解得ππ=66β−或π5π=66β−，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ,D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径. 设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD αα=+=+⋅=+△△， ....................................................... 9分由()0,2πα∈知sin 1α，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1−时，S 最大，所以四边形ABCD 1. ........................................................................................ 10分 18．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由212122log n n n a a a −++=，得212122n n a a n a −++=，............................................................. 2分则2123222n n aa n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a aa a a a n n a a −+++−+++++++=⋅=， ......................................... 3分又21214222162n n aan n a a +++==， .............................................................................................................. 4分所以21212+32124n n n n a a a a −++++=， ...................................................................................................... 5分即212+3212n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. ............................................................................ 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=; ....................................................................................................................................... 8分又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===; ....................................................................................................... 9分()()9123456789135792468S a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分解法二：（1）由20n a >，且2122216n a n n a a ++=，则()2122222log log 16n an n a a ++=，............................................................................................................ 2分得2222221log log 4n n n a a a +++=， .......................................................................................................... 4分因为212122log n n n a a a −++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()2121212321=4n n n n n a a a a a −+++++++， ........................................................................................ 5分即21232+12n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. .............................................................................. 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分又212122log n n n a a a −++=，所以()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； ................................................................................................ 9分当k *∈N 时, 21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++()()357211232222k k +=+++++++++()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323k k k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+，所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<， ()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>，又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； .................................................................................................... 9分当k *∈N 时， 2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭，所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910=695227432023S S a ⨯+=++=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分．解：（1）由散点图判断ln(2012)x y c d −+=适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x的经验回归方程类型. .......................................................................................................................... 1分令ln(2012)t x =−，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102221101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i ii ii t yt y ctt==−−⨯⨯===−⨯−∑∑， ........................................................................ 2分 ˆˆ80.44 1.574.4dy ct =−=−⨯=， ....................................................................................................... 3分该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为7.444ˆyt +=，因此y 关于年份数x 的回归方程为ln(2012)7ˆ44 4.x y −+=. ........................................................... 4分所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ4 2.4074.4844y−+=+≈⨯+==. 所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%. ................................................ 5分（2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”， ..................................................................................................................... 6分则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =. ......................................................................... 7分（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112233P C P A P C A P A P C A P A P C A =++ ................................................................ 8分0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778. ............................................................................................... 9分（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P AC P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===， .............................................................. 11分因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大...................................................................... 12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为2PA PB ==，2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =. 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，所以CO AB ⊥，3CO =. 因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，ABCO O =，所以PO ⊥平面ABCD . ....................................................................................................................... 2分因为AD BC ∥，BC PBC ⊂平面，AD PBC ⊄平面，所以AD PBC ∥平面，所以1133143343D PBC A PBC P ABC ABC V V V PO S −−−===⋅=⨯⨯⨯=△. ............... 3分因为3162M PBC D PBC V V −−==， ............................................................................................................. 4分所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =. .................................................................................................................................... 5分（图1）（图2）（2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则()0,1,0A −，()0,1,0B ，()3,0,0C，)3,2,0D−，()0,0,1P ，所以311,22M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭．则()3,1,0AC =，()3,1,0BC =−，()3,3,0BD =−，()0,1,1AP =，31,1,22CM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭．因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=−=−−，因为BD α∥，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数,a b ，使得CQ aCM bBD =+，............... 7分所以333,231,,2a b a b a λλ⎧−+=−⎪⎪⎪−−=−⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得4,31,32.3a b λ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩所以123,,33CQ ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭....................................................................................................................... 8分设平面BCQ 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即230,3330y z x x y ⎧−−+=⎪⎨⎪−=⎩．取1x =，得到平面BCQ 的一个法向量()11,3,23=n ． ............................................................ 10分设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分则1212123cos cos ,2β⋅=<>==n n n n n n ．所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是32． ..................................................................... 12分解法二：（1）如图3，取AB 中点O ，连接PO ，CO ，因为2PA PB ==，2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =，又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=, 所以CO AB ⊥，3CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，ABPO O =，所以CO ⊥平面PAB . .......................................................................................................................... 2分11133223323A PBC C ABP ABP V V CO S −−==⋅=⨯⨯⨯⨯=△. ............................................................... 3分过M 作MN AD ∥交AP 于点N ，AD BC ∥，所以MN BC ∥，又BC PBC ⊂平面，MN PBC ⊄平面，（图3）所以MN PBC ∥平面，所以1336M PBC N PBC C NBP NBP V V V CO S −−−===⋅=△，因为13C ABP ABP V CO S −=⋅△，13C NBP NBP V CO S −=⋅△所以2ABP NBP S S =△△， .......................................................................................................................... 4分所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =. ..................................................... 5分（2）在平面ABCD 内，过C 作EF BD ∥交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ，因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作PP AE '∥交EM 的延长线于点P '，设EP '交AP 于点Q . 所以，四边形EDP P '是平行四边形，,PP DE PP DE ''=∥，所以QPP QAE '△∽△，所以12PQ PP AQ AE '==, 所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点......................................................................................... 7分如图5，在平面PAB 内，作QT PO ∥，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥BC ，因为1PO =，2233QT PO ==， ......................................................................................................... 8分在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作AK TN ∥交BC 于K ，在ABK △中，2AB =，60ABK ︒∠=，所以332AK AB ==,（图5）所以22333TN AK ==， .................................................................................................................... 9分因为QT ⊥BC ，TN BC ⊥，QT TN T =，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥．所以QNT ∠是二面角A BC Q −−的平面角． ................................................................................. 11分在Rt QTN △中，tan QT QNT NT ∠==，所以cos QNT ∠= 所以平面BCQ 与平面ABCD..................................................................... 12分解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................................. 5分（2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则(0,1,0)A −，(0,1,0)B，C，2,0)D −，(0,0,1)P，所以11,)2M −．则(3,1,0)AC =，(3,1,0)BC =−，(3,3,0)BD =−，(0,1,1)AP =，1(1,)22CM =−−．设平面α的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0BD CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即30,1022y x y z −=⎨−+=⎪⎩．取1y =，得到平面α的一个法向量)=n ． ......................................................................... 7分因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()1,CQ AQ AC λλ=−=−−，因为3150CQ λλ⋅=−+−+=n ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=−−⎪⎝⎭. ...................................... 8分设平面BCQ 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0CQ BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即1111120,330y z y ⎧−+=⎪−=．取11x =，得到平面BCQ 的一个法向量(1=n ． ........................................................... 10分设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分则121212cos cos ,β⋅=<>=n n n n n n 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是2． ..................................................................... 12分21．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A −，()21,0A ．因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D A C ⊥， ................................................................... 1分又1PE A D ∥，所以2PE A C ⊥，又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC A C A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以12,A A 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）． ............................................... 2分设Γ：22221x y a b+=（x a ≠±），其中0a b >>，222a b c −=．则24a =，2a =，1c =，223b a c =−=． ............................................................................. 3分故Γ：22143x y +=（2x ≠±）． ......................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =−−， .................... 8分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()21122222y x x x y x ++=−− ............................................................................................................................ 9分 ()()211213y my y my +=−1221213my y y my y y +=−()()12212132332y y y y y y−++=−+−121231229322y y y y −−=−−13=，解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分解法二：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =−−， .................... 8分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦........................................................................................................ 9分()()()()2112211213213y my y my y my y my ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦1221212323my y y y y y ⎛⎫+−= ⎪+⎝⎭()()121221212323243my y y y y y y y ++−+⎡⎤==−⎢⎥+⎣⎦. ........................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分解法三：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，直线2l 的斜率不为0．（i ）当直线2l 垂直于x 轴时，2l ：1x =−，由221,431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得1,32x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或1,3.2x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线1B M 的方程为：()322y x =+，直线2B N 的方程为：()122y x =−，由()()32,2122y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得4,3,x y =−⎧⎨=−⎩所以(4,3)Q −−，故Q 到12C C 的距离4d =，此时△12QC C 的面积是121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ............................ 6分（ii ）当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线l ：()1y k x =+，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()22224384120k x k x k +++−=， ................................................................. 7分所以221212228412,4343k k x x x x k k −−+==++． ............................................................................................ 8分直线1MB 的方程为：()1122y y x x =++，直线2MB 的方程为：()2222y y x x =−−， ..................... 9分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦...................................................................................................... 10分()()()()()()()()21122112121221212k x x k x x k x x k x x ⎡⎤++++−=⎢⎥++−+−⎢⎥⎣⎦12121242634x x x x x x −+=++．下证：121212426434x x x x x x −+=−++．即证()121212426434x x x x x x −+=−++，即证()121241016x x x x =−+−，即证22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫−−=−− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即证()()()22244121081643k k k −=−−−+，上式显然成立， ................................................................................................................................. 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，此时12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=．由（i ）（ii ）可知，12QC C △的面积为定值． ................................................................................. 12分解法四：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分所以12122269,3434m y y y y m m −+==++． ............................................................................................ 7分直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分因为2222143x y +=，所以222y x −22234x y ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，故直线2B N 的方程为：()222324x y x y ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭．由()()11222,2232,4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=−− ⎪⎪⎝⎭⎩得()()1212422322y y x x x x −=−+++ ............................................................................................................... 9分 ()()12124311y y mx my =−++()1221212431y y m y y m y y ⎡⎤=−⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()2224939634m m m ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥−+++⎣⎦3=，解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 22．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）()()1e x f x x a '=++， ................................................................................................. 1分故1x a >−−时，()0f x '>；1x a <−−时，()0f x '<. ................................................................... 2分当10a −−>，即1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增；当10a −−，即1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增.综上，当1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增；当1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增. ............................................................................................ 4分（2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−即()()020001e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−， ....................................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()1121111e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−，且它们重合，所以()()()()011012200111e 1e ,e e ,x xx x x a x a a x ax a x ax ⎧++=++⎪⎨−−=−−⎪⎩................................................................... 7分整理得()()()()2201110011x a a x ax x a a x ax ++−−=++−−，即()()20101120x x a x x a a +++++=，()()()20101111x x a x x a +++++=，所以()()01111x a x a ++++=， .......................................................................................................... 8分由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e (1)e x a x a x a x a ++++++=++， .............................................................................................. 9分令001t x a =++，111t x a =++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，由011t t =得011t t =，代入0101e e t t t t =得11121e e t t t =，两边取对数得11112ln t t t =+. .......................... 10分令1()2ln g t t t t=+−，当0t >时，1()2ln g t t t t =+−，()222121()10t g t t t t +'=++=≥，所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，又()10g =，所以11t =，从而01t =，与01t t ≠矛盾； ......... 11分当0t <时，()1()2ln g t t t t =−+−，()222121()10t g t t t t+'=++=≥，所以()g t 在(,0)−∞上单调递增，又()10g −=，所以11t =−，从而01t =−，与01t t ≠矛盾；综上，不存在01,t t ，使得010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠.故不存在01,,a x x 且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. .................... 12分解法二：（1）同解法一； .................................................................................................................... 4分（2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−即()()()000001e e 1e x x x y x a x x a x x a =++⋅++−++， ...................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()()11111111e e 1e x x x y x a x x a x x a =++⋅++−++，且它们重合，所以()()()()()()0111010001111e 1e ,e 1e e 1e ,x xx x x xx a x a x a x x a x a x x a ⎧++=++⎪⎨+−++=+−++⎪⎩ .......................... 7分整理得()[]()[]011110001(1)1(1)x a x a x x a x a x a x x a +++−++=+++−++，令001t x a =++，111t x a =++，可得011t t =. ................................................................................... 8分由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e(1)ex a x a x a x a ++++++=++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，.................................................... 9分令()e t h t t =，则()()01h t h t =，且01t t ≠.由（1）知，当1t >−时，()h t 单调递增，当1t <−时，()h t 单调递减，又当0t >时，()0h t >，当0t <时，()0h t <，所以若01,t t 存在，不妨设1010t t <−<<，设10t mt =，1m >，又011t t =，所以201t m=，则0t =，由0110e e t t t t =，得000e e mt t mt t =即0e e mt t m =，则00ln m mt t +=，所以0ln 1m t m=−，所以ln 1m m =−，即ln 0m +=， ................................................................................ 11分令1()2ln g x x x x =−+，1x ≥，则22221(1)()10x g x x x x−'=−−=−，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以当1x >时，()(1)0g x g <=，。

2020-2021学年福建省漳州市诏安县第一中学高一数学理联考试卷含解析

2020-2021学年福建省漳州市诏安县第一中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若偶函数在是增函数则a,b,c的大小关系是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C2. 函数的零点所在的区间为A．B．C．D．参考答案：A3. （3分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（）A．1﹣≤m≤1+B．1﹣≤m≤2C．﹣2≤m≤2D．﹣2≤m≤1﹣参考答案：B考点：函数奇偶性的性质．专题：新定义．分析：根据“局部奇函数”，可知函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，结合指数函数的性质，利用换元法进行求解．解答：根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m?（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m?t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m?t+2m2﹣8，对称轴x=，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m?t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣，综上：1﹣．故选：B．点评：本题主要考查函数的新定义，利用函数的新定义得到方程有解的条件，利用换元法将方程转化为一元二次方程有解的问题去解决是解决本题的关键．综合考查了二次函数的图象和性质．4. 已知a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，若点M（m，n）在直线l：ax+by+3c=0上，则m2+n2的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．9参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】运用直角三角形的勾股定理，又m2+n2=（）2表示原点到（m，n）的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值，运用点到直线的距离，即可得到所求值．【解答】解：a，b，c为直角三角形中的三边长，c为斜边长，可得a2+b2=c2，点M（m，n）在直线l：ax+by+3c=0上，又m2+n2=（）2表示原点到（m，n）的距离的平方，原点到直线l的距离即为所求最小值，可得最小值为==3．则m2+n2的最小值为9．故选：D．5. 设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A6. 函数的一条对称轴方程是（）A． B． C． D．参考答案：A略7. 如果角的终边经过点，则（）A． B． C． D．参考答案：D8. 已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，6）B．（2，6] C．（1，6）D．（1，6]参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得，解方程组求得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得2≤a＜6，故选A．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，注意a≥6﹣a﹣a，这是解题的易错点，属于中档题．9. 圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r ，原来的高为h ，求出现在的体积，一步得出答案．【解答】解：V 现=π（）2×2h=πr 2h=V 原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A ．【点评】此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．10. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是（） A. 70，25B. 70，50C. 70，1.04D. 65，25参考答案：B 【分析】根据总分变化未发生变化可知平均分不变；利用方差的计算公式可得，从而计算可得结果.【详解】甲少记分，乙多记分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差：更正后方差：本题正确选项：【点睛】本题考查平均数和方差的计算问题，关键是熟悉二者的计算公式，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =1+（n≥2），则a5=．参考答案：【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：在数列{a n }中，a 1=1，a n =1+（n≥2），可得a 2=1+1=2，a 3=1+=，a 4=1+=， a 5=1+=，故答案为：．12. 函数f （θ）=12cos θ+5sin θ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M （cos θ0，sin θ0）关于坐标原点对称的点坐标是．参考答案：（，）【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由辅助角公式可得f （θ）=13sin （θ+φ），其中sin φ=，cos φ=，由三角函数的最值和诱导公式以及对称性可得．【解答】解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（cosθ+sinθ）=13sin （θ+φ），其中sinφ=，cosφ=，∴当θ+φ=时，函数f （θ）取最小值﹣13，此时θ=θ0=﹣φ，故cosθ0=cos （﹣φ）=﹣sinφ=﹣，sinθ0=sin （﹣φ）=﹣cosφ=﹣，即M （﹣，﹣），由对称性可得所求点的坐标为（，），故答案为：（，）．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及辅助角公式和诱导公式，属中档题．13. 已知函数，若，则.参考答案：略14. 已知函数是R 上的奇函数，当时，，则=参考答案：15. 已知函数则. ks5u参考答案：16. 在中,若则sinB=_________.参考答案：17. 已知函数，是的反函数，若（m，n∈R+），则的值为______________。

福建省福州第一中学2023届高三下学期适应性考试(三)数学试题 - 副本

福州一中2023届高三毕业班适应性考试（三）数学试题（满分：150 分考试时间：120 分钟）一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A = {x | x 2 −3x +2 ≤0, x ∈Z }，B = { 0,b }，若 A ∩B ≠ ∅ ，则实数b 的值为A ．1B ．0或1C ．2D ．1或22．厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成．甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有A.22种B.20种C.12种D.10种3．已知3π(π)2α∈，，若1sin 221cos 2αα-=+，则cos 2α的值为A.45 B.45- C.0 D.45-或04．英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列．已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l ．若2m n =，则k l -=A.400B.500C.600D.8005．如图，在圆台1OO 中，13OO =，点C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，2AC =，点D 是BC 的中点，l 为平面1O AC 与平面1O OD 的交线，则交线l 与平面1O BC 所成角的大小为A .π2B .π3C .π6D .π46．在三棱锥P ABC -中，点O 为ABC △的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点．若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =A.111333a b c ++B.111333a b c---C.212333a b c--- D.222333a b c ++ 7．数列{}n a 中，*1(N )n n a >∈，点1(,)n n a a +在双曲线2221y x -=上．若211()n n n n a a a a λ+++->-恒成立，则实数λ的取值范围为A.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, B.1(+)2∞, C.22⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭, D.(1+)∞,8．已知12e 1a =-，1tan 2b =，58c =，则A ．c a b<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c b a<<二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题．现要求从中不放回地抽取2道题，则A.恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是37B.记抽到选择题的次数为X ，则10()7E X =C.在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是521D.第二次抽到简答题的概率是2710．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122BC AA ==，AB AC ==，点P 是1A B 上的动点，点Q 是1CC 上的动点，则A .AC ∥平面1A BQB.11B C 与AP 不垂直C.存在点P 、Q ，使得1PQ A B ⊥D.PA PC +11.抛物线:C 26y x =，AB 是C 的焦点弦．A.点P 在C 的准线上，则PA PB ⋅的最小值为0B.以AB 为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC.若AB的斜率k ，则ABO △的面积12S = D.存在一个半径为94的定圆与以AB 为直径的圆都内切12.定义在R 上的函数()f x ，()g x 的导函数为()f x '，()g x '，(1)y f x =+是偶函数．已知2(1)()8f x g x --=，2()(1)0f x g x ''--=，则A.()y f x '=是奇函数B.()y g x =图象的对称轴是直线2x = C.()30f '= D.20231πcos ()12n n g n =⎡⎤'⋅=⎢⎥⎣⎦∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，复数1z ，2z 满足1i z =，|12z z -|=3，则|2z |的最大值为▲.14.已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则24a a +=▲.15.函数()tan()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，T 为()f x 的最小正周期．若00(()())(()())022T Tf x f f x f +--<，写出一个满足条件的正整数0x ▲.（第10题图）（第15题图）16．定义在R 上的函数321ln ,()1,62ax a x x a x f x x x x x a ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩，若()0f x ≥的解集为[)1+∞，，则a 的取值范围为▲；若关于x 的不等式1()0ex f x +≥恒成立，则a 的最大值为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()(1)n n S a n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1(N 2)2nn n a b b n n *--=∈≥，且111a b -=，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ≤<．18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos()sin AA C C a=+，=2c ．（1）求B ；（2）D 为AC 的中点，234BD BC =，求ABC △的面积．19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，1AB AC ==，将PAB △绕着PA 逆时针旋转π3到PAD △的位置，得到如图所示的组合体，M 为PD 的中点.（1）当BAC ∠为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；（2）当PC ∥平面MAB 时，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.20．（12分）厦门思明区沙坡尾某网红店推出A 、B 两种不同风味的饮品．为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表：表1单位：人性别种类合计A 饮品B 饮品女性6040100男性4060100合计100100200（第19题图）（1）请画出列联表的等高堆积条形图，并依据小概率值0.01α=的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联．如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响．（第20题图）（2）店主进一步调查发现：女性消费者若前一次选择A 饮品，则下一次选择A 、B 两种饮品的概率分别为13、23；若前一次选择B 饮品，则下一次选择A 、B 两种饮品的概率分别为23、13；如此循环下去．求女性消费者前三次选择A 、B 两种饮品的数学期望，并解释其实际含义．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++21．（12分）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第三象限；直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第二象限．四边形OAMB （O 为原点）的面积为2，记动点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）点(22,0)E ，直线PE ，QE 与C 分别交于P ，Q 两点，直线PE ，QE ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．若31211()6k k k +⋅=-，求PQE △周长的取值范围．22．（12分）已知函数21()ln (1)2f x x m x mx =-++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数21()()2g x f x mx =-有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：212e 1x x >-（其中e 是自然对数的底数）．α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828。

2021年福建省新高考“八省联考”高考化学适应性试卷-解析版

2021年福建省新高考“八省联考”高考化学适应性试卷1.福建省三钢集团近年来大气污染治理成须显著，厂区“绿”意盎然。

治理后，钢铁厂排放的尾气中，下列物质含量最大的是()A. CO2B. NO2C. SO2D. PM10【答案】A【解析】解：A.钢铁厂产生二氧化碳气体，二氧化碳属于无污染的气体，治理后污染气体减少，二氧化碳最多，故A正确；B.二氧化氮是污染气体，治理后减少排放，故其含量不能最大，故B错误；C.二氧化硫属于污染气体，治理后减少排放，含量不是最大，故C错误；D.PM10含量最大的话，加重了大气污染，厂区不能绿意盎然，故D错误；故选：A。

A.钢铁厂产生二氧化碳气体，二氧化碳属于无污染的气体；B.二氧化氮是污染气体；C.二氧化硫属于污染气体；D.PM10含量最大的话，大气污染严重。

本题考查环境的污染与保护，为高频考点，把握常见物质的性质、发生的化学反应及是否改善空气质量为解答的关键，题目难度不大。

2.山奈酚是中药柴胡的药物成分之一。

下列有关该化合物叙述错误()A. 分子式为C15H10O6B. 能够发生加成反应C. 苯环中含有单双键交替结构D. 可溶于NaOH溶液【答案】C【解析】解：A.由该物质的结构简式可知其分子式为C15H10O6，故A正确；B.含有苯环和羰基，可以发生加成反应，故B正确；C.苯环中的键是介于单双键之间的特殊的键，不是单双键交替的结构，故C错误；D.含有3个酚羟基，可与NaOH溶液反应生成溶于水的物质，故D正确；故选：C。

由结构可知分子式，分子中含酚−OH、碳碳双键、醇−OH、羰基及醚键，结合酚、烯烃、醇等有机物的性质来解答。

本题考查有机物的结构与性质，为高频考点，把握官能团与性质、有机反应为解答的关键，侧重分析与应用能力的考查，注意选项C为解答的易错点，题目难度不大。

3.已知N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是()A. 0.1mol⋅L−1KNO3溶液中离子总数大于0.2N AB. D218O和T2O的混合物1.1g，含有的质子数为0.5N AC. 5.6gFe与足量的S反应转移的电子数为0.3N AD. 0.1molH2和0.2molI2充分反应后分子总数小于0.3N A【答案】B【解析】解：A.溶液体积未知，无法确定溶液中离子数目，故A错误；=B.D218O和T2O的摩尔质量均为22g⋅mol−1，所以1.1g混合物的物质的量为 1.1g22g⋅mol−10.05mol，一个D218O分子和一个T2O分子均含有10个质子，所以混合物含有的质子数为0.5N A，故B正确；=0.1mol，与足量的S反应生成FeS，转移电子数为0.2N A，C.5.6gFe的物质的量为 5.6g56g⋅mol−1故C错误；D.H2和I2反应方程式为H2+I2⇌2HI，反应前后分子数不变，所以0.1molH2和0.2molI2充分反应后分子总数为0.3N A，故D错误；故选：B。

2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年福建省厦门高三适应性考试数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}{}3,4,23,A a B a =-=，若A B ⋂≠∅，则=a （）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】B【分析】根据交集结果得到3a =，4a =或23a a =-，检验后得到答案.【详解】因为A B ⋂≠∅，所以3a =，4a =或23a a =-，当3a =时，233a -=，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当23a a =-时，3a =，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当4a =时，235a -=，满足集合元素互异性，满足要求.故选：B2．已知复数z 满足()20231i i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．12-B ．12C ．1i2-D 【正确答案】A【分析】先由虚数单位的性质求得2023i ，再利用复数的四则运算求得z ，从而得解.【详解】因为()50520235054343i i i i i ⨯+==⨯=-，所以()20231ii i z +==-，故()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 1i 222z -----====--+-+，所以z 的虚部为12-.故选：A.3．在等比数列{}n a 中，132a a +=，则“356a a +=”是“数列{}n a 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】结合等比数列的通项公式，充分、必要条件的定义判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由132a a +=，356a a +=，得235133a a q a a +==+，则q =由132a a +=，q =()235136a a a a q +=+=．故“356a a +=”是“数列{}n a 的必要不充分条件．故选：B4．尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以ACB ∠的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线，与圆弧AB 交于点E ，连接CE ，则3ACB BCE ∠=∠．若图中CE 交AB 于点P ，56AP PB =，则cos ∠=ACP （）A ．2425-B ．1225-C ．725-D ．1225【正确答案】C【分析】根据正弦定理及二倍角的正弦公式，得BCE ∠的余弦值，再由二倍角的余弦公式即可求出cos ACP ∠.【详解】设BCE α∠=，则33ACB BCE α∠=∠=，2ACP α∠=.在ACP △中，由正弦定理，得sin 2sin AP CAAPCα=∠；在BCP 中，由正弦定理，得sin sin BP CBBPCα=∠.又因为CA CB =，APC BPC π∠+∠=，所以sin sin CA CBAPC BPC=∠∠，所以sin 2sin AP BP αα=，即sin 22cos sin AP BP ααα==.又因为56AP PB = ，所以62cos 5AP BP α==，故3cos 5α=.所以cos ∠=ACP cos 2=α2972cos 1212525α-=⨯-=-.故选：C.5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（）A ．112B ．5108C ．172D ．1216【正确答案】B【分析】所有实验结果有666216⨯⨯=种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为3133A A 1++，即可求出概率.【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有666216⨯⨯=种不同的结果，其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有33A 种，数字1、1、4组成的结果有13A 种，数字2、2、2组成的结果有1种.故所求概率为3133A A 15216108P ++==.故选：B.6．已知F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 的直线l 交地物线C 于,A B 两点，若AF BF λλ==，则λ=（）A ．1B ．32C ．3D ．4【正确答案】C【分析】由抛物线的定义求得B 点的横坐标，代入抛物线得B 点坐标，从而求得直线AB 的方程，联立抛物线与直线即可得A 点的横坐标，求得AF ，从而可得λ的值.【详解】如图，过A 作1AA 准线于1A ，过B 作1BB 准线于1B ，由抛物线2:3C y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为34x =-，由抛物线的定义可得1314B BF BB x ==+=，所以14B x =，代入抛物线方程得2B y =±若14B ⎛ ⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k ==-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即y =联立23y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；若1,42B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB的斜率为021344AB k -=-AB方程为34y x ⎫=-⎪⎭，即4y =-联立23y y x⎧=⎪⎨⎪=⎩2164090x x -+=，则916A B x x =，所以94A x =，则3933444A AF x λ=+=+==；综上，3λ=.故选：C.7．已知奇函数()f x 在R 上是减函数，()()g x xf x =，若()2log 5.1a g =-，()3b g =，()0.82c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．b a c<<【正确答案】D【分析】由题可知()g x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递减，利用函数的单调性可比较出b a c <<.【详解】因()f x 为奇函数且在R 上是减函数，所以()()f x f x -=-，且0x >，时()0f x <.因()()g x xf x =，所以()()()g x xf x xf x -=--=，故()g x 为偶函数.当0x >时，()()()0g x f x xf x =+'<'，因()0f x <，()0f x '<，所以()0g x '<.即()g x 在()0,∞+上单调递减.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因0.82223log 9log 5.1log 422=>>=>，所以()()()0.823log 5.12g g g <<，即b a c <<.故选：D.8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABO O 的体积的最大值为（）A ．BC D 【正确答案】C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABO O 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅12AB O M O M ⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12O M O M ==由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径22i 23s πn R OM ===从而23AB MB ==，1243339V M O M ∴=⋅≤=.故选：C 二、多选题9．随机变量()2~,X N μσ且()20.5P X ≤=，随机变量()~3,Y B p ，若()()E Y E X =，则（）A ．2μ=B ．()22D X σ=C ．23p =D ．()32D Y =【正确答案】AC【分析】对AB ，根据正态分布的期望方差性质可判断；对C ，根据()()E Y E X =及二项分布期望公式可求出p ；对D ，根据二项分布方差的计算公式可求出()D Y ，进而求得()3D Y .【详解】对AB ，因为()2,X N μσ 且()20.5P X ≤=，所以2μ=，故()2E X μ==，()2D x σ=，选项A 正确，选项B 错误；对C ，因为()3,Y B p ，所以()()3E Y p E X ==，所以32p =，解得23p =，选项C 正确；对D ，()()2239931633D Y D Y ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，选项D 错误.故选：AC.10．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （）A ．是奇函数B ．图象关于直线π2x =对称C ．在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数D ．在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦【正确答案】ACD【分析】利用辅助角公式得出()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ ，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为π2的等差数列，则该函数的最小正周期为π，0ω> ，则2π2πω==，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-，函数()y g x =为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，π2sin π02g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()y g x =的图象不关于直线π2x =对称，B 选项错误；对于C 选项，当π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π3π222x ≤≤，则函数()y g x =在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项正确；对于D 选项，当π2π63x ≤≤时，π4π233x ≤≤，则sin 21x ≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间π2π,63⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为⎡⎤⎣⎦，D 选项正确.故选：ACD11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==，1BC =，13AA =，点M 在线段1BB 上，且12B M MB =，N 为线段1C M 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．当N 为1C M 的中点时，直线AN 与平面ABC 所成角的正切值为4B ．当12MN NC =时，1B N //平面ACM C ．ACN △的周长的最小值为D ．存在点N ，使得三棱锥N AMC -【正确答案】BD【分析】取BC 的中点P ,证明PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，求解可判断A ；延长1B N 交1CC 于点Q ，可得四边形1CQB M 是平行四边形，从而可判断B ；当点N 与M 重合时，求出ACN △的周长可判断C ；取BC 的中点P ,连接AP ，若三棱锥N AMC -的体积为6，则1CMN S =△，根据1CMC CMN S S >△△可判断D.【详解】对于A ，当N 为1C M 的中点时，取BC 的中点P ,连接,PN AP ，易知1//PN CC ,1CC ⊥平面ABC ，则PN ^平面ABC ，故PAN ∠为直线AN 与平面ABC 所成的角，则()112tan MB CC PN PAN AP +∠=故A错误；对于B ，当12MN NC =时，延长1B N 交1CC 于点Q ，此时11112C Q C N B M MN ==，所以11,2C Q CQ ==，所以1CQ B M =.又1//CQ B M ，所以四边形1CQB M 是平行四边形，所以1//CM B Q ，即1//CM B N .因为1B N ⊄平面ACM ，CM ⊂平面ACM ，所以1B N //平面ACM ，故B 正确；对于C ，当点N 与M重合时，易知2,AN CN ==此时ACN △的周长为2+2<，故C 错误；对于D ，取BC 的中点P ,连接AP ，易知AP ⊥平面11BCC B,2AP =,若三棱锥N AMC -即6N AMC V -=，所以136CMN S AP ⋅⋅=△,所以1CMN S =△.因为113311,22CMC CMN S S =⨯⨯=>=△△所以存在点N ，使得三棱锥N AMC -的体积为6，故D 正确.故选:BD.12．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)0f x f x ++=，(22)f x +是偶函数，(1)1f =，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑【正确答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项A ，∵(22)f x +是偶函数，∴(22)(22)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，∴()()4f x f x -=+，∵()(4)0f x f x ++=，∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数，则A 正确；对于选项B ，∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=,∴()f x 的周期为8，∴()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，则B 正确；对于选项C ，若()f x 的图象关于直线1x =对称，则()()31f f =-，但是()()111f f -=-=-，()()311f f ==，即()()31f f ≠-，这与假设条件矛盾，则选项C 错误；对于选项D ，将12x =代入(22)(22)f x f x -=+，得()()311f f ==，将1x =，代入()(4)0f x f x ++=，得()()511f f =-=-，同理可知()()731f f =-=-，又∵()f x 的周期为8，∴()f x 正奇数项的周期为4，∴1001(21)k k f k =-=∑()()()()12335100199f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()()123354759611713815f f f f f f f f =+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅⋅⋅()()()()971939819599197100199f f f f ⎡⎤++++⎣⎦()254100=⨯-=-，则D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知向量,a b 满足()1,3,3,1a b a b ==-= ，则⋅=a b __________．【正确答案】0【分析】对a b - 进行平方，然后代入,a b ，即可进行求解.【详解】因为()1,3,3,1a b a b ==-=，则()2222210a ba ab b -=-⋅+==，所以0a b ⋅= .故014．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67S S <，78S S =，89S S >，则符合题意的等差数列{}n a 的一个通项公式为n a =________．【正确答案】8n -（答案不唯一）【分析】由条件可得70a >，80a =，90a <，由此确定0d <，由此确定数列{}n a 的一个通项公式.【详解】因为67S S <，78S S =，89S S >，所以70a >，80a =，90a <，设数列{}n a 的公差为d ，则0d <，取1d =-，又80a =，可得17a =，故数列{}n a 的一个通项公式为8n a n =-，故8n -（答案不唯一）.15．若曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线，则a 的范围是____________．【正确答案】(,0)-∞【分析】由题可将曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线转化为函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，然后利用导数研究()f x 单调性，画出()f x 大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为0(x ,0)y ，又ln 1y x '=+，所以切线斜率为0ln 1x +因为000ln y x x =，所以切线方程为：()()0000ln ln 1y x x x x x -=+-．又切线过()1,a ，则()()0000ln ln 11a x x x x -=+-，即00ln 1a x x =-+则由题可知函数()ln 1f x x x =-+图象与直线y a =有两个交点，由()1110x f x x x-=-=>'得01x <<，由()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．又max ()(1)0f x f ==，又0x →，()f x →-∞，x →+∞，()f x →-∞．据此可得()f x 大致图象如下．则由图可得，当(,0)a ∈-∞时，曲线ln y x x =有两条过()1,a 的切线．故答案为.(,0)-∞16．已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+，则PQF △的周长的最大值为__________.【正确答案】8【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值.【详解】由条件()()tan tan tan 3tan tan 1tan tan αβαβαβαβ++=-+=-，π,tan tan 0αβαβ+∴+≠ ＜，即11tan tan 3αβ-=-，4tan tan 3αβ=，设()00,P x y ，由题意：((12,0,B B ，则tan tan αβ=，20204tan tan 33x y αβ∴==-，即2200143x y +=，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=，2,1a b c ===；设左焦点为F ，右焦点为2F，如下图：则PFQ △的周长224l PF QF PQ a PF QF PQ =++=--+,22PF QF PQ +≥ ，当2,,P Q F 三点共线时等号成立，48l a ∴≤=，l 的得最大值为8；故8.四、解答题17．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知ABC的外接圆半径R =tan tan B C +=.(1)求B 和b 的值；(2)求AC 边上高的最大值.【正确答案】(1)π4B =，4b =；(2)2+.【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B ，利用正弦定理求出b 作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出ac 的最大值，借助面积三角形求出AC 边上高的最大值作答.【详解】（1）由tan tan B C +=，得sin sin cos cos B C B C +sin cos cos sin cos B C B C A B +，因此sin()cos B C A B +，在ABC中，sin(π)cos A A B -，即sin cos A A B ，而0πA <<，即sin 0A >，于是cos 2B =，又0πB <<，解得π4B =，因为ABC的外接圆半径R =，由正弦定理得2sin 42b R B ==，所以π4B =，4b =.（2）由（1）知，π4B =，4b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22π162cos (24a c ac =+-≥-，于是8(2ac ≤+，当且仅当a c =时取等号，令ABC 的边AC 上的高为h ，则由11sin 22ABC bh S ac B ==，得πsin sin 48(22488B h ac ac ac b ==⨯=+所以AC边上高的最大值是2+.18．已知数列{}n a 满足111,12n n n a a a a +==+．(1)证明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并{}n a 的通项公式；(2)设214n n n c n a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)证明见解析，121n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得{}n a 的通项公式；（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得n T .【详解】（1）证明：因为112n n n a a a +=+，所以112112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列，则()112121n n n a =+-=-，所以121n a n =-；（2）()()()()222212244411111141121214141212122121n n n n n n c n a a n n n n n n n n +-+⎛⎫=====+=+- ⎪-+---+-+⎝⎭12311111112335212121n n n T c c c c n n n n n ⎛⎫=++++=+-+-++-=+ ⎪-++⎝⎭ .19．某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6，如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.(1)计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n 种中式点心，王同学从这些点心中选择三种点心，记选择西式点心的种数为X ，求n 的值使得()1P X =取得最大值.【正确答案】(1)0.7(2)9或10【分析】（1）根据题意结合全概率公式可直接求解；（2）由超几何分布可得()()()()()1511543n n P X n n n -==+++，构造数列()()()()151543n n n a n n n -=+++，易知该数列为递增数列，所以1n n a a +≥，解得9n ≤，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591.【详解】（1）设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”，2A =“第2天去A 餐厅用餐”，根据题意得()()110.5P A P B ==，()210.6P A A =∣，()210.8P A B =∣，由全概率公式，得：()()()()()21211210.50.60.50.80.7P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣，所以，王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为0.7.（2）由题意，X 的可能取值有：0,1,2,3，由超几何分布可知()()()()()125351511543n n n n C C P X C n n n +-===+++，令()()()()151543n n n a n n n -=+++，又 N n ∈，所以1n n a a +≥，可得()()()()1361n n n n ++≥+-，解得9n ≤，易知当9n =和10n =时，()1P X =的值相等，所以当9n =或10时，()1P X =有最大值为4591，即当n 的值为9或10时，使得()1P X =最大.20．如图，在圆台1OO 中，11A B ，AB 分别为上、下底面直径，1124AB A B ==，C 为 AB 的中点，M 为线段BC 的中点，1CC 为圆台的母线，1C M 与圆台下底面所成的角为45︒．(1)证明：1C C ⊥平面1OBC ；(2)求平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）证明线面垂直，先证线线垂直，根据题中线面位置关系，不难发现证明11C C C O ⊥，1C C AB ⊥容易证明.（2）因题中线面位置较为特殊，考虑用空间向量，建立空间直角坐标系后，直接按照求平面与平面夹角的公式，按步骤求解即可.【详解】（1）证明：连接1OO ，11C O ，则1OO ⊥平面ABC ．因为1CC 为母线，所以11CC O O 四点共面，且11O C OC ∥．取CO 中点N ，连接1C N ，MN ．因为1124AB A B ==，则111ON C O ==，所以四边形11ONC O 为平行四边形．所以11C N O O ∥，所以1C N ⊥平面ABC ．所以1C MN ∠为1C M 与底面所成角，即145C MN ∠=︒．在1Rt C NO 中，11C N NO ==，所以1C O =同理1C C ．在1C CO △中，22211CO C O C C =+，所以11C C C O ⊥．因为1OO ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1OO AB ⊥．因为C 为 AB 的中点，所以AB CO ⊥，又1OC O O O = ，OC ⊂平面11C O OC ，1O O ⊂平面11C O OC ,所以AB ⊥平面11C O OC ，又1CC ⊂平面11C O OC ，所以1C C AB ⊥．又因为11C C C O ⊥，1AB C O O = ，AB ⊂平面1BOC ，1C O ⊂平面1BOC ，所以1C C ⊥平面1BOC ；（2）以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 所在的方向为x ，y ，z 的正方向，建立空间直角坐标系-O xyz ，则(2,0,0)C ，(0,0,0)O ，(0,2,0)B ，1(1,0,1)C ，(1,1,0)M .所以(1,1,0)BM =- ，1(1,2,1)BC =- ，(1,1,0)OM = ，1(1,0,1)OC = .设平面1BMC 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由11100n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11111020x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令11x =，得111y z ==，所以1(1,1,1)n = ．设平面1OMC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，由22100n OM n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则222200x y x z +=⎧⎨+=⎩．令21x =，得221,1y z =-=-，所以2(1,1,1)n =-- ，设平面1OMC ，与平面1BMC 夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ== ．所以平面1OMC 与平面1BMC 夹角的余弦值为13．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点())12,F F ，点M 满足124MF MF -=，记点M 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)点()2,0A ，点,B C 为E 上的两个动点，且满足2BAC π∠=.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2BQC π∠=，求直线BC 的斜率.【正确答案】(1)221(0)4x y x -=>(2)±1.【分析】（1）由题意，点M 的轨迹为双曲线的右支，2,a c ==1b =，可得E 的方程；（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D ，设BC 的方程为y kx m =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得m ，得到直线BC 的方程，由题意写出直线AD 的方程，求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，与双曲线方程联立，由1AC AB k k ⋅=-结合韦达定理解得103t =，进一步可得到直线BC 方程以及恒过定点.求得点D 、点Q 坐标，代入曲线E 的方程，可得直线BC 的斜率.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立曲线方程，由韦达定理可求出点C 坐标，用1k-替换k 得点B 坐标，可得直线BC 方程进一步得到直线BC 恒过定点.下同解法一.解法四：由平移知识得到双曲线E 的方程，新坐标系下直线BC 的方程，代入双曲线方程，由121k k ×=-求得m ，进一步得到直线BC 的方程，从而得到直线BC 恒过定点，再利用过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程结合xy 的系数为0，即可得到直线BC 的斜率.解法五：设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，连理曲线方程结合由121k k ×=-解得m ，进一步得到直线BC 的方程以及BC 恒过定点.下同解法一.【详解】（1）因为点M 满足124MF MF -=，所以点M的轨迹为双曲线的右支，故2,a c ==1b =，所以曲线E 的方程为221(0)4x y x -=>.（2）解法一：设BC 与AQ 的交点为D.显然直线BC 的斜率存在，设BC 的方程为y kx m =+，联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()222418440k x kmx m -+++=，设()()1122,,,B x y C x y ，所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.又2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，代入()()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭，整理得22203160k m km ++=，即()()10320k m k m ++=，解得103m k =-或2m k =-（舍）.所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为,,,A B Q C 四点共圆，且BC 为直径，由BC AD ⊥，所以点D 为AQ 中点，且直线AD 的方程为()12y x k=--，联立()10312y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩，解得()()22210631431k x k k y k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得420k k -=，即1k =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法二：由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，联立方程22,44,x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()2224240m y tmy t -++-=，设()()1222,,,B x y C x y ，所以1222122244 4tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=，代入()()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭，因为2t ≠，整理得3100t -=，解得103t =.所以直线BC 的方程为103x my =+，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.联立()1032x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得()()22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得210m -=，即1m =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法三：设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k=--，联立方程()22244y k x x y ⎧=-⎨-=⎩，消去y 得()222214161640k x k x k -+--=，设()11,C x y ，则212164214k x k --⋅=-，得2128241k x k +=-，所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭，所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.所以BC 斜率()2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--，故直线BC 方程为()222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭，即()()223104141k k y x k k =-+--，即()2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.解法四：将坐标系原点平移到()2,0A ，则双曲线E 的方程变为22(2)14x y +-=，即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=，代入双曲线方程有()22440x y x mx ny -++=，即()2214440m x y nxy +-+=，两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，所以34m =，所以直线BC 的方程为314x ny +=，从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.由,,,A B Q C 四点共圆，设BC 的直线方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1003kx y k --=；设AQ 的直线方程为()12y x k=--，即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()221024403kx y k x ky x y λ⎛⎫--+-+--= ⎪⎝⎭，等式左边xy 的系数为21k -，所以210k -=，所以1k =±，即直线BC 的斜率为±1.解法五：由直线BC 不过点()2,0，故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=，即()()()2222122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣，两边同除以2(2)x -得()22221244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭，设2y k x =-，上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，解得34m =，所以直线BC 的方程为()3214x ny -+=，即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下同解法一.方法点睛：定点问题的解题策略（1）直线过定点．将直线方程化为00()y y k x x -=-的形式，当00x x -=时与k 无关，即00()y y k x x -=-恒成立，故直线过定点00(,)x y ．（2）曲线过定点．利用方程0(),f x y =对任意参数恒成立得出关于,x y 的方程组，以方程组的解为坐标的点即为所求的定点．22．已知函数()e ,ax f x a =∈R ．(1)令()()1f xg x x =+，讨论()g x 在()0,∞+的单调性；(2)证明：23*111N 462n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)若1a =，对于任意的,m n ∈R ，不等式()()()()22ln 20f m bf n f m f n +⋅+≥恒成立，求实数b 的取值范围．【正确答案】(1)答案见详解.(2)证明见详解.(3)02e b ≤≤.【分析】（1）求导后，分0a =、a<0、01a <<、1a ≥讨论即可；（2）由（1）得e 1xx ≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到1121e 2n n >，从而有112112e n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫< ⎪⎝⎭，即12112e n n n -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的前n 项和公式即可证明.（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥.当0b <，可验证不满足题意；当0b =，显然成立；当0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，求导后判断单调性求得最小值为min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，求导后判断单调性求得最小值为()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可解.【详解】（1）()()()e 111ax f x g x x x x ==≠-++，而()()2e 11(1)ax a x g x x +-⎡⎤⎣⎦=+'，①当0a =时，()210(1)g x x =-<+'恒成立，所以()g x 在()0,∞+上递减；②当0a >时，令()0g x '<，得1x <-或111x a -<<-；令()0g x '>，得11x a >-.所以当110a -≤，即1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增，当110a ->，即01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；③当a<0时，令()0g x '<，得111x a-<<-或1x >-；令()0g x '>，得11x a <-.所以()g x 在()0,∞+上递减.综上所述，当0a ≤时，()g x 在()0,∞+上递减；当1a ≥时，()g x 在()0,∞+上递增；当01a <<时，()g x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增；（2）由（1）得：当1a =且1x ≥-时，()(0)11f x f x ≥=+，此时e 1x x ≥+，又当1,e 1x x x ≤->+，e 1x x ∴≥+，当且仅当0x =，等号成立.令112x n =-，得到111212111e ,22e n n n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭，12112e n n n -⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123232*********e 1462e e e e 1e n n n n -⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎝⎭∴++⋯+<++⋯+=⨯⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎥⎣⎦-1121111e e e e n n --⎫--⎪⎝⎭==-（3）()()()()222ln 202e e 20m n m f m bf n f m bn f n -+⋅+≥⇒++≥，①0b <，当,0n m ∞→+→时，显然22e e 20m n m bn -++<，所以此时不成立；②0b =，不等式显然成立.③0b >，令()22e e e 2m n m g n b n -=⋅+⋅+，则()22e e e m n m g n b -=-+'，令()0g n '=，则2e 2e 2e e e ln m m m n nb n b b -=⋅⇒=⇒=.当2e ln mn b<时，()()0,g n g n '<单调递减；当2e ln mn b>时，()()0,g n g n '>单调递增.所以min 2e ()ln e e e ln 22m m m m b g n g b bm b b ⎛⎫==⋅+⋅-⋅+ ⎪⎝⎭，令e (0)m t t =>，则()ln ln 22b h t bt bt t bt =+-+，则()()1ln ln 2b h t b b t b '=++-，令()0h t '=，即11ln ln02b t ++-=，则22e b t =，当202e b t <<，()()0,h t h t '<单调递减；当22e b t >，()()0,h t h t '>单调递增，则()22222222min ln 2ln 2202e 2e 2e 222e 2e b b b b b b b h t h b ⎛⎫⎛⎫==+--⋅+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2e b ≤.综上所述，02e b ≤≤.方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

福建省2022年高考考前适应性考试化学试题及答案解析

福建省2022年高考考前适应性考试化学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 S 32 Cl 35.5 Sc 45 Ti 48第I卷（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《博物新编》有关于磺强水制法的记载：“以铅作一密炉，炉底贮以清水，焚硝磺于炉中，使硝磺之气重坠入水，然后将水再行蒸炼，一如蒸酒甑油之法，务使水汽尽行升散，则所存者是磺强水矣。

”（提示：“硝”指KNO3，“磺”指硫黄）下列有关磺强水的说法正确的是A．“焚硝磺”时发生的是氧化还原反应B．磺强水是一种易挥发的强电解质C．0.01mol/L的磺强水溶液的pH=2D．磺强水溶液中不存在分子2．特布他林是治疗支气管哮喘，喘息性支气管炎，肺气肿等肺部疾病的药物。

它对支气管平滑肌有高度的选择性，对心脏的兴奋作用很小，无中枢性作用。

其结构简式如下图，下列关于该有机物说法正确的是A．该有机物的分子式为C12H20NO3B．该有机物能发生加成、取代、氧化反应C．1mol该有机物最多消耗2mol NaD．该有机物中最多7个碳原子共面3．设[aX+bY]为a个X微粒和b个Y微粒组成的一个微粒集合体，N A为阿伏加德罗常数的值。

下列说法中不正确的是A ．500mL 0.5 mol·L -1的NaCl 溶液中微粒数大于0.5N AB ．H 2O(g)通过Na 2O 2(s)使其增重b g 时，反应中转移的电子数为AbN 2C ．合成氨工业中，投料lmol [N 2(g)+3H 2(g)]可生成NH 3(g)的分子数为2N AD ．58g 正丁烷和异丁烷的混合物中共价键数目为13N A 4．下列关于离子反应的说法正确的是A ．水电离的c (H +)=10－2mol·L－1的溶液中：Na +、Mg 2+、Cl －、HCO 3－可以大量共存B ．1 mol·L－1的纯碱溶液中：K +、Fe 2+、Cl －、NO 3－可以大量共存C ．小苏打溶液中通入氨气：HCO 3－＋NH 3·H 2O === NH 4+＋CO 32－＋H 2O D ．氢氧化铁胶体中滴加少量稀硫酸：Fe(OH)3＋H + === Fe 3+＋3H 2O5．某反应可有效降低汽车尾气污染物的排放，其反应热∆H=-620.9kJ·mol -1。

福建省厦门市2023-2024学年高一上学期10月第一次适应性练习数学含解析

厦门2023-2024学年高一上学期第一次适应性练习数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．3．考试结束，考生只须将答题卡交回．一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．1.已知集合{|11}A x x =-≤≤，{1,0,2}B =-，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1,2}-C.{1,1}- D.{0}2.下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（）A.1y x=-B.2y x= C.2y x = D.1y x =-3.设,A B 为两个非空集合，“x A ∀∈，都有x B ∈”是“A 是B 的真子集”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a ab b <<C .若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+5.若函数()1f x -的定义域是[]2,3-，则函数)2f -的定义域是（）A.[]1,5 B.[]0,4 C.[]1,16 D.[]0,166.已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A.12a x x b <<<B.12x a b x <<<C.12a xb x <<< D.12x a x b<<<7.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则()222a b a bx y x y++≥+，当且仅当a b x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数291()(0)122f x x x x =+<<-的最小值为（）A.16B.25C.36D.498.若函数()f x 的定义域为R ，且(3)5f =.若对任意不相等的实数,x y ，恒有()()2f y f x x y->--，则不等式(21)43f x x -<-的解集为（）A .(,1)-∞- B.(1,)-+∞ C.(,2)-∞ D.(2,)+∞二、多项选择题：本大题4小题，每小题5分，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分．9.已知命题p ：R x ∀∈，240x ax ++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）A.[]1,1a ∈-B.()4,4a ∈-C.[]4,4a ∈- D.{}0a ∈10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.()A B C ⋂⋃B.()A B CC.()U A B C ⋂⋂ðD.()()A B A C ⋂⋃⋂11.甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为1T ，2T ，3T ．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）1V 奔跑，另一半的时间以速度2V奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度1V 奔跑，另一半的路程以速度2V 奔跑．其中10V >，20V >．则下列结论中一定成立的是（）A.123T T T ≤≤ B.123T T T ≥≥ C.2132TT T = D.132111T T T +=12.已知二次函数2y ax bx c =++（0,,,a a b c ≠为常数）的对称轴为1x =，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.0abc abc +=B.当1a x a ≤≤-时，函数的最大值为2c a -C.关于x 的不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-的解为x >或x <D.若关于x 的函数21t x bx =++与关于t 的函数21y t bt =++有相同的最小值，则1b -≥三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“[)0,x ∃∈+∞，210x kx -+>”的否定是______．14.设函数()()3,104,10x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()9f =______．15.已知函数()2,225,2x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为______.16.已知a ，b 均为正数，且4ab a b =+，则228216a b a b-+-的最小值为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．17.已知集合301x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}22,R B x m x m m =<<∈．（1）当1m =-时，求A B ⋂，U A B U ð；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．18.已知函数()f x满足：)13f x +=+（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()()2f x xg x x+=在区间[)2,+∞上的单调性，并证明．19.已知函数()()2212f x ax a x =-++．（1）若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x >．20.已知函数()2f x x =-，()224g x x mx =-+（R m ∈）．（1）若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；（2）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；21.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22.已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∞⎧∈-⎪=⎨+∈⎪-⎩．（1）解不等式()20ff x +<；（2）若1x ，()2,2x ∈-∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．厦门2023-2024学年高一上学期第一次适应性练习数学试卷本试卷共4页，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．3．考试结束，考生只须将答题卡交回．一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确答案．1.已知集合{|11}A x x =-≤≤，{1,0,2}B =-，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1,2}-C.{1,1}-D.{0}【答案】A 【解析】【分析】由交集的概念求解，【详解】集合{|11}A x x =-≤≤，{1,0,2}B =-，则A B = {1,0}-，故选：A2.下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（）A.1y x=-B.2y x= C.2y x = D.1y x=-【答案】D 【解析】【分析】逐个判断函数的单调性，即可得到结果．【详解】对于A ，函数在区间()0,∞+上是增函数，故A 不正确；对于B ，函数在区间()0,∞+上是增函数，故B 不正确；对于C ，函数在()0,∞+上是增函数，故C 不正确；对于D ，函数在区间()0,∞+上是减函数，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查函数单调性的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.设,A B 为两个非空集合，“x A ∀∈，都有x B ∈”是“A 是B 的真子集”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据集合之间的关系，判断“x A ∀∈，都有x B ∈”和“A 是B 的真子集”的逻辑推理关系，即得答案.【详解】由题意x A ∀∈，都有x B ∈可得A 是B 的子集，推不出A 是B 的真子集；反之，A 是B 的真子集，则必有x A ∀∈，都有x B ∈，故“x A ∀∈，都有x B ∈”是“A 是B 的真子集”的必要不充分条件，故选：B4.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a ab b <<C.若0c a b >>>，则a bc a c b >-- D.若0a b c >>>，则a a cb b c+<+【答案】C 【解析】【分析】通过举反例即可判断A ，B ；通过作差法即可判断C ，D ．【详解】对于A ，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对于B ，当2,1a b =-=-时，224,2,1a ab b ===，则22a ab b >>，故B 错误；对于C ，()()()()()()()a b a c b b c a c a b c a c b c a c b c a c b -----==------，因为0c a b >>>，所以0,0,0a b c a c b ->->->，所以()0()()c a b c a c b ->--，即a bc a c b>--，故C 正确；对于D ，()()()()()a a c abc b a c c a b b b c b b c b b c ++-+--==+++，因为0a b c >>>，所以()0()c a b b b c ->+，即a a cb b c+>+，故D 错误，故选：C ．5.若函数()1f x -的定义域是[]2,3-，则函数)2f -的定义域是（）A.[]1,5 B.[]0,4 C.[]1,16 D.[]0,16【答案】D 【解析】【分析】确定[]13,2x -∈-，得到不等式3220x ⎧-≤≤⎪⎨≥⎪⎩，解得答案.【详解】函数()1f x -的定义域是[]2,3-，则[]13,2x -∈-，故3220x ⎧-≤-≤⎪⎨≥⎪⎩，解得016x ≤≤.故选：D6.已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A.12a x x b <<<B.12x a b x <<<C.12a x b x <<<D.12x a x b<<<【答案】A 【解析】【分析】由题可知12x x a b +=+，再利用中间量m ，根据12x x +与12x x 之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、1x 、2x 之间的关系.【详解】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<.故选：A.7.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a b x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数291()(0)122f x x x x =+<<-的最小值为（）A.16B.25C.36D.49【答案】B 【解析】【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a ，b ，x ，y >0，则()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时等号成立，又102x <<，即120x ->，于是得22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-，当且仅当23122x x =-，即15x =时取“=”，所以函数291()(0)122f x x x x =+<<-的最小值为25.故选：B8.若函数()f x 的定义域为R ，且(3)5f =.若对任意不相等的实数,x y ，恒有()()2f y f x x y->--，则不等式(21)43f x x -<-的解集为（）A.(,1)-∞-B.(1,)-+∞ C.(,2)-∞ D.(2,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()2g x f x x =-，根据题意得()g x 在R 上单调递减，再题意转化为解()()213g x g -<即可.【详解】解：因为对任意不相等的实数,x y ，恒有()()2f y f x x y ->--，所以，对任意不相等的实数,x y ，恒有()()20f y f x x y-+>-，即()()220f y f x x yx y-+->-，令()()2g x f x x =-，所以，对任意不相等的实数,x y ，恒有()()0g y g x x y->-，即()()0g y g x y x-<-，不妨设x y <，则0y x ->，所以，()()0g y g x -<，即()()g x g y >，所以，()g x 在R 上单调递减.所以()()()()2143212211323f x x f x x f -<-⇔---<-=-⨯()()2132132g x g x x ⇔-<⇔->⇔>，所以不等式(21)43f x x -<-的解集为(2,)+∞.故选：D.二、多项选择题：本大题4小题，每小题5分，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分．9.已知命题p ：R x ∀∈，240x ax ++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（）A.[]1,1a ∈-B.()4,4a ∈-C.[]4,4a ∈-D.{}0a ∈【答案】AD 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.【详解】若命题p :R x ∀∈，240x ax ++>成立，则2160a ∆=-<，解得44a -<<，故命题p 成立的充分不必要条件是a 属于()4,4-的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确.故选：AD.10.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.()A B C ⋂⋃B.()A B CC.()U A B C ⋂⋂ðD.()()A B A C ⋂⋃⋂【答案】AD 【解析】【分析】由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，从而可得答案【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为()A B C ⋂⋃或()()A B A C ⋂⋃⋂，故选：AD11.甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为1T ，2T ，3T ．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）1V 奔跑，另一半的时间以速度2V 奔跑；乙全程以速度12VV 奔跑；丙有一半的路程以速度1V 奔跑，另一半的路程以速度2V 奔跑．其中10V >，20V >．则下列结论中一定成立的是（）A.123T T T ≤≤B.123T T T ≥≥ C.2132TT T = D.132111T T T +=【答案】AC 【解析】【分析】分别计算得到1121002T V V =+，2T =312121002T VV V V =+，根据均值不等式确定A 正确，B 错误，代入计算验证得到C 正确D 错误，得到答案.【详解】甲同学：11121110022TV TV +=，则1121002T V V =+，乙同学：2T =丙同学：312121250501002T VV V V V V =+=+，对于选项A 和B ：10V >，20V >，故121212202V V VV V V +≥≥>+，当且仅当12V V =时，等号全部成立，故123T T T ≤≤，故A 正确，B 错误；对于选项C ：221321212121210010010022T T T V V VV VV V V ⋅=⋅==++，故C 正确；对于D：121212132112100100VV V V V V T T +++=+≠D 错误.故选：AC.12.已知二次函数2y ax bx c =++（0,,,a a b c ≠为常数）的对称轴为1x =，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.0abc abc +=B.当1a x a ≤≤-时，函数的最大值为2c a -C.关于x 的不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-的解为x >或x <D.若关于x 的函数21t x bx =++与关于t 的函数21y t bt =++有相同的最小值，则1b -≥【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由开口方向，与y 轴交点，及对称轴，求出,,a b c 的正负，得到A 正确；B 选项，当1a x a ≤≤-时，数形结合得到函数随着x 的增大而减小，从而求出最大值；C 选项，结合2b a =-，化简不等式，求出解集；D 选项，配方得到两函数的最小值，从而得到2124b b -≥-，求出1b -≥【详解】A 选项，二次函数图象开口向上，故0a >，对称轴为12bx a=-=，故20b a =-<，图象与y 轴交点在y 轴正半轴，故0c >，所以<0abc ，故0abc abc abc abc +=-+=，A 正确；B 选项，因为2b a =-，故22y ax ax c =-+，因为0a >，所以11a -<，当11a x a ≤≤-<时，22y ax ax c =-+随着x 的增大而减小，所以x a =时，y 取得最大值，最大值为322y a c a -=+，B 错误；C 选项，因为2b a =-，所以42422ax bx ax ax +=-，()()()2224224222442268a x b x ax ax a a x ax ax a -+-=-+--=-+，故不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-变形为2048ax a >-，因为0a >，22x >，解得：x >x <，故C 正确；D 选项，2224121b t x bx x b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b x =-时，t 取得最小值，最小值为214b -，2224121b y t bt t b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b t =-时，y 取得最小值，最小值为214b -，所以2124b b -≥-，即2240b b --≥，所以()215b -≥，即1b -≥D 正确.故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“[)0,x ∃∈+∞，210x kx -+>”的否定是______．【答案】[)0,x ∞∀∈+，210x kx -+≤【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定方法为“改变量词，否定结果”进行作答.【详解】“[)0,x ∃∈+∞，210x kx -+>”为存在量词命题，因此其否定为“[)0,x ∞∀∈+，210x kx -+≤”.故答案为：[)0,x ∞∀∈+，210x kx -+≤14.设函数()()3,104,10x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()9f =______．【答案】10【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()()3,104,10x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，所以()()99413310f f =+=-=.故答案为：1015.已知函数()2,225,2x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),4-∞【解析】【分析】先对0,0,0a a a >=<讨论，作示意图后，容易得到0a ≤符合题意，再对0a >分析，可得到答案.【详解】当a<0时，函数()y f x =的示意图如图所示可知在x ∈[,0]a ，必存在1x ，2x R ∈，使()()12f x f x =；当0a =时，则2,2()5,2x x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，可知5y =-时存在，符合题意；当0a >时，则22a<,即04a <<时，在2a x =附近，必存在1x ，2x R ∈，使()()12f x f x =；当22a≥时，(2)2445f a a =-<-,故示意图如图所示故不存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =,综上可得4a <.故答案为：(),4-∞【点睛】本题考查了分段函数存在性问题，分类讨论、数形结合思想的应用，合理分类是解决问题的关键.16.已知a ，b 均为正数，且4ab a b =+，则228216a b a b-+-的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】由已知有411a b +=，则22228221616a ab b a b -+-=+-，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件.【详解】由,a b 均为正数，且4ab a b =+，则411a b+=，又2222228282()2161616a a ab b b a b a b -+-=+-+=+-，414()()2224444a a b a b b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当44b a a b=，即8,2a b ==取等号，所以2222()()16164a a b b +≥+≥，当且仅当8,2a b ==取等号，则22816a b +≥，所以222616a b +-≥，当且仅当8,2a b ==取等号，目标式最小值为6.故答案为：6四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置．17.已知集合301x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}22,R B x m x m m =<<∈．（1）当1m =-时，求A B ⋂，U A B U ð；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}11A B x x ⋂=-<<，{2U A B x x ⋃=≤-ð或}1x >-（2）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）解分式不等式得到{}13A x x =-<≤，进而根据交集，并集和补集概念进行计算；（2）根据并集结果得到B A ⊆，分B =∅与B ≠∅两种情况，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【小问1详解】由301x x -≤+等价于()()31010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得：13x -<≤，所以{}13A x x =-<≤，当1m =-时，{}21B x x =-<<，∴{}11A B x x ⋂=-<<；又∵{2U B x x =≤-ð或}1x ≥，∴{2U A B x x ⋃=≤-ð或}1x >-；【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，由（1）可知{}13A x x =-<≤，当B =∅时，22m m ≥，解得：02m ≤≤，当B ≠∅时，要满足题意需222213m m m m ⎧<⎪≥-⎨⎪≤⎩，解得：102m -≤<，综上：实数m 取值范围为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.已知函数()f x满足：)13f x +=+（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()()2f x xg x x+=在区间[)2,+∞上的单调性，并证明．【答案】（1）2()(1)3,1f x x x =-+≥（2）单调递增，证明见详解.【解析】【分析】（1）换元法求解析式即可，注意中间变量的范围；（2）利用（1）中结果求得()g x ，按照定义法证明函数单调性的基本步骤进行即可：取值，作差，化简变形，定号，下结论.【小问1详解】1t +=，则2(1)x t =-，1t ≥，代入)13fx +=+，得2()(1)3,1f t t t =-+≥，即2()(1)3,1f x x x =-+≥【小问2详解】由（1）可得：()()22(1)324f x xx x g x x xx x+-++===+，()g x 在区间[)2,+∞上单调递增，证明如下：12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则12121212124444()()()()()g x g x x x x x x x x x -=+-+=-+-1212121212124()()(4)()x x x x x x x x x x x x ---=--=因为122x x ≤<，所以12120,4x x x x -<>，所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x 所以()g x 在区间[)2,+∞上单调递增.19.已知函数()()2212f x ax a x =-++．（1）若函数y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）22,22⎡⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为x ∈R 时，()22130ax a x -++≥恒成立，分类讨论a 的值，即可得出范围；（2）分为3种情况讨论，即0a >，0a =，0a <，分别求解不等式即可．【小问1详解】∵函数1y =+的定义域为R ，∴x ∈R 时，()22130ax a x -++≥恒成立．当0a =时，不等式化为：30x -+≥，解得3x ≤，不符合题意，舍去；当0a ≠时，则x ∈R 时，()22130ax a x -++≥恒成立，所以0Δ0a >⎧⎨≤⎩，即20(21)120a a a >⎧⎨+-≤⎩，解得2222a -≤≤，综上所述，实数a 的取值范围是22,22⎡+⎢⎣⎦．【小问2详解】1）当0a >时，关于x 的不等式()22120ax a x -++>化为：()120x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，对a 进一步分类讨论：①12a >时，12a<，则不等式的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；②12a =时，12a =，则不等式的解集为()(),22,-∞+∞ ；③102a <<时，12a>，则不等式的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭．2）当0a =时，关于x 的不等式()22120ax a x -++>化为20x ->，则不等式的解集为(),2-∞3）当0a <时，关于x 的不等式()22120ax a x -++>化为：()120x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则不等式的解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，12a >，不等式的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；12a =，不等式的解集为()(),22,-∞+∞ ；102a <<，不等式的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；0a =，不等式的解集为(),2-∞，0a <，不等式的解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．20.已知函数()2f x x =-，()224g x x mx =-+（R m ∈）．（1）若对任意x ∈R ，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；（2）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；【答案】（1）1122⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）54⎡⎢⎣【解析】【分析】（1）变换得到()22160x m x -++>恒成立，计算()221240m ∆=+-<，解得答案.（2）当[]11,2x ∈时，()1g x D ∈，则[]2,3D ⊆，考虑对称轴1x m =≤或2m ≥和对称轴()1,2x m =∈，分别计算函数的最值，计算得到答案.【小问1详解】()()g x f x >恒成立，即()22160x m x -++>恒成立，故()221240m ∆=+-<，解得1122m -<<，m的取值范围为1122⎛⎫- ⎪⎝⎭；【小问2详解】当[]11,2x ∈时，()1g x D ∈，当[]24,5x ∈时，()[]2222,3f x x =-∈，故[]2,3D ⊆，①若()y g x =的对称轴1x m =≤或2m ≥，此时()g x 在区间[]1,2单调，则()g x 在1x =，2x =处取得最值，所以()()2152322843g m g m ⎧≤=-≤⎪⎨≤=-≤⎪⎩，解得5342m ≤≤，解不满足1m £或2m ≥，舍去；②若()y g x =对称轴()1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()2243g m m ≤=-+≤，解得1m ≤≤1m ≤≤-，此时，最大值依然在1x =，2x =处取到，故54m ≤≤综上所述：54m ⎡∈⎢⎣.21.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；（2）2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000(9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.22.已知函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∞⎧∈-⎪=⎨+∈⎪-⎩．（1）解不等式()20f f x +<；（2）若1x ，()2,2x ∈-∞满足()()12f x f x =，且12x x ≠，求证：122x x +<．【答案】（1）1,3⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简()20f f x +<，分别解一元二次不等式，即可得答案；（2）作出函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∞⎧∈-⎪=⎨+∈⎪-⎩大致图象，结合图像确定12,x x 的范围，讨论当10x ≤，122x x +<成立；1>0x 时，转化为证明()()112f x f x >-，则可构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈，利用其单调性证明结论.【小问1详解】由题意210x -≥，[]1,1x ∴∈-，①[]1,0x ∈-，不等式()20f f x +<即22120x x --<，,,33x ⎛⎫⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,3x ⎡⎫∴∈--⎪⎢⎪⎣⎭②(]0,1x ∈，不等式()20f f x +<即22120x x -+<，x ∴∈∅；综上，1,3x ⎡⎫∈--⎪⎢⎪⎣⎭.【小问2详解】函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∞⎧∈-⎪=⎨+∈⎪-⎩大致图象如图，当(],1x ∈-∞时，函数单调递增，当()1,2x ∈时，函数单调递减，∴若1x ，()2,2x ∈-∞满足()()12f x f x =，则1212x x <<<，由图象知，①若10x ≤，则显然122x x +<；②若1>0x ，要证明122x x +<，则要证212x x <-，注意到2x ，121x ->，且()f x 在()1,2递减，则可证明()()212f x f x >-，∵()()12f x f x =，则可证明()()112f x f x >-，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈，则()223F x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1201t t ∀<<<，()()()()2122221212121212222t t F t F t t t t t t t t t --=+--=-+，()()1212122t t t t t t ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，∵122t t +<，121t t <，1222t t >，∴()121220t t t t +-<，∴()()120F t F t ->，∴()F x 在()0,1上单调递减，∵()()()1110F f f =-=，∴()0,1x ∈时，()()10F x F >=，即()()2f x f x >-，∴()()212f x f x >-，从而122x x +<得证．【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明122x x +<；解答时利用函数()(](),,123,1,22x x x f x x x ∞⎧∈-⎪=⎨+∈⎪-⎩的图像确定12,x x 的范围，再结合范围分类讨论。

2021届福建省普通高中学业水平合格性考试(会考 )适应性练习(一)数学试题(解析版)

2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考）适应性练习（一）数学试题一、单选题1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =（）A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}-- 【答案】A【分析】由交集定义计算．【详解】根据集合交集中元素的特征，可得{0,2}A B ⋂=，故选：A.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．2．在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是（） A ．()10,0e =，()21,2e = B ．()11,2e =-，()25,2e =- C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，()22,3e =-【答案】B【分析】根据平面向量基本定理列出方程组，然后判断方程组是否有解即可. 【详解】解：根据平面向量基本定理，选项A ，()()()3,20,01,2λμ=+，则322μμ=⎧⎨=⎩，方程组无解，故选项A 不能；选项B ，()()()3,21,25,2λμ=-+-，则352,2221λμλλμμ=-+=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，故选项B 能. 选项C ，()()()3,23,56,10λμ=+，则3362510λμλμ=+⎧⎨=+⎩，因为3362510≠=，所以方程组无解，故选项C 不能. 选项D ，()()()3,22,32,3λμ=-+-，则322233λμλμ=-⎧⎨=-+⎩，因为322233-≠=-，所以方程组无解，故选项D 不能. 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用以及向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程，判断方程组是否有解是关键，属于基础题.3．不等式2320x x -+≤的解集是（） A ．{}12x x ≤≤ B ．{}12x x << C ．{|1x x <或2}x > D ．{|1x x ≤或2}x ≥【答案】A【分析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集．【详解】2320x x -+≤，即为(1)(2)0x x --≤，12x ≤≤．故选：A ．4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A ．90B ．100C ．180D ．300【答案】C【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =，故选C. 【解析】分层抽样.5．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】试题分析：设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.【解析】圆的一般方程.6．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等. 7．已知3cos 4x =，则cos2x =（） A ．14-B ．14C ．18-D ．18【答案】D【分析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.【详解】2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题. 8．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（）A ．()2,3B ．(]2,4C ．()(]2,33,4 D ．()(]1,33,6-【答案】C【分析】由题意可得240560330x x x x x ⎧-≥⎪-+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩ ，解不等式组即可求解. 【详解】由题意得240560330x x x x x ⎧-≥⎪-+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩，即()()2423030x x x x ⎧≤⎪⎪-->⎨⎪-≠⎪⎩，解得4423x x x -≤≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即23x <<或34x <≤所以函数的定义域为(2,3)(3,4].故选：C10．已知三点A (1,0)，B (0)，C (2，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B．3C．3D ．43【答案】B 【详解】选B.【解析】圆心坐标11．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A ．2p q+ B ．(1)(1)12p q ++-C pqD (1)(1)1p q ++【答案】D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得(1)(1)1x p q =++．【解析】函数模型的应用．12．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35 C ．25D ．15【答案】B【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a = A ．19B ．19-C ．13D ．13-【答案】A【解析】设公比为q,则22411111111109,99a a q a q a q a q a q a ++=+⇒==∴=，选A.14．在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则sin A = A ．310B．10CD【答案】D【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以AC =．由正弦定理，知sin sin AC BC B A=3sin ADA =，解得sin A =，故选D ．【解析】正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为 A ．(0,2)B ．(2,+)∞C ．(,2)(0,2)-∞-⋃D ．(D)(,2)(2,)-∞-+∞【答案】C【解析】分析：首先根据偶函数的性质判断函数在(),0-∞的单调性，再由函数的零点确定()0f x >或()0f x <的解集，最后讨论不等式()0xf x >的解集. 详解：由条件可知函数在(),0-∞时增函数，且()20f -=，这样()(),22,-∞-+∞时，()0f x <，()()2,00,2-时，()0f x >，所以()()00x xf x f x >⎧>⇔⎨>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩，解集为()(),20,2-∞-，故选C.点睛：本题考查了利用函数的基本性质解不等式，将不等式的性质由图像表示，问题迎刃而解，属于基础题型二、填空题16．函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】2π. 【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可. 【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.17．已知x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则23z x y =-的最小值为________.【答案】6-【分析】先画出可行域，由23z x y =-，得233zy x =-，画出直线23y x =，向上平移过点B 时，23z x y =-取得最小值，将点B 坐标代入可得结果【详解】解：变量x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如图所示，由23z x y =-，得233zy x =-，画出直线23y x =，向上平移过点B 时，23z x y =-取得最小值，对于2x y +=，当0x =时，2y =，所以点B 的坐标为(0,2)，所以23z x y =-的最小值为20326⨯-⨯=-，故答案为：6-18．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 19．设函数()()xxf x e aea R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()xx x x ae ae ee --+=-+，即()()10xxe a e-++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题. 20．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD的体积是_____.【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a +=；（2）21nn T =-. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122+=a d ，1329322a d ⨯+=，化简得122+=a d ，132a d +=，解得11a =，12d =，故{}n a 的通项公式112n n a -=+，即12n n a +=；（2）由（1）得11b =，41515182b a +===．设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q ，故{}n b 的前n 项和1(21)2121n n n T ⨯-==--．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知四边形ABCD 为平行四边形，()0,3A 、()4,1B，D 为边AB 的垂直平分线与x 轴的交点.（1）求点C 的坐标；（2）一条光线从点D 射出，经直线AB 反射，反射光线经过CD 的中点E ，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）()5,2C -；（2）3x =.【分析】（1）求出线段AB 的垂直平分线方程，可求得点D 的坐标，设点(),C a b ，由DC AB =结合平面向量的坐标运算可求得点C 的坐标；（2）求出点D 关于直线AB 的对称点D 的坐标，并求出线段CD 的中点E 的坐标，求出直线D E '的方程，即为反射光线所在直线的方程.【详解】（1）如图，设AB 中点为M ，则()2,2M ，由AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，可知1MD AB k k ⋅=-，131402AB k -∴==--，2MD k ∴=，所以，直线MD 的方程为()222y x -=-，即22y x =-.令0y =，则1x =，D ∴点的坐标为()1,0. 又四边形ABCD 为平行四边形，设(),C a b ，DC AB =，即()()1,4,2a b -=-，5a ∴=，2b =-，即点C 的坐标为()5,2-；（2）由（1）知，直线AB 的方程为260x y +-=，如图，设点D 关于直线AB 的对称点为(),D m n '，则1112126022n m m n ⎧⎛⎫⋅-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨+⎪+⋅-=⎪⎩，整理可得2202110m n m n --=⎧⎨+-=⎩，解得34m n =⎧⎨=⎩，()3,4D '∴，又CD 的中点E 的坐标为()3,1E -，因此，反射光线所在直线D E '的方程为3x =.【点睛】方法点睛：解决光线反射问题，一般转化为点关于直线的对称点问题来求解，解决点关于直线对称问题要把握两点：点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．23．某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：使用年数x2 4 6 8 10 销售价格y16 13 9.5 7 4.5（1）试求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+．（参考公式：()()121 () ˆni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆˆa y bx =-）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω＝0.05x 2﹣1.75x +17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？（利润＝销售价格﹣收购价格）【答案】（1） 1.4518.ˆ7y x =-+；（2）3.【分析】（1）先求样本中心(),x y ，再求b ，最后将,,x y b 代入ˆˆˆay bx =-求a ，即可求解；（2）先列出利润的表达式z ＝﹣0.05x 2+0.3x +1.5，再结合二次函数性质即可求解最值；【详解】（1）由表中数据，计算15x =⨯（2+4+6+8+10）＝6， 15y =⨯（16+13+9.5+7+4.5）＝10， 51 i =∑（x i x -）（y iy -）＝（﹣4）×6+（﹣2）×3+0×（﹣0.5）+2×（﹣3）+4×（﹣5.5）＝﹣58.5；521 ()ii x x =-=∑（﹣4）2+（﹣2）2+02+22+42＝40，由最小二乘法求得58.540b -==-1.45， a y b x =-=10﹣（﹣1.45）×6＝18.7，∴y 关于x 的回归直线方程为ˆ 1.4518.7=-+yx ；（2）根据题意利润函数为z ＝（﹣1.45x +18.7）﹣（0.05x 2﹣1.75x +17.2）＝﹣0.05x 2+0.3x +1.5，∴当()0.3320.05x =-=⨯-时，利润z 取得最大值．【点睛】本题考查最小二乘法公式的求法，利用二次函数性质求最值，属于中档题 24．如图，在四梭柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1DD ⊥底面ABCD ，点E 是1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）求证：平面AEC ⊥平面1BDD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设AC ，BD 交于点O ，证明1//EO BD 即可得线面平行；（2）证明AC ⊥平面1BDD ，即可得．【详解】证明：（1）设AC ，BD 交于点O .∵四边形ABCD 为菱形，∴O 是AC 的中点，∵E 是1DD 的中点，连接OE ，∴1//OE BD ，∵OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC ，∴1//BD 平面AEC ；（2）∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∵1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1DD AC ⊥，∵1BB ⊂平面1BDD ，BD ⊂平面1BDD ，1BB BD B ⋂=，∴AC ⊥平面1BDD ，∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面1BDD .【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直．解题方法是几何法，即应用线面平行和面面垂直的判定定理证明．空间线面间的位置关系还可用空间向量法证明． 25．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k ⋅log 2x ＝0在[2，4]上有解，求实数k 的取值范围；（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，求实数m 的取值范围．（附：函数g （t ）＝t 1t+在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．）【答案】（1）﹣1；（2）0≤t14≤；（3）m≤﹣3或m≥3．【分析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.（2）采用换元把方程化为t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为() g t=t1t+与y=2+2k在[1，2]上有交点即可求解.（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把问题转化为1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究关于p 的函数h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.【详解】（1）函数f（x）＝x2﹣2x+1+a对称轴为x＝1，所以在区间[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，由根据题意函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．所以a＝﹣1．（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，若关于x的方程f（log2x）+1﹣2k•log2x＝0在[2，4]上有解，令t＝log2x，t∈[1，2]则f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，t1t+=2+2k在[1，2]上有解，令函数g（t）＝t1 t +，在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．所以g（1）≤2+2k≤g（2），即2≤2+2t52≤，解得0≤t14≤．（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，则1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，解得m≤﹣3或m≥3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.。

2023-2024学年福建省泉州第五中学高三毕业班高考适应性检测(一)数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年福建省泉州第五中学高三毕业班高考适应性检测数学试题的。

1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.设为两条直线，为两个平面，则的充分条件是( )A. B. C. D.3.4.已知，则( )A. B. C.D.5.在中，，，点D 是线段AB 上靠近点B 的三等分点，则( )A.B. 6C.D. 96.甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件“从乙箱中取出的两球都是白球”，“从乙箱中取出的两球都是黑球”，“从乙箱中取出的两球一个是白球一个是黑球”，其对应的概率分别为，，，则( )A.B.C.D.7.已知双曲线的中心为O ，右顶点为A ，右焦点为F ，点P 在上，且满足，则的离心率为( )A. B.C. 2D.8.已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.函数的大致图象可能为( )A. B. C. D.10.已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，成等比数列，则( )A. B.C. 当时，是的最大值D. 当时，是的最小值11.过原点O且斜率为k的直线与圆C：相交于两点，则下列说法中正确的是( )A. 是定值B. 是定值C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，12.在棱长为2的正方体中，点P，Q分别是棱BC，CD的中点，点M在线段上运动，则下列说法中正确的是( )A.存在点M，使得平面B.对于任意点M，都有平面平面C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为D. 当时，平面与正方体表面的交线所围成的图形是梯形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

截面问题(含详细解析)

几何体截面问题①定义：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)叫做这个几何体的截面. 截面不唯一，好的截面应包含几何体的主要元素！②画法：常通过“作平行线”或“延长直线找交点”作出完整的截面，作截面是立体几何非常重要的研究课题.③思想：作截面是研究空间几何体的重要方法，它将陌生空问题转化为熟悉的平面问题！技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

1．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为为4π，则该球的半径是（）A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =，故由题意知(222R r =+，即(222216R=+=，所以4R =，故选：B ．2．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D 【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内，所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形，因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D3．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A ．89π B ．1118πC ．512π D ．49π 【答案】A【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD V 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD V 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得R =,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222111372d a a ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以22221124729r a a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因为2a BC ==, 所以289r =,所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A4．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+.在ABC V 中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D V 中，OD = 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π，所以21216R π-π=π，228R =，球的表面积为2112R 4π=π. 故选:C.5．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A ．B ．4C ．D ．6【答案】B【解析】将正四面体补成正方体如图，可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=，又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKLS KN KL =⋅Y 242KN KL +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2KL KN ==时取等号，故选：B ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（）A ．2B C ．D ．【答案】A【解析】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ⋂=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥，又1CA CB C =I ，故1BD ⊥平面1ACB .取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ，所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF V 为所求截面.易知MEF V 为正三角形，边长ME ==故12MEF S ==V 故选：A.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（）A ．90︒B ．30°C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据正方体的特征，易知，若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心，又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面；所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ；连接1AB ，1AD ，11B D ，因为1//EP AB ，1//FQ AD ，所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D V 为等边三角形，因此1160B AD ∠=︒.故选：D.9．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为//EF BC EF ⊄，平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，又平面EFGH I 平面BDC GH =，所以//EF GH .同理//FG EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又AD BC ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.所以③是正确的；由相似三角形的性质得EF AF FC FGBC AC AC AD==，，所以EF FG AF FCBC AD AC AC+=+，2BC AD ==，所以2EF FG +=，所以四边形EFGH 的周长为定值4，所以①是正确的；212EFGHEF FG S EF FG ⨯⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.故选：D10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．4B C ．4D 【答案】A【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 11．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（） A ．43B ．94C ．92D ．3【答案】B【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ，且平面ABC I 平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF = 得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<，则3FG x =，()31HG x =-，于是2199(1)9,0124EFGH S FG HG x x x x ⎛⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝⎭当12x =时，四边形EFGH 的面积有最大值94. 故选：B. 二、填空题12．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）【答案】①③④【解析】取11C D 的中点为点H ，连接GH 、AH ，如图1所示，因为//EF GH ,所以AGH ∠就是异面直线EF 与AG 所成的角易知在AGH V 中，3,AG AH GH ===2cos 36AGH ∠==，①正确；图1 图2 图3矩形EFGH 即为过点E 、F 、G 所得正方体的截面，如图2所示，易知EF EG ==所以EFGH S ==分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图3所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),A E(1,0,0),(1,2,2)F G ，1(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)AC FE EG =--==-u u u r u u u r u u u r ，因为110,0AC FE AC EG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11,A C EF A C EG ⊥⊥，又EF ⊂平面EFG ， EG ⊂平面EFG 且EF EG E =I ，所以1A C ⊥平面EFG ，故③正确134(111212)22EFC S =-⨯⨯+⨯+⨯=V ，1113G ECF EFC V S C C -=⋅=V ，④正确. 故答案为：①③④13．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】①111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥11B BED -为三棱锥11E BB D -,则底面11BB D 不变,且因为1//CC 平面11BB D ,故点E 到底面11BB D 的距离即三棱锥11E BB D -底面的高不变,故三棱锥11E BB D -的体积不变,所以四棱锥11B BED F -的体积不变,恒为定值,故①正确；②当点E 在点C 处时,总有CG 与平面1EBD 相交,故②错误；③由O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点,则12DO DB =,设H 为1DD 的中点,则在1D DB V 中1//OH D B ,所以//OH 平面1EBD ,故③正确；④四边形1BED F 的周长为()012C BE ED =+,则分析1BE ED +即可,将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为截面平行四边形1BED F 的周长取得最小值时唯一点E ,故④正确；故答案为:①③④14．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ，则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =，MN =12S =⨯=故答案为：。

2021年福建省福州一中高考数学适应性练习试卷(一) (解析版)

2021年福建省福州一中高考数学适应性练习试卷（一）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x＜0}，B＝{x|x＞1或x＜0}，则（）A．B⊆A B．A⊆B C．A∪B＝R D．A∩B＝∅2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定为（）A．∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1B．∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3≥1C．∀0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1D．∀x0∈（﹣∞，﹣2），x0+3≥13．在复平面内，复数z＝a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1＝r1（cosθ1+i sinθ1），z2＝r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：z n＝[r（cosθ+i sinθ）]n＝r n （cos nθ+i sin nθ），则（﹣1+）10＝（）A．1024﹣104B．﹣1024+1024C．512﹣512D．﹣512+5124．已知函数f（x）＝，则f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）5．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD 上，则•的最小值为（）A．B．C．D．6．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A．B．C．D．7．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．8．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、选择题（共4小题）.9．刘女士的网店经营坚果类食品，2020年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）A．4至5月份收入的平均变化率与11至12月份收入的平均变化率相同B．支出最高值与支出最低值的比是5：1C．第三季度月平均收入为5000元D．利润最高的月份是3月份和10月份10．下列函数中是奇函数，且值域为R的有（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝x+C．f（x）＝x+sin x D．f（x）＝x﹣511．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回．某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以vkm/s的速度进入距离月球表面nkm 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为ts，已知远月点到月球表面的最近距离为mkm，则（）A．圆形轨道的周长为（2πvt）kmB．月球半径为C．近月点与远月点的距离为D．椭圆轨道的离心率为12．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如y＝A sin（ωt+φ）之各项之和，f（t）＝0.03sin1000πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（）A．B．f（t）的图象关于点对称C．f（t）的图象关于直线对称D．f（t）在单调递增三、填空题（共4小题）.13．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知0＜a1＜1，其前n项之积为T n，且T12＝T6，则T n取最小值时，n的值是．14．如果（3x+）n的展开式中各项系数之和为4096，则n的值为，展开式中x 的系数为．15．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A、B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为．16．如图，已知△ABC的顶点C∈平面α，点A，B在平面α同一侧，且|AC|＝2，|BC|＝2．若AC，BC与平面α所成的角分别为，则△ABC面积的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。

2024届福建省厦门市松柏中学高三下学期适应性练习卷数学试卷

2024届福建省厦门市松柏中学高三下学期适应性练习卷数学试卷一、单选题(★★) 1. 若复数，则（）A．2B．C．D．(★★) 2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知向量，，若，则（）A．8B．C．D．(★) 4. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（）A．2B．1C．D．(★★★) 6. 已知，，，则下列结论错误的为（）A．，B．，C．，D．，(★★) 7. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）A．51B．70C．92D．117(★★★) 8. 已知函数.若函数存在零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 抛掷一枚股子，设事件“出现的点数为偶数”，事件“出现的点数为3的倍数”，则（）A．与是互斥事件B．不是必然事件C．D．(★★★) 10. 已知点，，动点在圆：上，则（）A．直线截圆所得的弦长为B．的面积的最大值为15C．满足到直线的距离为的点位置共有3个D．的取值范围为(★★★★★) 11. 如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则（）A．平面B．二面角随着的减小而减小C．当时，五面体的体积最大值为D．当时，存在使得半径为的球能内含于五面体三、填空题(★★) 12. 若，则 _________ ．(★★) 13. 如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则 _________ .(★★) 14. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为 _________ .四、解答题(★★★) 15. 已知数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.(★★★★)16. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面．(1)证明：平面平面；(2)已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值．(★★★★) 17. 已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为，，设随机变量，求．(★★★★★) 18. 在平面直角坐标系中，点，点A为动点，以线段为直径的圆与轴相切，记A的轨迹为，直线交于另一点B．(1)求的方程；(2) 的外接圆交于点（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形，记其面积为．（i）证明：的重心在定直线上；（ii）求的取值范围．(★★★) 19. 动圆与圆和圆中的一个内切，另一个外切，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点轴与交于两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，记的面积分别为.若，求直线的方程.。

福建省2021届高三数学适应性练习卷(二)及答案

2021届考前适应性练习卷（二）（福建省高三毕业班复习教学指导组）本试卷共22题，满分150分，共5页．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|680M x x x =-+≤，{}|13N x x =<<，则M N =A ．{}|23x x <≤B ．{}|23x x <≤C ．{}|14x x <≤ C ．{}|14x x <≤ 2．向量(12)=，a ，(1)x =，b ．若()()+⊥-a b a b ，则x =A ．2- B． C ．2± D ．23．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin n x x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos sin 88i ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A ． 1 B ． i C ．1- D ． i -4．方程125x x -+=的解所在的区间是A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4 5．已知02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则tan2θ= A ．724 B ．247 C ．724± D ．247± 6．已知圆锥的顶点为P ，母线,,PA PB PC 两两垂直且长为3，则该圆锥的体积为7．已知函数()x x f x -=-e e，若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8．已知双曲线22:1C x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若2POF QOFS S =△△，且Q 在,P F 之间，则||PQ = A．4 B．2 C．2 D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省宁德市古田县第一中学2024届高中毕业班高考前适应性测试数学试题(原卷版)

古田一中2023—2024学年高三高考考前适应性测试数学学科试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线212y x=的焦点坐标为（）A.1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫⎪⎝⎭C.10,8⎛⎫⎪⎝⎭ D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列条件可以推出αβ⊥的是（）A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥B.m l ⊥，l αβ= ，m α⊂C .m ∥l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m ∥l ，m ∥β3.“直线:0l x y m ++=与圆22:42270C x y x y +---=相切”是“5m =”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件4.有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．A.72B.144C.108D.965.如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图像大致为（）A.B.C.D.6.若一组样本数据1x 、2x 、L 、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、L 、24n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（）A.17，54B.17，48C.15，54D.15，487.设1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b =，20c c +=，则()A.a b c <<B.c b a<< C.a c b<< D.b<c<a8.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+，则双曲线的离心率的平方为A.5B.52C.51+ D.512+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数12,z z 是关于x 的方程210(22,)x bx b b ++=-<<∈R 的两根，则下列说法中正确的是（）A.12z z = B.12z z ∈R C.121z z == D.若1b =，则33121z z ==10.已知函数()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称B.()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-C.π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数D.()f x 的图象向右平π6个单位后得到sin 2y x =的图象11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为n a ，如{}12112,1214,,n a a a =+==++=⋅⋅⋅的前n 项和记为n S ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为{}n b ，{}n b 的前n 项和记为n T ，则下列说法正确的有（）A.101022S =B.12n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和21122n a +--C.5766b = D.574150T =三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}ln 12A x y x ==-，{}2B x x x =≤，则()R A B ⋂=ð_____________.13.已知()6x ay +的展开式中含33x y 项的系数为160，则实数a 的值为__________.14.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两个等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等.该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为6cm ，下底直径为6cm ，上下底面间的距离为3cm ，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是__________cm ；卧足杯的容积是____________3cm （杯的厚度忽略不计）四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知c =，且ABC 的面积2224b c aS +-=.（1）求C ；（2）若ABC 内一点P 满足AP AC =，BP CP =，求PAC ∠．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD CD ===，3BC =，PC =．（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的大小．条件①：AB =条件②：//BC 平面PAD ．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n 格的概率为()1,2,3,,25n P n =⋅⋅⋅．（1）甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；（2）证明：数列{}()12,3,,24n n P P n --=⋅⋅⋅为等比数列．18.焦点在x 轴上的椭圆22214x yb+=的左顶点为M ，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为椭圆上不同三点，且当OB OC λ=时，直线MB 和直线MC 的斜率之积为14-．（1）求b 的值；（2）若OAB 的面积为1，求2212x x +和2212y y +的值；（3）在（2）的条件下，设AB 的中点为D ，求OD AB ⋅的最大值．19.英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xnx x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：e 1x x ≥+；（2）设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；（3）设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.。